排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法

排列组合n选m，组合算法——0-1转换算法（巧妙算法）C++实现
知识储备
排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示计算公式：
注意：m中取n个数，按照一定顺序排列出来，排列是有顺序的，就算已经出现过一次的几个数。

只要顺序不同，就能得出一个排列的组合，例如1,2,3和1,3,2是两个组合。

组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。

用符号 C(n,m) 表示。

计算公式：
注意：m中取n个数，将他们组合在一起，并且顺序不用管，1,2,3和1,3,2其实是一个组合。

只要组合里面数不同即可
组合算法
本算法的思路是开两个数组，一个index[n]数组，其下标0~n-1表示1到n个数，1代表的数被选中，为0则没选中。

value[n]数组表示组合
的数值，作为输出之用。

?
首先初始化，将index数组前m个元素置1，表示第一个组合为前m 个数,后面的置为0。

?
然后从左到右扫描数组元素值的“10”组合，找到第一个“10”组合后将其变为?“01”组合，同时将其左边的所有“1”全部移动到数组的最左端。

一起得到下一个组合（是一起得出，是一起得出，是一起得出）重复1、2步骤，当第一个“1”移动到数组的n-m的位置，即m个“1”全部移动到最右端时；即直到无法找到”10”组合,就得到了最后一个组合。

组合的个数为：
例如求5中选3的组合：
1 1 1 0 0 --1,2,3?
1 1 0 1 0 --1,2,4?
1 0 1 1 0 --1,3,4?
0 1 1 1 0 --2,3,4?
1 1 0 0 1 --1,2,5?
1 0 1 0 1 --1,3,5?
0 1 1 0 1 --2,3,5?
1 0 0 1 1 --1,4,5?
0 1 0 1 1 --2,4,5?
0 0 1 1 1 --3,4,5
代码如下：
#include iostream
using namespace std;
void Show(int ,int index[],int value[]);
bool judge(int,int ,int index[]);
void change(int ,int ,int index[],int value[]);
int main()
int i,n,m;
cout"请输入元素个数：";
cout"请输入选多少元素:";
int index[n]={0},value[n]; --index务必初始化为0，不然无法知道m个数之后里面是真还是假
for(i=0;in;i++)
value[i]=i+1;--此处是赋初值,以1,2,3,4,5为例，当然任何数字都可以
change(n,m,index,value);
return 0;
void Show(int n,int index[],int value[])
for(i=0;in;i++)
if(index[i]) ?coutvalue[i]" ";
coutendl;
bool judge(int n,int m,int index[])
for(i=n-1;i=n-m;i--)
if(!index[i]) ?return false;
return true;
void change(int n,int m,int index[],int value[]) ?--核心算法函数
int i,j,num=0;
for(i=0;im;i++)
index[i]=1;
Show(n,index,value); --第一个组合
while(!judge(n,m,index)) ?--只要没使1全部移到右边，就继续循环
for(i=0;in-1;i++) ?--注意是n-1,因为i=n-1时，i+1是不存在的 --找到10，变成01
if(index[i]==1index[i+1]==0)
index[i]=0;
index[i+1]=1;
--将01组合左边的1全部放在数组最左边
int count=0;
for(j=0;ji;j++)
if(index[j])
index[j]=0;
index[count++]=1;
Show(n,index,value); ?--输出
cout"共有"num"种"endl;
quadquad 当a=b=1a=b=1a=b=1时，(a+b)n=2n=∑i=0nCni(a+b)^n=2^n=sum_{i=0}^n
C_n^i(a+b)n=2n=∑i=0n?Cni?；
--- param name="n"Int32类型的正整数-param
x = int( (ws-2) - (self.w-2) )#距屏幕左边框的像素点数
②n个元素被分成K类，每类的个数分别是n1,n2,…,nk这n个元素的全排列数为n!-(n1!xn2!x…xnk!)。

Show(n,m,index,value); ?--输出
permutate(0,3,a);--对数组中前三个数进行排列
package?BeanUtil;
r[j-2] = k-1;
上面的例子实际上展示了动态规划里面所谓的滑动数组(Sliding array)，从而大大地降低了空间复杂度，（当然还会有更好的策略）。

-- 然后从左到右扫描数组元素值的“10”组合，找到第一个“10”组合后将其变为。