向量空间概念在信号与系统教学中的应用
向量空间概念在信号与系统教学中的应用
向量空间概念在信号与系统教学中的应用作者：姚湘娥张永峰张婷婷来源：《电子世界》2013年第13期【摘要】在傅里叶级数的教学中，为了深化信号与系统课程教学改革，提高教学质量，本文以向量空间和信号空间的联系，以及以MATLAB为仿真平台，讲解傅里叶级数与正交函数的关系，以及傅里叶级数仿真波形的产生和叠加，以便能更好地帮助学生正确理解定理和概念。
【关键词】向量空间；信号空间；正交性；傅里叶级数1.前言傅里叶级数广泛应用于电子技术、通信工程、自动控制等领域。
但在教学中学习傅里叶级数存在很多问题，例如傅里叶级数有什么用处？它与我们之前学的基础课又有什么关系？有哪些后续课程会用到傅里叶级数等等一系列问题。
我们可以运用线性代数中的基本概念来描述，让学生了解周期信号的分解与合成，掌握波形的叠加原理。
2.向量空间与信号空间的基本概念2.1 向量空间与信号空间设是非空的n维向量集合，若满足：①任意，有（加法封闭性）；②任意，是任意数，有（乘法封闭性）；则称集合是向量空间[1]。
即向量空间是由向量组“张成”的空间。
信号空间指任意给定一组，设其两两独立且能量均为1，由所有组合而成的信号组成的集合：称为张成的信号空间，称此空间是N维的，称为此N维信号空间Ф的归一化正交基。
向量空间有一些特殊的组合，例如正交向量组，同样对于信号空间也有正交信号。
信号空间与向量空间本质相同，只要将向量空间中的元素向量换成信号，便是信号空间，信号空间由基本的集合组合而成。
这个集合可看作信号空间中的基。
也就是说信号空间中的任意一个信号都可以由基线性组合得到。
2.2 向量的正交性与函数的正交性设n维向量，当=0时，称向量正交（或垂直）。
两两正交的向量组称为正交向量组。
若有正交向量组，它们的范数都为1，则称这组向量组为标准（规范）正交向量组[1]。
例如，在三维空间中，是一组标准正交向量，称是三维空间的一组标准正交基。
向量空间中向量组的正交性也可反映在函数上，即就是函数的正交性。
有限域上向量空间的分类
有限域上向量空间的分类有限域上的向量空间是线性代数中一个重要的概念，在许多领域都有应用。
本文将对有限域上向量空间的分类进行介绍。
让我们来了解什么是有限域。
有限域是一个包含有限个元素的域，其中的元素可以进行加法和乘法运算，并满足一定的性质。
有限域的元素个数被称为域的特征，记作p，其中p是一个素数。
有限域的元素可以表示为0, 1, 2, ..., p-1。
在有限域上进行的向量加法和标量乘法运算满足线性代数的基本性质。
根据有限域上的向量空间的维度，我们可以将其分为不同的类别。
首先是一维向量空间，它包含一个非零向量和一个标量域。
一维向量空间的维度为1，它的基向量可以表示为[1]。
所有的一维向量空间在有限域上是同构的，它们的性质和结构是相同的。
接下来是二维向量空间，它包含两个线性无关的向量和一个标量域。
二维向量空间的维度为2，它的基向量可以表示为[[1,0],[0,1]]。
二维向量空间的性质和结构与平面几何中的二维空间类似，可以进行平移、旋转和缩放等操作。
类似地，我们可以定义三维向量空间、四维向量空间，以此类推。
在任意维度的向量空间中，基向量的个数等于维度数目。
不同维度的向量空间具有不同的性质和结构，可以进行不同的线性变换。
除了按维度分类，有限域上的向量空间还可以按照其他属性进行分类。
例如，可以按照向量空间的正交性进行分类。
正交向量空间是指向量空间中的任意两个向量的内积为零。
正交向量空间在许多应用中都有重要的作用，如信号处理、图像处理等。
还可以按照向量空间的子空间进行分类。
子空间是向量空间中的一个子集，满足向量空间的封闭性和线性结构性质。
子空间可以是原向量空间的一个真子集，也可以是原向量空间的一个超集。
子空间的维度可以小于、等于或大于原向量空间的维度。
子空间的分类可以帮助我们进一步研究向量空间的结构和性质。
在实际应用中，有限域上的向量空间有着广泛的应用。
例如，在密码学中，有限域上的向量空间被用于实现密码算法的加密和解密过程。
空间向量的运用
空间向量的运用空间向量是三维空间中的一种表示方式，它可以用来描述物体的位置、方向和大小等特征。
在数学、物理学、工程学等领域中，空间向量被广泛应用于各种计算和分析问题中。
本文将介绍空间向量的基本概念和运用，并探讨其在几何、物理和工程等方面的具体应用。
一、空间向量的基本概念空间向量是由起点和终点确定的有向线段，具有大小和方向两个基本特征。
在三维空间中，空间向量通常用坐标表示，可以分为位移向量和力向量两类。
1. 位移向量：位移向量是用来描述物体在空间中移动的距离和方向，它的大小等于位移的长度，方向与位移的方向相同。
位移向量可以用起点坐标和终点坐标表示，也可以用分量表示。
2. 力向量：力向量是用来描述物体受力情况的向量，它的大小等于力的大小，方向与力的方向相同。
力向量通常用起点坐标和终点坐标表示，也可以用分量表示。
二、空间向量的运算空间向量的运算包括加法、减法、数乘等操作，这些运算可以对向量进行操作，得到新的向量。
1. 向量加法：向量加法是指将两个向量按照一定规则相加，得到一个新的向量。
向量的相加可以通过将两个向量的对应分量相加得到，或者通过平行四边形法则进行计算。
2. 向量减法：向量减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以通过将两个向量的对应分量相减得到，或者通过平行四边形法则进行计算。
3. 数乘运算：数乘运算是指将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
数乘后的向量与原向量的方向相同，但大小变为原来的若干倍。
三、空间向量在几何中的运用空间向量在几何学中有许多应用，可以用来求解各种几何问题，比如计算线段长度、求解直线方程、判断点位置等。
1. 线段长度：通过计算线段的起点和终点坐标，可以得到线段的位移向量，进而计算线段的长度。
2. 直线方程：通过给定直线上的两个点或者一个点和一个方向向量，可以确定直线的方程，从而对直线进行分析和计算。
3. 判断点位置：通过已知点和一些向量信息，可以判断点的位置关系，比如点是否在直线上、是否在平面上等。
高三数学下册《空间向量及其应用》教案、教学设计
作业布置原则：
1.遵循适量、适度、分层原则，确保作业既能巩固知识点，又不过度增加学生负担。
2.关注学生个体差异，提供不同难度的题目，使每个学生都能得到充分锻炼。
3.强调作业的实践性和应用性，引导学生将所学知识运用到实际问题中。
4.通过空间向量的学习，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力，为后续学习线性代数等内容打下基础。
（二）过程与方法
1.通过引入实际问题，引导学生从几何角度认识空间向量，培养学生从实际问题中提炼数学问题的能力。
2.运用讲授、讨论、练习等多种教学方法，使学生掌握空间向量的基本概念和运算方法，提高学生的数学表达能力和逻辑思维能力。
3.设计丰富的例题和练习题，让学生在实践中掌握空间向量的应用，培养学生在解决空间几何问题时能够灵活运用空间向量的能力。
4.引导学生通过小组合作、探究学习等方式，发现空间向量在解决实际问题中的规律和方法，提高学生的自主学习能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生学习空间向量的积极性，使其在学习过程中体验数学的魅力。
2.学生在运用空间向量解决空间几何问题时，可能对运算规则和方法掌握不够熟练，需要通过大量练习和讲解来巩固和提升。
3.学生的空间想象力有限，对空间向量的应用可能存在一定的恐惧感，需要教师耐心引导和鼓励，帮助学生克服心理障碍。
4.部分学生对数学学科兴趣不足，对空间向量的学习积极性可能不高，教师应注重激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。
高三数学下册《空间向量及其应用》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的坐标表示及其运算规律，能够运用空间向量求解空间几何问题。
向量空间的基本性质及其在几何力学等领域的应用
向量空间的基本性质及其在几何力学等领域的应用向量空间是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
本文将介绍向量空间的基本性质，并探讨其在几何力学等领域的应用。
一、向量空间的定义与基本性质向量空间是指由向量组成的集合，满足一定的运算规则和代数性质。
具体来说，向量空间需满足以下条件：1. 封闭性：对于任意两个向量u和v，它们的和u+v仍然属于向量空间。
2. 数乘性：对于任意向量u和标量c，它们的乘积cu仍然属于向量空间。
3. 零向量：向量空间中存在一个零向量，满足对任意向量u，u+0=u。
4. 加法逆元：对于任意向量u，向量空间中存在一个加法逆元-v，使得u+(-v)=0。
5. 结合律、分配律和交换律：向量的加法和数乘运算满足结合律、分配律和交换律。
在向量空间中，还有一些基本的性质：1. 唯一性：零向量是唯一的，而任意向量的加法逆元也是唯一的。
2. 零向量的性质：对于任意向量u，u+0=u和0+u=u成立。
3. 数乘的性质：对于任意标量c，c乘以零向量得到的结果仍然是零向量。
二、向量空间在几何力学中的应用几何力学是力学的一个重要分支，研究物体的形状、运动和相互作用。
向量空间在几何力学中有着广泛的应用，以下将介绍其中几个典型的应用案例。
1. 力的合成在几何力学中，经常需要求解多个力的合成，即将多个力合并成一个力的过程。
向量空间提供了一个方便的工具，可以将力表示为向量，并利用向量的加法运算求解合成力。
2. 力矩的计算力矩是力围绕某个点或轴产生的旋转效应，它在刚体力学和机械工程中有着重要的应用。
通过将力矩表示为向量，并运用向量空间的数乘运算和叉乘运算，可以方便地进行力矩的计算和分析。
3. 坐标系变换在几何力学中，常常需要进行坐标系的变换，以便研究不同参考系下的物体运动和物理量变化。
向量空间的基本性质可以帮助我们理解坐标系变换中的向量变换规律，从而更好地描述和分析物体的运动和相互作用。
4. 线性方程组的求解线性方程组是几何力学中常见的数学模型，通过解线性方程组可以求解物体的平衡状态、运动轨迹等重要信息。
向量的基本概念及其应用
向量的基本概念及其应用向量是高中数学和物理学中一个非常重要的概念，也被广泛地应用于计算机科学和工程学中。
在本文中，我们将讨论向量的基本概念及其应用，并从几个不同的角度来探讨这个概念。
一、什么是向量向量是一个有方向和大小的量。
它通常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
一个向量通常由两个分量表示，即水平分量和垂直分量。
水平分量是向量在水平方向上的长度，垂直分量是向量在垂直方向上的长度。
向量的长度可以通过勾股定理计算，即 length = sqrt(x^2+y^2)。
二、向量的基本属性向量有几个基本属性，包括加法、减法、数量积和向量积等。
向量的加法定义为从一个向量的尾部到另一个向量的头部的箭头之间绘制一条新的向量。
向量的减法定义为从一个向量的头部到另一个向量的头部之间绘制一条新的向量，并将其指向第二个向量的尾部。
数量积是向量的点积，它定义为两个向量的元素逐个相乘并相加的结果。
向量积是两个向量的叉积，它定义为两个向量垂直于彼此并且其大小等于两个向量的元素积的向量。
三、向量的应用向量在许多领域中都有应用，包括物理学、计算机科学和工程学等。
在这些领域中，向量通常用于计算和表示对象之间的关系。
物理学中，向量常用于描述力、速度和加速度等现象。
例如，在计算机模拟中，向量可以用于表示移动的物体的速度和方向，以及与其互动的物体之间的相对位置。
在计算机科学中，向量广泛用于计算机图形学和机器学习中。
在计算机图形学中，向量通常用于描述三维空间中的点和方向。
在机器学习中，向量通常用于表示特征向量，这些向量可以用于分类和聚类等任务。
工程学中，向量通常用于计算和表示力和位移等物理量。
例如，在建筑设计中，向量可以用于表示结构中各部件之间的关系，以及在运动控制系统中，向量可以用于描述机器人臂的位置和末端执行器的移动。
结论向量是一个有方向和大小的量。
它通常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
空间向量的应用认识空间向量的应用和几何解题方法
空间向量的应用认识空间向量的应用和几何解题方法空间向量的应用及认识空间向量的应用在数学中，空间向量是指具有大小和方向的向量，也称为三维向量。
空间向量在几何学和物理学中有广泛的应用，它们可以用于解决各种几何问题和实际应用中的物理问题。
本文将介绍空间向量及其应用，并讨论几种常见的解题方法。
一、空间向量的定义与性质空间向量是指由三个有序实数组成的有向线段。
假设有两点A和B，空间向量AB可以表示为→AB，它的大小等于线段AB的长度，方向则与线段AB的方向一致。
空间向量具有以下性质：1. 加法性质：如果有两个空间向量→AB和→BC，它们的和为→AC，即→AC = →AB + →BC。
2. 数乘性质：对于任意实数k，空间向量→AB乘以k的结果为k→AB，即k→AB = →BA。
3. 数量积性质：空间向量→AB和→AC的数量积为它们的模的乘积与它们夹角的余弦的乘积，即→AB·→AC = |→AB| × |→AC| × cosθ。
二、空间向量的应用1. 几何问题中的位置关系：空间向量可以用于判断点的位置关系。
例如，已知三个点A、B和C，可以通过向量→AB和→AC的数量积来判断它们的位置关系。
若→AB·→AC = 0，则表示点C在向量→AB 的延长线上；若→AB·→AC > 0，则表示点C在向量→AB的同侧；若→AB·→AC < 0，则表示点C在向量→AB的异侧。
2. 几何问题中的求解：空间向量可用于求解几何问题，如线段的中点坐标、平行四边形的面积等。
通过定义空间向量→AB = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)，可以得到线段AB的中点坐标为[(x1+x2)/2, (y1+y2)/2,(z1+z2)/2]；平行四边形的面积可以通过向量的叉积来计算，即以两个边向量的叉积的模作为平行四边形的面积。
3. 物理学中的应用：空间向量在物理学中也有广泛的应用。
空间向量的变换与应用
空间向量的变换与应用空间向量是描述空间中具有大小和方向的物理量的工具。
在数学和物理学中，空间向量广泛应用于解决空间几何、力学、电磁学等问题。
本文将探讨空间向量的变换及其在实际应用中的重要性。
一、空间向量的定义空间向量是指在空间中具有大小和方向的量，通常用箭头来表示。
在三维空间中，一个向量可以用坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示向量在X轴、Y轴和Z轴上的投影。
向量的大小可以通过求模运算得到，即向量的大小等于各个坐标分量平方和的平方根。
二、空间向量的变换空间向量的变换包括平移、旋转和缩放。
下面将分别介绍这三种变换的定义和应用。
1. 平移变换平移变换是指将向量在空间中沿着某一方向移动一定的距离。
假设有一个向量a(x, y, z)，进行平移变换时，只需要通过给向量的各个坐标分量加上对应平移量d(x, y, z)，即得到平移后的向量b(x+d_x, y+d_y,z+d_z)。
平移变换在计算机图形学中广泛应用，用于实现物体在空间中的移动效果。
比如，在游戏中，我们可以通过平移变换来实现角色的行走和物体的位置调整。
2. 旋转变换旋转变换是指通过旋转角度来改变向量的方向。
一般来说，旋转变换可以绕空间中的任意轴进行，包括X轴、Y轴、Z轴，以及不过原点的任意轴。
旋转变换的具体计算涉及到复杂的三角函数运算，这里不做详细介绍。
在实际应用中，旋转变换常用于计算机动画、机器人运动控制和三维建模中。
3. 缩放变换缩放变换是指通过乘以一个比例因子来改变向量的大小。
假设有一个向量a(x, y, z)，进行缩放变换时，只需要将向量的各个坐标分量分别乘以对应的缩放因子s(x, y, z)，即得到缩放后的向量b(s_x*x, s_y*y,s_z*z)。
缩放变换在计算机图形学和模型设计中非常常见，用于控制物体的大小和比例。
例如，在电影特效中，我们可以通过缩放变换来实现巨大怪兽的呈现效果。
三、空间向量的应用空间向量在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
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称 为 （ ｘ ） ） 张成 的信号 空间 ，称 此空 间 是Ｎ 维的 ，称 （ ） ） 为 此Ｎ 维信 号 空间 的归 化正 交基 。 向量空 间有 一些 特殊 的组 合 ，例 如正 交 向量组 ， 同样 对 于 信号 空 间 也有 正 交信 号 。信 号空 间与 向量 空 间本 质 相 同 ，只要 将 向 量 空 间 中的元 素 向量 换 成信 号 ，便是 信 号 空 间 ，信 号 空间 由基 本 的集 合 组 合而 成 。 这个 集 合 可看 作 信号 空 间 中 的基 。也 就 是 说信 号 空 间 中的任 意 一 个信 号 都 可 以 由基 线性组 合得到 。 ２ ． ２ 向量的正 交性与 函数 的正交性 设１ １ 维 向量 ＝ ｋ ‘ ｒ ， Ｙ ： ． ｎ ｙ Ｊ ， 当 Ｘ Ｙ ＝ Ｏ 时 ，称 向量 ｘ ， ｙ正 交 （ 或垂 直 ） 。两两 正交 的向量组称 为正交 向量组 。若有 正交 向 量组 ， ， …， ，它们 的范数都为１ ，则称这 组向量组为标准 （ 规范） 正交 向量组ｕ Ｊ 。例如 ，
ｓ ｉ ｎ ｘ 、 ｓ ｉ ｎ ２ ． ． ｓ ｉ ｎ ｎ ｘ 、 Ｃ Ｏ Ｓ 、 ｃ ｏ ｓ ２ ． Ｃ Ｏ Ｓ ｎ Ｘ 组
４ ． 傅 里叶级数 的仿 真 以方 波信号 和锯齿波 信号 为例 ： 对 于方 波 ，可用 一组 三 角函数 ｓ ｉ ｎ （ ２ ｚ 矾ｆ ） 与ｃ ｏ ｓ （ ２ ｚ ｎ ｆ ｏ ｔ ） 的组合 来表示 ，假 设方波 信号 可 分解 为：
恬
ｓ ｍ脏 ｓ －
。 ｓ ｓ ｉ ｎ ， ｚ
＝
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， （ ｆ ） ＝ １ ／ ２ ＋ 三￣ ¨ ●ｓ ｉ ｎ （ ２ ｚ ｎ ｆ ０ ｆ ）
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（独立 性 表现 在 ： 如 果 ，ｏ ｔ ｌ ｃ ｏ ｓ ｘ ＋ ￣ ２ ｓ ｉ ｎ ｘ ＋ ａ ２ ｌ ｃ ｏ ｓ ２ ￣ ＋ ８ ｍ ＿ ＋ ｌ ｃ ｏ ￥ ３ ｘ ＋＝ ０ ，
１ ． 前言
傅里 叶级 数广 泛 应用 于 电子技 术 、通 信 工程 、 自动控 制 等 领域 。但 在 教 学 中学 习傅里 叶 级 数存 在 很 多 问题 ，例 如 傅 里 叶 级 数有 什 么 用处 ？它 与我 们之 前 学 的基 础 课 又有 什 么 关系 ？有 哪些 后续 课 程 会用 到 傅里 叶级 数 等等 一 系列 问题 。我 们 可 以运 用线 性 代 数 中 的基 本概 念 来描 述 ，让 学生 了解 周 期 信 号 的分 解 与合 成 ，掌 握 波 形 的 叠加 原理 。 ２ ． 向量 空间与信 号空 间的基本 概念 ２ ． １ 向量空 间与信号 空间 设 Ｖ是 非空 的ｎ 维 向量 集合 ，若 满 足： ① 任 意 ｂ ∈Ｖ，有 ａ ＋ ｂＥ Ｖ（ 加 法封 闭性） ； ②任意 ａ ∈ Ｖ， 是任 意数 ，有 Ａ ａ ∈ Ｖ（ 乘 法 封 闭性 ） ；则称 集合 Ｖ是 向量 空 间 。 即向 量空 间是 由向量组 “ 张成 ”的空 间。 信 号 空间指任 意 给定 一组 ｉ ＝ Ｉ ， ２ … Ⅳ ｝ ， 设其 两 两 独 立且 能量 均 为 １ ， 由所 有 （ ） ） 组 合而 成的信 号组成 的集合 ：
一
Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ 、 ｃ ｏ ｓ ２ ｘ 、 …ｃ ｏ ｓ ｍ ｘ 也 是 正 交 函 数集 ， 但 不 是 完 备 的 ， 因为 还 有 很 多元 素 例 如 ｓ ｉ ｎ ｘ 、 ｓ ｉ ｎ ２ ｘ 、 …ｓ ｉ ｎ ｍ ｘ 也与此 集 的函数正 交 。我 们 常 见 的傅 里 叶级 数 是 由不 完备 的正 交 函 数 集 构成 的 ，例 如 ，方 波 、 锯齿 波 、三 角 波等 等 。 ３ ． 标准 正交 基在傅里 叶级数 中的应 用 满足 狄里赫 利 （ Ｄｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ ） 条 件 的周 期信 号可展 开成傅 里叶 级数 ： ｆ （ ｘ ） ＝ ａ ｏ ／ ２ ＋ ａ １ Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ ＋ ＋ ｄ ￣ Ｏ Ｓ ／ ｔ ￣ ＋ ｂ １ ｓ ｉ ｎ ｘ ＋ｂ ． ｓ ｉ ｎ ｍ （ ２ ） ａ ０ 、ａ …ａ ，ｂ Ｉ 、…ｂ ，（ ｍ ｏ ｏ） 为 傅 里 叶系 数 ，代 表 向量 在 正 交坐 标 轴上 的 投影 ，其 中：
＇ Ｐ ｔ ∈Ｒ｝
【 ａ ， ｂ 】 区 间 的可 积 函数 ，如果 ， （ 曲 ， ｇ （ 对（ ｘ ∈ Ｒ ） ， 则 称 函数 ， （ ） 与ｇ （ ｘ ） 相 互 正交 。例如 ｓ ｉ ｎ ｘ和 Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ是 一对 正 交 函数 。 函数 ｓ ｉ ｎ ｘ和 Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ二 维信 号 空 间 的一 个 基 ，那 么二 维 信 号空 间 中 的任 意 一个 信 号 均可 以由此 基 线 性组 合 得到 。
１ ∞
ｆ （ Ｏ ： １ ／ ２ ＋ … ￣ ｓ ｉ ｎ （ ２ ｎ ＇ ｎ ｆ ｅ ｆ ） ” ＝ Ｌ ３ ， ５ ， ７（ ３ ）
Ｉ
成 完备 的 正 交 函数 系 Ｊ ，其 正 交性 表 现 为 用６ 次谐 波 合成 一 频率 为ｏ ． ５ Ｈ ｚ ，幅 值 下列 关系式成 立 ： 为１ 的方波 ， 图形 如 图４ － １ 所示 。 对 于 锯 齿 波 ， 也 可 用 一 组 三 角 函 数 ｃ ｏｓ … ｓ ＝ ｓ ｉ ｎ （ ２ ｚ ｎ ｆ ｏ ｔ ） 与ｃ ｏ ｓ （ ２ ｚ ｃ ｎ ｆ ｏ ｔ ） 的组 合 来 表 示 ， 假 设锯 齿波信 号可分解 为 ：
【 摘要 】在傅里叶级 数的教学 中，为 了深化信 号与系统课程教 学改革 ，提高教学质 量，本文 以向量 空间和信 号空间的联系 ，以及 以ＭＡ ｎ＾Ｂ 为仿真平 台，讲解傅
里叶级 数与正交函数的关系 ，以及傅里叶级数仿真波形 的产生和叠加 ，以便 能更好 地帮助 学生正确理解定 理和概念 。 【 关键词 】向量空间；信 号空间；正交性 ；傅里叶级数
…
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一
皇亍蕴 ． ． Ｊ
（ ）
．
ｒ ａ － ｉ － １ １ － 空 间 概 念 在 信 号 与 系 统 教 学 中 的 应 用
）
西安外事学院工学院 姚湘娥 Ⅳ ∑ 西安 电力 电子技 术研 究所 张永峰 张婷婷
（
）
＝
即：
∞
∑ 【 ｃ ｏ ｓ ｍ＋ ｓ ［ ｎ ｍ ｘ 】月 ＝ １ ， ２
（ １ ）
成立 ，则 一定有 ａ ｌ １ ＝ ａ ｌ ２ ＝ ａ ２ Ｉ ＝ ａ ｎ 一 一Ｏ ， 若 证 明ａ ２ 。 ＝０ ，则用 Ｃ Ｏ Ｓ ２ ｘ乘 以 （ １ ） 式，并且
由一Ⅱ～ Ⅱ积 分 。