《二次函数图象的平移》专题练习
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数图像平移、旋转总归纳一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x2+1的图象①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2+4；②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2-3；③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1；④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1．由此可以归纳二次函数y=ax2+c 向上平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax2+c+m；向下平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax+c-m；向左平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x+n）2+c；向右平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x-n）2+c，二、二次函数的图象的翻折在一张纸上作出二次函数y=x2-2x-3的图象，⑤沿x轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x2+2x-3．⑥沿y轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x2+2x-3由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c若沿x轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax2-bx-c，若沿y轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax2-bx+c三、二次函数的图象的旋转，将二次函数y=-2x+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=22122 1x-x+1；由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax2-bx-c．（备用图如下）1、（201*桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3围着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y=-（x+1）2+2 B．y=-（x－1）2+4C．y=-（x－1）2+2D．y=-（x+1）2+42、（201*浙江宁波中考）把二次函数y＝（x－1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________．3、飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t-1.5t2，飞机着陆后滑行的最远距离是（）A．600m B．300mC．1200mD．400m4、（201*襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．5、已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，以下结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c0时，函数开口方向向上；当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而削减；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当a0时，函数有最小值，并且当x=，y最小＝4a2a4acb2b当a0时，当x为何值时，y=0；当x为何值时，y考点7.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。
二次函数图像的平移顶点对称轴练习题(附答案)
二次函数图像的平移顶点对称轴练习题一、填空题1.把抛物线2y x =先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后的抛物线的表达式是 。
2.将抛物线向上平移2个单位,再向右平移4个单位,所得新抛物线的解析式为22y x =-,则原抛物线的解析式为_________.3.如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于,A B 两点，顶点C 的纵坐标为2-，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线2111y a x b x c =++，则下列结论正确的是 (写出所有正确结论的序号)①0b >；②0a b c -+<；③阴影部分的面积为4；④若1c =-，则24b a =.4.如图所示，已知抛物线0C 的解析式为22y x x =-.将抛物线0C 每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线123,,n C C C C （n 为正整数）. 则抛物线1C 与x 轴的两个交点12,A A 的距离是 ；抛物线n C 的解析式是 .5.抛物线23y x =先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得的抛物线为 .6.把抛物线2243y x x =-+向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 .7.在平面直角坐标系中，若抛物线23y x =不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为 .8.将抛物线2y ax =向左平移2个单位长度后，经过点(4,4)--，则a = .9.如图,将二次函数21(2)12y x =-+的图象沿y 轴向上平移得到一个新函数的图象,其中 点(1,),(4,)A m B n 平移后的对应点分别为点,A B ''.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数解析式是 .10.如图，点,D C 的坐标分别为()1,4-和()5,4-，抛物线的顶点在线段CD 上运动(抛物线随顶点一起平移)，与x 轴交于,A B 两点(A 在B 的左侧)，点B 的横坐标最大值为3，则点A 的横坐标最小值为 .11.如图,将抛物线212y x =-+向右平移1个单位长度得到抛物线2y ,则图中阴影部分的面积S = .12.如图，把抛物线2y x =，沿直线y x =A 处，则平移后抛物线的解析式是 .13.把抛物线212y x =向左平移3个单位长度,就得到抛物线 ,抛物线21(3)2y x =-是由抛物线212y x =向 平移 个单位长度得到的,抛物线21(1)2y x =-可以由抛物线21(4)2y x =-向 平移 个单位长度得到. 14.抛物线2y x =-向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到图象的解析式为 。
二次函数图象变换题库-二次函数,专题,中考,提高
二次函数图象变换综合习题一、二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．【习题分类】一、二次函数图象的平移变换【例1】 函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ）A. 右移两个单位，下移一个单位B. 右移两个单位，上移一个单位C. 左移两个单位，下移一个单位D. 左移两个单位，上移一个单位【例2】 函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到，那么平移的步骤是（ ）A. 右移三个单位，下移四个单位B. 右移三个单位，上移四个单位C. 左移三个单位，下移四个单位D. 左移四个单位，上移四个单位【例3】 二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到22y x =-的图象（ ）A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位.B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位.C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位.D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位.【例4】 将函数2y x x =+的图象向右平移()0a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例5】 把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235y x x =-+，则a b c ++=________________．【例6】 对于每个非零自然数n ，抛物线()()221111n y x x n n n n +=-+++与x 轴交于n n A B 、两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B +++…的值是（ ）A ． 20092008B ．20082009C ．20102009D ．20092010【例7】 把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为A ．()213y x =--- B ．()213y x =-+- C ．()213y x =--+D ．()213y x =-++【例8】 将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．()221y x =+B ．()221y x =-C ．221y x =+D ．221y x =-【例9】 将抛物线23y x =向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（ ）A. 232y x =-B. 23y x =C. 23(2)y x =+D. 232y x =+【例10】 一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的解析式为________________．【例11】 如图，ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c=++经过x 轴上的点A ，B ．⑴ 求点A ，B ，C 的坐标． ⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D 【例12】 抛物线254y ax x a =-+与x 轴相交于点A B 、，且过点()54C ，．⑴ 求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标．⑵ 请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的 顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．二、二次函数图象的对称变换【例13】 函数2y x =与2y x =-的图象关于______________对称，也可以认为2y x =是函数2y x =-的图象绕__________旋转得到．【例14】 已知二次函数221y x x =--，求：⑴关于x 轴对称的二次函数解析式；⑵关于y 轴对称的二次函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．【例15】 在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A ．22y x x =--+B ．22y x x =-+-C ．22y x x =-++D ．22y x x =++【例16】 已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1c ．⑴ 求1c 关于()10R ，成中心对称的图象2c 的函数解析式； ⑵ 设曲线12c c 、与y 轴的交点分别为A B ，，当18AB =时，求a 的值．【例17】 已知抛物线265y x x =-+，求⑴ 关于y 轴对称的抛物线的表达式；⑵ 关于x 轴对称的抛物线的表达式； ⑶ 关于原点对称的抛物线的表达式．【例18】 设曲线C 为函数()20y ax bx c a =++≠的图象，C 关于y 轴对称的曲线为1C ，1C关于x 轴对称的曲线为2C ，则曲线2C 的函数解析式为________________．【例19】 对于任意两个二次函数：()2211112222120y a x b x c y a x b x c a a =++=++≠，，当12a a =时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有ABM ∆，()()1010A B -，，，，记过三点的二次函数抛物线为“C”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．⑴ 若已知()01M ，，ABM ABN ∆∆≌（图1），请通过计算判断ABM C 与ABN C 是否为全等抛物线；⑵ 在图2中，以A B M 、、三点为顶点，画出平行四边形．① 若已知()0M n ，，求抛物线ABM C 的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线解析式．② 若已知()M m n ，，当m n 、满足什么条件时，存在抛物线ABM C ？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“C”；若不存在，请说明理由．【例20】 已知：抛物线2:(2)5f y x =--+． 试写出把抛物线f 向左平行移动2个单位后，所得的新抛物线1f 的解析式；以及f 关于x 轴对称的曲线2f 的解析式．画出1f 和2f 的略图， 并求：⑴ x 的值什么范围，抛物线1f 和2f 都是下降的；⑵ x 的值在什么范围，曲线1f 和2f 围成一个封闭图形；⑶ 求在1f 和2f 围成封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度的最大值．。
二次函数图像平移习题
二次函数图像平移习题 Revised by Petrel at 2021二次函数图像平移习题1．要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须[]A ．向上平移1个单位；B ．向下平移1个单位；C ．向左平移1个单位；D ．向右平移1个单位．2将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图像，则a 的值为（）A.1B.2C.3D.43.抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为223y x x =-+，则b 、c 的值为（）A.b=2，c=3B.b=2，c=0C.b=-2.，c=-1D.b=-3，c=24.已知二次函数21(11)y x bx b =-+-≤≤，当b 从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（）A.先往左上方移动，再往右下方移动B.先往左下方移动，再往左上方移动B.先往右上方移动，再往右下方移动D.先往右下方移动，再往右上方移动5.把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是()A.()522+--=x yB.()522++-=x yC.()522---=x yD.()522-+-=x y 6．对于抛物线22(2)34(2)1y x y x =-+=-+与，下列叙述错误的是（）A.开口方向相同B.对称轴相同C.顶点坐标相同D.图象都在x 轴上方7.已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为。
8．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）（A ）1k >-（B ）1k >-（C ）0k ≠（D ）10k k >-≠且9.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB求m 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且△MNC 的面积等于27，试求m 的值.解:(1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0).则x 1，x 2是方程x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1＋x 2＝m,x 1·x 2=m －2＜0即m ＜2;又AB ＝∣x 1—x 2∴m 2－4m ＋3=0.解得：m=1或m=3(舍去),∴m 的值为1. （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b).∵M 、N 是抛物线上的两点, ∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①② ①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0.∴a 2＝－m ＋2.∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.∴2a m =-.这时M 、N 到y 2m -又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △MNC =27,∴2×12×（2－m 2m -∴解得m=－7.10.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2．∵抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）， ∴0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴t ＝3a ．∴a ax ax y 342＋＋＝．∴D （0，3a ）．∴梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∵C （－4，3a ）．∴AB ＝2，CD ＝4．∵梯形ABCD 的面积为9，∴9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴93)42(21＝＋a ． ∴a ±1．∴所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝．（3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ， 且2500＝x y ．∴0025x y ＝－． ①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，∴340200＋＋＝x x y ． 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴点E 坐标为（21-，45）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵AE 长为定值，∴要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0），∴由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m∴直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴340200---x x y ＝． 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－消去0y ，得03x 23x 020＝＋+． ∴△＜0.∴此方程无实数根．综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小． 解法二：（1）∵抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴t ＝3a ．∴a ax ax y 342＋＋＝． 令y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得11＝－x ，32＝－x ． ∴抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）．∵梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上， ∴C （－4，3a ）．∴AB ＝2，CD ＝4．∵梯形ABCD 的面积为9，∴9)(21＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3． ∴33＝a ．∴a ±1．∴所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．∴如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQ PF BQBF ＝．∴45251PF ＝．∴21＝PF ．∴点P 坐标为（－2，21）．。
二次函数图象的平移和对称变换
2二次函数图象的平移、旋转、轴对称专题有关图象的变换一般可采用两种基本的方法，其一是利用特殊点进行变换，其二是利用坐标变换的规律进行变换。
所谓利用特殊点进行变换，即选取原图象上一些特殊的点，把这些点按指定的要求进行变换，再把变换后的点代入到新的解析式中，从而求出变换后的解析式，利用特殊点进行变换，又可以从一般形式入手，选取图象上的三个特殊的点进行变换，也可以把一般形式化为顶点式，选取顶点作为特殊点，然后进行变换。
利用坐标变换的方法，根据题目的要求，利用坐标变换的规律，从而进行变换。
下面由具体的例子进行说明。
一 、 平 移 。
例1、 把抛物线 y=x -4x+6 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位后，求其图象的解析式。
法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0， 6），（ 1， 3），（ 2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求向左平移3 个单位，再向下平移4 个单位后得到三个新点（ -3 ， 2），（ -2 ， -1 ），（-1 ，-2 ），把这三个新点代入到新的函数关 系式的一般形式 y=ax 2+bx+c 中，求出各项系数即可。
例 2、已知抛物线 y=2x 位，求其解析式。
法（二）2-8x+5, 求其向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单先利用配方法把二次函数化成y a( x h)2 k 的形式，确定其顶点（ 2，-3 ），然后把顶点（ 2， -3 ）向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单位后得到新抛物线的顶点为（ 5， 1），因为是抛物线的平移，因此平移前后 a 的值应该相等，这样我们就得到新的抛物线的解析式中 a=2，且顶点为（ 5， 1），就可以求出其解析式了。
22222【平移规律：在原有函数的基础上“左加右减、上加下减”】 .法（三）根据平移规律进行平移，不论哪种抛物线的形式，平移规律为 “左右平移即把解析式中自变量 x 改为 x 加上或减去一个常数，左加右减，上下平移即把整个解析式加上或减去一个常数，上加下减。
【经典必考】二次函数图像平移30题含详细答案
○………○………二次函数图像平移30题含详细答案 一、单选题 1．将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）. A ．22(2)3y x =++； B ．22(2)3y x =-+； C ．22(2)3y x =--； D ．22(2)3y x =+-. 2．抛物线y=（x ﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是（ ） A ．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 B ．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 C ．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 D ．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 3．若抛物线2y x ax b =++与x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线1x =，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A ．()3,6-- B ．()3,0- C ．()3,5-- D ．()3,1-- 4．将抛物线y=x 2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ） A ．y=（x +2）2﹣5 B ．y=（x +2）2+5 C ．y=（x ﹣2）2﹣5 D ．y=（x ﹣2）2+5 5．将抛物线y=﹣5x 2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A ．y=﹣5（x+1）2﹣1 B ．y=﹣5（x ﹣1）2﹣1 C ．y=﹣5（x+1）2+3 D ．y=﹣5（x ﹣1）2+3 6．如图，抛物线2145y x 7x 22=-+与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作1C ，将1C 向左平移得到2C ，2C 与x 轴交于点B 、D ，若直线1y x m 2=+与1C 、2C 共有3个不同的交点，则m 的取值范围是( )……○…………订※※装※※订※※线※※内※……○…………订A ．455m 82-<<- B ．291m 82-<<- C ．295m 82-<<- D ．451m 82-<<- 7．将抛物线23y x =-平移，得到抛物线23(1)2y x =---，下列平移方式中，正确的是（ ） A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位8．如图，将函数y ＝12（x ﹣2）2+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点A '、B '．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）A ．y ＝12（x ﹣2）2-2 B ．y ＝12（x ﹣2）2+7C ．y ＝12（x ﹣2）2-5 D ．y ＝12（x ﹣2）2+49．在平面直角坐标系中，抛物线(5)(3)y x x =+-经过变换后得到抛物线(3)(5)y x x =+-，则这个变换可以是（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移8个单位D ．向右平移8个单位10．抛物线267y x x =++可由抛物线2y x 如何平移得到的（ ）A ．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位B ．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位C ．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位D ．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位11．将抛物线y=x 2﹣4x ﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函A ．y=（x+1）2﹣13B ．y=（x ﹣5）2﹣3C ．y=（x ﹣5）2﹣13D ．y=（x+1）2﹣3 12．若要得到函数y ＝(x+1)2+2的图象，只需将函数y ＝x 2的图象( ) A ．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B ．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C ．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 D ．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 13．将抛物线y=12x 2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ） A ．y=12（x ﹣8）2+5 B ．y=12（x ﹣4）2+5 C ．y=12（x ﹣8）2+3 D ．y=12（x ﹣4）2+3 14．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x 2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）A ．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D ．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 15．把抛物线y=﹣2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A ．y=﹣2（x+1）2+2 B ．y=﹣2（x+1）2﹣2 C ．y=﹣2（x ﹣1）2+2 D ．y=﹣2（x ﹣1）2﹣2 16．将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式为（ ） A ．2(1)4y x =-+ B ．2(4)4y x =-+ C ．2(2)6y x =++ D ．2(4)6y x =-+ 17．将抛物线2y x 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A ．2(2)3y x =+- B ．2(2)3y x =++C ．2(2)3y x =-+D ．2(2)3y x =-- 18．如果将抛物线2y x 2=+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是 A ．()2y x 12=-+ B ．()2y x 12=++ C ．2y x 1=+ D ．2y x 3=+ 19．将抛物线265y x x =-+向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ） A ．2(4)6y x =-- B ．2(1)3y x =-- C ．2(2)2y x =-- D ．2(4)2y x =--20．抛物线y ＝3x 2向右平移一个单位得到的抛物线是（ ）A ．y ＝3x 2+1B ．y ＝3x 2﹣1C ．y ＝3（x+1）2D ．y ＝3（x ﹣1）2 21．把函数212y x =-的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数()21112y x =--+的图象（ ）A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位22．把抛物线y=﹣2x 2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）A ．y=﹣2（x ﹣1）2+6B ．y=﹣2（x ﹣1）2﹣6C ．y=﹣2（x+1）2+6D ．y=﹣2（x+1）2﹣623．把抛物线y ＝﹣2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．y ＝﹣2（x +1）2+1 B ．y ＝﹣2（x ﹣1）2+1C ．y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣1D ．y ＝﹣2（x +1）2﹣124．将抛物线y=x 2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（ ）A ．（0，3）或（﹣2，3）B ．（﹣3，0）或（1，0）C ．（3，3）或（﹣1，3）D ．（﹣3，3）或（1，3）二、解答题 25．已知二次函数的图象以A （﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5） （1）求该函数的关系式； （2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标； （3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积． 26．已知二次函数2223y x mx m =-++（m 是常数） （1）求证：不论m 为何值，该函数的图像与x 轴没有公共点； （2）把该函数的图像沿x 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x 轴只有一个公共点？ 27．把二次函数y=a(x-h)2+k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=12(x+1)2-1的图象. （1）试确定a ，h ，k 的值； （2）指出二次函数y=a(x-h)2+k 的开口方向，对称轴和顶点坐标. 三、填空题 28．抛物线y =x 2-2x +3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为____________． 29．将抛物线2213y x =-向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为________________． 30．把抛物线y=x 2﹣2x+3沿x 轴向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为 ．参考答案1．B【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.【详解】解：将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为()2223y x =-+，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.2．D【解析】分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．详解：抛物线y=x 2顶点为（0，0），抛物线y=（x ﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x 2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x ﹣2）2﹣1的图象．故选D ．点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．3．B【解析】分析：根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．详解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析式为y=x （x-2）=x 2-2x=（x-1）2-1．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4．当x=-3时，y=（x+1）2-4=0，∴得到的新抛物线过点（-3，0）．故选B ．点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．4．A【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5）， 所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x +2）2﹣5．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键． 5．A【解析】分析：直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．详解：将抛物线y=-5x 2+1向左平移1个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1．故选A ．点睛：此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 6．C【分析】先求出点A 和点B 的坐标，然后再求出2C 的解析式，分别求出直线1y x m 2=+与抛物线2C 相切时m 的值以及直线1y x m 2=+过点B 时m 的值，结合图形即可得到答案. 【详解】抛物线2145y x 7x 22=-+与x 轴交于点A 、B ， ∴2145x 7x 22-+=0， ∴x 1=5，x 2=9，()B 5,0∴，()A 9,0∴抛物线向左平移4个单位长度后的解析式21y (x 3)22=--， 当直线1y x m 2=+过B 点，有2个交点， 50m 2∴=+， 5m 2=-， 当直线1y x m 2=+与抛物线2C 相切时，有2个交点， 211x m (x 3)222∴+=--， 2x 7x 52m 0-+-=，相切，49208m 0∴=-+=，29m 8∴=-， 如图，若直线1y x m 2=+与1C 、2C 共有3个不同的交点， ∴--295m 82<<-， 故选C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思想是解答本题的关键.7．D【解析】将抛物线y =-3x 2平移，先向右平移1个单位得到抛物线y =-3（x -1）2, 再向下平移2个单位得到抛物线y =-3（x -1）2-2.故选D.8．D【详解】∵函数()21212y x =-+的图象过点A （1，m ），B （4，n ）， ∴m =()211212-+=32，n =()214212-+=3， ∴A （1，32），B （4，3）， 过A 作AC ∥x 轴，交B ′B 的延长线于点C ，则C （4，32）， ∴AC =4﹣1=3，∵曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC •AA ′=3AA ′=9，∴AA ′=3，即将函数()21212y x =-+的图象沿y 轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是()21242y x =-+． 故选D ．9．B【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）．所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5）， 故选B ．【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 10．A【分析】先将抛物线267y x x =++化为顶点式，然后按照“左加右减，上加下减”的规律进行求解即可．【详解】因为()226732y x x x =++=+-，所以将抛物线2y x 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线267y x x =++，故选A ．【点睛】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键.11．D【详解】因为y=x 2-4x-4=（x-2）2-8，以抛物线y=x 2-4x-4的顶点坐标为（2，-8），把点（2，-8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（-1，-3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（x+1）2-3．故选D ．12．B【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a 值不变即可找出结论．【详解】解：∵抛物线y=（x+1）2+2的顶点坐标为（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0）， ∴将抛物线y=x 2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=（x+1）2+2．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．13．D【解析】【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．【详解】 y=12x 2﹣6x+21 =12（x 2﹣12x ）+21 =12[（x ﹣6）2﹣36]+21 =12（x ﹣6）2+3， 故y=12（x ﹣6）2+3，向左平移2个单位后， 得到新抛物线的解析式为：y=12（x ﹣4）2+3． 故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记函数图象平移的规律并正确配方将原式变形是解题关键．14．B【解析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可：∵23222y x y (x 2)y (x 2)3→+→+-向左平移个单位向下平移个单位＝＝＝y ＝x 2，∴平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选B ．15．C【详解】解：把抛物线y=﹣2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y=﹣2（x ﹣1）2+2，故选C ．16．B【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】将223y x x =-+化为顶点式，得2(1)2y x =-+．将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为2(4)4y x =-+，故选B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．17．A【分析】先确定抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3． 故选A ．18．C【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【详解】∵抛物线y=x 2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x 2+2-1，即y=x 2+1．故选C ．19．D【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】解：()226534y x x x =-+=--，即抛物线的顶点坐标为()3,4-， 把点()3,4-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为()4,2-， 所以平移后得到的抛物线解析式为()242y x =--．故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．20．D【解析】【分析】先确定抛物线y ＝3x 2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的坐标变换规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【详解】y ＝3x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）右平移一个单位所得对应点的坐标为（1，0），所以平移后的抛物线解析式为y ＝3（x ﹣1）2．故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．21．C【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．【详解】 抛物线212y x =-的顶点坐标是00（，），抛物线线()21112y x =--+的顶点坐标是11（，）， 所以将顶点00（，）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点11（，）， 即将函数212y x =-的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数()21112y x =--+的图象． 故选：C ．【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．22．C【解析】∵抛物线y =﹣2（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是（﹣1，6）∴所得抛物线解析式是y =﹣2（x +1）2+6．故选C点睛：本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k ，确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．23．B【解析】【详解】∵函数y=-2x 2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y=-2x 2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+1，故选B．【点睛】二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．24．D【解析】【分析】先将抛物线y=x2+2x+3化为顶点式,找出顶点坐标,利用平移的特点即可求出新的抛物线,可求得与直线y=3的交点坐标.【详解】解:抛物线y= x2+2x+3=（x+1）2+2,顶点坐标(-1,2),再向下平移3个单位得到的点是(-1,-1).可得新函数的解析式为y=（x+1）2−1，当y=3时候，即:（x+1）2−1=3，得：（x+1）2=4，解得：x=1或x=-3，∴抛物线与直线y=3的交点坐标为（1，3）或（-3，3），故选D.【点睛】本题主要考查抛物线平移的规律与性质, 关键是得到所求抛物线顶点坐标,利用平移的规律解答.25．（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与y轴的交点为：（0，3）；与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】解：（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.26．（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）求出根的判别式，即可得出答案.（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．【详解】（1）∵()()222224134412120m m m m ∆=--⨯⨯+=--=-＜， ∴方程22230x mx m -++=没有实数解.∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点.（2）∵()222233y x mx m x m =-++=-+，∴把函数2223y x mx m =-++的图象延y 轴向下平移3个单位长度后，得到函数()23y x m =-+的图象，它的顶点坐标是（m ，0）.∴这个函数的图象与x 轴只有一个公共点.∴把函数2223y x mx m =-++的图象延y 轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点．【点睛】本题考查了1.抛物线与x 轴的交点问题；2.一元二次方程根的判别式；3.二次函数图象与平移变换．27．（1）1,1,52a h k ===- （2）开口向下，对称轴是x=1的直线，顶点（1，-5） 【解析】试题分析：（1）二次函数的平移，可以看作是将二次函数y=12(x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k ，然后再按二次函数图象的平移法则，确定函数解析式，即可得到结论；（2），直接根据函数解析式，结合二次函数的性质，进行回答即可.试题分析：（1）∵二次函数y=a(x-h)2+k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=12(x+1)2-1， ∴可以看作是将二次函数y=12 (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k ，而将二次函数y=12 (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数为：y=12(x-1)2-5，∴a=12，b=1，k=-5； （2）二次函数y=12 (x-1)2-5， 开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-5）.28．y=x 2-8x+20．【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【详解】2y 23x x =-+=()21x - +2,其顶点坐标为(1,2).向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为(4,4),得到的抛物线的解析式是y=()24x -+42820x x =-+.故答案为2y 820x x =-+.【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换.29．22(3)23y x =-+ 【解析】【分析】先确定抛物线y 2213x =-的顶点坐标为（0，-1），再把点（0，-1）先向右平移3个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（3，2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．【详解】解：抛物线y=2213x -的顶点坐标为（0，-1），把点（0，-1）先向右平移3个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（3，2），所以所得的抛物线的解析式为y=()22323x -+. 故答案为y=()22323x -+． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．30．y=（x﹣3）2+2【解析】【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【详解】解：y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，其顶点坐标为（1，2）．向右平移2个单位长度后的顶点坐标为（3，2），得到的抛物线的解析式是y=（x﹣3）2+2，故答案为：y=（x﹣3）2+2.【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．。
专题33 二次函数与平移问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(解析版)
专题33 二次函数与平移问题1．（2021·湖北武汉九年级阶段练习）如图1，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +b （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，OB ＝OC ＝3OA ． （1）求抛物线解析式；（2）如图2，点E 的坐标为（0，7），若过点E 作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H ，直线y ＝kx ﹣2k ﹣5（k ≠0）与抛物线交于F 、G 两点，求当k 为何值时，△FGH 面积最小，并求出面积的最小值；（3）如图3，已知直线l ：y ＝2x ﹣1，将抛物线沿直线l 方向平移，平移过程中抛物线与直线l 相交于E 、F 两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m ，在x 轴上存在唯一的一点P ，使∠EPF ＝90°，求m 的值．【答案】（1）y ＝-x 2+2x +3；（2）k =-2，面积最小为（3）m 【分析】（1）令x =0，解得y =b ，求出OB ＝OC ＝b ，OA =13b ，得到A （-13b ，0），C （0，b ），B （b ，0），把A （-13b ，0），B （b ，0）代入y ＝ax 2﹣2ax +b 即可求解；（2）设直线EH 的解析式为y =nx +7，联立2723y nx y x x =+⎧⎨=-++⎩，得()2240x n x +-+=，根据直线EH 与函数只有一个交点，求出H （2，3），再得到直线GH 过定点M （2，-5），利用S △FGH =S △FMH +S △GMH =()1212MH x x ⨯-=4()12x x -，求出()12x x -的最小值即可求解；（3）当以EF 为直径的R 与x 轴相切时，x 轴上存在点P 即切点，使∠EPF =90°，设点E ，F的坐标分别为F （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），求出平移后的抛物线的解析式为y ＝-（x -m ）2+2m +2，联立()22221y x m m y x ⎧=--++⎪⎨=-⎪⎩得到()2222230x m x m m -++--=，求出x 1+x 2=2m +2，x 1x 2=223m m --，y 1+y 2=4m -6，表示出点R （m -1，2m -3），求出()12x x -2，利用PR =12EF ，得到EF 2=4PR 2，列出关于m 的方程即可求解． 【详解】（1）∵y ＝ax 2﹣2ax +b （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴的正半轴交于点C ， 令x =0，解得y =b ∴CO =b∴OB ＝OC ＝b ，OA =13b∴A （-13b ，0），C （0，b ），B （b ，0）把A （-13b ，0），B （b ，0）代入y ＝ax 2﹣2ax +b得22209302ab ab b ab ab b⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线解析式为y ＝-x 2+2x +3； （2）∵点E 的坐标为（0，7）， 可设直线EH 的解析式为y =nx +7联立2723y nx y x x =+⎧⎨=-++⎩，得()2240x n x +-+= ∵直线EH 与函数只有一个交点，且在对称轴右侧 ∴△=()224140n --⨯⨯= 解得n 1=-2，n 2=6（舍去） ∴直线EH 的解析式为y =-2x +7 解方程2440x x -+=得x 1=x 2=2 ∴H （2，3）∵直线GH 解析式y ＝kx ﹣2k ﹣5=k （x -2）-5 ∴直线GH 过定点M （2，-5） 如图，连接HM ∵H （2，3） ∴HM ⊥x 轴，MH =8 设F （x 2，y 2）、G （x 1，y 1）联立()22523y k x y x x ⎧=--⎨=-++⎩，得到()22280x k x k +---= ∴x 1+x 2=2-k ，x 1x 2=-2k -8∵S △FGH =S △FMH +S △GMH =()1212MH x x ⨯-=4()12x x -故当()12x x -最小时，S △FGH 最小∵()12x x -2=()()()()222121242428232x x x x k k k +-=----=++故当k =-2时，()12x x -2的最小值为32故()12x x -=∴此时S △FGH 最小为4()12x x -=（3）当以EF 为直径的R 与x 轴相切时，x 轴上存在点P 即切点，使∠EPF =90° 如图，R 与x 轴相切时，切点为点P ， ∵y ＝-x 2+2x +3=-（x -1）2+4设点E ，F 的坐标分别为F （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），当平移后的抛物线的顶点的横坐标为m 时，则抛物线向右平移了m -1个单位，故相应地纵坐标向上平移了2（m -1）=个单位，则平移后的抛物线的解析式为y ＝-（x -m ）2+4+2（m -1）=-（x -m ）2+2m +2联立()22221y x m m y x ⎧=--++⎪⎨=-⎪⎩得到()2222230x m x m m -++--=∴x 1+x 2=2m +2，x 1x 2=223m m --∴y 1+y 2=2（x 1+x 2）-2=4m -6，则点R （m -1，2m -3），()12x x -2=()212124xx x x +-=（2m +2）2-4（223m m --）=16，PR =12EF 则EF 2=4PR 2∵EF 2=()12x x -2+()12y y -2=5()12x x -2=5×16=4PR 2 ∵PR =2m -3∴5×16=4×（2m -3）2解得m∴当m m【点睛】此题主要考查二次函数综合运用，解题的关键是熟知圆的切线的性质、勾股定理、二次函数的图像与性质、一元二次方程相关性质．2．（2021·四川资阳·中考真题）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D 处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN ．当N CN '+的值最小时，求MN 的长． 【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）(1,4)P 或(2,3)P ；（3）34．【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点P 的坐标为2(,23)P a a a -++，先利用待定系数法求出直线AC 的解析式，再根据:1:2PE BE =可得点E 的坐标，代入直线AC 的解析式求解即可得；（3）先根据2DD CD '=求出点D 的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点M 的坐标，从而可得点N的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得N CN '+，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得． 【详解】解：（1）由题意，将点()()1,0,0,3B C -代入2y x bx c =-++得：103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，则抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++； （2）对于二次函数2y x 2x 3=-++，当0y =时，2230x x -++=，解得1x =-或3x =， (3,0)A ∴，设点P 的坐标为2(,23)(03)P a a a a -++<<，点E 的坐标为11(,)E x y ， :1:2,(1,0)PE BE B =-，1121111223102a x x a a y y -⎧=⎪+⎪∴⎨-++-⎪=⎪-⎩，解得121213324233x a y a a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，22124(,2)3333E a a a ∴--++，设直线AC 的解析式为y kx t =+，将点(3,0),(0,3)A C 代入得：303k t t +=⎧⎨=⎩，解得13k t =-⎧⎨=⎩，则直线AC 的解析式为3y x =-+，将点22124(,2)3333E a a a --++代入得：22124323333a a a -++=-++，解得1a =或2a =，当1a =时，2231234a a -++=-++=，此时(1,4)P ， 当2a =时，22342233a a -++=-+⨯+=，此时(2,3)P ， 综上，点P 的坐标为(1,4)P 或(2,3)P ；（3）二次函数2223(1)4y x x x =-++=--+的顶点D 坐标为(1,4)D ， 设点D 的坐标为22(,)D x y '， 2,(0,3),(1,4)DD C D D C '=，2212104243x y -⎧=⎪⎪-∴⎨-⎪=⎪-⎩，解得2236x y =⎧⎨=⎩，(3,6)D '∴，则平移后的二次函数的解析式为22(3)663y x x x =--+=-+-， 设直线OD '的解析式为0y k x =，将点(3,6)D '代入得：036k =，解得02k =， 则直线OD '的解析式为2y x =，设点M 的坐标为2(,63)(3)M m m m m -+-<，则点N 的坐标为(,2)N m m ，如图，连接AD '，过点N 作NF AD '⊥于点F ，过点C 作CG AD '⊥于点G ，交OD '于点N '，连接CF ，(3,0),(3,6)D A '，AD x '∴⊥轴，3FN m ∴=-，3N CN CN m CN FN CN '+==-+=+， 由两点之间线段最短得：FN CN +的最小值为CF ，由垂线段最短得：当点F 与点G 重合时，CF 取得最小值CG ，此时点N 与点N '重合， 则点N '的纵坐标与点C 的纵坐标相等， 即23m =，解得32m =， 则2263243MN m m m m m =-+--=-+-，233()4322=-+⨯-，34=． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键． 3．（2021—2022重庆实外九年级阶段练习）如图，已知抛物线212263y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，点P 是抛物线上位于直线BC 下方的一点．（1）如图1，连接,AP CP ，当点P 的横坐标为5时，求APCS；（2）如图2，连接AC ，过点P 作PG AC ∥交BC 于点G ，求PG 长度的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图3，将抛物线212263y x x =--沿射线CB 的方向平移，使得新抛物线'y 经过点4(2,)3-，并记新抛物线'y 的顶点为D ，若点M 为新抛物线'y 对称轴上的一动点，点N 为坐标平面内的任意一点，直接写出所有使得以A ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形的点N 的坐标，并把求其中一个点N 的坐标的过程写出来．【答案】（1）356；（2）PGP 点的坐标为（3，52-）；（3）当点N 的坐标为（10，0）或（-2，-10）或（-2，-2，-A ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形． 【分析】（1）设直线AP 与y 轴交点为E ，先求出P 点坐标，然后求出直线A 点坐标，即可求出直线AB 的解析式，从而得到E 点的坐标，再根据ACPACEECPSSS=+()()1122P C C A CE x x CE x x =⋅-+⋅-进行求解即可； （2）先求出直线BC 的解析式为123y x =-，过点P 作直线l ∥BC ，只有当直线l 与抛物线212263y x x =--相切（只有一个交点的时候）PG 有最大值，如图所示，此时P 、G 的位置分别为1P ，1G ；设此时直线l 的解析式为213y x b =+，联立221312263y x b y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩求得272b =-，从而求得点1P 的坐标为（3，52-），即点P 的坐标为（3，52-）；然后求出直线AC 的解析式为2y x =--，则可求出直线11PG 解析式为12y x =-+，然后求出1G 的坐标为（158，118-），再根据两点距离公式求出11PG 即可；（3）如图3-1所示，过点C 作直线CE ∥x 轴，过点B 作直线CE 的垂线，垂直为E ，求出BE 1CE 3=， 设抛物线212263y x x =--沿着射线CB 的方向平移使得C 点平移到G 点，过点G 作GH ⊥CE ，可证△CHG ∽△CEB ，得到1=3GH BE CH CE =，则可设抛物线()221218226363y x x x =--=--沿着射线CB 的方向向右平移t 个单位长度，向上平移13t 个单位长度得到抛物线()2182633t y x t '=---+，由此即可求出()21426y x '=--得到D 点坐标为（4，-2）；然后根据菱形的性质分别讨论：当DM ，AN 为以A ，D ，M ，N 为顶点的菱形的对角线时，当DM 和MA 为以A ，D ，M ，N 为顶点的菱形的边时，当AD 和MD 为以A ，D ，M ，N 为顶点的菱形的边时，利用属性结合的思想求解即可 【详解】解：（1）设直线AP 与y 轴交点为E ，∵点P 在抛物线212263y x x =--的函数图像上，且P 点横坐标为5， ∴P 点纵坐标为2127552636⨯-⨯-=-，∴P 点坐标为（5，76-），令0y =，则2122063x x --=，解得2x =-或6x =，∴A 点坐标为（-2，0），B 点坐标为（6，0）， 设直线AP 的解析式为y kx b =+，∴20756k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，∴1613k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线AP 的解析式为1163y x =--，∴E 点坐标为（0，13-），∵C 是抛物线212263y x x =--与y 轴的交点， ∴C 点坐标为（0，-2），∴()15233CE =---=，∴ACPACEECPSSS=+()()1122P C C A CE x x CE x x =⋅-+⋅- ()12P A CE x x =⋅- 15723=⨯⨯ 356=；（2）设直线BC 的解析式为11y k x b =+，∴111602k b b +=⎧⎨=-⎩，∴11132k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线BC 的解析式为123y x =-， 过点P 作直线l ∥BC ，只有当直线l 与抛物线212263y x x =--相切（只有一个交点的时候）PG 有最大值，如图所示，此时P 、G 的位置分别为1P ，1G ；设此时直线l 的解析式为213y x b =+，联立221312263y x b y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得221206x x b ---=，∴()22114206b ∆=+⨯+=，∴272b =-，∴2172062x x --+=即2690x x -+=，解得3x =，∴1P 点横坐标为3，∴1P 点纵坐标为1753322⎛⎫⨯+-=- ⎪⎝⎭， ∴ 点1P 的坐标为（3，52-），即点P 的坐标为（3，52-）； 设直线AC 的解析式为23y k x b =+，∴233202k b b -+=⎧⎨=-⎩， ∴2312k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 的解析式为2y x =--，∴可设直线11PG 解析式为4y x b =-+， ∴4532y b =-+=-， ∴412b =， ∴直线11PG 解析式为12y x =-+， 联立12123y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解得158118x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴1G 的坐标为（158，118-）；∴11PG == ∴PGP 点的坐标为（3，52-）；（3）如图3-1所示，过点C 作直线CE ∥x 轴，过点B 作直线CE 的垂线，垂直为E ， ∵C 点坐标为（-2，0），B 点坐标为（6，0），∴CE =OB =6，BE =OC =2， ∴BE 1CE 3=， 设抛物线212263y x x =--沿着射线CB 的方向平移使得C 点平移到G 点，过点G 作GH ⊥CE ， ∵GH ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴GH ∥BE ，∴△CHG ∽△CEB ， ∴1=3GH BE CH CE =， ∵将抛物线沿着射线CB 平移的时候，可以看作先向右平移，再向上平移， ∴可设抛物线()221218226363y x x x =--=--沿着射线CB 的方向向右平移t 个单位长度，向上平移13t 个单位长度得到抛物线()2182633t y x t '=---+， ∵抛物线()182633t y x t '=---+经过点（2，43-）， ∴()2418223633t t -=---+， 解得2t =，∴()21426y x '=--； ∴D 点坐标为（4，-2）；如图3-2所示，当DM ，AN 为以A ，D ，M ，N 为顶点的菱形的对角线时，设AN 与MD 交于点Q ，∴点Q 的坐标为（4，0）∴AN ⊥MD ，且AQ =NQ =6，∴此时N 点坐标为（10，0）；设M 的坐标为（4，m ），如图3-3所示，当DM 和MA 为以A ，D ，M ，N 为顶点的菱形的边时，∴AN ∥MD ，MA =MD ，∴点N 在直线2x =-上，∵()22MD m m =--=+，MA =∴()22236m m +=+，解得8m =，∴MD =10，∴AN =MD =10，∴N 点坐标为（-2，-10）；如图3-4所示，当AD和MD为以A，D，M，N为顶点的菱形的边时，x=-，同理可得N在直线2∴AN AD===∴N点的坐标为（-2，-2，-，使得以A，D，M，N为顶点的四边形是菱形．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，菱形的性质，两点距离公式，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够根据数形结合和分类讨论的思想进行求解．4．（2021·四川遂宁·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两x=-，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直线1交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．【答案】（1）()214y x =+-；m =2；（2）存在，()0,12P 或()0,14.5；（3） 【分析】（1）根据抛物线的对称性求出A （1，0），再利用待定系数法，即可求解；再把点A 坐标代入直线的解析式，即可求出m 的值；（2）先求出E （-5，12），过点E 作EP ⊥y 轴于点P ，从而得EDP ADO ∽，即可得到P 的坐标，过点E 作EP AE '⊥，交y 轴于点P '，可得P DE ADO '∽，再利用tan ∠ADO =tan ∠PE P '，即可求解；（3）作直线y =1，将点F 向左平移2个单位得到F '，作点E 关于y =1的对称点E '，连接E F ''与直线y =1交于点M ，过点F 作FN ∥E F ''，交直线y =1于点N ，在Rt EWF 中和 Rt E WF ''中分别求出EF ， E F ''，进而即可求解．【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x 轴交于A 和B （－3，0）两点，对称轴为直线1x =-， ∴A （1，0），设二次函数解析式为：y =a (x -1)(x +3)，把C （0，－3）代入得：-3=a (0-1)(0+3)，解得：a =1， ∴二次函数解析式为：y = (x -1)(x +3)，即：()214y x =+-，∵直线y ＝－2x ＋m 经过点A ，∴0=-2×1+m ，解得：m =2；（2）由（1）得：直线AF 的解析式为：y =-2x +2，又∵直线y =-2x +2与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ，∴当x =0时，y =2，即D （0，2），联立()22214y x y x =-+⎧⎪⎨=+-⎪⎩，解得：11512x y =-⎧⎨=⎩，2210x y =⎧⎨=⎩， ∵点E 在第二象限，∴E （-5，12），过点E 作EP ⊥y 轴于点P ，∵∠ADO =∠EDP ，∠DOA =∠DPE =90°，∴EDP ADO ∽，∴P （0，12）；过点E 作EP AE '⊥，交y 轴于点P '，可得P DE ADO '∽，∵∠ED P '+∠PED =∠PE P '+∠PED =90°，∴∠ADO =∠ED P '=∠PE P '，即：tan ∠ADO =tan ∠PE P '， ∴OA PP OD EP '=，即：125PP '=，解得： 2.5PP '=， ∴P '（0，14.5），综上所述：点P 的坐标为（0，12）或（0，14.5）；（3）∵点E 、F 均为定点，∴线段EF 长为定值，∵MN=2，∴当EM +FN 为最小值时，四边形MEFN 的周长最小，作直线y =1，将点F 向左平移2个单位得到F '，作点E 关于y =1的对称点E '，连接E F ''与直线y =1交于点M ，过点F 作FN ∥E F ''，交直线y =1于点N ，由作图可知：EM E M F M FN ''==，，又∵E M F ''，，三点共线，∴EM +FN =E M F M E F ''''+=，此时，EM +FN 的值最小，∵点F 为直线y =-2x +2与直线x =-1的交点，∴F （-1，4），∴F '（-3，4），又∵E （-5，12），∴E '（-5，-10），延长F F '交线段E E '于点W ，∵F F '与直线y =1平行，∴FW ⊥E E '，∵在Rt EWF 中，由勾股定理得：EF =，在Rt E WF ''中，由勾股定理得：E F ''∴四边形MEFN 的周长最小值=ME +FN +EF +MN =2E F EF MN ''++=．【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，利用轴对称图形的性质，构造线段和的最小值，是解题的关键．5．（2022·辽宁皇姑·九年级期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点D 是第四象限抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x ，轴于点E ，交线段BC 于点F ，连接AD 、AF 、BD ．（1）求抛物线的表达式；（2）设点D 的横坐标为m ，求四边形ADBF 面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将四边形ADBF 沿直线DE 向上平移得到四边形A 1D 1B 1F 1（A 、D 、B 、F 的对应点分别为A 1、D 1、B 1、F 1），直线A 1D 1与直线AF 交于点H ．点P 在B 点左侧的抛物线上，点Q 在直线B 1F 1上，当以点P 、Q 、B 、B 1为顶点的四边形是平行四边形，且D 1H 12=A 1H 时，请直接写出点P 的横坐标．【答案】（1）y ＝x 2-4x ＋3（2）94（3）0【分析】（1）把A （1，0）、B （3，0）代入y ＝x 2＋bx ＋c 即可求解；（2）先求出直线BC 的解析式，设点D 的横坐标为m ，表示出四边形ADBF 面积与m 的关系式，故可求解；（3）根据D 1H 12=A 1H ，利用相似三角形的性质，求出平移的距离，再根据平行四边形的性质得到PQ =32，故可求出P 点的横坐标． 【详解】解：（1）把A （1，0）、B （3，0）代入y ＝x 2＋bx ＋c 得10930b c b c ++=⎧⎨++=⎩解得43b c =-⎧⎨=⎩∴y ＝x 2-4x ＋3；（2）令x =0，得y ＝3∴C （0，3）设直线BC 的解析式为y =kx +b把B （3，0）、C （0，3）代入得303k b b +=⎧⎨=⎩解得13k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为y =-x +3 ∵点D 的横坐标为m ，∴D （m ，m 2-4m ＋3）、F （m ，-m ＋3） ∴FD =（-m ＋3）-（m 2-4m ＋3）=- m 2+3m ∵A （1，0）、B （3，0） ∴AB =2∵四边形ADBF 面积为12AB DF ⨯=122DF ⨯⨯=- m 2+3m =-（m -32）2+94∴当m =32时，四边形ADBF 面积的最大值为94；（3）如图，由（2）可得D （32，34-）、F （32，32）将四边形ADBF 沿直线DE 向上平移得到四边形A 1D 1B 1F 1，设沿直线DE 向上平移h 个单位 故A 1（1，h ）、B 1（3，h ）、D 1（32，34-+h ）、F 1（32，32+h ）∵直线A 1D 1与直线AF 交于点H ，D 1H 12=A 1H ，AA 1∥DF ∴△AA 1H ∽△FD 1H ∴1111D H D F A H A A ==12 ∴1112D F A A = ∵1D F =32-（34-+h ）=94-h ，A 1A =h∴9142hh -= 解得h =32∴A 1（1，32）、B 1（3，32）、D 1（32，34）、F 1（32，3）设直线B 1F 1的解析式为y =px +q把B 1（3，32）、F 1（32，3）代入得332332p q p q ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得192p q =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线B 1F 1的解析式为y =-x +92设P 点的坐标为（x ，x 2-4x ＋3），∵点P 、Q 、B 、B 1为顶点的四边形是平行四边形 ∴PQ ∥BB 1，PQ =BB 1=32， ∴Q 点坐标为（x ，-x +92） ∵PQ =32， 故()2934322x x x ⎛⎫---+= ⎪⎝⎭＋解得x 1=0，x 2=3，x 3x 4 ∵点P 在B 点左侧的抛物线上，∴x 1=0，x 3故点P 的横坐标为0或32．【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的最值求解、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质．6．（2021—2022重庆南开中学九年级阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A （0），点B （0），与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式以及点C 的坐标；（2）点P 为直线BC 上方抛物线上的一点，过P 作PD //y 轴，交BC 于点D ，作PE //AB 交BC 于E ，EF 平分∠PED 并交PD 于F ，求△PFE 周长的最大值以及此时点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，当△PFE 周长取得最大值时，过点D 作DM ⊥y 轴于点M ，△PDE 沿射线EF 平移后得到△P 'D 'E '，当以点M ，D '，E '为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出此时点E '的坐标．【答案】（1）26y x =-+，C （0，6）；（2）PEFC 最大为3P 6）；（3）'E 112）． 【分析】（1）将点A （0），点B （0）代入2y x bx c =-++，解得b c =6，所以抛物线解析式为26y x =-+，C 点坐标为（0，6）．（2）将B （0）,C （0，6）代入y kx b =+，解得:6BC l y =+，设P 点坐标为（a ，26a -+），0a ≤≤E 点过直线BC ，则E 点坐标为2a -，26a -+），所以PE 长度为22a ，因为BC k =，所以∠OBC =60°，又因为PE //x 轴，所以∠PEB =60°，又因为EF 平分∠PED 所以∠PEF =∠EFD =30°，则PF 213a -，EF 223a -，PEF C PE EF PF =++△=22a 213a -223a -，化简得PEFC=2(2a a -++，0a ≤≤当PEFC 最大为3时，a P 点坐标为6）．（3）若''MD E △为等腰三角形，即'''MD D E ='''ME D E =''ME MD =这三种情况其中''D E =EF 解析式6y =+，为过'D 作EF 平行线，且解析时为4y x =+，设'E （m ，6+），'D （n ，4+），M 点坐标为（0，3），①令'''MD D E =有241103n -=，解得n 'D ，），因为''D E ='E ；②令'''ME D E =有24303m --=，解得m ，依题意得'E ；③''ME MD =有224()240n m -+--=，因为''D E k =且''D E =n m =m 'E 112）．【详解】（1）将将点A （0），点B （0）代入2y x bx c =-++有3020c c ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩得6b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴抛物线解析式为26y x =-+ ∴C 点坐标为（0，6）（2）将B （0）,C （0，6）代入y kx b =+有06b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得6k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴:6BC l y =+设P 点坐标为（a ，26a -+），0a ≤≤PE //x 轴，故P 点和E 点纵坐标相等， E 点在直线BC 有，266a -+=+得x 2a -则E 2a -，26a -+）∴ 2)PE a a =--=22a∵BC k =∴∠OBC =60° 又∵PE //x 轴 ∴∠PEB =60又∵EF 平分∠PED 、 ∴∠PEF =∠EFD =30°∴PF 213a -，EF =2PF 223a -∴PEF C PE EF PF =++△=22a 213a -223a -整理得PEFC =2(2a a -++，0a ≤≤当PEFC最大为3a∴此时P 6）．（3）若''MD E △为等腰三角形，即'''MD D E ='''ME D E =''ME MD =这三种情况其中''D E =EF 解析式6y =+，为过'D 作EF 平行线，且解析时为4y x =+，设'E （m ，6+），'D （n ，4+），M 点坐标为（0，3）. ①令'''MD D E =有241103n -=解得n依题意得'D ）∵''D E =''D E k =∴ 'E ）②令'''ME D E =有24303m --=，解得m ，依题意得'E ，214）；③''ME MD =有224()240n m -+--=因为''D E k =''D E =有n m =代入得m∴'E 112）．综上所述'E 点坐标为或或112）．【点睛】本题考查了二次函数图象及性质，按照题意设未知数并列出对应的方程式是解题的关键． 7．（2021·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24(0)y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()1,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接P A ，PD ，求PAD △面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线24(0)y ax bx a =+-≠沿射线AD 平移的抛物线1y ，点E 为点P 的对应点，点F 为1y 的对称轴上任意一点，在1y 上确定一点G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【答案】（1）y =x 2-3x -4；（2）8；（3）55(,)24G -或1525(,)24G -或25(,)247G -，过程见解析【分析】（1）将()1,0A -，()4,0B 的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可；（2）先得出抛物线的对称轴，作PE ∥y 轴交直线AD 于E ，设P （m ，m 2-3m -4），用m 表示出△APD 的面积即可求出最大面积；（3）通过平移距离为4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E 的坐标，分DE 为对角线、EG 为对角线、EF 为对角线三种情况进行讨论即可． 【详解】解：（1）将A （-1，0），B （4，0）代入y =ax 2+bx -4得4016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：13a b =⎧⎨=-⎩， ∴该抛物线的解析式为y =x 2-3x -4，（2）把x =0代入y =x 2-3x -4中得：y =-4， ∴C （0，-4），抛物线y =x 2-3x -4的对称轴l 为3x=2∵点D 与点C 关于直线l 对称， ∴D （3，-4）， ∵A （-1，0），设直线AD 的解析式为y =kx +b ；∴3k+-4-k 0b b =⎧⎨+=⎩，解得：k 11b =-⎧⎨=-⎩，∴直线AD 的函数关系式为：y =-x -1， 设P （m ，m 2-3m -4）， 作PE ∥y 轴交直线AD 于E ， ∴E （m ，-m -1），∴PE =-m -1-（m 2-3m -4）=-m 2+2m +3，∴221|x x |2(23)2462APD D A PE m m S m m ∆=⨯⨯-=-++=-++，∴()22246=21+8APD m m S m ∆=-++--， ∴当m =1时，PAD △的面积最大，最大值为：8（3）∵直线AD 的函数关系式为：y =-x -1， ∴直线AD 与x 轴正方向夹角为45°，∴抛物线沿射线AD 方向平移平移相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位，∵()1,0A -，()4,0B ，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4），设平移后的抛物线的解析式为21+y x dx e =+则9+3+-4648+-4d e d e =⎧⎨+=⎩，解得：1120d e =-⎧⎨=⎩，∴平移后y 1=x 2-11x +20， ∴抛物线y 1的对称轴为：112x =， ∵P （1，-6）， ∴E （5，-10），∵以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况： 设G （n ，n 2-11n +20），F （112，y ）， ①当DE 为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴11n =23++522，∴n=52∴55(,)24G -②当EF 为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴115=23++n22，∴n=152∴1525(,)24G -③当EG 为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴113=25++n 22，∴n=72∴25(,)247G -∴55(,)24G -或1525(,)24G -或25(,)247G -【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式和最值问题，求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想．8．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，已知抛物线2:L y x bx c =++经过点(0,5),(5,0)A B -．（1）求,b c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ．①求点M 的坐标；②将抛物线L 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线1L ．过点M 作//MN y 轴，交抛物线1L 于点N ．P 是抛物线1L 上一点，横坐标为1-，过点P 作//PE x 轴，交抛物线L 于点E ，点E 在抛物线L 对称轴的右侧．若10PE MN +=，求m 的值．【答案】（1）4,5--；（2）①(2,3)-；②1． 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；（2）①求出直线AB 的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；②根据抛物线的平移方式求出抛物线1L 的表达式，再分三种情况进行求解即可．【详解】解：（1）把点(0,5),(5,0)A B -的坐标分别代入2y x bx c =++， 得5,2550.c b c =-⎧⎨++=⎩．解得4,5.b c =-⎧⎨=-⎩ ,b c ∴的值分别为4,5--．（2）①设AB 所在直线的函数表达式为()0y kx n k =+≠，把(0,5),(5,0)A B -的坐标分别代入表达式，得5,50.n k n =-⎧⎨+=⎩ 解得1,5.k n =⎧⎨=-⎩AB ∴所在直线的函数表达式为5y x =-．由（1）得，抛物线L 的对称轴是直线2x =，当2x =时，53y x =-=-．∴点M 的坐标是(2,3)-．②设抛物线1L 的表达式是2(2)9y x m =-+-，//MN y 轴，∴点N 的坐标是()22,9m -． ∵点P 的横坐标为1,-∴点P 的坐标是()21,6m m --， 设PE 交抛物线1L 于另一点Q ，∵抛物线1L 的对称轴是直线2,//x m PE x =-轴，∴根据抛物线的轴对称性，点Q 的坐标是()252,6m m m --．（i ）如图1，当点N 在点M 下方，即0m <≤时，52(1)62PQ m m =---=-，()22396MN m m =---=-，由平移性质得,QE m =，∴626PE m m m =-+=-10PE MN +=，∴26610m m -+-=，解得12m =-（舍去），21m =．（ii ）图2，当点N 在点M 上方，点Q 在点P 右侧，3m <≤时，26,6PE m MN m =-=-，10PE MN +=，26610m m ∴-+-=，解得1m =（舍去），2m =． （ⅲ）如图3，当点N 在点M 上方，点Q 在点P 左侧，即3m >时，2,6PE m MN m ==-，10PE MN +=，2610m m ∴+-=，解得1m =，2m =．综上所述，m 的值是1． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键．9．（2021—2022重庆九年级期中）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+mx +n （m ，n 均为常数）的图像顶点为A ，与x 轴交于B （﹣1，0）、C 两点，与y 轴交于点D （0，3）．（1）求该抛物线解析式．（2）如图1，连接AD 交x 轴于点E ，连接AB 交y 轴于点K ，点M 是抛物线四象限且位于对称轴右侧图像上一点，过点M 作MP ⊥AD 交直线AD 于点P ，连接MD ．若∠M ＝∠BKO ，求出点M 的坐标，以及此时△MDP 的周长，并写出解答过程．（3）如图2，将抛物线y 沿射线AE 方向平移得到一个新的二次函数记为y ′，令y ′与y 两函数图像相交于点Q ，连接CQ ，点R 为原抛物线图像上一动点，点F 为直线AE 上一动点，是否存在以点C ，Q ，R ，F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点R 的坐标，并把求其中一个R 点的坐标的过程写出来．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）M （5，-12），△MDP 的周长=；（3）R 点的坐标为，54或，54或254-或，254-． 【分析】（1）利用待定系数法二次函数y ＝﹣x 2+mx +n 与x 轴交于B （﹣1，0），与y 轴交于点D （0，3）．代入得310n m n =⎧⎨--+=⎩组成方程组，解方程组即可； （2）连结DC ，MD 交x 轴于H ，过H 作HG ⊥DC 于G ，求出抛物线顶点A （1，4），抛物线与y 轴交点坐标为：点D （0，3）与x 轴交点C （3，0），根据勾股定理DC =待定系数法求AP 解析式为3y x ，AB 解析式为22y x =+，根据∠M ＝∠BKO ，∠M =∠CDH ，可得tan ∠BKO =tan ∠CDH=12OB HG KO DG ==， 可得DG =2HG ，再证GH =GC ，可得DG =2GC ，求出点H （1，0），待定系数法求DH 解析式为33y x =-+，然后22333y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩，求出M （5，-12），再求CD 解析式为3y x =-+，PM 解析式为7y x =--，联立方程组73y x y x =--⎧⎨=+⎩，求出点P （-5，-2）利用勾股定理DP ==DM =PM =（3）将抛物线y 沿射线AE 方向平移A′A ，过A′作A′S 垂直原抛物线的对称轴于S ，如图，求出点A ′（-3，0）求出新抛物线的解析式为()22369y x x x =-+=---，然后求出交点Q （3924--，），设点F （x F ,x F +3）,R (x R ，223R R x x -++)分两种情况，当CQ 为平行四边形的边时，2332930234F R F R R x x x x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪++=-++-⎪⎩，当CQ 为平行四边形的对角线时，2332932304F R F R R x x x x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪+-++=-⎪⎩， 然后解方程组求出点R 坐标即可． 【详解】解：（1）二次函数y ＝﹣x 2+mx +n 与x 轴交于B （﹣1，0），与y 轴交于点D （0，3）．代入得310n m n =⎧⎨--+=⎩， 解得32n m =⎧⎨=⎩， 2y x 2x 3=-++；（2）连结DC ，MD 交x 轴于H ，过H 作HG ⊥DC 于G ，()222314y x x x =-++=--+， 点A （1，4），抛物线与y 轴交点坐标为：点D （0，3），2230y x x =-++=，解得x =-1或x =3，点C （3，0），∵OC =3，OD =3，∠COD =90°，∴∠ODC =∠OCD =45°，∴DC=设AP 解析式为11y k x b =+，经过点A ，D ，代入坐标得11143k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：1113k b =⎧⎨=⎩， AP 解析式为3y x ，当y =0时，x =-3，点E （0，-3），∵OE =3，OD =3，∠EOD =90°，∴∠ODE =∠OED =45°，∴∠EDC =∠DEO +∠ODC =45°+45°=90°，∴CD ⊥AD ，∵MP ⊥AD ，∴MP ∥CD ，∴∠M =∠CDH ，设AB 解析式为y kx b =+，代入坐标得：40k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得22k b =⎧⎨=⎩， AB 解析式为22y x =+，∴AB 与y 轴交点K （0，2），∴OK =2，OB =1，∵∠M ＝∠BKO ，∠M =∠CDH ，∴∠CDH =∠BKO ，∴tan ∠BKO =tan ∠CDH=12OB HG KO DG ==， ∴DG =2HG ，∵HG ⊥DC ，∠DCO =45°，∴∠GHC =180°-∠HGC -∠GCH =180°-90°-45°=45°=∠GCH ，∴GH =GC ，∴DG =2GC ，∵DG +GC =CD，∴GH =CG=13CD ∴CH2=，∴OH =OC -CH =3-2=1，∴点H （1，0），设DH 解析式为22y k x b =+，代入坐标得：22230b k b =⎧⎨+=⎩，解得2233b k =⎧⎨=-⎩， DH 解析式为33y x =-+，∴22333y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩， 消去y 得23323x x x -+=-++，解得x =0，x =5,x =0,y =3，x =5,y =-12，∴M （5，-12），设CD 解析式为33y k x b =+，∴333330b k b =⎧⎨+=⎩， 解得3331b k =⎧⎨=-⎩， CD 解析式为3y x =-+，设PM 解析式为y mx n =+，∵MP ∥CD ，∴m =-1,过M （5，-12），125n -=-+,解得n =-7,∴PM 解析式为7y x =--，∴73y x y x =--⎧⎨=+⎩， 解得52x y =-⎧⎨=-⎩， ∴点P （-5，-2），∴DP=DMPM=△MDP 的周长=（3）将抛物线y 沿射线AE 方向平移A′A，过A′作A′S 垂直原抛物线的对称轴于S ，如图，∵AS ∥y 轴，∴∠EDO =∠A′AS =45°，∴△A′AS 为等腰直角三角形，AS =A′S =A′Acos 45°=4，点A ′的横坐标为1-4=-3,纵坐标4-4=0，点A ′（-3，0），新抛物线的解析式为()22369y x x x =-+=---， 222+369y x x y x x ⎧=-+⎨=---⎩， ∴3294x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， Q （3924--，）， 当CQ 为平行四边形的边时，设点F （x F ,x F +3）,R (x R ，223R R x x -++)，2332930234F R F R R x x x x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪++=-++-⎪⎩,消去x F 得2392324R R R x x x -+=-++-， 解得()22110R x -=，21R x -=R x =，R x =54y =R x =54y =， ∴点R5454，当CQ 为平行四边形的对角线时，2332932304F R F R R x x x x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪+-++=-⎪⎩， 消去x F 得2393323024R R R x x x -+-+-++=-， ()22140R x -=，R x =R x25y 4=-R x =25y 4=-点R 254-254-，综合得R 点的坐标为，54或，54或254-254-． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，勾股定理两点距离公式，等腰直角三角形判定与性质，抛物线平移，平行四边形判定与性质，解一元二次方程，本题难度非常大，运算量太大，思维要清晰，解题经验丰富，才能解题，是中考压轴题．10．（2021—2022辽宁台安九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-（0a ≠）与 x 轴交于点()1,0A -，()4,0B ，与 y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接 PA ，PD ，求PAD △面积的最大值；（3）在（2）中PAD △面积取最大值的条件下，将抛物线24y ax bx =+-（ 0a ≠）沿射线AD平移1y ，点 E 为点P 的对应点，点F 为1y 的对称轴上任意一点，在1y 确定一点 G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【答案】（1）234y x x =--；（2）8；（3）55,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭或725,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭或1525,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）直接代入点A ，B 坐标即可；（2）作//PH y 轴交直线AD 于H ，PF AD ⊥于F ，通过点A ，点D 的坐标可求得直线AD 的函数关系式1y x =--，AD =可得直线AD 与x 轴正方向夹角为45︒，可得PF ，设23(),4--P m m m ，则()214PH m =--+，根据12APD PF S AD ∆=可求解；（3）通过平移距离为4个单位，再向下平移4个单位，得出平移后的抛物线关系式和E 的坐标，从而平行四边形中，根据线段DE ，分别为平行四边形的边，或者是对角线，分类讨论，通过点的平移得出 G 的横坐标所在的直线，然后代入抛物线1y 得函数关系式，即可求得坐标．【详解】解：（1）将(1,0)A -，(4,0)B 代入 24y ax bx =+-得4016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩， ∴13a b =⎧⎨=-⎩，234y x x ∴=--，（2）如图示，作//PH y 轴交直线AD 于H ，PF AD ⊥于 F ，当0x =时，203044y =-⨯-=-，∴点C 的坐标是(0,4)-，点D 与点C 关于直线l 对称，∴4D y =-，∴2344D D x x --=-∴3D x =（取非零值）∴点D 的坐标是(3,4)-，∵点A 的坐标是(1,0)-，点D 的坐标是(3,4)-，∴直线AD 的函数关系式为：1y x =--，且AD ∴1AD k =-，∴直线AD 与x 轴正方向夹角为45︒，∴45AOE AEO ∠=∠=︒，则有：45PHD ∠=︒，∴PF ， 设23(),4--P m m m ，(,1)H m m ∴--，21(34)PH m m m ∴=-----223m m =-++()214m =--+，12APD S AD PF ∆∴=，12=⨯12=⨯ 2PH =()2218m =--+ ∴当1m =时，APD S ∆最大为8，（3）直线AD 与x 轴正方向夹角为45︒，∴沿AD 方向平移4个单位，再向下平移4个单位，由（2）可知，点P 的坐标是2,3)4(m m m --，且1m =∴点P 的坐标是(1,6)P -，∴平移后，点P 的对应点E 的坐标为(5,10)-， ∵抛物线223253424y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ∴平移后222132511414411202424y x x x x ⎛⎫⎛⎫=----=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴抛物线1y 的对称轴为：直线1l ：112x =， 当3x =时，在抛物线1y 中，213113204y =-⨯+=-，即点D 在抛物线1y 上，当DE 为平行四边形的边时：如图1所示，若点D 平移到对称轴上F 点，即点D 往右平移115322-=个单位长度，到对称轴上1F 点，则，点E 往右平移52个单位长度， ∴点1G 的横坐标为515522+=， ∴点1G 在直线152x =上， 又∵点1G 在抛物线211120y x x =-+上，代入211120y x x =-+得254y =-， ∴点1G 的坐标是1525,24⎛⎫- ⎪⎝⎭； 如图2所示，若E 平移到对称轴上2F 点，即点E 往右平移111522-=个单位长度，到对称轴上 2F 点， 则，点D 往右平移12个单位长度，∴点2G 的横坐标为17322+=， ∴点2G 在直线72x =上， 又∵点2G 在抛物线211120y x x =-+上，代入211120y x x =-+得254y =-， ∴点2G 的坐标是25,247⎛⎫- ⎪⎝⎭； 如图3示，若DE 为平行四边形的对角线时，若E 平移到对称轴上3F 点，即点E 往右平移111522-=个单位长度，到对称轴上 3F 点， 则，点D 往左平移12个单位长度，∴点3G 的横坐标为15322-=，∴点3G 在直线52x =上， 又∵点3G 在抛物线211120y x x =-+上，代入211120y x x =-+得54y =-， ∴点3G 的坐标是55,24⎛⎫- ⎪⎝⎭； ∴综上所述，所有符合条件的点G 的坐标是55,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或 25,247⎛⎫- ⎪⎝⎭或1525,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式，铅垂高求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质和判定，将沿AD 平移4个单位，再向下平移4个单位是解决问题的关键．11．（2021·重庆实外中考二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣22433x +x ＋2与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点P 为直线BC 上方抛物线上一动点．（1）求直线BC 的解析式；（2）过点A 作AD ∥BC 交抛物线于D ，连接CA ，CD ，PC ，PB ，记四边形ACPB 的面积为S 1，△BCD 的面积为S 2，当S 1﹣S 2的值最大时，求P 点的坐标和S 1﹣S 2的最大值；（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O ，G 为平移后的抛物线的对称轴直线l 上一动点，将线段AC 沿直线BC 平移，平移过程中的线段记为A ′C ′（线段A 'C '始终在直线l 左侧），是否存在以A ′，C ′，G 为顶点的等腰直角△A ′C ′G ？若存在，请写出满足要求的所有点G 的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝223x -+；（2）S 1﹣S 2的最大值为94，点P 的坐标为（35,22）；（3）存在，G 1（2，1），G 2（2，53-），G 3（2，13-）；见解析． 【分析】（1）令二次函数x ＝0，y ＝0，求出A 、B 、C 的坐标，再求直线BC 的解析式；（2）不能用常规的底和高，借助切割法求面积，再求出最大面积差和点P 的坐标；（3）等腰直角三角形可以利用“两圆一中垂”确定所有的情况，利用“K 型全等”求出对应的点G 的坐标．【详解】解：（1）对抛物线：224233y x x =-++， 当0x =时，2y =，∴点C （0，2），当0y =时，2242033x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点A （﹣1，0），点B （3，0），。
九年级中考数学专题复习：二次函数的平移训练(含答案)
中考数学专题复习：二次函数的平移一、单选题1．在同一平面直角坐标系中，将函数21y x =+的图像向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的图像的顶点坐标是（ ）A ．(-3，1)B ．(3，1)C ．(3，-1)D ．(-3，-1) 2．将抛物线()=+-2y x 12向上平移3个单位，向左平移4个单位后所得到的新抛物线y '的对称轴是直线（ ）A ．x ＝1B ．x ＝﹣2C ．x ＝﹣5D ．x ＝4 3．将函数22y x =的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线是（ ） A ．()2 234y x =-- B ．()2 234y x =-+C ．()2234y x =+- D ．()2 234y x =++ 4．已知二次函数y ＝﹣x 2+2x +4，则下列说法正确的是（ ）A ．该函数图象开口向上B ．该函数图象向右平移2个单位长度是y ＝﹣（x +1）2+5C ．当x ＝1时，y 有最大值5D ．该函数的图象与坐标轴有两个交点5．把抛物线242y x x =-+向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（5，4-）B ．（5，0）C ．（1-，4-）D ．（1-，0）6．抛物线2213y x =-+（）可以看作是由抛物线22y x =经过以下哪种变换得到的（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位7．把抛物线2y x bx c =++向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是235y x x =-+，则有（ ）A ．3b =，7c =B ．9b =-，15c =-C ．3b =，3c =D ．9b =-，21c =8．将抛物线y =3x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A ．y =3(x +2)2-3B ．y =3(x +2)2-2C ．y =3(x -2)2-3D ．y =3(x -2)2-29．如图，两条抛物线 2212111,122y x y x =-+=--与分别过点（2-，1- ）（2，3-）且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴部分的面积为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4二、填空题10．将抛物线22y x ＝先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，那么所得的抛物线的顶点坐标为______．11．把二次函数的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图像对应的二次函数关系式是()=+-2y x 12，则原二次函数的解析式为_______．12．把2288y x x =-+-配方成()2y a x h k =-+的形式为____________，并将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为___________．13．将抛物线 2y ax bx c =++向右平行移动2个单位，再向下平行移动1个单位长度得抛物线的解析式为2(1)1y x =-+ ，则此抛物线的解析式为___________． 14．如图，在平面直角坐标xOy 中，抛物线c 1的顶点为A （﹣1，﹣4），且过点B （﹣3，0）将抛物线c 1向右平移2个单位得抛物线c 2，则阴影部分的面积S ＝_____．15．将抛物线2y ax bx c =++向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为251y x =-+，则a +b +c ＝_____．16．抛物线248y x x =-+向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线顶点坐标是__________．三、解答题17．指出函数y =()21112x -+-的图象的开口方向、对称轴和顶点，怎样移动抛物线y =-12x 2就可以得到抛物线y =()21112x -+-？18．已知二次函数y ＝﹣12（x ＋4）2，将此函数的图像向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度．(1)请写出平移后图像所对应的函数解析式；(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出平移后的图像；(3)根据所画的函数图像，写出当y ＜0时x 的取值范围．19．如图，顶点M在y轴上的抛物线y＝ax2+c与直线y＝x+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)判断△ABM的形状，并说明理由；(3)若将（1）中的抛物线沿y轴上下平移，则如何平移才能使平移后的抛物线过点（﹣2，﹣3）？20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2=+（a≠0）经过原点，并交x轴正半y ax bx轴于点A.已知OA=6，且方程29+=恰好有两个相等的实数根．ax bx(1)求该抛物线的表达式；(2)若将图象在x轴及其上方的部分向右平移m个单位交于点P，B，1B是该图象两个顶PBB恰好为等腰直角三角形，求m的值．点，若1参考答案：1．D2．C3．B4．C5．C6．B7．A8．A9．B10．（﹣1，﹣3）11．()213y x =--12． ()222y x =-- ()2243y x =--+13．223y x x =++14．815．316．()1,5-17．y =()21112x -+-得到该函数的图象的开口方向向下，对称轴是直线x =-1，顶点坐标是（-1，-1），抛物线y =212x -向左平移1个单位，再向下平移1个单位就可以得到抛物线y =()21112x -+- 18．(1)抛物线y ＝﹣12（x +4）2的顶点坐标是（﹣4，0）(2)见解析(3)x ＞1或x ＜﹣319．(1)y ＝x 2﹣1(2)直角三角形，理由见解析(3)将（1）中的抛物线沿y 轴向下平移6个单位后的抛物线过点（﹣2，﹣3）．20．(1)26=-+y x x (2)2m=。
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《二次函数图象的平移》专题练习
一、选择题
1 •抛物线y =1x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得
的抛物线表达式是（ ）
B . y = -(x — 3)2 + 2 2 D . y = -(x + 3)2 + 2 2 2.如图，点A , B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线y = a （x — m ） 2+n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于
C
D 两点（C 在 D 的左侧），点C 的横坐标最小值为一3,则点
D 的横坐标最大值为（ ）
A . — 3
B . 1
C. 5 D . 8
3.已知y = 2x 2的图象是抛物线，若抛物线不动，把 x 轴、y 轴分别 向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是A y = l (x + 3)2— 2
2
1 2 C. y = -(x — 3) — 2 2
A y = 2 (x—2) 2+ 2
B . y = 2 (x + 2) 2-2
C. y = 2 (x—2)2—2 D . y = 2 (x + 2) 2+ 2
4．在平面直角坐标系中，将抛物线y x22x 3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是( )
22
A. y=—( x+ 1) + 2 B . y=—( x —1) + 4
22
C. y=—( x—1) + 2 D . y=—( x + 1) + 4
二、解答题
5. 把抛物线y = ax2bx c先向右平移2个单位，再向下平移5个单
位得到抛物线y x22x 2，求a、b、c的值。
6. 已知一个二次函数的图象是由抛物线y 2x2沿y轴方向平移得到的，当x 1时，y 4 。
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当x为何值时，y随x的增大而减少。
_ 2
7. 已知二次函数y = —x —4x —5。
(1)指出这个二次函数图象的开
口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)把这个二次函数的图象上、下平移，使其顶点恰好落在
正比例函数y = —x的图象上，求此时二次函数的解析式；
8 拋物线y i = ax2+ 6x—8与直线y2= —3x相交于A (1, m),
(1)求y i的解析式;
(2)拋物线y i经过怎样的平移可以就可以得到拋物线y = ax2
《二次函数图象的平移》专题练习答案
1. A; 2 . D; 3 . B; 4 . B;
5. a 1 , b 2, c 3。
6. ( 1) y 2x22;
(2)当x 0时，y随x的增大而减少。
7. 解：(1)v y = —x2—4x —5=—( x + 2) 2—1 ,
二抛物线开口向下，
对称轴是x =—2,
顶点坐标是(—2，—1);
(2)由题知：把这个二次函数的图象上、下平移，顶
点恰好落在正比例函数y = —x的图象
上，即顶点的横纵坐标互为相反数，
T平移时，顶点的横坐标不变，即为(—2, 2),
二函数解析式是：y = —( x + 2) 2+ 2。
(3)由题知：把这个二次函数的图象左、右平移，顶
点恰好落在正比例函数y = —x的图象
上，即顶点的横纵坐标互为相反数，
•••平移时，顶点的纵坐标不变，即为( 1,—1),
二函数解析式是：y = —( x —1) 2—1。
2
8( 1) y i = —x + 6x—8;
(2)v y i = —x2+ 6x—8 = —( x—3) 2+ 1,
•••拋物线y i= ax2+ 6x—8先向左平移3个单位，再向下平移1个单位可以得到拋物线y = —x2。