余弦定理的证明方法大全(共十种方法)
余弦定理的推导方法
2 c c c ( a b) ( a b)
2 a b 2 a b cos C
c a b
aa b b 2 a b 2
2 2
﹚
a b 2ab cos C 2 2 2 c a b 2ab cos C
思考： 若△ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
2 2 2
C b a B
A
c
（2）解析法
证明：以CB所在的直线为x y 轴，过C点垂直于CB的直线 为y轴，建立如图所示的坐标 系，则A、B、C三点的坐标 分别为： C (0, 0) B(a, 0) A(b cos C, b sin C)
a B
b sin
2
A 2 bc cos A cos b
A
b c22bccos A
2
同理有：
2 2 2accos B b a c 2 2 2 c a b 2abcosC 2
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
x
AB (b cosC a) (b sin C 0)
2 2
2
b 2 cos2 C 2ab cosC a 2 b 2 sin 2 C
a b 2abcosC
2 2
c a b 2ab cos C
2 2 2
C
（3）几何法
a
b
余弦定理作为勾股定理的推 广，考虑借助勾股定理来证明 余弦定理。
证明余弦定理的三种方法
证明余弦定理的三种方法方法一：向量法证明假设在平面内有一个三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C。
以A为原点，分别向B和C引出向量AB和AC。
根据向量的定义，可以得到向量AB和向量AC的长度分别为a和c，且向量AB与向量AC之间的夹角为角A。
根据向量的加法和减法，可以得到向量AC-向量AB的长度为c-a。
同样地，可以得到向量AB-向量AC的长度为a-c。
根据向量的模长和夹角的余弦关系，可以得到：(c-a)^2 = (b*cosA)^2 + (b*sinA)^2(a-c)^2 = (b*cosA)^2 + (b*sinA)^2将上述两个式子相加，可以得到：(c-a)^2 + (a-c)^2 = 2*(b*cosA)^2 + 2*(b*sinA)^2化简上述式子，可以得到：c^2 + a^2 - 2ac = 2b^2*cos^2A + 2b^2*sin^2A化简上述式子，可以得到：c^2 + a^2 - 2ac = 2b^2*(cos^2A + sin^2A)根据三角恒等式cos^2A + sin^2A = 1，可以得到：c^2 + a^2 - 2ac = 2b^2化简上述式子，可以得到：c^2 + a^2 - 2ac - 2b^2 = 0即：a^2 + b^2 - 2ab*cosC = 0即：a^2 + b^2 = 2ab*cosC这就是余弦定理的向量法证明。
方法二：几何法证明假设在平面内有一个三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C。
以A为原点，向B和C引出向量AB和AC。
根据三角形的定义，可以得到：AB = b*cosA + b*sinAAC = c根据向量的减法，可以得到：AB - AC = b*cosA + b*sinA - c根据向量的模长和夹角的余弦关系，可以得到：(AB - AC)^2 = (b*cosA + b*sinA - c)^2化简上述式子，可以得到：(AB - AC)^2 = (b*cosA)^2 + (b*sinA)^2 - 2*b*cosA*c + c^2 - 2*b*sinA*c + 2*b*cosA*b*sinA化简上述式子，可以得到：(AB - AC)^2 = b^2*(cos^2A + sin^2A) - 2*b*c*cosA + c^2 - 2*b*c*sinA + 2*b^2*cosA*sinA根据三角恒等式cos^2A + sin^2A = 1，可以得到：(AB - AC)^2 = b^2 - 2*b*c*cosA + c^2 - 2*b*c*sinA + 2*b^2*cosA*sinA化简上述式子，可以得到：(AB - AC)^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cosA根据向量的模长和夹角的余弦关系，可以得到：(AB - AC)^2 = a^2即：b^2 + c^2 - 2*b*c*cosA = a^2即：a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cosA这就是余弦定理的几何法证明。
余弦定理的证明方法
余弦定理的证明方法篇一：余弦定理的证明方法集锦江苏省泗阳县李口中学沈正中余弦定理和勾股定理一样，证明方法也有很多种,下面给出比较余弦定理：三角形任一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与其夹角余弦的积的二倍。
如图1所示，在△ABC中，若AB＝c，BC＝a，CA＝b，则c2＝a2＋b2－2abcoC（或a2＝b2＋c2－2bccoA或b2＝c2＋a2－2cacoB）。
【证法1】如图2，在锐角△ABC中，作AD⊥BC于D，则CD＝bcoC，AD＝binC，在△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即AB2＝(a－bcoC)2＋(binC)2＝a2－2abcoC＋b2co2C＋b2inC2＝a2－2abcoC＋b2，即c2＝a2＋b2－2abcoC。
当C重合于D时，在Rt△ABC中，∠C＝90°，因coC＝0，所以c2＝a2＋b2。
当C在D左侧时，△ABC为钝角三角形，如图3所示，∠ACD＝180°－C，co∠ACD＝co(180°－C)＝－coC，in∠ACD＝in(180°－C)＝inC，所以CD＝bco(180°－C)＝－bcoC，AD＝bin(180°－C)＝binC，在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即AB2＝(a－bcoC)2＋(binC)2＝a2－2abcoC＋b2co2C＋b2inC2＝a2－2abcoC＋b2，即c2＝a2＋b2－2abcoC。
【证法2】将△ABC的顶点C置于原点，CA落在某轴的正半轴上，如图4所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(b，0)，B(acoC，ainC)，C(0，0)。
由此得|AB|2＝(acoC－b)2＋(ainC－0)2＝a2co2C－2abcoC＋b2＋a2in2C＝a2＋b2－2abcoC，即c2＝a2＋b2－2abcoC【证法3】由正弦定理变形，得，所以a2＋b2－c2＝4R2(in2A＋in2B－in2C)因in2A＋in2B－in2C＝－co(A＋B)co(A－B)＋coC2＝coCco(A－B)＋co2C＝coC［co(A－B)＋coC］＝coC［co(A－B)－co(A＋B)］＝2inAinBcoC，所以a2＋b2－c2＝4R2·2inAinBcoC＝2·2RinA·2RinB·coC＝2abcoC，即c2＝a2＋b2－2abcoC。
余弦定理公式的含义及其证明
余弦定理公式的含义及其证明余弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要公式。
它描述了三角形的一个边的平方和另外两边平方的差，与这两边之间的夹角余弦函数的乘积的关系。
余弦定理的数学表达式为：c² = a² + b² - 2abcosC其中，a、b、c分别表示三角形的三边，C表示夹角C的大小。
证明余弦定理可以使用向量法和三角法两种方法。
1.向量法证明：假设三角形ABC中，向量AB的模为a，向量AC的模为b，向量BC的模为c。
向量AB与向量AC之间的夹角为夹角C，设其大小为θ。
根据向量的加法和平方模长定义，可以得到：a² = AB² = AA² + BB² - 2(AA)(BB)cosθb² = AC² = AA² + CC² - 2(AA)(CC)cosθc² = BC² = BB² + CC² - 2(BB)(CC)cosθ将以上三个等式相加，得到：a² + b² + c² = 2(AA² + BB² + CC²) - 2(AA)(BB)cosθ -2(AA)(CC)cosθ - 2(BB)(CC)cosθ化简可得：2(AA² + BB² + CC²) = a² + b² + c² + 2(AA)(BB)cosθ +2(AA)(CC)cosθ + 2(BB)(CC)cosθ设向量AA、BB、CC的模长分别为x、y、z，则上式变成：2(x² + y² + z²) = a² + b² + c² + 2xycosθ + 2xzcosθ +2yzcosθ由于AA=BB=CC=x+y+z（向量AA、BB、CC的模长相等），进一步化简得到：2(x² + y² + z²) = a² + b² + c² + 2(xy + xz + yz)cosθ所以，余弦定理成立。
余弦定理的十一种证明方法
余弦定理的十一种证明方法余弦定理和勾股定理一样，证明方法也有很多种,下面给出比较经典的十一种证明方法，供大家参考！余弦定理：三角形任一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与其夹角余弦的积的二倍。
如图1所示，在△ABC中，若AB＝c，BC＝a，CA＝b，则有：c2＝a2＋b2－2ab cosCa2＝b2＋c2－2bc cosAb2＝c2＋a2－2c a cosB.【证法1】如图2，在锐角△ABC中，作AD⊥BC于D，则CD＝b cosC，AD＝b sinC，在△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即AB2＝(a－b cosC)2＋(b sinC)2＝a2－2ab cosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝a2－2ab cosC＋b2，即c2＝a2＋b2－2ab cosC。
当C重合于D时，在Rt△ABC中，∠C＝90°，因cosC＝0，所以c2＝a2＋b2。
当C在D左侧时，△ABC为钝角三角形，如图3所示，∠ACD＝180°－C，cos∠ACD＝cos(180°－C)＝－cosC，sin∠ACD＝sin(180°－C)＝sinC，所以CD＝b cos(180°－C)＝－b cosC，AD＝b sin(180°－C)＝b sinC，在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即AB2＝(a－b cosC)2＋(b sinC)2＝a2－2ab cosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝a2－2ab cosC＋b2，即c2＝a2＋b2－2ab cosC。
【证法2】将△ABC 的顶点C 置于原点，CA 落在x 轴的正半轴上，如图4所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (b ，0)，B (a cosC ，a sinC)，C (0，0).由此得|AB|2＝(a cosC －b )2＋(a sinC －0)2＝a 2cos 2C －2ab cosC ＋b 2＋a 2sin 2C＝a 2＋b 2－2ab cosC ，即c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC 。
余弦定理的证明方法(精选多篇)
余弦定理的证明方法(精选多篇)第一篇：余弦定理的证明方法余弦定理的证明方法在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b则c =a +b -2ab*cosca =b +c -2bc*cosab =a +c -2ac*cosb下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。
过a作ad⊥bc于d，则bd+cd=a由勾股定理得：c =(ad) +(bd) ，(ad) =b -(cd)所以c =(ad) -(cd) +b=(a-cd) -(cd) +b=a -2a*cd+(cd) -(cd) +b=a +b -2a*cd因为cosc=cd/b所以cd=b*cosc所以c =a +b -2ab*cosc在任意△abc中,作ad⊥bc.∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c勾股定理可知：ac²=ad²+dc²b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*c osbb²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²b²=c²+a²-2ac*cosb所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac2如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2s in2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。
余弦定理的推导方法
a B
b sin
2
A 2 bc cos A cos b
A
b c22bccos A
2
同理有：
2 2 2accos B b a c 2 2 2 c a b 2abcosC 2
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
B
A
c
当角C为锐角时
A
当角C为钝角时
A c
b
C
c a D
B D
b
C a B
证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和 A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
C
2
2 2 a CD BD
2
(bsin A) (cbcos A)
2A 2 2 c 2
2
b c D
2 2 2
推论：
b c a cos A 2bc
2 2
2
a c b cos B 2ac
2 2
2
a b c cos C 2ab
2 2
2
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
2 2 2
C b a B
A
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（2）解析法
证明：以CB所在的直线为x y 轴，过C点垂直于CB的直线 为y轴，建立如图所示的坐标 系，则A、B、C三点的坐标 分别为： C (0, 0) B(a, 0) A(b cos C, b sin C)
2 c c c ( a b) ( a b)
余弦定理的证明方法大全共十法
余弦定理的证明方法大全共十法余弦定理是解决三角形边长和角度之间关系的重要定理之一、下面将为您介绍十种余弦定理的证明方法。
2.利用勾股定理证明余弦定理。
假设有一个三角形ABC，其中∠C为直角。
利用勾股定理可以得到AB²=AC²+BC²。
将AC表示为向量a，BC表示为向量b，AB表示为向量c，并将这些向量投影到相应的轴上，即可得到余弦定理。
3.使用数学归纳法证明余弦定理。
首先，证明当n=1时余弦定理成立，即两边长相等的情况。
然后，假设当n=k时余弦定理成立，即k个边长相等的情况。
再证明当n=k+1时余弦定理也成立，即k+1个边长相等的情况。
4. 利用三角函数证明余弦定理。
假设三角形的两条边长分别为a和b，夹角为θ。
利用正弦函数和余弦函数的关系，可以得到a² + b² -2abcosθ = c²，即余弦定理。
5. 引入垂线证明余弦定理。
假设三角形中∠C为直角，CD为∠C的垂线。
通过利用勾股定理和几何性质可以得到c² = a² + b² - 2abcosC，即余弦定理。
6.利用平面几何证明余弦定理。
假设三角形中∠C为直角，连接AC和BC的垂直平分线交于点D。
通过平面几何知识可以得到∠ADC=∠BDC=θ/2、然后，利用正弦定理和余弦定理可以得到余弦定理的证明。
7.利用平行四边形的性质证明余弦定理。
假设有一个平行四边形ABCD，分别连接AC和BD的垂线交于点E。
通过平行四边形的性质可以得到BE=AD和CE=AF。
利用余弦定理可以得到余弦定理的证明。
8. 使用三角形的面积证明余弦定理。
假设在三角形ABC中，AD为边BC的高，a = BC，b = AC，c = AB。
利用三角形的面积公式可以得到c² = a² + b² - 2abcosθ，即余弦定理。
9.利用球面三角形证明余弦定理。
将平面上的三角形放置在一个球体的表面上。
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余弦定理的证明方法大全
(共十种方法)
一、余弦定理
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有
2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.
二、定理证明
为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:
在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-.
证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可
得:
()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-
22
2AB AC AB AC =+-⋅
222cos b c bc A =+-
即,2222cos a b c bc A =+-.
证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.
(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立.
(2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则
在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.
图1
从而,cos BD AB AD c b A =-=-.
在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+
22(cos )(sin )c b A b A =-+
222cos c cb A b =-+
即,2222cos a b c bc A =+-.
说明:图2-1中只对B ∠是锐角时符合,而B ∠还可以是直角或钝角.若B ∠是直角,图中的点D 就与点B 重合；若B ∠是钝角,图中的点D 就在AB 的延长线上.
(3)当A ∠是钝角时,如图2-2,过点C 作CD AB ⊥,交BA 延长线于点D ,则
在Rt ACD ∆中,cos()cos AD b A b A π=-=-,sin()sin CD b A b A π=-=.
从而,cos BD AB AD c b A =+=-.
在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+
22(cos )(sin )c b A b A =-+
222cos c cb A b =-+
即,2222cos a b c bc A =+-.
综上(1),(2),(3)可知,均有2222cos a b c bc A =+-成立.
证法三:过点A 作AD BC ⊥,交BC 于点D ,则
在Rt ABD ∆中,sin BD c α=
,cos AD
c α=. 在Rt ACD ∆中,sin CD b β=,cos AD
b
β=.
由cos cos()cos cos sin sin A αβαβαβ=+=-可得:
2cos AD AD BD CD AD BD CD
A c b c b bc
-⋅=⋅-⋅=
图2-1
图2-2
图3
2222AD BD CD bc -⋅=222222c BD b CD BD CD bc -+--⋅=
222()2b c BD CD bc +-+=222
2b c a bc
+-=
整理可得2222cos a b c bc A =+-.
证法四:在ABC ∆中,由正弦定理可得
sin sin sin sin()
a b c c
A B C A B ===+. 从而有sin sin b A a B =,……①
sin sin()sin cos cos sin c A a A B a A B a A B =+=+. ……②
将①带入②,整理可得cos cos a B c b A =-.……③
将①,③平方相加可得22222(cos )(sin )2cos a c b A b A b c bc A =-+=+-. 即,2222cos a b c bc A =+-.
证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由
题意可得点(0,0)A ,(,0)B c ,(cos ,sin )C b A b A ,再由两点
间距
离
公
式
可得
2
a =2
2
(cos )(sin )c b A b A -+2
2
2cos c cb A b =-+.
即,2222cos a b c bc A =+-.
证法六:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =.
于是,222224sin 4sin ()a R A R B C ==+
222224(sin cos cos sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =++ 222224(sin sin 2sin sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =+-+ 2224(sin sin 2sin sin cos())R B C B C B C =+++ 2224(sin sin 2sin sin cos )R B C B C A =+-
22(2sin )(2sin )2(2sin )(2sin )cos R B R C R B R B A =+-
222cos b c bc A =+-
即,结论成立.
证法七:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =.
于是,2222cos a b c bc A =+-
22222224sin 4sin 4sin 8sin sin cos R A R B R C R B C A ⇔=+-
2222sin 2sin 2sin 4sin sin cos A B C B C A ⇔=+- 22sin 2cos 2cos 24sin sin cos A B C B C A ⇔=-+-
222cos 22cos()cos()4sin sin cos A B C B C B C A ⇔-=-+--
由于cos()cos()cos B C A A π+=-=-,因此
2cos cos()cos()2sin sin cos A B C B C B C A ⇔=+-+
cos cos()2sin sin A B C B C ⇔=--+
cos cos cos sin sin cos()A B C B C B C ⇔=-+=-+. 这,显然成立.
即,结论成立.
证法八:如图5,以点C 为圆心,以CA b =为半径作
C ,直线BC 与C 交于点
,D E ,延长AB 交C 于F ,延长AC 交C 于G .
则由作图过程知2cos AF b A =, 故2cos BF b A c =-.
由相交弦定理可得:BA BF BD BE ⋅=⋅,
即,(2cos )()()c b A c b a b a ⋅-=+⋅-, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.
图5
G
A
证法九:如图6,过C 作CD ∥AB ,交ABC ∆的外接圆于
D ,则AD BC a ==,BD AC b ==.分别过,C D 作AB 的垂线,垂
足分别为,E F ,则cos AE BF b A ==,故2cos CD c b A =-.
由托勒密定理可得AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅, 即,(2cos )a a c c b A b b ⋅=⋅-+⋅. 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.
证法十:由图7-1和图7-2可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+,
整理可得:2222cos a b c bc A =+-.
c-bcosA
图7-2
图7-1
图6。