专题3：圆锥曲线中的定值定点问题(解析版)
2022年高考数学专题圆锥曲线中的“三定问题”(定点、定值、定直线)
圆锥曲线中的“三定问题”（定点、定值、定直线）1．定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.2．定点问题解决步骤：①设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；②根与系数关系列出两根和及两根积；③写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；④整理③所得表达式探求其恒成立的条件．3．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．4．存在型定值问题的求解，解答的一般思路如下：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．5．求定线问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 到 0,1F 的距离比它到直线2y 的距离小1． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线与曲线C 交于A ，B 两点， 2,1Q ，记直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：1211k k为定值．2．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）过点P（1，1）作两条动直线l1，l2分别交抛物线于点A，B，C，D．设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆的公共弦所在直线为m，试判断直线m是否经过定点，并说明理由．3．已知椭圆22221(0)x y a b a b 的一个焦点到双曲线2212x y 渐近线的距离为3，且点2M 在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC 、BD 过原点O ，直线AC 和BD 的斜率之积－22b a，证明：四边形ABCD 的面积为定值．4．已知点(1,2)P 在抛物线2:2C y px 上，过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A 、B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO ，QN QO uuu r uuu r ，试判断11+ 是否为定值，若是，求11+ 值；若不是，求11+的取值范围．5．已知双曲线的对称中心在直角坐标系的坐标原点，焦点在坐标轴上，双曲线的一条渐近线的方程为4,6，过双曲线上的一点P（P在第一象限）作斜率不为l，l与直线y ，且双曲线经过点x 交于点Q且l与双曲线有且只有一个交点．1（1）求双曲线的标准方程；（2）以PQ为直径的圆是否经过一个定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．6．已知双曲线C ：22221x y a b 0,0a b 的两条渐近线互相垂直，且过点D．（1）求双曲线C 的方程；（2）设P 为双曲线的左顶点，直线l 过坐标原点且斜率不为0，l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线m 过x 轴上一点Q （异于点P ），且与直线l 的倾斜角互补，m 与直线PA ，PB 分别交于,M N （,M N 不在坐标轴上）两点，若直线OM ，ON 的斜率之积为定值，求点Q 的坐标．7．已知椭圆2222:1x y C a b，离心率为12，过椭圆左焦点1F 作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点，直线m 的方程为2x a ，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）①求证线段EN 必过定点P ，并求定点P 的坐标；②点O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值．22a b 122一点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设(,)R s t 是椭圆C 上的一动点，由原点O 向22()()4x s y t 引两条切线，分别交椭圆C 于点,P Q ，若直线,OP OQ 的斜率均存在，并分别记为12,k k ，求证：12k k 为定值．22a b 12221:()1F x c y 与圆222:()9F x c y 相交，两圆交点在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 不经过 0,1P 点且与椭圆E 相交于,A B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率之和为2 ，证明：直线l 过定点．10．已知抛物线2:4C y x 的焦点为F ，斜率为k 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，与x 轴交于 ,0P a （1）当1k ，3a 时．求AF BF 的值；（2）当点P 、F 重合时，过点A 的圆 2220x y r r 与抛物线C 交于另外一点D ．试问直线BD 是否过x轴上的定点Q ？若是，请求出点Q 坐标；若不是，请说明理由．11．已知抛物线22(0)y px p 上一点 4,t 到其焦点的距离为5． （1）求p 与t 的值；（2）过点 21M ,作斜率存在的直线l 与拋物线交于,A B 两点（异于原点O ），N 为M 在x 轴上的投影，连接AN 与BN 分别交抛物线于,P Q ，问：直线PQ 是否过定点，若存在，求出该定点，若不存在，请说明理由．12．已知抛物线 21:20C y px p 的焦点是椭圆 22222:10x y C a b a b的右焦点，且两条曲线的一个交点为 000,2p E x y x，若E 到1C 的准线的距离为53，到2C 的两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右顶点的两条直线1l ，2l 分别与抛物线1C 相交于点A ，C ，点B ，D ，且12l l ，M 是AC 的中点，N 是BD 的中点，证明：直线MN 恒过定点．13．已知抛物线C ： 220y px p 的焦点到准线的距离是12．（1）求抛物线方程；（2）设点 ,1P m 是该抛物线上一定点，过点P 作圆O ： 2222x y r （其中01r ）的两条切线分别交抛物线C 于点A ，B ，连接AB ．探究：直线AB 是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说明理由．14．已知抛物线 2:20C y px p 的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，OMF 是以OF 为底边的等腰三角形，且OMF 的面积为 （1）求抛物线C 的方程．（2）过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，试判断直线PQ 是否过定点．若是，求出所过定点的坐标；若否，请说明理由．15．如图，已知抛物线 2:20C y px p 与圆 22:412M x y 相交于A ，B ，C ，D 四点．（1）若8OA OD ，求抛物线C 的方程；（2）试探究直线AC 是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．16．已知抛物线 2:20C y px p 上一点01,4y到焦点的距离为54．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若点A ，B 为抛物线位于x 轴上方不同的两点，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且满足1212444k k k k ，求证：直线AB 过定点．17．如图，已知抛物线2:2(0)C y px p 与圆22:(4)12M x y 相交于A ，B ，C ，D 四点． （1）若以线段AD 为直径的圆经过点M ，求抛物线C 的方程；（2）设四边形ABCD 两条对角线的交点为E ，点E 是否为定点？若是，求出点E 的坐标；若不是，请说明理由．18．设双曲线22221x y a b ，其虚轴长为（1）求双曲线C 的方程；（2）过点 3,1P 的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点A 、B ，在线段AB 上取点M 使得AM APMB PB，证明：点M 落在某一定直线上．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b 的左右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，离心率为e ，且点(e ，3)，b )都在双曲线C 上． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若A ，B 是双曲线C 上位于x 轴上方的两点，且AF 1//BF 2．证明：1211AF BF 为定值．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b2，1F ，2F为其左右焦点，Q 为其上任一点，且满足120QF QF，122QF QF ．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知M ，N 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，点P 是C 上异于M ，N 的任意一点，直线PM 、PN 分别交x 轴于点T 、S ，试问：||||OS OT 是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中O 是坐标原点）．21．已知双曲线 2222:10,0x y C a b a b ，四点13M ， 2M ，32,3M ，43M中恰有三点在C 上． （1）求C 的方程；（2）过点 3,0的直线l 交C 于P ，Q 两点，过点P 作直线1x 的垂线，垂足为A ．证明：直线AQ 过定点．22．已知动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线:4l x 的距离之比为12，记P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线与曲线C 交于,A B 两点，,R Q 分别为曲线C 与x 轴的两个交点，直线,AR BQ 交于点N ，求证：点N 在定直线上．23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22210xy a a的左右顶点为A ，B ，上顶点K 满足3AK KB ．（1）求C 的标准方程：（2）过点 1,0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．设直线MA 和直线NB 相交于点P ，直线NA 和直线MB 相交于点Q ，直线PQ 与x 轴交于S ．①求直线PQ 的方程； ②证明：SP SQ 是定值．24．已知椭圆C ： 222210x y a b a b ，左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，四边形1122A B A B 的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点 0,1D 且斜率存在的直线与椭圆相交于E ，F 两点，证明：直线2EB ，1FB 的交点G 在一定直线上，并求出该直线方程．25．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b的左，右顶点分别为A 、B ，点F 是椭圆的右焦点，3AF FB uu u r uu r ，3AF FB． （1）求椭圆C 的方程；（2）不过点A 的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，记直线l 、AM 、AN 的斜率分别为k 、1k 、2k ．若 121k k k ，证明直线l 过定点，并求出定点的坐标．26．已知O 为坐标原点，椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b 的右顶点为A ，动直线1:(1)l y x m 与相交于,B C 两点，点B 关于x 轴的对称点为B ，点B 到 的两焦点的距离之和为4．（1）求 的标准方程；（2）若直线B C 与x 轴交于点M ，,OAC AMC 的面积分别为12,S S ，问12S S 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．。
圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题(解析)
圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E ：x +1 2+y 2=16，点F 1,0 ，G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程；(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l ：x =4交于P ，Q ，已知点A 2,0 ，且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)经过定点，定点坐标为1,0 【分析】(1)利用椭圆的定义即可求出动点H 的轨迹Γ的方程；(2)设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为：x =my +n ，与椭圆方程联立，根据韦达定理列出x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系，再利用两点式写出直线MA 的方程，求出点P 4,2y 1x 1-2 ，Q 4,2y 2x 2-2，再写出以PQ 为直径的圆的方程，根据圆的方程经过点T 7,0 ，得到关系式，进而求得n 为定值，从而得到直线MN 过定点.【详解】(1)如图所示，∵HE +HF =HE +HG =4，且EF =2<4，∴点H 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆，设椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1，则2a =4，c =1，∴a =2，b =a 2-c 2= 3.所以点H 的轨迹方程为：x 24+y 23=1.(2)设直线MN 的方程为：x =my +n ，由x 24+y 23=1x =my +n ，得3m 2+4 y 2+6mny +3n 2-12=0设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-6mn 3m 2+4，y 1y 2=3n 2-123m 2+4.所以，x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =8n 3m 2+4，x 1x 2=my 1+n my 2+n =-12m 2+4n 23m 2+4因为直线MA 的方程为：y =y 1x 1-2x -2 ，令x =4，得y P =2y 1x 1-2，所以，P 4,2y 1x1-2 ，同理可得Q 4,2y 2x 2-2，以PQ 为直径的圆的方程为：x -4 2+y -2y 1x 1-2 y -2y 2x 2-2=0，即x -4 2+y 2-2y 1x 1-2+2y 2x 2-2y +2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，因为圆过点7,0 ，所以，9+2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，得9+4y 1y 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4=0，代入得9+12n 2-483m 2+4-12m 2+4n 23m 2+4-16n3m 2+4+4=0，化简得，9+12n 2-484n 2-16n +16=04n 2-16n +16≠0,n ≠2 ，解得n =1或n =2(舍去)，所以直线MN 经过定点1,0 ，当直线MN 的斜率为0时，此时直线MN 与x 轴重合，直线MN 经过点1,0 ，综上所述，直线MN 经过定点1,0 .2已知点A (2,0)，B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B )，过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)根据椭圆所经过的点列方程求出其方程；(2)设出CD 方程，结合韦达定理和P 是CQ 中点的条件，找到直线CD 中两个参数的关系，从而求出定点.【详解】(1)由题知a =2，又椭圆经过B -65,-45 ，代入可得14-652+1b2-452=1，解得b 2=1，故椭圆的方程为：x 24+y 2=1(2)由题意知，当l ⊥x 轴时，不符合题意，故l 的斜率存在，设l 的方程为y =kx +m ，联立y =kx +m x 24+y 2=1消去y 得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0，则Δ=64k 2m 2-16m 2-1 4k 2+1 =164k 2-m 2+1 >0，即4k 2+1>m 2设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1AB 的方程为y =14(x -2)，令x =x 1得P x 1,x 1-24 ，AD 的方程为y =y 2x 2-2(x -2)，令x =x 1得Q x 1,x 1-2x 2-2y 2，由P 是CQ 中点，得x 1-22=y 1+x 1-2x 2-2⋅y 2，即y 1x 1-2+y 2x 2-2=12，即kx 1+m x 2-2 +kx 2+m x 1-2 =12x 1x 2-2x 1+x 2 +4 ，即(1-4k )x 1x 2+(4k -2m -2)x 1+x 2 +4+8m =0，即4m 2+(16k +8)m +16k 2+16k =0，所以(m +2k )(m +2k +2)=0，得m =-2k -2或m =-2k ，当m =-2k -2，此时由Δ>0，得k <-38，符合题意；当m =-2k ，此时直线l 经过点A ，与题意不符，舍去.所以l 的方程为y =kx -2k -2，即y =k (x -2)-2，所以l 过定点(2,-2).3如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．【答案】(1)C :x 24+y 22=1；(2)存在定点T 23,0 使TH 为定值，理由见解析.【分析】(1)根据离心率，椭圆上点及参数关系列方程组求a ,b ,c ，即可得椭圆方程；(2)根据题意设BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立椭圆方程求P ,Q 坐标，判断直线PQ 过定点，结合BH ⊥PQ 于H 确定H 轨迹，进而可得定点使得TH 为定值.【详解】(1)由题意c a =222a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，可得a 2=4b 2=c 2=2 ，则椭圆方程为C :x 24+y 22=1；(2)若直线BQ 斜率为k ，则直线AP 斜率为2k ，而A (-2,0),B (2,0)，所以BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立BQ 与椭圆C ，则x 2+2k 2(x -2)2=4，整理得(1+2k 2)x 2-8k 2x +8k 2-4=0，所以2x Q =8k 2-41+2k 2，则x Q =4k 2-21+2k 2，故y Q =-4k1+2k 2，联立AP 与椭圆C ，则x 2+8k 2(x +2)2=4，整理得(1+8k 2)x 2+32k 2x +32k 2-4=0，所以-2x P =32k 2-41+8k 2，则x P =2-16k 21+8k 2，故y P=8k 1+8k 2，综上，x Q -x P =4k 2-21+2k 2-2-16k 21+8k 2=64k 4-4(1+8k 2)(1+2k 2)，y Q -y P =-4k 1+2k 2-8k 1+8k 2=-12k +48k 31+8k 2 1+2k 2，当64k 4-4≠0，即k ≠±12时，k PQ =12k (1+4k 2)4(1-16k 4)=3k1-4k 2，此时PQ :y +4k 1+2k 2=3k 1-4k 2x +2-4k 21+2k 2=3k 1-4k 2x +6k -12k 3(1+2k 2)(1-4k 2)，所以PQ :y =3k 1-4k 2x +2k 1-4k 2=k 1-4k 2(3x +2)，即直线PQ 过定点-23,0 ；当64k 4-4=0，即k =±12时，若k =12，则x Q =-23且y Q =-43，x P =-23且y P =43，故直线PQ 过定点-23,0 ；若k =-12，则x Q =-23且y Q =43，x P =-23且y P =-43，故直线PQ 过定点-23,0 ；综上，直线PQ 过定点M -23,0 ，又BH ⊥PQ 于H ，易知H 轨迹是以BM 为直径的圆上，故BM 的中点23,0 到H 的距离为定值，所以，所求定点T 为23,0 .【点睛】关键点点睛：第二问，设直线BQ ，AP 联立椭圆，结合韦达定理求点P ,Q 坐标，再写出直线PQ 方程判断其过定点是关键.4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是C 的右、上顶点，且AB =7，D 是C 上一点，△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程；(2)C 的弦DE 过F 1，直线AE ，AD 分别交直线x =-4于M ，N 两点，P 是线段MN 的中点，证明：以PD 为直径的圆过定点.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据椭圆的定义结合三角形不等式求解即可；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，联立直线与椭圆的方程，根据过两点圆的方程，结合图形的对称性可得定点在x 轴上，代入韦达定理求解即可.【详解】(1)依题意，a 2+b 2=7，△BF 2D 周长DB +DF 2 +a =DB +2a -DF 1 +a ≤BF 1 +3a =4a ，当且仅当B ,F 1,D 三点共线时等号成立，故4a =8，所以a 2=4,b 2=3，所以C 的方程x 24+y 23=1；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，代入x 24+y 23=1，整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0，Δ=36m 2+363m 2+4 >0，y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4，易知AD :y =y 1x 1-2x -2 ，令x =-4，得N -4,-6y 1x 1-2 ，同得M -4,-6y 2x 2-2，从而中点P -4,-3y 1x 1-2+y 2x 2-2，以PD 为直径的圆为x +4 x -x 1 +y +3y 1x 1-2+y 2x 2-2y -y 1 =0，由对称性可知，定点必在x 轴上，令y =0得，x +4 x -x 1 -3y 1y 1x 1-2+y 2x 2-2=0，y 1x 1-2+y 2x 2-2=y 1my 1-3+y 2my 2-3=2my 1y 2-3y 1+y 2 m 2y 1y 2-3m y 1+y 2 +9=-18m3m 2+4-18m 3m 2+4-9m 23m 2+4-18m 23m 2+4+9=-36m36=-m ，所以x +4 x -x 1 +3my 1=0，即x 2+4-x 1 x -4x 1+3my 1=0，因为x 1=my 1-1，所以x 2+5-my 1 x -my 1+4=0，即x +1 x -my 1+4 =0，解得x =-1，所以圆过定点-1,0 .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2，x 1x 2(或y 1+y 2，y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)7-354,0 (2)存在定点D (4,0)【分析】(1)由题意，根据椭圆的定义以及a 2=b 2+c 2，列出等式即可求出椭圆C 的方程，判断△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于点T ，此时T 为△APQ 的内心，进行求解即可；(2)设直线l 方程为y =k (x -t )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线l 的方程与椭圆方程联立，得到根的判别式大于零，由点M 、R 、N 、D 均在直线l 上，得到MR ⋅ND =MD ⋅RN，此时2t -(1+t )(x 1+x 2)+2x 1x 2=0，结合韦达定理求出t =4，可得存在定点D (4,0)满足题意．【详解】(1)∵a 2=b 2+c 2,2b 2a=a +c =3∴a =2,b =3,c =1∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1，不妨取P 1,32 ,Q 1,-32 ,A (-2,0)，则AP =352,PF =32；因为△APQ 中，AP =AQ ，所以△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于T ，则T 为△APQ 的内心，且AT TF =AP PF =5=AT 3-AT ，所以AT =355+1，则T 7-354,0 ；(2)∵椭圆和弦PQ 均关于x 轴上下对称．若存在定点D ，则点D 必在x 轴上∴设D (t ,0)当直线l 斜率存在时，设方程为y =k (x -t ),M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线方程与椭圆方程联立y =k (x -t )x 24+y 23=1，消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2tx +4k 2t 2-3 =0，则Δ=48k 2+3-k 2t 2>0,x 1+x 2=8k 2t4k 2+3,x 1x 2=4k 2t 2-3 4k 2+3①∵点R 的横坐标为1，M 、R 、N 、D 均在直线l 上，MR ⋅ND =MD ⋅RN∴1+k 2 1-x 1 t -x 2 =1+k 2 t -x 1 x 2-1∴2t -(1+t )x 1+x 2 +2x 1x 2=0∴2t -(1+t )8k 2t 4k 2+3+2×4k 2t 2-3 4k 2+3=0，整理得t =4，因为点D 在椭圆外，则直线l 的斜率必存在．∴存在定点D (4,0)满足题意【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)x 24-y 23=1(2)证明见解析，定点为(-2,3).【分析】(1)由点到直线的距离公式求出b =3，再将点P 4,3 代入双曲线方程求出a 2=4，可得双曲线E 的标准方程；(2)联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得x 1+x 2、x 1x 2，再根据斜率和为1列式，推出t =2k +3，从而可得直线y =kx +t 过定点(-2,3).【详解】(1)设F 1(-c ,0)(c >0)到渐近线y =bax ，即bx -ay =0的距离为3，则3=|-bc |b 2+a2，结合a 2+b 2=c 2得b =3，又P (4,3)在双曲线x 2a 2-y 23=1上，所以16a2-93=1，得a 2=4，所以双曲线E 的标准方程为x 24-y 23=1.(2)联立y =kx +tx 24-y 23=1，消去y 并整理得3-4k 2 x 2-8ktx -4t 2-12=0，则3-4k 2≠0，Δ=64k 2t 2+4(3-4k 2)(4t 2+12)>0，即t 2+3>4k 2，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=8kt 3-4k 2，x 1x 2=-4t 2+123-4k 2，则k PA +k PB =y 1-3x 1-4+y 2-3x 2-4=kx 1+t -3x 1-4+kx 2+t -3x 2-4=kx 1+t -3 x 2-4 +kx 2+t -3 x 1-4 x 1-4 x 2-4=2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24x 1x 2-4(x 1+x 2)+16=1，所以2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24=x 1x 2-4(x 1+x 2)+16，所以2k -1 x 1x 2+t -4k +1 x 1+x 2 -8t +8=0，所以-2k -1 4t2+123-4k 2+t -4k +1 ⋅8kt3-4k2-8t +8=0，整理得t 2-6k +2kt -6t -8k 2+9=0，所以(t -3)2+2k (t -3)-8k 2=0，所以t -3-2k t -3+4k =0，因为直线y =kx +t 不过P (4,3)，即3≠4k +t ，t -3+4k ≠0，所以t -3-2k =0，即t =2k +3，所以直线y =kx +t =kx +2k +3，即y -3=k (x +2)过定点(-2,3).【点睛】关键点点睛：利用韦达定理和斜率公式推出t =2k +3是解题关键.2双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且△ABD 是直角三角形.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2，且MN 的中垂线为直线l ，是否存在半径为1的定圆E ，使得l 被圆E 截得的弦长为定值，若存在，求出圆E 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E :(x -8)2+y 2=1【分析】(1)根据双曲线的性质，结合△ABD 是等腰直角三角形的性质，列出关系式即可求解双曲线方程；(2)首先利用点差法求出直线l 所过的定点，即可求出定圆的方程.【详解】(1)依题意，∠BAD =90°，焦半径c =2，当x =c 时，c 2a 2-y 2b 2=1，得y 2=b 2c 2a 2-1=b 4a2，即y =±b 2a ，所以BF =b 2a ，由AF =BF ，得a +c =b 2a，得a 2+2a =22-a 2，解得：a =1(其中a =-2<0舍去)，所以b 2=c 2-a 2=4-1=3，故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1；(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,MN 的中点为Q x 0,y 0 因为M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2.所以x 21-y 213=1,①x 22-y 223=1,②x 0=x 1+x 22=2,③y 0=y 1+y 22,④.①-②得x 1+x 2 x 1-x 2 -y 1+y 2 y 1-y 23=0，当k MN 存在时，k MN =y 1-y2x 1-x 2=3x 1+x 2 y 1+y 2=3×42y 0=6y 0，因为MN 的中垂线为直线l ，所以y -y 0=-y 06x -2 ，即l :y =-y 06x -8 ，所以l 过定点T 8,0 .当k MN 不存在时，M ,N 关于x 轴对称，MN 的中垂线l 为x 轴，此时l 也过T 8,0 ，所以存在以8,0 为圆心的定圆E :(x -8)2+y 2=1，使得l 被圆E 截得的弦长为定值2.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线相交的综合应用，本题的关键是求得直线所过的定点，因为半径为1，所以定圆圆心为定点，弦长就是直径.3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，右顶点分别为F ，A ，B 0,b ，AF =1，点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，O 为坐标原点.(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E 12,0 【分析】(1)由AF =1，BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，求得a ,b ,c 之间的关系式，解得a ,b 的值，进而求出双曲线的方程；(2)设直线PQ 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得EF 为∠PEQ 的角平分线，可得直线EP ,EQ 的斜率之和为0，整理可得参数的值，即求出E 的坐标．【详解】(1)设c 2=a 2+b 2c >0 ，所以F c ,0 ，A a ,0 ，B 0,b ，因为点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，所以点M 33+1a ,13+1b，因为直线OM 的斜率为1，所以13+1b 33+1a =1，所以ba=3，因为AF =1，所以c -a =1，解得a =1，b =3，c =2.所以双曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)假设在x 轴上存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，当直线l 的斜率不存在时，E 在x 轴上任意位置，都有EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ；当直线l 的斜率存在且不为0时，设E t ,0 ，直线l 的方程为x =ky +2，直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，则-33<k <33且k ≠0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，由x 2-y 23=1x =ky +2 ，得3k 2-1 y 2+12ky +9=0，3k 2-1≠0，Δ=36k 2+36>0，所以y 1+y 2=-12k 3k 2-1，y 1y 2=93k 2-1，因为EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ，即EP EQ=FP FQ，所以EF 平分∠PEQ ，k EP +k EQ =0，有y 1x 1-t +y 2x 2-t =0，即y 1ky 1+2-t +y 2ky 2+2-t=0，得2ky 1y 2+2-t y 1+y 2 =0，所以2k93k 2-1+2-t -12k 3k 2-1=0，由k ≠0，解得t =12.综上所述，存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，且E 12,0.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF=0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.【答案】(1)x 24-y 2=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件，设出双曲线C 的方程，再将点A 的坐标代入求解作答.(2)当直线EF 斜率存在时，设出其方程并与双曲线C 的方程联立，由给定的数量积关系结合韦达定理求得直线EF 过定点，再验证斜率不存在的情况，进而推理判断作答.【详解】(1)依题意，设双曲线C 的方程为x 212-y 23=λ(λ≠0)，而点A (22,-1)在双曲线C 上，于是λ=(22)212-(-1)23=13，双曲线C 的方程为x 212-y 23=13，即x 24-y 2=1，所以双曲线C 的标准方程为x24-y 2=1.(2)当直线EF 斜率存在时，设直线EF 的方程为：y =kx +m ，设E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ，由y =kx +mx 2-4y 2=4消去y 并整理得4k 2-1 x 2+8kmx +4m 2+1 =0，有4k 2-1≠0，且Δ=(8km )2-16(m 2+1)(4k 2-1)>0，即4k 2-1≠0且4k 2-m 2-1<0，有x 1+x 2=-8km 4k 2-1,x 1x 2=4m 2+44k 2-1，又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，DE =(x 1-2,y 1),DF =(x 2-2,y 2)，由DE ·DF =0，得x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0，整理得k 2+1 ⋅x 1x 2+(km -2)⋅x 1+x 2 +m 2+4=0，于是k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+(km -2)⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0，化简得3m 2+16km +20k 2=0，即(3m +10k )(m +2k )=0，解得m =-2k 或m =-103k ，均满足条件，当m =-2k 时，直线EF 的方程为y =k (x -2)，直线EF 过定点(2,0)，与已知矛盾，当m =-103k 时，直线EF 的方程为y =k x -103 ，直线EF 过定点M 103,0 ；当直线EF 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE 的方程为：y =x -2，由y =x -2x 2-4y 2=4解得x =2或x =103，因此点E ,F 的横坐标x E ,x F 有x E =x F =103，即直线EF 过定点M 103,0 ，综上得直线EF 过定点M 103,0 ，由于DG ⊥EF ，即点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心，GH 为该圆半径，所以存在定点H 83,0 ，使GH 为定值23.【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.5已知双曲线C :x 2-y 2b2=1b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是C 的左顶点，C 的离心率为2．设过F 2的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点，其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线x =12于M 、N 两点，证明：MF 2 ⋅NF 2 为定值；(3)是否存在常数λ，使得∠PF 2A =λ∠PAF 2恒成立？若存在，求出λ的值；否则，说明理由．【答案】(1)x 2-y 23=1；(2)证明见解析；(3)存在λ=2，理由见解析.【分析】(1)根据离心率，以及a ，结合b 2=c 2-a 2，即可求得曲线C 方程；(2)设出直线PQ 的方程，联立双曲线方程，得到关于点P ,Q 坐标的韦达定理；再分别求得AP ,AQ 的方程，以及点M ,N 的坐标，利用数量积的坐标运算，即可证明；(3)求得直线PQ 不存在斜率时满足的λ，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线PA ,PF 2斜率之间的关系，结合点P 的坐标满足曲线C 方程，求解即可.【详解】(1)由题可得a =1,ca =2，故可得c =2，则b 2=c 2-a 2=4-1=3，故C 的标准方程为x 2-y23=1.(2)由(1)中所求可得点A ，F 2的坐标分别为-1,0 ,(2,0)，又双曲线渐近线为y =±3x ，显然直线PQ 的斜率不为零，故设其方程为x =my +2，m ≠±33，联立双曲线方程x 2-y 23=1可得：3m 2-1 y 2+12my +9=0，设点P ,Q 的坐标分别为x 1,y 1 ,(x 2,y 2)，则y 1+y 2=-12m 3m 2-1,y 1y 2=93m 2-1，x 1+x 2=m y 1+y 2 +4=-43m 2-1，x 1x 2=m 2y 1y 2+2m y 1+y 2 +4=-3m 2-43m 2-1；又直线AP 方程为：y =y 1x 1+1(x +1)，令x =12，则y =32⋅y 1x 1+1，故点M 的坐标为12,32⋅y 1x 1+1；直线AQ 方程为：y =y 2x 2+1(x +1)，令x =12，则y =32⋅y 2x 2+1，故点N 的坐标为12,32⋅y 2x 2+1；则MF 2 ⋅NF 2 =32,-32⋅y 1x 1+1 ⋅32,-32⋅y 2x 2+1=94+94⋅y 1y 2x 1x 2+x 1+x 2+1=94+94⋅93m 2-1-3m 2-43m 2-1-43m 2-1+1=94+94⋅9-9=0故MF 2 ⋅NF 2为定值0.(3)当直线PQ 斜率不存在时，对曲线C :x 2-y 23=1，令x =2，解得y =±3，故点P 的坐标为(2,3)，此时∠PF 2A =90°，在三角形PF 2A 中，AF 2 =3,PF 2 =3，故可得∠PAF 2=45°，则存在常数λ=2，使得∠PF 2A =2∠PAF 2成立；当直线PQ 斜率存在时，不妨设点P 的坐标为(x ,y )，x ≠2，直线PF 2的倾斜角为α，直线PA 的倾斜角为β，则∠PF 2A =π-α，∠PAF 2=β，假设存在常数λ=2，使得∠PF 2A =2∠PAF 2成立，即π-α=2β，则一定有：tan π-α =-tan α=tan2β=2tan β1-tan 2β，也即-k PF2=2k PA 1-k 2PA；又-k PF 2=-yx -2；2k PA 1-k 2PA=2yx +11-y 2x +12=2y (x +1)x +1 2-y2；又点P 的坐标满足x 2-y 23=1，则y 2=3x 2-3，故2k PA1-k 2PA=2y x +1 x +1 2-y 2=2y x +1 x +1 2-3x 2+3=2y (x +1)-2x 2+2x +4=2y (x +1)-2(x -2)(x +1)=-y x -2=-k PF 2；故假设成立，存在实数常数λ=2，使得∠PF 2A =2∠PAF 2成立；综上所述，存在常数λ=2，使得∠PF 2A =2∠PAF 2恒成立.【点睛】关键点点睛：本题考察双曲线中定值以及存在常数满足条件的问题；其中第二问证明的关键是能够快速，准确的进行计算；第三问处理的关键是要投石问路，找到特殊情况下的参数值，再验证非特殊情况下依旧成立，同时还要注意本小题中把角度关系，转化为斜率关系；属综合困难题.三、抛物线定点问题1已知动圆M 恒过定点F 0,18 ，圆心M 到直线y =-14的距离为d ,d =MF +18．(1)求M 点的轨迹C 的方程；(2)过直线y =x -1上的动点Q 作C 的两条切线l 1,l 2，切点分别为A ,B ，证明：直线AB 恒过定点．【答案】(1)x 2=12y(2)证明见详解【分析】(1)设M x ,y ，由题意可得y +14=x 2+y -18 2+18，化简整理即可；(2)设A x 1,2x 21 ,B x 2,x 22 ,Q t ,t -1 ，结合导数的几何意义分析可得x 1,x 2为方程2x 2-4tx +t -1=0的两根，结合韦达定理求直线AB 的方程，即可得结果.【详解】(1)设M x ,y ，则MF =x 2+y -18 2,d =y +14 ，因为d =MF +18，即y +14 =x 2+y -18 2+18，当y +14≥0，即y ≥-14时，则y +14=x 2+y -18 2+18，整理得x 2=12y ；当y +14<0，即y <-14时，则-y -14=x 2+y -18 2+18，整理得x 2=y +18<0，不成立；综上所述：M 点的轨迹C 的方程x 2=12y .(2)由(1)可知：曲线C ：x 2=12y ，即y =2x 2，则y =4x ，设A x 1,2x 21 ,B x 2,x 22 ,Q t ,t -1 ，可知切线QA 的斜率为4x 1，所以切线QA ：y -2x 21=4x 1x -x 1 ，则t -1-2x 21=4x 1t -x 1 ，整理得2x 21-4tx 1+t -1=0，同理由切线QB 可得：2x 22-4tx 2+t -1=0，可知：x 1,x 2为方程2x 2-4tx +t -1=0的两根，则x 1+x 2=2t ,x 1x 2=t -12，可得直线AB 的斜率k AB =2x 21-2x 22x 1-x 2=2x 1+x 2 =4t ，设AB 的中点为N x 0,y 0 ，则x 0=x 1+x 22=t ,y 0=2x 21+2x 222=x 1+x 2 2-2x 1x 2=4t 2-t +1，即N t ,4t 2-t +1 ，所以直线AB ：y -4t 2-t +1 =4t x -t ，整理得y -1=4t x -14，所以直线AB 恒过定点P 14,1 .【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l 过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y =kx +t ，由题设条件将t 用k 表示为t =mk +n ，得y =k x +m +n ，故动直线过定点-m ,n ；(2)动曲线C 过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．2已知抛物线C 1:x 2=2py (p >0)和圆C 2:(x +1)2+y 2=2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1焦点，且l 1与C 2相切.(1)求抛物线C 1的方程；(2)动点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，若C 1在点A 处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN =MA +MB，证明点N 在定直线上，并求该定直线的方程.【答案】(1)x 2=12y ；(2)证明见解析，y =3.【分析】(1)设直线l 1的方程为y =x +p2，再根据直线和圆相切求出p 的值得解；(2)依题意设M (m ,-3)，求出切线l 2的方程和B 点坐标，求出MN =x 1-2m ,6 ，ON=x 1-m ,3 即可求解作答.【详解】(1)依题意得，物线C 1:x 2=2py 的焦点坐标为0,p 2 ，设直线l 1的方程为y =x +p2，而圆C 2:x +1 2+y 2=2的圆心C 2(-1,0)，半径r =2，由直线l 1与圆C 2相切，得d =-1+p212+-12=2，又p >0，解得p =6，所以抛物线C 1的方程为x 2=12y .(2)由(1)知抛物线C 1：x 2=12y 的准线为y =-3，设M (m ,-3)，由y =x 212，求导得y =x6，设A (x 1,y 1)，则以A 为切点的切线l 2的斜率为k =x 16，于是切线l 2的方程为y =16x 1x -x 1 +y 1，令x =0，得y =-16x 21+y 1=-16×12y 1+y 1=-y 1，即l 2交y 轴于点B (0,-y 1)，因此MA =(x 1-m ，y 1+3),MB =-m ,-y 1+3 ，MN =MA +MB =x 1-2m ,6 ，则ON =OM +MN=x 1-m ,3 ，设N 点坐标为(x ,y )，从而y =3，所以点N 在定直线y =3上.3已知直线l 1:x -y +1=0过椭圆C :x 24+y 2b2=1(b >0)的左焦点，且与抛物线M :y 2=2px (p >0)相切.(1)求椭圆C 及抛物线M 的标准方程;(2)直线l 2过抛物线M 的焦点且与抛物线M 交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与椭圆的过右顶点的切线交于M ，N 两点.判断以MN 为直径的圆与椭圆C 是否恒交于定点P ，若存在，求出定点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1，y 2=4x(2)存在，-2,0【分析】(1)由直线l 1过椭圆C 的左焦点，求出c 得出椭圆方程，利用直线l 1与抛物线M 相切，联立两个方程，通过判别式为零进行求解；(2)分成直线l 2斜率存在与不存在两种情况进行讨论，斜率存在时可设直线方程y =k x -1 ，与椭圆方程联立得出韦达定理，表示M ,N 两点坐标，利用PM ⋅PN=0进行求解.【详解】(1)由y 2=2px x -y +1=0 ，得x 2+2-2p x +1=0，因为直线x -y +1=0与抛物线M 只有1个公共点，所以Δ=2-2p 2-4=0，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .由直线x -y +1=0过椭圆C 的左焦点得得c =1，所以，4-b 2=1，b 2=3，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)如图1，设A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 ，当直线l 2斜率存在时，可设直线方程：y =k x -1由y 2=4x y =k x -1 得k 2x 2-2k 2+4 x +k 2=0，所以Δ=2k 2+4 2-4k 4=16k 2+16>0，x 1+x 2=2k 2+4k2，x 1x 2=1. 所以y 1y 2=k 2x 1-1 x 2-1 =k 2x 1x 2-x 1+x 2 +1 =-4，x 2y 1+x 1y 2=kx 2x 1-1 +kx 1x 2-1 =k 2x 1x 2-x 1+x 2 =-4k，直线OA 的方程为y =y 1x 1x ，同理可得，直线OB 的方程为y =y 2x 2x ，令x =2得，M 2，2y 1x 1 ，N 2，2y 2x 2，假设椭圆C 上存在点P x 0,y 0 ，恒有PM ⊥PN .则PM ⋅PN =2-x 0，2y 1x 1-y 0 ⋅2-x 0，2y 2x 2-y 0=0即2-x 0 2+2y 1x 1-y 0 2y 2x 2-y 0=0，即2-x 0 2+y 20-2x 2y 1+2x 1y 2x 1x 2y 0+4y 1y 2x 1x 2=0，即2-x 0 2+y 20+8ky 0-16=0，令y 0=0，可得x 0=6或x 0=-2.由于点6，0 不在椭圆C 上，点-2，0 在椭圆D 上，所以椭圆C 上存在点P -2，0 ，使PM ⊥PN 恒成立如图2，当直线斜率不存在时，直线过抛物线的右焦点，则直线方程为x =1，与抛物线交于A 1,2 ，B 1,-2 ，则直线OA 方程为：y =2x ，直线OB 方程为：y =-2x ，椭圆的过右顶点的切线方程为x =2，切线方程x =2与直线OA 交于M 2,4 ，与直线OB 交于N 2,-4 ，由上面斜率存在可知恒过P -2,0 ，经验证满足PM ⋅PN=0，所以当斜率不存在时候也满足以MN 为直径的圆恒过定点-2,0 .4在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q 的动圆恒过点F (0,1)，且与直线y =-1相切，设动圆的圆心Q 的轨迹为曲线Γ．(1)求曲线Γ的方程；(2)P 为直线l ：y =y 0y 0<0 上一个动点，过点P 作曲线Γ的切线，切点分别为A ，B ，过点P 作AB 的垂线，垂足为H ，是否存在实数y 0，使点P 在直线l 上移动时，垂足H 恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出y 0的值，并求定点H 的坐标．【答案】(1)x 2=4y(2)存在这样的y 0，当y 0=-1时，H 坐标为(0,1)．【分析】(1)依题意，由几何法即可得出圆心的轨迹Γ是以F (0,1)为焦点，l ：y =-1为准线的抛物线．(2)设直线AP 的方程y -y 1=k x -x 1 ，对抛物线方程求导化简也可得直线AP 的方程，由恒等思想可得y 0+y 1=x 1x 02，y 0+y 2=x 2x 02，构造直线方程为y +y 0=x 0x2，故AB 两点代入化简可得恒过点0,-y 0 ，再由PH ⊥AB 得x =-x02y -y 0-2 ，PH 恒过点0,y 0+2 ，从而可得结论.。
高中数学：圆锥曲线中的定点定值问题
高中数学：圆锥曲线中的定点定值问题
定点定值方法归纳
一、研究定点、定值问题的基本思路
解析几何中的定点、定值及探索性问题主要以解答题形式考查，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大.解决问题时注意代数方程是解决定点定值问题的桥梁。
二、定点问题基本有一下两种思考方式
（1）引进参数法：引进动点坐标或者动线中的系数作为参数，表示变化量，再通过条件，构造变化量对应的方程，研究变化量方程的关系（特别是变化量任意改变对应方程恒成立问题），找到定点。
（2）探索法：根据动点或动线的一些特殊情况，先探索出定点，再证明该定点与变量无关。
三、解决定值问题也有如下类似的思考方式
（1）引进参数法：引进参数作为变化量，最后利用代数式说明所求定值的代数式与参数无关。
（2）探索法：用特殊情况探索出定值，最后再利用代数式证明定值。
高考真题
例题精选
参考答案
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圆锥曲线专题——定值定点问题(附解析)
第1页（共15页）圆锥曲线专题——定值定点问题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且22OA OBb k k a=-，判断AOB ∆的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．【解答】解：（1）椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切，∴b ==又222a b c =+，12c e a ==， 解得24a =，23b =，故椭圆的方程为22143x y +=．()II 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化为222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， △22226416(34)(3)0m k k m =-+->，化为22340k m +->．∴122834mkx x k +=-+，21224(3)34m x x k -=+．22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=+， 34OA OB k k =-，第2页（共15页）∴121234y y x x =-，121234y y x x =-， 222223(4)34(3)34434m k m k k --=-++，化为22243m k -=，||AB==又11)4d==-=，1||2S AB d ===22342k +=== （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过F 作直线l 与椭圆交于A 、B 两点，问：在x 轴上是否存在点P ，使PA PB 为定值，若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意知1c =，过F 且与x 轴垂直的弦长为3，则223b a =，即222()3a c a -=，则2a =，b∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=；（2）假设存在点P 满足条件，设其坐标为(,0)t ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当l 斜率存在时，设l 方程为(1)y k x =-，联立22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩，整理得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，△0>恒成立．第3页（共15页）2122843k x x k ∴+=+，212241243k x x k -=+． ∴1(PA x t =-，1)y ，2(PB x t =-，2)y ．∴222212121212()()(1)()()PA PB x t x t y y k x x k t x x k t =--+=+-++++22222222(1)(412)()8()(43)43k k k t k k t k k +--++++=+， 2222(485)3(12)43t t k t k --+-=+， 当PA PB 为定值时，2248531243t t t ---=，118t ∴=， 此时223121354364t PA PB t -==-=-． 当l 斜率不存在时，11(8P ，0)，3(1,)2A ，3(1,)2B -．3(8PA =-，3)2，3(8PB =-，3)2-，∴13564PA PB =-， ∴存在满足条件的点P ，其坐标为11(8，0)． 此时PA PB 的值为13564-． 3．已知点(2,1)M 在抛物线2:C y ax =上，A ，B 是抛物线上异于M 的两点，以AB 为直径的圆过点M ．（1）证明：直线AB 过定点；（2）过点M 作直线AB 的垂线，求垂足N 的轨迹方程． 【解答】证明：（Ⅰ）点(2,1)M 在抛物线2:C y ax =上，14a ∴=，解得14a =，第4页（共15页）∴抛物线的方程为24x y =，由题意知，故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立得24x yy kx m⎧=⎨=+⎩，消y 可得2440x kx m --=，得124x x k +=，124x x m =，由于MA MB ⊥，∴0MA MB =，即1212(2)(2)(2)(2)0x x y y --+--=，即121212122()()50x x x x y y y y -++-++=，(*)1212()2y y k x x m +=++，22121212()y y k x x km x x m =+++，代入(*)式得224865k k m m +=-+，即22(22)(3)k m +=-， 223k m ∴+=-，或223k m +=-，即25m k =+，或21m k =-+，当25m k =+时，直线AB 方程为(2)5y k x =++，恒过定点(2,5)， 经验证，此时△0>，符合题意，当21m k =-+时，直线AB 方程为(2)5y k x =++，恒过定点(2,1)，不合题意，∴直线AB 恒过点(2,5)-，（Ⅱ）由（Ⅰ）设直线AB 恒过定点(2,5)R -，则点N 的轨迹是以MR 为直径的圆且去掉(2,1)±，方程为22(3)8x y +-=，1y ≠．第5页（共15页）4．如图已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且过点(0,1)A ．（1）求椭圆的方程；（2）过点A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 恒过定点P ．并求点P 的坐标．【解答】解：（1）因为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>3，且过点(0,1)A ．所以1b =，3c a =， 所以2a =，1b =所以椭圆C 的方程为：2214x y +=⋯（3分）（2）直线MN 恒过定点3(0,)5P -，下面给予证明：设直线1l 的方程为1y kx =+，联立椭圆方程，消去y 得；22(41)80k x kx ++=，解得222814,4141M M k k x y k k -=-=++ 同理可得：22284,(844N N k k x y k k -==⋯++则直线MN 的斜率22222221441414885414k k k k k k k k k k k ----++'==--++，第6页（共15页）则直线MN 的方程为22221418()41541k k ky x k k k ---=+++，即22222141813()4154155k k k k y x x k k k k ---=++=-++，则直MN 过定点3(0,)5-．故直线MN 恒过定点P 3(0,)5-．⋯（12分）B ．（1）证明：直线AB 过定点；面积．【解答】解：（1）证明：22x y =的导数为y x '=，设切点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，即有2112x y =，2222x y =，切线DA 的方程为111()y y x x x -=-，即为2112x y x x =-，切线DB 的方程为2222x y x x =-，联立两切线方程可得121()2x x x =+，可得121122y x x ==-，即121x x =-， 直线AB 的方程为2112112()2x y y y x x x x --=--， 即为211211()()22x y x x x x -=+-，第7页（共15页）可化为1211()22y x x x =++，可得AB 恒过定点1(0,)2；（2）法一：设直线AB 的方程为12y kx =+， 由（1）可得122x x k +=，121x x =-， AB 中点21(,)2H k k +，由H 为切点可得E 到直线AB 的距离即为||EH ，15||-= 解得0k =或1k =±， 即有直线AB 的方程为12y =或12y x =±+， 由12y =可得||2AB =，四边形ADBE 的面积为12(12)32ABE ABD S S ∆∆+=⨯⨯+=； 由12y x =±+，可得||1444AB =+=，此时1(1,)2D ±-到直线AB11|1|++= 5(0,)2E到直线AB15||-= 则四边形ADBE的面积为142ABE ABD S S ∆∆+=⨯⨯=；法二：（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+．第8页（共15页）由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是122x x t +=，121x x =-，21212()121y y t x x t +=++=+，212|||2(1)AB x x t =-=+．设1d ，2d 分别为点D ，E 到直线AB的距离，则1d =2d =因此，四边形ADBE的面积2121||()(2S AB d d t =+=+． 设M 为线段AB 的中点，则21(,)2M t t +．由于EM AB ⊥，而2(,2)EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以2(2)0t t t +-=．解得0t =或1t =±．当0t =时，3S =；当1t =±时，S =综上，四边形ADBE 的面积为3或（1）求椭圆方程；（2）过直线2y =上的点P 作椭圆的两条切线，切点分别为B ，C ①求证：直线BC 过定点； ②求OBC ∆面积的最大值；【解答】（1）解：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点(2,1)A ，离心率e =，第9页（共15页）∴22411a b +=，c a = 28a ∴=，22b =，∴椭圆方程为22182x y +=；（2）①证明：设0(P x ，2)，1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，则切线11:182x x y y PB +=，22:182x x y y PC +=， 0(P x ，2)代入，可得直线BC 的方程为018x xy +=， ∴直线BC 过定点(0,1)；②018x xy +=代入椭圆方程可得2200(1)4016x x x x +--=， 0122116x x x x∴+=+，12204116x x x -=+，1201||2OBCS x x ∆∴=-=， 令2016u x =+，则1216OBC S ∆=，OBC ∴∆面积的最大值为2．（1）求抛物线C 的方程；（2）动直线:1()l x my m R =+∈与抛物线C 相交于A ，B 两点，问：在x 轴上是否存在定点||||DA DBDA DB +与向量OD 共线（其中存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．第10页（共15页）【解答】解：（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(2p，0)， 准线方程为2px =-， 即有05||22p pPF x =+=，即02x p =， 则2164p =，解得2p =，则抛物线的方程为24y x =；（2）在x 轴上假设存在定点(,0)D t （其中0)t ≠，使得||||DA DB DA DB +与向量OD 共线， 由||DA DA ，||DBDB 均为单位向量，且它们的和向量与OD 共线， 可得x 轴平分ADB ∠， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立1x my =+和24y x =，得2440y my --=，△216(1)0m =+>恒成立．124y y m +=，124y y =-．①设直线DA 、DB 的斜率分别为1k ，2k ， 则由ODA ODB ∠=∠得，第11页（共15页） 121221121212()()()()y y y x t y x t k k x t x t x t x t -+-+=+=---- 122112121212(1)(1)2(1)()()()()()y my t y my t my y t y y x t x t x t x t +-++-+-+==----， 12122(1)()0my y t y y ∴+-+=，②联立①②，得4(1)0m t -+=，故存在1t =-满足题意，综上，在x 轴上存在一点(1,0)D -，使得x 轴平分ADB ∠， 即||||DA DB DA DB +与向量OD 共线． 8．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；率均存在且斜率之和为2-，证明：直线l 过定点．【解答】解：（1）由圆22:(2)1M x y ++=，可知圆心(2,0)M -，半径1；圆22:(2)49N x y -+=，圆心(2,0)N ，半径7．设动圆的半径为R ，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，||||1(7)8PM PN R R ∴+=++-=， 而||4NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为半长轴长的椭圆， 4a ∴=，2c =，22212b a c =-=．∴曲线C 的方程为2211612x y +=．第12页（共15页）（2）证明：直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为：x t =，(44)t -． 1(,)A t y ，2(,)B t y ，120y y +=．2AQ BQ k k +====-．解得t =此时直线l的方程为：x =．直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y kx m =+，．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 联立2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为：222(34)84480k x kmx m +++-=． 则122834km x x k +=-+，212244834m x x k -=+，12122AQ BQ y y k k x x --+=+=-，11y kx m =+，22y kx m =+．化为：1212(22)()0k x x m x x ++-+=，代入化为：k =∴直线l的方程为：y m =+．第13页（共15页）令23x =，可得23y =-．可得直线l 过定点(23，23)-．9．如图，椭圆222:1(02)4x y E b b+=<<，点(0,1)P 在短轴CD 上，且2PC PD =- （Ⅰ）求椭圆E 的方程及离心率；（Ⅱ）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ+为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．第14页（共15页）【解答】解：（Ⅰ）由已知，点C ，D 的坐标分别为(0,)b -，(0,)b ． 又点P 的坐标为(0,1)，且2PC PD =-，即212b -=-， 解得23b =．∴椭圆E 方程为22143x y +=． 221c a b =-，∴离心率12e =； （Ⅱ）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为1y kx =+，A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ．联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(43)880k x kx ++-=． 其判别式△0>，122843k x x k -+=+，122843x x k -=+． 从而，12121212[(1)(1)]OA OB PA PB x x y y x x y y λλ+=+++-- 21212(1)(1)()1k x x k x x λ=+++++22228(1)(1)4342234343k k k k λλλ-++-+-==--++，第15页（共15页）当2λ=时，24223743k λλ---=-+， 即7OA OB PA PB λ+=-为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ， 此时2347OA OB PA PB OC OD PC PD λ+=+=--=-， 故存在常数2λ=，使得OA OB PA PB λ+为定值7-．。
圆锥曲线的定点、定值问题(解析版)
2020上学期期末复习专题1 圆锥曲线的定点、定值问题（教师版）一．知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 3．定点问题(1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k )；②利用条件找到k 与过定点的曲线F (x ，y )＝0之间的关系，得到关于k 与x ，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．(2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.4.定值问题(1)直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．(2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；②巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.二．题型归纳题型1 “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定点问题【例1-1】已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．[解] (1)因为抛物线2y ＝2px (p >0)的焦点坐标为F (1，0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为2y ＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t ,42，B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-t t ,42. 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以214422-=-⋅t t t t ，化简得2t ＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A ()A A ,y x ，B ()B B ,y x ，联立⎩⎨⎧+==bkx y x y 42，消去x ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0.所以B A y y ＝4bk ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以21-=⋅B B A A x y x y ，整理得B A x x ＋2B A y y ＝0.即024422=+⋅B A B A y y yy ，解得B A y y ＝0(舍去)或B A y y ＝－32.所以B A y y ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)．【跟踪训练1-1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【解】(1)由题意得，c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.∵点B 在以线段MN 为直径的圆上，∴BM ―→·BN ―→＝0. ∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－44k 2＋1＋k (m －1)－8km4k 2＋1＋(m －1)2＝0，整理，得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝kx －35.易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．故直线l 过定点，且该定点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-530，.【总结归纳】定点问题实质及求解步骤解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：题型2 “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定值问题【例2-1】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆x 29＋y 24＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NM 2=(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)过F (1,0)的直线l 1与点P 的轨迹交于A ，B 两点，过F (1,0)作与l 1垂直的直线l 2与 点P 的轨迹交于C ，D 两点，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．[解] (1)设P(x ，y)，M(x 0，y 0)，则N(x 0,0)．∵NP ―→＝ 2 NM ―→，∴(x －x 0，y)＝2(0，y 0)，∴x 0＝x ，y 0＝y 2.又点M 在椭圆上，∴142922=⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ，即x 29＋y 28＝1.∴点P 的轨迹E 的方程为x 29＋y 28＝1.(2)证明：由(1)知F 为椭圆x 29＋y 28＝1的右焦点，当直线l 1与x 轴重合时，|AB|＝6，|CD|＝2b 2a ＝163，∴1|AB|＋1|CD|＝1748.当直线l 1与x 轴垂直时，|AB|＝163，|CD|＝6，∴1|AB|＋1|CD|＝1748. 当直线l 1与x 轴不垂直也不重合时，可设直线l 1的方程为y ＝k(x －1)(k ≠0)， 则直线l 2的方程为y ＝－1k(x －1)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝k x －1，x 29＋y28＝1消去y ，得(8＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0，则Δ＝(－18k 2)2－4(8＋9k 2)(9k 2－72)＝2 304(k 2＋1)>0， x 1＋x 2＝18k 28＋9k 2，x 1x 2＝9k 2－728＋9k 2，∴|AB|＝ 1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝481＋k 28＋9k 2.同理可得|CD|＝481＋k 29＋8k 2.∴1|AB|＋1|CD|＝8＋9k 248k 2＋1＋9＋8k 248k 2＋1＝1748.综上可得1|AB|＋1|CD|为定值． 【跟踪训练2-1】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，点D 为x 轴上一点，过点D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过点D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为定值，并求出该定值．【解】(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎨⎧b ＝1，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一：设D (x 0,0)，M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)，－2<x 0<2，所以k AM ＝y 0x 0＋2，因为AM ⊥DE ，所以k DE ＝－2＋x 0y 0，所以直线DE 的方程为y ＝－2＋x 0y 0(x －x 0)． 因为k BN ＝－y 0x 0－2，所以直线BN 的方程为y ＝－y 0x 0－2(x －2)．由⎩⎨⎧y ＝－2＋x0y(x －x 0)，y ＝－y0x 0－2(x －2)，解得E ⎝⎛⎭⎫45x 0＋25，－45y 0， 所以S △BDE S △BDN ＝12|BD |·|y E |12|BD |·|y N |＝⎪⎪⎪⎪－45y 0|－y 0|＝45.故△BDE 与△BDN 的面积之比为定值45.法二：设M (2cos θ，sin θ)(θ≠k π，k ∈Z )，则D (2cos θ，0)，N (2cos θ，－sin θ)， 设BE ―→＝λBN ―→，则DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝DB ―→＋λBN ―→＝(2－2cos θ，0)＋λ(2cos θ－2，－sin θ) ＝(2－2cos θ＋2λcos θ－2λ，－λsin θ)．又AM ―→＝(2cos θ＋2，sin θ)，由AM ―→⊥DE ―→，得AM ―→·DE ―→＝0，从而[(2－2cos θ)＋λ(2cos θ－2)](2cos θ＋2)－λsin 2θ＝0，整理得4sin 2θ－4λsin 2θ－λsin 2θ＝0， 即5λsin 2θ＝4sin 2θ.，所以λ＝45，所以S △BDE S △BDN ＝|BE ||BN |＝45.故△BDE 与△BDN 的面积之比为定值45.【总结归纳】定值问题实质及求解步骤定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题．其求解步骤一般为：题型三 探索性问题例3.已知圆M 的圆心在直线2x －y －6＝0上，且过点(1,2)，(4，－1)． (1) 求圆M 的方程；(2) 设P 为圆M 上任一点，过点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1引切线，切点为Q .试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR 为定值．若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由． 解析：(1) 因为圆M 的圆心在直线2x －y －6＝0上，且过点(1,2)，(4，－1)， 所以设圆心坐标为(m,2m －6)，半径为r ， 则圆的标准方程为(x －m )2＋(y －2m ＋6)2＝r 2.则(1－m )2＋(2－2m ＋6)2＝r 2且(4－m )2＋(－1－2m ＋6)2＝r 2， 即(m －1)2＋(8－2m )2＝r 2且(m －4)2＋(5－2m )2＝r 2， 解得m ＝4，r ＝3.所以圆M ：(x －4)2＋(y －2)2＝9.(2) 设P (x ，y )，R (a ，b )，则(x －4)2＋(y －2)2＝9，即x 2＋y 2＝8x ＋4y －11. 又PQ 2＝x 2＋y 2－1，PR 2＝(x －a )2＋(y －b )2＝x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2， 故PQ 2＝8x ＋4y －12，PR 2＝(8－2a )x ＋(4－2b )y ＋a 2＋b 2－11.又设PQPR ＝t 为定值，故8x ＋4y －12＝t 2[(8－2a )x ＋(4－2b )y ＋a 2＋b 2－11]． 因为上式对圆M 上任意点P (x ，y )都成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧8＝(8－2a )t 2，4＝(4－2b )t 2，－12＝(a 2＋b 2－11)t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，b 1＝1，t 1＝2或⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a 2＝25，b 2＝15，t 2＝103.综上，存在点R (2,1)或R ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，15满足题意．跟踪训练3：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为32. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 直线y ＝k (x －1)(k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，试问：以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝32，1a 2＋34b 2＝1，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2) 以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点M (2,0)．由题意可知直线AM 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－2y 1x 1－2. 直线BM 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，故点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－2y 2x 2－2. 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点N (x 0,0)，则等价于PN →·QN →＝0恒成立．又因为PN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0，2y 1x 1－2，QN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0，2y 2x 2－2，所以PN →·QN →＝x 20＋2y 1x 1－2·2y 2x 2－2＝x 20＋4y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝0恒成立． 又因为(x 1－2)(x 2－2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝4k 2－41＋4k 2－28k 21＋4k 2＋4＝4k 21＋4k 2，y 1y 2＝k (x 1－1)k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k2－41＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1＝－3k 21＋4k2，所以x 20＋4y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝x 20＋－12k 21＋4k 24k 21＋4k 2＝x 20－3＝0，解得x 0＝±3. 故以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(±3，0)．圆锥曲线定点定值问题作业1. 如图，平行四边形AMBN 的周长为8，点M ，N 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)． (1) 求点A ，B 所在的曲线L 的方程；(2) 过L 上点C (－2,0)的直线l 与L 交于另一点D ，与y 轴交于点E ，且l ∥OA .求证：CD ·CEOA 2为定值．解析：(1) 因为四边形AMBN 是平行四边形，周长为8，所以A ，B 两点到M ，N 的距离之和均为4>23，可知所求曲线为椭圆． 由椭圆定义可知，a ＝2，c ＝3，b ＝1.曲线L 的方程为x24＋y 2＝1(y ≠0)．(2) 由已知可知直线l 的斜率存在．因为直线l 过点C (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入曲线方程x 24＋y 2＝1(y ≠0)，并整理得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 因为点C (－2,0)在曲线L 上，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－8k 2＋21＋4k2，4k 1＋4k 2，E (0,2k )， 所以CD ＝41＋k 21＋4k2，CE ＝21＋k 2. 因为OA ∥l ，所以设OA 的方程为y ＝kx ，代入曲线L 的方程，并整理得(1＋4k 2)x 2＝4. 所以x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2，所以OA 2＝4＋4k 21＋4k2，化简得CD ·CE OA 2＝2，所以CD ·CE OA 2为定值．说明：本题考查用定义法求椭圆方程知识及直线与椭圆相交的有关线段的计算与证明．2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴是短轴的两倍，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．不过原点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2恰好构成等比数列． (1) 求椭圆C 的方程；(2) 试判断OA 2＋OB 2是否为定值．若是，求出这个值；若不是，请说明理由．解析：(1) 由题意知a ＝2b 且3a 2＋14b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2) 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，m ≠0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4， 整理得(1＋4k 2)x 2＋8km x ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2且Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0.解析：(1) 由题意知a ＝2b 且3a 2＋14b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2) 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，m ≠0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，整理得(1＋4k 2)x 2＋8km x ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2且Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0.此时Δ＝16(2－m 2)>0，即m ∈(－2，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝±2m ，x 1x 2＝2m 2－2.又OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝34(x 21＋x 22)＋2＝34[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋2＝5， 所以OA 2＋OB 2是定值，且为5.3.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 作斜率k ＝－1的直线交椭圆于A ，B 两点，且OA →＋OB →与a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13共线．(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，证明：m 2＋n 2为定值． 解 (1)设AB ：y ＝－x ＋c ，直线AB 交椭圆于两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b2y ＝－x ＋c⇒b 2x 2＋a 2(－x ＋c )2＝a 2b 2，(b 2＋a 2)x 2－2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0x 1＋x 2＝2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2， OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)与a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13共线，3(y 1＋y 2)－(x 1＋x 2)＝0,3(－x 1＋c －x 2＋c )－(x 1＋x 2)＝0，即 x 1＋x 2＝3c 2，a 2＝3b 2，c ＝a 2－b 2＝6a 3，e ＝c a ＝63.(2)证明：a 2＝3b 2，椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2，设M (x ，y )为椭圆上任意一点，OM →＝(x ，y )，OM →＝mOA →＋nOB →，(x ，y )＝(mx 1＋nx 2，my 1＋ny 2)，点M (x ，y )在椭圆上，(mx 1＋nx 2)2＋3(my 1＋ny 2)2＝3b 2，即m 2(x 21＋3y 21)＋n 2(x 22＋3y 22)＋2mn (x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2. ∴x 1＋x 2＝3c 2，a 2＝32c 2，b 2＝12c 2，x 1x 2＝a 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2＝38c 2，∴x 1x 2＋3y 1y 2＝x 1x 2＋3(－x 1＋c )(－x 2＋c )＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0，将x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2代入得 3b 2m 2＋3b 2n 2＝3b 2，即m 2＋n 2＝1.3.在直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x 轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆内一点M (1,3)的直线与椭圆E 交于不同的A ，B 两点，交直线y ＝－14x 于点N ，若NA →＝mAM →，NB →＝nBM →，求证：m ＋n 为定值，并求出此定值. 解 (1)因为长轴长为8，所以2a ＝8，a ＝4， 又因为两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形， 所以b ＝32a ＝23，由于椭圆焦点在x 轴上， 所以椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N ⎝⎛⎭⎫x 0，－14x 0， 由NA →＝mAM →，得⎝⎛⎭⎫x 1－x 0，y 1＋14x 0＝m (1－x 1，3－y 1)，所以x 1＝m ＋x 0m ＋1，y 1＝3m －14x 0m ＋1，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋x 0m ＋1，3m －14x 0m ＋1， 因为点A 在椭圆x 216＋y 212＝1上，所以得到⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 0m ＋1216＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3m －14x 0m ＋1212＝1，得到9m 2＋96m ＋48－134x 20＝0；同理，由NB →＝nBM →，可得9n 2＋96n ＋48－134x 20＝0， 所以m ，n 可看作是关于x 的方程9x 2＋96x ＋48－134x 20＝0的两个根， 所以m ＋n ＝－969＝－323，为定值.4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，－3)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若直线l 上存在点P 满足PM ·PN ＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．解析：(1) 设椭圆的焦距为2c .由椭圆经过点(0，－3)得b ＝ 3. ①由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a ＋c ＝a 2c －c . ② 又a 2＝b 2＋c 2， ③由①②③可得a ＝2，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2) 法一：当直线l 的斜率为0时，则M (2,0)，N (－2,0)，设P (x 0，y 0)，则PM ·PN ＝|(x 0－2)(x 0＋2)|.因为点P 在椭圆外，所以x 0－2，x 0＋2同号，又PF 2＝(x 0－1)2，所以|(x 0－2)(x 0＋2)|＝(x 0－1)2，解得x 0＝52. 当直线l 的斜率不为0时，因为y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，PM ＝1＋m 2|y 1－y 0|，PN ＝1＋m 2|y 2－y 0|，PF ＝1＋m 2|y 0|.因为点P 在椭圆外，所以y 1－y 0，y 2－y 0同号，所以PM ·PN ＝(1＋m 2)(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝(1＋m 2)[y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20]＝(1＋m 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 20＋6m3m 2＋4－93m 2＋4， 代入PM ·PN ＝PF 2得(1＋m 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 20＋6m3m 2＋4－93m 2＋4＝(1＋m 2)y 20，整理得y 0＝32m ，代入直线方程得x 0＝52.所以点P 在定直线x ＝52上．法二：当直线l ⊥x 轴，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则PM ·PN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0－32⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0＋32.又PF 2＝y 20，所以PM ·PN ＝PF 2不成立，不合题意． 当直线l 与x 轴不垂直时，设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，与椭圆x 24＋y 23＝1联立并消去y 得 (3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.因为Δ＝64k 4－4(3＋4k 2)(4k 2－12)＝16k 4＋108k 2＋108>0， 所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以PM ＝1＋k 2|x 1－x 0|，PN ＝1＋k 2|x 2－x 0|，PF ＝1＋k 2|x 0－1|. 因为点P 在椭圆外，所以x 1－x 0，x 2－x 0同号，所以PM ·PN ＝(1＋k 2)(x 1－x 0)(x 2－x 0)＝(1＋k 2)[x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20] ＝(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 20－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2.代入PM ·PN ＝PF 2得(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 20－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2＝(1＋k 2)(x 20)(x 20－2x 0＋1)， 整理得x 0＝52，所以点P 在定直线x ＝52上．。
2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题(解析版)
圆锥曲线中的定点问题思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP →|＝32PF 1→·PF 2→＝－34，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π2.证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【解析】(1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)．由题意得x 20＋y 20＝94，x 0＋cx 0－c＋y 20＝－34，解得c 2＝3，∴c ＝ 3.又e ＝c a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．y 2＝1，kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又由α＋β＝π2，∴tan α·tan β＝1，设直线MA ，MB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝1，∴y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝1，即(x 1＋2)(x 2＋2)＝y 1y 2.∴(x 1＋2)(x 2＋2)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，∴(k 2－1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2－4＝0，∴(k 2－1)4m 2－44k 2＋1＋(km －2)28()41kmk -+＋m 2－4＝0，化简得20k 2－16km ＋3m 2＝0，解得m ＝2k ，或m ＝103k .当m ＝2k 时，y ＝kx ＋2k ，过定点(－2,0)，不合题意(舍去)．当m ＝103k 时，y ＝kx ＋103k 10,0)3-，∴直线AB 恒过定点10(,0)3-【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（1）求证：MAB ∆是直角三角形；（2）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线l 的方程为1x =-，设()1,M m -，切线斜率为k ，则切线方程为()1y m k x -=+，（2分）将其与24y x =联立消x 得244()0ky y m k -++=.所以1616()0k m k ∆=-+=，化简得210k mk +-=，（4分）所以121k k =-，所以MA MB ⊥.即MAB ∆是直角三角形.（6分）（2）由（1）知1616()0k m k ∆=-+=时，方程244()0ky y m k -++=的根为2y k=设切点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121222,y y k k ==.因为121k k =-，所以121244y y k k ==-.（10分）设:AB l x ny t =+，【点拨】由M 点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B 所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零与24y x =联立消x 得2440y ny t --=，则124y y t =-，所以44t -=-，解得1t =，所以直线AB 过定点()1,0P .即x 轴上存在一定点()1,0P ，使,,A P B 三点共线.（12分）【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．考法2先求后证法求证定点【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()0,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C 的方程联立→求HN 的方程→是否过定点.【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N-，代入AB方程223y x=-，可得263,3T+，由MT TH=得到265,)3H.求得HN方程：(223y x=--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=.联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34ky ykk ky yk-+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y+-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】模拟训练（2）方法一：设PQ 方程为x my =()2222234433x my m y my x y =-⎧⇒-+⎨-=⎩以PQ 为直径的圆的方程为(1x x -()(22121212x x x x x x y y y -+++-+由对称性知以PQ 为直径的圆必过()21212120x x x x x x y y -+++=，而()21212212431m x x m y y m +=+-=-()()212121222x x my my m y y =--=22222434931313m x x m m m --∴-++---()()22313510m x m x ⎡⎤⇒-+--=⎣⎦∴以PQ 为直径的圆经过定点(1,0方法二：设PQ 方程为2,x my P =-()22222311233x my m y my x y =-⎧⇒--⎨-=⎩由对称性知以PQ 为直径的圆必过设以PQ 为直径的圆过(),0E t ，()()1210EP EQ x t x t y ∴⋅=⇒--+ 而()()21212122x x my my m y =--=2229122431313m m m m m -=⋅-⋅+=--【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线等于零，得出定点．7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线为双曲线E的左、右顶点，P为直线(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．理得1112,y y y y +（或1212,x x x x +），代入交点坐标后可得结论，如果是求动直线过定点，则可以引入参数求得动直线方程后，观察直线方程得定点．。
圆锥曲线定点问题含详解
圆锥曲线定点问题一、求解圆锥曲线中定点问题的两种求法(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． (2)直接推理法：①选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常数k 变成变量，将变量x ，y 当成常数，将原方程转化为kf (x ，y )＋g (x ，y )＝0的形式；②根据曲线(包含直线)过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （x ，y ）＝0，g （x ，y ）＝0；③以②中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．二、[典例] (2020·高考全国卷Ⅰ)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a2 ＋y 2＝1(a ＞1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG → ·GB →＝8.P 为直线x ＝6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点．解析：(1)由题设得A (－a ，0)，B (a ，0)，G (0，1).则AG → ＝(a ，1)，GB → ＝(a ，－1).由AG → ·GB → ＝8，得a 2－1＝8，即a ＝3.所以E 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)证明：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (6，t ).若t ≠0，设直线CD 的方程为x ＝my ＋n ，由题意可知－3＜n ＜3. 由于直线PA 的方程为y ＝t 9 (x ＋3)，所以y 1＝t9 (x 1＋3).直线PB 的方程为y ＝t 3 (x －3)，所以y 2＝t3 (x 2－3). 可得3y 1(x 2－3)＝y 2(x 1＋3).由于x 22 9＋y 22 ＝1，故y 22 ＝－（x 2＋3）（x 2－3）9，可得27y 1y 2＝－(x 1＋3)(x 2＋3)，即(27＋m 2)y 1y 2＋m (n ＋3)(y 1＋y 2)＋(n ＋3)2＝0.①将x ＝my ＋n 代入x 29＋y 2＝1得(m 2＋9)y 2＋2mny ＋n 2－9＝0.所以y 1＋y 2＝－2mn m 2＋9 ，y 1y 2＝n 2－9m 2＋9.2222解得n ＝－3(舍去)或n ＝32 .故直线CD 的方程为x ＝my ＋32，即直线CD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0 . 若t ＝0，则直线CD 的方程为y ＝0，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0 . 综上，直线CD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0 . 三、好题对点训练1．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N ，两点，O 为坐标原点（1）求椭圆E 的方程;（2）设E 的右顶点为D ，若直线:l y kx m =+与椭圆E 交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)且满足DA DB DA DB +=-，证明:直线l 过定点，并求该定点坐标.2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到双曲线2213x y -=的渐近线的距离为1．（1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 上一点P 到F 的距离是4，求P 的坐标；（3）若不过原点O 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，且OA OB ⊥，求证：直线l 过定点．3．如图，已知抛物线()220y px p =>上一点()2,M m 到焦点F 的距离为3，直线l 与抛物线交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且10y >，20y <，12OA OB ⋅=（O 为坐标原点）.（1）求抛物线的方程； （2）求证直线l 过定点；4．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率e =，上顶点是P ，左､右焦点分别是1F ，2F ，若椭圆经过点⎭.（1）求椭圆的方程；（2）点A 和B 是椭圆上的两个动点，点A ，B ，P 不共线，直线PA 和PB 的斜率分别是1k 和2k ，若1223k k =，求证直线AB 经过定点，并求出该定点的坐标. 5．已知点P 到直线y ＝－3的距离比点P 到点A (0，1)的距离多2. （1）求点P 的轨迹方程；（2）经过点Q (0，2)的动直线l 与点P 的轨迹交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得∠MRQ ＝∠NRQ ？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由.6．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：222210)x y a b a b+=>>（，短轴长为左焦点的距离为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，已知点2(,0)3P ，点A 是椭圆的右顶点，直线l 与椭圆C 交于不同的两点 ,E F ，,E F 两点都在x 轴上方，且APE OPF ∠=∠．证明直线l 过定点，并求出该定点坐标．7．已知经过圆2221:C x y r +=上点00(,)x y 的切线方程是200x x y y r +=.（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点00(,)x y 的切线方程；（2）已知椭圆22:16x E y +=，P 为直线3x =上的动点，过P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A ､B ，求证：直线AB 过定点.8．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 是椭圆22143x y +=的一个焦点. （1）求抛物线C 的方程；（2）设P ，M ，N 为抛物线C 上的不同三点，点()1,2P ，且PM PN ⊥.求证：直线MN 过定点.9．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>E 的长轴长为．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设()0,1A -，()0,2B ，过A 且斜率为1k 的动直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，直线BM ，BN 分别交☉C ：()2211x y +-=于异于点B 的点P ，Q ，设直线PQ 的斜率为2k ，直线BM ，BN 的斜率分别为34,k k ． ①求证：34k k ⋅为定值； ②求证：直线PQ 过定点.10．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点()0,1M -是椭圆的一个顶点，12F MF △是等腰直角三角形. （1）求椭圆的方程；（2）过点M 分别作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设两直线的斜率分别为12,k k ，且124k k +=，求证：直线AB 过定点1,12⎛⎫⎪⎝⎭.11．已知抛物线2:4C y x =上有一动点()()000,0P x y y >，过点P 作抛物线C 的切线l 交x 轴于点M ．（1）判断线段MP 的中垂线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由； （2）过点P 作l 的垂线交抛物线C 于另一点N ，求PMN 的面积的最小值． 12．已知动点M 到点()1,0的距离比它到y 轴的距离大1． （1）求动点M 的轨迹W 的方程；（2）若点()()001,0P y y >、M 、N 在抛物线上，且12PM PN k k =-⋅，求证：直线MN 过定点．13．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(1,)M m 为抛物线上一点，且2MF =. （1）求抛物线的标准方程；（2）直线l 交抛物线于不同的,A B 两点，O 为坐标原点，且4OA OB ⋅=-求证：直线l 恒过定点，并求出这个定点.14．过点(0,2)D 的任一直线l 与抛物线220C :x py(p )=＞交于两点,A B ，且4OA OB =-． （1）求p 的值．（2）已知,M N 为抛物线C 上的两点，分别过,M N 作抛物线C 的切线12l l 和，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点．15．已知点P 与定点F 的距离和它到定直线x = （1）求点P 的轨迹方程C ；（2）点M ，N 在C 上，(2,1)A 且,AM AN AD MN ⊥⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值．16．已知点(0,2)A -，(0,2)B ，动点P 满足直线PA 与PB 的斜率之积为23-.记点P 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；（2）过x 轴上一点Q 且不与坐标轴平行的直线与C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点R ，若|||MN QR =，求点Q 的坐标. 17．已知双曲线2214x y -=.（1）过(1,0)P -的直线1l 与双曲线有且只有一个公共点，求直线1l 的斜率；（2）若直线2:l y kx m =+与双曲线相交于,A B 两点（,A B 均异于左、右顶点），且以线段AB 为直径的圆过双曲线的左顶点C ，求证：直线2l 过定点.18．已知点P 是曲线C 上任意一点，点P 到点()1,0F 的距离与到直线y 轴的距离之差为1.（1）求曲线C 的方程；（2）设直线1l ，2l 为曲线C 的两条互相垂直切线，切点为A ，B ，交点为点M . （i ）求点M 的轨迹方程；（ii ）求证：直线AB 过定点，并求出定点坐标.19．1.双线曲2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，一条渐近线的倾斜角为3π，直线l 交双曲线于A 、B ．（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎样转动，都有0MA MB →→⋅=成立？若存在，求出M 的坐标，若不存在，请说明理由． 20．如图：已知抛物线C ：2y x =与()1,2P ，Q 为不在抛物线上的一点，若过点Q 的直线的l 与抛物线C 相交于AB 两点，直线PA 与抛物线C 交于另一点M ，直线PB 与抛物线C 交于另一点N ，直线MB 与NA 交于点R .（1）已知点A 的坐标为(9，3)，求点M 的坐标；（2）是否存在点Q ，使得对动直线l ，点R 是定点？若存在，求出所有点Q 组成的集合；若不存在，请说明理由.21．已知动点P 到点(的距离与到直线x =（1）求动点的轨迹C 的标准方程；（2）过点(4,0)A -的直线l 交C 于M ，N 两点，已知点(2,1)B --，直线BM ，BN 分别交x 轴于点E ，F .试问在轴上是否存在一点G ，使得0BE GF GE BF ⋅+⋅=？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1．（1）22184x y += （2）证明见解析， 【分析】（1）将椭圆上的两点代入椭圆方程中，再解方程即可；（2）先将DA DB DA DB +=-转化为DA DB ⊥，再直线与椭圆联立，建立方程后进一步化简直线方程即可获得解决. （1）因为椭圆E : 22221x y a b+=（a ，b >0）过M N ，两点，所以2222421611a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22118114a b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得2284a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆E 的方程为22184x y +=. （2）由（1）知D ，设1122(,),(,)A x y B x y由DA DB DA DB +=-可知，DA DB ⊥，所以，0DA DB ⋅=即：1212(0x x y y --+=所以221212(1)()80k x x km x x m ++-+++= （※） 联立直线和椭圆方程，消去y ，得：222(12)4280k x kmx m +++-= 由22Δ0,84m k ><+得所以2121222428,1212km m x x x x k k -+=-=++0=，即得22380m k ++=所以，()(3)0m m ++=所以，m m =-=或 所以，直线l的方程为y kx y kx =-=或 所以，过定点0)或，根据题意，舍去0)所以，直线过定点 2．（1）28y x = （2）(2,)4± （3）证明见解析 【分析】（1）利用点到直线距离得到参数即可； （2）利用抛物线定义即可得到P 的坐标；（3）联立方程，利用韦达定理表示垂直关系，即可得到直线l 过定点． （1）抛物线的焦点F 为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，双曲线的渐近线方程为：y x =，即：0x =1=，解得4p =故抛物线C 的方程为：28y x =； （2）设()00,P x y ，由抛物线的定义可知：042p x +=，即0442x +=，解得：02x =将02x =代入方程28y x =得：04y =±，即P 的坐标为(2,)4±； （3）由题意可知直线l 不能与x 轴平行，故方程可设为(0)x my n n =+≠与抛物线方程联立得28x my ny x =+⎧⎨=⎩，消去x 得：2880y my n --=设()()1122,,A x y B x y ，则12128,8y y m y y n +==- 由OA OB ⊥可得：12120x x y y +=，即()21212064y y y y +=即：12121064y y y y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭亦即：881064n n -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，又0n ≠，解得：8n =所以直线l 的方程为8x my =+，易得直线l 过定点(8,0).3．（1）24y x =；（2）证明见解析.【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，求p ，得到抛物线的方程；（2）首先设直线方程x my t =+，()0t >，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示OA OB ⋅的坐标表示，求得t ，即可说明直线过定点. 【详解】（1）由题意可得232p+=，2p = 抛物线方程为24y x =（2）设直线l 方程为x my t =+，()0t >，代入抛物线方程24y x =中，消去x 得，2440y my t --= 124y y t ，()221212116x x y y t ==. 22212121212·41244y y OA OB x x y y y y t t ⋅=+=+=-=解得6t =或2t =-（舍去）直线l 方程为6x my =+，直线过定点()6,0Q . 4．（1）2213x y +=；（2）直线AB 过定点(0,3)-【分析】（1）因为椭圆的离心率e，椭圆经过点，列方程组，解得2a ，2b ，2c ，即可得出答案．（2）设直线AB 的方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线AB 与椭圆的方程，结合韦达定理可得12x x +，12x x ，再计算1223k k ⋅=，解得b ，即可得出答案． 【详解】解：（1）因为椭圆的离心率e，椭圆经过点⎭，所以222231c e a a b ⎧==⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，又222a b c =+， 解得23a =，21b =，22c =， 所以椭圆的方程为2213x y +=．（2）证明：设直线AB 的方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2213x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(13)6330k x kbx b +++-=，所以122613kb x x k +=-+，21223313b x x k -=+，所以1111y k x -=，2221y k x -=，所以222121212122121211(1)()(1)(1)23(1)3kx b kx b k x x k b x x b b k k x x x x b +-+-+-++--⋅=⋅===-， 解得3b =-，所以直线AB 过定点(0,3)-．5．（1）x 2＝4y ；（2）存在，定点R (0，－2). 【分析】（1）由|PA |等于点P 到直线y ＝－1的距离，结合抛物线的定义得出点P 的轨迹方程； （2）由对称性确定点R 必在y 轴上，再由∠MRQ ＝∠NRQ 可得k MR ＋k NR ＝0，联立直线l 与抛物线方程，结合韦达定理求出定点R (0，－2). 【详解】（1）由题知，|PA |等于点P 到直线y ＝－1的距离，故P 点的轨迹是以A 为焦点，y ＝－1为准线的抛物线，所以其方程为x 2＝4y .（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R ，则点R 必在y 轴上，可设其坐标为(0，r )此时由∠MRQ ＝∠NRQ 可得k MR ＋k NR ＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则11y rx -＋22y r x -＝0由题知直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，与x 2＝4y 联立得x 2－4kx －8＝0， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－811y r x -＋22y r x -＝112kx r x +-＋222kx r x +-＝2k ＋1212(2)()r x x x x -+＝2k －(2)2k r -＝0故r ＝－2，即存在满足条件的定点R (0，－2). 【点睛】关键点睛：解决问题一时，关键是由抛物线的定义得出轨迹方程；解决问题二时，关键是由对称性得出点R 必在y 轴上，进而设出其坐标. 6．（1）22143x y +=；（2）证明见解析，(6,0).【分析】（1）利用已知和,,a b c 的关系，列方程组可得椭圆C 的标准方程；（2）直线l 斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立， APE OPF ∠=∠可得0PE PF k k +=，利用根与系数的关系代入化简，可得直线l 所过定点． 【详解】（1）由22221b a c a c b ⎧=⎪-=⎨⎪-=⎩得21b a c ⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆C 交于不同的两点分布在x 轴两侧，不合题意. 所以直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+. 设11(,)E x y 、22(,)F x y ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=， 所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+.因为APE OPF ∠=∠， 所以0PE PF k k +=，即121202233y y x x +=--，整理得1212242()()033mkx x m k x x +-+-= 化简得6m k =-，所以直线l 的方程为6(6)y kx k k x =-=-， 所以直线l 过定点(6,0). 7．（1）00221x x y ya b+=；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据已知直接类比求解即可；（2）根据（1），根据题意，得到方程组，根据方程组的特征求出A ､B 两点坐标特征，最后可以求出直线AB 过定点. 【详解】（1）类比上述性质知：切线方程为00221x x y ya b+=.（2）设切点为1222(,),(,)A x y B x y ，点(3,)P t ， 由（1）的结论的AP 直线方程：1116x x y y +=，BP 直线方程：2216x xy y +=， 通过点(3,)P t ，∴有1122316316x y t x y t ⋅⎧+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪+⋅=⎪⎩，∴A ，B 满足方程：12xty +=，∴直线AB 恒过点：1020xy ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，即直线AB 恒过点(2,0).8．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）椭圆22143x y +=的焦点为()1,0±，由题意可知12p =，由此即可求出抛物线的方程；（2）设直线MN 的方程为x my n =+，与抛物线联立得，可得211244y y y y m n ==-+，，再根据PM PN ⊥，可得0PM PN ⋅=，列出方程代入211244y y y y m n ==-+，，化简可得2264850n n m m ---+=，再因式分解可得25n m =+或21n m =-+，再代入方程进行检验，即可求出结果. 【详解】（1）因为椭圆22143x y +=的焦点为()1,0±， 依题意，12p=，2p =，所以C ：24y x =（2）设直线MN 的方程为x my n =+，与抛物线联立得2440y my n --=， 设()11,M x y ，()22,N x y ， 则211244y y y y m n ==-+，，由PM PN ⊥，则0PM PN ⋅=，即()()11221,21,20x y x y --⋅--=， 所以()()()()121211+220x x y y ----=即()()()()121211+220my n my n y y +-+---=，整理得到()()()()22121212+140m y y mn m y y n ++--+-+=，所以()()()224142+140n m m mn m n -++---+=，化简得2264850n n m m ---+=即()()22341n m -=-， 解得25n m =+或21n m =-+.当25n m =+时，直线MN 的方程为25x my m =++，即为()52x m y -=+，即直线过定点()5,2-；当21n m =-+时，直线MN 的方程为21xmy m ，即为()12x m y -=-，即直线过定点()1,2，此时与点P 重合，故应舍去，所以直线MN 过定点()5,2-. 【点睛】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 9．（1）22164x y += （2）①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）由已知条件列出关于,,a b c 的方程组，解之可得；（2）设MN 的方程为11y k x =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线方程代入椭圆方程，整理后由韦达定理得1212,x x x x +，然后计算34k k ⋅可得结论；②设PQ 的方程为2y k x t =+ ，设33(,)P x y ，44()Q x y ，，直线方程代入圆方程，整理后应用韦达定理得3434,x x x x +，由点的坐标求得BP BQ k k ⋅，利用它等于34k k ⋅可求得t 值，从而由直线方程得定点． （1）由题意2222a ca b c a⎧=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得2b a c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程为：22164x y +=；（2）① 设MN 的方程为11y k x =-，与22164x y +=联立得：2211(32)690k x k x +--=， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则112212222111632932Δ72(21)0k x x k x x k k ⎧+=⎪+⎪⎪=-⎨+⎪⎪=+>⎪⎩，12111234121222(3)(3)y y k x k x k k x x x x ----⋅=⋅==2112112123()92k x x k x x x x -++=- ②设PQ 的方程为2,2y k x t t =+≠ ，与22(1)1y x +-=联立2222(1)2(1)(2)0k x k t x t t ++-+-=，设33(,)P x y ，44()Q x y ，，则23422342222222(1)1(2)1Δ4(2)0k t x x k t t x x k k t t =-⎧+-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪⎪=-+>⎪⎩222232324422234342(2)(2)2(2)2(2)(1)(1)(2)(2)BP BQ y k x t k x t y k t t k t t k t k k x x x x t t -+-+------++-⋅=⋅==-2222222(1)(1)(2)2k t k t k t t t t--++--==由34BP BQ k k k k ⋅=⋅，即222,,3t t t -=-∴=此时22284()09k ∆=+>， 所以PQ 的方程为223y k x =+，故直线PQ 恒过定点2(0,)3.10．（1）2212x y +=（2）证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组求得,a b ，即可得到椭圆的标准方程；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，分直线AB 斜率存在与不存在两种情况证明.当直线AB 的斜率存在时，设AB ：y kx m =+，联立椭圆方程消元后利用韦达定理及判别式求得22212122242221,,2121km m k m x x x x k k -+>+=-⋅=++，由124k k +=求得12k m =-，代入直线方程可证得直线过定点1,12⎛⎫⎪⎝⎭，再考虑直线AB 的斜率不存在时情况，易证得结果.（1）由题意可得2221b c b a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y .①当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为y kx m =+， 联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214220k x kmx m +++-=. 由()()()222222Δ16421228210k m k m k m =-+-=-+>，得2221k m +>.所以2121222422,2121km m x x x x k k -+=-⋅=++．所以12121212121111y y kx m kx m k k x x x x +++++++=+=+()1212214x x k m x x +=++=， 即2241km k m -=-，所以21km k m =--，即()()2122km k m km k m =--=--+， 所以12k m =-，所以11122k y kx m kx k x ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，所以直线AB 过定点1,12⎛⎫⎪⎝⎭.②当直线AB 斜率不存在时，()()1111,,,A x y B x y -，则11121111124y y k k x x x +-++=+==，所以112x =，则直线AB 也过定点1,12⎛⎫⎪⎝⎭.综合①②，可得直线AB 过定点1,12⎛⎫⎪⎝⎭.11．（1）存在，过定点()1,0F （2【分析】（1）设直线MP 的方程为y kx b =+与抛物线方程联立方程组，消元后由判别式为0，得1kb =，这样可用k 表示出P 点坐标，从而也可得M 点坐标，然后求出MP 中垂线方程后可得定点；（2）由（1），求出PN 方程，与抛物线方程联立求得N 点坐标后，计算出PM ，PN ，从而得PMN 面积S 为k 的函数，其中0k >，利用导数可求得其最小值． （1）解：设直线MP 的方程为y kx b =+，和抛物线方程24y x =联立得：2440ky y b -+=， 由0k ≠，0∆=得1kb =，则2440ky y b -+=的解为2y k=， 由020y k =>得0k >，21y b x k k -==，得212,P k k ⎛⎫⎪⎝⎭， 在y kx b =+中，令0y =得21b x k k =-=-，所以21,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，MP 中点为1(0,)k ，所以线段MP 的中垂线方程为()11y x k=--，所以线段MP 的中垂线过定点()1,0F . （2）解：由（1）可知，直线NP 的方程为23112112y x x k k k k k k⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭将其与抛物线方程24y x =联立得：2311204y y k k k ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，24,4N P N y y k y k k ⎛⎫∴+=-∴=-+ ⎪⎝⎭，22P M PM x k =-=，44N P PN y k k=-=-. 所以PMN 的面积为()()223410k S k k+=>，所以()()224413k k S k+-'=，当0k <<0S '<，S 单调递减，当k >0S '>，S 单调递增，所以k =min S =. 12．（1）24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩；（2）证明见解析. 【分析】（1）令(,)M x y ||1x =+，讨论0x ≥、0x <化简整理求轨迹方程.（2）由（1）得()1,2P ，设MN 为x my n =+，2111,4M y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4N y y ⎛⎫⎪⎝⎭，联立抛物线方程应用韦达定理得124y y m +=，124y y n =-，根据题设条件有()12122360y y y y +++=，进而可得,n m 的数量关系，即可证明结论. （1）由题设，(,)M x y 到点()1,0的距离比它到y 轴的距离大1，||1x =+，当0x ≥时，222(1)(1)x y x -+=+，整理得24y x =； 当0x <时，222(1)(1)x y x -+=-，整理得0y =；∴动点M 的轨迹W 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩．（2）证明：()()001,0P y y >，由（1）知：()1,2P ，设MN 的方程为x my n =+，2111,4M y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4N y y ⎛⎫⎪⎝⎭，联立24x my n y x =+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=，∴124y y m +=，124y y n =-，由1211241214PM y k y y -==+-，同理242PN k y =+，又12PM PN k k =-⋅， ∴()()12161222y y =-++， ∴()12122360y y y y +++=，则290n m -++=，即29n m =+（满足Δ0>）， 直线MN 的方程为()2929x my m m y =++=++， ∴直线MN 过定点()9,2-，得证． 13．（1）24y x =（2）直线过定点(2,0)【分析】（1）利用焦半径的定义可得P 的值，即可得到答案；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线:l x my n =+，根据4OA OB ⋅=-可求得n 的值，即可得到答案； （1）2MF =，∴1222pp +=⇒=， ∴抛物线的标准方程为24y x =.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线:l x my n =+代入抛物线24y x =得： 2440y my n --=，∴121244y y my y n +=⎧⎨⋅=-⎩，12124OA OB x x y y ⋅=+=-，①又22112244y x y x ==，，()2212121616x x y y n ∴==，∴212x x n =，∴①等价于22440(2)02n n n n -+=⇒-=⇒=， ∴直线l 恒过定点(2,0).14． （1）2p = （2）证明见解析 【分析】(1) 设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为2y kx =+，与抛物线方程联立， 可求1212,x x x x +⋅，由4OA OB =-列方程求p 的值；(2) 设3344(,),(,)M x y N x y 利用导数的几何意义求切线12l l 和的方程，根据12l l ⊥可得344x x =-，化简直线MN 的方程，证明直线MN 过定点．（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为2y kx =+，与抛物线方程联立， 整理可得2240.x pkx p --= 所以，12122,4x x pk x x p +=⋅=-，所以，221212122444 4.4x x OA OB x x y y p p p ⋅=+=-=-=- 所以， 2.p = （2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设3344(,),(,)M x y N x y ，则抛物线在点M 处的切线方程为333()2xy y x x -=-，从而312x k =，同理422x k =， 因为12l l ⊥，所以121k k =-，即344x x =-， 又34343434223434()()4MN y y y y x x x x k x x x x --++===--， 从而直线MN 的方程为：3433()4x x y y x x +-=-， 将2334x y =，344x x =-带入化简得：3414x x y x +=+， 所以，直线MN 恒过定点(0,1)． 15．（1）22163x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）设(,)P x y ，利用两点距离公式及点线距，结合已知条件可得2226x y +=，即可写出P 的轨迹方程C .（2）由（1）易知A 在椭圆C 上，设1122(,),(,)M x y N x y ，讨论MN 斜率：存在时令MN 为y kx m =+，联立椭圆方程结合韦达定理及0AM AN ⋅=可得2310k m ++=，可知MN 过定点；斜率不存在时由0AM AN ⋅=求M 、N 的横坐标，判断是否过同一定点，最后根据AD MN ⊥确定D 的轨迹为圆，进而确定圆心即可证结论. （1）设(,)P x y ，由题设2222[(](x y x +=-，整理得：2226x y +=，∴P 的轨迹方程C 为22163x y +=.（2）由（1）知：A 在椭圆C 上，设1122(,),(,)M x y N x y ，当直线MN 斜率存在时，令MN 为y kx m =+，联立椭圆C 并整理得：222(21)4260k x kmx m +++-=，∴222222168(3)(21)488240k m m k k m ∆=--+=-+>，则122421km x x k +=-+，21222(3)21m x x k -=+，故121222()221m y y k x x m k +=++=+，222212121226()21m k y y k x x km x x m k -=+++=+， ∵AM AN ⊥，而11(2,1)AM x y =--，22(2,1)AN x y =--，∴121212121212(2)(2)(1)(1)2()()5AM AN x x y y x x x x y y y y ⋅=--+--=-++-++=0； ∴由上整理得：2234821(231)(21)0m k km m k m k m ++--=+++-=.由题设知：A 不在MN 上，即210k m +-≠，故2310k m ++=，则2133k m +=-，∴MN 过定点21(,)33E -，当直线MN 斜率不存在时，则11(,)N x y -，由2211(2)10AM AN x y ⋅=-+-=，又221126x y +=，可得2113840x x -+=，解得123x =或12x =(舍)，∴此时MN 也过定点21(,)33E -，又AD MN ⊥，即90ADE ∠=︒，故D 在以AE 为直径的圆上且圆心为41(,)33.∴定点Q 41(,)33，使得||DQ 为定值，得证.【点睛】关键点点睛：第二问，讨论MN 斜率，联立椭圆方程及线段的垂直关系，利用向量垂直的坐标表示判断MN 所过的定点坐标，再由AD MN ⊥判断D 的轨迹为圆，找到圆心坐标，即为所要证的定点Q . 16．（1）221(2)64x y y +=≠±；（2）(Q . 【分析】（1）设(,)P x y ，应用斜率的两点式及已知条件可得222(2)3y y y x x +-⋅=-≠±，化简整理即可得C 的方程；（2）设(,0)Q n ，:MN l x my n =+(0)m ≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立曲线C ，结合韦达定理求MN 的中点坐标，进而写出MN 垂直平分线方程即可得R 的坐标，根据弦长公式及|||MN QR =可得22(42)(23)0n m -+=，即可求Q 的坐标.（1）设(,)P x y ，则直线PA ，PB 的斜率之积为222(2)3y y y x x +-⋅=-≠±， ∴整理得222312+=x y ，即221(2)64x y y +=≠±，因此，点P 的轨迹曲线C 的方程为221(2)64x y y +=≠±.（2）设(,0)Q n ，:MN l x my n =+(0)m ≠，11(,)M x y ，22(,)N x y .由2223120x my nx y =+⎧⎨+-=⎩，得222(23)42120m y mny n +++-=， 当2224(46)0m n ∆=-+>时，122423mn y y m -+=+，212221223n y y m -=+，∴||MN =又线段MN 的中点为22222,2323m n mn n m m ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭，即2232,2323nmn m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， ∴线段MN 的垂直平分线为22232323mn n y m x m m -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得223R n x m =+，故2,023n m R ⎛+⎫⎪⎝⎭.由|||MN QR =223nm -+，整理得|2n =∴22(42)(23)0n m -+=，则有n =(Q . 17．（1）11,22-（2）证明见解析 【分析】（1）设出直线方程，与双曲线联立，利用判别式可求；（2）联立直线2l 与双曲线方程，利用韦达定理结合0AC BC ⋅=求出m 和k 关系即可证明. （1）由题意得直线1l 的斜率必存在，设()1:1l y k x =+，联立()22114y k x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，得()2222148440k x k x k ----= 若2140k -=，即12k =±时，满足题意； 若2140k -≠，即12k ≠±时，令()()()22228414440k k k ∆=-----=，解之得k = 综上，1l的斜率为11,22-（2）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()()222148410k x kmx m ---+=，则：()()221222122164108144114m k mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+>⎪⎪+=⎨-⎪⎪-+⎪=-⎩以线段AB 为直径的圆过双曲线的左顶点C ()2,0-，∴0AC BC ⋅=，即()121212240x x x x y y ++++=，由韦达定理知，()()()2222121212122414m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=-.则()2222224141640141414m m k mk k k k -+-+++=---， 整理得22316200m mk k -+=， 解得2m k =或103km =（均满足0∆>）. 当2m k =时，直线l ：()+2+2y kx m kx k k x =+==，此时，直线过点()2,0-，不满足题意，故舍去； 当103k m =时，直线l ：1010++33y kx m kx k k x ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，此时，直线恒过点10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，满足题意.所以原题得证，即直线2l 过定点10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.18．（1）24y x =或0(0)y x =<（2）(i)1x =-；(ii)证明见解析，定点为(1,0) 【分析】(1)设出P 点坐标，根据题意列式化简即可.(2) (i)设出切点，表示出切线方程，再联立两切线方程即可求出交点坐标；(ii)根据A 、B 两点坐标表示出直线AB 的点斜式方程，化简求出定点. （1）设(,)P x y ，则当0x ≥时，1PF x -=，1x =+，当x>0时化简得24y x =；当0x <时，由题意得0(0)y x =<，所以曲线C 的方程为：24y x =或0(0)y x =<.（2）(i)当0(0)y x =<时，不合题意，故设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，则过点A 的切线为：1122y y x y =+，同理可得过点B 的切线为：2222yy x y =+.根据12l l ⊥可得124y y =-. 所以联立两条切线方程11222222y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可得1M x =-，所以M 的轨迹为1x =-(ii)由题意可得AB l 的直线方程为：()211211122221211444444y y y y y y y x x y y y y -⎛⎫--=-=+ ⎪---⎝⎭， 所以必过()1,0 【点睛】求曲线方程的题通常有两种做法，一种是直接根据题意列式化简即可，一种需要结合图像，先根据定义分析出曲线为何种曲线，再进行计算.证明直线过定点常用方法为设而不求，得出参数之间的关系即可求得定点. 19．（1）2213y x -=（2）存在；定点M 的坐标为(1,0)- 【分析】（1）根据倾斜角得出渐近线的倾斜角，求出渐近线方程，进而得到a ,b 的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，最后解出a ,b 即可；（2）考虑直线的斜率存在和不存在两种情况，当直线斜率存在时，设出直线的点斜式方程并代入双曲线方程并化简，进而根据根与系数的关系与0MA MB →→⋅=得到答案. （1）双曲线的渐近线方程为by x a =±，因为两条渐近线的夹角为3π，故渐近线b y x a=的倾斜角为6π或3π，所以b a =b a =又22491a b -=，故22491b a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩或22491a a b ⎧⎪⎨-=⎪⎩（无解），故1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以双曲线2213y x -=．（2）双曲线的右焦点为2(2,0)F ，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(2)y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，因为0MA MB →→⋅=，所以()()12120x m x m y y --+=，整理得到()()()222212121240k x x m k x x m k +-++++=…①，由22(2)33y k x x y =-⎧⎨-=⎩可以得到()222234430k x k x k -+--=， 因为直线l 与双由线有两个不同的交点，故()()422216434336450k k k k ∆=+-+=+>且230k -≠，所以k ≠由题设有①对任意的k ≠ 因22121222443,33k k x x x x k k ++=-=---， 所以①可转化为()()22222222434124033k k k m k m k k k+-+++++=--，整理得到()()22231540m m m k -++-=对任意的k ≠故2210540m m m ⎧-=⎨+-=⎩，故1m =-即所求的定点M 的坐标为(1,0)-． 当直线l 的斜率不存在时，则:2l x =，此时(2,3),(2,3)A B -或(2,3),(2,3)-B A ， 此时330MA MB →→=-+=⋅． 综上，定点M 的坐标为(1,0)-． 【点睛】本题第（2）问是一道常规压轴题，根据向量数量积为0得到两点的坐标关系，然后结合根与系数的关系将式子化简，最后求出答案.20．（1）M (25，5)；（2）存在，7221(,),22k k x y x y k k --⎧⎫==⎨⎬--⎩⎭∣(k ∈R 且k ≠2).【分析】（1）设M (m 2，m )，因为A ，P ，M 三点共线，则斜率相等，代入计算可得m =5，从而求出点M 坐标；（2）设A (a 2，a )，B (b 2，b )，M (m 2，m )，N (n 2，n )，利用两点可求直线AM 的方程，代入P 点坐标，可解出212a m a -=-，同理解出212b n b -=-，联立直线AN 和BM ，解出R 的纵坐标，代入,m n ，得到(21)2(2)27R a b a y a b a --+=--+，直线AB 的方程过点Q (s ，t )，可通过代入Q 点建立,s t的关系，若R y 为定值，则得出比例关系为定值k ，从而找到,s t 的解的集合. 【详解】解：（1）设A (a 2，a )，B (b 2，b )，M (m 2，m )，N (n 2，n )， 因为A ，P ，M 三点共线， 所以2332991m m --=--，解得m =5， 所以点M (25，5).（2）直线AM 的方程为(a +m )y =x +am ， 将点P 代入可得2(a +m )=1+am ， 解得212a m a -=-，直线BM 的方程为：()b m y x bm +=+ 同理可得212b n b -=-，直线AN 的方程为：()a n y x an +=+ 再将直线AN 和BM 联立，得()()a n y x anb m y x bm+=+⎧⎨+=+⎩，解得n R a bmy a b n m-=-+-，代入得2121(2)(21)(2)(21)222121()(2)(2)(21)(2)(21)(2)22R b a a b a a b b n a b a y b a a b a b b a a b a b b a --⨯-⨯-------==-----+------+---2()2(21)2227(2)27ab a b a b a ab a b a b a -++--+==--+--+因为直线AB 的方程为(a +b )y =x +ab 过点Q (s ，t )， 则(a +b )t =s +ab ， 解得at sb a t-=-， 代入上式得，22(21)2(21)(22)2(2)(7)27(2)27R at sa a t a s a s t a t y at s t a s a s t a a a t --⨯-+-+-+--==--+-+--⨯-+-为常数， 只需要212222727t s s tk t s s t---===---，即722212k s k k t k -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩(k ∈R 且k ≠2)，所以存在点Q 满足的集合为7221(,),22k k x y x y k k --⎧⎫==⎨⎬--⎩⎭∣(k ∈R 且k ≠2).【点睛】知识点点睛：定点定值问题若出现ax by cx d +=+为定值，则会有a b c d=为定值，即系数比为定值.21．（1）22182x y +=；（2）存在，点(4,0)G -. 【分析】（1）由直译法列出方程化简即可；（2）设出直线l 方程4x ty =-，以及11(,)M x y ，()()223,,,0N x y E x ,4(,0)F x ，0(,0)G x ,通过代换用t 表示0x ，化简得到一个常数即可. 【详解】（1）设点(,)P x y化简得22182x y += 故动点P 的轨迹C 的标准方程为22182x y += （2）设直线l 的方程为4x ty =-联立方程组224182x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(4)880t y ty +-+=，22226432(4)3212832(4)0,t t t t ∆=-+=-=-> 得: 2t >或2t <-12284ty y t +=+，12284y y t =+. 设 34(,0),(,0)E x F x ，定点G 存在，其坐标为0(,0)x()2,1B --，1112BM y k ty +∴=-，2212BN y k ty +=- 则121211:(2)1,:(2)121y y BM y x BN y x ty ty ++=+-=+--- 令0y =，求出与x 轴的交点,E F()()1122334411221212210,2,210,22121y ty y ty x x x x ty y ty y +-+-+-=+=+-=+=-+-+ ()32,1BE x =+， ()42,1BF x =+， ()40,0GF x x =-， ()30,0GE x x =- 0BE GF GE BF ⋅+⋅= 即有: 340430(2)()(2)()0,x x x x x x +-++-=即343434022()(4)0x x x x x x x ++-++= 343403422()4x x x x x x x ++=++3434340343422(4)828244x x x x x x x x x x x +++--==+++++∴343434342(224)441624x x x x x x x x +++---=+++3434342(2)(2)4(4)24x x x x x x ++-++=+++34342(2)(2)2(2)(2)x x x x ++=-+++()()()()()()12121221221121222222112222212111y t ty ty ty y y y t ty ty y ty y y y --⋅⋅--++=-=----++-++++ 21212121222()422(2)()4t y y t y y ty y t y y ⎡⎤-++⎣⎦=-+-+-()2222222228816248844428288424444t t t t t t t t t t t t t t -⋅-⋅+++++=-=--⋅+-+++222222168(4)83222484(4)416t t t t t t -++-+=-=-=--+- 即04x =-当直线l 与x轴重合时，00()(2)0,BE GF GE BF x x ⋅+⋅=-+-= 解得 0 4.x =-所以存在定点G ，G 的坐标为(4,0)-. 【点睛】 关键点点睛： 本题中3434343403434282(224)44162244x x x x x x x x x x x x x -+++---=+=+++++3434342(2)(2)4(4)24x x x x x x ++-++=+++这一步是为了凑出34(2),(2)x x ++，然后作整体替换.。
圆锥曲线专题(定点、定值问题)
圆锥曲线专题——定点、定值问题定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型【例题】已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。
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专题3：圆锥曲线中的定值定点问题（解析版）1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，短轴一个端点到右焦点F 的.（1）求椭圆C 的标准方程 ；（2）过点 F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴 于P 点，设12,PA AF PB BF λλ==，试判断12λλ+是否为定值？请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）是定值-4，理由见解析.【解析】 【分析】（1）由题意可得a ， c ，b ，可求得椭的圆方程.（2）设直线l 的方程为()1y k x =-，与椭圆的方程联立整理得：()2222124220k xk x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 由一元二次方程的根与系数的关系可得212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，再根据向量的坐标运算表示出1111x x λ=-， 2221x x λ=-， 代入计算可求得定值. 【详解】（1）由题可得a =，又2c e a ==，所以1c =，1b ==， 因此椭圆方程为2212x y +=，（2）由题可得直线斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，由()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得：()2222124220k x k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 又()1,0F ，()0,P k -，则()11,PA x y k =+，()111,AF x y =--， 由1PA AF λ=可得()1111x x λ=-，所以1111x x λ=-，同理可得2221x x λ=-，所以12121211x xx x λλ+=+--()()()1212121212121222111x x x x x x x x x x x x x x +-+-==---++222222224222121242211212k k k k k k k k --⨯++=--+++4=-， 所以，12λλ+为定值-4. 【点睛】本题考查直线与椭圆的定值问题，关键在于联立方程组，得出交点的坐标的关系，将目标条件转化到交点的坐标上去，属于中档题.2．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且经过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()1,0作直线l 与椭圆相较于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在(4,0)Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称.【解析】 【分析】（1）将点坐标代入方程，结合离心率公式及222a b c =+，即可求出2,a b ==，进而可求得椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆联立，可得12y y +，12y y 的表达式，根据题意可得，直线QA ，QB 的斜率互为相反数，列出斜率表达式，计算化简，即可求出Q 点坐标. 【详解】（1）有题意可得22222191412a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,1a b c ===，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）存在定点(4,0)Q ，满足直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，联立得22(43)690m y my ++-=，22(6)4(43)(9)0m m ∆=-⨯+⨯->， 设1122(,),(,)A x y B x y ，定点(,0)Q t ，由题意得12,t x t x ≠≠， 所以12122269,4343m y y y y m m +=-=-++， 因为直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称， 所以直线QA ，QB 的斜率互为相反数，所以12120y y x t x t+=--，即1221()()0y x t y x t -+-=， 所以11221)1()(0y y my t my t +-++-=，即1212(1)()02y y t y m y +-+=， 所以22962()(1)()04343mm t m m⋅-+--=++，即6(4)0m t --=， 所以当4t =时，直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，即(4,0)Q . 综上，在x 轴上存在定点(4,0)Q ，使直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称. 【点睛】本题考查椭圆的方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系问题，解题的关键是将条件：直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，转化为直线QA ，QB 的斜率互为相反数，再根据韦达定理及斜率公式，进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.3．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点,02p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线与抛物线在第一象限相切于点B ，点B 到坐标原点O的距离为 （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()8,0M 任作直线l 与抛物线C 相交于P ，Q 两点，请判断x 轴上是否存点T ，使得点M 到直线PT ，QT 的距离都相等.若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）28y x =；（2）存在；点T 的坐标为()8,0-. 【解析】 【分析】（1）设直线AB 的方程为()02p y k x k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，与抛物线方程联立，利用判别式等于0，解得1k =，B 点坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，根据点B 到坐标原点O的距离为果；（2）设直线:8l x ny =+，假设存在这样的点T ，设()11,P x y ，()22,Q x y ，点(),0T t ，联立方程28,8,y x x ny ⎧=⎨=+⎩消去x 整理成关于y 的一元二次方程，根据韦达定理得到12y y +和12y y ，将点M 到直线PT ，QT 的距离都相等转化为直线PT ，QT 的斜率互为相反数，根据PT QT k k +0=可得结果. 【详解】（1）设直线AB 的方程为()02p y k x k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 联立方程组22,,2y px p y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩消去x 得，2220ky py kp -+=， 由222440p k p ∆=-=，因为0p >，解得1k =（1k =-舍），所以由2220y py p -+=可得y p =，所以2p x =， 所以B 点坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，则OB ==4p =，故抛物线C 的标准方程为28y x =.（2）设直线:8l x ny =+，假设存在这样的点T ，设()11,P x y ，()22,Q x y ，点(),0T t ，联立方程28,8,y x x ny ⎧=⎨=+⎩消去x 整理得28640y ny --=，可得128y y n +=，1264y y =-，若点M 到直线PT ，QT 的距离相等，则直线PT ，QT 的斜率互为相反数， 有12121212088PT QT y y y y k k x t x t ny t ny t+=+=+=--+-+-（先假设1x t ≠，2x t ≠）， 可得()()1221880y ny t y ny t +-++-=，整理得，()()1212280ny y t y y +-+=，得2(64)(8)80n t n ⨯-+-⨯=对任意的n 都成立，得8t.显然18x ≠-且28x ≠-.故存在这样的点T 的坐标为()8,0-. 【点睛】关键点点睛：解题关键是将点M 到直线PT ，QT 的距离都相等转化为直线PT ，QT 的斜率互为相反数，然后根据PT QT k k +0=可得结果.本题考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．转化化归思想，属于中档题．4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，且12F F =设A 是C 上一点，且1173b AF =，23bAF =. （1）求椭圆C 的方程；（2）若不与y 轴垂直的直线l 过点()10B ,，交椭圆C 于E ，F 两点，试判断在x 轴的负半轴上是否存在一点T ，使得直线TE 与TF 斜率之积为定值？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2219x y +=；（2）存在，定点()3,0T -. 【解析】 【分析】（1）由12F F =求得c =根据椭圆的定义求得3a b =，结合222c a b =-，求得3a =，1b =，即可得到椭圆的方程；（2）设l 的方程为1x my =+，联立方程组，求得12122228,99m y y y y m m +=-=-++，结合斜率公式化简()()2228991TE TF k k tm t ⋅=--+-，得到当3t =-时，TE TF k k ⋅为定值. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c，则122F F c ==，可得c = 由椭圆的定义，得122AF AF a +=，可得1217633b bAF AF b +=+=， 所以26a b =，即3a b =，又由2228c a b =-=和3a b =，解得3a =，1b =，所以椭圆C 的方程为2219x y +=.（2）由已知直线l 过点()10B ,，设l 的方程为1x my =+， 联立方程组22119x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得()229280m y my ++-=， 设()()1122,,,E x y F x y ，()(),00T t t <，则1221222989m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，所以()21212222182299m x x m y y m m +=++=-+=++， ()()()22121212122991119m x x my my m y y m y y m -=++=+++=+. 又直线TE 与TF 斜率分别为11TE y k x t =-，22TF y k x t=-，则()()()()()121222221212128991TE TF y y y y k k x t x t x x t x x t t m t ⋅===----++-+-.因为0t <，所以当3t =-时，m R ∀∈，118TE TF k k ⋅=-. 所以在x 负半轴上存在定点()3,0T -，使得直线TE 与TF 斜率之积为定值. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．5．已知动点(),P x y (其中0x ≥)到定点()1,0F 的距离比点P 到y 轴的距离大1. （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过椭圆221:11612x y C +=的右顶点作直线交曲线C 于A ､B 两点，其中O 为坐标原点①求证：OA OB ⊥；②设OA ､OB 分别与椭圆相交于点D ､E ，证明：原点到直线DE 的距离为定值. 【答案】（1）24y x =；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】 （1()10x x =+≥，化简可得答案.（2）直线AB 的方程为4x my =+,与抛物线方程联立，①由()()1212121244x x y y my my y y +=+++，将韦达定理代入可证明.②由①可得OD OE ⊥，设()33,D x y ､()44,E x y ，直线DE 的方程为x ty λ=+，则34340x x y y +=，由方程联立，韦达定理可得()227481t λ=+，再由点到直线的距离公式可证明. 【详解】（1）设()(),0P x y x ≥()10x x =+≥两边平方，整理得：24y x =所以所求点P 的轨迹方程为2:4C y x =.（2）①设过椭圆的右顶点()4,0的直线AB 的方程为4x my =+.代入抛物线方程24y x =，得24160y my --=.设()11,A x y ､()22,B x y ，则12124,16.y y m y y +=⎧⎨=-⎩∴()()()()21212121212124414160x x y y my my y y m y ym y y +=+++=++++=.∴OA OB ⊥.②设()33,D x y ､()44,E x y ，直线DE 的方程为x ty λ=+，代入2211612x y +=，得()2223463480t y t y λλ+++-=.于是342634t y y t λ+=-+，234234834y y t λ-=+. 从而()()223434244834t x x ty ty t λλλ-=++=+ ∵OD OE ⊥，∴34340x x y y +=. 代入，整理得()227481t λ=+. ∴原点到直线DE的距离7d ==为定值. 【点睛】本题考查求轨迹方程，考查方程联立韦达定理的应用，考查“设而不求”方法的应用，属于中档题.6．已知椭圆()3222:10x y E a b a b+=>>，以抛物线2y =的焦点为椭圆E 的一个（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆E 相交于A 、B 两点，与直线4x =-相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点，且满足OP OA OB =+（其中O 为坐标原点），试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP TQ ⋅为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP TQ ⋅的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）3,02T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12OP TP ⋅=.【解析】 【分析】（1）利用椭圆以抛物线2y =的焦点为顶点，且离心率为2，求出,,a b c ，即可求椭圆E 的方程；（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理确定P 的坐标，代入椭圆方程，再利用向量的数量积公式，即可得到结论． 【详解】（1）抛物线2y =的焦点即为椭圆E的顶点，即a =∵离心率为2，2c e a ∴== 1c ∴=，1b ∴==∴椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 直线方程代入椭圆方程，可得()222124220kxkmx m +++-=122412km x x k -∴+=+，21222212m x x k -=+ 122212m y y k+=+ 2242,1212km m P k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭代入椭圆方程可得222242121212km m k k -⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭ 22421m k ∴=+设T （t ，0），Q （﹣4，m ﹣4k ），()4,4TQ t m k ∴=---，2242,1212kmm OP k k -⎛⎫= ⎪++⎝⎭∴()()22224226444121212km m m km kmtOP TQ t m k k k k -++∴⋅=⨯--+⨯-=+++ 22421m k =+()32122k t OP TQ m+∴⋅=+ ∴要使OP TP ⋅为定值，只需320t +=32t ∴=-∴在x 轴上存在一点T （32-，0），使得12OP TP ⋅=．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7．已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>5，椭圆M 与y 轴交于A ，B 两点（A 在下方），且 4.AB =过点()0,1G 直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点（不与A 重合）. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）证明：直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值.【答案】（Ⅰ）22154x y +=；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由24AB b ==，55c a =，解方程组可得； （2）分直线l 的斜率0k =和0k ≠两类求解，当0k ≠时，设直线l 的方程为1y kx =+，联立方程组，利用韦达定理求AC AD k k ⋅，化简可得. 【详解】（Ⅰ）解：由题意得2225524c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得521a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.∴椭圆M 的方程为22154x y +=；（Ⅱ）证明：由题意，直线l 的斜率存在，当0k =时，直线l 的方程为1y =，代入椭圆方程有x =±则C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，D ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,2)A - ，(0,2)B ，2AC k ==，2AD k ==∴125AC AD k k ⋅==-，当0k ≠时，则直线l 的方程为1y kx =+.由221154y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224510150k x kx ++-=.设()11,C x y ，()22,D x y ， 则1221045k x x k +=-+，1221545x x k =-+， 又()0,2A -，121222AC AD y y k k x x ++==，， ()()()()2121212122121212121233393922AC ADkx kx k x x k x x k x x y y k k k x x x x x x x x +++++++++⋅=⋅===+222222103930364512451515545k k k k k k k k ⎛⎫-+ ⎪-+++⎝⎭=+=+=---+，即直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值. 【点晴】（1）第一问是常规题型，求解时注意椭圆的焦点位置；（2）第二问采用“设而不求”，利用韦达定理直接计算AC AD k k ⋅，考运算能力，化简时要细心，另因为0k =时已求出125AC AD k k ⋅=-，第二问化简时可简略书写.8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，且12 4.MF MF += （1）求椭圆C 的方程（2）过点M 作互相垂直的两条直线分别交椭圆C 于另一点A ，B ，求证：直线AB 过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，13714⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 【解析】 【分析】（1）由已知得22241914a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，从而可求出,a b 的值，进而可得椭圆C 的方程； （2）当直线AB 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系可得212122284124343km m x x x x k k --+==++，，由MA MB ⊥可得121233(1)(1)022MA MB x x y y ⎛⎫⎛⎫=--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，从而可得337022k m k m ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由此可得32m k =-+或13714m k =--，进而可得直线方程恒过定点，当直线AB 的斜率不存在时，设00()A x y ，，00()B x y -，，由()20002200331+-=0223412x y y x y ⎧⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪+=⎩ 可求出,A B 坐标，从而可得直线方程，再验证直线是否过定点即可【详解】（1）解：由已知得222224419134a a b a b =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩，，， 故所求椭圆的方程为22143x y +=．（2）证明：①当直线AB 的斜率存在时，设方程为y kx m =+， 与椭圆C 联立消去y 得222()4384120k x kmx m +++-=，2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+->． 设11()A x y ，，22()B x y ，，则212122284124343km mx x x xk k--+==++，．因为MA MB⊥，所以121233(1)(1)022MA MB x x y y⎛⎫⎛⎫=--+--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，121233(1)(1)022x x kx m kx m⎛⎫⎛⎫⇒--++-+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22121233(1)1()1022k x x k m x x m⎡⎤⎛⎫⎛⎫⇒++--++-+=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，代入韦达定理，整理得337022k m k m⎛⎫⎛⎫+-++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得32m k=-+或13714m k=--．若32m k=-+，则直线AB的方程为3(1)2y k x=-+，过点M，不符题意；若13714m k=--，则直线AB的方程为13714y k x⎛⎫=--⎪⎝⎭，恒过点13714⎛⎫-⎪⎝⎭，；②当直线AB的斜率不存在时，设00()A x y，，00()B x y-，，由()20002200331+-=0223412x y yx y⎧⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪+=⎩解得17x=或1x=(舍)，此时直线AB也过点13714⎛⎫-⎪⎝⎭，．综上知，直线AB恒过定点13714⎛⎫-⎪⎝⎭，．【点睛】此题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力和分类思想，属于中档题9．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左焦点为1(3,0)F-，且过点313(,)24P.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知12,A A分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线1x=上任意一点，直线12,AQ A Q分别交椭圆C 于不同的两点,M N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析，定点为(4,0). 【解析】 【分析】（1）利用椭圆定义先求解出a 的值，然后根据222b a c =-求解出2b 的值，则椭圆方程可求；（2）设出Q 点坐标，再分别联立直线12,AQ A Q 与椭圆方程从而得到,M N 的坐标，由此确定出直线MN 的方程，分析直线MN 的方程完成证明并求解出定点坐标. 【详解】（1）椭圆的一个焦点1(F ，则另一个焦点为2F ， 由椭圆的定义知:122PF PF a +=，所以2a=，解得2a =. 又2221b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为2214xy +=.（2）设1122(1,),(,),(,)Q t M x y N x y ，则直线1:(2)3t AQ y x =+，与2214x y +=联立可得()2222491616360tx t x t +++-=，所以1221649A M t x x t +=-+，所以12222168184949M A t t x x t t -+=--=++， 所以22281812234949M t t t y t t ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭，所以22281812(,)4949t tM t t -+++， 又直线2:(2)A Q y t x =--，与2214x y +=联立可得()222241161640tx t x t +-+-=，所以2221641A N t x x t +=+，所以2222216824141N A t t x x t t -=-=++，所以222 82424141Nt ty tt t⎛⎫-=--=⎪++⎝⎭，所以222824(,)4141t tNt t-++所以直线MN的斜率为2222221244941818824941t tt tt tt t-++-+--++=2243tt-+所以直线2222122818:()494349t t tMN y xt t t-+-=--+++22(4)43txt=--+所以直线MN恒过定点，且定点坐标为(4,0).【点睛】方法点睛：圆锥曲线中过定点问题的两种求解方法：（1）若设直线方程为y kx m=+或x ky m=+，则只需要将已知条件通过坐标运算转化为,m k之间的线性关系，再用m替换k或用k替换m代入直线方程，则定点坐标可求；（2）若不假设直线的方程，则需要将直线所对应线段的两个端点的坐标表示出来，然后选择合适的直线方程形式表示出直线方程，由此确定出定点坐标.10．如图，椭圆C：()221212x ymm m+=>+-的离心率32e=，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，又P，M，N为椭圆C上非顶点的三点.设直线PA，PB的斜率分别为1k，2k.（1）求椭圆C的方程，并求12k k⋅的值；（2）若//AP ON，//BP OM，判断OMN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.【答案】（1）椭圆C的方程为2214xy+=，1214k k⋅=-；（2）为定值，且定值为1. 【解析】【分析】（1）结合已知条件，利用,cc e b a===求得,,c a b 的值，由此求得椭圆C 的方程.设出P 点坐标，结合P 在椭圆上，化简求得12k k ⋅的值.（2）设直线MN 的方程为()0y kx t k =+≠，联立直线MN 的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，由14AP BP k k ⋅=-求得,k t 的关系式，利用弦长公式求得MN ，求得O 到直线MN 的距离d ，由此求得OMN 的面积为定值1. 【详解】 （1）由题意得c ==c e a ==2a =，1b ==， 即椭圆C ：2214x y +=.设()00,P x y ，则222200001144x x y y ==-+⇒， 又()2,0A -，()2,0B ，则()()20201220001142244x y k k x x x -⋅===--+-. （2）设直线MN 的方程为()0y kx t k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，22,1,4y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222418440k x ktx t ⇒+++-=， 122841kt x x k +=-+，21224441t x x k -=+，()()12121212121211404044AP BP y y k k y y x x kx t kx t x x x x ⋅=-⇒⋅=-⇒+=⇒+++=，()()22121241440k x x kt x x t ++++=，()22222448414404141t ktk kt t k k -+⋅-⋅+=++即()()()2222224144324410k t k t tk+--++=，即2281640t k --=22241t k ⇒-= 22241t k ⇒=+，MN==========O到直线MN的距离d=所以112OMNS =⋅==.∴OMN的面积为定值1.【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形的面积问题，考查运算求解能力，属于难题.11．如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴，离心率2e=，F是右焦点，A是右顶点，B 是椭圆上一点，BF x ⊥轴，22BF =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l ：x ty λ=+是椭圆C 的任一条切线，点()12,M y -，点)22,Ny 是切线l 上两个点.证明：以MN 为直径的圆过x 轴上的定点，并求出定点坐标.【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）证明见解析，定点是()1,0-与()1,0.【解析】 【分析】（Ⅰ）利用椭圆的基本性质即可求解（Ⅱ）联立直线l 与椭圆方程，计算∆得，2220t λ-+=，① 设圆过定点()0,0A x ，则()012,AM x y =-，()022,AN x y =，以MN 为直径的圆过A 等价于：201220AM AN x y y ⋅=-+=.②利用①和②，化简即可求解 【详解】解：（Ⅰ）由题设椭圆的方程是()222210x y a b a b+=>>，焦点(),0F c由题22c a =① 点2,2B c ⎛ ⎝⎭，由题代入()222210x y a b a b +=>>得：222112c a b +=②222a b c =+③解得2a=，1b=.所求C的方程：2212xy+=.（Ⅱ）由2212xyx tyλ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22220ty yλ++-=，即：()2222220t y t yλλ+++-= l是切线，∴()()()22224220t tλλ∆=-+-=，化简得2220tλ-+=①设圆过定点(),0A x ，则()012,AM x y=-，()022,AN x y=，以MN为直径的圆过A等价于：201220AM AN x y y⋅=-+=.②12ytλ=，22ytλ=，21222y ytλ-∴=.代入②及①，得()()222220022221x t x tAM ANt tλ-+--⋅==，要上式值恒为0，当且仅当21x=，从而1x=±.即动圆过x轴上的定点是()1,0-与()1,0，即两个焦点.【点睛】本题考查椭圆的基本性质和直线与椭圆的过定点问题，重点考查学生的运算能力，属于难题12．已知椭圆E的离心率为3e=，且经过点32M⎛⎫⎪⎪⎝⎭.（1）求椭圆E的方程.（2）设()00,P x y为椭圆E上非顶点的任意一点，若A､B分别为椭圆E的左顶点和上顶点，直线PA交y轴于D，直线PB交x轴于C，W AC BD=，问：W的值是不是定值？若为定值，求之，若不为定值，说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为4. 【解析】 【分析】（1）由离心率得2a b =，再代入点的坐标可得参数b 值，得椭圆方程；（2）设()0,D m ，(),0C n ，用00,x y 表示,m n ，然后计算W AC BD =，并代入220044x y +=可得结论．【详解】解：（1）设椭圆方程为22221x y a b +=，(0)a b >>．2c e a b a =⇒=⇒=， 设椭圆方程为222214x y b b+=，又椭圆过点1,2M ⎛ ⎝⎭，所以2214144b b +=，解得1b =， 故椭圆方程为2214x y +=.（2）设()0,D m ，(),0C n ，由A ､D ､P 共线可知00002222AP AD y y mk k m x x =⇒=⇒=++， 由B ､P ､C 共线可知0000111BP BC y xk k n x n y --=⇒=⇒=-. 00000222211x x y AC n y y +-=+=+=--，000002221122y x y BD m x x +-=-=-=++.∴()()()00002212x y W AC BD y x +-==-+2200000000004444822x y x y x y x y x y ++-+-=-+-+，由于220044x y +=，∴000000004488422x y x y W x y x y -+-+==-+-+.【点睛】方法点睛：椭圆中定值问题解决方法，由于00(,)P x y 是动点，因此可以把,C D 的坐标用00,x y 表示，然后计算W AC BD =，再代入动点坐标满足的性质，化简可得．即引入参数，利用参数计算结论，然后化简使得结论与参数无关，即得定值． 13．在圆:C 223x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当P在圆上运动时，线段PD 上有一点M，使得DM =， （1）求M 的轨迹的方程；（2）若直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过原点O ，求证：点O 到直线AB 的距离为定值.【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先设(),M x y ，()00,P x y ，根据题意，得到22003x y +=，00x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，进而可求出结果；（2）先设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意得到12120OA OB x x y y ⋅=+=，推出()()22121210k x x km x x m ++++=，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，以及题中条件，得出22334k m +=，再由点到直线距离公式，即可得出结果. 【详解】（1）设(),M x y ，()00,P x y ，由题意可得，22003x y +=，003x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，则00x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入22003x y +=，整理得2213x y +=；即所求M 的轨迹的方程为2213x y +=；（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 因为以AB 为直径的圆经过原点O ，所以2AOB π∠=，则12120OA OB x x y y ⋅=+=，即()()12120x x kx m kx m +++=，即()()22121210kx xkm x x m ++++=；联立2213y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2233kx x m ++=，整理得()222136330k xkmx m +++-=，则12221226133313km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩，()()222236121301k m k m ∆=+->-，即2213m k <+， 所以()22222336131310kk k m m m km k --+++⋅⋅+=，整理得222433130m k k --+=，则22334k m +=， 满足2213m k <+，又点O 到直线AB====为定值. 【点睛】 方法点睛：由相关点法求轨迹方程的一般步骤：（1）设轨迹上任意一点的坐标，以及其相关点的坐标；（2）根据题意，得出两点坐标直接的关系，用所求点表示其相关点的坐标，代入已知曲线方程；（3）化简整理，即可得出结果.14．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，12||2F F ，M是椭圆E 上的一个动点，且12MFF △ （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若(,0)A a ，(0,)B b ，四边形ABCD 内接于椭圆E ，//AB CD ，记直线AD ，BC 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可知，当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时，12MF F △2a =，b =（2）根据题意可知(2,0)A，B ，因为//AB CD ，所以可设直线CD的方程为()()1122(,,,y x m m D x y C x y =+≠.将斜率用C,D 的横坐标进行表示，再整体消元，即可得答案； 【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可知，当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时，12MF F △所以2221122c c b a b c=⎧⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩，所以2a =，b =E 的标准方程为22143x y +=.（2）根据题意可知(2,0)A，B ，因为//AB CD ，所以可设直线CD的方程为()()1122(,,,y x m m D x y C x y =+≠.由22143x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y可得2264120x m -+-=，所以123x x +=，即123x x =-.直线AD的斜率11111222x m y k x x +==--，直线BC的斜率222222x m y k x x +-==，所以121212222x m x m k k x x ++-=⋅-()()121211233(4222x x x x x m m x x +++-=-()1221233(422x x x m m x x ⎫-+-+-⎪⎝⎭=- ()1221233422x x x x x -=-34=，故12k k 为定值. 【点睛】利用待定系数法求椭圆的方程；设出点的坐标和直线方程，再将斜率用直线方程中的某个变量进行表示，最后利用整体消元是求解定值问题的常见思路.15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y --=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）设A 、B 分别为椭圆C 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，直线AM 与椭圆交于点P （与A 点不重合），以MP 为直径的圆交线段BP 于点N ，求证：直线MN 过定点.【答案】（1）22142x y +=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离等于半径，计算可得b ，由离心率列方程，计算可得结果； （2）设()2,M t ，写出直线AM 的方程为：(2)4ty x =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得P 点坐标，由已知可得MN BP ⊥，求出PB k ,即可得出MN k ,进而得出直线MN 的方程，化简可知过定点()0,0.【详解】（1）由题知，原点到直线20x y --=的距离d ==b ∴=2e =2= 2a ∴=.∴椭圆C 方程为22142x y += .（2）设()2,M t ，则直线AM 的方程为：(2)4ty x =+ 联立22(2)424t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩消去y 得，()2222844320t x t x t +++-=. 224328A P t x x t -⋅=+，由2A x =-得221628P t x t -=+，()28248P P t t y x t =+=+ 故222828162228P PBP ty t k t x tt +===----+.又以MP 为直径的圆上与线段BP 交于点N ，则MN BP ⊥MN 12PB t k k ∴=-=. 故直线MN 方程为(2)2t y t x -=-，即2t y x =. ∴直线MN 过定点()0,0O . 【点睛】本题考查椭圆的性质，考查直线和椭圆的位置关系，恒过定点问题，属于中档题. 16．已知点()1,0F ，直线:1l x =-，M 为直角坐标平面上的动点，过动点M 作l 的垂线，垂足为点Q ，且满足()0QF MQ MF ⋅+=，记M 的轨迹为C . （1）求C 的方程；（2）若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）24y x =；（2）是，1,0和3,0.【解析】 【分析】（1）设(,)M x y ，则()1,Q y -，再由()0QF MQ MF ⋅+=可得()()2,2,0y x y -⋅--=，化简可得所求轨迹方程；（2）设直线PQ 的方程为1x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩，则124y y m +=，124y y =-，由题意可得直线OP 的方程为1114y y x x x y ==，直线OQ 的方程为24y x y =，则141,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，241,B y ⎛⎫⎪⎝⎭，从而可求出AB 中点T 的坐标()1,2T m -，再求出AB ，可得圆的半径，进而可求出圆的方程，从而可得答案 【详解】（1）设(,)M x y ，∴点()1,0F ，直线:1l x =-，()1,Q y ∴-，∵()0QF MQ MF ⋅+=.()()22,2,40y x y x y ∴-⋅--=-+=，∴C 的方程为24y x =.（2）设直线PQ 的方程为1x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立241y xx my ⎧=⎨=+⎩，整理得：2440y my --=，216160m ∆=+>，124y y m +=，124y y =-，直线OP 的方程为1114y y x x x y ==， 同理：直线OQ 的方程为24y x y =， 令1x =得，141,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，241,B y ⎛⎫⎪⎝⎭，设AB 中点T 的坐标为(),T T x y ，则1T x =，()12121244222T y y y y y my y ++===-， 所以()1,2T m -.122112444A y y y y y yB -==-==圆的半径为r =所以以AB 为直径的圆的方程为()()2221244x y m m -++=+. 展开可得()22144x y my -++=，令0y =，可得()214-=x ，解得3x =或1x =-. 从而以AB 为直径的圆经过定点1,0和3,0.【点睛】此题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查定点问题，属于中档题。