【高考一轮】2018课标版文科数学一轮复习 3.1变化率与导数、导数的计算 夯基提能作业本(含答案)

第一节变化率与导数、导数的计算

A组基础题组

1.已知函数f(x)=cos x,则f(π)+f '=( )

A.-

B.-

C.-

D.-

2.(2017黑龙江、吉林八校联考)函数f(x)=x+sin x的图象在x=处的切线与两坐标轴围成的三角形的面

积为( )

A. B. C. D.+1

3.已知f(x)=x(2 014+ln x),若f '(x0)=2 015,则x0=( )

A.e2

B.1

C.ln 2

D.e

4.(2016安徽安庆二模)给出定义:设f '(x)是函数y=f(x)的导函数, f ″(x)是函数f '(x)的导函数,若方程f ″(x)=0有实数解x0,则称点(x0, f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sin x-cos x的拐点是M(x0, f(x0)),则点M( )

A.在直线y=-3x上

B.在直线y=3x上

C.在直线y=-4x上

D.在直线y=4x上

5.(2015河南郑州质检二)已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=( )

A.-1

B.0

C.2

D.4

6.若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.

7.(2016课标全国Ⅲ,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.

8.已知函数f(x)=e x-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围为.

9.已知函数f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.

(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围;

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.

10.已知函数f(x)=x-,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同,求a的值,并判断两条切线是否为同一条直线.

B组提升题组

11.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )

A.y=sin x

B.y=ln x

C.y=e x

D.y=x3

12.(2016安徽皖江名校联考)已知函数f(x)=e x-2ax,g(x)=-x3-ax2.若不存在x1,x2∈R,使得f /(x1)=g/(x2),则实数a的取值范围为( )

A.(-2,3)

B.(-6,0)

C.[-2,3]

D.[-6,0]

13.(2016重庆二诊)已知函数f(x)=+sin x,其导函数为f '(x),则f(2 016)+f(-2 016)+f '(2 016)-f

'(-2 016)的值为( )

A.0

B.2

C.2 016

D.-2 016

14.已知f(x)=acos x,g(x)=x2+bx+1,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点(0,m)处有公切线,则

a+b=( )

A.-1

B.0

C.1

D.2

15.若函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是 .

16.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.

(1)求f(x)的解析式;

(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.

答案全解全析

A组基础题组

1.C ∵f '(x)=-cos x+(-sin x), f(π)=-,∴f(π)+f '=-+·(-1)=-.

2.A f(x)=x+sin x,则f '(x)=1+cos x,则f '=1,而f=+1,故函数f(x)的图象在x=处的切线方

程为y-=x-,即y=x+1.令x=0,可得y=1;令y=0,可得x=-1.

故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为×1×1=.故选A.

3.B 由题意可知f '(x)=2 014+ln x+x·=2 015+ln x.由f '(x0)=2 015,得ln x0=0,解得x0=1.

4.B f '(x)=3+4cos x+sin x, f ″(x)=-4sin x+cos x,由题意知4sin x0-cos x0=0,所以f(x0)=3x0,故M(x0, f(x0))在直线y=3x上.故选B.

5.B 由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-,∴f '(3)=-.∵g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf '(x),∴g'(3)=f(3)+3f '(3),又由题图可知f(3)=1,∴g'(3)=1+3×=0.

6.答案(e,e)解析令f(x)=xln x,则f '(x)=ln x+1,设P(x 0,y0),则f '(x0)=ln x0+1=2,∴x0=e,此时,y0=x0ln x0=eln e=e,∴点P的坐标为(e,e).

7.答案y=2x解析当x>0时,-x<0, f(-x)=e x-1+x,而f(-x)=f(x),所以f(x)=e x-1+x(x>0),点(1,2)在曲线f(x)=e x-1+x(x>0)上,易知f '(1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f '(1)·(x-1),即y=2x.

8.答案

解析函数f(x)=e x-mx+1的导函数为f '(x)=e x-m,

要使曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则需e x-m=-有解,即m=e x+有解,

由e x>0,得m>.则实数m的取值范围为.

9.解析(1)由题意得f '(x)=x2-4x+3,则f '(x)=(x-2)2-1≥-1,

即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[-1,+∞).

(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,

解得-1≤k<0或k≥1,故由-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,

得x∈(-∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞).

10.解析根据题意有曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f '(1)=3,

曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率为g'(1)=-a.又f '(1)=g'(1),所以a=-3.

曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-f(1)=3(x-1),得y+1=3(x-1),即切线方程为3x-y-4=0.

曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y-g(1)=3(x-1),得y+6=3(x-1),即切线方程为3x-y-9=0,

所以两条切线不是同一条直线.

B组提升题组