3.3.1.2二元一次不等式(组)与平面区域
3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(一)
企业和个人贷款，希望这笔贷款至少可带来3万元的收益， 其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%.那 么，信贷部应如何分配资金呢？
x y 2500, 12 x 10 y 300 x 0, y0
1. 我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不
满足 x y 6 的点集在坐标平面上是怎样的图形？
l:x-y=6
问题一
满足 x y 6 的点集{( x, y) x y 6}在坐标平面上 是怎样的图形？
l:x-y=6
二元一次不等式 x－y＜6所表示的图形.
在直角坐标系中，所有点被直线l : x－y＜6分成三类: ①在直线l上的点;
确定.
一般地
C≠0时，常用点(0,0)确定.
C=0时，常用点(0,1)或(1,0)确定.
二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域常用 “直线定界，特殊点定域”的方法，即画线—取点—判 断.
例1. 画出x＋4y＜4表示的平面区域.
练习
教材P86练习第1、2题
x 3 y 6 0 例2. 画出 表示的平面区域. x y 2 0
l:x-y=6
问题一
满足 x y 6 的点集{( x, y) x y 6}在坐标平面上 是怎样的图形？
问题二
满足 Ax By C 0 的点集 {(x, y) Ax By C 0}
在坐标平面上是怎样的图形？
( A, B不同时为0)
问题三
满足 Ax 2 Bx C 0 的点集源自Ax 2 Bx C 0 的同
(1) x y 1
1.判断下列式子是不是二元一次不等式？ 2
(2) x y 1
数学ⅱ北师大版3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域第2课时教案
随堂练习1
1、画出不等式2 +y-6＜0表示的平面区域.
2、画出不等式组 表示的平面区域。
2.讲授新课
【应用举例】
例3某人预备投资1200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格〔以班级为单位〕：
学段
班级学生人数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中
45
2
26/班
2/人
高中
课题
§3.3.1二元一次不等式〔组〕与平面区域
第2课时
课型
新授课
课时
备课时间
教学目标
知识与技能
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能依照实际问题中的条件，找出约束条件；
过程与方法
经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；
情感态度与价值观
结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.
重点
理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式〔组〕所表示的平面区域画出来；
难点
把实际问题抽象化，用二元一次不等式〔组〕表示平面区域
教学方法
教学过程
1.课题导入
[复习引入]
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.〔虚线表示区域不包括边界直线〕
高中数学第三章不等式3.3.1二元一次不等式组与平面区域课件新人教A版必修5
则有
该不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示
≥ 0,
≥ 0.
(含边界).
-19-
二元一次不等式(组)与
平面区域
探究一
探究二
课前篇自主预习
探究三
思维辨析
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
反思感悟用二元一次不等式组表示实际问题的步骤
1.先根据问题的需要选取起关键作用且关联较多的两个量,并用字
(1)定义:我们把含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等
式称为二元一次不等式;把由几个二元一次不等式组成的不等式组
称为二元一次不等式组.
(2)解集:满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),
所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的
解集.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是,二元一次
课堂篇探究学习
当堂检测
用二元一次不等式(组)表示实际问题
例3投资生产A产品时,每生产100 吨需要资金200 万元,需场地200
平方米;投资生产B产品时,每生产100 吨需要资金300 万元,需场地
100 平方米.现某单位可使用资金1 400 万元,场地900 平方米,用数
学关系式和图形表示上述要求.
(1,0)作为测试点.
-6-
二元一次不等式(组)与
平面区域
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
3.做一做:
(1)判断正误.
①不等式Ax+By+C>0是二元一次不等式.(
)
②点(1,3)在不等式2x-y-2<0所表示的平面区域内. (
)
3.3.1平面区域
高二数学必修五 编号：SX-05-113.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域【学习目标】1．了解二元一次不等式表示的平面区域．2．会画出二元一次不等式（组）表示的平面区域．【基础知识】1．二元一次不等式（组）的概念①含有 未知数，并且未知数的次数是 的不等式叫做二元一次不等式． ②由几个二元一次不等式组成的不等式组称为 ．2．二元一次不等式表示的平面区域①在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C>0表示直线 某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成 ，以表示区域不包括边界．②不等式Ax ＋By ＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成 ．探究点一 二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，画出直线x －y ＋2＝0，并标出以下九点：O(0,0)，A(0,2)， B(－2,0)，C(－1,1)，D(1,0)，E(0，－1)，F(－3,0)，G(－2,2)，H(0,3)．通过图象容易得出以下结论：(1)点A(0,2)，B(－2,0)，C(－1,1)的坐标满足方程 ，它们在直线x －y ＋2＝0上；(2)点O(0,0)，D(1,0)，E(0，－1)的坐标满足不等式 ，它们在直线x －y ＋2＝0的 ；(3)点F(－3,0)，G(－2,2)，H(0,3)的坐标满足不等式 ，它们在直线x －y ＋2＝0的 ．◆◆ 一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C>0与Ax ＋By ＋C<0分别表示直线Ax ＋By ＋C ＝0 (A 2＋B 2≠0)两侧的平面区域．例如，不等式 表示直线x ＋y ＋2＝0右上方的平面区域； 表示直线x ＋y ＋2＝0左下方的平面区域．即：同侧同号，同号同侧：异侧异号，异号异侧P(11,y x )、Q(22,y x )在直线Ax ＋By ＋C ＝0 同侧⇔P(11,y x )、Q(22,y x )在直线Ax ＋By ＋C ＝0 异侧⇔探究点二 二元一次不等式（组）表示平面区域的确定方法问题 在平面直角坐标系中，画出直线Ax ＋By ＋C ＝0以后，需要判断出不等式Ax ＋By＋C>0与Ax ＋By ＋C<0分别表示直线Ax ＋By ＋C ＝0的哪一侧？方法1：特殊值代入法------------直线定界，特殊点定域第一步，直线定边界：画出直线Ax ＋By ＋C ＝0（如果原不等式中带等号，那么画成实线，否则，画成虚线）.第二步：取特殊点定平面区域：一般地，当C ≠0时，常取原点（0,0）；当C=0时，常取点（1,0）或（0,1）.然后计算Ax 0＋By 0＋C 的值，得出Ax 0＋By 0＋C 的符号，则原点所在的区域和它同号，另外一侧异号。
高中数学3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域优秀教案
课时同步练3.3.1二元一次不等式〔组〕与平面区域一、单项选择题1．假设点(1,2)-在二元一次不等式10x my ++≤表示的区域中，则m 的取值范围为〔 〕 A ．1m B ．1m ≥ C ．1m < D ．1m 2．在平面直角坐标系xOy 中，与原点位于直线3x+2y+5=0同一侧的点是〔 〕 A ．〔-3，4〕 B ．〔-3，-2〕 C ．〔-3，-4〕 D ．〔0，-3〕3．不等式组4,0,0x y x y +≤⎧⎪>⎨⎪>⎩表示的平面区域为Ω，则以下坐标对应的点落在区域Ω内的是〔 〕 A ．(1,1) B ．(3,1)-- C ．(0,5) D ．(5,1)4．不等式组000x x x ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩表示的平向区域为D ，则区域D 的面积为〔 〕A． B ．2 CD5．假设不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两局部，则k 的值是〔 〕A ．73B ．37C ．43D ．346．D 是由不等式组20,{30x y x y -≥+≥所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为〔 〕A ．4πB ．2πC ．34πD ．32π 7．点()2,3A ，且点B 为不等式组00260y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩，所表示平面区域内的任意一点，则||AB 的最小值为〔 〕A ．12 B．2 CD ．18．假设0,0a b ≥≥且当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有1ax by +≤，则以,a b 为坐标的点(,)P a b 所形成的平面区域的面积是〔 〕A ．12B ．4πC ．1D ．2π 9．不等式||||3x y +<表示的平面区域内的整点个数为〔 〕A ．10B ．13C ．14D ．1710．假设不等式组1,10,20,x x ay x y ⎧⎪-+⎨⎪+-⎩可表示为由直线围成的三角形区域〔包括边界〕，则实数a 的范围是〔 〕A ．()0,2B ．()2,+∞C ．()1,2-D ．(),1-∞-11．在平面直角坐标系中，假设不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域被直线1y ax =+分为面积相等的两局部，则a 的值为〔 〕A ．12B ．1C ．2D ．9412．设不等式组()221x y y k x ⎧+≤⎪⎨+≤+⎪⎩所表示的区域为D ，其面积为S ，以下命题不正确的是〔 〕 A ．假设4S =，则k 的值唯一 B ．假设12S =，则k 的值有2个 C ．假设D 为三角形，则203k <≤ D ．假设D 为五边形，则4k >二、填空题13．坐标原点和点()1,1在直线0x y a +-=的两侧，则实数a 的取值范围是______.14．不等式组3020x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩，，表示的平面区域的面积等于____________.15．不等式组6011x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩所表示的平面区域内整点的个数是____________16．设不等式组03434x x y x y ⎧⎪+≥⎨⎪+⎩，，所表示的平面区域为D .假设直线1y a x =+（）与D 有公共点，则实数a 的取值范围是_____________.17．不等式组04032140x x y x y ≥⎧⎪-⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域被直线y =kx 分成面积相等的两局部，则k 的值为________.18．假设实数x ，y 满足约束条件210200x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则点(),A x y 构成的区域面积为________；点(),B x y x y +-构成的区域面积为________.三、解答题19．不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，〔1〕画出不等式组所表示的平面区域〔要求尺规作图，不用写出作图步骤，画草图不能得分〕； 〔2〕求平面区域的面积．20．求满足||||3x y +的整点x y （，）的个数.21．假设平面区域22(1)x y y k x ⎧+⎨++⎩，是一个三角形，求实数k 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,1A 、()2,3B 、()3,2C ，点P 在ABC ∆三边围成的区域〔含边界〕上； 〔1〕假设0PA PB PC ++=，求OP ；〔2〕设OP mAB nAC =+，求动点(),Q m n 所构成的图形的面积；。
二元一次不等式(组)与平面区域
2．点(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的右上方，则一定 有Ax0＋By0＋C>0吗？
提示：不一定．与系数B的符号有关．
3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在直线Ax＋By＋C＝0的 同侧或两侧应满足什么条件？
提示：同侧(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.异侧(Ax1＋ By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.
课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
典例导悟
类型一 二元一次不等式(组)表示平面区域 [例1] 画出下列不等式(组)表示的平面区域．
变式训练1
如图所示的阴影部分表示的区域用二元一 )
x＋y－1≤0 B. x－2y＋2≤0 x＋y－1≤0 D. x－2y＋2≥0
次不等式组表示为(
x＋y－1≥0 A. x－2y＋2≥0 x＋y－1≥0 C. x－2y＋2≤0
答案：A
类型二 [例2]
(2)不等式组的解集是x＋y≤5 ①，x－2y≥3 集的交集．
②的解
①式表示的区域是直线x＋y－5＝0左下方平面区域并 且包括直线x＋y－5＝0. ②式表示的区域是直线x－2y＝3右下方平面区域并且 包括直线x－2y－3＝0. 所以不等式组表示的区域是图(2)中的阴影部分(包括直 线)．
【点评】 画直线时容易虚实不分，若含等号应画成 实线．区域容易弄反，要注意方法．
(1)2x＋y－6<0；
x＋y≤5 (2) x－2y≥3.
[分析]
解题的关键在于正确地描绘出边界直线，然
高二数学 二元一次不等式(组)与平面区域 知识讲解
二元一次不等式（组）与平面区域【要点梳理】要点一：二元一次不等式（组）的定义1.二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式.2.二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.3.二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序实数对(,)x y ，所有这样的有序实数对(,)x y 构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.要点诠释：注意不等式（组）未知数的最高次数. 要点二：二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，因此，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.二元一次不等式所表示的平面区域：在平面直角坐标系中，直线:0l Ax By C ++=将平面分成两部分，平面内的点分为三类： ①直线l 上的点（x ，y ）的坐标满足：0=++C By Ax ；②直线l 一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0>++C By Ax ； ③直线l 另一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0Ax By C ++<.即二元一次不等式0Ax By C ++>或0Ax By C ++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=的某一侧所有点组成的平面区域，直线0Ax By C ++=叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.要点三：二元一次不等式表示哪个平面区域的确定 二元一次不等式表示的平面区域由于对在直线0Ax By C ++=同一侧的所有点(,)x y ，把它的坐标(,)x y 代入Ax By C ++，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当0C ≠时，常把原点作为此特殊点）以上判定方法简称为“直线定界、特殊点定域”法. 不等式组所表示的平面区域由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 1. 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.2. 画二元一次不等式0(0)Ax By C ++>≥或0(0)Ax By C ++<≤表示的平面区域的基本步骤： ①画出直线:0l Ax By C ++=（有等号画实线，无等号画虚线）；②当0≠C 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C =时，另取一特殊点判断； ③确定要画不等式所表示的平面区域.要点诠释： “直线定界，特殊点定域”二元一次不等式（组）表示平面区域的重要方法. 【典型例题】类型一：二元一次不等式表示的平面区域 例1. 画出不等式240x y +->表示的平面区域. 【解析】先画直线240x y +-=（画成虚线）. 取原点(0,0)代入24x y +-得200440⨯+-=-<, ∴原点不在240x y +->表示的平面区域内， 不等式240x y +->表示的区域如图：【总结升华】1. 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0≠C 时，常把原点作为此特殊点.2. 虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线 举一反三：【变式1】画出下列不等式所表示的平面区域 （1）4312x y +≤； （2）1≥x 【答案】（1）（2）【变式2】图中阴影（包括直线）表示的区域满足的不等式是（）A．x-y-1≥0 B．x-y+1≥0 C．x-y-1≤0 D．x-y+1≤0【答案】直线对应的方程为x-y-1＝0，对应的区域，在直线的下方，当x＝0，y＝0时，0-0-1＜0，即原点在不等式x-y-1＜0对应的区域内，则阴影(包括直线)表示的区域满足的不等式是x-y-1≥0，故选：A．【变式3】不等式3x+2y－6≤0表示的区域是（）【答案】可判原点适合不等式3x+2y－6≤0，故不等式3x+2y－6≤0所表示的平面区域为直线3x+2y－6=0的左下方，故选D。
2020版人教A数学必修5 课件：3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
即时训练3-1:某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和 漆工两道工序完成.已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和 2 h,漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h.又木工、漆工 每天工作分别不得超过8 h和9 h.请列出满足生产条件的数学关系式,并 画出相应的平面区域.
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
[目标导航]
1.知道什么是二元一次不等式及二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,并会画其表示的平面 课标要求 区域. 3.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组,并能用平面 区域表示二元一次不等式组的解.
x y 2 1 0,
x ky k 0
(2)将图中阴影部分表示的平面区域,用不等式表示出来.
(2)解:由图(1)可知,其边界所在的直线在 x 轴和 y 轴上的截距均为 1,故边界所在的直线 方程为 x+y-1=0, 将原点(0,0)代入直线方程 x+y-1=0 的左边,得 0+0-1<0, 故所求的不等式为 x+y-1≤0;
思考1:不等式2x-3y>0是二元一次不等式吗? 答案:是,符合二元一次不等式的两个特征. 2.二元一次不等式表示的平面区域
表示直线 Ax+By+C=0
某一侧
二元一次不等式Ax+By+C>0 所有点组成的平面区域,我们把直线画 成 虚线 ,以表示区域 不包括 边界
表示直线 Ax+By+C=0
某一侧
y
1)
0,
表示的平面区
域的面积等于( )
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3.3.1.2二元一次不等式（组）与平面区域
学习目标
1、清楚一元二次不等式组的定义；
2、会画一元二次不等式组表示的平面区域
1.二元一次不等式组的有关概念
(1)定义：由几个_______________组成的不等式组.
(2)二元一次不等式组的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成_______________，所有这样的_______________构成的集合称为二元一次不等式组的解集.
2.二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的_____，即各个不等式表示的平面区域的公共部分.
3.试试
(1)x>0，y≥0及x+y≤4所围成的平面区域的面积是_______.
(2)点集A={(x，y)|x+2y-1≥0，y≤x+2，2x+y-5≤0}，则原点O(0，0)与点集的关系是______，点M(1，1)与点集A的关系是________.
(3)表示如图阴影部分的二元一次不等式组是________.
二新课导学
学习探究
如何确定二元一次不等式组表示的平面区域
典型例题
类型一 二元一次不等式组表示的平面区域 例1：画出不等式组⎩⎨⎧<+->++0
40
12y x y x 表示的平面区域
变式：画出不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+>-≤+02325y x y x y x 表示的平面区域.
规律总结
类型二 二元一次不等式组表示的平面区域的面积问题
例2: 求不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤-+≥-+02304202y x y x y x 表示的平面区域的面积。
变式：求不等式组()()⎩
⎨⎧≤≤-≥+-+330
5x y x y x 表示的平面区域的面积.
规律总结
类型三 用二元一次不等式组表示实际问题
例3：完成一项装修工程，请木工每人需付工资500元，请瓦工每人需付工资400元，现有工人工资预算20 000元，设请木工x 人，瓦工y 人，则x ，y 满足的不等式组为_________.
变式：要将两种大小不同的钢板截成A ，B ，C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规律总结
※ 学习小结
1.二元一次不等式组的有关概念
(1)定义：由几个二元一次不等式组成的不等式组.
(2)二元一次不等式组的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对（x ，y ），所有这样的有序数对（x ，y ）构成的集合称为二元一次不等式组的解集.
2.二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分.
三反馈训练
1．不等式
(5)()0,
03
x y x y
x
-++≥
⎧
⎨
≤≤
⎩
表示的平面区域是一个（）
A．三角形B．直角三角形C．梯形D．矩形
2.在直角坐标系中，满足不等式x２－y2≥0 的点（x，y）的集合（用阴影部分来表示）的是（）
A B C D
3.如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（）
A．
2,
3260,
y
x y
x
≥-
⎧
⎪
-+>
⎨
⎪<
⎩
B．
2,
3260,
y
x y
x
>-
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪≤
⎩
C．
2,
3260,
y
x y
x
>-
⎧
⎪
-+>
⎨
⎪≤
⎩
D．
2,
3260,
y
x y
x
>-
⎧
⎪
-+<
⎨
⎪<
⎩
4.若不等式组
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
-
-
≥
-
-
≥
6
3
2
y
x
y
x
x
所表示的平面区域被直线mx+y+2=0分为面积相等的两部分，则实数m的值为_________.
5.画出不等式组
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≥
+
≥
+
-
3
5
x
y
x
y
x
表示的平面区域.
6.甲、乙、丙三种药品中毒素A，B 的含量及成本如下表:
某药品研究所想用x千克甲种药品,y千克乙种药品,z千克丙种药品配成100千克新药,并使新药含有毒素A不超过56 000单位,毒素B不超过63 000单位.用x，y表示新药的成本M(元),并画出相应的平面区域.。