人教版高中数学,二元一次不等式(组)与平面区域

人教版高中数学同步练习
§3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
课时目标 1．了解二元一次不等式表示的平面区域． 2．会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．
1．二元一次不等式(组)的概念 含有两个未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式叫做二元一次不等式． 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组． 2．二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧 所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界． 不等式 Ax＋By＋C≥0 表示的平面区域包括边界，把边界画成实线． 3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定 (1)直线 Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入 Ax＋By＋C 所得的符号都相同． (2)在直线 Ax＋By＋C＝0 的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由 Ax0＋By0＋C 的符号可以断 定 Ax＋By＋C>0 表示的是直线 Ax＋By＋C＝0 哪一侧的平面区域．
y≥0
A．2 个
B．4 个
C．6 个
D．8 个
答案 C
解析 画出可行域后，可按 x＝0，x＝1，x＝2，x＝3 分类代入检验，符合要求的点有
(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共 6 个．
x＋y≥0， 5．在平面直角坐标系中，不等式组x－y＋4≥0， (a 为常数)表示的平面区域的面积
所表示的平面区域被直线 y＝kx＋ 43分为面积相等的两部
分，则 k 的值是( )
A.37
B.37
C.34
D.43
答案 A
解析 不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线
y＝kx＋43过定点0，34.因此只有直线过
AB
中点时，直线
y＝kx＋4能平分平面 3
区域．
因为 A(1,1)，B(0,4)，所以 AB 中点 M21，25.
当
y＝kx＋43过点21，25时，
5＝ 2
k＋ 2
4， 3
所以 k＝73.
二、填空题
△7． ABC 的三个顶点坐标为 A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，则△ABC 的内部及边界所
对应的二元一次不等式组是________________．
x＋2y－1≥0
答案 x－y＋2≥0
2x＋y－5≤0
平面区域为三角形．
1．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标 均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．
2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题． 3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定 x 的范
围，再逐一代入不等式组，求出 y 的范围最后确定整数解的个数．
S 四边形 ODEC＝△S OBC－△S BDE＝2－14＝74. 三、解答题
x≥3 11．利用平面区域求不等式组y≥2
的整数解．
6x＋7y≤50
解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．
把 x＝3 代入 6x＋7y≤50，得 y≤372，又∵y≥2， ∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)； 把 x＝4 代入 6x＋7y≤50， 得 y≤276， ∴整点有：(4,2)(4,3)． 把 x＝5 代入 6x＋7y≤50，得 y≤270， ∴整点有：(5,2)； 把 x＝6 代入 6x＋7y≤50，得 y≤2，整点有(6,2)； 把 x＝7 代入 6x＋7y≤50，得 y≤87，与 y≥2 不符． ∴整数解共有 7 个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)． 12．若直线 y＝kx＋1 与圆 x2＋y2＋kx＋my－4＝0 相交于 P、Q 两点，且 P、Q 关于直
5x－3y＋9≤0
区域 D 上的点，则 a 的取值范围是( )
A．(1,3]
B．[2,3]
C．(1,2]
D．[3，＋∞)
答案 A 解析 作出不等式组表示的平面区域 D，如图阴影部分所示．
由x3＋x－y－y＋131＝＝00，， 得交点 A(2,9)． 对 y＝ax 的图象，当 0<a<1 时，没有点在区域 D 上．
一、选择题
1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )
y≥－2 A.3x－2y＋6>0
x<0
y≥－2 B.3x－2y＋6≥0
x≤0
y>－2 C.3x－2y＋6>0
y>－2 D.3x－2y＋6<0
x≤0
x<0
答案 C
解析 可结合图形，根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行．由图
知所给区域的三个边界中，有两个是虚的，所以 C 正确．
kx－y＋1≥0 线 x＋y＝0 对称，则不等式组kx－my≤0 表示的平面区域的面积是多少？
y≥0
解 P、Q 关于直线 x＋y＝0 对称，故 PQ 与直线 x＋y＝0 垂直，直线 PQ 即是直线 y＝ kx＋1，故 k＝1；
又线段 PQ 为圆 x2＋y2＋kx＋my－4＝0 的一条弦，故该圆的圆心在线段 PQ 的垂直平分 线上，即为直线 x＋y＝0，－1<a≤0 解析 根据题意，分以下两种情况：
①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．
则aa>＋01≤0 .无解． ②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，
则aa≤ ＋01>0 ，∴－1<a≤0. 综上所述，－1<a≤0.
x≤0， 10．若A 为不等式组y≥0， 表示的平面区域，则当 a 从－2 连续变化到 1 时，动直
当 a>1，y＝ax 恰好经过 A 点时，由 a2＝9，得 a＝3.
要满足题意，
需满足 a2≤9，解得 1<a≤3.
x－y≥0，
2x＋y≤2， 14．若不等式组 y≥0，
x＋y≤a
表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是
______________． 答案 0<a≤1 或 a≥43
解析
不等式表示的平面区域如图所示，
解析
如图直线 AB 的方程为 x＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式写出)． 直线 AC 的方程为 2x＋y－5＝0， 直线 BC 的方程为 x－y＋2＝0， 把(0,0)代入 2x＋y－5＝－5<0， ∴AC 左下方的区域为 2x＋y－5<0.
x＋2y－1≥0 ∴同理可得△ABC 区域(含边界)为x－y＋2≥0 .
∴m＝－k＝－1，
x－y＋1≥0
∴不等式组为x＋y≤0
，
y≥0
它表示的区域如图所示，直线 x－y＋1＝0 与 x＋y＝0 的交点为(－2，1 )21，∴△S ＝2×1 1×21 ＝14.故面积为14.
能力提升
x＋y－11≥0， 13．设不等式组3x－y＋3≥0， 表示的平面区域为 D.若指数函数 y＝ax 的图象上存在
答案 B 解析 不等式(x－y)(x＋2y－2)>0 等价于不等式组
(Ⅰ)xx－ ＋y2>y－0，2>0 或不等式组(Ⅱ)xx－＋y2<y－0，2<0. 分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并 集，可得正确答案为 B.
4x＋3y≤12， 4．不等式组x－y>－1， 表示的平面区域内整点的个数是( )
2．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线 3x＋y－a＝0 的两侧，则 a 的取值范围是( )
A．(－1,6)
B．(－6,1)
C．(－∞，－1)∪(6，＋∞)
D．(－∞，－6)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0，
即(a＋1)(a－6)<0，∴－1<a<6.
3．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0 的点(x，y)所在的区域为( )
当
x＋y＝a
过
A32，32时表示的区域是△AOB，此时
a＝
4； 3
当 a>3时，表示区域是△4 AOB；
当 x＋y＝a 过 B(1,0)时表示的区域是△DOB，此时 a＝1；
当 0<a<1 时可表示三角形；
当 a<0 时不表示任何区域，当 1<a< 43时，区域是四边形．故当0<a≤1 或 a≥ 43时表示的
y－x≤2
线 x＋y＝a 扫过 A 中的那部分区域的面积为________．
答案
7 4
解析
如图所示，区域 A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当 a 从－2 连 续变化到 1 时扫过的区域为四边形 ODEC 所围成的区域．
又 D(0,1)，B(0,2)，
E－21，23，C(－2,0)．
x≤a
是 9，那么实数 a 的值为( )
A．3 2＋2 C．－5 答案 D
B．－3 2＋2 D．1
解析 区域如图， 易求得 A(－2,2)，B(a，a＋4)， C(a，－a)．
△S ABC＝12|BC|·|a＋2|＝(a＋2)2＝9，由题意得 a＝1.
x≥0， 6．若不等式组x＋3y≥4，
3x＋y≤4
2x＋y－5≤0
8．已知 x，y 为非负整数，则满足 x＋y≤2 的点(x，y)共有________个． 答案 6
x∈N 解析 由题意点 (x，y)的坐标应满足 y∈N
x＋y≤2
(2,0)(0,1)(0,2)(1,1)6 个．
，由图可知，整数点有 (0,0)，(1,0)，
9．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式 2x－y＋a>0 表示的平面区域内，则 a 的取值 范围为________．