数学建模
什么是数学建模
什么是数学建模数学建模是指运用数学的理论、方法和技术，以模型为基础，通过对实际问题进行抽象、建模、求解和验证，为实际问题的研究和决策提供可靠依据的过程。
数学建模可以帮助我们更好地理解、分析、解决实际问题。
它是一种综合运用数学、物理、计算机科学和其他相关学科知识的跨学科研究领域，可以应用于各个领域的问题，包括自然科学、工程技术、社会科学、医学、金融等。
数学建模的过程一般包括以下几个步骤：1. 定义问题和目标。
在这个阶段，我们需要对实际问题进行全面的了解，明确研究的目标和需要解决的问题是什么，确定问题的限制和条件。
2. 建立模型。
在这个阶段，我们需要根据实际问题的特点和需要解决的问题，选择适当的模型类型，建立数学模型。
模型应该尽可能简明明了，能够比较好地描述实际问题，并且便于求解。
3. 求解模型。
在这个阶段，我们需要根据所建立的模型，采用数学和计算机科学等相关方法，对模型进行求解，得到具体的结果和解决方案。
4. 验证模型。
在这个阶段，我们需要根据模型的求解结果，进行模型的验证。
验证模型的正确性和可靠性，以及对模型的结果进行误差分析和敏感性分析，以保证模型的可行性和实用性。
5. 应用模型。
在这个阶段，我们需要将模型的结果应用于实际问题的解决中。
根据模型的结果，提出相应的决策和措施，实现问题的解决和优化。
数学建模具有广泛的应用领域和重要性。
在物理、化学、生物学和工程技术等领域，数学建模可以帮助我们解决复杂的系统问题，如气候模型、流体力学模型、生物进化模型等。
在社会科学领域，数学建模可以应用于经济学、管理学、社会学等领域，对社会现象进行建模和预测，如人口增长模型、市场模型、网络模型等。
在医学领域，数学建模可以帮助我们研究疾病的发展和治疗方法，如病毒传播模型、治疗模型等。
在金融领域，数学建模可以帮助我们分析风险和投资策略，如股票价格模型、期权评估模型等。
总之，数学建模是一种重要的跨学科研究领域，以模型为基础，运用数学和相关学科知识，对实际问题进行抽象、建模、求解和验证，为实际问题的研究和决策提供可靠依据，具有广泛的应用领域和重要性。
什么是数学建模
数学建模当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。
这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
数学近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。
数学模型数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。
数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。
这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。
不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解。
数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。
数学建模应用数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。
数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。
数学建模
室 内 T1
d
l
d
室 外 T2
Q1
墙
室 内 T1
2d
室 外 T2
Q2
墙
Ta~内层玻璃的外侧温度 Tb~外层玻璃的内侧温度 k1~玻璃的热传导系数 k2~空气的热传导系数
乙安全线
y0 0 x
y1 y0 0
y=f ( x)
y0 y f ( x) y0 x
x0
P(xm,ym)甲 安 x=g(y) 全 区 x1 x
P~平衡点(双方最少导弹数)
精细 模型
x<y x=y
乙方残存率 s ~甲方一枚导弹攻击乙方一个 基地，基地未被摧毁的概率。 甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个, sx个基地未摧毁，y–x个基地未攻击。 y0=sx+y–x y0=sy y= y0+(1-s)x y=y0 / s
• (4)模型求解：利用获取的数据资料，对模 型的所有参数做出计算(估计)。 • (5)模型分析：对所得结果进行数学的分析。 • (6)模型检验：将模型分析结果与实际情形 进行比较，以此来验证模型的准确性、合 理性和适用性。如果模型与实际较吻合， 则要对计算结果给出其实际含义，并进行 解释。如果模型与实际吻合较差，则应该 修改假设，再次重复建模过程。 • (7)模型应用：应用方式因问题的性质和建 模的目的而异
0
x0
x
甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。
模型解释
• 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架 乙安全线y=f(x)不变
数学建模介绍
数学建模介绍1.1 数学模型及其分类数学建模作为用数学方法解决问题的第一步，它与数学本身有着同样悠久的历史。
一个羊倌看着他的羊群进入羊圈，为了确信他的羊没有丢失，他在每只羊进入羊圈时，则在旁边放一颗小石子，如果每天羊全部入圈而他那堆小石子刚好全部放完，则表示他的羊和以前一样多。
究竟羊倌数的是石子还是羊，那是毫无区别的，因为羊的数目同石子的数目彼此相等。
这实际上就使石子与羊“联系”起来，建立了一个使石子与羊一一对应的数学模型。
（1）什么是数学模型人们在认识研究现实世界里的客观对象时，常常不是直接面对那个对象的原形，有些是不方便，有些甚至是不可能直接面对原形，因此，常常设计、构造它的各种各样的模型。
如各式各样的玩具模型、展览厅里的三峡大坝模型、化学上的分子结构模型等。
这些模型都是人们为了一定目的，对客观事物的某一部分进行简化、抽象、提炼出来的原形替代物，集中反映了原形中人们需要的那一部分特征，因而有利于人们对客观对象的认识。
数学模型也是反映客观对象特征的，只不过它刻画的是事物在数量方面的特征或数学结构及其变化规律。
数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特征、定量地分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个数学表述。
建立数学模型的过程称为数学建模。
(2) 数学模型的重要作用进入20世纪以来，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，作为数学的应用，数学建模也越来越受到人们的重视。
在一般工程技术领域，数学模型仍是工程技术人员定量研究有关工程技术问题的重要工具；而随着数学与其他学科领域诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生；计算机的发展给数学及作为数学应用的数学建模带来了前所未有的机遇和挑战。
计算机改变了人类的生活方式、思考方式和研究方式，极大地提高了人们的计算能力、搜索和分析海量数据和信息的能力。
什么是数学建模
什么是数学建模数学建模是指对现实世界的一特定对象,为了某特定目的,做出一些重要的简化和假设,运用适当的数学工具得到一个数学结构,用它来解释特定现象的现实性态,预测对象的未来状况,提供处理对象的优化决策和控制,设计满足某种需要的产品等。
一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。
例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。
今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。
特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。
因此数学建模被时代辅予更为重要的意义。
大学生数学建模竞赛自1985年由美国开始举办，竞赛以三名学生组成一个队，赛前有指导教师培训。
赛题来源于实际问题。
比赛时要求就选定的赛题每个队在连续三天的时间里写出论文，它包括：问题的适当阐述；合理的假设；模型的分析、建立、求解、验证；结果的分析；模型优缺点讨论等。
数学建模竞赛宗旨是鼓励大学师生对范围并不固定的各种实际问题予以阐明、分析并提出解法，通过这样一种方式鼓励师生积极参与并强调实现完整的模型构造的过程。
以竞赛的方式培养学生应用数学进行分析、推理、证明和计算的能力；用数学语言表达实际问题及用普通人能理解的语言表达数学结果的能力；应用计算机及相应数学软件的能力；独立查找文献，自学的能力，组织、协调、管理的能力；创造力、想象力、联想力和洞察力。
他还可以培养学生不怕吃苦、敢于战胜困难的坚强意志，培养自律、团结的优秀品质，培养正确的数学观。
这项赛事自诞生起就引起了越来越多的关注，逐渐有其他国家的高校参加。
我国自1989年起陆续有高校参加美国大学生数学建模竞赛。
1992年起我国开始举办自己的大学生数学建模竞赛，并成为国家教育部组织的全国大学生四项学科竞赛之一竞赛简介：本竞赛每年9月下旬举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业。
数学建模是什么
数学建模是什么
数学建模是指利用数学工具和方法分析和解决实际问题的过程，是一种跨学科的综合性应用科学研究方法。
数学建模的基本步骤包括：问题建模、假设、模型的构建、模型求解和模型评价。
在这个过程中，数学建模的核心是模型的构建和求解，其中模型的构建需要理解实际问题的基本特征和数学方法的应用，而模型求解则需要掌握数学分析、数值计算等技能和方法。
数学建模的应用范围非常广泛，包括但不限于自然科学、社会科学、经济学、工程学等领域的问题。
数学建模在现实生活中的应用包括：企业生产、物流配送、城市交通规划、自然资源评估、环境保护、金融、医学等各个领域。
数学建模的方法多种多样，常见的数学方法包括：微积分、线性代数、概率论、统计学、优化理论等。
通过对实际问题的建模、数学方法的应用和模型求解的计算和分析，数学建模可进一步为决策提供科学依据和参考。
数学建模的主要特点是模型化思维、跨学科交叉和创新性思维。
在这个过程中，数学建模要求研究者对问题进行深入的分析和研究，要对数学方法的应用有较大的理解和掌握，并且要结合实际考虑模型的可行性。
数学建模的创新性思维则要求研究者在模型的构建和求解中体现出一定的创新性和思维深度。
无论是学术界还是实际应用领域，数学建模的应用都已经深入到各个角落。
在数学建模中，数学是一种工具性语言，
而模型则是实际问题的一种映射。
数学建模不仅促进了数学研究和应用之间的相互促进和发展，还连接了传统学科和新兴学科之间的桥梁，推动了知识的跨领域传播和交流。
数学专业的数学建模学研究
数学专业的数学建模学研究数学建模学是数学专业中的一个重要研究方向。
它通过运用数学工具和方法，对实际问题进行建模，分析和解决，从而为现实世界的各个领域提供有效的数学模型和解决方案。
本文将介绍数学建模学的研究内容、应用领域以及未来的发展趋势。
一、数学建模学的研究内容1. 数学建模的基本思想数学建模的基本思想是将实际问题转化成数学问题，并通过建立适当的数学模型来描述问题的本质。
数学建模的过程包括问题的选择、模型的建立、模型的求解和结果的验证。
在建模过程中，需要考虑问题的实际背景、约束条件以及模型的适用性。
2. 数学建模的数学工具数学建模学运用了众多的数学工具与方法，包括微积分、线性代数、概率论、运筹学等。
这些数学工具可以用来描述问题的量化关系、分析问题的规律以及求解优化问题。
数学建模的研究者需要在实际问题中选用合适的数学工具，并将其灵活应用于建模过程中。
二、数学建模学的应用领域数学建模学的应用领域非常广泛，涵盖了自然科学、社会科学以及工程技术等多个领域。
以下是数学建模在各个领域的应用案例：1. 自然科学领域在物理学、化学和生物学等自然科学领域，数学建模被广泛应用于模拟物理现象、分析化学反应以及研究生物系统。
例如，数学建模可以用来描述地球上大气环流的规律，预测气候变化；同时，数学建模也可以应用于药物设计和生物网络的分析。
2. 社会科学领域在经济学、社会学和人口学等社会科学领域，数学建模被用于分析人类行为、预测市场变化以及研究社会现象。
例如，经济学家可以利用数学建模来研究市场供需关系，预测商品价格的变化；同时，社会学家也可以运用数学建模来分析人口增长模式和社会结构。
3. 工程技术领域在工程技术领域，数学建模被广泛应用于电力系统、交通规划以及网络通信等方面。
例如，电力系统的运行调度可以通过数学建模来优化发电计划，提高电网的稳定性和经济性；同时，交通规划中的交通流量分析也可以通过数学建模来解决。
三、数学建模学的发展趋势1. 多学科融合数学建模学的发展趋势是与其他学科的融合。
数学建模(数学分支)
建模背景
数学技术
建模应用
近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来 越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、管理、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领 域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。
数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质 属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展 提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现 实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提 炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。
应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立数学模 型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和 研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的 理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础、敏锐的洞察力和想象力、对实际问题的浓厚兴趣 和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术 转化的主要途径。数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代 科技工作者必备的重要能力之一。
为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模已经在大学教育中逐步开展，国内 外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高等 院校的教学改革和培养高层次的科技人才的一个重要方面，许多院校正在将数学建模与教学改革相结合，努力探 索更有效的数学建模教学法和培养面向21世纪的人才的新思路，与我国高校的其它数学类课程相比，数学建模具 有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点，数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、 不断完善和提高的过程。为了改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主、以知识传授为主的传统教学模式，数学 建模课程指导思想是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。
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Ⅰ、问题的重述水战略选择：水是支撑人类社会发展的基础性资源，淡水资源已经成为经济社会发展的限制条件。
建立数学模型来确定辽宁省（或省内某一城市）有效的、可行的,和有成本效益的水战略,以满足2014年到2020年随经济社会发展的水需要,并确定最佳水战略。
你的数学模型必须考虑辽宁省（或某市）国民经济各产业水资源的需求量、人口数量、环保等因素。
用你的模型分析水资源对辽宁省（或某市）经济发展和人口增长的制约作用，以及如何进行经济结构调整、和制定人口增长政策等来保证辽宁省（或某市）经济社会可持续协调发展。
提供一个非技术意见书给省（或市）政府领导概述你的方法,论述其可行性和成本,以及为什么它是“最好的水战略选择” 。
Ⅱ、问题的分析及思路2.1、问题分析已知淡水资源已经是经济社会发展的限制条件，以辽宁省为整体模型，如果淡水供应量没有达到各产业以及城镇，和居民等用水单位的用水量，会直接影响甚至是限制各产业的发展和人口的数量的增长。
根据历年来辽宁省各产业及居民等用水单位的用水量，以经济效益为主要的前提，提取可产生经济效益的用水单位，以每立方米用水所产生的经济价值为量化指标，因为也许每年的用水量和经济效益的相关关系可能是模糊的，没有一个明显的规律可循，因此我们需要利用线性回归方法，分析各用水单位在不受到用水量上限影响的前提下，经济发展所需要的最大用水量，而各用水单位的最大用水量上限应不超过实际的最大用水总量，利用运筹学的方法分析得出应如何进行经济结构调整来保证辽宁省经济社会可持续协调发展。
再运用方法得出那些产业会对人口产生影响较大，预测出未来辽宁省整体的用水量，就应该可以得出一个辽宁省的人口增长策略和合理的经济结构体制。
然后利用最小二乘法（OLS），分析各产业在以人口为变量时，需水率影响的程度。
得出各产业因人和水共同影响下的合理发展趋势。
最后运用灰色系统分析方法，预测出未来各产业及人口需水量的变化，用以对政府报告建议书的参考和方向。
2.2、问题思路：用下面的流程图表示我们的建模思路建立现有用水量经济效益模型Ⅲ、问题的假设3.1.13.1.2计。
3.1.33.1.43.1.5Ⅴ、模型的建立及求解模型I：各产业经济效益最大化模型4.1线性规划算法概述线性规划是运筹学中很大的一个分支，每一个线性规划问题都有一组决策变量（1x ,2x ,…n x ）表示某一方案，这些决策变量的值代表一个具体的方案。
一般这些变量的取值都是非负且连续的。
而且都有关于各种资源和资源使用情况的技术数据，创造新价值的数据。
当存在可以量化的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示。
线性规划都有一个达到某一目标的要求，可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示，按问题的要求不同，要求目标函数实现最大化或最小化。
4.2模型求解首先利用winQSB 软件，进行数据分析预测，输入2005年至2011年间，农业用水量及生产总值，工业用水量及生产总值，林业、牧业、渔业用水量及生产总值。
从而得出线性规划约束函数的约束条件，列定约束函数方程。
数据图如附录一。
1x +2x +3x +4x +5x ≤14081.16≤1x ≤89.72x ≤27.67 3x ≤13.134x ≥15.66 5x ≥6.88当以经济最大化为目标函数时，因为城镇用水和居民生活用水无法用价值来衡量，所以在追求效益最大化时，不予考虑。
目标函数：MaxZ=a 1x +b 2x +c 3x其中a 、b 、c 的取值为利用winQSB 软件，分析预测得出的2014至2020年各产业的用水量和生产总值，计算得出其经济效益（每立方米水资源所产生的经济价值），然后取其均值，作为目标函数的系数。
农业产值（亿元） 农业用水量（亿立方米）经济效益（元/立方米） 20141549.48 85.7418.07c的取值为利用winQSB 软件对目标函数进行求解（软件运行结果如附表），得出：1x =81.16 2x =27.67 3x =8.83 4x =15.66 5x =6.68根据1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的约束条件：81.16≤1x ≤89.7，2x ≤27.67，3x ≤13.13，4x ≥15.66，5x ≥6.88。
可分析得出农业用水效益效率低所以应保持现有的或降低农业用水量，工业用水因为有较高的经济效益，故按照预测的正常发展速率发展，林牧渔业为较稳定的效益效率，不用如预测值般加大用水量来换取经济效益，因为其用水量已经足以满足使用和发展，城镇和居民生活用水不产生经济价值，则就经济方面而言，应合理控制人口数量，防止人口过速增长。
模型II ：偏最小二乘回归分析在一般的多元线性回归模型中，有一组因变量{}q y y y Y ,...,,21=（q 为因变量个数）和自变量{}m x x x X ,...,,21=（m 为自变量个数），当数据总体满足高斯-马尔科夫定理时，有最小二乘法有：()Y X XX X B T T 1-= （3）式中B 为估计的回归系数。
当X 中的变量存在严重的多重相关性（变量本身物理意义决定了它们之间的相关性，或有样本点数不足造成），式（3）中行列式()X X T几乎接近于零，求解()1-XX T 时会含有严重的舍入误差，是回归系数估计值的抽样变异性显着增加。
更有甚者，当X 中的变量完全相关时，()X X T是不可逆矩阵，无法求解回归系数。
此时，若仍沿用最小二乘法拟合回归模型，回归结果将会出现许多反常现象，致使其精度、可靠性得不到保证。
在实际工作中，变量的多重相关性是普遍存在的。
偏最小二乘法就能较好的解决这类问题。
本文中，由于影响水资源需水量的各个因子的相关度不尽相同，选取影响水资源短缺的5个主要因子作为回归分析的自变量~1X 5X ，分别是：总需水量、农业用水、工业用水、林牧渔用水、常住人口。
因变量选为水资源短缺（Y ）。
其思路是：首先，从自变量集合X 中提取成分(),...2,1=h t h ，各成分互相独立；然后，建立这些成分与自变量X 的回归方程，其关键在于成分的提取。
与主成分回归不同的是，偏最小二乘回归所提取的成分即能很好的概括自变量系统中的信息，又能很好的解释因变量，并排除系统中的噪声干扰。
因而有效的解决了自变量间多重相关性情况下的回归建模问题。
当q=1时，为单变量偏最小而成回归模型（记为PLS1）；当q>1时，为多变量偏最小二乘回归模型。
由于本文讨论的是水资源短缺强度问题只有一个因变量，故属于PLS1模型。
数据标准化处理标准化的目的是使样本点的几何重心与坐标原点重合。
()()⎪⎩⎪⎨⎧-==yny S E y F F F y y 000 （4） ()()⎪⎩⎪⎨⎧-==∧=⨯ix i i m n m S x E x x E E E E E i *i0002010,,,，()m i ,,2,1∧= （5）式中0F ,0E 分别为y,X 的标准化矩阵；()()i x E y E,（i 同上）分别为y,X的均值；i x y S S ,分别为y,X 的均方差；n 为样本用量。
第一成分1t 的提取已知0F ,0E ，可以0E 从中提取的第一成分1t ， 式中1W 为0E 的第一个轴，为组合系数。
11=W ；1t 是标准化变量**2*1,,,m x x x ∧的线性组合，为原信息的重新调整。
从0F 中提取第一个成分1u ， 式中1C 和0F 的第一个轴，11=C ，在此，要求1t ，1u 能分别很好的代表X 与y 中的数据变异信息，且1t 对1u 有最大的解释能力。
根据主成分分析原理和典型的相关分析的思路，实际上是要求1t 与1u 的协防差最大，这是一个最优化问题。
经推导可得⎪⎩⎪⎨⎧==1211000012110000C C F E E F W W E F F E T T T T θθ （6） 式中1θ为优化问题的目标函数；1W 的0000E F F E T T特征向量，21θ为对应的特征值，1C 为对应于矩阵0000F E E F TT最大特征值21θ的单位特征向量。
要1θ取最大值，则1W 为0000E F F E T T 矩阵最大特征值的单位特征向量，本文讨论的水资源短缺强度问题中，11=C ，则01F u =。
()()()()[]M m i mi iE y x r E y x r E y x r y x r W E t 00220112101,,,,1+∧++==∑=式中()y x r i ,为1x 与y 的相关系数。
从1t 中可以看出，1t 不仅与X 有关，而且与y 有关；另外，若i x 与y 的相关程度越强，则i x 的组合系数越大，其解释性就越明显。
求得轴1W 后，可得成分1t 。
分别求0F ，0E 对1t 的回归方程为1110E P t E T+= 1110t F r F += （7）式中21101t t E P T =，为回归系数，向量：21101r t t F T =，为回归系数，标量：1E ,1F 分别为回归方程的残差矩阵，[]m E E E E 112111,,,∧=；1101r t F F -=。
第二成分2t 的提取以1E 取代0E ，1F 取代0F ，用上面的方法求第2个轴2W 和第2个成分2t ，有式中().0vC 表示协方差。
施行1E ,1F 对2t 的回归，有⎩⎨⎧+=+=22212221t F r t F E P E T （8）式中22222t t E P T=，22212r t t F T =。
第h 成分h t 的提取同理，可推求出第h 成分h t 。
H 可用交叉有效性原则进行识别，H 小于X 的秩。
推求偏最小二乘回归模型0F 关于1t ，2t ,…,h t 的最小二乘回归方程为h h t r t r t F +∧++=∧22110r （9）由于1t ，2t ,…,h t 均是0E 的线性组合，有偏最小二乘回归的性质有()h i W E W E i i i i ,,2,1t *01∧===- （10）式中()i 11*W p W I W Tk k i k i -∏=-=。
将式（10）带入式（9）得()**110*0*202*1010r h h h h W r W r E W E r W E r W E F +∧+=+∧++=∧(11)记()m i W r E x F ki hk k i i,,2,1,,y *1i 0*0*∧====∑=α，则式（11）可还原成标准化变量的回归方程为**22*11*m m x x x yααα+∧++=∧（12）式（12）还可以进一步写成原变量的偏最小二乘回归方程为()()m x ym x y m i i x y i x S S x S S x E S S E m i i y ααα+∧++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=∑=∧111y * （13） 交叉有效性原则 记i y 为原始数据，1t ，2t ,…,m t 是在偏最小二乘回归过程中提取的成分。