2014高考考点突破之数列解答题专练

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2014高考数学理(真题讲练规律总结名师押题)热点专题突破：第九讲等差数列、等比数列

第九讲等差数列、等比数列数列等差数列通项公式定义前n 项和公式性质等比数列通项公式定义前n 项和公式性质1．(等比数列的前n 项和)(2013·北京高考)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝______；前n 项和S n ＝________.【解析】设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前n 项和公式求S n .设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则：由a 2＋a 4＝20得a 1q (1＋q 2)＝20.① 由a 3＋a 5＝40得a 1q 2(1＋q 2)＝40.② 由①②解得q ＝2，a 1＝2.故S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.【答案】 2 2n ＋1－22．(等差数列的性质)在等差数列{a n }中，若a 2，a 2 014为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 1＋a 1 008＋a 2 015＝________.【解析】由题意知a 2＋a 2 014＝10，所以a 1 008＝5. 所以a 1＋a 1 008＋a 2 015＝3a 1 008＝3×5＝15. 【答案】 153．(等比数列的性质)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝________.【解析】在等比数列{a n }中，a 3a 7＝a 25；a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(22)2＝8.【答案】 84．(等差数列的通项公式)若数列{a n }满足1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，且a 1＝3，则a n ＝________ .【解析】由1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，得1a n ＋1－1a n＝2，∴数列{1a n }是首项为13，公差为2的等差数列．∴1a n ＝13＋(n －1)×2＝2n －53， ∴a n ＝36n －5.【答案】36n －55．(等差数列前n 项和)已知正数组成的等差数列{a n }，其前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是__________．【解析】 ∵S 20＝20(a 1＋a 20)2＝100，∴a 1＋a 20＝10. ∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a 7＋a 142)2＝(a 1＋a 202)2＝25，当且仅当a 7＝a 14时取“＝”．【答案】 25(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)(2013·湖北高考)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. ①求数列{a n }的通项公式．②是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．【思路点拨】 (1)先求a m ，a m ＋1，再根据a m ，a m ＋1，S m 列方程组求m .(2)①先求得a 1和公比q ，再求通项公式；②根据数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍然构成等比数列可求得数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前m 项和，进而作出判断．【自主解答】 (1)∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.∵S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.又S m ＝m (a 1＋a m )2＝m (a 1＋2)2＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5. 【答案】 C(2)①设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1.故a n ＝53·3n －1，或a n ＝－5·(－1)n －1.②若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35·⎝⎛⎭⎫13n －1，故数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列．从而∑n ＝1m 1a n＝35·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m 1－13＝910·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m <910<1.若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m 1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N ＋)，0，m ＝2k (k ∈N ＋).故∑n ＝1m 1a n <1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．1．本例(2)中，通项公式含(－1)n －1，故需分n 为奇数与偶数两种情况讨论．2．涉及等差(比)数列的运算，一般是利用等差(比)数列的通项公式、求和公式“知三求二”．体现了方程思想的应用．3．在使用等比数列前n 项和公式时，若公比q 不能确定是否为1，应分q ＝1和q ≠1两种情况讨论．变式训练1 (2013·潍坊模拟)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .【解】 (1)因为{a n }是一个等差数列，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，所以a 4＝28. 设数列{a n }的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9. 由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若9m <a n <92m ，则9m ＋8<9n <92m ＋8，因此9m －1＋1≤n ≤92m －1，故得b m ＝92m －1－9m －1.于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9×(1－81m )1－81－(1－9m )1－9＝92m ＋1－10×9m ＋180.【命题要点】 ①利用等差数列的性质求某一项，求和；②利用等比数列的性质，求值.(1)等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66(2)(2013·三门峡模拟)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3【思路点拨】 (1)先求a 4和a 6，然后再根据a 1＋a 9＝a 4＋a 6求S 9.(2)先求a 7，再利用a 29＝a 11·a 7求解．【自主解答】 (1)由a 1＋a 4＋a 7＝39，得3a 4＝39，a 4＝13. 由a 3＋a 6＋a 9＝27，得3a 6＝27，a 6＝9. 所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×(13＋9)2＝99.(2)由a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243得a 7＝3，所以a 29a 11＝a 11·a 7a 11＝a 7＝3.【答案】 (1)C (2)D1．本例(2)用a 29＝a 11a 7求解，过程简单，当然也可以把a 9、a 11用a 7、公比q 表示出来，求解．2．等差、等比数列的性质n 123345＝18，则a 2a 3a 4＝( ) A ．512 B ．64 C ．1 D.1512【解析】因为a 1a 2a 3＝a 32＝8，a 3a 4a 5＝a 34＝18. 由题意知数列{a 3n }也是等比数列，且各项为正．故a 2a 3a 4＝a 33＝1.【答案】 C【命题要点】 ①判定或证明一个数列是等差数列；②判定或证明一个数列是等比数列.(2013·北京高考)给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1,2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3,4,7,1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0，证明：d 1，d 2，…，d n－1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．【思路点拨】 (1)根据d i 的定义求解．(2)需根据题意求出d n 的通项公式后利用定义证明． (3)利用等差数列的定义证明．【自主解答】 (1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q >1，所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1,2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1,2，…，n －1， d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q )q i －1.因此d i ≠0且d i ＋1d i ＝q (i ＝1,2，…，n －2)，即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d >0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d >B i ＋d i ＝A i . 又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列．因此A i ＝a i (i ＝1,2，…，n －2)．又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1，所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1. 因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .因此对i ＝1,2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ，即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．1．等差数列的判断方法：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 2．等比数列的判定方法：(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2≠0(n ∈N *)． (3)通项公式：a n ＝cq n －1(c 、q 均为非零的常数，n ∈N *)．3．要证明一个数列是等差(比)数列必须用定义法或等差(比)中项法．变式训练3 已知数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝34，a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝12，3b n －b n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{b n －a n }为等比数列，并求出数列{b n }的通项公式．【解】 (1)由a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，可得a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)．∴数列{a n }是首项为a 1＝14，公差为d ＝a 2－a 1＝12的等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12n －14(n ∈N *)，即a n ＝12n －14(n ∈N *)．(2)由3b n －b n －1＝n ，得b n ＝13b n －1＋13n (n ≥2，n ∈N *)，∴b n －a n ＝13b n －1＋13n －12n ＋14＝13b n －1－16n ＋14＝13(b n －1－12n ＋34) ＝13[b n －1－12(n －1)＋14] ＝13(b n －1－a n －1)．又b 1－a 1＝14≠0，∴b n －a n ≠0(n ∈N *)，得b n －a n b n －1－a n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)，即数列{b n －a n }是首项为b 1－a 1＝14，公比为13的等比数列．于是，b n －a n ＝14·(13)n －1，即b n ＝2n －14＋14·(13)n －1＝14[(13)n －1＋2n －1](n ∈N *).等差、等比数列的通项公式a n 与前n 项和S n 是高考必考内容，其中把非等差、等比数列的求和问题转化为等差、等比数列的求和问题，体现了转化与化归的数学思想，是高考命题的生长点．可转化为等差、等比数列的求和问题(12分)等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．n (2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 【规范解答】 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意；当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1.4分(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3.8分所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n2ln 3－1；10分当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋(n －12－n )ln 3＝3n －n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎨⎧3n ＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.12分【阅卷心语】易错提示 (1)在确定a 1，a 2，a 3的值时，不会分类讨论导致无法求解．(2)在求数列{b n }的前n 项和S n 时，不会把S n 拆分成几个可求和的数列的和的形式，从而无法求解．(3)在求数列{b n }的前n 项和S n 时，对n 没分偶数和奇数两种情况求解导致答案错误．防范措施 (1)当a 1的值不确定时，应对a 1的所有可能取值逐一进行讨论．(2)当通项公式a n 是多项和的形式时，常把前n 项和S n 拆分成几个等差(比)数列和的形式求解．(3)数列问题中若遇到(－1)n 则需考虑n 的奇偶性对所求数值的影响．必要时应分n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论．1．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为( ) A ．42 B ．±42 C ．4 D ．±4 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知 ⎩⎨⎧S 9＝9a 1＋9×82d ＝－36，S 13＝13a 1＋13×122d ＝－104，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－2.∴a 5＝a 1＋4d ＝－4，a 7＝a 1＋6d ＝－8， ∴a 5a 7＝32，故a 5与a 7的等比中项为±4 2. 【答案】 B2．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n， 0≤a n＜12，2a n－1， 12≤a n＜1，若a 1＝35，则数列的第2 013项为( )A.15B.25C.35D.45【解析】由题意知a 2＝2a 1－1＝2×35－1＝15，a 3＝2a 2＝25，a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝2×45－1＝35，a 6＝2a 5－1＝2×35－1＝15，…从而数列{a n }的各项周期性出现，周期为4，故a 2 013＝a 1＝35.【答案】 C第11 页共11 页。

2014高考一轮复习数列专题一-理

第六章单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．若{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝ ( )A ．－2B ．－1C.12 D ．2答案 B解析由等差中项的定义结合已知条件可知2a 4＝a 5＋a 3，∴2d ＝a 7－a 5＝－1，即d ＝－12.故选B.2．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3答案 D 解析由等比数列性质可知a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，所以得a 7＝3，又a 29a 11＝a 7a 11a11＝a 7，故选D.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 5＝12S 5，且a 9＝20，则S 11＝ ( ) A ．260 B ．220 C ．130 D ．110答案 D解析 ∵S 5＝a 1＋a 52×5，又∵12S 5＝a 1＋a 5，∴a 1＋a 5＝0.∴a 3＝0，∴S 11＝a 1＋a 112×11＝a 3＋a 92×11＝0＋202×11＝110，故选D.4．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S2 009等于() A．0 B．2C．2 009 D．4 018答案 D解析各项均不为零的等差数列{a n}，由于a2n－a n－1－a n＋1＝0(n∈N*，n≥2)，则a2n－2a n＝0，a n＝2，S2 009＝4 018，故选D.5．数列{a n}是等比数列且a n>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于() A．5 B．10C．15 D．20答案 A解析由于a2a4＝a23，a4a6＝a25，所以a2·a4＋2a3·a5＋a4·a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝25.所以a3＋a5＝±5.又a n>0，所以a3＋a5＝5.所以选A.6．首项为1，公差不为0的等差数列{a n}中，a3，a4，a6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是() A．8 B．－8C．－6 D．不确定答案 B解析a24＝a3·a6⇒(1＋3d)2＝(1＋2d)·(1＋5d)⇒d(d＋1)＝0⇒d＝－1，∴a3＝－1，a4＝－2，∴q＝2.∴a6＝a4·q＝－4，第四项为a6·q＝－8.7．设函数f(x)满足f(n＋1)＝2f(n)＋n2(n∈N*)，且f(1)＝2，则f(20)＝()A．95 B．97 C．105 D．192 答案 B解析f(n＋1)＝f(n)＋n2，∴îïíïìf(20)＝f(19)＋192，f(19)＝f(18)＋182，……f(2)＝f(1)＋12.累加，得f(20)＝f(1)＋(12＋22＋…＋192)＝f(1)＋19×204＝97.8．若a x－1，a y，a－x＋1(a>0，且a≠1)成等比数列，则点(x，y)在平面直角坐标系内的轨迹位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 D解析∵成等比，∴(a y)2＝a x－1·a－x＋1.即2y＝x－1－x＋1，x－1>0，∴x>1.x－1<x＋1，∴y<0，∴位于第四象限．9．已知等比数列{a n}的公比q<0，其前n项的和为S n，则a9S8与a8S9的大小关系是() A．a9S8>a8S9B．a9S8<a8S9C．a9S8≥a8S9D．a9S8≤a8S9答案 A解析a9S8－a8S9＝a9a1(1－q8)1－q－a8a1(1－q9)1－q＝a8a1(q－q9－1＋q9)1－q＝－a1a8＝－a21q7.因为a21>0，q<0，所以－a21q7>0，即a9S8>a8S9，故选A.10．在等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S2 011＝－2 011，a1 007＝3，则S2 012的值为() A．1 006 B．－2 012C．2 012 D．－1 006答案 C解析方法一设等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意可得， îïíïìS 2 011＝2 011a 1＋2 011×(2 011－1)2d ＝－2 011，a 1 007＝a 1＋1 006d ＝3，即îïíïìa 1＋1 005d ＝－1，a 1＋1 006d ＝3，解得îïíïìa 1＝－4 021，d ＝4. 所以，S 2 012＝2 012a 1＋2 012×(2 012－1)2d ＝2 012×(－4 021)＋2 012×2 011×2 ＝2 012×(4 022－4 021)＝2012. 方法二由S 2 011＝2 011(a 1＋a 2 011)2 ＝2 011a 1 006＝－2 011，解得a 1 006＝－1，则S 2 012 2 012(a 1＋a 2 012)2＝2 012(a 1 006＋a 1 007)2 2 012×(－1＋3)2＝2 012. 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．若m ，n ，m ＋n 成等差数列，m ，n ，m ·n 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为________．答案 2解析由题意知2n ＝m ＋m ＋n ，∴n ＝2m .又n 2＝m ·m ·n ，∴n ＝m 2，∴m 2＝2m . ∴m ＝2，∴n ＝4，∴a 2＝4，b 2＝2，c 2＝2. ∴e ＝ca ＝22.12．数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S nn ＝2n 3n ＋1，则a 100100＝________.答案 199299解析 a 100b 100＝a 1＋a 1992b 1＋b 199＝S 199T 199＝199299.13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于________．答案 2解析 ∵S 3＝(a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0. ∴d ＝a 3－a 12＝2.14．某人从2012年1月份开始，每月存入银行100元，月利率是3‰(不计复利)，到2012年12月底取出的本利和应是________元．答案 1 223.4解析应为 1 200＋0.3×12＋0.3×11＋…＋0.3＝1 200＋0.3×12×132 1 223.4(元)．15．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为________．答案 4解析设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 23＝a 2·a 4＝4.又a 3>0，因此a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝1，a 1＝8，a n ＝8×(1)n －1＝24－n ，a n ·a n ＋1·a n ＋2＝29－3n .由于2－318>19，因此要使29－3n >19，只要9－3n ≥－3，即n ≤4，于是满足 a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为4.16．等比数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q 等于________．答案 12解析 S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝31－3232＝－132，即q 5＝(－12)5，所以q ＝12.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)数列{a n }中，a 1＝1，a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，求数列{b n }的前n 项和S n .答案 S n nn ＋1解析 ∵a n ，a n ＋1是x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两根， ∴a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，a n ·a n ＋1＝1b n.∴a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋3. ∴a n ＋2－a n ＝2. ∴a 3－a 1＝2， a 5－a 3＝2， ……a2n－1－a2n－3＝2.∴a2n－1－a1＝2(n－1)．∴a2n－1＝2n－1，∴当n为奇数时，a n＝n. 同理可得当n为偶数时a n＝n.∴a n＝n.∴b n＝1a n·a n＋1＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1.∴S n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n＝1－12＋12－13＋13－14＋ (1)n－1n＋1＝11n＋1＝n n＋1.18．(本小题满分12分)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n＋5}是等比数列．答案(1)b n 54·2n－1＝5·2n－3(2)略解析(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d. 依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{b n}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{b n}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.所以{b n}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n＝54·2n－1＝5·2n－3.(2)数列{b n}的前n项和S n＝54(1－2n)1－2＝5·2n－2－54，即S n＋54＝5·2n－2.所以S1＋54＝52，S n＋1＋54S n＋54＝5·2n－15·2n－2＝2.因此{S n＋5}是以5为首项，公比为2的等比数列．19．(本小题满分12分)已知数列{x n}的首项x1＝3，通项x n＝2n p＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列，求：(1)p，q的值；(2)数列{x n}的前n项的和S n的公式．解析(1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.(2)S n＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝2n＋1－2n(n＋1)2.20．(本小题满分12分)已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(1 a11a2)，a3＋a4＋a5＝64(1a3＋1a4＋1a5)．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝(a n＋1a n)2，求数列{bn}的前n项和T n.解析(1)设{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1. 由已知，有îïíïìa 1＋a 1q ＝2èçæø÷ö1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64èçæø÷ö1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4，化简，得îïíïìa 21q ＝2，a 21q 6＝64.又a 1>0，故q ＝2，a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知，b n ＝èçæø÷öa n ＋1a n 2＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1＋14n －1＋2. 因此，T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋14＋…＋14n －1)＋2n ＝1－4n1－4＋1－1n 1－14＋2n ＝13(4n －41－n )＋2n ＋1.21．(本小题满分12分)某企业2010年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2011年起每年比上一年纯利润减少20万元，2011年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年(2011年为第一年)的利润为500(1＋12n )万元(n 为正整数)．(1)设从2011年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元(须扣除技术改造资金)，求A n ，B n 的表达式；(2)依上述预测，从2011年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？思路 (1)A n 是一个等差数列的前n 项和，B n 是一个常数数列和一个等比数列的组合的前n 项和，根据数列的求和公式，就可以求出A n ，B n 的表达式．(2)建模B n >A n ，解这个关于n 的不等式．解析(1)依题意知，A n是一个以480为首项，－20为公差的等差数列的前n项和，所以A n＝480n＋n(n－1)2×(－20)＝490n－10n2，B n＝500(1＋12)＋500(1＋122)＋…＋500(1＋12n)－600＝500n＋500(12＋122＋…12n)－600＝500n＋50012[1－(12)n]1－12－600＝500n5002n－100.(2)依题意得，B n>A n，即500n－5002n－100>490n－10n2，可化简502n<n2＋n－10.∴可设f(n)＝502n，g(n)＝n2＋n－10.又∵n∈N*，∴可知f(n)是减函数，g(n)是增函数．又f(3)＝508>g(3)＝2，f(4)＝5016<g(4)＝10.则当n＝4时不等式成立，即4年．22．(本小题满分12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＋n＝2a n(n ∈N*)．(1)证明：数列{a n＋1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝(2n＋1)a n＋2n＋1，数列{b n}的前n项和为T n.求满足不等式T n－22n－1>2010的n的最小值．解析(1)因为S n＋n＝2a n，所以S n－1＝2a n－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)．两式相减，得a n＝2a n－1＋1.所以a n＋1＝2(a n－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以数列{a n＋1}为等比数列．因为S n＋n＝2a n，令n＝1得a1＝1.a1＋1＝2，所以a n＋1＝2n，所以a n＝2n－1.(2)因为b n＝(2n＋1)a n＋2n＋1，所以b n＝(2n＋1)·2n.所以T n＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①2T n＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②①－②，得－T n＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1＝6＋2×22－2n＋11－2－(2n＋1)·2n＋1＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1.所以T n＝2＋(2n－1)·2n＋1.T n－22n－1>2 010，2＋(2n－1)·2n＋12n－1>2 010，即2n＋1>2 010.由于210＝1 024,211＝2 048，所以n＋1≥11，即n≥10.所以满足不等T n－22n－1>2 010的n的最小值是10.1．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，数列{b n}是等差数列，且a6＝b7，则有() A．a3＋a9≤b4＋b10B．a3＋a9≥b4＋b10C．a3＋a9≠b4＋b10D．a3＋a9与b4＋b10的大小关系不确定答案 B解析记等比数列{a n}的公比为q，由数列{b n}为等差数列可知b4＋b10＝2b7.又数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a3＋a9＝a3(1＋q6)＝a6(1＋q6q3)＝b7(1＋q6q3)，又1＋q6q3＝1q3＋q3≥2，当且仅当q＝1时，等号成立，∴a3＋a9≥b4＋b10.故选B.2．已知a n＝32n－11(n∈N＋)，数列{a n}的前n项和为S n，则使S n>0的n的最小值是() A．5B．6C．10 D．11答案 D解析令f(x)＝32x－11知f(x)关于(112，0)对称，∴a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a5＋a6＝0，且a6>a7>a8>a9>a10> 0∴S10＝0，S11>0，选D.3．数列{a n}中，S n为其前n项和，已知S1＝1，S2＝2，且S n＋1－3S n＋2S n－1＝0(n∈N*且n≥2)，则此数列为() A．等差数列B．等比数列C．从第二项起为等差数列D．从第二项起为等比数列答案 D解析S n＋1－3S n＋2S n－1＝0，∴S n＋1－S n＝2S n－2S n－1，∴a n＋1＝2a n.又a1＝1，a2＝1，∴从第二项起为等比数列．4．已知数列{a n}满足a1＝23，且对任意的正整数m，n，都有a m＋n＝a m＋a n，则a nn等于() A.12 B.23C.32D．2答案 B解析令m＝1，得a n＋1＝a1＋a n，即a n＋1－a n＝a1＝23，可知数列{a n}是首项为a1＝23，公差为d＝23的等差数列，于是a n＝23＋(n－1)·23＝23n，即a nn＝23.故选B.5．设a1，a2，…，a50是以－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋…＋a50＝9且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50当中取零的项共有() A．11个B．12个C．15个D．25个答案 A解析(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝a21＋a22＋…＋a250＋2(a1＋a2＋…＋a50)＋50＝107，∴a21＋a22＋…＋a250＝39，∴a1，a2，…，a50中取零的项应为50－39＝11个，故选A.6．已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有() A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0C．a3＋a99＝0 D．a51＝51答案 C解析由题意，得a1＋a2＋…＋a101＝a1＋a1012×101＝0.所以a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝0.7．已知数列{a n}，{b n}满足a1＝1，且a n，a n＋1是函数f(x)＝x2－b n x＋2n的两个零点，则b 10＝________.答案 64解析 a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n ， ∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1. ∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2. ∴a 2n ＝2n ，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)． ∴b 10＝a 10＋a 11＝64.8．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为________．答案 {5,6}解析等差数列中由S 10>0，S 11＝0，得 S 1010(a 1＋a 10)2>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0， S 11＝11(a 1＋a 11)2＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知，等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，即k ＝5或6.∴集合为{5,6}．9．(2013·衡水调研)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，函数f (x )12px 2－(p ＋q )x ＋q ln x (其中p 、q 均为常数，且p >q >0)，当x ＝a 1时，函数f (x )取得极小值，点(a n,2S n )(n ∈N *)均在函数y ＝2px 2qx ＋f ′(x )＋q 的图像上．(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)记b n ＝4S n n ＋3·q n，求数列{b n }的前n 项和T n .解析(1)由题易得f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝px－(p＋q)＋qx＝px2－(p＋q)x＋qx＝(x－1)(px－q)x.令f′(x)＝0，得x＝1或x＝qp.∵p>q>0，∴0<qp<1.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：1(2)依题意，y＝2px2－qx＋f′(x)＋q＝2px2＋px－p，2S n＝2p·a2n＋p·a n－p(n∈N*)．∴2a1＝2p·a21＋pa1－p.由a1＝1，得p＝1.∴2S n＝2a2n＋a n－1. ①∴当n≥2时，2S n－1＝2a2n－1＋a n－1－1. ②①－②得2a n＝2(a2n－a2n－1)＋a n－a n－1.∴2(a2n－a2n－1)－(a n＋a n－1)＝0.∴(a n＋a n－1)(a n－a n－1－12)＝0.由于a n＋a n－1>0，∴a n－a n－1＝12(n≥2)．∴{a n}是以a1＝1为首项，12为公差的等差数列．∴a n ＝1＋(n －1)×12＝n ＋12.(3)S n ＝n ＋n (n －1)·1＝n 2＋3n ，∴b n ＝4S n n ＋3·q n＝nq n .∴T n ＝q ＋2q 2＋3q 3＋…＋(n －1)q n －1＋nq n .③已知p >q >0，而由(2)知p ＝1，则q ≠1. ∴qT n ＝q 2＋2q 3＋3q 4＋…＋(n －1)q n ＋nq n ＋1.④由③－④，得(1－q )T n ＝q ＋q 2＋q 3＋…＋q n －1＋q n －nq n ＋1＝q (1－q n )1－q－nq n ＋1.∴T n ＝q (1－q n )(1－q )2－nq n ＋11－q.10．将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表： a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 …已知表中的第一列数a 1，a 2，a 5，…构成一个等差数列，记为{b n }，且b 2＝4，b 5＝12.表中每一行正中间一个数a 1，a 3，a 7，…构成数列{c n }，其前n 项和为S n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a 13＝1.①求S n ；②记M ＝{n |(n ＋1)c n ≥λ，n ∈N *}，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围．解析 (1)设数列{b n }的公差为d ，则îïíïìb 1＋d ＝4，b 1＋4d ＝10，解得îïíïìb 1＝2，d ＝2，所以b n ＝2n .(2)①设每一行组成的等比数列的公比为q.由于前n行共有1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2个数，且32<13<42，所以a10＝b4＝8.所以a13＝a10q3＝8q3，又a13＝1，解得q＝12.由已知可得c n＝b n q n－1，因此c n＝2n·(12)n－1＝n2n－2.所以S n＝c1＋c2＋c3＋…＋c n＝12－1＋220＋321＋…＋n2n－2.1 2S n120＋221＋…n－12n－2＋n2n－1.12S n12－1＋120＋121＋…12n－2－n2n－1＝412n－2－n2n－1＝4n＋22n－1.解得S n＝8－n＋2 2n－2.②由①知，c n＝n2n－2，不等式(n＋1)c n≥λ，可化n(n＋1)2n－2≥λ.设f(n)＝n(n＋1)2n－2，因为f(n＋1)－f(n)＝(n＋1)(2－n)2n－1，所以当n≥3时，f(n＋1)<f(n)．计算得f(1)＝4，f(2)＝f(3)＝6，f(4)＝5，f(5)＝154.因为集合M的元素个数为3，所以λ的取值范围是(4,5]．11．已知数列{a n}，a1＝1，a n＝λa n－1＋λ－2(n≥2)．(1)当λ为何值时，数列{a n}可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式；(2)若λ＝3，令b n＝a n＋12，求数列{b n}的前n项和S n.解析(1)a2＝λa1＋λ－2＝2λ－2，a3＝λa2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2. ∵a1＋a3＝2a2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)，得2λ2－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝32.当λ＝32时，a2＝2×32－2＝1，a1＝a2，故λ＝32不合题意舍去；当λ＝1时，代入a n＝λa n－1＋λ－2可得a n－a n－1＝－1. ∴数列{a n}构成首项为a1＝1，d＝－1的等差数列．∴a n＝2－n.(2)当λ＝3时，a n＝3a n－1＋1，即a n＋1＝3(a n－1＋1)，即b n＝3b n－1.∴数列{b n}构成首项为b1＝32，公比为3的等比数列．∴b n＝32×3n－1＝3n2.∴S n＝32(1－3n)1－3＝34(3n－1)．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＋a2＝2S3，等比数列{b n}满足b1＝a2，b2＝a4.(1)求证：{b n}中的每一项均为{a n}中的项；(2)若a1＝12，数列{c n}满足：b n＋1·c n＝(－1)n(1＋2log2b n)，求数列{c n}的前n项和T n.解析(1)证明：设等差数列{a n}的公差为d，由S4＋a2＝2S3得4a1＋6d＋a1＋d＝6a1＋6d，∴a1＝d.则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1.∴b 1＝2a 1，b 2＝4a 1，等比数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2.则b n ＝2a 1·2n －1＝2n a 1.∵2n ∈N *，∴{b n }中的每一项均为{a n }中的项． (2)解析：∵a 1＝12，∴b n ＝2n ×12＝2n －1. 由b n ＋1·c n ＝(－1)n (1＋2log 2b n )，得 2n ·c n ＝(－1)n [1＋2(n －1)]＝(－1)n (2n －1)． ∴c n ＝(－1)n (2n －1)n＝(2n －1)(－1)n.T n ＝(－12＋3(－12)2＋5(－12)3＋…＋(2n －1)(－12)n ，－2T n ＝1＋3(－12＋5(－12)2＋…＋(2n －1)(12)n －1.两式相减，得－3T n ＝1＋2(－1)＋2(－1)2＋…＋2(－1)n －1－(2n －1)(－1)n ＝1－2＋2·[1＋(－12)＋(12)2＋…＋(12)n －1]－(2n －1)(12)n＝－1＋2·1－(12)n1－(12)－(2n －1)(12)n＝－143－43(12)n －(2n －1)(12)n 13－6n ＋13(12)n，∴T n ＝6n ＋19(－12)n －19.13．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n －2n －2＝0，(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋1a n ＋3＋…＋1a 2n，若对任意的正整数n ，当m ∈[－1,1]时，不等式t 2－2mt ＋16>b n 恒成立，求实数t 的取值范围．解析 (1)由题意得a n －a n －1＝2n (n ≥2)，累差叠加，得a n ＝n (n ＋1)(n ≥2)．又a 1＝2，所以a n ＝n (n ＋1)，(n ∈N *)． (2)b n 1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋ (1)(2n )(2n ＋1)1n ＋1－12n ＋1＝n (n ＋1)(2n ＋1)＝n 2n 2＋3n ＋1， b n 12n 1n ＋3，b n 的最大值为b 1＝16，所以t 2－2mt ＋16>16恒成立，m ∈[－1,1]．构造g (m )＝－2tm ＋t 2，即g (m )>0恒成立m ∈[－1,1]．当t ＝0，不成立；当t ≠0，g (m )是一次函数，îïíïìg (－1)>0，g (1)>0，解得t ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．14．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 答案 (1)a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2) (2)T n ＝n4(n ＋1)解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2.由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)．(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n (n ＋1)．因此b n ＝14n (n ＋1)＝14(1n －1n ＋1)．故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n14(112＋12－13＋…1n －1n ＋1) 14(11n ＋1)n 4(n ＋1). 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4(n ＋1). 15．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和S n ，若S 4≥10，S 5≤15，求a 4的最大值．解析方法一 a 5＝S 5－S 4≤5，S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝5a 3≤15，a 3≤3，则a 4＝a 3＋a 52≤4，a 4的最大值为4.方法二 ∵îïíïìS 4＝4a 1＋6d ≥10，S 5＝5a 1＋10d ≤15⇒ îïíïì－2a 1－3d ≤－5，a 1＋2d ≤3⇒d ≤1. 又∵S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3≤15，∴a 3≤3. ∴a 4≤4.故a 4的最大值为4.方法三本题也可利用线性规划知识求解．由题意得îïíïì4a 1＋6d ≥10，5a 1＋10d ≤15⇒ îïíïì2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.a 4＝a 1＋3d . 画出可行域îïíïì2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3，求目标函数a 4＝a 1＋3d 的最大值，即当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内(1,1)点时截距最大，此时a 4＝4.16．(2012·天津)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *，证明： T n ＋12＝－2a n ＋10b n (n ∈N *)．解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件，得方程组îïíïì2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10，解得îïíïìd ＝3，q ＝2.所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *.(2)方法一由(1)得T n ＝2a n ＋22a n －1＋23a n －2＋…＋2n a 1，① 2T n ＝22a n ＋23a n －1＋…＋2n a 2＋2n －1a 1.②由②－①，得T n ＝－2(3n －1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2＝12(1－2n －1)1－2＋2n ＋2－6n＋2＝10×2n－6n－10.而－2a n＋10b n－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－6n－10，故T n＋12＝－2a n＋10b n，n∈N*.方法二(1)当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立；(2)假设当n＝k时等式成立，即T n＋12＝－2a k＋10b k，则当n＝k＋1时，有T k＋1＝a k＋1b1＋a k b2＋a k－1b3＋…＋a1b k＋1＝a k＋1b1＋q(a k b1＋a k－1b2＋…＋a1b k)＝a k＋1b1＋qT k＝a k＋1b1＋q(－2a k＋10b k－12)＝2a k＋1－4(a k＋1－3)＋10b k＋1－24＝－2a k＋1＋10b k＋1－12.即T k＋1＋12＝－2a k＋1＋10b k＋1.因此n＝k＋1时等式也成立．由(1)和(2)，可知对任意n∈N*，T n＋12＝－2a n＋10b n成立．17．(2012·陕西)设{a n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，且a5，a3，a4成等差数列．(1)求数列{a n}的公比；(2)证明：对任意k∈N＋，S k＋2，S k，S k＋1成等差数列．解析(1)设数列{a n}的公比为q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4.即2a1q2＝a1q4＋a1q3.由a1≠0，q≠0，得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2.(2)方法一对任意k∈N＋，S k＋2＋S k＋1－2S k＝(S k＋2－S k)＋(S k＋1－S k)＝a k＋1＋a k＋2＋a k＋1＝2a k＋1＋a k＋1·(－2)＝0，所以，对任意k∈N＋，S k＋2，S k，S k＋1成等差数列．方法二对任意k∈N＋，2S k＝2a1(1－q k)1－q，S k＋2＋S k＋1＝a1(1－q k＋2)1－q＋a1(1－q k＋1)1－qa1(2－q k＋2－q k＋1)1－q，2S k－(S k＋2＋S k＋1)＝2a1(1－q k)1－q－a1(2－q k＋2－q k＋1)1－qa11－q[2(1－q k)－(2－q k＋2－q k＋1)]a1q k1－q(q2＋q－2)＝0，因此，对任意k∈N＋，S k＋2，S k，S k＋1成等差数列．18．(2012·广东)设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有11＋12＋…＋1n<3.解析(1)∵a1，a2＋5，a3成等差数列，∴2(a2＋5)＝a1＋a3.又∵2a1＝2S1＝a2－22＋1,2(a1＋a2)＝2S2＝a3－23＋1，∴a2＝2a1＋3，a3＝6a1＋13.因此4a1＋16＝7a1＋13，从而a1＝1.(2)由题设条件知，n≥2时，2S n－1＝a n－2n＋1，2S n＝a n＋1－2n＋1＋1.∴2a n＝a n＋1－a n－2n，于是a n＋1＝3a n＋2n(n≥2)．而由(1)知，a2＝2a1＋3＝5＝3a1＋2，因此对一切正整数n，有a n＋1＝3a n＋2n.所以a n＋1＋2n＋1＝3(a n＋2n)．又∵a1＋21＝3，∴{a n＋2n}是以3为首项，3为公比的等比数列．故a n＋2n＝3n，即a n＝3n－2n.(3)∵a n＝3n－2n＝3·3n－1－2n＝3n－1＋2(3n－1－2n－1)≥3n－1，∴1 a n≤13n－1.∴1 a1＋1a2＋…＋1a n≤1＋13＋132＋…＋13n－1＝1－13n1－13<32.19．(2012·湖北)已知等差数列{a n}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．解析(1)设等差数列{a n}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.由题意得îïíïì3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8.解得 îïíïìa 1＝2，d ＝－3或îïíïìa 1＝－4，d ＝3. 所以由等差数列的通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝îïíïì－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2112n ＋10.当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝îíì4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.20．(2012·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n －k (其中c ，k 为常数)，且a 2＝4，a 6＝8a 3.(1)求a n ；(2)求数列{na n }的前n 项和T n . 解析 (1)由S n ＝kc n －k ，得a n ＝S n －S n －1＝kc n －kc n －1(n ≥2)．由a 2＝4，a 6＝8a 3，得kc (c －1)＝4，kc 5(c －1)＝8kc 2(c －1)．解得îïíïìc ＝2，k ＝2，所以a 1＝S 1＝2，a n ＝kc n －kc n －1＝2n (n ≥2)，于是a n ＝2n . (2)T n ＝åi ＝1n ia i ＝åi ＝1ni ·2i ，即T n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ， T n ＝2T n －T n ＝－2－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1＝－2n ＋1＋2＋n ·2n ＋1＝(n －1)2n ＋1＋2.。

专题21 数列解答题丨十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(解析版)(共84页)

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！1十年（2014－2023）高考真题分项汇编—数列解答题目录题型一：数列的概念和通项公式...............................................................1题型二：等差数列的定义与性质...............................................................9题型三：等比数列的定义与性质.............................................................12题型四：数列的求和..................................................................................13题型五：数列中的新定义问题.................................................................15题型六：数列中的证明问题.....................................................................45题型七：数列与其他知识的交汇.............................................................62题型八：数列的综合应用. (81)题型一：数列的概念和通项公式1．(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n +⎧+=⎨+⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；(2)求{}n a 的前20项和．【答案】122,5b b ==；300．解析:(1)由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，故2223k k a a +=+即13n n b b +=+即13n n b b +-=所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-．(2)设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++ ，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=- ，所以()20241820210S a a a a =++++- ()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭．2．(2014高考数学湖南理科·第20题)已知数列{}n a 满足*+∈=-=N n p a a a nn n ,,111，(Ⅰ)若{}n a 是递增数列，且3213,2,a a a 成等差数列，求p 的值；(Ⅱ)若21=p ，且{}12-n a 是递增数列，{}n a 2是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．【答案】(1)13p =(2)141(1)332nn n a --=+⋅解析：(I)因为{}n a 是递增数列，所以11nn n n n a a a a p ++-=-=。

2014全国各地高考真题 ——数列专题及答案解析

2014全国各地高考数列真题山东：(19) （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，已知公差为2，2a 是1a 与4a 的等比中项. （Ｉ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .（19）解：（I ）由题意知2111()(3)a d a a d +=+，即2111(2)(6)a a a +=+，解得12a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =. （II ）由题意知(1)2(1)n n n b a n n +==+.所以122334(1)(1)n n T n n =-⨯+⨯-⨯++-⨯+. 因为12(1)n n b b n +-=+. 可得，当n 为偶数时，12341()()()n n n T b b b b b b -=-++-+++-+48122n =++++(42)22nn += (2)2n n +=当n 为奇数时，1()n n n T T b -=+-(1)(1)(1)2n n n n -+=-+2(1)2n +=-所以2(1),2(2)2n n n T n n n ⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数. 上海：23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比；（3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围.23.解：（1）由题得，263[3,6]933x x x x ⎧≤≤⎪⎪⇒∈⎨⎪≤≤⎪⎩ （文科）（2）∵1133n n n a a a +≤≤，且数列{}n a 是等比数列，11a =，∴11133n n n q q q --≤≤，∴111()03(3)0n n q q q q --⎧-≥⎪⎨⎪-≤⎩，∴1[,3]3q ∈。

2014高考数学(理)二轮专题升级训练：解答题专项训练数列(含答案解析)

专题升级训练解答题专项训练(数列)1。

设数列｛a n}的前n项和S n满足2S n=a n+1—2n+1+1，n∈N*,且a1，a2+5,a3成等差数列。

（1）求a1的值;（2)求数列｛a n｝的通项公式。

2。

已知各项都不相等的等差数列｛a n｝的前6项和为60，且a6为a1和a21的等比中项。

(1）求数列{a n｝的通项公式；(2）若数列{b n}满足b n+1-b n=a n(n∈N*)，且b1=3，求数列的前n 项和T n。

3。

已知数列{a n}是公差为正的等差数列，其前n项和为S n，点(n，S n）在抛物线y=x2+x上；各项都为正数的等比数列｛b n}满足b1b3=,b5=。

(1)求数列｛a n}，{b n}的通项公式;(2)记C n=a n b n，求数列{C n}的前n项和T n。

4.已知S n是等比数列{a n｝的前n项和，S4，S10，S7成等差数列. (1）求证：a3,a9,a6成等差数列；(2)若a1=1,求数列｛｝的前n项的积。

5。

已知数列｛a n}满足：a1=1，a n+1=(1）求a2,a3；（2)设b n=a2n—2,n∈N＊,求证：｛b n｝是等比数列，并求其通项公式;（3)在（2)的条件下，求数列｛a n｝前100项中的所有偶数项的和S.6。

已知数列｛a n｝(n∈N＊)是首项为a,公比为q≠0的等比数列,S n 是数列｛a n}的前n项和，已知12S3,S6,S12-S6成等比数列。

(1）当公比q取何值时，使得a1，2a7,3a4成等差数列;（2)在(1)的条件下，求T n=a1+2a4+3a7+…+na3n-2.7。

已知数列｛a n}的各项排成如图所示的三角形数阵,数阵中每一行的第一个数a1，a2,a4,a7,…构成等差数列｛b n｝，S n是｛b n}的前n 项和，且b1=a1=1，S5=15.(1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成仅比为正数的等比数列，且公比相等,已知a9=16，求a50的值；（2）设T n=+…+，求T n.8.设数列｛a n}的各项均为正数.若对任意的n∈N*，存在k∈N*，使得=a n·a n+2k成立,则称数列{a n}为“J K型”数列。

2014高考数学一轮复习单元练习--数列

2014高考数学一轮复习单元练习--数列I 卷一、选择题 1．数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（）A ．对任意*k N ∈，都有10k k a a +> B ．对任意*k N ∈，都有120k k k a a a ++> C ．对任意*k N ∈，都有20k k a a +> D ．对任意*k N ∈，都有240k k k a a a ++>【答案】C 2．)( 13,12,}{876项之和为则该数列的前有中在等差数列=++a a a a n104. 56. 52. 24.D C B A【答案】B3．若Sn 是等差数列{an}的前n 项和，有S8－S3＝10，则S11的值为( ) A ．22 B ．18 C ．12 D ．44 【答案】A4．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，且20101-=a ，32008201120082011=-S S ，则2a =（）A ．2008-B ．2012-C ． 2008D ．2012【答案】A5．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am ＝a1a2a3a4a5，则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 【答案】C 6．已知数列{}n a 中，11=a ，当2≥n 时，121+=-n n a a ，则=n a （）A ．12-nB ．222+-n nC ．12-nD ．121+-n【答案】C7．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 【答案】D8．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( ) A ．①和 B ．⑨和⑩ C ．⑨和 D ．⑩和【答案】D9．已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】D10．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( )A ．5 2B ．7C ．6D ．4 2 【答案】A11．互不相等的三个正数a 、b 、c 成等差数列，又x 是a 、b 的等比中项，y 是b 、c 的等比中项，那么x2、b2、y2三个数（）A ．成等差数列，非等比数列B ．成等比数列，非等差数列C ．既是等差数列，又是等比数列D ．既不成等差数列，又不成等比数列【答案】A12．已知等差数列｛an ｝中，a2=6，a5=15，若nn a b 2 ，则数列｛bn ｝的前5项和等于（）A ．30B ． 45C ．90D ．186【答案】CII 卷二、填空题13．已知数列{an}的前n 项和Sn 满足log2(Sn ＋1)＝n ＋1，则数列{an}的通项公式是________．【答案】an ＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝12n ， n ≥214．若1＋3＋5＋…＋(2x －1)11·2＋12·3＋…＋1x(x ＋1)＝110 (x ∈N*)，则x ＝________.【答案】1015．已知数列{an}满足a1＝1，11＋an ＋1＝11＋an ＋1，则a10＝________.【答案】－171916．用砖砌墙，第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，……，依次类推，每一层都用去了前一层剩下的一半多一块，如果到第九层恰好砖用完，那么第九层用了________块砖，一共用了________块砖．【答案】2，1022三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+（n 为正整数）.(1）令2n n nb a =，求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2）令1n n n c a n +=，12........nn T c c c=+++试比较n T 与3的大小，并予以证明。

2014高考考点突破之概率解答题专练

2014高考考点突破之概率解答题专练1、某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[]80,100范围内的数据16个，则其中分数在[]90,100范围内的样本数据有（）A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个【答案：B 】2、有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是（）A ．16 B ．13 C ．12 D ．38【答案：C 】3、如图3，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x =图象下方的点构成的区域．在D 内随机取一点，则该点落在E 中的概率为．【答案：12】 4、空气质量指数PM2.5 (单位:3/m μg )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图5所示．（1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；（2）在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X 为空气质量类别为优或良的天数，求X 的分布列及数学期望．解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天． …………………………1分所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．…………2分3 2 045 56 47 6 9 78 8 0 79 1 8 0 9 图5图1（2）X 的取值为0，1，2，………………………………………………………………………………3分因为()02510215C C 30C 7P X ===，………………………………………………………………………5分 ()11510215C C 101C 21P X ===，……………………………………………………………………………7分()20510215C C 22C 21P X ===．…………………………………………………………………………9分所以X 的分布列为：所以数学期望3212211730=⨯+⨯+⨯=EX ．…………………………………………………12分5、甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙，丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立．（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值．解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为1A ，2A ，3A ，由已知1A ，2A ，3A 相互独立，且满足()()()()()113232,5611,253.10P A P A P A P A P A ⎧=⎪⎪⎪--=⎡⎤⎡⎤⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎪=⎪⎩解得()212P A =，()335P A =．所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为12，35．（2）ξ的可能取值为1，3．因为()()()1231233P P A A A P A A A ξ==+()()()()()()123123111P A P A P A P A P A P A =+---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦213312525525=⨯⨯+⨯⨯625=． ……………………10分a 图3重量/克0.0320.02452515O 所以()()113P P ξξ==-=61912525=-=．所以ξ的分布列为所以1963713252525E ξ=⨯+⨯=．6、一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3.（1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++.）（3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.解：(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分解得0.03x =. ……………2分（2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分（或者13355E ξ=⨯=）7、某高校在自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[75，80)，第二组[80，85)，第三组[85，90)，第四组[90，95)，第五组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第三，四，五组的频率；（2）该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试． ①已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率； ②学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D 的面试，设第四组中有ξ名学生被考官D 面试，求ξ的分布列和数学期望．解：（1）第三组的频率为0.06⨯5=0.3，第四组的频率为0.04⨯5=0.2，第五组的频率为0.02⨯5=0.1.（2）由题意知，在第三、四、五组中分别抽取了3，2，1名学生进入第二轮面试，第三组中共有303.0100=⨯名学生.①设“学生甲和学生乙同时进入第二轮面试”为事件A ，则1145为所求. ②0,1,2ξ=，且()520262402＝＝＝C C C P ξ，()1581261412＝＝＝C C C P ξ，()151226422＝＝＝C C C P ξ.所以ξ的分布列为：数学期望为3215121581520＝＝⨯+⨯+⨯ξE .75 80 85 90 95 100 分数频率0.010.028、右图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图. （1）求直方图中x 的值；（2）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望．解：（1）依题意得，0.370.390.10.021x ++++=，解得0.12x =. （2）依题意得，~(3,0.1)X B ，因此33(0)0.90.729P X C ==⨯=， 123(1)0.10.90.243P X C ==⨯⨯=，223(2)0.10.90.027P X C ==⨯⨯=，333(3)0.10.001P X C ==⨯=.所以随机变量X 的分布列为：X 的数学期望为30.10.3EX np ==⨯=.9、生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现（1）试分别估计元件A 、元件B 为正品的概率；（2）生产一件元件A ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B ，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（1）的前提下．①求生产5件元件B 所获得的利润不少于300元的概率；②记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：（1）在分别抽取的100件产品中，为正品的元件A 有80件，元件B 有75件.所以元件A 、B 为正品的频率分别为5410080=，4310075=. 根据频率可估计元件A 、B 为正品的概率分别为45，34.（2）①设生产的5件元件中正品件数为x ，则有次品5x -件，由题意知10020(5)300x x --≥，得310≥x ，即45x =或．设“生产5件元件B 所获得的利润不少于300元”为事件C ，则12881434143)(555445=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=C C C P 为所求． ②随机变量X 的所有取值为150，90，30，－30，则433(150)545P X ==⨯=，133(90)5420P X ==⨯=， 411(30)545P X ==⨯=，111(30)5420P X =-=⨯=．所以XX 的数学期望为EX 150903030108520520=⨯+⨯+⨯-⨯=.10、电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望EX 和方差DX .2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有100(0.20.05)25⨯+=人，从而22⨯列假设0H ：“体育迷”与性别没有关系. 将22⨯列联表中的数据代入公式，计算得222()100(30101545)1003.030()()()()4555752533n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯.当0H 成立时，2( 3.841)0.05P K ≥≈.因为3.030 3.841<，所以没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．（2）由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意知，1~(3,)4X B . 所以X1344EX np ==⨯=，(1)34416DX np p =-=⨯⨯=.。

高考考点突破：数列专题(含答案)

数列专题达标检测一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋2a 6＋a 10＝120，则a 3＋a 9等于 ( )A ．30B ．40C ．60D ．802．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于 ( )A ．7B ．8C ．15D ．163．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ，则Πn 中最大的是( )A ．Π11B ．Π10C ．Π9D ．Π84．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1D.n ＋1n5．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则这个数列的第10项等于( ) A.1210 B.129 C.110 D.156．数列{a n }中，a 1＝1，a n 、a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，则数列{b n }的前n 项和S n ＝( ) A.12n ＋1 B.1n ＋1 C.n 2n ＋1 D.n n ＋1二、填空题7．数列{a n }的构成法则如下：a 1＝1，如果a n －2为自然数且该自然数之前未出现过，则用递推公式a n ＋1＝a n －2，否则用递推公式a n ＋1＝3a n ，则a 6＝________.8．已知数列{a n }满足a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N *)，且a 1＝1，则a n ＝________.9．如图，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2 个数是________．10．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和的公式是________．三、解答题11．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列， b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n的值．12．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋1n 2a n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(An 2＋Bn ＋C )·2n ，试推断是否存在常数A 、B 、C ，使得对一切n ∈N *，a n ＝b n ＋1－b n 恒成立？若存在，求出A 、B 、C 的值；若不存在，说明理由；(3)求证： i ＝1n a i <(n 2－2n ＋2)·2n ＋2.13．已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m ，n ∈N *都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2.(1)求a 3，a 5；(2)设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列；(3)设c n ＝(a n ＋1－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n .数列专题达标检测一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋2a 6＋a 10＝120，则a 3＋a 9等于( )A ．30B ．40C ．60D ．80解析：由等差数列性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，故a 2＋2a 6＋a 10＝4a 6＝120，故a 6＝30，a 3＋a 9＝2a 6＝2×30＝60.答案：C2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于( )A ．7B ．8C ．15D ．16解析：设等比数列的公比为q ，则由4a 1,2a 2，a 3成等差数列．得4a 2＝4a 1＋a 3.∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2.∴q 2－4q ＋4＝0∴q ＝2，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝15. 答案：C3．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ，则Πn 中最大的是 ( )A ．Π11B ．Π10C ．Π9D ．Π8解析：Πn ＝a 1a 2…a n ＝a n 1·q 1＋2＋…＋n －1＝29n ⎝⎛⎭⎫－12(n －1)n 2＝(－1)n (n －1)22－n 2＋19n 2，∴当 n ＝9时，Πn 最大．故选C答案：C4．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1D.n ＋1n 解析：∵f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ＝x (x ＋1)，∴1f (x )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案：A5．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则这个数列的第10项等于( ) A.1210 B.129 C.110 D.15解析：∵1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，∴a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列， ∴1a n ＝12n ，∴a 10＝15，故选D. 答案：D6．数列{a n }中，a 1＝1，a n 、a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，则数列{b n }的前n 项和S n ＝( ) A.12n ＋1 B.1n ＋1 C.n 2n ＋1 D.n n ＋1解析：由题意得a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，又∵a n －n ＝－[a n ＋1－(n ＋1)]，a 1＝1∴a n ＝n ，又a n ·a n ＋1＝1b n ，∴b n ＝1n (n ＋1). ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案：D二、填空题7．数列{a n }的构成法则如下：a 1＝1，如果a n －2为自然数且该自然数之前未出现过，则用递推公式a n ＋1＝a n －2，否则用递推公式a n ＋1＝3a n ，则a 6＝________.解析：∵a 1－2＝－1∉N ，∴a 2＝3a 1＝3.∵a 2－2＝1＝a 1，∴a 3＝3a 2＝9，∵a 3－2＝7，∴a 4＝7，∵a 4－2＝5，∴a 5＝5，∵a 5－2＝3＝a 2，∴a 6＝3a 5＝15. 答案：158．已知数列{a n }满足a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N *)，且a 1＝1，则a n ＝________. 解析：由已知得a n a n －1＝n ＋1n －1， a n －1a n －2＝n n －2， …a 2a 1＝31，a 1＝1，左右两边分别相乘得a n ＝1·31·42·53·64·…·n －1n －3·n n －2·n ＋1n －1＝n (n ＋1)2. 答案：n (n ＋1)29．如图，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是________．解析：设第n (n ≥2)行的第2个数构成数列{a n }，则有a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝4，…，a n －a n －1＝n －1，相加得a n －a 2＝2＋3＋…＋(n －1)＝2＋n －12×(n －2)＝(n ＋1)(n －2)2， a n ＝2＋(n ＋1)(n －2)2＝n 2－n ＋22. 答案：n 2－n ＋2210．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和的公式是________．解析：∵y ＝x n (1－x )，∴y ′＝(x n )′(1－x )＋(1－x )′·x n＝n ·x n －1(1－x )＋(－x n )． f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1. ∵函数在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n .∴切线方程为y ＋2n ＝(－n －2)·2n －1(x －2)，与y 轴交点纵坐标为y ＝(n ＋1)·2n ＝a n ∴a n n ＋1＝2n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1成等比数列，首项为2，公比为2， ∴前n 项和为2(1－2n )1－2＝2(2n －1)＝2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－2 三、解答题11．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列， b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960. (1)求a n 与b n ；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n的值．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2＝(6＋d )q ＝64S 3b 3＝(9＋3d )q 2＝960，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2q ＝8 或⎩⎨⎧ d ＝－65q ＝403(舍去)，故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1. (2)由(1)知S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).12．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋1n 2a n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(An 2＋Bn ＋C )·2n ，试推断是否存在常数A 、B 、C ，使得对一切n ∈N *，a n ＝b n ＋1－b n 恒成立？若存在，求出A 、B 、C 的值；若不存在，说明理由；(3)求证：∑i ＝1n a i <(n 2－2n ＋2)·2n ＋2.(1)解：由已知得a n ＋1(n ＋1)2＝2·ann 2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2是公比为2的等比数列，且首项为2，∴a nn 2＝2·2n －1，a n ＝2n ·n 2(2)解：∵b n ＝(An 2＋Bn ＋C)·2n ，∴b n ＋1－b n ＝[A(n ＋1)2＋B(n ＋1)＋C]·2n ＋1－(An 2＋Bn ＋C)·2n＝[An 2＋(4A ＋B)n ＋2A ＋2B ＋C]·2n .若a n ＝b n ＋1－b n 恒成立，则An 2＋(4A ＋B)n ＋2A ＋2B ＋C ＝n 2恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝14A ＋B ＝02A ＋2B ＋C ＝0，解得A ＝1，B ＝－4，C ＝6，故存在常数A ＝1，B ＝－4，C ＝6满足条件．(3)证明：由(2)得，b n ＝(n 2－4n ＋6)·2n ，∴∑i ＝1n a i ＝(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋(b 4－b 3)＋…＋(b n ＋1－b n )＝b n ＋1－b 1＝[(n ＋1)2－4(n ＋1)＋6]·2n ＋1－6＝(n 2－2n ＋3)·2n ＋1－6<(n 2－2n ＋3)·2n ＋1＝⎝⎛⎭⎫n 22－n ＋32· 2n ＋2＝⎣⎡⎦⎤(n 2－2n ＋2)－⎝⎛⎭⎫n 22－n ＋12·2n ＋2＝⎣⎡⎦⎤(n 2－2n ＋2)－(n －1)22·2n ＋2≤(n 2－2n ＋2)·2n ＋2，∴原不等式成立．13．已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m ，n ∈N *都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2.(1)求a 3，a 5；(2)设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列；(3)设c n ＝(a n ＋1－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n .(1)解：由题意，令m ＝2，n ＝1可得a 3＝2a 2－a 1＋2＝6. 再令m ＝3，n ＝1可得a 5＝2a 3－a 1＋8＝20.(2)证明：当n ∈N *时，由已知(以n ＋2代替m )可得a 2n ＋3＋a 2n －1＝2a 2n ＋1＋8.于是[a 2(n ＋1)＋1－a 2(n ＋1)－1]－(a 2n ＋1－a 2n －1)＝8，即b n ＋1－b n ＝8.所以，数列{b n }是公差为8的等差数列．(3)由(1)、(2)的解答可知{b n }是首项b 1＝a 3－a 1＝6，公差为8的等差数列．则b n ＝8n －2，即a 2n ＋1－a 2n －1＝8n －2.另由已知(令m ＝1)可得，a n ＝a 2n －1＋a 12－(n －1)2.那么，a n ＋1－a n ＝a 2n ＋1－a 2n －12－2n ＋1＝8n －22－2n ＋1＝2n . 于是，c n ＝2nq n －1.当q ＝1时，S n ＝2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)．当q ≠1时，S n ＝2·q 0＋4·q 1＋6·q 2＋…＋2n ·q n －1. 两边同乘q 可得qS n ＝2·q 1＋4·q 2＋6·q 3＋…＋2(n －1)·q n －1＋2n ·q n . 上述两式相减即得(1－q )S n ＝2(1＋q 1＋q 2＋…＋q n －1)－2nq n ＝2·1－q n1－q －2nq n＝2·1－(n ＋1)q n ＋nq n ＋11－q ，所以S n ＝2·nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n (n ＋1) (q ＝1)，2·nq n ＋1－(n ＋1)q n＋1(q －1)2 (q ≠1).。

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2014高考考点突破之数列专练1、在等比数列{}n a 中，若1323a a a =⋅，则4a = ．【答案：3】2、在数列{}n a 中，已知11a =，111n n a a +=-+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S = ．【答案：20112-】3、已知数列{a n }满足135a =，1321n n n a a a +=+，*n ∈N ．（1）求证：数列1 1 n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且1m a -，1s a -，1t a - 成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．解：（1）因为1321n n n a a a +=+，所以111233n n a a +=+．…………………………………………………1分所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………………3分因为135a =，则11213a -=．…………………………………………………………………………4分所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为31的等比数列．…………………………………………5分（2）由（1）知，112121333n n n a -⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭，所以332n n na =+．……………………………………7分假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，则有()()()22,111.s m t m t s a a a +=⎧⎪⎨-=--⎪⎩……………………………………………………………………9分由332n n n a =+与()()()2111s m t a a a -=--，得2333111323232s m t sm t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………10分即232323343m tm t s s ++⨯+⨯=+⨯．……………………………………………………………11分因为2m t s +=，所以3323m t s+=⨯．……………………………………………………………12分因为3323m t s +≥=⨯，当且仅当m t =时等号成立，这与m ，s ，t 互不相等矛盾．……………………………………………………………………13分所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．……………………………………………14分4、已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设第n 个正方形的边长为{}min ,n n n c a b =，求前n 个正方形的面积之和n S ．（注：{}min ,a b 表示a 与b 的最小值．）解：（1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以()1012n a n =+-⨯，即28n a n =+．因为等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，所以112n n b -=⨯，即12n n b -=．（2）因为110a =，212a =，314a =，416a =，518a =，620a =，11b =，22b =，34b =，48b =，516b =，632b =．易知当5n ≤时，n n a b >．下面证明当6n ≥时，不等式n n b a >成立．方法1：①当6n =时，616232b -==620268a >=⨯+=，不等式显然成立． ②假设当n k =()6k ≥时，不等式成立，即1228k k ->+．则有()()()()122222821826218kk k k k k -=⨯>+=++++>++．这说明当1n k =+时，不等式也成立．综合①②可知，不等式对6n ≥的所有整数都成立．所以当6n ≥时，n n b a >．方法2：因为当6n ≥时()()()112281128n n n n b a n n ---=-+=+-+()()01211111C C C C 28n n n n n n -----=++++-+()()012321111111C C C C C C 28n n n n n n n n n n ---------≥+++++-+ ()()0121112C C C 28n n n n ---=++-+()()236460n n n n n =--=-+->，所以当6n ≥时，n n b a >．所以{}min ,n n n c a b =12,5,28,5.n n n n -⎧≤=⎨+>⎩ 则22222(5)4(4)(5)n n n c n n -⎧-----≤⎪=⎨+--->⎪⎩ 当5n ≤时，2222123n n S c c c c =++++ 2222123n b b b b =++++024222222n -=++++1414n -=-()1413n=-．当5n >时，2222123n n S c c c c =++++()()22222212567n b b b a a a =+++++++()51413=-()()()222464744n ⎡⎤+++++++⎣⎦()()()222341467867165n n n ⎡⎤=+++++++++-⎣⎦ ()()()()2222223414121253267645n n n ⎡⎤=++++-++++++++-⎣⎦()()()()()121653414553264562n n n n n n +++-⎡⎤=+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦3242421867933n n n =++-．综上可知，n S ()32141,5,3424218679, 5.33nn n n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪++->⎪⎩5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分（2）解法1：∵22log log n n a n b +=，∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分 ①-②得 0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分 ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分∴ ()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 6、设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足：222223457,7a a a a S +=+=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的及前n 项和n T ；（3）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项．解：（1）设公差为d ，则22222543a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+．因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=①．又由77S =得176772a d ⨯+=，即131a d +=②．联立①②解得15a =-，2d =，所以27n a n =-*()n ∈N ．（2）由（1）知，当3n ≤时，0n a <；当3n >时，0n a >．21()(527)622n n n a a n n S n n +-+-===-． ∴当3n ≤时，26n n T S n n =-=-+；当3n >时，22333()2(6)2(9)618n n n T S S S S S n n n n =-+-=-=--⨯-=-+.综上，226(3)618(3)n n nn T n n n ⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩.（3）12m m m a a a ++=(27)(25)23m m m ---，令23m t -=，则12(4)(2)86m m m a a t t t a t t++--==+-．故t 为8的约数，又∵t 是奇数，∴t 的可能取值为1±．当1t =时，2m =，2343257a a a ==⨯-是数列{}n a 中的第5项；当1t =-时，1m =，123152(4)7a aa =-=⨯--不是数列{}n a 中的项．所以满足条件的正整数2m =．7、设数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且21(37)2n S n n =+，2(1)n n T b =-()n *∈N ．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）把数列{}n a 、{}n b 的公共项从小到大排成新数列{}n c ，求证：{}n c 是等比数列；（3）设((n n n a n d b n ⎧=⎨⎩为奇数）为偶数），求数列{}n d 的前n 项和n D ．解：（1）当2n ≥时，22111(37)[3(1)7(1)]3222n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+；当1n =时，115312a S ===⨯+也满足上式．∴32n a n =+()n *∈N ．∵2(1)n n T b =-①， ∴112(1)n n T b ++=-②． ②-①得1122n n n b b b ++=-，即12n n b b +=.由①得：1112(1)b T b ==-，则12b =.∴{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n b =()n *∈N ．（2）显然，1238c a b ===.假设2k n m k c a b ===，则322km +=，∴112222(32)3(21)1k k k b m m ++==⋅=+=++不是数列{}n a 中的项；222424(32)3(42)2k k k b m m ++==⋅=+=++是数列{}n a 中的第42m +项.∴214222k n m k c a b ++++===，从而21242k n k n c c ++==.所以{}n c 是首项为8，公比为4的等比数列．（3）∵32(2(n n n n d n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数）为偶数），∴数列{}n d 的奇数项组成首项为5，公差为6的等差数列；数列{}n d 的偶数项组成首项为4，公比为4的等比数列． ①当n 为偶数时，22214(14)3415(1)62222214433n n n n n n D n n +-=⨯+⨯⨯-⨯+=+-+⋅-.②当n 为奇数时，212113413551(1)(1)2(32)243342123n n n n n D S a n n n n n ++-=+=-+--+⋅++=+++⋅，经检验，当1n =时上式也成立.综上所述，222134124333551242123n n n n n n D n n n ++⎧+-+⋅⎪⎪=⎨⎪+++⋅⎪⎩，为偶数，为奇数．8、已知数列{}{},n n a b 满足123a =，122n n n a a a +=+，21123222n n b b b b n -++++=()n *∈N ．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，问是否存在正整数m 、M 且3M m -=，使得n m T M <<对一切n *∈N 恒成立？若存在，求出m 、M 的值；若不存在，请说明理由；（3）设221()n n n n a a c a ++=，求证：123n c c c c ++++<2572．解：（1）由122n n n a a a +=+，得1211122n n n na a a a ++==+．∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1132a =，公差为12的等差数列． ∴1312(1)222n n n a +=+-⋅=，即22n a n =+()n *∈N ． ∵21123222n n b b b b n -++++= ①，∴2212312221n n b b b b n --++++=- ②．①-②得121n n b -=，即112n n b -=(2)n ≥．由①知，11b =也满足上式，故112n n b -=()n *∈N ．（2）由（1）知，22n n n b n a +=，下面用“错位相减法”求n T ． 2334522222n n n T +=++++ ③，12n T = 23134122222n n n n +++++++ ④. ③-④得 2311131112422222222n n n n n n T ++++=++++-=-， ∴4442n n n T +=-<．又0n nab >，则数列{}n T 单调递增，故1312n T T ≥=>，从而14n T <<．因此，存在正整数1m =、4M =且3M m -=，使得n m T M <<对一切n *∈N 恒成立．（3）由（1）知，22222222221()8(3)(4)(2)1122(2)(4)(2)(4)(2)(4)n n n n a a n n n c a n n n n n n ++⎡⎤++-+===⋅=-⎢⎥++++++⎣⎦. ∵12322222222111111112354657(2)(4)n c c c c n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<-+-+-++-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 222222111111252234(3)(4)3472n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+= ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦．9、已知{}n a 是首项为a ，公差不为零的等差数列，{}n a 的部分项1k a 、2k a 、…、n k a 恰好为等比数列，且11=k ，52=k ，173=k ．（1）求数列{}n a 和{}n k 的通项公式；（2）设数列{}n k 的前n 项和为n S ，求证：1211132n S S S +++<．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知得1=a a ，54a a d =+，1716a a d =+成等比数列， ∴2(4)a d +(16)a a d =+，即22d ad =． ∵0d ≠，∴2a d =． ∴1(1)n a a n d =+-1(1)22a n a n a +=+-=． ∴12n n k k a a +=，而等比数列{}n k a 的公比5133a aq a a===， ∴11133n n n k a a a --=⋅=⋅，故1132n n k a a -+=⋅．由10a a =≠，得1231n n k -=⨯-．（2）由（1）知，212(1333)n n S n -=⨯++++-2(13)13n n -=--31n n =--. ∵当1n >时，0122113(12)2222n n n n nn n n n n n C C C C C --=+=+⨯+⨯++⨯+⨯0122nn n n n C C C ≥+⨯+⨯22121n n n n =++>++（也可用数学归纳法证明），∴312n nn -->(2)n ≥.∴111312n n n S n =<--(2)n ≥. ∴当2n ≥时，12111nS S S +++234111112222n <+++++111[1()]313421()122212n n --=+=-<-.当1n =时，左边=11312S =<，不等式也成立. 综上所述，不等式12111n S S S +++32<成立．10、已知函数ln 1()sin x f x θ+=(0)θπ<<，且()f x x ≤对0x ∀>恒成立．数列{}n a 满足1(1)a f =， 212212124(1)n n n n a a n n +--=++()n *∈N ．（1）求θ的取值集合；（2）设212n n b a n=-，求数列{}n b 的通项公式；（3）数列{}n c 中，11c =，1(1)n n n c a c +=+，求证：2n c e <．（e 为自然对数的底数）解：（1）由0θπ<<得sin 0θ>，故()f x x ≤对0x ∀>恒成立等价于ln 1sin x x θ+≥对0x ∀>恒成立．设ln 1()x g x x +=（0x >），则max sin ()g x θ≥．由于2ln ()xg x x-'=，令()0g x '=，得1x =． ∵当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 递增；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 递减．∴max ()(1)1g x g ==，∴sin 1θ≥．又0sin 1θ<≤，∴sin 1θ=，2πθ=．所以θ的取值集合为2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知，()ln 1f x x =+，1(1)1a f ==.∵212n n b a n=-，∴2112222221121111112(1)24(1)2(1)2422n n n n n n n b a a a a n n n n n n ++--⎛⎫=-=+-=-=- ⎪+++⎝⎭12n b =. 所以数列{}n b 是首项为111122b a =-=，公比为12的等比数列．∴12n n b =()n *∈N ．（3）由（2）知，21122n n n b a n =-=，得21122n n a n =+．则1211122n n n c c n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又11c =知0n c >，两边取自然对数，得1211ln ln 1ln 22n n n c c n +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由（1）知，()ln 1f x x x =+≤，即ln 1x x ≤-对0x ∀>恒成立，∴1222111112ln ln ln 1222224n n n n n c c n nn +⎛⎫-=++≤+=+ ⎪⎝⎭ 21211124122121n n n n n ⎛⎫<+=+- ⎪--+⎝⎭， ∴2111ln ln 123c c ⎛⎫-<+- ⎪⎝⎭，322111ln ln 235c c ⎛⎫-<+- ⎪⎝⎭，……11111ln ln 22321n n n c c n n --⎛⎫-<+- ⎪--⎝⎭(2)n ≥．把以上1n -个是式子相加，注意到1ln ln10c ==，得 211111111ln 12222221221n n n c n n --⎛⎫<++++-=--< ⎪--⎝⎭(2)n ≥．当1n =时，1ln 02c =<也满足上式，所以2n c e <．。