3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域.
课程资料：二元一次不等式(组)表示的平面区域
3.点 P（1,-1）在直线y=ax＋b的上方,则a,b满足的 关系式:（ B ） A. a＋b>-1 B. a＋b<-1 C. a＋b>1 D. a－b<-1
7.确定m的范围，使点(1，2)和点(1，1)在y 3x m 0
的异侧.
5.若不等式组
y
≥
a，
表示的平面区域是一个三角
0 ≤ x ≤ 2
形，则 a 的取值范围是（ C ）
Ａ． a 5
Ｂ． a≥7
Ｃ． 5≤a 7
Ｄ． a 5 或 a≥7
[例4] 画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＞0表示 的区域．
[解] 原不等式等价于
①xx－＋y2＋y＋4＞1＞0.0， 或
• §3.3.1二元一次不等式（组） 表示的平面区域
那么：x – y < 6或x – y形？
问题2
一条直线
直线将平面分成两部分，这与 x y ()6
有什么关联呢？
y
x –y =6
左上方区
O
域
x
右下方 区域
二元一次不等式x－y<6表示直 线x- y=6左上方的平面区域
2.有粮食和石油两种货物，可用轮船和飞机两种 方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量 如下表：
货物 轮船运输量 飞机运输量
粮食/t 300
150
石油/t 250
100
现在要在一天之内运输2 000 t粮食和1 500 t石
油，试用代数和几何两种方法表示运输工具和
运输数量满足的关系．
解：设需要 x 艘轮船，y 架飞机，代数关系式和几何描述(如
(3)
23-二元一次不等式(组)与平面区域(1)
3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域教材分析本节课是在学生学习了直线与直线方程的关系，初步了解了二元一次方程的几何意义的基础上，引领学生进一步研究二元一次不等式的几何意义，为后面学习用图解法求二元函数最值问题创造条件.使学生体会数与形的转化过程，逐步加强学生应用几何图形解决代数问题的意识．基于以上分析，在教学中应充分利用多媒体课件向学生展示代数条件与几何图形的对应关系，加强学生对问题的了解，培养学生学习数学的兴趣.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解二元一次不等式（组）表示平面区域.教学目标重点: 用二元一次不等式（组）表示平面区域的方法.难点：1.探究二元一次不等式所表示的平面区域的过程；2.正确画出二元一次不等式（组）相应的平面区域.知识点：二元一次不等式的几何意义，能准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域.能力点：学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力.教育点：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质.自主探究点：通过自主探索、合作交流，增强学生对数学的情感体验，提高创新意识. 通过学生合作探究、独立思考、自由讨论、情景设置等方法帮助学生在原有经验上对新知识主动建构.考试点：充分体会数学来源于生活，又服务于生活，培养学生的应用意识.易错易混点：引导学生进行尝试、猜想、证明、归纳，突破本节难点.拓展点：链接高考感悟提升.教具准备实物投影机和粉笔课堂模式基于问题驱动的一问一答式一、复习引入提出问题，引起思考师：今天是什么特殊日子？生：重阳节师：你准备好礼物了吗？生：没有师：我给你们推荐一份礼物：一束鲜花！送母亲选什么花？生:康乃馨师:康乃馨是母亲之花，它代表了母亲对子女伟大、无私而又含蓄的爱；然后还可以选择些纯洁的百合花加以点缀，并且祝愿父母百年好合心想事成.你们满意吗?生：师：可是我却遇到了一个问题: 当花店老板告诉我康乃馨每枝15元，百合每枝10元时，我才发现只有150元钱，而且希望康乃馨的数量不低于百合数量的2倍，我可以如何购买呢？今天就请同学们一起帮我解决这个问题.设计意图：通过设置实际问题情景引入新课，提高学生的学习兴趣和自主探求新知的欲望，为下面的讲解做好铺垫.另外，情景的设置贴近学生的生活，并借助鲜花营造一种温馨的氛围和浪漫的气息，适合当今学生的口味，使原本枯燥严肃的数学课在不改变其严谨本质的前提下尽量趣味化.分析问题，建立模型设购买康乃馨x 枝，购买百合y 枝.( x ,y 均为整数)则购买数量应满足的条件：3230211x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩介绍概念今天这个不等式模型与前面的不等式有所不同：它含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1这样的不等式叫做二元一次不等式.由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序实数对（x ,y ）叫做二元一次不等式的一个解，所有这样的有序实数对（x ,y ）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.设计意图：引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程.在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识，建立二元一次不等式模型.尝试解决，学生遇挫如何求上面的二元一次不等式组的解集？针对前面的不等式组 ，由学生自主分析思路，发表见解.学生可能的思路：①列举法---首先肯定学生的做法，列举法是解决数学问题的一种基本方法，也是生活中的常用方法，但是它有一定的局限性，引导学生寻求通法.②消元法- -----首先肯定学生的转化和消元的思想，这是数学中的重要思想方法，但是消元中会出现知识性错误，教师引导学生寻找错误根源.在各种思路均受阻的情况下，引导学生转化思维角度，重新审视不等式的解与点的坐标都是有序实数对，于是用几何方法来解决代数问题，利用数形结合的思想去尝试探求答案.灵感来源：二元一次不等式的解是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，所以，二元一次不等（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合----数形结合思想.解决策略：探寻解集的问题转化为探寻这些点所构成的几何图形的问题————转化思想.设计意图：引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程.在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识，建立二元一次不等式模型.突出不等式的特性，将画平面区域作为不等式的一种几何解法，利用数形结合思想得到不等式的解集.二、探究新知探究一：二元一次不等式（组）的解集表示的图形（1）先研究具体的二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形.1.联系类比：二元一次方程6x y -=表示图形是一条直线，平面内所有的点被直线分成三类： 第一类：在直线6x y -=上的点；------------------6x y -=第二类：在直线6x y -=左上方的区域内的点；第三类：在直线6x y -=右下方的区域内的点. -----6x y -≠猜想：6x y -<和6x y ->，是各占一方还是相互交融？2.实验探索：设点1(,)P x y 是直线6x y -=上的点，选取点2(,)A x y ，使它的坐标满足不等式6x y -<，完成填表、作图并思考；①通过你的试验，你发现了什么？②进行理性思考，你觉得你的发现具有合理性吗？学生思考、讨论、交流，达成共识：在平面直角坐标系中，以二元一次不等式6x y -<的解为坐标的点都在直线6x y -=的左上方； ③反过来，直线6x y -=左上方的点的坐标都满足不等式6x y -<吗？3.交流合作.4.得出结论：在平面直角坐标系中，不等式6x y -<的解与直线6x y -=左上方的平面区域的点形成一一对应的关系；所以不等式6x y -<表示直线6x y -=左上方的平面区域.类似的：二元一次不等式6x y ->表示直线6x y -=右下方的区域，直线叫做这两个区域的边界.（2）特殊例子推广到一般情况：二元一次不等式0Ax By C ++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）设计意图：先由学生提出自己的想法，再引导学生分析其问题所在，在思维层层受阻的情况下主动探索其它解法，增加学习的目的性和主动性.探究方法 ：由特殊到一般，从感性观察到理性思考，符合学生的认知规律，充分体现以学生为主体、教师为主导的教学思想.第一步，小组合作探究，增强学生的合作意识.第二步,学生独立思考.第三步，引导学生类比出一般结论.探究二：二元一次不等式表示哪侧的平面区域.自由讨论：不等式6x y -<表示直线6x y -=左上方的平面区域，是不是二元一次不等式0Ax By C ++<一定也是表示边界下方的区域？师：判定到底表示哪一侧是区域有困难吗？这个问题我来回答.设置情境：师：我把这个问题的答案放到了咱们班的作业本中了.这两摞作业中，其中一摞是咱们班的，请徐美华同学帮我把咱们班的那部分作业拿到我这儿来.生：（学生很快将本班的作业找到）师：你能确定这摞就是咱们班的吗？生：能确定.师：作业本上没有班级，你怎么就知道是这一摞呢？生：我抽了一本看了看就是我们班的.师：明白了，你从中抽查了一本确认是咱们班的，于是就确定这摞就是咱们班的了，那么如果你抽的那本不是咱们班的呢？生：一共就两摞，那就是另一摞了.师：我明白了：因为我们找的是这两摞作业中的某一摞，所以我只需从两摞中任意选取一个验证一下，如何是咱们班的就确定它所在的这一摞都是咱们班的，如果不是咱们班的就确认另一摞是咱们班的.非常简单，好！那么刚才判断哪一侧区域这个问题的答案找到了吗？生：噢！（沉思少许，恍然大悟）生：只需在此直线的某一侧取一个特殊点00(,)x y ，代入不等式验证，如果满足此不等式就是这个点所在的一侧，如果不满足就是另外的那一侧.师：你会取哪个点验证呢？生：一般取简单的点，如(0,0)，(1,0)，(0,1)等等.师：太棒了，简直是无师自通！谁告诉你们的呢？师：是生活告诉我们的!刚才我让同学帮我取作业本这件事情，你们都觉得太容易了，一件简单的生活小事不仅启发了我们对数学问题的思考，里面还蕴含着深刻的数学道理，它应用的是集合的思想：一个元素或者属于某个集合，或者属于它的补集，当全集中只有两个互补子集时，只需对某个元素验证一次便可知它属于哪个集合.如：直线6x y -=外的点的集合为{}(,)6U x y x y =-≠直线两侧的点的集合分别为{}(,)6A x y x y =-> {}(,)6B x y x y =-<验证原点(0,0)B ∈，则知道集合A 表示的就是原点所在一侧的区域.当然集合B 表示另一侧的区域. 设计意图：此问题的处理有三个目的：①此时学生的注意力已经有所下降，学习效率降低，通过设置情境再次吸引学生的注意力，提高课堂效果.②如果简单地告诉学生特殊点定域的方法，学生也很容易接受，完成本课的教学任务，但只是授之鱼而不是授之于渔.将此问题上升到集合思想的高度，达到触类旁通.③让学生进一步体会“数学源于生活并服务于生活”，生活本身就蕴含着深刻的数学道理，增强学生的学习兴趣.探究三：如何画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域的.①直线定界（有等则实，无等则虚）②特殊点定域（优先考虑原点）例 画出不等式44x y +<表示的平面区域.解：先画直线44x y +=（画成虚线）.取原点(0,0)，代入44x y +<成立∴原点在44x y +<表示的平面区域内.思考：如果是44x y +≤呢？非常好！已经成功按照由特殊到一般的方法，利用数形结合思想成功得到了二元一次的平面区域. 设计意图：解决开始提出的问题，也不仅仅是为了解决开始的问题，而是巩固、提高、深化对本节课的理解：首先，不等式组中包含的四个不等式正是本节内容的四种类型，典型全面，通过练习可以很好的巩固本节内容.其次，在师生共同完成不等式表示的平面区域的基础上，通过启发引导由学生自己完成不等式组的平面区域，又是能力提高的过程.另外，寻找整数点是难点但不是本节的重点，所以由教师完成，让学生体会我们前面的研究是在实数的前提下研究的，当变量的取值范围发生改变后，点集也会相应改变，深化对本节课的理解.三、运用新知带着收获的喜悦，我们来解前面的不等式组.1.首先分析：不等式组的解集是各不等式解集的交集，所以表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.引导学生一步步画出图形，找到正确的平面区域.3.启发学生找到整数点①有多少种购买方案？ 16种②最多买多少枝？ 取整数解(8,3)即，康乃馨8枝，百合3枝，共11枝让我们把这一束感激的鲜花，献给所有为了子女而辛勤忙碌的母亲，一十一枝鲜花代表我们一心一意的祝福，祝福天下所有母亲一生一世幸福安康！设计意图：本课在浪漫温馨并配以美妙音乐（感恩的心）的氛围中结束，本课小结在鲜花和音乐的衬托下缓缓打出，回顾本节知识，升华个人情感，多些感动多些感恩，不也正是当今学生所必修的内容吗？若能在学生的心灵上有所启迪岂不一箭双雕？教书育人，乐在其中！四、课堂小结1．二元一次不等式表示平面区域；2．二元一次不等式（组）表示平面区域的作图方法.五、布置作业1.基础巩固: 课本第86页练习1.2.3（目的：巩固，熟练本节基础知识）2.课堂延伸：特殊点定域只是确定平面区域的一种基本方法，相信你还能探索发现更为简单实用的方法，试试看！（目的：将课堂上的探究延伸到课下，进一步提高学生探究问题的能力）3.大显身手:已知康乃馨的进价为10元，百合进价为3元，如果你是花店老板，你会建议我怎么购买？ (目的：为讲线性规划问题做好铺垫）六、反思提升鉴于高二学生已具有较好的数学基础知识和较强的分析问题、解决问题的能力，本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合一问一答的教学方法．首先设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；其次提供观察、探索、交流的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取知识．恰当的利用多媒体课件辅助教学，直观生动地呈现学生思维的形成过程，从而提高教学效率．在教学过程中，注重学生的探索经历和发现新知的体验，使其形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.美中不足的是知识量太少，思维量还够，但练习量有点少，不一定能够适应当前的高考选拔方式.七、板书设计。
3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(一)
企业和个人贷款，希望这笔贷款至少可带来3万元的收益， 其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%.那 么，信贷部应如何分配资金呢？
x y 2500, 12 x 10 y 300 x 0, y0
1. 我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不
满足 x y 6 的点集在坐标平面上是怎样的图形？
l:x-y=6
问题一
满足 x y 6 的点集{( x, y) x y 6}在坐标平面上 是怎样的图形？
l:x-y=6
二元一次不等式 x－y＜6所表示的图形.
在直角坐标系中，所有点被直线l : x－y＜6分成三类: ①在直线l上的点;
确定.
一般地
C≠0时，常用点(0,0)确定.
C=0时，常用点(0,1)或(1,0)确定.
二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域常用 “直线定界，特殊点定域”的方法，即画线—取点—判 断.
例1. 画出x＋4y＜4表示的平面区域.
练习
教材P86练习第1、2题
x 3 y 6 0 例2. 画出 表示的平面区域. x y 2 0
l:x-y=6
问题一
满足 x y 6 的点集{( x, y) x y 6}在坐标平面上 是怎样的图形？
问题二
满足 Ax By C 0 的点集 {(x, y) Ax By C 0}
在坐标平面上是怎样的图形？
( A, B不同时为0)
问题三
满足 Ax 2 Bx C 0 的点集源自Ax 2 Bx C 0 的同
(1) x y 1
1.判断下列式子是不是二元一次不等式？ 2
(2) x y 1
数学ⅱ北师大版3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域第2课时教案
随堂练习1
1、画出不等式2 +y-6＜0表示的平面区域.
2、画出不等式组 表示的平面区域。
2.讲授新课
【应用举例】
例3某人预备投资1200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格〔以班级为单位〕：
学段
班级学生人数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中
45
2
26/班
2/人
高中
课题
§3.3.1二元一次不等式〔组〕与平面区域
第2课时
课型
新授课
课时
备课时间
教学目标
知识与技能
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能依照实际问题中的条件，找出约束条件；
过程与方法
经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；
情感态度与价值观
结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.
重点
理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式〔组〕所表示的平面区域画出来；
难点
把实际问题抽象化，用二元一次不等式〔组〕表示平面区域
教学方法
教学过程
1.课题导入
[复习引入]
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.〔虚线表示区域不包括边界直线〕
高中数学必修5课件：第3章3-3-1二元一次不等式(组)与平面区域
数学 必修5
第三章 不等式
(3)若直线 l：Ax＋By＋C＝0，记 f(x，y)＝Ax＋By＋C，M(x1， y1)，N(x2，y2)，则
点M，N在l的同侧 ⇔ fx1，y1·fx2，y2>0 点M，N在l的异侧 ⇔ fx1，y1·fx2，y2<0
数学 必修5
第三章 不等式
1．不等式x－2y≥0表示的平面区域是( )
() A.32 4 C.3
B.23 D．34
数学 必修5
第三章 不等式
解析： 如图所示为不等式表示的平 面区域，平面区域为一三角形，三个顶点 坐标分别为(4,0)，43，0，(1,1)，所以三角 形的面积为 S＝12×4－43×1＝43.
答案： C
数学 必修5
第三章 不等式
用二元一次不等式(组)表示实际问题
数学 必修5
第三章 不等式
答案：
4x＋3y≤480， 2x＋5y≤500， x≥0， y≥0， x，y∈N*
数学 必修5
第三章 不等式
4．画出不等式组x0－≤yx≤＋1y0≤，20， 0≤y≤15，
表示的平面区域．
解析： 根据题意画出不等式组表示的平面区域，如图所
示．
数学 必修5
第三章 不等式
数学 必修5
第三章 不等式
3．一工厂生产甲、乙两种产品，生产每种1 t产品的资源 需求如下表：
品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人
甲
2
3
5
乙ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
5
2
该厂有工人200人，每天只能保证160 kW·h的用电额度， 每天用煤不得超过150 t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两 种产品允许的产量的范围．
二元一次不等式(组)与平面区域
2．点(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的右上方，则一定 有Ax0＋By0＋C>0吗？
提示：不一定．与系数B的符号有关．
3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在直线Ax＋By＋C＝0的 同侧或两侧应满足什么条件？
提示：同侧(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.异侧(Ax1＋ By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.
课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
典例导悟
类型一 二元一次不等式(组)表示平面区域 [例1] 画出下列不等式(组)表示的平面区域．
变式训练1
如图所示的阴影部分表示的区域用二元一 )
x＋y－1≤0 B. x－2y＋2≤0 x＋y－1≤0 D. x－2y＋2≥0
次不等式组表示为(
x＋y－1≥0 A. x－2y＋2≥0 x＋y－1≥0 C. x－2y＋2≤0
答案：A
类型二 [例2]
(2)不等式组的解集是x＋y≤5 ①，x－2y≥3 集的交集．
②的解
①式表示的区域是直线x＋y－5＝0左下方平面区域并 且包括直线x＋y－5＝0. ②式表示的区域是直线x－2y＝3右下方平面区域并且 包括直线x－2y－3＝0. 所以不等式组表示的区域是图(2)中的阴影部分(包括直 线)．
【点评】 画直线时容易虚实不分，若含等号应画成 实线．区域容易弄反，要注意方法．
(1)2x＋y－6<0；
x＋y≤5 (2) x－2y≥3.
[分析]
解题的关键在于正确地描绘出边界直线，然
3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域
§3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域学习目标 1.了解二元一次不等式(组)表示的平面区域；2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域(重、难点).预习教材P82－85完成下列问题：知识点一二元一次不等式(组)表示平面区域1.二元一次不等式(组)的概念含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式.由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.2.二元一次不等式与平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0(＜0)表示直线Ax＋By＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界.不等式Ax＋By＋C≥0(≤0)表示的平面区域包括边界，把边界画成实线.【预习评价】1.二元一次不等式的一般形式是什么？提示二元一次不等式的一般形式是Ax＋By＋C＞0，Ax＋By＋C＜0，Ax＋By ＋C≥0，Ax＋By＋C≤0，其中A，B不同时为0.2.每一个二元一次不等式(组)都能表示平面上的一个区域吗？提示不一定.当不等式组的解集为空集时，不等式组不表示任何图形.知识点二二元一次不等式表示的平面区域的确定平面区域的确定依据直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它们的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得符号都相同方法在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域【预习评价】1.原点与点(－1，10)在直线x＋y－1＝0的________(填“同侧”或“两侧”).解析将点(0，0)和(－1，10)代入到x＋y－1中符号相反.答案两侧2.已知点A(2，1)，B(1，0)，C(－1，0)，则不等式x－2y＜0表示的平面区域内的点是________.解析由于－1－2×0＝－1＜0，故符合.而2－2×1＝0，1－2×0＞0.所以符合的为点C.答案C题型一二元一次不等式与平面区域【例1】(1)如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为________.(2)画出不等式2x＋y－4＞0表示的平面区域.解(1)由截距式得直线方程为x2＋y1＝1，即x＋2y－2＝0.因为0＋2×0－2＜0，且原点在阴影部分中，故阴影部分可用不等式x＋2y－2＜0表示.(2)先画直线2x＋y－4＝0(画成虚线).取原点(0，0)代入，得2x＋y－4＝2×0＋0－4＝－4＜0，所以不等式2x＋y－4＞0表示的区域是直线2x＋y－4＝0右上方的平面区域，如图中的阴影部分所示.规律方法 1.已知平面区域求不等式的步骤(1)利用已知平面区域边界上点的坐标求出直线方程.(2)将平面区域内的特殊点代入直线方程两侧，判断不等号的方向.(3)结合平面区域的边界虚实写出相应的不等式.2.二元一次不等式表示平面区域的判断方法(1)对于Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示的平面区域，直线Ax＋By＋C＝0，其中A＞0可以这样来确定：所表示区域位置不等式B＞0B＜0Ax＋By＋C＞0在直线右上方在直线右下方Ax＋By＋C＜0在直线左下方在直线左上方①当A＜0时，可通过不等式两边乘以－1的方法转化成上述情况.②当A或B为0时，可通过不等式直接确定.(2)对于区域的确定要灵活，如果给定点P(x0，y0)和直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)，判断点P在直线哪一侧时，设d＝B·(Ax0＋By0＋C)，则①d＞0⇔P在直线上方；②d＝0⇔P在直线上；③d＜0⇔P在直线下方.【训练1】 不等式组⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≤0表示的平面区域是( )解析 取特殊点坐标(如：(0，－1)，(－1，0)等)代入不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤0，检验可得C 符合. 答案 C题型二 不等式组表示平面区域的应用【例2】(1)画出不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －1≥0，2x ＋y －5≤0，y ≤x ＋2所表示的平面区域，并求其面积；(2)求不等式组⎩⎨⎧y ≤2，|x |≤y ≤|x |＋1所表示的平面区域的面积大小.解 如图所示，其中的阴影部分便是不等式组所表示的平面区域.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0，得A (1，3). 同理得B (－1，1)，C (3，－1). ∴|AC |＝22＋（－4）2＝25，而点B 到直线2x ＋y －5＝0的距离为 d ＝|－2＋1－5|5＝65，∴S △ABC ＝12|AC |·d ＝12×25×65＝6.(2)可将原不等式组分解成如下两个不等式组： ①⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，y ≤x ＋1，y ≤2，或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥－x ，y ≤－x ＋1，y ≤2.上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示，所围成的面积S ＝12×4×2－12×2×1＝3.规律方法 求平面区域面积的方法求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积.(1)若画出的平面区域是规则的，则直接利用面积公式求解.(2)若平面区域是不规则的，可采用分割的方法，将平面区域分成几个规则图形求解.【训练2】 在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x ＋3y ≤4，3x ＋y ≥4表示的平面区域的面积是( ) A.32 B.23 C.43D.34解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.平面区域为一个三角形及其内部，三个顶点的坐标分别为(4，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0，(1，1)，所以平面区域的面积为S ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－43×1＝43.答案 C题型三 用二元一次不等式组表示实际问题【例3】 投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，用数学关系式和图形表示上述要求.解 设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百吨，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分). 规律方法 用平面区域来表示实际问题的基本方法(1)根据问题的需要选取两个起关键作用的关联较多的量，用字母表示. (2)把问题中有关的量用这两个字母表示.(3)把实际问题中有关的限制条件用不等式表示出来. (4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来.【训练3】 某人准备投资1 200万元兴办一所中学，他对教育市场进行调查后，得到了下面的数据表格(以班级为单位)： 学段 班级学生人数配备教师数硬件建设/万元教师年薪/万元初中 45 2 26/班 2/人 高中40354/班2/人因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件.解 设开设初中班x 个，开设高中班y 个，根据题意，总共招生班数限制在20～30之间，所以有20≤x ＋y ≤30，考虑到所投资金的限制，得到26x ＋54y ＋2×2x ＋2×3y ≤1 200，即x ＋2y ≤40， 另外，开设的班数不能为负且为整数，则x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z . 把上面的四个不等式合在一起，得到⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，x ＋2y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z .用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域(阴影部分中x ，y 为整数点).课堂达标1.不在不等式3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的一个点是( ) A.(0，0) B.(1，1) C.(0，2)D.(2，0)解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2，0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x ＋2y ＜6表示的平面区域内，故选D. 答案 D2.如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是()A.⎩⎨⎧y ≥－2，3x －2y ＋6＞0，x ＜0B.⎩⎨⎧y ≥－2，3x －2y ＋6≥0，x ≤0C.⎩⎨⎧y ＞－2，3x －2y ＋6＞0，x ≤0D.⎩⎨⎧y ＞－2，3x －2y ＋6＜0，x ＜0解析 观察图象可知，阴影部分在直线y ＝－2上方，且不包含直线y ＝－2，故可得不等式y ＞－2.又阴影部分在直线x ＝0左边，且包含直线x ＝0，故可得不等式x ≤0.由图象可知，第三条边界线过点(－2，0)、(0，3)， 故可得直线3x －2y ＋6＝0，因为此直线为虚线且原点O (0，0)在阴影部分， 故可得不等式3x －2y ＋6＞0.观察选项可知选C. 答案 C3.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________.答案⎩⎨⎧50x ＋40y ≤2 000，x ∈N *，y ∈N *4.画出二元一次不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0表示的平面区域，则这个平面区域的面积为________.解析 平面区域如图阴影部分(含边界)所示. S 阴＝12×1×1＝12. 答案 12课堂小结1.对于任意的二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0(或<0)，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数，当B >0时， (1)Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的区域； (2)Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域.2.画平面区域时，注意边界线的虚实问题.基础过关1.已知点P 1(0，1)，P 2(2，1)，P 3(－1，2)，P 4(3，3)，则在4x －5y ＋1≤0表示的平面区域内的点的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 经验证，P 1，P 3，P 4均在区域内. 答案 C2.若点(m ，1)和(－3，m )不在直线x ＋2y －1＝0的同侧，则实数m 的取值范围是( ) A.(－1，2) B.(－2，1)C.[－1，2]D.(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析 记f (x ，y )＝x ＋2y －1，则f (m ，1)·f (－3，m )≤0，即(m ＋1)(2m －4)≤0，解得－1≤m ≤2. 答案 C3.已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为( ) A.13 B.23 C.19D.29解析 Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域面积为12×62＝18， A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}表示的平面区域面积为12×4×2＝4，由几何概型计算公式，P ＝418＝29.选D. 答案 D4.在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为________.解析 画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分，由题意M (2，3)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13，P (0，－1)，Q (0，1)，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为：12×2×2＋12×2×23＝83.答案835.若点A (1，1)，B (2，－1)位于直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为________. 解析 ∵点A (1，1)，B (2，－1)位于直线x ＋y －a ＝0的两侧，∴(1＋1－a )(2－1－a )＜0，即(2－a )(1－a )＜0，则(a －1)(a －2)＜0，即1＜a ＜2. 答案 (1，2)6.某夏令营有48人，出发前要从A ，B 两种型号的帐篷中选择一种，A 型号的帐篷比B 型号少5顶，若只选A 型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够，每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满，若只选B 型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够，每顶帐篷住4人，则有帐篷多余，设A 型号的帐篷有x 顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来.解 由题意得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＞0，x ＋5＞0，4x ＜48，0＜5x －48＜5，3（x ＋5）＜48，4（x ＋5）＞48，x ∈N *.7.画出下列不等式(组)表示的平面区域： (1)3x ＋2y ＋6＞0；(2)⎩⎨⎧x ≤1，y ≥－2，x －y ＋1≥0.解 (1)画出满足条件的平面区域，如图所示：(2)画出满足条件的平面区域，如图所示：能力提升8.若不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围是( ) A.[43，＋∞) B.(0，1]C.[1，43]D.(0，1]∪[43，＋∞)解析 先画出不含参数的不等式表示的平面区域，如图所示，要使不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，需使直线x ＋y ＝a 在点A (1，0)的下方或在点B (23，23)的上方.当直线x ＋y ＝a 过点A 时，a ＝1.当直线x ＋y ＝a 过点B 时，a ＝43.又因为直线x ＋y ＝a 必在原点O 的上方，所以0＜a ≤1或a ≥43. 答案 D9.在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( ) A.－5 B.1 C.2D.3解析 由题意知，不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC ，则A (1，0)，B (0，1)，C (1，1＋a )，且a ＞－1.∵S △ABC ＝2，∴12(1＋a )×1＝2，∴a ＝3. 答案 D10.在平面直角坐标系内，不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为________.解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1表示的平面区域如图，y ＝x －1与y ＝－3|x |＋1的交点为(12，－12)，(－1，－2). ∴S ＝12×2×12＋12×2×1＝34×2＝32. 答案 3211.若不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2所表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________.解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，0≤x ≤2表示的平面区域如图中的阴影部分所示，用平行于x 轴的直线截该平面区域，若得到一个三角形，则a 的取值范围是[5，7).答案 [5，7)12.画出下列不等式表示的平面区域. (1)(x －y )(x －y －1)≤0；(2)|3x ＋4y －1|＜5； (3)x ≤|y |≤2x .解 (1)由(x －y )(x －y －1)≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －y －1≤0，解得0≤x －y ≤1；或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x －y －1≥0，无解.故不等式表示的平面区域如图(1)所示. (2)由|3x ＋4y －1|＜5，得－5＜3x ＋4y －1＜5， 得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －6＜0，3x ＋4y ＋4＞0，故不等式表示的平面区域如图(2)所示.(3)当y ≥0时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤y ，y ≤2x ，x ≥0，点(x ，y )在第一象限内两条过原点的射线y ＝x (x ≥0)与y ＝2x (x ≥0)所表示的区域内. 当y ≤0时，由对称性作出另一半区域， 故不等式表示的平面区域如图(3)所示.13.(选做题)若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于P ，Q 两点，且P ，Q 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎨⎧kx －y ＋1≥0，kx －my ≤0，y ≥0表示的平面区域的面积是多少？解 P ，Q 关于直线x ＋y ＝0对称，故PQ 与直线x ＋y ＝0垂直，直线PQ 即为直线y ＝kx ＋1，故k ＝1；又线段PQ 为圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0的一条弦， 故该圆的圆心在线段PQ 的垂直平分线上， 即为直线x ＋y ＝0，又圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，－m 2，∴m ＝－k ＝－1，∴不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≤0，y ≥0.它表示的平面区域如图所示，是一个三角形，直线x －y ＋1＝0与x ＋y ＝0的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，∴S △＝12×1×12＝14. 故平面区域的面积为14.。
高中数学《3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域》导学案 新人教A版必修5
课题：3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（1）
班级： 组名： 姓名： 设计人：赵帅军 审核人：魏帅举 领导审批：
一．：自主学习，明确目标 1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表
示平面区域；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数
学建模的能力；
教学重点：用二元一次不等式（组）表示平面区域；
教学难点：用二元一次不等式（组）表示平面区域；
教学方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模
的能力；
二．研讨互动，问题生成
1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型
课本第82页的“银行信贷资金分配问题”
2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：
（2）二元一次不等式组
（3）二元一次不等式（组）的解集：
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
例1 画出不等式44x y +<表示的平面区域。
变式1、画出不等式1234≤-y x 所表示的平面区域。
变式2、画出不等式1≥x 所表示的平面区域。
例2 用平面区域表示.不等式组312
2y x x y <-+⎧⎨<⎩
的解集。
变式1、画出不等式04)(12(<+-++）y x y x 表示的平面区域。
变式2、由直线02=++y x ，012=++y x 和012=++y x 围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。
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结论:
不等式 x – y < 6 表示直线 x – y = 6左上方的平面区域；
注意：把直 线画成虚线 以表示区域 不包括边界!
不等式 x – y > 6 表示直线 x – y = 6右下方的平面区域.
二、新知探究
1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式： 含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式. （2）二元一次不等式组： 由几个二元一次不等式组成的不等式组. （3）二元一次不等式（组）的解集： 满足二元一次不等式（组）的有序实数对（x，y）构成的集合. 注：该解集可以看成直角坐标系内的点构成的集合.
口诀：同为上，异为下一般式
拓展探究：
请画出下列不等式表示的区域. (1) y x 1 (2) y x +1
你有什么发现？
能不能猜想出y>kx+b表示的是直线y=kx+b的哪一侧区域？ 同样，y<kx+b表示的又是直线y=kx+b的哪一侧区域？
(3) y x +1
判定方法4:
y>kx+b表示直线上方的平面区域； y<kx+b表示直线下方的平面区域.
O
y 1 4 x x+4y―4=0
直线定界，特殊点定域.
课堂练习: (1)画出不等式 x+y-1>0 表示的平面区域.
y
(2)画出不等式4x―3y≤12 表示的平面区域.
y
4x―3y-12=0 x
O O
x
x y 1 0
课堂练习:
（3）不等式3x + 2y – 6 ≤0表示的平面区域是（ ） D
3.3.1 二元一次不等
式（组）与平面区域
一、创设情境、引出新知
一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用
于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来
30000元的收益,其中从企业贷款中获益12%,从个
人贷款中获益10%.那么,信贷部应该如何分配资
金呢？
问题：这个问题中存在一些不等关系，应该 选用什么不等式模型来刻画呢？
口诀：上正下负一般式 （B>0）
强调：若B<0时则恰好结论相反;若B=0则最易判断.
三、理论迁移-------例题
例1：画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域 .
解：(1)直线定界:先画直线x + 4y – 4 = 0（画成虚线） (2)特殊点定域:取原点（0，0），代入x + 4y - 4， 因为 0 + 4×0 – 4 = -4 < 0 所以，原点在x + 4y – 4 < 0 表示的平面区域内，故不 等式x + 4y – 4 < 0表示的区 域如图所示. 直线定界，特殊点定域.
复习回顾： 求不等式组
x|3 x 4
x 3 0 的解集. x 4 0
一元一次不等式（组）的解集可以表示为——数轴上的区间.
类比思考：在平面直角坐标系内，二元一次不等 式（组）的解集是什么样的图形呢？
探究：
2、二元一次不等式（组）的解集表示的图形
研究一个具体的二元一次不等式 x y 6 的解集所表示的图形. 在平面直角坐标系中，作出 x y 6 的图象 ---一条直线.
直线叫做这两个区域的边界.
二元一次不等式解集表示相应直线的某一侧区域.
一般地：
二元一次不等式Ax + By + C＞0(或<0)在平面直
角坐标系中表示直线Ax + By + C = 0某一侧所有 点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界 直线）
注1：
不等式Ax By C 0(或 0)表示的平 面区域包括边界，把边界画成实线.
注2：直线定界，特殊点定域; 同侧同号, 异侧异号.
拓展探究：
判定方法2：当A>0时
Ax+By+C>0表示直线右方区域； Ax+By+C<0表示直线左方区域. 口诀：大为右，小为左一般式（A>0）
判定方法3：观察B与不等式的符号 若B的符号与不等式符号相同，则表示直线上方区域； 若B的符号与不等式符号相异，则表示直线下方区域.
A（x，y2） y
x–y=6
O
P（x，y 1）
x
y2 x 6
横坐标 x 点 P 的纵坐标 y1
-3 -2 -1
0
1
2
3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 点 A 的纵坐标 y2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3
思考：
(1)当点A与点P有相同的横坐标时，它们 的纵坐标有什么关系？
口诀：上大下小斜截式
拓展探究：
共同探讨：对于二元一次不等式 Ax+By+C＞0（A、B不同时为 0），如何确定其所表示的平面区域？ （注：由斜截式转化为一般式进行研究探讨或由一般式化归为斜 截式进行研究探讨，并作比较）
结论2：当B>0时
Ax+By+C>0表示直线上方区域； Ax+By+C<0表示直线下方区域.
y
Ax + By + C = 0
O
x
基本判定方法：直线Ax+By+C=0同一侧的所有点
(x,y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同，只需
在直线的某一侧任取一点(x0，y0)，根据Ax0+By0+C
的正负即可判断Ax+By+C>0(或<0)表示直线的哪
一侧区域 ------特殊点法.
若直线不过原点（即C≠0 ），常把原点（0,0）作为特殊点. 若直线经过原点（即C=0 ），常选（1，0）、（-1，0）、 （0，1）、(0, -1)等特殊点代入判断.
该直线把平面内所有点分成三类: a)在直线 x – y = 6 上的点； b)在直线 x – y = 6 左上方区域内的点； c)在直线 x – y = 6 右下方区域内的点. y
O
左上方区域 x–y=6
x
右下方区域
验证：设点P（x，y 1）是直线x – y = 6
上的点，选取点A（x，y2），使它的坐 标满足不等式 x – y < 6. 请完成下面的表格:
ygt;y1
O
P（x，y 1）
x
(2)直线x – y = 6左上方点的坐标与不等
式x – y < 6有什么关系？ 左上方点的坐标满足不等式x – y < 6
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 x – y < 6 的解
为坐标的点都在直线 x – y = 6 的左上方；反过来，直线