二次函数的平移规律
二次函数的平移问题
初中阶段关于二次函数的平移变换问题初中阶段二次函数的平移大致分为两类，即为上下平移和左右平移。
（1） 上下平移若原函数为c bx ax y ++=2⎩⎨⎧-++=+++=m c bx ax y m m c bx ax y m 22为个单位，则平移后函数向下平移为个单位，则平移后函数向上平移 注：①其中m 均为正数，若m 为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。
（2） 左右平移若原函数为c bx ax y ++=2，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式k h x a y +-=2)(然后再进行相应的变形⎩⎨⎧+--=++-=k n h x a y n k n h x a y n 22)()(数为个单位，则平移后的函若向右平移了数为个单位，则平移后的函若向左平移了 注：①其中n 均为正数，若n 为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。
例：（2010年兰州）13. 抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为 （ ）A . b=2，c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3，c=2 分析，已知函数是从原函数经过向右和向下平移得来，所以原本函数可以从已知函数向左再向上平移求出，或者向上再向左平移求出，平移没有先后顺序的要求。
解：将函数 322--=x x y 先向上平移3个单位为：3322+--=x x y ，即x x y 22-=；再向左平移两个单位，向将函数化为顶点式1)1(2--=x y 然后x x y x y 2,1)21(22+=-+-=整理得，即b=2,c=0,选择B 选项。
二次函数图像的变化规律及应用
二次函数图像的变化规律及应用引言：二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的图像呈现出一种独特的形态，具有丰富的变化规律和广泛的应用。
本文将从图像的变化规律和应用两个方面，对二次函数进行深入的探讨。
一、图像的变化规律1. 平移变换二次函数的图像可以通过平移变换而得到不同的形态。
平移变换是指在坐标平面上将图像整体向左、右、上、下平移的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，当平移向右时，a保持不变，b不变，c减小；当平移向左时，a保持不变，b不变，c增大；当平移向上时，a增大，b不变，c增大；当平移向下时，a减小，b不变，c减小。
通过平移变换，我们可以观察到二次函数图像在平面上的移动轨迹，进而掌握其变化规律。
2. 缩放变换缩放变换是指在坐标平面上将图像整体放大或缩小的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，当缩放因子为k时，a不变，b不变，c增大（或减小）k倍。
缩放变换可以改变二次函数图像的大小和形状，通过观察不同缩放因子下的图像，我们可以总结出二次函数图像的缩放规律。
3. 翻折变换翻折变换是指在坐标平面上将图像关于某一直线进行对称的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，当翻折轴为x轴时，a不变，b变号，c不变；当翻折轴为y轴时，a变号，b不变，c不变；当翻折轴为直线x=k时，a不变，b变号，c变号。
翻折变换可以改变二次函数图像的位置和形状，通过观察不同翻折轴下的图像，我们可以总结出二次函数图像的翻折规律。
二、图像的应用1. 最值问题二次函数的图像呈现出一个开口朝上或朝下的抛物线形态，通过观察图像的顶点，我们可以得出二次函数的最值。
当抛物线开口朝上时，顶点为最小值；当抛物线开口朝下时，顶点为最大值。
最值问题在实际应用中有广泛的应用，例如在物理学中，我们可以通过最值问题求解物体的最高点或最低点。
2. 零点问题二次函数的图像与x轴的交点称为零点，也叫根或解。
通过观察图像与x轴的交点，我们可以求解二次函数的零点。
二次函数的平移
二次函数的平移张尚军在考试中，有些题目是求二次函数平移后的解析式，学生做起来很不方便，普遍感到求平移后的解析式比较困难.就此，我从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律.一.当解析式为顶点式y=a(x-h)2+k （a ≠0）时1.向右或向左平移时，解析式的变化规律.将抛物线向右平移m 个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k)变为(h+m,k)，所以抛物线解析式由y=a(x-h)²+k 变为y=a[x-(h+m)]2+k=a （x-m-h)2+k两解析式比较可得出图像向右平移m 个单位，括号内减去m ，同理可推出向左平移m 个单位括号内加上m ，即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x+m-h)2+k.2.向上或向下平移时，解析式的变化规律.将抛物线向上平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h ，k ）变为（h ，k+n ）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2²+k 变为y=a(x-h)2+k+n. 比较两个解析式可得出向上平移n 个单位，括号外加n ，同理可推出向下平移n 个单位括号外减去n.即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x+m-h)2+k-n.二.当解析式为一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)时1.向右或向左平移时,解析式的变化规律.将抛物线向右平移m 个单位.因为y=ax 2+bx+c=a （x+a 2b ）2+ab 4-ac 42 有前面的规律可知。
y=a(x+a 2b -m)2+ab 4-ac 42 =ax 2+a 4b 2+am ²+bx-2amx-bm+c-a 4b 2=ax 2-2amx+am ²+bx-bx+c=a(x-m)2+b(x-m)+c两式比较,可得出抛物线向右平移m 个单位,自变量上减去m;同理可推出抛物线向左平移m 个单位,自变量上加上m,即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c2.向上或向下平移时,解析式的变化规律.将抛物线向上平移n 个单位,因为y=ax 2+bx+c=a(x+ a 2b )2+ab 4-ac 42 由前面的规律可知 y=a(x+a 2b )2+ab 4-ac 42+n =ax 2+bx+c+n两式比较:可得抛物线向上平移n 个单位,常数项上加n;同理可推出抛物线向下平移n 个单位,自变量上减去n ，即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=ax 2+bx+c -n. 综上所述，当解析式为顶点式时，解析式的变化规律为上加下减括号外，左加右减括号内；解析式为一般式时，解析式的变化规律为左加右减自变量，上加下减常数项.当解析式为交点式y=a(x-1x )(x-2x )时，解析式的变化规律，请读者自己完成.应用这一规律，不但便于教师授课，而且更有利于学生掌握应用，解起题来更加方便快捷.发表于2012.08下旬总第132期《新课程学习》。
二次函数的平移
二次函数的平移
平移遵循的规则是：上加、下减、左加、右减。
（1）上加、下减，即图像上下平移解析式作相应的变化。
例如：y=ax²+b往上平移2个单位，即变为y=ax²+b+2；y=ax²+b往下平移3个单位，即变为y=ax²+b-3。
（2）左加、右减，即图象左右平移时解析所作的相应变化。
例如：y=ax²+b往左平移1个单位，即变为y=a(x+1)²+b；y=ax²+b往右平移4个单位，即变为y=a(x-4)²+b。
扩展资料
二次函数的性质
二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c(a≠0)，当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程），即ax²+bx+c=0(a≠0)。
此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根，函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
a、b、c值与图像关系：
a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。
当抛物线对称轴在y轴左侧时a，b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a，b 异号。
c>0时，抛物线与y轴交点在x轴上方；c<0时，抛物线与y轴交点在x轴下方。
a=0时，此图像为一次函数。
b=0时，抛物线顶点在y轴上。
c=0时，抛物线在x轴上。
当抛物线对称轴在y轴左侧时a，b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a，b 异号。
二次函数的平移问题
二次函数的平移问题关于二次函数的平移变换问题二次函数的平移变换可以分为上下平移和左右平移两种情况。
1.上下平移对于原函数y=ax²+bx+c，若要进行上下平移，可以进行以下变换：向上平移m个单位，得到平移后的函数y=ax²+bx+c+m；向下平移m个单位，得到平移后的函数y=ax²+bx+c-m。
需要注意的是，m为正数，若m为负数，则对应的加（减）号需要改为减（加）号。
一般称这种变换为上加下减或上正下负。
2.左右平移对于原函数y=ax²+bx+c，若要进行左右平移，可以进行以下变换：先将函数化为顶点式y=a(x-h)²+k；向左平移n个单位，得到平移后的函数y=a(x-h+n)²+k；向右平移n个单位，得到平移后的函数y=a(x-h-n)²+k。
需要注意的是，n为正数，若n为负数，则对应的加（减）号需要改为减（加）号。
一般称这种变换为左加右减或左正右负。
例题：1.将抛物线y=-x²向左平移一个单位，再向上平移三个单位，平移后的表达式为（）A。
y=-(x-1)²+3B。
y=-(x+1)²+3C。
y=-(x-1)²-3D。
y=-(x+1)²-32.抛物线y=x²+bx+c向右平移两个单位，再向下平移三个单位，得到的抛物线表达式为y=x²-2x-3，则b、c的值分别为（）A。
b=2，c=2B。
b=2，c=0C。
b=-2，c=-1D。
b=-3，c=23.将函数y=x²+x的图像向右平移a（a>0）个单位，得到函数y=x²-3x+2的图像，则a的值为（）A。
1B。
2C。
3D。
44.已知二次函数y=x²-bx+1（-1≤b≤1），当b从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。
下列关于抛物线移动方向的描述中，正确的是（）A。
二次函数专题—函数图像的平移
二次函数专题（3）——函数图像的平移我们知道图像的平移，图像本身不会发生改变，只是图像的位置发生改变。
函数图像的平移也是遵循这样原理，只是我们在平移过程中函数的解析式也发生改变，这节专题主要就是探讨函数平移与解析式的计算。
1. 基础情境：点坐标平移①水平平移：纵坐标不变横坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往右平移2个单位到A’，很明显A’的纵坐标不变，但是横坐标变为了1+2=3，即A’（3,2）；同理把A往左平移2个单位到A’’（-1，2）②竖直平移：横坐标不变，纵坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往上平移三个单位到A’，很明显A’的横坐标不变，但是纵坐标变为了2+3=5，即A’（1,5）；同理把A往下平移三个单位到A’’（1，-1）,如下图：2. 函数平移：一次函数图像平移①水平平移问题：我们以y=2x+2为例，把它向右平移2个单位，那么新的图像函数解析式为何？分析：由于平移过后仍然是条直线，两点决定一条直线，所以我们选取两个特殊点就可以算出新的函数表达式。
解答：选取原一次函数上两点（0,2）、（-1,0），经过平移后这两点坐标变为（2,2）和（1,0），计算得y=2x-2.观察：平移后，一次函数的系数k（2）不变，b减小了两倍（由2变为-2）推广：对于所有一次函数y=kx+b，向右平移2个单位的函数解析式怎么求？分析：可以按照上面的思路，取特殊点求取新的一次函数解析式解答：方法一：坐标法取两个特殊点（0，b）、（1，k+b），经过平移后这两点坐标变为（2,b）和（3,k+b），计算函数表达式得y=kx+b-2k。
这个式子我们还可以改写成这样y=（k-2）x+b。
反思：解析法特殊点法虽然可以帮助我们解决问题，但是需要计算，有没有更加快速的计算一次函数解析式方法？有！我们回到最初函数的定义，比如坐标系中有一个点A（x,y）,其中y=kx+b 代表是x与y之间的等量关系。
如果把A（x,y）向右平移2单位变成A’（m,y），此时m=x+2。
二次函数平移左加右减原理
二次函数平移左加右减原理1 什么是二次函数？二次函数是一种函数，它的形式通常是 $y = ax^2 + bx + c$。
其中，$a,b,c$ 是三个常数，$x,y$ 是变量。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的平滑曲线。
如果$a>0$，则曲线开口向上，如果 $a<0$，则开口向下。
$a$ 控制曲线的斜率和开口的大小，$b$ 控制曲线的水平位置，$c$ 控制曲线的竖直位置。
2 什么是平移？平移是指将一个点或一条曲线在平面上向左、向右、向上或向下移动一定的距离。
平移可以用矩阵的乘法来表示，也可以用坐标公式来表示。
3 左加右减原理左加右减原理是指，如果要将一个函数沿着 $x$ 轴向左移动$a$ 个单位，则需要将函数中 $x$ 的值都加上 $a$；如果要将函数沿着 $x$ 轴向右移动 $a$ 个单位，则需要将函数中 $x$ 的值都减去$a$。
如果函数中有其他参数（如 $a,b,c$），则平移也会影响这些参数。
具体来说，如果要将函数沿着 $x$ 轴向左移动 $a$ 个单位，则需要将 $b$ 的值减去 $2a$，将 $c$ 的值加上 $a^2$；如果要将函数沿着 $x$ 轴向右移动 $a$ 个单位，则需要将 $b$ 的值加上 $2a$，将 $c$ 的值减去 $a^2$。
4 举例说明假设有一个二次函数 $y = 2x^2 + 4x - 1$，现在要将它沿着$x$ 轴向左移动 $3$ 个单位。
根据左加右减原理，将函数中 $x$ 的值都加上 $3$，得到 $y = 2(x+3)^2 + 4(x+3) - 1$。
将式子展开，得到 $y = 2x^2 + 22x + 29$，这就是将原函数沿着 $x$ 轴向左移动 $3$ 个单位后的函数。
同样地，如果要将原函数沿着 $x$ 轴向右移动 $3$ 个单位，根据左加右减原理，需要将函数中 $x$ 的值都减去 $3$，并将 $b$ 的值加上 $2\times3=6$，$c$ 的值减去 $3^2=9$。
二次函数顶点式及平移法则
左加右减
1.开口方向
向上
向下
向上
2.对称轴
3.顶点 4.增减性 5.最值
相同
低
小
高 大
左加右减
上加下减，左加右减
下2
右1
左4上3
1.开口方向
向上
向下
2.对称轴 3.顶点
4.增减性
5.最值
向上
向下
二次函数顶点平移
经典分析
二次函数顶点式及平移法则
平移法则：上加下减、左加右减
回顾
1.开口方向 2.对称轴
3.顶点
4.增减性 5.最值
-3
-2 5 3
-1 2 0
0
1 2 0
2 5 3
3 10 8
1.开口方向 2.对称轴 3.顶点
10 8
向上
-1
1
上加下减
4.增减性 5.最值
上加下减
向下平移 7 个单位
向上平移 1 个单位 向下平移 5 个单位 向下平移 3 个单位
上加下减
1.开口方向
2.对称轴 3.性
5.最值
相同
0 向上 向下 上 下 上加下减 低 高 k 小 k k
大
1.开口方向
v
向下
2.对称轴 3.顶点
左加右减
4.增减性 5.最值
左加右减
向左平移 7 个单位
向右平移 1 个单位 向左平移 5 个单位 向右平移 4 个单位
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
活动课二次函数的平移规律
【教学目标】
1、借助几何画板探究如何通过y=ax2平移得到y=ax2+k的图象和y=a(x-h)2的图像；
2、思考如何通过y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k的图像；
3、归纳猜想得出平移规律。
【重点难点】
探究理解平移规律是教学的重点，也是教学的难点。
【教学过程】
一、探究归纳
利用几何画板画出二次函数y=2x2和y=2x2－1及y=2（x－1）2的图象，并观察三个图象的位置关系？
1、利用几何画板移动y=2x2向上和向下平移1个单位，观察其中y k的变化规律（关注其正负值）
抛物线y=2x2与y=2x2+k图像位置有什么关系？
可以发现后者可以由前者向上或向下平移｜k｜个单位得到的，当k>0时向上平移，当k<0时，向下平移。
2、利用几何画板移动y=2x2分别向左和向右平移1个单位，观察其中x k的变化规律（关注其正负值）
可以发现，y=2(x-h)2的图像可以由y=2x2与分别向左和向右平移
｜k｜个单位得到。
当h>0时，向右平移，当h<0时，向左平移。
3、归纳猜想：如何通过平移y=2x 2得到y=2（x －1）2+1的图像。
又如何通过平移y=ax 2平移得到y=a(x-h)2+k 的图像。
引出平移规律。
二、知识巩固
例1、抛物线y=ax 2+k 与y=-5x 2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，3)，则其表达式为y=-5x 2+3，它是由抛物线y=-5x 2向上平移3个单位得到的.
教师 ①点拨解这类题，必须根据二次函数y=ax 2+k 的图象与性质来解，a 值确定抛物线的形状大小及开口方向，k 值确定顶点的位置.
②抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长.(有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长)
例2 已知抛物线y=ax 2+k 向下平移2个单位后，所得抛物线为y=-3x 2+2，试求a 、k 的值.
解:根据题意，得3,2 2.a k =-⎧⎨-=⎩解得3,4.
a k =-⎧⎨=⎩ 此题可以根据规律直接求出a 、k.
三、课堂小结
1.本节课探究得出了二次函数的平移规律；你知道如何通过平移y=ax 2平移得到y=a(x-h)2+k 的图像吗？
三、作业
不画图象，回答下列问题.
①函数y=－2(x+3)2的图象可以看成是由函数y=－2x 2的图象作怎样
的平移得到的?
②说出函数y=－2(x+3)2－5的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.
③函数y=－2(x+3)2－5有哪些性质？
④若将函数y=－2(x+3)2－5的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象?。