最全总结之圆锥曲线定值问题

圆锥曲线的定值问题类型一斜率四则运算为定值例1．（2019届江苏省泰州姜堰中学期中）已知椭圆C：的左右顶点为A、B，右焦点为F，一条准线方程是，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点P、Q 为椭圆C上异于A、B的两点，点R为PQ的中点求椭圆C的标准方程；直线PB交直线于点M，记直线PA的斜率为，直线FM的斜率为，求证：为定值；若，求直线AR的斜率的取值范围．解析：椭圆的一条准线方程是，可得，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，可得，解得，，，即有椭圆方程为；证明：由，，设直线PB的方程为，联立椭圆方程，可得，解得或，即有，，，则，即为定值；由，可得，即，设AP的方程为，代入椭圆方程，可得，解得或，即有，将t换为可得，则R 的坐标为，即有直线AR 的斜率，可令，则，则，当时，，当且仅当时上式取得等号，同样当时，， 时，，，则AR 的斜率范围为跟踪训练一1．已知动点P 是圆G ： (22632x y +=上的任意一点，点P 与点)6,0A的连线段的垂直平分线和GP 相交于点Q ． （I ）求点Q 的轨迹C 方程；（II ）过坐标原点O 的直线l 交轨迹C 于点E ， F 两点，直线EF 与坐标轴不重合． M 是轨迹C 上的一点，若EFM ∆的面积是4，试问直线EF ， OM 的斜率之积是否为定值，若是，求出此定值，否则，说明理由．解析：（I ）由题意， QP QA =，又∵42GQ QP GP +==∴=42GQ QA GA +，∴点Q 的轨迹是以G 、A 为焦点的椭圆，其中22a = 6c =∴椭圆C 的方程为22182x y +=． （II ）设直线l 的方程为1y k x =，联立122{ 182y k xx y =+=，得()221418k x += ∴2121421?41EF k k =++设OM 所在直线方程为2y k x =，联立椭圆方程得222222222,4141k M k k ⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭或222222222,4141k M k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭， 点M 到直线EF 的距离()12222122411k k k d k-+=+．()()11221281424141KFM k k S EF d kk ∆-=⨯⨯==++∴2222221122121248416441k k k k k k k k -+=+++，即22121216810k k k k ++=，解得1214k k =-， ∴直线EF ， OM 的斜率之积是定值14-2.（濮阳市2019届）已知椭圆C ：的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线相切．1求椭圆C 的标准方程；2设过椭圆右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E ，使得为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）由题意知，，解得则椭圆的方程是（2）①当直线的斜率存在时，设直线联立，得所以假设轴上存在定点，使得为定值。

所以要使为定值，则的值与无关，所以解得，此时为定值，定点为②当直线的斜率不存在时，，也成立所以，综上所述，在轴上存在定点，使得为定值点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.3．如图，已知椭圆O：2214xy+=的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线PC交椭圆于另一点M．(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；(2)记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．解析：(1)由题知B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(，0)，当直线PM过椭圆的右焦点F时，直线PM的方程为＋＝1，即y＝x－1．联立解得或(舍)，所以M．连接BF，则直线BF的方程为＋＝1，即x＋y－＝0，学@科网而BF＝a＝2，所以点M到直线BF的距离为d＝＝＝．故S△MBF＝·BF·d＝×2×＝．(2)设P(m，－2)，且m≠0，则直线PM的斜率为k＝＝－，则直线PM的方程为y＝－x－1，联立化简得x2＋x＝0，解得M，所以k1＝＝＝m，k2＝＝－，所以k1·k2＝－·m＝－为定值．4．在平面直角坐标系中，动点（）到点的距离与到轴的距离之差为1．（1）求点的轨迹的方程； （2）若，过点作任意一条直线交曲线于，两点，试证明是一个定值．解析：（1）到定点的距离与到定直线的距离相等， ∴的轨迹是一个开口向右的抛物线，且，∴的轨迹方程为．（2）设过的直线的方程为，联立方程组整理得， 设直线与抛物线的交点为，，则有，，又，因此是一个定值为．类型二 被直线截得的弦长是定值例1．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为)3,0F，点()2,0A -在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程与离心率；（Ⅱ）设椭圆C 上不与A 点重合的两点D ， E 关于原点O 对称，直线AD ， AE 分别交y 轴于M ， N 两点．求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值．解析：（Ⅰ）依题意， 3c =点()2,0A -在椭圆C 上．所以2a =．所以2221b a c =-=．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．离心率32c e a ==． （Ⅱ）因为D ， E 两点关于原点对称，所以可设(),D m n ， (),E m n --， ()2m ≠±所以2214m n +=．证明：设),(),,(0000y x Q y x P --则)22,0(),2(2y ),0,2(0000+++=∴-x y M x x y AP A 则的方程为：直线直线方程为：，则，以为直径的圆为即，1440222020=-++-=-y y x y x y x ，则其中 令，则012=-x ，解得1±=x ．所以以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值为2 跟踪训练二1．已知点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>上， ()1,0F 是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ， E 关于原点O 对称，直线PD ， PE 分别交y 轴于M ， N 两点．求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值． 解析：（Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为()1,0F '-，且1c =．因为24a ==，所以2a =，b ==所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）证明：由题意可知D ， E 两点与点P 不重合． 因为D ， E 两点关于原点对称，所以设(),D m n ， (),E m n --， ()1m ≠±． 设以MN 为直径的圆与直线32y =交于33,,,(0)22G t H t t ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两点， 所以GM GN ⊥．直线PD ： ()332121n y x m --=--． 当0x =时， 33212n y m -=-+-，所以3320,12n M m ⎛⎫- ⎪-+ ⎪- ⎪⎝⎭． 直线PE ： ()332121n y x m +-=-+． 当0x =时， 33212n y m +=-++，所以3320,12n N m ⎛⎫+ ⎪-+ ⎪+ ⎪⎝⎭． 所以32,1n GM t m ⎛⎫- ⎪=-- ⎪- ⎪⎝⎭， 32,1n GN t m ⎛⎫+ ⎪=-- ⎪+ ⎪⎝⎭， 因为GN GM ⊥,所以0)1(4940222=--+⇒=•−→−−→−m n t GN GM 因为13422=+n m 所以230432=⇒=-t t所以)23,23(23,23(-H G ），即3||=GH 得证以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值3 2．在直角坐标系中，曲线与轴交于，两点，点的坐标为，当变化时，解答下列问题： （）能否出现的情况?说明理由．（）证明过，，三点的圆在轴上截得的弦长为定值．解析：（1）设与X 轴交于)0,(),0,(21x B x A 则2-,2121=-=+x x m x x011)1,()1,(2121≠-=+=-•-=•−→−−→−x x x x BC AC所以不能出现的情况（2）过A,B,C 三点的圆必定在线段AB 的垂直平分线上，设圆心坐标为E （00,y x ） 则22210mx x x -=+=由|EA|=|EC|及两点间的距离公式得 2020210210)1()()()(-+=-+-y x y y x x代入化简得：2121210-=+=x x y 所以圆的方程为：2222)211()2()21()2(++-=+++m y m x 令x=0得=1y 1，22-=y所以过，，三点的圆在轴上截得的弦长为定值3类型三 面积为定值例1. （江西省重点中学盟校2019届）已知椭圆的离心率为，焦点分别为，点是椭圆上的点，面积的最大值是．（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．解析：（Ⅰ）由解得 得椭圆的方程为.（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，此时四边形的面积为．当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程，点到直线的距离是由得因为点在曲线上，所以有整理得由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为由得, 故四边形的面积是定值，其定值为．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及椭圆中的定值问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，计算量较大，属于常考题型.跟踪训练三1．已知椭圆系方程n C ： 2222x y n a b+= (0a b >>，*n N ∈)， 12,F F 是椭圆6C 的焦点，63A，是椭圆6C 上一点，且2120AF F F ⋅=．（1）求n C 的离心率并求出1C 的方程；（2）P 为椭圆3C 上任意一点，过P 且与椭圆3C 相切的直线l 与椭圆6C 交于M ， N 两点，点P 关于原点的对称点为Q ，求证： QMN ∆的面积为定值，并求出这个定值．解析：（1）椭圆6C 的方程为：62222=+by a x6)3,6(,0212212=∴⊥∴=•c A F F AF F F AF 又ny xC b a b a c b n =+∴==∴=+==-∴2222222222221,216)3(6)6(66a 6的方程为：椭圆且椭圆n C 的离心率2222222=-=nn n e ，椭圆12221=+y x C 的方程为： （2）解法一：),(),,(0000y x Q y x P --则设 当直线l 斜率存在时，设l 为： y kx m =+，则00y kx m =+，由223{ 2x y y kx m+==+联立得： ()222214260k x kmx m +++-= 由0∆=得()22321m k =+Q 到直线l 的距离0022211kx y mm d k k -++==++同理，由226{ 2x y y kx m +==+联立得： ()2222142120k x kmx m +++-= 122421kmx x k ∴+=-+， 212221221m x x k -=+MN ∴=()()22121214k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦()22222421214?2121km m k k k ⎡⎤-⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222228126121k m kk+-=++ 2222121k m k +=+12QMNS MN d ∆∴= 22222121•2211k m m k k +=++ 222221mk =+ ()222232121k k ⨯+=+62=当直线l 斜率不存在时，易知62QMN S ∆∴=， QMN ∆的面积为定值62解法（二）：设()00,P x y ，由（1）得3C 为： 2232x y +=， ∴过P 且与椭圆3C 相切的直线l ：0032x xy y +=．且220026x y += 点P 关于原点对称点()00,Q x y --，点Q 到直线l 的距离设()11,M x y ， ()22,N x y 由002226{212x x y y x y +=+=得22004824160x x x y -+-= 22002640x x x y ⇒-+-= 1202x x x +=， 212064x x y =-，∴ 222000201424164x MN x y y =+-+∴QMN ∆的面积为22001112224S d MN x y =⋅=+222000201424164x x y y +-+（定值） 当00y =时，易知，综上： QMN ∆的面积为定值62． 2. （九师联盟2019届）已知点是抛物线：的焦点，点是抛物线上的定点，且.（1）求抛物线的方程； （2）直线与抛物线交于不同两点，，且（为常数），直线与平行，且与抛物线相切，切点为，试问的面积是否是定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.解析：（1）设，由题知，所以.所以，即.代入中得，解得.所以抛物线的方程为.（2）由题意知，直线的斜率存在，设其方程为.由，消去，整理得，则，.∴，设的中点为，则点的坐标为.由条件设切线方程为，由，消去整理得.∵直线与抛物线相切，∴.∴.∴，∴，∴.∴切点的坐标为.∴轴，∴.∵，又∵.∴.∴.∵为常数，∴的面积为定值，且定值为.【点睛】本题考查了抛物线的综合知识，以及直线与抛物线的相交相切的综合知识，解题的关键是在转化和计算，属于难题.直线与圆锥曲线解题步骤：(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；（3）转化，由题已知转化为数学公式；（4）计算，细心计算.3.（泸州市2019届）已知椭圆，点，中恰有三点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率存在，并记为，试问的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．解析：（1）由于P3，P4两点关于原点对称，故由题设可知C经过P3，P4两点，∵，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，∴b＝，，解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为.（2）∵直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，与圆M相切，由直线和圆相切的条件：d＝r，可得，即有（x02﹣2）k12﹣2x0y0k1+y02﹣2＝0，同理：直线OQ：y＝k2x与圆M相切，可得（x 02﹣2）k 22﹣2x 0y 0k 2+y 02﹣2＝0，即k 1，k 2为方程（x 02﹣2）k 2﹣2x 0y 0k +y 02﹣2＝0的两个不等的实根， 可得k 1k 2＝，∵点R （x 0，y 0）在椭圆C 上， ∴，∴k 1k 2＝＝，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， ∴|OP |＝•|x 1|点Q 到直线OP 的距离d ＝1||22221+-k x k x k ，∵|x 1|＝，|x 2|＝，∴△OPQ 的面积S ＝|x 1x 2|•|k 1﹣k 2|＝ ••，＝．【点睛】本题考查了椭圆的简单性质、点与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题． 4. （广东省六校2019届）如图，设点A ，B 的坐标分别为（-，0），()，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为-．（1）求P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ，点M 、N 是轨迹为C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求证：△MON 的面积为定值．解析：（1）由已知设点的坐标为，由题意知，化简得的轨迹方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）证明：由题意是椭圆上非顶点的两点，且，则直线斜率必存在且不为0，又由已知．因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．6分设直线的方程为，代入椭圆方程，得．．．．①，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分设的坐标分别为，则．．．．．．．．．．．．8分又，．．．．．．．．．．．．．．．．9分所以，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分又，所以，即的面积为定值．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：直接法求动点轨迹方程，圆锥曲线中定值问题【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.例2. 已知椭圆的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程; （Ⅱ）经过点与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点，点，直线分别与轴交于两点，记和的面积分别为；那么是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 解析:（Ⅰ）；（2）设直线PQ 的方程为y=kx+2,联立椭圆方程并化简得： 01216)14(22=+++kx x k1412,1416221221+=+-=+k x x k k x x 则110y 11y 221111+=+==-+=y x x y x x x x y BP N M ，同理得得，令的方程为：直线349)(3)1y )(1(21212212121=+++=++=x x k x x k x x y x x x x N M所以31||||41221==N M x x OB s s 跟踪训练四1．从椭圆222:1(0)2x y C b b+=>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点1F ，M 是椭圆的右顶点，N 是椭圆的上顶点，且(0)MN OP λλ=>． （1）求该椭圆C 的方程；（2）不过原点的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，已知OA ，直线l ， OB 的斜率1k ， 2,k k 成等比数列，记以OA ， OB 为直径的圆的面积分别为12,S S ，求证； 12S S +为定值，并求出定值．解析：（1）由题可知2,P c ⎛- ⎝，由(0)MN OP λλ=>，可得11a c a =，所以1c =，22a =， 则该椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）令():0l y kx m m =+≠， ()11,A x y ， ()22,B x y ，由()22222{ 12422012y kx mk x kmx m x y =+⇒+++-=+=的两根为12,x x ，知122412km x x k+=-+， 21222212m x x k -=+，由0>可得22210k m +->． 又12,,k k k ，成等比数列可知()()12212121212kx m km m y y k k k x x x x ++==⨯=()()22212121221212=k x x km x x m km x x m k x x x x +++++=+，则()2120km x x m ++=，∴2222244101012122km k km m k k k --⨯+=⇒+=⇒=++，∴()222222221212112211444422OA OB x x S S x y x yππππ⎛⎫+=⨯+⨯=+++=+++ ⎪⎝⎭()()212222121322413424244x x x x k m m ππππ⎡⎤+⎡⎤=+-=+⨯--=⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦． 2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2:E x y =的焦点相同，A 为椭圆C 的右顶点，以A 为圆心的圆与直线by x a=相交于P ， Q 两点，且0,3.AP AQ OP OQ ⋅==（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和圆A 的方程；（Ⅱ）不过原点的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，已知OM ，直线l ，ON 的斜率12,,k k k 成等比数列，记以OM 、ON 为直径的圆的面积分别为S 1、S 2，试探究12S S +的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由．解析：(Ⅰ)如图，设T 为PQ 的中点，连接AT ，则AT ⊥PQ ，10,,,2AP AQ AP AQ AT PQ ⋅=⊥∴=即 3,,OP OQ OT PQ ==又所以11,,22ATb OT a ∴=∴=141,4,32222=+∴===y x C b a c 的方程为椭圆所以由已知得552||4||4||||||||22222=⇒=+∴=+AT AT AT OA OT AT 5102||2||===∴AT AP r ,58)2(22=+-∴y x A 的方程为：圆 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14y 22y x mkx 得0)1(48)14(222=-+++m kmx x k （2）设直线l 的方程为y=kx+m(m 0≠),),(),,(2211y x N y x M()2121222418,.1414m km x x x x k k--∴+==++ 由题设知， ()()()21212221212121212,kx m kx m km x x m y y k k k k x x x x x x ++++====+()222212280,0,14k m km x x m m k-∴++=∴+=+ 210,,4m k ≠∴=则12S S +2222121211444x x x x π⎛⎫+-++-= ⎪⎝⎭()()222121212332=162162x x x x x x ππππ⎡⎤++=+-+⎣⎦ ()()222222813641614214m k m k k ππ⎡⎤-⎢⎥-+=⎢⎥++⎣⎦ ()22354411624mm πππ⎡⎤--+=⎣⎦ 故12S S +为定值，该定值为54π．类型四 线段为定值例1． 已知直线l ：2y x =+与圆225x y +=相交的弦长等于椭圆C ：22219x y b+=（03b <<）的焦距长． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为原点，椭圆C 与抛物线22y px =（0p >）交于M 、N 两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线PM 、PN 与x 轴分别交于G 、H 两点，求证： OG OH ⋅为定值．解析：（1）利用圆心到直线的距离计算出直线与圆相交的弦长，得到24,2c c ==．利用222a b c =+求得25b =，得到椭圆方程22195x y +=． (2)证明：有条件知，M,N 关于X 轴对称，设),(),(),,(110011y x N y x P y x M -则)5(59),5(59159,1592020212120202121y x y x y x y x -=-=⇒=+=+又直线PM 的方程为1010010010100),(y y y y x y x x G y x x x x y y y G --==---=-的横坐标得点令同理得点H 的横坐标101001y y y x y x x H ++=所以|OG||OH|=||||||212021202021101001101001y y y x y x y y y x y x y y y x y x --=++⋅-- =⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=212020212120)5(59y )5(591|y y y y y 9 即OG OH ⋅为定值．跟踪训练五1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，离心率22e =，点G 21（，）在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点P 是椭圆C 上一点，左顶点为A ，上顶点为B ，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证： AM BM ⋅为定值．解析：（1）依题意得，设，则，由点在椭圆上，有，解得，则，椭圆C 的方程为：设，，，则，由APM 三点共线，则有，即，解得，则，由BPN 三点共线，有，即，解得，则=又点P 在椭圆上，满足，有，代入上式得=，可知为定值．例2．已知椭圆C：22221x ya b+=（a>b>0）的离心率为32，且点()2,1T在椭圆C上，设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点．(I)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)判断OM ON+的值是否为定值，并证明你的结论．解析：（Ⅰ）由题意22222411{3a ba b ccea+=-===，解得： 22a =， 2b =， 6c =故椭圆C 的标准方程为22182x y += （Ⅱ）假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为(2，－1)，直线l 的方程为()1122y x +=-，即122y x =-． 联立方程22182{ 122x y y x +==-，得2440x x -+=，此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意． 故直线TP 和TQ 的斜率存在．设()11,P x y ， ()22,Q x y ，则 直线()111:122y TP y x x --=--，， 直线()221:122y TQ y x x --=-- 故11221x OM y -=--， 22221x ON y -=--， 由直线1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠）， 联立方程， 2222182{ 224012x y x tx t y x t+=⇒++-==+，当0∆>时， 122x x t +=-， 21224x x t ⋅=-，OM ON + 121222411x x y y ⎛⎫--=-+ ⎪--⎝⎭1212224111122x x x t x t ⎛⎫ ⎪--=-+ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭()()()()()()1212212122414111142x x t x x t x x t x x t +-+--=-+-++-()()()()()()()2222422414112412142t t t t t t t t -+----=--+-⋅-+- 4= ．跟踪训练六1．如下图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -， ()2,0F c ，已知点()1,e 和3,2e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A ， B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行， 2AF 与1BF 交于点P ，（i ）若1262AF BF -=，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证： 12PF PF +是定值．解析：（1）由题设知222a b c =+， c e a=．由点()1,e 在椭圆上，得222211c a a b +=．解得21b =，于是221c a =-，又点3e ⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以222314e a b +=．解得22=a ，所以椭圆方程为2212x y += （3）因为直线21BF AF ∥,设1,121+=-=my x BF my x AF 的方程为：则直线的方程为：直线设0,0),,(),,(212211>>y y y x B y x A由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=121212111y x my x 222012)2(2211212+++=⇒=--+m m m y my y m 故21)1(2)1(22221211++++=++=m m m m y x AF 同理=2BF 21)1(2222++-+m m m m22621222221=⇒=++=-m m m m BF AF 因为0m >，故m =，所以直线1AF的斜率为1m =． （ii ）因为直线1AF 与2BF 平行，所以211BF PB PF AF =，于是12111PB PF BF AF PF AF ++=， 故11112AF PF BF AF BF =+．由点B在椭圆上知12BF BF +=从而1112AF PF AF BF =+()2BF ．同理2212BF PF AF BF =+()1AF ，因此11212AF PF PF AF BF +=+()2212BF BF AF BF ++()1AF =12122AF BF AF BF ⋅-+．又由①②知)212212m AF BF m ++=+， 212212m AF BFm +⋅=+．所以12PF PF+==12PF PF+是定值．2.设O为坐标原点，动点M在椭圆22194x y+=上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P 满足2NP NM=．（Ⅰ）求点P的轨迹方程E；（Ⅱ）过()1,0F的直线1l与点P的轨迹交于A B、两点，过()1,0F作与1l垂直的直线2l与点P的轨迹交于C D、两点，求证：11AB CD+为定值．解析：（Ⅰ）设(),P x y，易知(),0N x，()0,NP y=，又因为10,2NM NP⎛==⎝，所以M x y⎛⎫⎪⎝⎭，又因为M在椭圆上，所以2219x+=，即22198x y+=．（Ⅱ）当1l与x轴重合时，6AB=，163CD=，∴111748AB CD+=．当1l与x轴垂直时，163AB=，6CD=，∴111748AB CD+=．当1l与X轴不垂直也不重合时，设1l的方程为：)1(-=xky（0≠k）设）44332211,(),,(),,(),,(yxDyxCyxByxA联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=189)1(22yxxky得：0)8(918)89(2222=-+-+kxkxk89)8(9,891822212221+-=+=+kkxxkkxx89)1(484)(1||22212212++=-++=k k x x x x kAB 联立方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=189)1(122y x x k y同理可得()2248198k CD k+==+．∴()()22221189981748481481k k AB CD k k +++=+=++． 当直线过已知X 轴的某个点(p,0)时，设x=my+p 可以稍微简化运算。