2020北京数学中考总复习课件专题突破七：中考几何综合题
考情分析
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专题七┃北京中考几何综合题分析与预测
(2) 当 ∠BAC≠90 ° 时 ， 请 你 画 出 图 形 ， 研 究 ∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与(1)中的结论相 同，写出你的猜想并加以证明．
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(2)猜想：∠DBC 与∠ABC 度数的比值与(1)中的结论相同． 证明：如图，作∠KCA＝∠BAC，过 B 点作 BK∥AC 交 CK 于点 K，连接 DK.
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方法点析
阅读探究型问题是近些年中考的热点，篇幅一般较 长，解题时要读懂题意，对材料中给出的解题思路提炼 解题思维，在理解的基础上分析考查内容与阅读材料的 相关点，用模仿、类比或转化的方法解决问题．
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热考二 图形变换题的计算与证明 例 2 [2014·西城一模] 四边形 ABCD 是正方形，
△BEF 是等腰直角三角形，∠BEF＝90°，BE＝EF， 连接 DF，G 为 DF 的中点，连接 EG，CG，EC.
(1)如图 Z7－2①，若点 E 在 CB 边的延长线上， 直接写出 EG 与 GC 的位置关系及GECC的值；
热考三 操作探究题
例 3 [2014·通州一模] 问题解决：如图 Z7－3①，将两 个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中∠C ＝90°，∠B＝∠E＝30°.
(1)如图②，固定△ABC，将△DEC 绕点 C 旋转，当 点 D 恰好落在 AB 边上时，设△BDC 的面积为 S1，△AEC 的面积为 S2，那么 S1 与 S2 的数量关系是__相__等____；
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(2)证明：∵DM，AN 分别是△BDC 和△AEC 中 BC，CE 边上的高，
∴∠DMC＝∠ANC＝90°. ∵∠DCE＝90°， ∴∠DCN＝90°. ∴∠DCB＋∠BCN＝90°. ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACN＋∠BCN＝90°. ∴∠DCB＝∠ACN. ∵DC＝AC， ∴△DCM≌△ACN(AAS)． ∴DM＝AN. ∵S△BCD＝BC·2 DM＝S1， S△ACE＝CE·2 AN＝S2， 且 CE＝BC. ∴S1＝S2.
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求解几何综合题时，关键是要抓住“基本图形”，能 在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加 辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想，将 分散的条件相对集中产生基本图形，运用基本图形的性 质，合理运用方程、三角函数运算等方法进行推理与计算．
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(2)当△DEC 绕点 C 旋转到图③所示的位置时，小明 猜想(1)中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出 了△BDC 和△AEC 中 BC，CE 边上的高，请你证明小明 的猜想．
(3)如图④，∠ABC＝60°，点 D 在其角平分线上， BD＝CD＝6，DE∥AB 交 BC 于点 E，若点 F 在射线 BA 上，并且 S△DCF＝S△BDE，请直．接．写．出．相应的 BF 的长．
∵∠BAC≠90°， ∴四边形 ABKC 是等腰梯形， ∴CK＝AB. ∵DC＝DA， ∴∠DCA＝∠DAC. ∵∠KCA＝∠BAC， ∴∠KCD＝∠3， ∴△KCD≌△BAD， ∴∠2＝∠4，KD＝BD，
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∴KD＝BD＝BA＝KC. ∵BK∥AC， ∴∠ACB＝∠6. ∵∠KCA＝2∠ACB， ∴∠5＝∠ACB， ∴∠5＝∠6， ∴KC＝KB， ∴KD＝BD＝KB， ∴∠KBD＝60°. ∵∠ACB＝∠6＝60°－∠1， ∴∠BAC＝2∠ACB＝120°－2∠1. ∵∠1＋(60°－∠1)＋(120°－2∠1)＋∠2＝180°， ∴∠2＝2∠1， ∴∠DBC 与∠ABC 度数的比值为 1∶3.
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解：(1)EG⊥GC，GECC＝ 2. (2)(1)中的结论仍然成立． 证明：取线段 BF 的中点 M，连接 EM，MG. ∵△BEF 是等腰直角三角形， ∴EM＝MB＝FM＝12FB，且∠FME＝90°.
连接 BD，取线段 BD 的中点 N，连接 GN，CN. ∵四边形 ABCD 是正方形，
请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并 加以证明．
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(1)当∠BAC＝90°时，依问题中的条件补全图 Z7－1. 观察图形，AB 与 AC 的数量关系为__相__等____； 当推出∠DAC＝15°时，可进一步推出∠DBC 的度数为 ___1_5_°___；可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为__1_∶__3___．
即 EG⊥GC，GECC＝ 2.
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(3)当 E，F，D 三点共线时，连接 BD.
∵BE＝1，AB＝ 2， ∴BF＝ 2，BD＝2. 在 Rt△BED 中，sin∠EDB＝BBDE＝12. ∴∠EDB＝30°. ∴DE＝ 3， DF＝DE－EF＝ 3－1. ∴∠FBD＝∠EFB－∠EDB＝45°－30°＝15°. ∴∠ABF＝∠ABD－∠FBD＝45°－15°＝30°. ∴tan∠ABF＝ 33.
(3)BF＝2 3或 4 3.
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方法点析
操作探究题是让学生在操作过程中提炼信息，分 析操作步骤与目的，在特例解决的过程中提炼思维， 用来类比发散研究具有普通型的结论，借助图形变换 帮我们更有效地找到解题思路.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
专题七┃北京中考几何综合题分析与预测
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热考一 阅读探究型问题
例 1 [2010·北京] 问题：已知在△ABC 中，∠BAC＝ 2∠ACB，点 D 是△ABC 内一点，且 AD＝CD，BD＝BA.探 究∠DBC 与∠ABC 度数的比值．
专题七 北京中考几何综合题 分析与预测
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京考探究 考情分析
在北京中考试卷中，几何综合题通常出现在后两题， 分值为 8 分或 7 分．几何综合题主要包含三角形(全等、相 似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中 的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换 等规律．
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(2)将图①中的△BEF 绕点 B 顺时针旋转至图②所示位 置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出 证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)将图①中的△BEF 绕点 B 顺时针旋转 α(0°<α <90°)，若 BE＝1，AB＝ 2，当 E，F，D 三点共线时， 求 DF 的长及 tan∠ABF 的值．
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方法点析
图形变换问题的探究，关键是把握在点或图形运 动过程中或是几何图形背景变换过程中始终不变的几 何量或性质，对于变化的量要分析它的运动状态，分 析是否需要分类讨论，分析它们和不变量之间可能有 什么关系，如何建立这种关系．
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∴CN＝BN＝DN＝12BD，且∠CND＝90°. ∵G 是 DF 的中点，
∴GN＝12FB＝EM，GN∥FB. ∴∠GMF＝∠MGN.
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同理 MG＝12BD＝CN，MG∥BD. ∴∠MGN＝∠GND. ∴∠GMF＝∠GND. ∴∠EMG＝∠EMF＋∠GMF＝∠CND＋∠GND＝∠GNC. ∴△EMG≌△GNC. ∴EG＝GC. ∴∠EGM＝∠GCN. 在△CNG 中，∠GNC＋∠GCN＋∠CGN＝180°. ∴∠GND＋∠GCN＋∠CGN＝90°. ∴∠MGN＋∠EGM＋∠CGN＝90°.
2020北京中考各校几何综合集训
1(人大附)2（清华附中）3（首师大附中）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD 的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE．（1）如图1，点D在BC边上．①依题意补全图1；②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长；（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系（直接写出结论）．,DE与AF交于点O.已知正方形ABCD,点E、F分别在射线AB、射线BC上,AE BF(1)如图1，当点E、F分别在射向AB、BC上时，则线段DE于AF的数量关系是________________，位置关系是____________．(2)如图2,当点E在线段AB延长线上时,将线段AE沿AF进行平移至FG,连接DG．①依题意将图2补全;②在点E运动的过程中，DG、AD、AE之间始终保持一种等量关系，你能找到这个关系并证明吗？6（海淀外国语）7（十一学校）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为∠ACB平分线CD上一动点（不与点C 重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接AE并延长交CB延长线于点H，连接FB 并延长交直线AH于点G．（1）求证：AE＝BF．（2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明．（3）连接GC，用等式表示线段GE，GC与GF的数量关系是．1.如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D．点P 为线段CD上一点（不与端点C，D重合），PE⊥PA，PE与BC的延长线交于点E，与AC 交于点F，连接AE，AP，BP．（1）求证：AP=BP；（2）求∠EAP的度数；（3）探究线段EC，PD之间的数量关系，并证明．图①备用图10（北师大附属实验中学）11（陈经纶望京实验中学）12（海淀实验中学）26．四边形ABCD 是正方形，△BEF 是等腰直角三角形，∠BEF ＝90°，BE＝EF ，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC ．（1）如图1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及GCEC 的值；（2）将图1中的△BEF 绕点B 顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）将图1中的△BEF 绕点B 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），若BE ＝1，AB ＝2，当E ，F ，D 三点共线时，求DF 的长及tan ∠ABF 的值．19（北京教师进修学校）在ABC ∆中，AB AC AD CE =，，分别平分BAC ∠和ACB ∠，且AD 与CE 交于点M ．点N 在射线AD 上，且NA NC =．过点N 作NF CE ⊥于点G ，且与AC 交于点F ，再过点F 作//FH CE ，且与AB 交于点H ．（1）如图1，当60BAC ∠= 时，点M N G ，，重合．①请根据题目要求在图1中补全图形；②连结EF HM ，，则EF 与HM 的数量关系是______．（2）如图2，当120BAC ∠= 时，求证：AF EH =；（3）当36BAC ∠= 时，我们称ABC !为“黄金三角形”，此时12BC AC -=．若4EH =，直接写出GM 的长．20(西城实验)如图，正方形ABCD中，P是BA延长线上一点，且∠PDA=α(0° 厸⎥ .点A，点E 关于DP对称，连接ED,EP，并延长EP交射线CB于点F，连接DF.（1）请按照题目要求补全图形（2）求证：∠EDF=∠CDF（3）∠EDF=______________（含有α的式子表示）（4）过点P做PH⊥DP交DF于点H，连接BH，猜想AP与BH的数量关系并加以证明.21（北外附中）22（北师大朝阳附属中学）已知∠MON=120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA=OB，点C在线段OB上（不与点O，B重合），连接CA.将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA´，将射线BO 绕点B逆时针旋转150°与射线CA´交于点D.(1)根据题意补全图1；(2)求证：①∠OAC=∠DCB；②CD=CA（提示：可以在OA上截取OE=OC，连接CE）；(3)点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH=2∠DAH，写出你的猜想并证明.图1备用图GF E如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，E 为外角∠BCD 平分线上一动点（不与点C 重合），点E 关于直线BC 的对称点为F ，连接BE ，连接AF 并延长交直线BE 于点G .（1）求证：AF =BE ；（2）用等式表示线段FG ，EG 与CE 的数量关系，并证明.BA C D25（清华附中朝阳分校）如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE 于点F，连接FC．（1）求证：∠FBC=∠CDF．（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG．①依据题意补全图形；②用等式表示线段DF，BF，CG之间的数量关系并加以证明．26（十三分）在△ABC 中，AB =BC ，BD ⊥AC 于点D ．（1）如图1，当∠ABC =90°时，若CE 平分∠ACB ，交AB 于点E ，交BD 于点F .①求证：△BEF 是等腰三角形；②求证：()BF BC BD +=21；（2）点E 在AB 边上，连接CE .若()BF BC BD +=21，在图2.中补全图形，判断∠ACE 与∠ABC 之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE 与∠ABC 关系的思路图1图2如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为外角∠BCD平分线上一动点（不与点C重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接BE，连接AF并延长交直线BE于点G.（1）求证：AF=BE；（2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明.如图，直线l是线段MN的垂直平分线，交线段MN于点O，在MN下方的直线l上取一点P，连接PN，以线段PN为边，在PN上方作正方形NPAB，射线MA交直线l于点C，连接BC．（1）设∠ONP＝α，求∠AMN的度数；（2）写出线段AM、BC之间的等量关系，并证明．29（广渠门中学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是射线CB上一点,连接AD，过D作DE ⊥AD交射线AB于点E，以A为旋转中心，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AF,过点F作FG⊥AF交AC的延长线于点G，连接EG.（1）如图1，点D在CB上.①依题意补全图1；②猜想DE、EG、FG之间的数量关系并证明；（2）如图2，点D在CB的延长线上.请直接写出DE、EG、FG之间的数量关系为.图1图230（北京四中璞瑅学校）在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连结EC．如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，请你判断线段CE、BD之间的位置和数量关系（直接写出结论）；②当点D在线段BC的延长线上时，请你在图2画出图形，判断①中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接BD，AE⊥BD 于点E．（1）记△ABC得外接圆为⊙O．①请用文字描述圆心O的位置；②求证：点E一定在⊙O上．（2）将射线AE绕点A顺时针旋转45°后，所得到的射线与BD延长线交于点F，连接CF，CE．①依题意补全图形；②用等式表示线段AF，CE，BE的数量关系，并证明．已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M 总有ON＝QP，并证明．已知△ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点，把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△CAN的位置．（1）如图①，若∠BMC＝120°，BM＝2，MC＝3．求：∠AMB的度数和求AM的长．（2）如图②，若∠BMC＝n°，试写出AM、BM、CM之间的数量关系，并证明你的猜想．37（55中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．（1）请根据题意补全图1；（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；（3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°，AB＝2，AD ＝1时，补全图形，直接写出PB的长．38（161中学）39（八一）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．40（朝阳双语学校）已知AC＝DC，AC⊥DC，直线MN经过点A，作DB⊥MN，垂足为B，连接CB．（1）直接写出∠D与∠MAC之间的数量关系；（2）①如图1，猜想AB，BD与BC之间的数量关系，并说明理由；②如图2，直接写出AB，BD与BC之间的数量关系；（3）在MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，直接写出BC的值．41（陈经纶中学）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连结CE．①求证：∠AED＝∠CED；②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）；（2）在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC 的平分线交BD的延长线于点E，连结CE．请补全图形，并用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．42（二中）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点B、C重合），过点B 作BF⊥DE，交射线DE于点F，连接CF．（1）如图1，当点E在线段BC上时，∠BDF＝α．①按要求补全图形；②∠EBF＝（用含α的式子表示）；③判断线段BF，CF，DF之间的数量关系，并证明．（2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF，CF，DF之间的数量关系，不需证明．如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．（1）求证：BD＝CE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；（3）在（2）的条件下，若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ．连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF ．（1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）求证：BF DF ⊥；（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF ＝90°，AE＝EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．（1）如图1，点F在△ABC内，求证：CD＝MN；（2）如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；（3）将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC＝a，AF＝b（b＜a），直接写出EN的最大值与最小值．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出△ACC′的面积最大值．如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°．D为射线BC上一动点．连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至点E，连接AE、DE．点M、N分别是AB、DE的中点，连接MN．（1）如图1，点D在线段BC上．①猜想MN与AB的位置关系，并证明你的猜想；②连接EB，猜想BE与BC的位置关系；（2）在图2中，若点D在线段BC的延长线上，BE与BC的位置关系是否改变？请你补全图形后，证明你的猜想．49（牛栏山中学）50（人大附朝阳分校）正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是__________；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．。
2020年九年级数学中考复习：北京各校几何综合集训(pdf版,无答案)
1(人大附)2（清华附中）3（首师大附中）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD 的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE．（1）如图1，点D在BC边上．①依题意补全图1；②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长；（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系（直接写出结论）．,DE与AF交于点O.已知正方形ABCD,点E、F分别在射线AB、射线BC上,AE BF(1)如图1，当点E、F分别在射向AB、BC上时，则线段DE于AF的数量关系是________________，位置关系是____________．(2)如图2,当点E在线段AB延长线上时,将线段AE沿AF进行平移至FG,连接DG．①依题意将图2补全;②在点E运动的过程中，DG、AD、AE之间始终保持一种等量关系，你能找到这个关系并证明吗？6（海淀外国语）7（十一学校）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为∠ACB平分线CD上一动点（不与点C 重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接AE并延长交CB延长线于点H，连接FB 并延长交直线AH于点G．（1）求证：AE＝BF．（2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明．（3）连接GC，用等式表示线段GE，GC与GF的数量关系是．1.如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D．点P 为线段CD上一点（不与端点C，D重合），PE⊥PA，PE与BC的延长线交于点E，与AC 交于点F，连接AE，AP，BP．（1）求证：AP=BP；（2）求∠EAP的度数；（3）探究线段EC，PD之间的数量关系，并证明．图①备用图10（北师大附属实验中学）11（陈经纶望京实验中学）12（海淀实验中学）26．四边形ABCD 是正方形，△BEF 是等腰直角三角形，∠BEF ＝90°，BE＝EF ，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC ．（1）如图1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及GCEC 的值；（2）将图1中的△BEF 绕点B 顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）将图1中的△BEF 绕点B 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），若BE ＝1，AB ＝2，当E ，F ，D 三点共线时，求DF 的长及tan ∠ABF 的值．19（北京教师进修学校）在ABC ∆中，AB AC AD CE =，，分别平分BAC ∠和ACB ∠，且AD 与CE 交于点M ．点N 在射线AD 上，且NA NC =．过点N 作NF CE ⊥于点G ，且与AC 交于点F ，再过点F 作//FH CE ，且与AB 交于点H ．（1）如图1，当60BAC ∠= 时，点M N G ，，重合．①请根据题目要求在图1中补全图形；②连结EF HM ，，则EF 与HM 的数量关系是______．（2）如图2，当120BAC ∠= 时，求证：AF EH =；（3）当36BAC ∠= 时，我们称ABC !为“黄金三角形”，此时12BC AC -=．若4EH =，直接写出GM 的长．20(西城实验)如图，正方形ABCD中，P是BA延长线上一点，且∠PDA=α(0° ﰐᢜ .点A，点E 关于DP对称，连接ED,EP，并延长EP交射线CB于点F，连接DF.（1）请按照题目要求补全图形（2）求证：∠EDF=∠CDF（3）∠EDF=______________（含有α的式子表示）（4）过点P做PH⊥DP交DF于点H，连接BH，猜想AP与BH的数量关系并加以证明.21（北外附中）22（北师大朝阳附属中学）已知∠MON=120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA=OB，点C在线段OB上（不与点O，B重合），连接CA.将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA´，将射线BO 绕点B逆时针旋转150°与射线CA´交于点D.(1)根据题意补全图1；(2)求证：①∠OAC=∠DCB；②CD=CA（提示：可以在OA上截取OE=OC，连接CE）；(3)点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH=2∠DAH，写出你的猜想并证明.图1备用图GF E如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，E 为外角∠BCD 平分线上一动点（不与点C 重合），点E 关于直线BC 的对称点为F ，连接BE ，连接AF 并延长交直线BE 于点G .（1）求证：AF =BE ；（2）用等式表示线段FG ，EG 与CE 的数量关系，并证明.BA C D25（清华附中朝阳分校）如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE 于点F，连接FC．（1）求证：∠FBC=∠CDF．（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG．①依据题意补全图形；②用等式表示线段DF，BF，CG之间的数量关系并加以证明．26（十三分）在△ABC 中，AB =BC ，BD ⊥AC 于点D ．（1）如图1，当∠ABC =90°时，若CE 平分∠ACB ，交AB 于点E ，交BD 于点F .①求证：△BEF 是等腰三角形；②求证：()BF BC BD +=21；（2）点E 在AB 边上，连接CE .若()BF BC BD +=21，在图2.中补全图形，判断∠ACE 与∠ABC 之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE 与∠ABC 关系的思路图1图2如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为外角∠BCD平分线上一动点（不与点C重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接BE，连接AF并延长交直线BE于点G.（1）求证：AF=BE；（2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明.如图，直线l是线段MN的垂直平分线，交线段MN于点O，在MN下方的直线l上取一点P，连接PN，以线段PN为边，在PN上方作正方形NPAB，射线MA交直线l于点C，连接BC．（1）设∠ONP＝α，求∠AMN的度数；（2）写出线段AM、BC之间的等量关系，并证明．29（广渠门中学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是射线CB上一点,连接AD，过D作DE ⊥AD交射线AB于点E，以A为旋转中心，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AF,过点F作FG⊥AF交AC的延长线于点G，连接EG.（1）如图1，点D在CB上.①依题意补全图1；②猜想DE、EG、FG之间的数量关系并证明；（2）如图2，点D在CB的延长线上.请直接写出DE、EG、FG之间的数量关系为.图1图230（北京四中璞瑅学校）在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连结EC．如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，请你判断线段CE、BD之间的位置和数量关系（直接写出结论）；②当点D在线段BC的延长线上时，请你在图2画出图形，判断①中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接BD，AE⊥BD 于点E．（1）记△ABC得外接圆为⊙O．①请用文字描述圆心O的位置；②求证：点E一定在⊙O上．（2）将射线AE绕点A顺时针旋转45°后，所得到的射线与BD延长线交于点F，连接CF，CE．①依题意补全图形；②用等式表示线段AF，CE，BE的数量关系，并证明．已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M 总有ON＝QP，并证明．已知△ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点，把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△CAN的位置．（1）如图①，若∠BMC＝120°，BM＝2，MC＝3．求：∠AMB的度数和求AM的长．（2）如图②，若∠BMC＝n°，试写出AM、BM、CM之间的数量关系，并证明你的猜想．37（55中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．（1）请根据题意补全图1；（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；（3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°，AB＝2，AD ＝1时，补全图形，直接写出PB的长．38（161中学）39（八一）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．40（朝阳双语学校）已知AC＝DC，AC⊥DC，直线MN经过点A，作DB⊥MN，垂足为B，连接CB．（1）直接写出∠D与∠MAC之间的数量关系；（2）①如图1，猜想AB，BD与BC之间的数量关系，并说明理由；②如图2，直接写出AB，BD与BC之间的数量关系；（3）在MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，直接写出BC的值．41（陈经纶中学）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连结CE．①求证：∠AED＝∠CED；②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）；（2）在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC 的平分线交BD的延长线于点E，连结CE．请补全图形，并用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．42（二中）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点B、C重合），过点B 作BF⊥DE，交射线DE于点F，连接CF．（1）如图1，当点E在线段BC上时，∠BDF＝α．①按要求补全图形；②∠EBF＝（用含α的式子表示）；③判断线段BF，CF，DF之间的数量关系，并证明．（2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF，CF，DF之间的数量关系，不需证明．如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．（1）求证：BD＝CE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；（3）在（2）的条件下，若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ．连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF ．（1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）求证：BF DF ⊥；（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF ＝90°，AE＝EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．（1）如图1，点F在△ABC内，求证：CD＝MN；（2）如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；（3）将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC＝a，AF＝b（b＜a），直接写出EN的最大值与最小值．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出△ACC′的面积最大值．如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°．D为射线BC上一动点．连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至点E，连接AE、DE．点M、N分别是AB、DE的中点，连接MN．（1）如图1，点D在线段BC上．①猜想MN与AB的位置关系，并证明你的猜想；②连接EB，猜想BE与BC的位置关系；（2）在图2中，若点D在线段BC的延长线上，BE与BC的位置关系是否改变？请你补全图形后，证明你的猜想．49（牛栏山中学）50（人大附朝阳分校）正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是__________；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．。
【复习专题】中考数学复习：几何综合题
几何综合题（旋转为主的题型）一、知识梳理二、教学重、难点三、作业完成情况四、典题探究例1 已知：如图，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、BP 为边向线段AB 的同侧作正△APC和正△BPD ，AD 和BC 交于点M.（1）当△APC 和△BPD 面积之和最小时，直接写出AP : PB 的值和∠AMC 的度数； （2）将点P 在线段AB 上随意固定，再把△BPD 按顺时针方向绕点P 旋转一个角度α，当α<60°时，旋转过程中，∠AMC 的度数是否发生变化？证明你的结论.（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC 的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC 的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC 的度数.例2 探究：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=21∠BAD ”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..例3 已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是 ；（2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．DCB AEMMEABCD图1 图2例4 在ABCD 中，A DBC ∠=∠，过点D 作DE DF =，且EDF ABD =∠，连接EF ，EC ，N 、P 分别为EC ，BC 的中点，连接NP . （1）如图1，若点E 在DP 上，EF 与DC 交于点M ，试探究线段NP 与线段NM 的数量关系及ABD ∠与MNP ∠满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M 在线段EF 上，当点M 在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M 的位置，并证明（1）中的结论.五、演练方阵A 档（巩固专练）1．（1）如图1，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE相交于点P ，求证： BE = AD .（2）如图2，在△BCD 中，∠BCD ＜120°，分别以BC 、CD 和BD 为边在△BCD 外部作等边三角形ABC 、等边三角形CDE 和等边三角形BDF ，联结AD 、BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是 （只填序号即可）①AD=BE=CF ；②∠BEC=∠ADC ；③∠DPE=∠EPC=∠CPA =60°； （3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE .2. 已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB 的两侧. （1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB 的大小.3. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AD=AC,AB=AN,连结CD 、BN,CD 的延长线交BN 于点F ． （1）当∠ADN 等于多少度时，∠ACE=∠EBF,并说明理由；（2）在（1）的条件下，设∠ABC=α，∠CAD =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE ≌△FBE ，并说明理由．4. 在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1． （1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．图2AFAB 图1C 1C BA 1A图2A 1C 1ABC图1图3A5. 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =BC =CD ，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若∠MBN =12∠ABC ，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M ，N 分别在DA ，CD 的延长线上，若∠MBN =12∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.6. 如图，四边形ABCD 、1111A B C D 是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形1111A B C D 可以绕中心O 旋转,正方形ABCD 静止不动．（1）如图1，当11D D B B 、、、四点共线时，四边形11DCC D 的面积为 __； （2）如图2，当11D D A 、、三点共线时，请直接写出11CD DD = _________； （3）在正方形1111A B C D 绕中心O 旋转的过程中，直线1CC 与直线1DD 的位置关系是______________,请借助图3证明你的猜想．B 档（提升精练）1. 如图，△ABC 中，∠90ACB =︒, 2=AC ，以AC 为边向右侧作等边三角形ACD ． （1）如图24-1,将线段AB 绕点A 逆时针旋转︒60，得到线段1AB ，联结1DB ，则与1DB 长度相等的线段为 （直接写出结论）；（2）如图24-2，若P 是线段BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转︒60得到点Q ,求ADQ ∠的度数； （3）画图并探究：若P 是直线BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转︒60得到点Q ,是否存在点P ，使得以 A 、 C 、 Q 、 D 为顶点的四边形是梯形，若存在,请指出点P 的位置，并求出PC 的长；若不存在，请说明理由．2. 如图1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，D 、F 分别在AB 、AC 边上，此时BD=CF ，BD ⊥CF 成立．（1）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF 成立吗？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点G ． ①求证：BD ⊥CF ； ②当AB=4，AD=时，求线段BG 的长．3. 已知：在△AOB 与△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，︒=∠=∠90COD AOB ．（1）如图1，点C 、D 分别在边OA 、OB 上，连结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连结OM ，则线段AD 与OM 之间的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）如图2，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α (︒<<︒900α)．连结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连结OM ．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将图1中的 △COD 绕点 O 逆时针旋转到使 △COD 的一边OD 恰好与△AOB 的边OA 在同一条直线上时，点C 落在OB 上，点M 为线段BC 的中点．请你判断（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．4. 在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O 放在斜边AC 上，将三角板绕点O 旋转． （1）当点O 为AC 中点时，①如图1， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，连接EF ，猜想线段AE 、CF 与EF 之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 延长线于E 、F 两点，连接EF ，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当点O 不是AC 中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，若14AO AC ，求OE OF的值．5. 如图1，四边形ABCD ，将顶点为A 的角绕着顶点A 顺时针旋转，若角的一条边与DC 的延长线交于点F ，角的另一条边与CB 的延长线交于点E ，连接EF ． （1）若四边形ABCD 为正方形，当∠EAF=45°时，有EF=DF －BE ．请你思考如何证明这个结论（只思考，不必写出证明过程）；（2）如图2，如果在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC=∠ADC=90°，当∠EAF=21∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）； （3）如图3，如果四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC 与∠ADC 互补，当∠EAF=21∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明．（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF 的周长（直接写出结果即可）．C 档（跨越导练）1. 已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ． （1）如图1，当M A N ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当M A N ∠ 绕点A 旋转到BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．2. 如图，已知四边形ABCD 是正方形，对角线ACBD 相交于O .（1） 如图1，设 E 、F 分别是AD 、AB 上的点，且∠EOF =90°，线段AF 、BF 和EF 之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设 E 、F 分别是AB 上不同的两个点，且∠EOF =45°，请你用等式表示线段AE 、BF 和EF 之间的数量关系，并证明.3. 问题：如图1， 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，点D 是射线CB 上任意一点，△ADE 是等边三角形，且点D 在ACB ∠的内部，连接BE ．探究线段BE 与DE 之间的数量关系． 请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1） 当点D 与点C 重合时（如图2），请你补全图形．由BAC ∠的度数为 ，点E落在 ，容易得出BE 与DE 之间的数量关系为 ；（2） 当点D 在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE 与DE 之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．4. 在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。
中考数学复习专题：几何综合题（含答案解析）
中考数学复习专题：⼏何综合题（含答案解析）⼏何综合题1.已知△ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，且AD =AB ，过点C 作AD 的垂线，交 AD 的延长线于点H ．（1）如图1，若60BAC ∠=?①直接写出B ∠和ACB ∠的度数；②若AB =2，求AC 和AH 的长；（2）如图2，⽤等式表⽰线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．答案：（1）①75B ∠=?，45ACB ∠=?；②作DE ⊥AC 交AC 于点E .Rt △ADE 中，由30DAC ∠=?，AD=2可得DE =1，AE 3=. Rt △CDE 中，由45ACD ∠=?，DE=1，可得EC =1. ∴AC 31=.Rt △ACH 中，由30DAC ∠=?，可得AH 33+=；（2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC证明：延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH .易证△ACH ≌△AFH .∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =，∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =.∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==.2.正⽅形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ．（1）如图1，当045α?<②⽤等式表⽰NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．（2）当4590α?<CDBA图1备⽤图C DBAM答案：（1）①补全的图形如图7所⽰．（2）当45°<α<90°时，=1802NCE BAM ∠?-∠．证明：如图8，连接CM ，设射线AM 与CD 的交点为H ．∵四边形ABCD 为正⽅形，∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，直线BD为正⽅形ABCD的对称轴，点A与点C关于直线BD对称．∵射线AM与线段BD交于点M，∴∠BAM=∠BCM=α．-．∴∠1=∠2=90α∵CE⊥AM，∴∠CEH=90°，∠3+∠5=90°．⼜∵∠1+∠4=90°，∠4=∠5，∴∠1=∠3．-．∴∠3=∠2=90α∵点N与点M关于直线CE对称，-∠．∴∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=1802BAM（313. 如图，已知60AOB ∠=?，点P 为射线OA 上的⼀个动点，过点P 作PE OB ⊥，交OB 于点E ，点D 在AOB ∠内，且满⾜DPA OPE ∠=∠，6DP PE +=. （1）当DP PE =时，求DE 的长；（2）在点P 的运动过程中，请判断是否存在⼀个定点M ，证明你的判断.答案：（1）作PF ⊥DE 交DE 于F . ∵PE ⊥BO ，60AOB ∠=o，∴30OPE ∠=o.∴30DPA OPE ∠=∠=o.∴120EPD ∠=o∴cos30DF PD =??=∴2DE DF ==（2）当M 点在射线OA 上且满⾜OM =DMME的值不变，始终为1.理由如下：当点P 与点M 不重合时，延长EP 到K 使得PK PD =.∵,DPA OPE OPE KPA ∠=∠∠=∠,∴KPA DPA ∠=∠. ∴KPMDPM ∠=∠.∵PK PD =,PM 是公共边, ∴KPM △≌DPM △. ∴MKMD =.作ML ⊥OE 于L ,MN ⊥EK 于N . ∵3,60MO MOL =∠=o，∴sin 603ML MO =?=o.∵PE ⊥BO ,ML ⊥OE ,MN ⊥EK ，∴四边形MNEL 为矩形. ∴3EN ML ==.∵6EK PE PK PE PD =+=+=, ∴EN NK =. ∵MN ⊥EK , ∴MKME =.∴ME MKMD ==,即1DMME=. 当点P 与点M 重合时，由上过程可知结论成⽴.4. 如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，点E 为AB 边上⼀动点（与点A ，B 不重合），连接CE ，将∠ACE 的两边所在射线CE ，CA 以点C 为中⼼，顺时针旋转120°，分别交射线AD 于点F ，G. （1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的⼤⼩（⽤含α的式⼦表⽰）；（3）⽤等式表⽰线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系，并证明．答案：（1）补全的图形如图所⽰.（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC= 30°. ∴∠AGC=30°. ∴∠AFC =α+30°.证明：作CH ⊥AG 于点H.由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.∴CA=CG. ∴HG =21AG. ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ，∴△ACE ≌△GCF. ∴AE =FG .在Rt △HCG 中， .23cos CG CGH CG HG =∠?= ∴AG =3CG .即AF+AE =3CG .5.如图，Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，CA = CB ，过点C 在△ABC 外作射线CE ，且∠BCE = α，点B 关于CE 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CE 于点M ，N . （1）依题意补全图形；（2）当α= 30°时，直接写出∠CMA 的度数；（3）当0°<α< 45°时，⽤等式表⽰线段AM ，CN 之间的数量关系，并证明．答案：（1）如图；ABCE（2）45°；（3）结论：AM CN．证明：作AG⊥EC的延长线于点G．∵点B与点D关于CE对称，∴CE是BD的垂直平分线．∴CB=CD．∴∠1=∠2=α．∵CA=CB，∴CA=CD．∴∠3=∠CAD．∵∠4=90°，∴∠3=12（180°-∠ACD）=12（180°-90°-α-α）=45°-α．∵∠4=90°，CE是BD的垂直平分线，∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°．∴∠6=∠7．∵AG⊥EC，∴∠G=90°=∠8．∴在△BCN和△CAG中，∠8=∠G，∠7=∠6，BC=CA，∴△BCN≌△CAG．∴CN=AG．∵Rt△AMG中，∠G=90°，∠5=45°，∴AM AG．∴AM CN．6.在正⽅形ABCD中，M是BC边上⼀点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．（1）依题意补全图1；答案：（1）补全图形略（2）①证明：连接BD ，如图2，∵线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，∴AQ AP =，90QAP ∠=°．∵四边形ABCD 是正⽅形，∴AD AB =，90DAB ∠=°．∴12∠=∠．∴△ADQ ≌△ABP ．∴DQ BP =，3Q ∠=∠．∵在Rt QAP ?中，90Q QPA ∠+∠=°，∴390BPD QPA ∠=∠+∠=°．∵在Rt BPD ?中，222DP BP BD +=，⼜∵DQ BP =，222BD AB =，∴2222DP DQ AB +=．②BP AB =．7.如图，在等腰直⾓△ABC 中，∠CAB=90°，F 是AB 边上⼀点，作射线CF ，过点B 作BG ⊥C F 于点G ，连接AG ．（1）求证：∠ABG =∠ACF ；（2）⽤等式表⽰线段C G ，AG ，BG 之间∵∠CAB=90°. ∵ BG ⊥CF 于点G ，∴∠BGF =∠CAB =90°. ∵∠GFB =∠CFA . ∴∠ABG =∠ACF .（2）CG =2AG +BG .证明：在CG 上截取CH =BG ，连接AH ，∵△ABC 是等腰直⾓三⾓形，∴∠CAB =90°，AB =AC . ∵∠ABG =∠ACH . ∴△ABG ≌△ACH . ∴ AG =AH ,∠GAB =∠HAC . ∴∠GAH =90°. ∴ 222AG AH GH +=. ∴ GH =2AG . ∴ CG =CH +GH =2AG +BG .8.如图，在正⽅形ABCD 中，E 是BC 边上⼀点，连接AE ，延长CB ⾄点F ，使BF=BE ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，射线FH 分别交AB 、CD 于点M 、N ，交对⾓线AC 于点P ，连接AF ．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠FAC =∠APF ；（3）判断线段FM 与PN 的数量关系，并加以证明．答案：（1）补全图如图所⽰．（2）证明∵正⽅形ABCD ，∴∠BAC =∠BCA =45°，∠ABC =90°，∴∠PAH =45°-∠BAE ．∵FH ⊥AE ．EDCBAM H PDAC∴∠APF=45°+∠BAE．∵BF=BE，∴AF=AE，∠BAF=∠BAE．∴∠FAC=45°+∠BAF．∴∠FAC=∠APF．（3）判断：FM=PN．证明：过B作BQ∥MN交CD于点Q，∴MN=BQ，BQ⊥AE．∵正⽅形ABCD，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°．∴∠BAE=∠CBQ．∴△ABE≌△BCQ．∴AE=BQ．∴AE=MN．∵∠FAC=∠APF，∴FP=MN．∴FM=PN．9.如图所⽰，点P位于等边ABC△的内部，且∠ACP=∠CBP．(1) ∠BPC的度数为________°；(2) 延长BP⾄点D，使得PD=PC，连接AD，CD．①依题意，补全图形；②证明：AD+CD=BD；(3)在(2)的条件下，若BD的长为2，求四边形ABCD的⾯积．M HPD AC解：(1)120°. ----------------------------2分(2)①∵如图1所⽰.②在等边ABC △中，60ACB ∠=?，∴60.ACP BCP ∠+∠=? ∵=ACP CBP ∠∠，∴60.CBP BCP ∠+∠=?∴()180120.BPC CBP BCP ∠=?-∠+∠=?∴18060.CPD BPC ∠=?-∠=? ∵=PD PC ，∴CDP △为等边三⾓形.∵60ACD ACP ACP BCP ∠+∠=∠+∠=?，∴.ACD BCP ∠=∠在ACD △和BCP △中，AC BC ACD BCP CD CP =??∠=∠??=?，，，∴()SAS ACD BCP △≌△. ∴.AD BP =∴.AD CD BP PD BD +=+=-----------------------------------------4分（3）如图2，作BM AD ⊥于点M ，BN DC ⊥延长线于点N .∵=60ADB ADC PDC ∠∠-∠=?，∴=60.ADB CDB ∠∠=?∴=60.ADB CDB ∠∠=?D∴=BM BN BD == ⼜由（2）得，=2AD CD BD +=，ABD BCD ABCD S S S ∴△△四边形=+1122AD BM CD BN =22==-----------------------------------7分10.如图1，在等边三⾓形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设∠DAQ =α（0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （⽤含α的式⼦表⽰）；②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.解：（1）①3-． ………………………………………………………………………… 1分② 0≤QL．……………………………………………………………… 2分（2）设直线+33y x =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B，可得A ，(0,3)B ．∴OA =3OB =，30OAB ∠=?．由0≤Q①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆⼼1D 满⾜题意，其横坐标取到最⼤值．作11D E x ⊥轴于点1E ，可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO=．∵⊙D 的半径为1，∴ 111D E =．∴1AE =11OE OA AE =-=．∴1D x =②如图14，当⊙D与直线y =相切时，相应的圆⼼2D 满⾜题意，其横坐标取到最⼩值．作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．设直线y =与直线+3y =的交点为F ．可得60AOF ∠=?，OF ⊥AB ．则9cos 2AF OA OAF =?∠==．图13∵⊙D 的半径为1，∴ 21D F =．∴2272AD AF D F =-=．=?∠72==，22OE OA AE =-=．∴2D x =．由①②可得，D x≤D x≤． ………………………………………… 5分（3）画图见图15．．……………………………… 7分11.如图，在等边ABC △中， ,D E 分别是边,AC BC 上的点，且CD CE = ,30DBC ∠对称，连接,AF FE ，FE 交BD 于G .（1）连接,DE DF ，则,DE DF 之间的数量关系是；（2）若DBC α∠=，求FEC ∠的⼤⼩; （⽤α的式⼦表⽰）（3）⽤等式表⽰线段,BG GF 和FA 之间的数量关系，并证明.GFEDCBA图15（1）DE DF =；（2）解：连接DE ，DF ，∵△ABC 是等边三⾓形，∴60C ∠=?. ∵DBC α∠=，∴120BDC α∠=?-.∴120BDF BDC α∠=∠=?-，DF DC =. ∴1202FDC α∠=?+. 由（1）知DE DF =.∴F ，E ，C 在以D 为圆⼼，DC 为半径的圆上.∴1602FEC FDC ∠=∠=?+α.（3）BG GF FA =+.理由如下：连接BF ，延长AF ，BD 交于点H ，∵△ABC 是等边三⾓形，∴60ABC BAC ∠=∠=?，AB BC CA ==. ∵点C 与点F 关于BD 对称，∴BF BC =，FBD CBD ∠=∠.GFEDCBA∴BF BA =. ∴BAF BFA ∠=∠. 设CBD α∠=，则602ABF α∠=?-. ∴60BAF α∠=?+. ∴FAD α∠=.∴FAD DBC ∠=∠.由（2）知60FEC α∠=?+. ∴60BGE FEC DBC ∠=∠-∠=?. ∴120FGB ∠=?，60FGD ∠=?.四边形AFGB 中，360120AFE FAB ABG FGB ∠=?-∠-∠-∠=?. ∴60HFG ∠=?.∴△FGH 是等边三⾓形. ∴FH FG =，60H ∠=?. ∵CD CE =，∴DA EB =.在△AHD 与△BGE 中，,,.AHD BGE HAD GBE AD BE ∠=∠??∠=∠??=?∴△△AHD BGE ?. ∴BG AH =.∵AH HF FA GF FA =+=+，∴BG GF FA =+．HGFEDCBA12.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，M是BC的中点，延长AM到点D，AE= AD，∠EAD=90°，CE交AB于点F，CD=DF.（1）∠CAD= 度；（2）求∠CDF的度数；（3）⽤等式表⽰线段CD和CE之间的数量关系，并证明.解：（1）45 ……………………………………………………………1分（2）解：如图，连接DB.∵90，°，M是BC的中点，AB AC BAC=∠=∴∠BAD=∠CAD=45°.∴△BAD≌△CAD. ………………………………2分∴∠DBA=∠DCA，BD = CD.∵CD=DF,∴B D=DF. ………………………………………3分∴∠DBA=∠DFB=∠DCA.∵∠DFB+∠DFA =180°,∴∠DCA+∠DFA =180°.∴∠BAC+∠CDF =180°.∴∠CDF =90°. ………………………………………4分21CD. ……………………………………5分（3）CE=)证明：∵90∠=°，EAD∴∠EAF =∠DAF =45°. ∵AD =AE ，∴△EAF ≌△DAF . …………………………………6分∴DF =EF .由②可知，CF. …………………………7分∴CE=)1C D .13.如图，正⽅形ABCD 中，点E 是BC 边上的⼀个动点，连接AE ，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ，连接EF ，交对⾓线BD 于点G ，连接AG ．（1）根据题意补全图形；（2）判定AG 与EF 的位置关系并证明；（3）当AB = 3，BE = 2时，求线段BG 的长．解：（1）图形补全后如图…………………1分（2）结论：AG ⊥EF ． …………………2分证明：连接FD ，过F 点FM ∥BC ，交BD 的延长线于点M ．∵四边形ABCD 是正⽅形，∴AB=DA=DC=BC ，∠DAB =∠ABE =∠ADC =90°，∠ADB =∠5=45°．∵线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ，A BC ED∴AE=AF ，∠FAE =90°．∴∠1=∠2．∴△FDA ≌△EBA ． …………………3分∴∠FDA =∠EBA =90°，FD=BE ．∵∠ADC =90°，∴∠FDA +∠ADC =180°。
北京中考专题复习--几何综合
几何综合知识框架几何综合题型一般以基本图形（正方形、特殊平行四边形、等边、等腰、直角三角形等）为载体，考查运用图形变换（平移、旋转、轴对称）分析图形中基本量之间的数量关系的探究过程。
涉及初中数学九大几何模型：1、中点类辅助线2、角平分线、垂直平分线类辅助线3、相似模型4、旋转之手拉手模型5、旋转之对角互补模型6、旋转之半角模型7、旋转之构造等边三角形8、旋转之费马点模型9、最短距离问题解题思路：从复杂的图形中“抽”出简单图形，在简单图形中进行逻辑推导，应用相关几何模型，找到解题思路。
知识梳理中点类辅助线见中点---倍长中线：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
在△ABC中, AD是BC边中线。
方式1：直接倍长，(图1)：延长AD到E，使DE=AD，连接BE例：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE 交AC于F，求证：AF=EF方式2：间接倍长1)（图2）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E, 连接BE2)（图3）延长MD到N，使DN=MD，连接CD例：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF 与EF的大小.方式3：平行线间线段有中点如图：AD∥BE，F为DE中点。
可构造8字全等△ADF≌△HEF。
例：如图，在矩形ABCD中，BD=BE，F为DE中点。
试探究AF与CF之间的位置关系。
例：如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，M为AD中点，CE⊥AB。
求证：∠EMD=3∠MEA。
见多个中点----构造中位线：已知三角形的两边有中点，可以连接这两个中点构造中位线；已知一边中点，可以在另一边上取中点，连接构造中位线；已知一边中点，过中点作平行线可构造相似三角形.例：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD 的延长线分别交EF的延长线G、H。
2020中考数学 压轴专题：几何综合(含答案)
2020中考数学 压轴专题：几何综合（含答案）1. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点P 是AC 上的一个动点(点P 与A 、C 不重合)，连接BP ，分别过点B 、C 作BP 、AC 的垂线BQ 、CQ ，两垂线交于点Q ，连接QP ，交BC 于点E . (1)求证：CQ ＝AP ； (2)求证：△CPB ∽△CEQ ；(3)若AB ＝22，在点P 的运动过程中，是否存在一点P ，使得CE ＝38BC ？若存在，请求出△ABP 的面积，若不存在，请说明理由．第1题图(1)证明：∵在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，∴∠A ＝∠ACB ＝45°， ∵BQ ⊥BP , CQ ⊥AC ， ∴∠QCB ＝∠A ＝45°，∵∠ABP ＋∠PBC ＝∠QBC ＋∠PBC ＝90°， ∴∠ABP ＝∠QBC . 又∵BA ＝BC ， ∴△BAP ≌△BCQ (ASA). ∴CQ ＝AP ；(2)证明：由(1)得，∠QCB ＝∠ACB ＝45°，又∵∠PCQ ＋∠PBQ ＝180°， ∴P 、C 、Q 、B 四点共圆， ∴∠CQP ＝∠PBC ， ∴△CPB ∽△CEQ ； (3)解：存在．理由如下：由CE ＝38BC ，可得CE ＝38BC ＝38AB ＝324，由勾股定理可得，AC ＝AB 2＋BC 2＝4；设AP ＝CQ ＝x ，则PC ＝4－x ，由(2)得△CPB ∽△CEQ ， ∴CP CE ＝BCCQ ，即4－x 324＝22x ， 可得x 2－4x ＋3＝0， 解得x ＝3或1，第1题解图如解图，过点P 作PD ⊥AB 于D ， 易得△APD ∽△ACB ， ∴PD BC ＝AP AC， 即PD ＝AP ·BC AC ＝AP ·224＝22AP ， 当AP ＝3时，可得PD ＝322，此时S △ABP ＝12AB ·PD ＝12×22×322＝3，当AP ＝1时，可得PD ＝22，此时S △ABP ＝12AB ·PD ＝12×22×22＝1. ∴存在满足CE ＝38BC 的点P ，此时△ABP 的面积为3或1.2. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点P 是线段BC 延长线上任意一点，以AP 为直角边作等腰直角△APD ，且∠APD ＝90°，连接BD . (1)求证：AC AP ＝AB AD；(2)在点P 运动过程中，试问∠PBD 的度数是否会变化？若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势；(3)已知AB ＝2，设CP ＝x ，S △PBD ＝S . ①试求S 关于x 的函数表达式； ②当S ＝38时，求△BPD 的外接圆半径．第2题图(1)证明：如解图，设AD 与PB 交于点K .∵CA ＝BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，∵P A ＝PD ，∠APD ＝90°，∴∠PDK ＝∠P AD ＝∠ABK ＝45°，∵∠AKB ＝∠DKP ， ∴△AKB ∽△PKD ， ∴AK PK ＝BKDK， ∴AK KB ＝PKDK，∵∠AKP ＝∠BKD ， ∴△AKP ∽△BKD ，∴∠BDK ＝∠APK ，∠P AK ＝∠DBK ＝45°， ∴∠ABD ＝∠ABK ＋∠DBK ＝90°， ∴∠ABD ＝∠ACP ，∵∠ADB ＝∠APC ， ∴△ABD ∽△ACP ， ∴AC AP ＝ABAD； (2)解：∠PBD 的度数是定值，恒为45°.理由：由(1)可知△AKP ∽△BKD ， ∴∠P AK ＝∠DBK ＝45°，∴在点P 运动过程中，∠PBD 的度数是定值，且∠PBD ＝45° (3)解：①在Rt △ABC 中，∵AB ＝2，∴BC ＝AC ＝1， 在Rt △ACP 中，P A ＝AC 2＋PC 2＝1＋x 2，∵△ABD ∽△ACP ， ∴AC AB ＝PCBD，∴12＝x BD， ∴BD ＝2x ，∴S ＝S △ABD ＋S △APD －S △ABP ＝12·2·2x ＋12·1＋x 2·1＋x 2－12(1＋x )·1＝12x 2＋12x .②如解图，取AD 的中点O ，连接OB 、OP .第2题解图∵∠ABD ＝∠APD ＝90°， ∴OB ＝OA ＝OP ＝OD ，∴点O 是△PBD 的外接圆的圆心， ∵S ＝38，∴12x 2＋12x ＝38， 解得x ＝12或－32(舍去)，∴PC ＝12，由(2)可知BD ＝2x ， ∴BD ＝22， 在Rt △ABD 中， AD ＝AB 2＋BD 2＝（2）2＋（22）2＝102， ∴OD ＝12AD ＝104，∴△PBD 的外接圆的半径为104. 3. 如图①，点P 在∠MON 的平分线上，且OP ＝2，以P 为顶点作∠APB, 与∠MON 的两边分别交于点A 、B ，其中∠APB 绕点P 旋转时，始终满足OA ·OB ＝OP 2.(1)已知∠MON＝α，求∠APB的度数(用含α的代数式表示)；(2)如图②，若∠MON＝90°，求出四边形OAPB面积的最小值．第3题图解：(1)∵OA·OB＝OP2，∴OA OP ＝OP OB，∵OP平分∠MON，∴∠AOP＝∠POB，∴△AOP∽△POB，∴∠P AO＝∠BPO，∴∠APB＝∠APO＋∠BPO＝∠APO＋∠P AO，在△APO中，由三角形内角和定理得：∠APO＋∠P AO＝180°－∠AOP，∵∠MON＝α，∴∠AOP＝12α，∴∠APB＝180°－12α；(2)∵(AO－BO)2＝AO－2AO·BO＋BO≥0，∴AO＋BO≥2AO·BO＝2OP2＝4，第3题解图如解图，过点P作PG⊥OM、PH⊥ON，垂足分别为G、H，∵∠MON＝90°，OP平分∠MON，∴PG＝PH，∠POH＝45°，∴S四边形APBO＝S△APO＋S△POB＝12OA·PG＋12OB·PH＝12(OA＋OB)·PH，∴S四边形APBO≥12×4·PH＝2PH，∵OP平分∠MON，∠MON＝90°，又∵∠PHO＝90°，PO＝2，∴PH＝OH＝2，∴S四边形APBO≥22，即四边形APBO面积的最小值为2 2.4. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB＝90°，PM⊥AD，PN⊥AB.(1)求证：四边形PMAN是正方形；(2)求证：EM＝BN；(3)若点P在线段AC上移动，其他不变，设PC＝x，AE＝y，求y关于x的解析式，并写出自变量x的取值范围．第4题图(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝90°，AC 平分∠BAD ， ∵PM ⊥AD ，PN ⊥AB ，∴PM ＝PN ，∠PMA ＝∠PNA ＝90°， ∴四边形PMAN 是矩形， ∵PM ＝PN ，∴四边形PMAN 是正方形；(2)证明：∵四边形PMAN 是正方形， ∴PM ＝PN ，∠MPN ＝90°， ∵∠EPB ＝90°， ∴∠MPE ＝∠NPB ， 在△EPM 和△BPN 中，⎩⎨⎧∠PME ＝∠PNBPM ＝PN∠MPE ＝∠NPB， ∴△EPM ≌△BPN (ASA)， ∴EM ＝BN ；(3)解：如解图，过P 作PF ⊥BC 于F ，第4题解图∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，∠PCF＝45°，∴AC＝12＋12＝2，△PCF是等腰直角三角形，∴AP＝AC－PC＝2－x，BN＝PF＝22x，∴EM＝BN＝22x，∵∠P AM＝45°，∠PMA＝90°，∴△APM是等腰直角三角形，∴AP＝2AM＝2(AE＋EM)，即2－x＝2(y＋22x)，解得y＝1－2x，∴x的取值范围为0≤x≤2，2∴y＝1－2x(0≤x≤22)．5. 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝102，直线MN过点A且MN∥BC，以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D在直线MN上(不与点A重合)，如图①，DE与AC交于点P，设BD＝x，DP ＋BC＝y，cos∠ADP＝z.(1)猜想y关于x(2)如图②，DE与CA的延长线交于点P，以上y关于x的函数表达式仍成立吗？请证明；(3)如图③，DE与AC的延长线交于点P，BD与AP交于点Q，若此时x＝BD＝202，求S△ABQ的值．第5题图解：(1)y 关于x 的函数表达式为y ＝x ＋20，z 关于x 的函数表达式为z ＝10x， 证明：如解图①，过点D 作DF ⊥AD 交AB 于点F ，交BC 于点G ， ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝45°， ∴∠BAD ＝∠AFD ＝45°，∴△ADF 是等腰直角三角形，∴AD ＝DF ，∠DAP ＝45°＋90°＝135°，∠DFB ＝180°－45°＝135°， ∵∠BDP ＝∠ADF ＝90°， ∴∠ADP ＝∠FDB ， 在△ADP 和△FDB 中，⎩⎨⎧∠ADP ＝∠FDBAD ＝FD∠DAP ＝∠DFB， ∴△ADP ≌△FDB ， ∴DP ＝BD ＝x ，∵AB ＝AC ＝102，∠BAC ＝90°，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝20，∴y ＝x ＋20， ∵AD ∥BC ，∴DG ＝22AB ＝22×102＝10， 在Rt △BDG 中，cos ∠BDG ＝DG DB ＝10x ，∵∠ADP ＝∠BDG ，∴z ＝cos ∠ADP ＝cos ∠BDG ＝10x ；第5题解图①(2)y 关于x 的函数表达式仍然成立，第5题解图②如解图②，过点D 作DF ⊥MN ，交AB 延长线于点F ， ∵由(1)知∠BAD ＝45°，∴∠AFD ＝45°，∴DA ＝DF ，∵∠FDB ＋∠BDA ＝90°，∠BDA ＋∠ADP ＝90°， ∴∠FDB ＝∠ADP ，∵∠DAP ＝90°－∠BAD ＝45°， 在△ADP 和△FDB 中，⎩⎨⎧∠DAP ＝∠DFBDA ＝DF∠ADP ＝∠FDB， ∴△ADP ≌△FDB ， ∴DP ＝BD ＝x ， ∵BC ＝20， ∴y ＝x ＋20成立；第5题解图③(3)如解图③，过点B 作BT ⊥MN 于点T ， ∵MN ∥BC ，∠ABC ＝45°， ∴∠TAB ＝∠ABC ＝45°， ∵AB ＝102， ∴AT ＝BT ＝10， ∵BD ＝202， ∴在Rt △BTD 中，DT ＝BD 2－BT 2＝107，∵MN ∥BC ， ∴△AQD ∽△CQB ， ∴AQ QC ＝ADBC， ∴AQAC －AQ＝DT －AT BC ，∴AQ102－AQ＝107－1020，解得AQ ＝402－10143，∴S △ABQ ＝12AB ·AQ ＝12×102×402－10143＝400－10073.6. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，DC ＝8，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB ，CD ，DA 上，AH ＝2，连接CF .(1)若DG ＝2，求证：四边形EFGH 为正方形； (2)若DG ＝6，求△FCG 的面积．第6题图(1)证明：∵四边形EFGH 为菱形，∴HG ＝EH ， ∵AH ＝2，DG ＝2， ∴DG ＝AH ，在Rt △DHG 和Rt △AEH 中，⎩⎨⎧HG ＝EH DG ＝AH ， ∴Rt △DHG ≌Rt △AEH ， ∴∠DHG ＝∠AEH ， ∵∠AEH ＋∠AHE ＝90°， ∴∠DHG ＋∠AHE ＝90°， ∴∠GHE ＝90°，∴四边形EFGH 为正方形；(2)解：如解图，过点F 作FQ ⊥CD 交DC 的延长线于Q ，连接GE ，第6题解图∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ∥CD ， ∴∠AEG ＝∠QGE ，即∠AEH ＋∠HEG ＝∠QGF ＋∠FGE ， ∵四边形EFGH 为菱形， ∴HE ＝GF ，HE ∥GF ， ∴∠HEG ＝∠FGE ， ∴∠AEH ＝∠QGF ， 在△AEH 和△QGF 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠Q∠AEH ＝∠QGF HE ＝FG， ∴△AEH ≌△QGF ， ∴AH ＝QF ＝2， ∵DG ＝6，CD ＝8， ∴CG ＝2，∴S △FCG ＝12CG ·FQ ＝12×2×2＝2.7. 如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，延长AC 到E ，使得CE ＝BD ，连接DE 交BC 于F . (1)求证：CE ＝2CF ；(2)当∠A ＝60°，AB ＝6，将△CEF 绕点C 逆时针旋转角α(0°≤α≤360°)，得到△CE ′F ′，当点F ′恰好落在直线AC 上，连接BE ′，求此时BE ′的长．第7题图(1)证明：如解图①，过D作DG∥BC交AC于G，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵DG∥BC，∴∠GDC＝∠BCD，∴∠GDC＝∠GCD，第7题解图①∴DG＝GC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，∴∠ADG＝∠AGD，∴AD＝AG，∴BD＝CG，∵CE＝BD，∴CG＝CE，∵DG∥BC，∴CF是△EDG的中位线，∴DG＝2CF，∴CE＝CG＝DG＝2CF；(2)解：①当点F旋转到线段AC上点F′处时，如解图②所示，∵∠F′CE′＝∠FCE＝120°，∠ACD＝30°，∴∠DCE′＝90°＝∠CDB，∴AB∥CE′，∵BD＝CE＝CE′，∴四边形BDCE′是矩形，∴BE′＝CD＝32AB＝32×6＝33；第7题解图②当点F旋转到线段AC的延长线上的点F′处时，如解图③，连接AE′，易得四边形ADCE′是矩形，∴AE′＝DC＝33，∠E′AC＝30°，∠BAE′＝90°，在Rt△ABE′中，由勾股定理得BE′＝AB2＋AE′2＝62＋（33）2＝37.8. 如图，在▱ABCD中，AC⊥CD，点E在射线CB上，点F在射线DC上，且∠EAF＝∠B.(1)当∠BAD＝135°时，若点E在线段CB上，点F在线段DC上，求证：BE＋22DF＝AD；(2)当∠BAD＝120°时，若点E在线段CB上，点F在线段DC上，求AD、BE、DF之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；(3)当∠BAD＝120°时，连接EF，直线AF与直线BC交于点Q，当AB＝3，BE＝2时，请分别求出EQ和EF的长．第8题图(1)证明：∵∠BAD ＝135°，且∠BAC ＝90°，∴∠CAD ＝45°，即△ABC 、△ADC 都是等腰直角三角形； ∴AD ＝2AC ，且∠D ＝∠ACB ＝45°； 又∵∠EAC ＝∠DAF ＝45°－∠F AC ， ∴△AEC ∽△AFD ， ∴AE AF ＝EC FD ＝AC AD ＝12，即EC ＝22FD ； ∴BC ＝BE ＋22DF ，即BE ＋22DF ＝AD ； (2)解：2BE ＋DF ＝AD ；理由如下： 如解图①，取BC 的中点G ，连接AG ；第8题解图①易知：∠DAC ＝∠BCA ＝30°，∠B ＝∠D ＝60°； 在Rt △ABC 中，G 是斜边BC 的中点，则： ∠AGE ＝60°，AD ＝BC ＝2AG ；∵∠GAD ＝∠AGE ＝60°＝∠EAF ， ∴∠EAG ＝∠F AD ＝60°－∠GAF ； 又∵∠AGE ＝∠D ＝60°，∴△AGE ∽△ADF ，得：AG AD ＝EG FD ＝12；即FD ＝2EG ；∴BC ＝2BG ＝2(BE ＋EG )＝2BE ＋2EG ＝2BE ＋DF ， 即AD ＝2BE ＋DF ；(3)解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝30°，AB ＝3，则BC ＝AD ＝6，EC ＝4.①当点E 、F 分别在线段BC 、CD 上时，如解图②，过F 作FH ⊥BQ 于H ；同(2)可知：DF ＝2EG ＝2，CF ＝CD －DF ＝1；在Rt △CFH 中，∠FCH ＝60°，CH ＝12，FH ＝32；易知：△ADF ∽△QCF ，由DF ＝2CF ，可得CQ ＝12AD ＝3；∴EQ ＝EC ＋CQ ＝4＋3＝7；在Rt △EFH 中，EH ＝EC ＋CH ＝92，FH ＝32；由勾股定理可求得：EF ＝21；②当点E 、F 分别在CB 、DC 的延长线上时，如解图③； 分别过点A 、F 作BC 的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵∠EAF ＝∠GAD ＝60°， ∴∠EAG ＝∠F AD ＝60°＋∠F AG ， 又∵∠EGA ＝∠D ＝60°，∴△EAG ∽△F AD ，得：EG FD ＝AG AD ＝12；即FD ＝2EG ＝10，FC ＝10－CD ＝7； 在Rt △FCN 中，∠FCN ＝60°， 易求得FN ＝732，NC ＝72，GN ＝12； 在等边△ABG 中，AM ⊥BG ，易求得AM ＝332，MG ＝32，MN ＝MG －GN ＝1； 由△AMQ ∽△FNQ ，得：AM FN ＝MQ NQ ＝37，即QN ＝710，MQ ＝310； EQ ＝EB ＋BM ＋MQ ＝2＋32＋310＝195；由勾股定理得EF ＝57；综上可知：EQ ＝7或195，EF ＝21或57.图②图③第8题解图9. 如图①，已知△ACB和△DCE为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE.(1)求证：AD＝BE；(2)求∠AEB的度数；(3)如图②，若△ACB和△DCE为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM⊥DE于点M，连接BE.①计算∠AEB的度数；②写出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．图① 图②第9题图(1)证明：∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°. ∴∠ACD ＝∠BCE ， 在△ACD 和△BCE 中，⎩⎨⎧AC ＝BC∠ACD ＝∠BCE CD ＝CE∴△ACD ≌△BCE (SAS)， ∴AD ＝BE . (2)∵△ACD ≌△BCE∴∠ADC ＝∠BEC . ∵△DCE 为等边三角形， ∴∠CDE ＝∠CED ＝60°.∵点A ，D ，E 在同一条直线上， ∴∠ADC ＝120°， ∴∠BEC ＝120°，∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝60°. (3)①如解图，∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形， 且∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACD ＝∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ＝∠BCE ， 在△ACD 和△BCE 中，⎩⎨⎧CA ＝CB∠ACD ＝∠BCE CD ＝CE， ∴△ACD ≌△BCE (SAS)， ∴AD ＝BE ，∠ADC ＝∠BEC . ∵△DCE 为等腰直角三角形， ∴∠CDE ＝∠CED ＝45°. ∵点A ，D ，E 在同一直线上， ∴∠ADC ＝135°， ∴∠BEC ＝135°，∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝90°，第9题解图②∵CD ＝CE ，CM ⊥DE 于M ， ∴DM ＝ME ， ∵∠DCE ＝90°， ∴DM ＝ME ＝CM ， ∴AE ＝AD ＋DE ＝BE ＋2CM .10. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝2，∠ABC ＝120°，动点P 在线段BD 上从点B向点D 运动，PE ⊥AB 于点E ，四边形PEBF 关于BD 对称，四边形QGDH 与四边形PEBF 关于AC 对称．设菱形ABCD 被这两个四边形盖住部分的面积为S 1，BP ＝x ：(1)对角线AC 的长为________；S 菱形ABCD ＝________；(2)用含x 的代数式表示S 1；(3)若点P 在移动过程中满足S 1＝12S 菱形ABCD 时，求x 的值．第10题图解：(1)23；23；【解法提示】∵菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝2，∠ABC ＝120°，∴∠AOB ＝90°，∠ABO ＝60°，∴AO ＝AB ·sin60°＝3，BO ＝AB ·cos60°＝1，∴AC ＝2AO ＝23，BD ＝2BO ＝2，∴S 菱形ABCD ＝23·22＝23， (2)由题意可得∠ABO ＝60°，BP ＝x ，∠PEB ＝90°，∴BE ＝BP ·cos60°＝x 2，PE ＝BP ·sin60°＝3x 2， ∴当0＜x ≤1时，S 1＝12x ·3x 22×4＝3x 22， 当1＜x ≤2时，S 1＝12x ·3x 22×4－2（x －1）·2×33（x －1）2＝－36x 2＋43x 3－233， 综上所述，S 1＝⎩⎨⎧3x 22 0＜x ≤1－3x 26＋43x 3－233 1＜x ≤2；(3)∵菱形的面积是23， ∴令32x 2＝3，解得x 1＝2＞1(舍去)，x2＝－2(舍去)，令－32＋433x－233＝3，解得x1＝4＋6＞2(舍去)，x2＝4－6，6x时，x的值是4－ 6.即若点P在移动过程中满足S1＝12S菱形ABCD。
中考数学专题复习：几何综合题
【考点总结】四、全等三角形的性质与判定
1．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等． 3．判定：(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)； (2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)； (3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)； (4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)； (5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．
三角形专题
1，掌握三角形相关基础知识（2课时）
目标
2，掌握三角形有关模型的全等或相似证明（3课时） 3，完成三角形有关模型的全等或相似证明（3课时）
三角形
模型
手拉手模型
三垂直模型
相似模型
三角形有关的知识
【考点总结】一、三角形中的重要线段 1．三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做 三角形的高线，简称高． 特性：三角形的三条高线相交于一点． 2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．特性：三角 形的三条中线交于一点． 3．三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半 4．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线 段叫做三角形的角平分线． 特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心． 性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
小组合作
1.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段
2020北京市中考数学专题复习 二次函数综合题
二、重难专题突破专题七二次函数综合题(必考)类型一抛物线图象性质问题(8年2考：2017.27、2013.23)1.(2019通州区一模)已知二次函数y＝x2－ax＋b在x＝0和x＝4时的函数值相等.(1)求二次函数y＝x2－ax＋b的对称轴；(2)过P(0，1)作x轴的平行线与二次函数y＝x2－ax＋b的图象交于不同的两点M、N.①当MN＝2时，求b的值；②当PM＋PN＝4时，请结合函数图象，直接写出b的取值范围.2.(2019石景山区一模)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋1(k≠0)经过点A(2，3)，与y轴交于点B，与抛物线y＝ax2＋bx＋a的对称轴交于点C(m，2).(1)求m的值；(2)求抛物线的顶点坐标；(3)N(x1，y1)是线段AB上一动点，过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点P(x2，y2)，Q(x3，y3)(点P在点Q的左侧).若x2＜x1＜x3恒成立，结合函数的图象，求a的取值范围.3.(2019海淀区一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点A(0，－3)和B(3，0).(1)求c的值及a，b满足的关系式；(2)若抛物线在A，B两点间从左到右上升，求a的取值范围；(3)结合函数图象判断：抛物线能否同时经过点M(－1＋m，n)，N(4－m，n)？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和n的值；若不能，请说明理由.类型二抛物线与直线(线段)的公共点问题(8年5考：2019.26、2018.26、2015.27、2014.23、2012.23)1.(2019朝阳区一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－2x＋a－3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B.(1)求点B的坐标；(2)将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.2.(2019西城区一模)在平面直角坐标系中xOy中，已知抛物线y＝x2－mx＋n.(1)当m＝2时，①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；②若点A(－2，y1)，B(x2，y2)都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是；(2)已知点P(－1，2)，将点P向右平移4个单位长度，得到点Q.当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围.3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－(2a＋2)x＋b(a≠0)，在x＝0和x＝6时函数值相等.(1)求a的值；(2)若抛物线与直线y＝－2x的一个交点为(2，m)，求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，直线y＝－2x－4与x轴，y轴分别交于A、B两点，将线段AB向右平移n(n＞0)个单位，同时将抛物线在2≤x≤7的部分图象向左平移n个单位后得到的图象记为G，若图象G与平移后的线段有公共点，结合函数图象，求n的取值范围.第3题图4.(2019丰台区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2－2ax－3a(a≠0)和点A(0，－3).将点A向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B.(1)求点B的坐标；(2)求抛物线C1的对称轴；(3)把抛物线C1沿x轴翻折，提到一条新抛物线C2，抛物线C2与抛物线C1组成的图象记为G.若图象G 与线段AB恰有一个交点时，结合图象，求a的取值范围.类型三抛物线与直线(线段)构成封闭区域的整点问题(仅2016.27考查)1.(2019通州区期末)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－4ax＋m(a≠0)与x轴的交点为A、B，(点A在点B的左侧)，且AB＝2.(1)求抛物线的对称轴及m的值(用含字母a的代数式表示)；(2)若抛物线y＝ax2－4ax＋m(a≠0)与y轴的交点在(0，－1)和(0，0)之间，求a的取值范围；(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有5个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围.2.(2019石景山区期末)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋b(k≠0)与抛物线y＝ax2－4ax＋3a的对称轴交于点A(m，－1)，点A关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点.(1)求抛物线的对称轴及a的值；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记直线y＝kx＋b(k≠0)与抛物线围成的封闭区域(不含边界)为W.①当k＝1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求b的取值范围.3.(2019门头沟区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a≠0)顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧).我们规定：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”(不包含边界)；横、纵坐标都是整数的点称为整点.(1)求抛物线y＝ax2－2ax－3a顶点P的坐标(用含a的代数式表示)；(2)如果抛物线y＝ax2－2ax－3a经过(1，3).①求a的值；②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的个数.(3)如果抛物线y＝ax2－2ax－3a在“G区域”内有4个整点，直接写出a的取值范围.。
2020年北京中考数学复习课件§7.5 几何压轴综合题
解析 (1)补全的图形如图所示. (1分) (2)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=CA. ∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°. 由平移可知ED∥BC,ED=BC. (2分) ∴∠ADE=∠ACB=60°. ∵∠GMD=90°, ∴DG=2DM=DE. (3分) ∵DE=BC=AC,∴DG=AC.∴AG=CD. (4分) (3)线段AH与CG的数量关系为AH=CG. (5分) 证明:如图,连接BE,EF.∵ED=BC,ED∥BC, ∴四边形BEDC是平行四边形.
解析 (1)∵△ABC为等边三角形,∴∠B=60°. ∴∠APC=∠BAP+∠B=80°. ∵AP=AQ,∴∠AQB=∠APC=80°. (2)①补全的图形如图所示. ②想法1: 证明:过点A作AH⊥BC于点H,如图. 由△ABC为等边三角形,AP=AQ,可得∠PAB=∠QAC. ∵点Q,M关于直线AC对称, ∴∠QAC=∠MAC,AQ=AM. ∴∠PAB=∠MAC,AM=AP.∴∠PAM=∠BAC=60°. ∴△APM为等边三角形.∴PA=PM. 想法2:
1.(2019北京,27,7分)已知∠AOB=30°,H为射线OA上一定点,OH= 3 +1,P为射线OB上一点,M为线段OH上一 动点,连接PM,满足∠OMP为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转150°,得到线段PN,连接ON. (1)依题意补全图1; (2)求证:∠OMP=∠OPN; (3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值,使得对于任意的点M总有ON=QP,并证明.
解析 (1)由对称可知CD=C'D,∠CDE=∠C'DE. 在正方形ABCD中,AD=CD,∠ADC=90°, ∴AD=C'D.又∵F为AC'中点, ∴DF⊥AC',∠ADF=∠C'DF. (1分)
【备考2020】北师大初中数学中考冲刺：几何综合问题--知识讲解(基础)
1 中考冲刺：几何综合问题—知识讲解（基础）【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过 添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经 验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用 数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1．如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P 、Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间（0≤t ≤6），那么：⑴当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？⑵求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论；⑶当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？D ABC QP2【思路点拨】⑴中应由△QAP 为等腰直角三角形这一结论，需补充条件AQ=AP ，由AQ=6－t ，AP=2t ，可求出t 的值；⑵中四边形QAPC 是一个不规则图形，其面积可由矩形面积减去△DQC 与△PBC 的面积求出；⑶中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此需分类讨论. 【答案与解析】解：（1）对于任何时刻t ，AP=2t ，DQ=t ，QA=6-t ．当QA=AP 时，△QAP 为等腰直角三角形，即6-t=2t ，解得：t=2（s ），所以，当t=2s 时，△QAP 为等腰直角三角形．（2）在△QAC 中，QA=6-t ，QA 边上的高DC=12，∴S △QAC =12QA •DC=12（6-t ）•12=36-6t ． 在△APC 中，AP=2t ，BC=6， ∴S △APC =12AP •BC=12•2t •6=6t ． ∴S 四边形QAPC =S △QAC +S △APC =（36-6t ）+6t=36（cm 2）．由计算结果发现：在P 、Q 两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变．（也可提出：P 、Q两点到对角线AC 的距离之和保持不变）（3）根据题意，可分为两种情况，在矩形ABCD 中：①当QA AP AB BC=时，△QAP ∽△ABC ，则有： 62126t t -=，解得t=1.2（s ）， 即当t=1.2s 时，△QAP ∽△ABC ；②当QA AP BC AB=时，△PAQ ∽△ABC ，则有： 62612t t -=，解得t=3（s ）， 即当t=3s 时，△PAQ ∽△ABC ；所以，当t=1.2s 或3s 时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似．【总结升华】本题是动态几何题，同时也是一道探究题．要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力，这就要求我们通过计算分析，抓住其本质，揭示出变中不变的规律．四边形QAPC 的面积也可由△QAC 与△CAP 的面积求出，；⑶中考查了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性.2．（永春县校级月考）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高为4，动点M 从点B 出发沿线段BC 以每秒2个单位长度向终点C 运动；动点N 同时从点C 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒（1）直接写出梯形ABCD 的中位线长；（2）当MN ∥AB 时，求t 的值；（3）试探究：t 为何值时，使得MC=MN ．【思路点拨】（1）直接利用梯形中位线的定理求出即可；（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；（3）利用MC=MN时，结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．【答案与解析】解：（1）∵AD=3，BC=10，∴梯形ABCD的中位线长为：（3+10）÷2=6.5；（2）如图1，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．∵MN∥AB，∴MN∥DG，∴BG=AD=3．∴GC=10﹣3=7．由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10﹣2t．∵DG∥MN，∴△MNC∽△GDC．∴=，即=．解得，t=；（3）当MC=MN时，如图2，过M作MF⊥CN于F点，FC=NC=t．∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，∴△MFC∽△DHC，∴=，即=，解得：t=．综上所述，t=时，MC=MN．【总结升华】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解，但是对于大多数题目来说，都有一个由动转静的拐点.3.（2016秋•泗阳县期末）（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；聪明的小明做完上题后进行了进一步变式探究．（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD 为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想线段BD、CD、DE之间会有怎样的关系，请直接写出，不需论证；34 （3）如图3，在（2）的条件下，若D 点在BC 的延长线上运动，以AD 为边作等腰Rt △ADE ，∠DAE=90°（顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ．①题（2）的结论还成立吗？请说明理由；②连结BE ，若BE=10，BC=6，求AE 的长．【思路点拨】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC ，AD=DE=AE ，进而就可以得出△ABD ≌△ACE ，即可得出结论；②由△ABD ≌△ACE ，以及等边三角形的性质，就可以得出AC=DC+CE ；（2）先判定△ABD ≌△ACE （SAS ），得出∠B=∠ACE=45°，BD=CE ，在Rt △DCE 中，根据勾股定理得出CE 2+CD 2=DE 2，即可得到BD 2+CD 2=DE 2；（3）①运用（2）中的方法得出BD 2+CD 2=DE 2；②根据Rt △BCE 中，BE=10，BC=6，求得CE=22106-=8，进而得出CD=8﹣6=2，在Rt △DCE 中，求得DE=2228+=，最后根据△ADE 是等腰直角三角形，即可得出AE 的长．【答案与解析】解：（1）①如图1，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC ，AD=DE=AE ，∴∠BAC ﹣∠DAC=∠DAE ﹣∠DAC ，∴∠BAD=∠EAC ．在△ABD 和△ACE 中，，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD=CE ；②∵BD=CE ，AC=BC ，又∵BC=BD+CD ，∴AC=CE+CD ；（2）BD 2+CD 2=DE 2．证明：如图2，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC ﹣∠DAC=∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD=∠CAE ，在△ABD 与△ACE 中，，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠B=∠A CE=45°，BD=CE ，∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，∴∠BCE=90°，∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2，∴BD2+CD2=DE2；（3）①（2）中的结论还成立．理由：如图3，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC=∠ACE=45°，BD=CE，∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，∴∠BCE=90°=∠ECD，∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2，∴BD2+CD2=DE2；②∵Rt△BCE中，BE=10，BC=6，∴CE=22106-=8，∴BD=CE=8，∴CD=8﹣6=2，∴Rt△DCE中，DE=2228+=68，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE=683422==．【总结升华】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用.举一反三：【变式】△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若0︒＜∠PBC＜180°，且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD= °；（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．【答案】（1）∠BPD= 30°；（2）如图3，连结CD．5∵点D在∠PBC的平分线上，∴∠1=∠2．∵△ABC是等边三角形，∴ BA=BC=AC，∠ACB= 60°．∵ BP=BA，∴ BP=BC．∵ BD= BD，∴△PBD≌△CBD．∴∠BPD=∠3．∵ DB=DA，BC=AC，CD=CD，∴△BCD≌△ACD．∴1 34302ACB∠=∠=∠=︒．∴∠BPD =30°．（3）∠BPD= 30°或 150°.类型二、几何计算型问题4.如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该纸片使点B与点C重合，折痕与AB、BC的交点分别为D、E.(1) DE的长为；(2) 将折叠后的图形沿直线AE剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于．【思路点拨】（1）由题意可得：DE是线段BC的垂直平分线，易证DE∥AC，即DE是△ABC的中位线，即可求得DE的长；（2）由DE∥AC，DE=12AC，易证△AOC∽△EOD，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得OA：OE=2，然后求得△ACE的面积，利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．6【答案与解析】（1）根据题意得：DE⊥BC，CE=BE，∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴DE∥AC，∴AD=BD，∴DE=12AC=12×8=4；（2）∵DE∥AC，DE=12AC，∴△AOC∽△EOD，∴OA：OE=AC：DE=2，∵CE=12BC=12×6=3，∵∠ACB=90°，AC=8，∴S△ACE=12CE•AC=12×3×8=12，∴S△OCE=13S△ACE=4，∴S△ADE+S△ODE=S△ABC-4-12=8，∴其中最小一块的面积等于4．【总结升华】考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系,是一道典型的几何综合题．举一反三【变式】在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，那么△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积是 . 【答案】在Rt△ABE中，∵∠B=45°，AB=2，∴AE=BE=2，∴S△ABE=1．由翻折的性质可知：△AB′E≌△ABE，∴EB′=EB=2∴B′C=BB′－BC=22－2，∵四边形ABCD是菱形，∴CF∥BA．∴∠ B′FC=∠B′AB=90°, ∠B′CF=∠B=45°∴CF=2'=2-22B C∴SB FC△'=221CF=3－22∴S阴=SB E′△A－SB FC′△=22－2．75．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10 cm，CD=4 cm，等腰直角△PMN的斜边MN=10 cm， A点与N点重合， MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角△PMN沿AB 所在直线以1 cm／s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止.(1)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由________形变化为________形；(2)设当等腰直角△PMN移动x (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y(cm2)，求y与x之间的函数关系式；(3)当x=4 (s)时，求等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积.【思路点拨】（1）根据已知求出∠PNM=∠DAB=45°，求出∠AEN，根据等腰直角三角形的判定判断即可；推出∠DAB=∠PNM=45°，根据等腰梯形的判定判断即可；（2）可分为以下两种情况：①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN，AN=x （cm），过点E 作EH ⊥AB于点H，则EH平分AN，求出EH，根据三角形的面积公式求出即可；②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED，求出AN=x（cm），CE=BN=10-x，DE=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，求出DF，代入梯形面积公式求出即可.【答案与解析】(1)等腰直角三角形；等腰梯形.(2)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重合部分图形的形状可分为以下两种情况：①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN(如图①).此时AN=x(cm)，过点E作EH⊥AB 于点H，则EH平分AN，∴EH=AN=x，∴y=S△ANE=AN·EH=x·x=.②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED(如图②)．此时，AN=x(cm)，∵∠PNM=∠B=45°，∴EN∥BC，∵CE∥BN，∴四边形ENBC是平行四边形，CE=BN=10-x，DE=4-(10-x)=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，则AF=BG，DF=AF=(10-4)=3，∴y=S梯形ANED=(DE+AN)·DF=(x-6+x)×3=3x-9.综上，.(3)当等腰直角△PMN运动到PN边经过点D时，移动时间为6(s)，8∴当x=4 (s)时，y=x2=×42=4.∴当x=4 (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm2.【总结升华】本题主要考查对等腰梯形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形的面积，平移的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD(包括端点)上运动.(1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围；(2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状.【答案】(1)过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P.则AM=x，AN=20-x.∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°，∴∠PAN=∠D=30°.在Rt△APN中，PN=AN×sin∠PAN=(20-x)，即N到AB距离为(20-x).∵点N在AD 上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，∴x取值范围是0≤x≤15.(2)∵S五边形BCDNM=S梯形-S△AMN且S梯形为定值，∴当S五边形BCDMN最小时，应使S△AMN最大据(1)，S△AMN=AM·NP=.∵＜0，∴当x=10时，S△AMN有最大值.∴当x=10时，S五边形BCDNM有最小值．当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN．则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形.9。