数学：2..2..1《综合法和分析法》教案(新人教A版选修2-2)
高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法与分析法教案新人教A版选修2_2
§2.2.1 综合法与分析法教学目标：1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2．通过本节内容的学习了解分析法和综合法的思考过程、特点；3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。
教学重点：分析法和综合法的思考过程；教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。
数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。
本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。
(二)、探究新知，揭示概念探究一：在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。
例如：已知a,b>0,求证教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。
教师最后归结证明方法。
学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法证明:因为，所以。
因为，所以。
因此。
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。
探究二：证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q 成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3，……直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。
例如：基本不等式（a>0，b>0）的证明就用了上述方法。
要证，只需证，只需证，只需证由于显然成立，因此原不等式成立。
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。
这种方法叫做分析法。
（三）、分析归纳，抽象概括用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
2.2.综合法与分析法-人教A版选修2-2教案
2.2.综合法与分析法-人教A版选修2-2教案
一、教学目标
1.理解综合法和分析法的概念。
2.掌握综合法和分析法的基本原理。
3.能够应用综合法和分析法解决实际问题。
4.培养学生系统思维的能力。
二、教学内容
1.综合法的概念和基本原理。
2.分析法的概念和基本原理。
3.综合法和分析法的应用。
三、教学过程
1. 导入（5分钟）
教师通过提问和讲解，引导学生了解问题解决的两种方法：综合法和分析法，并介绍本节课的教学目标和重点。
2. 讲解（25分钟）
2.1 综合法的概念和基本原理
1.综合法是从整体综合出发，从多个方面考虑，综合分析问题的方法。
2.综合法的基本原理是整体观念、多元观念和系统观念。
2.2 分析法的概念和基本原理
1.分析法是从局部出发，从单个方面考虑，分析问题的方法。
2.分析法的基本原理是简化化、抽象化和精确化。
3. 练习（25分钟）
1.给学生提供综合法和分析法的例子，让学生分别应用综合法和分析法解决问题。
2.针对不同的问题，让学生思考采用哪种方法更适合。
4. 总结（5分钟）
让学生回顾本节课的重点内容，并讲解综合法和分析法的区别和联系。
四、教学反思
本节课通过提供练习例子的方式，让学生更深入地理解了综合法和分析法的概念和应用方法。
同时，通过问题讨论的方式，培养了学生系统思维的能力。
2.2.1综合法和分析法-人教A版高中数学选修2-2课件
练一练：
练习、求证： 2 7 3 6
直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证
明方法称为直接证明，其一般情势为：
本题条件
已知定义 已知公理
… 本题结论
已知定理
二、综合法定义：
利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推导 出所要证明的结论成立,这种证明方法叫 做综合法(顺推证法)
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
2 14 2 18 9 2 14 9 2 18 ( 2 7)2 ( 3 6)2 2 7 3 6
请结合上述例子和自己感受，说说综合法 和分析法的各自特点和它们的适用情况。
（1）综合法：已知条件 结论
由因导果，当条件明确，思路清楚时适用；
（2）分析法： 结论 已知条件
执果索因，当条件多，入手难，思路乱时适用。 （3）综合法是分析法的逆过程。
Pn-1 Qm-1
Pn … Q1
Qm
Q2 Q Q1
练一练：
已知 1 tan a 1,求证：3sin 2a 4cos2a 2 tan a
五、小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手 能找到证明的途径，则用综合法，否则 用分析法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条 件，分析法的每步推理都是寻找充分条 件，在解题表述中要注意语言的规范性 和逻辑性.
高中数学 第2章 2.2.1 综合法和分析法课件 新人教A版选修2-2
【解题探究】运用综合法，结合an与Sn的关系及数列的知 识来论证．
证明：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，① 得(3－m)a1＋2ma1＝m＋3，a1＝1， (3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.② ②－①，得(3＋m)an＋1＝2man，(m≠－3)． ∴aan＋n 1＝m2＋m3.∴{an}是等比数列．
综合法与分析法的综合应用 【例4】 已知α，β≠kπ＋π2(k∈Z)且 sin θ＋cos θ＝2sin α，① sin θ·cos θ＝sin2β，② 求证：11－ ＋ttaann22αα＝211－＋ttaann22ββ. 【解题探究】综合运用综合法和分析法，与三角函数知识 相结合来进行证明．
证明：因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1， 所以将①②代入，可得 4sin2α－2sin2β＝1.③ 另一方面，要证11－ ＋ttaann22αα＝211－＋ttaann22ββ， 即证11－＋ccssooiinnss2222αααα＝211－＋cscsoioinsns222β2βββ，
A．[2,3] B．[1,3] C．(1,2) D．(1,3) 【答案】C
【解析】将x＝－1，y＝3和x＝1，y＝1代入y＝ax2＋bx＋c
中，得
3＝a－b＋c， 1＝a＋b＋c，
∴b＝－1.∴a＋c＝2.又0<c<1，∴0<2
－a<1.∴1<a<2.故选C．
3．已知a，b，c为三条不同的直线且a⊂平面M，b⊂平面 N，M∩N＝c.
复习课件
高中数学 第2章 2.2.1 综合法和分析法课件 新人教A版选修2-2
2.2.1 综合法和分析法(人教版选修2-2)
例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 1:已知a>0,b>0,求证a(b 已知a>0,b>0,求证
证明:因为b 证明:因为b2+c2
≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc. 所以a(b 又因为c 又因为c2+b2
≥2bc,b>0
所以b(c 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
2
sinθ cosθ = sin β
2 2
1 - tan α 1 - tan β 求 证: = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β )
11
练习. P89 EX1，EX2，EX3
12
则综合
Q2 ⇒Q3
…
Qn ⇒Q
5
例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ ＡＢＣ中 三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ 对应的边分别为a Ａ、Ｂ、Ｃ成 对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成 等差数列， 成等比数列，求证△ 等差数列，a、b、c成等比数列，求证△Ａ ＢＣ为等边三角形 为等边三角形． ＢＣ为等边三角形．
所以 a + b − 2 ab ≥ 0 所以 a + b ≥ 2 ab
a+b ≥ ab 成立 所以 2
只需证;a + b − 2 ab ≥ 0 只需证;
( a − b )2 ≥ 0 只需证; 只需证;
因为; 因为;( a − b )2 ≥ 0 成立
a+b 所以 ≥ 2
a b成立
8
高中数学新人教版A版精品教案《2.2.1 综合法和分析法》
高中数学新课标人教A版选修1-2直接证明——综合法和分析法执教教师：蔡苗苗洛阳市第二实验中学电教中心录制一、教学目标：1、知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；2、过程与方法: 通过学生分组自己讲练，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；3、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣二、教学重点、难点：重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点，书写证明格式规范；难点：分析法和综合法的思考过程、特点三、教学方法：启发式教学法，分组讨论法四、教学准备与设想：抓住分析法和综合法的思考过程、特点，联系生活，渗透思想“变形”是解题的关键，是最重一步，在教学引导时要多启发，因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法五、教学过程：（一）创设情景，引出课题逻辑结构编织着中学数学，这种潜移默化的逻辑结构的熏陶是中学数学的“灵魂”，今天，让我们共同步入“直接证明”的逻辑之旅吧！（板书直接证明）1、请看图片：主角——葫芦，“瞎子摘葫芦”，打一歇后语生答“顺藤摸瓜”，蕴含一种顺序思维，为综合法引入加深印象2、第二幅图片：白云山九龙瀑布，诗句：问渠哪得清如许，为有源头活水来，蕴含一种溯源（逆推）思维，为分析法做好铺垫板书副标题：综合法与分析法（二）抽象思维，形成概念1、观察以下不等式证明讲解思维过程，师生共同分析问题1 已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥法一：证明:因为222,0b c bc a +≥>,所以22()2a b c abc +≥,因为222,0c a ac b +≥>,所以22()2b c a abc +≥因此, 2222()()4a b c b c a abc +++≥法二：要证：2222()()4≥a b c b c a abc +++ 只要证：2222()2,()2≥≥a b c abc b c a abc ++ ∵0,0a b >>∴只要证：22222,2≥≥b c bc c a ac ++ 又∵0,0,0a b c >>>，∴22222,2≥≥b c bc c a ac ++∴得证 2、对比得出概念及特点（1）综合法定义：象这种利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法又称顺推证法用综合法证明不等式的逻辑流程图是：()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法（2） 分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、公理等）为止这种证明方法叫做分析法 又称倒推证法用分析法证明不等式的逻辑框图是：()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -⇐←⇐←⇐←⇐分析法的思维特点是：执果索因分析法的书写格式：要证明命题B 为真，只需要证明命题为真，从而有……这只需要证明命题为真，从而又有…………这只需要证明命题A 为真而已知A 为真，故命题B 必为真3、进步设疑，理解新知问题2:在《数学5(0,0)?2a b a b +>>指出其中的证明方法的特点证法1:对于正数a,b, 有只要证b a ab +≤2 只要证ab b a 20-+≤ 只要证()20b a -≤ 证法2:要证2002≥≥≥a a b a b a b -∴+-∴++∴（2a b+因为最后一个不等式成立，故结论成立总结：综合法，表达简洁；分析法，目的性强，易于探索（三）初步应用，巩固概念1、讲一讲在△ABC 中,设求证：,,b CA a BC ==ABC S ∆ 请同学们前后四人一组分组讨论，合作交流，引导试图找出两种证法并请代表上台2、练一练2）求证：5273<+请同桌交流，两人合作分工把两个题的步骤给顺出来，并请代表演板3、说一说请对综合法与分析法进行比较，说说它们各自特点，回顾以往数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识综合法的特点:由因导果;分析法的特点：执果索因教师展示一副对联，说一说二者比较：由因导果，顺藤摸瓜；执果索因，逆推破案；横批——直接证明（门心为“蜡烛迷宫”）四深入探究，感受方法1、研一研（1）△ABC 三边长 的倒数成等差数列，求证： （综合法）分析：成等比数列,求证△ ABC 为等边三角形,,a b c ,,a b c 1）在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为 ,且A,B,C 成等差数列, ,,a b c ︒<∠90B因为a,b,c 为△ABC 三边 ，所以 a c > b 所以 coB>0 因此 .11,1,1.2<++<<abb a b a 求证：若 （分析法）证明：要证 只需证明 只需证明 只需证明 所以原命题成立2、思考小结（1）综合法──联想尝试浮想联翩,尝试前进!其格式为: 由因导果已知1n A B B B ⇒⇒⇒⇒结论（2）分析法──转化尝试执果索因,妙在转化!其格式为: 不断转化结论1n B B ⇐⇐已知 ac b ac 222-≥acb 212-=)(12c a b b +-=ac b c a B 2222cos -+=01>+-ca b ︒<∠90B 11<++ab b a 112<⎪⎭⎫ ⎝⎛++ab b a ()22)1(ab b a +<+0)1)(1(22>--b a 11<<b a 1122<<∴b a ()()01,0122<-<-∴b a 0)1)(1(22>--b a 因此注:分析法被认为是解数学题的“绝招”,因为它能把问题化繁为简，化难为易，化陌生为熟悉当然,为了表述的简洁,我们常用综合法写出分析的成果作为证明3、教师点拨从概念，特点和二者关系上进一步点拨六、作业布置：1、P44 A组 T1，2;2、进一步“研一研”专题的两个题目，下节展讲七、板书设计：直接证明——综合法和分析法教师板书区学生展讲区学生练习区。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析法学案(含解析)新人教A版选修22
2.2.1 综合法和分析法[学习目标]1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题． [知识链接]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想” 2．必修五中基本不等式a ＋b2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？答 要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立． [预习导引] 1．综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． 2．分析法分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．要点一 综合法的应用例1 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C . ① 因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3.③由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即(a －c )2＝0，因此a ＝c ， 从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．规律方法 利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路． (3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．跟踪演练1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.证明 法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4.法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1b ≥21ab>0，∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b≥4. 又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4.法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b＋1≥2＋2b a ·ab＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． 要点二 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22a ＋b 2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证． 规律方法 用分析法证明不等式时应注意(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．跟踪演练2 已知a ，b 是正实数，求证：a b ＋ba≥a ＋b . 证明 要证a b ＋ba≥a ＋b ， 只要证a a ＋b b ≥ab ·(a ＋b )． 即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )， 因为a ，b 是正实数， 即证a ＋b －ab ≥ab ， 也就是要证a ＋b ≥2ab ， 即(a －b )2≥0. 该式显然成立，所以a b ＋ba≥a ＋b . 要点三 综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .证明 要证明： log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x(abc )．由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由公式a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0，又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立． ∴log x a ＋b2＋log xb ＋c 2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．规律方法 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．跟踪演练3 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋cy＝2.证明 由已知条件得b 2＝ac ， ① 2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋c y＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证．1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y答案 D解析 ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y2<y ，故选D. 2．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2答案 C解析 根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证：2＋7<6＋3， 只需证：(2＋7)2<(3＋6)2. 3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2.证明 因为1log b a＝log a b ，所以左边 ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360. 因为log 19360<log 19361＝2， 所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2.4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12，∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α， 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.一、基础达标1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >b c，则a >b C ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b答案 C解析 对于A ：若c ＝0，则A 不成立，故A 错；对于B ：若c <0，则B 不成立，B 错；对于C ：若a 3>b3且ab <0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0b <0，所以1a >1b ，故C 对；对于D ：若⎩⎪⎨⎪⎧a <0b <0，则D 不成立．2．A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，又A 、B 为三角形的内角，∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sinB ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .3．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确． 4．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22<ab <1答案 B解析 因为a ≠b ，故a 2＋b 22>ab .又因为a ＋b ＝2>2ab ， 故ab <1，a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab 2＝2－ab >1，即a 2＋b22>1>ab .5．要证明3＋7<25，可选择的方法有很多，最合理的应为________． 答案 分析法6．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 答案 a >c >b解析 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36>0，∴a >c .∵c b＝6－27－3＝7＋36＋2＞1，∴c ＞b .7．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.证明 法一 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )． 因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0， 所以3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.法二 要证3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2，只需证3a 2(a －b )－2b 2(a －b )≥0， 只需证(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，∵a ≥b >0.∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>2a 2－2b 2≥0， ∴上式成立． 二、能力提升8．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( ) A ．aB ．bC ．cD ．不能确定答案 C解析 ∵b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x21－x <0，∴b <c .又∵b ＝1＋x >2x ＝a ，∴a <b <c .9．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件是( ) A ．ab >0 B ．ab <0 C ．a >0，b <0 D ．a >0，b >0答案 C解析 ∵a b 与b a 同号，由a b ＋b a ≤－2，知a b <0，b a<0， 即ab <0.又若ab <0，则a b <0，b a<0. ∴a b ＋b a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－2， 综上，ab <0是a b ＋b a ≤－2成立的充要条件，∴a >0，b <0是a b ＋b a≤－2成立的一个充分而不必要条件． 10．如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 答案 对角线互相垂直解析 本题答案不唯一，要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可． 11．已知a ＞0，b ＞0，1b －1a＞1.求证：1＋a ＞11－b.证明 要证1＋a ＞11－b成立，只需证1＋a ＞11－b，只需证(1＋a )(1－b )＞1(1－b ＞0)，即1－b ＋a －ab ＞1， ∴a －b ＞ab ，只需证：a －b ab ＞1，即1b －1a＞1. 由已知a ＞0，1b －1a＞1成立，∴1＋a ＞11－b成立．12．求证抛物线y 2＝2px (p ＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切．证明如图，作AA ′、BB ′垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ′垂直准线．要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证|MM ′|＝12|AB |，由抛物线的定义：|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |， 所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|，因此只需证|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)根据梯形的中位线定理可知上式是成立的． 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切．三、探究与创新13．(2013·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74.(1)解 当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)解 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n①当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)②①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n 整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n n＝n ，即a n ＝n 2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明 因为1a n ＝1n2＜1n －n ＝1n －1－1n (n ≥2)，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.。
人教版高中数学选修2-2学案：2.2.1综合法和分析法
2.2.1综合法和分析法【学习目标】1.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2.了解分析法和综合法的思考过程、特点．【新知自学】新知梳理：1.综合法：（1）一般地,利用,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法. （2）框图表示：（3）要点：顺推证法，由____导_____.2.分析法（1）一般地，从要证明的 出发，逐步寻求使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．（2）框图表示（3）要点：逆推证法；执____索_____. 对点练习：确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2.设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x ＜0)，则a 与b 大小关系为( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a ≤b3.求证：对于任意角θ，44cos sin cos 2θθθ-=.4.求证3526【合作探究】典例精析：例1. 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.变式练习：设在四面体P ABC -中,090=∠ABC , PA=PB=PC,D 是AC 的中点.求证:PD 垂直于ABC ∆所在的平面.例2. 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.变式练习：已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2.规律总结：用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论． (2)分析法证题的一般规律分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．【课堂小结】【当堂达标】1.在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足________．2. 设23451111log 11log 11log 11log 11P =+++，则（ ） A ．01P << B ．12P << C ．23P << D ．34P << 3.求证3725<4.已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证:3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>.【课时作业】1. 如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ） A ．5481a a a a > B ．5481a a a a < C ．5481a a a a +>+ D ．5481a a a a =2.若关于x 的不等式22133(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集为1(,)2+∞，则k 的范围是____ .3.设,a b R +∈,且a b ≠,求证:3322a b a b ab +>+5.已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝⎛⎭⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb21＋m .6.设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1. 求证：f(0)＝1，且当x＜0时，有f(x)＞1.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321AC1FDAB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠F AE＝45°，求证：EF＝BE+DF45°DBa+b-aa 45°A BE1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠F AE＝45°DBa+b-aa 45°A BEa+bx-aa 45°D Ea +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE2.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°．以D 为顶点作一个60°角，3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°. （1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．AB CFEDCDC。
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数学：2.2.1《综合法和分析法》教案
教学目标：
＜一）知识与技能：
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法 和综合 法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
＜二）过程与方法：
培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；
＜三）情感、态度与价值观：
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
第一课时221 综合法和分析法＜一）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方
法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特 点.tFAx82mkCG 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程 .
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择 适当的证明方法.
教学过程：
一、 复习准备：
1. 已知“若三I ,且耳，则回”，试请此结论推广 猜想.
＜答案：若 ，且 ，贝S ㈢ I 回） 2. 已知 ， ，求证：
先完成证明 -讨论：证明过程有什么特点？
二、 讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1:已知a, b, c 是不全相等的正数，求证：a （b2 + c2＞ + b （c2 + a2＞ + c （a2 + b2＞ ＞ 6abc.tFAx82mkCG
分析：运用什么知识来解决？ ＜基本不等式）
—板演证明过 程 ＜ 注意等号的处理）
-讨论：证明形式的特点
② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经
过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立
.tFAx82mkCG 导果.
c 是全不相等的正实数，求证 ④出示例2:在厶ABC
中，三个内角 A B C 的对边分别为a 、b 、 c ,且A 、
B 、
C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列.求证：ABC 等
边三角形.tFAx82mkCG
框图表示:
要点：顺推证法；由因
③练习：已知
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边
角关系？
f板演证明过程f讨论：证明过程的特点.
-小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件＜内角和）
2. 练习：
①回为锐角，且■■，求证：. ＜提
示：算二^ ）
②已知|㈢求证：| 乂|
3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论三| , 直到最后的结论是Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.tFAx82mkCG
三、巩固练习：
1. 求证：对于任意角0, ■. ＜教材P100练习1
题）
＜两人板演f 订正f 小结：运用三角公式进行三角变换、思
维过程）
2. I上J的三个内角㈢|成等差数列，求证：I x7"! .
3. 作业：教材P102 A组2、3题.
第二课时2.2.1 综合法和分析法＜二）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方
法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特
点.tFAx82mkCG
教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：基本不等式的形式？
2. 讨论：如何证明基本不等式I = I .
＜讨论f板演f分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）
二、讲授新课：
1. 教学例题：
①出示例1:求证I * I .
讨论：能用综合法证明吗？ T 如何从结论出发，寻找结论成立 的充分条件？
T 板演证明过程 ＜ 注意格式）
T 再讨论：能用综合法证明吗？ T 比较：两种证法
② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条
件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件
＜已 知条件、定理、定义、公理等）为止.tFAx82mkCG
索因. ③ 练习：设x ＞ 0 , y ＞ 0 ,证明不等式：
=I .
先讨论方法 T 分别运用分析法、综合法证明. ④ 出示例2:见教材P97. 讨论：如何寻找证明思路？ ＜从结论出 发，逐步反推）
⑤ 出示例3:见教材P99. 讨论：如何寻找证明思路？ ＜从结论与
已知出发，逐步探求）
2. 练
习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面 ＜指 横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管 流量大.tFAx82mkCG
提示：设截面周长为I ，则周长为I 的圆的半径为因，截面积为 ,冈，周长为I 的正方形边长为I ，截面积为回，问题只需证：
_ .tFAx82mkCG
3. 小结：分析法由要证明的结论 Q 思考，一步步探求得到 Q 所需要
的已知上j ，直到所有的已知P 都成立；
比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法 进行书
写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需 知”（分析 ＞，从“已知”推“可知” ＜综合），双管齐下，两面夹 击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的 途径. ＜ 框图示意）
tFAx82mkCG 三、巩固练习:
1. 设a, b, c 是的△ ABC 三边，S 是三角形的面积，求证:
略证：正弦、余弦定理代入得： ■ ,
即证：| 厂—，即：|
,即证： KI ＜ 成立）.
2. 作业：教材P100练习2、3题.
要点：逆推证法；执果
框图表示:
第三课时222 反证法
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方 法一一反证法；了解反证法的思考过程、特点.
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程 .
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法 .
教学过程：
一、 复习准备：
1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转 2枚，你能使三枚反面都 朝上吗？ ＜原因：偶次）
2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样 一个命题：“过在同一 直线上的三点A 、B C 不能作圆” 明这个命题？ tFAx82mkCG
3. 给出证法：先假设可以作一个OO 三占
- 4 八、、’
则0在AB 的中垂线I 上， 垂线m 上，
即0是I 与m 的交点。
但T A 、B 、C 共线，二I // m （矛盾＞ 二过在同一直线上的三点
A B 、C 不能作圆.
二、 讲授新课：
1. 教学反证法概念及步骤：
① 练习：仿照以上方法，证明：如果 a ＞b ＞0,那么
② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最 后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成 立.tFAx82mkCG
证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 -从假设出发，经推
理论证得到矛盾-矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论 成立
tFAx82mkCG
应用关键：在正确的推理下得出矛盾 ＜与已知条件矛盾，或与假设 矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明 的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否 命题的正确，从而肯定原命题真实.tFAx82mkCG
注：结合准备题分析以上知识.
2. 教学例题：
①出示例1:求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分 .
分析：如何否定结论？ —如何从假设出发进行推理？ —得 到怎样的矛盾？
.讨论如何证
过 A 、B 、C
0又在BC 的中
与教材不同的证法：反设AB CD被P平分，TP不是圆心，连结op 则由垂径定理：OPAB, OPCD则过P有两条直线与OP垂直＜矛盾），二不被P平分.
②出示例2 :求证冋是无理数. ＜同上分析T板演证明，提示：有理数可表示为匕）
证：假设m是有理数，则不妨设＜m,n为互质正整数），
从而：三I , |上J ,可见m是3的倍数.
设m=3pvp是正整数），贝卩r^~l ，可见n也是3的倍数.
这样，m, n就不是互质的正整数＜矛盾）.二不可能，
二|叵是无理数.
③练习：如果|二|为无理数，求证是无理数.
提示：假设•为有理数，则创可表示为|旦v®为整数），即凹.
由1 ■，贝贝创也是有理数，这与已知矛盾.二|纠是无
理数.
3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确.注意证明步骤和适应范围＜“至多”、
“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问
题）tFAx82mkCG
三、巩固练习：1.练习：教材P102 1、2题2. 作业：教材P102 A 组4 题.
申明：
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途。