华东理工大学概率论与数理统计课件1-2

1 x y z 1 ( x y) x y 2 1 1 y x z y y 2 1 1 x y z x x 2 SA 1 P(A) S 4
y 1
0.5 0 0.5
1
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x
例9 随机地向半圆

x, y 0 y
4x x2

内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域 的面积成正比，试求从坐标原点到该点的连线与 x 轴的夹角大于 的概率。 6 解 x, y 0 y 4 x x 2


0
y A
3 A x , y x y 3
3
4x x
（1）样本点总数为62，事件A包含的样本点数为22， 所以 P(A)=4/36=1/9 （2）事件B包含的样本点数为4×2+2×4=16，
所以P（B）=16/36=4/9 （3）事件C包好的样本点数为62-2×2=32， 所以P(C )=32/36=8/9 思考①若改为无放回地抽取两次呢?
②若改为一次抽取两个呢？
例11 AB=φ，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8， 求 B的逆事件的概率。
解 由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B) 得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2， 所以，P（ B ）=1-0.2=0.8
思考 在以上条件下，P（A-B）= 0.6
例5 一套毛选随机放入书架,求按1,2,3,4,5次序概率：
2 1 解：P 5 . P5 60
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例6 n个人被分到N间房去住(N>n), 求:(1)某指定n间房 各有一个人住的概率;(2)恰有n间房各有一个人住的概 率;(3)某指定一间房有m个人住的概率.
n m CN n! Cn ( N 1) nm n! (1) P n ; (2) P n ; (3) P . n N N N
C C 45
1 45 1 45
2
(2)结合加法原理和乘法原理得选法为:
1 1 1 1 C5 C 45 C 45 C5 2 5 45 450
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例4 箱中有6个灯泡,其中2个次品4个正品,有放回 地从中任取两次,每次取一个,试求下列事件的概率： （1）取到的两个都是次品;（2）取到的两个中正、次 品各一个,（3）取到的两个中至少有一个正品. 解 设A ={取到的两个都是次品}，B={取到的两个中正、 次品各一个}, C={取到的两个中至少有一个正品}.
a
x
x

l sin 2
Ω
G
0

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(4) 概率的重要性质 (1)P(φ)=0，P(Ω)=1，逆不一定成立. (2)若AB=φ,则P(A+B)=P(A)+P(B),可推广 到有限个互斥事 件的情形.即:若A1,A2,…,An两两互斥,则 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) (3) P(A-B)=P(A)-P(AB), (4) P(Ω-A)=1-P(A). (5)若B是A的子事件,则P(A-B)=P(A)-P(B)；P(B)≤P(A); (6)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 可推广到有限个事件的情形. 证明 和AB为互斥事件 ,所以由(2)得 P(A+B)=P[A+(B-AB)] =P(A)+P(B-AB) 证明 (3) (6) A=(A-B)+AB,A-B P(A)=P(A-B)+P(AB),即 P(A-B)=P(A)-P(AB). =P(A)+P(B)-P(AB) 类似可证其他. 返回
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思考①若改为无放回地抽取两次呢?
②若改为一次抽取两个呢？
1 1 2 P22 C4 C 2 P2 P22 1) (1) 2 ; ( 2) ; ( 3) 1 2 . 2 P6 P6 P6
2)
2 1 1 2 C2 C4 C2 C2 (1) 2 ;(2) 2 ;(3) 1 2 . C6 C6 C6
试验者
总次数n
2048 4040 12000 24000 30000
频数m 1061 2048 6019 12012 14994
m 频率 f n A n
De Morgan
0.518 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998
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Buffon
Pearson Pearson Venn
样本空间（Ω）—全体样本点构 成的集合.
随机事件—Ω的子集，常用A、B、C…表示. 必然事件— （Ω或U） 不可能事件— （ 或V ）
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(1) A B,
A是B的子集,表示若事件A出现,事件B一定出现.

B A
(2) A B( A B),
A与B的并(和).表示事件A,B至少有一个出现.
A A＋B B

(3) A B( AB), A与B的交(积).表示事件A和B同时出现.
A
AB

B
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(4) A B , 表示事件A和B不能同时出现,称A与B互斥
（或互不相容）.
A B

(5) A B ,对立事件,记为 A B或B A.
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例12 设事件A发生的概率是0.6，A与B都发生的 概率是0.1，A与B都不发生的概率为0.15 , 求A发生B不发生的概率；B发生A不发生的概率及P(A+B).
解
则
由已知得,P(A)=0.6，P(AB)=0.1, P( A B )=0.15，
P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.5 P(B-A)=P(B)-P(AB） P（A+B）=1-P（A B ）=1-P（ A B )=0.85
A B A B,
表示事件A和事件B都不出现.
A B A B , 表示事件A和事件B至少有一个不出现.
注 以上结果可推广为 A A , A A i i i i
i 1 i 1 i 1 i 1
n
n
n
n
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事件：
是否发生 —— 随机性
发生的可能性是可以度量的 —— 规律性 问题：一次试验中，事件发生的可能性究 竟有多大？如何确定？
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1.2. 随机事件的概率及性质
概率的统计定义：频率的稳定值。 频率：若事件 A 在 n 次重复试验中发生了m次，
m 则称比值 为事件A在 n 次重复试验中发生 n
的频率，记作 f n ( A) 。m 称为频数。
显然
0 f n ( A) 1
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例 掷一枚均匀硬币，设A={出现正面},考察 f n A
性质
C C
m n
k m 0
nm n
m n1
,C C
m n
k m n2
m 1 n
C
m n 1
C
C
C
k n1 n2
(3) 可重复的排列 从 n个不同元素中,取出m个元素, 按一定的顺序排成一列，记作
n
m
8
上海电话号原则可容纳一亿门
10
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加法原理
完成某件事情有n类方法,在第一类方法中有m1种方 法,在第二类方法中有m2种方法,依次类推,在第n类方 法中有mn种方法,则完成这件事共有N=m1+m2+…+mn 种不同的方法,其中各类方法彼此独立.
若Ai (i 1,2, )是两两互不相容的事件组, (即Ai A j , i j ), 则P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1
则称P(A)为概率的公理化定义.
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几何概型的概率公式
事件A中包含的几何度量 S A P(A) 样本空间中几何度量 S
证明
a
以x表示随机掷出的针的中点到离它最近一条平行线的距离，
以 表示该针与平行线的夹角 a Ω ( , x ) 0 ,0 x 2 l G ( , x ) 0 ,0 x sin 2 l G的面积 0 2 sin d 2l P ( A) a Ω的面积 a 2
应用概率统计
主讲:刘剑平
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第1.1节
随机事件及其运算
概率论与数理统计的研究对象 概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的一门科学。随机现象的普遍存在性 决定了它的广泛应用性。
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1. 随机事件 随机试验（E）—对随机现象进行的试验与观察. 它具有三个特点：重复性,明确性 ,随机性. 基本事件（样本点ω)—随机试验的每一个可能 （基本）结果.
可见，随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面 的频率稳定在1/2左右。
正面 /试验次数
1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 0 25 50 75 100 125
试验的次数
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(1)古典概型 设Ω 为试验E的样本空间，若 ①（有限性）Ω 只含有限个样本点， ②（等概性）每个基本事件出现的可能性相等， 则称E为古典概型。
2
6
2
4 x
3 4 2 SA 4x x x dx 3 0 3 3 S A 4 3 3 P A S 6
S 2
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例10(浦丰投针) 1777年，蒲丰(Buffon，1707-1788， 法国自然科学史学家、数学家、博物学家)提出著名的掷针问题： 将长为l的一枚针随机地投掷到一张划有间距都等于a(a l ) 的 很多条平行线的水平纸面内，蒲丰指出了该枚针与纸面内任一 条平行线相交的概率为 2l ．试证明蒲丰的这个结论．