二次函数图象平移规律
论述高中数学二次函数的变换规律
论述高中数学二次函数的变换规律一、二次函数的一般形式二次函数一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二、平移变换规律1. 水平平移：- 右平移h个单位：y = a(x - h)^2 + bx + c；- 左平移h个单位：y = a(x + h)^2 + bx + c。
2. 垂直平移：- 上平移k个单位：y = ax^2 + bx + (c + k)；- 下平移k个单位：y = ax^2 + bx + (c - k)。
三、缩放变换规律1. 水平缩放：- 横坐标伸缩为原来的k倍：y = a(x/k)^2 + bx + c，其中k≠0；- 横坐标收缩为原来的k倍：y = a(kx)^2 + bx + c，其中k≠0。
2. 垂直缩放：- 纵坐标伸缩为原来的k倍：y = (ak)x^2 + bx + c，其中k≠0；- 纵坐标收缩为原来的k倍：y = (a/k)x^2 + bx + c，其中k≠0。
四、翻转变换规律1. 关于x轴翻转：y = a(-x)^2 + bx + c。
2. 关于y轴翻转：y = ax^2 - bx + c。
3. 关于原点翻转：y = a(-x)^2 - bx + c。
五、其他常见变换规律1. 拉伸变换：- 沿x轴拉伸：y = a(x/k)^2 + bx + c，其中a>0，且k>1；- 沿y轴拉伸：y = (ak)x^2 + bx + c，其中a>1。
2. 旋转变换：- 顺时针旋转α角：y = a(xcosα + ysinα)^2 + bxcosα - bysinα + c，其中a>0，α∈[0,2π)。
- 逆时针旋转α角：y = a(xcosα - ysinα)^2 + bxcosα + bysinα + c，其中a>0，α∈[0,2π)。
六、应用举例例如，对于二次函数y = x^2 + 2x + 1，可以通过平移、缩放和翻转等变换规律进行如下操作：- 右平移1个单位：y = (x - 1)^2 + 2(x - 1) + 1；- 上平移2个单位：y = x^2 + 2x + 3；- 横坐标伸缩为原来的2倍：y = (1/2)x^2 + 2x + 1；- 纵坐标伸缩为原来的3倍：y = 3x^2 + 2x + 1；- 关于y轴翻转：y = x^2 - 2x + 1；- 关于原点翻转：y = x^2 + 2x + 1。
二次函数图像的变换
二次函数图像的变换第一环节 【知识储备】一、二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称 2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．第二环节 【新知探究】【问题一】 平移变换求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位。
二次函数的平移与反转
二次函数的平移与反转二次函数是一种常见的数学函数，它的一般形式可以表示为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
在二次函数的研究中，平移和反转是两个重要的概念。
一、平移的概念平移是指二次函数在坐标平面上按照一定规律进行的位移操作。
它可以使得函数图像的位置在坐标平面上发生改变，同时保持函数图像的形状不变。
平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
1. 水平平移水平平移是指二次函数图像在横向方向上的移动。
一般地，我们将向右移动看作是正向的平移，向左移动看作是负向的平移。
设二次函数为f(x) = ax² + bx + c，若想使函数图像向右平移h个单位，则可以通过将x替换为x - h来实现。
具体地，新的函数表达式为f(x - h) = a(x - h)² + b(x - h) + c。
2. 垂直平移垂直平移是指二次函数图像在纵向方向上的移动。
类似于水平平移，向上移动被看作是正向的平移，向下移动被看作是负向的平移。
设二次函数为f(x) = ax² + bx + c，若想使函数图像向上平移k个单位，则可以通过将整个函数表达式加上k来实现。
具体地，新的函数表达式为f(x) + k = ax² + bx + c + k。
二、反转的概念反转是指二次函数图像关于某个轴进行对称操作，使得函数图像在该轴上呈现对称关系。
反转可以分为水平反转和垂直反转两种情况。
1. 水平反转水平反转是指二次函数图像关于y轴进行对称操作。
在水平反转后，原二次函数的图像会呈现关于y轴的对称特点。
设二次函数为f(x) = ax² + bx + c，若想对函数进行水平反转，可以通过将x替换为-x来实现。
具体地，新的函数表达式为f(-x) = a(-x)² +b(-x) + c。
2. 垂直反转垂直反转是指二次函数图像关于x轴进行对称操作。
在垂直反转后，原二次函数的图像会呈现关于x轴的对称特点。
二次函数的平移与伸缩
二次函数的平移与伸缩二次函数是一种常见的数学函数，在数学和物理等领域有广泛的应用。
平移和伸缩是二次函数的重要性质，它们可以改变函数图像的位置和形状。
本文将详细介绍二次函数的平移和伸缩的概念、性质及其在图像变化中的应用。
一、平移的概念与性质平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向上下或左右移动，而不改变函数的形状。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，平移的一般形式可以表示为 f(x - h) + k，其中 (h, k) 表示平移的距离和方向。
1. 水平平移：当 h > 0 时，函数图像向右平移 h 个单位；当 h < 0 时，函数图像向左平移 |h| 个单位。
2. 垂直平移：当 k > 0 时，函数图像向上平移 k 个单位；当 k < 0 时，函数图像向下平移 |k| 个单位。
平移的性质：平移后的函数图像与原函数图像相似，但位置发生了变化。
平移不改变二次函数的对称轴和开口方向。
二、伸缩的概念与性质伸缩是指将函数图像在坐标轴的方向上拉长或压缩，通过改变函数的系数实现。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，伸缩的一般形式可以表示为 f(px) = a(p·x)^2 + b(p·x) + c，其中 p 表示伸缩的比例。
1. 水平伸缩：当 p > 1 时，函数图像在 x 轴方向上被压缩；当 0 < p < 1 时，函数图像在 x 轴方向上被拉长。
2. 垂直伸缩：当 a > 1 时，函数图像在 y 轴方向上被拉伸；当 0 < a< 1 时，函数图像在 y 轴方向上被压缩。
伸缩的性质：伸缩后的函数图像与原函数图像相似，但形状和大小发生了改变。
伸缩改变了二次函数的开口程度，但不改变二次函数的对称轴。
三、平移与伸缩的应用1. 位置调整：通过平移可以将函数图像移动到坐标系中合适的位置，使得图像与实际问题相符合。
二次函数专题—函数图像的平移
二次函数专题（3）——函数图像的平移我们知道图像的平移，图像本身不会发生改变，只是图像的位置发生改变。
函数图像的平移也是遵循这样原理，只是我们在平移过程中函数的解析式也发生改变，这节专题主要就是探讨函数平移与解析式的计算。
1. 基础情境：点坐标平移①水平平移：纵坐标不变横坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往右平移2个单位到A’，很明显A’的纵坐标不变，但是横坐标变为了1+2=3，即A’（3,2）；同理把A往左平移2个单位到A’’（-1，2）②竖直平移：横坐标不变，纵坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往上平移三个单位到A’，很明显A’的横坐标不变，但是纵坐标变为了2+3=5，即A’（1,5）；同理把A往下平移三个单位到A’’（1，-1）,如下图：2. 函数平移：一次函数图像平移①水平平移问题：我们以y=2x+2为例，把它向右平移2个单位，那么新的图像函数解析式为何？分析：由于平移过后仍然是条直线，两点决定一条直线，所以我们选取两个特殊点就可以算出新的函数表达式。
解答：选取原一次函数上两点（0,2）、（-1,0），经过平移后这两点坐标变为（2,2）和（1,0），计算得y=2x-2.观察：平移后，一次函数的系数k（2）不变，b减小了两倍（由2变为-2）推广：对于所有一次函数y=kx+b，向右平移2个单位的函数解析式怎么求？分析：可以按照上面的思路，取特殊点求取新的一次函数解析式解答：方法一：坐标法取两个特殊点（0，b）、（1，k+b），经过平移后这两点坐标变为（2,b）和（3,k+b），计算函数表达式得y=kx+b-2k。
这个式子我们还可以改写成这样y=（k-2）x+b。
反思：解析法特殊点法虽然可以帮助我们解决问题，但是需要计算，有没有更加快速的计算一次函数解析式方法？有！我们回到最初函数的定义，比如坐标系中有一个点A（x,y）,其中y=kx+b 代表是x与y之间的等量关系。
如果把A（x,y）向右平移2单位变成A’（m,y），此时m=x+2。
二次函数像的平移与缩放
二次函数像的平移与缩放二次函数是学习高中数学中重要的一部分，它们具有许多有意义的性质。
其中一个非常有趣的性质是二次函数的平移和缩放。
通过平移和缩放，我们可以改变二次函数的图像位置和大小，使得它们更符合我们的需求。
在本文中，我们将讨论二次函数图像的平移和缩放，并探索如何通过这些变换来改变函数的性质。
一、平移变换平移是指通过对二次函数的自变量（即x）进行加减常数的操作，使得函数的图像在坐标平面上沿x轴或y轴方向移动。
平移变换仅影响函数的图像位置，而不改变其形状。
1. 沿x轴平移当我们对二次函数进行沿x轴平移时，我们将函数的自变量（即x）的值加上或减去一个常数。
具体来说，若要将函数图像向左平移h个单位，则我们可以通过将所有x替换为x-h来实现；若要将函数图像向右平移h个单位，则将所有x替换为x+h即可。
例如，对于二次函数y=x^2，我们希望将其向右平移2个单位。
通过将x替换为x-2，我们得到平移后的函数y=(x-2)^2。
这样，原来函数的图像将平移2个单位向右。
同理，当我们希望将函数图像向左平移3个单位时，可以将x替换为x+3，得到新函数y=(x+3)^2。
这样，原来函数的图像将平移3个单位向左。
2. 沿y轴平移与沿x轴平移类似，当我们对二次函数进行沿y轴平移时，我们将函数的值加上或减去一个常数。
具体来说，若要将函数图像向上平移k 个单位，则我们可以通过将所有y替换为y-k来实现；若要将函数图像向下平移k个单位，则将所有y替换为y+k即可。
例如，对于二次函数y=x^2，我们希望将其向上平移3个单位。
通过将y替换为y-3，我们得到平移后的函数y=x^2-3。
这样，原来函数的图像将平移3个单位向上。
同理，当我们希望将函数图像向下平移4个单位时，可以将y替换为y+4，得到新函数y=x^2+4。
这样，原来函数的图像将平移4个单位向下。
二、缩放变换缩放是指通过乘以或除以一个常数来改变二次函数图像的大小。
缩放变换会影响函数图像的形状和大小，但不会改变其位置。
二次函数图象的平移和对称变换
2二次函数图象的平移、旋转、轴对称专题有关图象的变换一般可采用两种基本的方法，其一是利用特殊点进行变换，其二是利用坐标变换的规律进行变换。
所谓利用特殊点进行变换，即选取原图象上一些特殊的点，把这些点按指定的要求进行变换，再把变换后的点代入到新的解析式中，从而求出变换后的解析式，利用特殊点进行变换，又可以从一般形式入手，选取图象上的三个特殊的点进行变换，也可以把一般形式化为顶点式，选取顶点作为特殊点，然后进行变换。
利用坐标变换的方法，根据题目的要求，利用坐标变换的规律，从而进行变换。
下面由具体的例子进行说明。
一 、 平 移 。
例1、 把抛物线 y=x -4x+6 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位后，求其图象的解析式。
法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0， 6），（ 1， 3），（ 2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求向左平移3 个单位，再向下平移4 个单位后得到三个新点（ -3 ， 2），（ -2 ， -1 ），（-1 ，-2 ），把这三个新点代入到新的函数关 系式的一般形式 y=ax 2+bx+c 中，求出各项系数即可。
例 2、已知抛物线 y=2x 位，求其解析式。
法（二）2-8x+5, 求其向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单先利用配方法把二次函数化成y a( x h)2 k 的形式，确定其顶点（ 2，-3 ），然后把顶点（ 2， -3 ）向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单位后得到新抛物线的顶点为（ 5， 1），因为是抛物线的平移，因此平移前后 a 的值应该相等，这样我们就得到新的抛物线的解析式中 a=2，且顶点为（ 5， 1），就可以求出其解析式了。
22222【平移规律：在原有函数的基础上“左加右减、上加下减”】 .法（三）根据平移规律进行平移，不论哪种抛物线的形式，平移规律为 “左右平移即把解析式中自变量 x 改为 x 加上或减去一个常数，左加右减，上下平移即把整个解析式加上或减去一个常数，上加下减。
初中数学 二次函数的图像的平移变换如何影响图像的位置
初中数学二次函数的图像的平移变换如何影响图像的位置
二次函数的图像的平移变换是通过改变二次函数的参数来实现的，其中包括改变顶点的横坐标和纵坐标以及改变二次函数的平移方向。
以下是对二次函数图像的平移变换如何影响图像位置的详细解释：
1. 改变顶点的横坐标：将二次函数的顶点从原点(0, 0) 平移到其他位置，可以通过改变顶点的横坐标实现。
如果我们将顶点的横坐标加上一个正数a，那么图像会向右平移 a 个单位；如果我们将顶点的横坐标减去一个正数a，那么图像会向左平移 a 个单位。
2. 改变顶点的纵坐标：将二次函数的顶点的纵坐标从原点(0, 0) 平移到其他位置，可以通过改变顶点的纵坐标实现。
如果我们将顶点的纵坐标加上一个正数b，那么图像会向上平移b 个单位；如果我们将顶点的纵坐标减去一个正数b，那么图像会向下平移b 个单位。
3. 改变平移方向：除了改变顶点的横坐标和纵坐标，我们还可以通过改变二次函数的平移方向来实现图像的平移变换。
当a 的值为正数时，二次函数图像向右平移；当 a 的值为负数时，二次函数图像向左平移。
同样地，当b 的值为正数时，二次函数图像向上平移；当b 的值为负数时，二次函数图像向下平移。
通过改变顶点的横坐标和纵坐标以及改变平移方向，我们可以实现二次函数图像的平移变换。
这些变换会影响图像的位置，使图像在坐标平面上移动到新的位置。
理解和运用平移变换的概念和方法，有助于我们分析和解释二次函数图像的位置和变化。
需要注意的是，平移变换只会改变二次函数图像的位置，而不会改变图像的形状。
图像的形状由二次函数的系数决定。
平移变换是一种基本的图像变换，也是了解和应用二次函数图像的重要工具之一。
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二次函数的平移
我对于讲解二次函数课中有关图象平移规律结合学生作业中出现的问题，谈谈自己的一些看法。
在刚开始讲解二次函数平移时，我是先举一些例子，先讲左右平移，如二次函数y=2（x-1）2的图象是怎样由二次函数y=2x2的图象平移得到的？二次函数y=2（x+1）2呢？通过画函数图象，让学生明白左右平移的规律；再讲上下平移，如二次函数y=3x2+2的图象是怎样由二次函数y=3x2的图象平移得到的？二次函数y=3x2-2呢？也是通过画函数图象，让学生明白上下平移的规律。
然后再讲顶点式的二次函数平移，如二次函数y= -（x-1）2+2的图象是怎样由二次函数y= - x2的图象平移得到的？二次函数y= -（x-1）2-3呢？通过画函数图象，让学生找平移的规律。
这样由浅入深，由简渐繁地引导学生找二次函数图象的平移规律，做到了知识连贯和系统性。
学生在做二次函数平移的练习中，对于上下平移容易掌握其中规律，而对于左右平移就容易弄反，结果导致整体平移出错。
结合自己多年教学心得与学生在实际解题中的常见问题，在小复习时我就这样给学生总结：其实二次函数的平移只要抓住顶点就可以了，对比平移前后的两个二次函数的顶点，记住数字增加了就往正方向平移，数字减少了就是往负方向平移。
学生记住这一点之后在做有关二次函数的平移的练习时，出错的机会就很少了。