第九章 压杆稳定新 材料力学

边界条件
( c)
Fcr
A
x 0, w 0 x L, w 0
由公式(c)，得 w
B x m
l
m
B0
A sin kl 0
y
讨论： 若 A 0, w 0 则必须 sin kl 0 kl n ( n 1,2,3,...)
最小解 kl＝π 相应于最小的临界力，这是工程上最关心的
Fcr A
本节以两端球形铰支(简称
两端铰支)的细长中心受压杆件
为例，按照对于理想中心压杆
来说临界力就是杆能保持微弯
状态时的轴向压力这一概念，
B
来导出求临界力的欧拉公式。
x Fcr 在图示微弯状态下，两端铰支
压杆任意x截面的挠度为w，该截面 A
上的弯矩为 M(x)=Fcrw 。 杆的挠曲线近似微分方程为 m x y Fcr
第九章 压杆稳定
§9-1
§9-2
压杆稳定性的概念
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
§9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的
欧拉公式· 压杆的长度因数 §9-4 欧拉公式的应用范围· 临界应力总图 §9-5 实际压杆的稳定因数 §9-6 压杆的稳定计算· 压杆的合理截面
§9–1 压杆稳定性的概念
一、引言
2E cr 2 P
2E E P P
令 P
E
P
P
通常把≥p的压杆，称为大柔度压杆或细长压杆。
可以应用欧拉公式求临界力Fcr和临界应力 cr 。 把<p的压杆，称为小柔度压杆。
不能应用欧拉公式的压杆，需要用经验公式求得。 P 的大小取决于压杆材料的力学性能。 例如，对于Q235钢，取 E=206GPa，P=200MPa，得
需要指出的是，由于实际
压杆都有初弯曲，偶然偏心和 材质不匀，所以从实验数据来 分析，可以应用欧拉公式求临 界力的最小柔度比这里算得的
p要大一些。
四、折减弹性模量理论
小柔度压杆的不同杆端约束下的临界力和临界应力可
以采用折减弹性模量理论。 临界应力
σcr
折减弹性模量公式
cr
σp
E 欧拉公式 cr 2
四、稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡的概念
不稳定平衡
稳定平衡
随遇平衡
五、实际的受压杆件和理想的中心受压直杆 1、实际的受压杆件：
a. 其轴线并非理想的直线而存在初弯曲;
b. 作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心;
c. 材料性质并非绝对均匀;
因此，实际的受压杆件在轴向压力作用下会发生 弯曲变形，且由此引起的侧向位移随轴向压力的 增大而更快地增大。
临界力。 由kl＝有
Fcr 2 Fcr 2 l π l π 亦即 EI EI
两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：
π 2 EI Fcr 2 l
此公式的应用条件： 1.理想中心受压直杆
2.线弹性范围内 3.两端为铰支座
§9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式· 压杆的长度因数
l
2l
Fcr
2 EI
(0.5l ) 2
Fcr
2 EI
( 2l )2
表9—1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况 两端铰支 一端固定,另一端铰支 两端固定 一端固定,另一端自由 临界力的欧拉公式 长度因数
Fcr
Fcr
2 EI
EI
2
l
2
=1 = 0.7 = 0.5 =2
I 为压杆横截面对中性轴的惯性半径 因 i A Fcr 2 EI 2E 2 2E 故 cr 2 2 i 2 A ( l ) A ( l ) ( l / i )
令

l
i
E cr 2
2
称为压杆的 柔度（长细比），集中地反映了 压杆的长度、杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素
一、临界应力的欧拉公式
为了对压杆的工程实际问题进行系统的分析研究，以下将
引入临界应力(critical force)的概念。
所谓临界应力就是在临界压力的作用下，压杆横截面上的 平均正应力。 若假设压杆的横截面面积为A，则其临界应力为
cr
Fcr 2 EI A ( l )2 A
Fcr 2 EI cr A ( l )2 A
第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为 FN max max [ ] A 例 一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm1mm。钢的许用应力为[]=196MPa。 按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向 压力为 [F] = A[] = 3.92 kN 实际上,当轴向压力达到40N时,钢板尺就 突然发生明显的弯曲变形,丧失了承载能力。
料及直径相等。问哪个杆先失稳。
F F
F
a
A
1.3 a B
1. 6 a
C
d
F
F
F
a
A
1.3 a B
1. 6 a
C
d
解： 杆A
杆B
2
l 2a
1
0.7
l 1.3a
l 0.7 1.6a 1.12a
杆C
A杆先失稳
例题2 压杆截面如图所示。两端为柱形铰链约束，若绕 y 轴
不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式
可以通过上一节的方法推导。
公式如下：
1、两端铰支
2、一端固定,另一端铰支 Fcr
Fcr
l
C B
0.7l
l
0.3l
2
Fcr
EI
l2
EI Fcr (0.7l )2
2
3、两端固定 Fcr
4、一端固定 一端自由 Fcr
l/4 l/2 l/4 ll
对临界应力的影响。
E cr 2
2
Fcr A cr
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。 若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件 不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度 ，并按较大者计算压杆的临界应力 cr 。
二、欧拉公式的应用范围
在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料 在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公 式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限p 的情况。
cr
临界应力不超过材料的比例极限.
S
P
cr a1 b1
2
（2）小柔度杆
临界应力超过材料的比例极 限。截面上某些部分已进入 塑性状态。 （3）当压杆柔度很小时
2E cr 2
O
S
P

cr S
此时杆不发生失稳，而发生 强度破坏。
例题1
图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材
案例2、 1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼,由于
盲目扩建,加层,致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破 坏,大楼倒塌,死502人，伤930人，失踪113人.
案例3、 2000年10月25日上午10
时南京电视台演播中心由于脚手 架失稳，造成屋顶模板倒塌,死6 人,伤34人。
研究压杆稳定性问题 尤为重要
2
例题3 外径 D = 50 mm，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰
支，材料为 Q235钢，承受轴向压力 F。试求：能用欧拉公
式时压杆的最小长度。 解：能用欧拉公式时压杆的最小长度
P
压杆 = 1
E
PБайду номын сангаас
100
横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
(1) 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩。 x 取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力。
(2) 若杆端在各个方向的约束情况不同（如 柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳 时的临界压力。I 为其相应中性轴的惯性 矩。 即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力。 然后取小的一个作为压杆的临界压力。 y z
iz
Iz 0.0087m A
z
y
u y 0.5
uz 1
uz l z 115 iz
30mm
uyl y 86 iy
因为 z > y , 所以压杆绕 z 轴先失稳，且 z =115 > P，用 欧拉公式计算临界力。
E cr 2 149 MPa z
P
E
P
206 109 100 6 200 10
所以，对于Q235钢，只有当其柔度 ≥100，才能按欧拉 公式计算其临界力。
三、欧拉临界应力曲线
图中用实线示出了欧拉公
2E cr 2
式应用范围内(≥p)的cr -曲
线，它是一条双曲线，称为欧 拉临界应力曲线。
F
理想的中心受压直杆的稳定性
F Fcr — 稳定平衡状态 F Fcr — 临界平衡状态 F Fcr — 不稳定平衡状态
Fcr是压杆由稳定平衡变为不稳定平衡的临界力。
判断中心受压直杆是否稳定？
F Fcr
判断中心受压直杆是否稳定的关键： 确定压杆的临界力Fcr
§9-2 两端铰支的细长中心受压直杆临界力 的欧拉公式
注意：
( c)
边界条件只有两个，即x=0，w=0 和 x=l，w=0，显然 这不可能求出全部三个未知量。 这种不确定性是由F = Fcr时杆可在任意微弯状态下保 持平衡决定的。 事实上，对于所研究的问题来说只要能从(c)式求出与 临界力相关的未知常数k 就可以了。
x
w A sin kx B cos kx
(0.7 l )2
Fcr