河北省衡水金卷2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)---精校Word版含答案

理数试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.与极坐标2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭表示的不是同一点的极坐标是（ ） A ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．72,6π⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．112,6π⎛⎫--⎪⎝⎭ D ．132,6π⎛⎫-⎪⎝⎭2.给出下列表述: ①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推证法； ③分析法是执果索因法； ④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推证法.其中正确的表述有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 3.设复数z 满足(1)1i z i +=-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ）A ．1i +B ．1i - C．22- D．22+ 4.用反证法证明命题“若sin cos 1θθ=，则s i n0θ≥且cos 0θ≥”时，下列假设的结论正确的是（ ）A ．sin 0θ<或cos 0θ<B ．sin 0θ<且cos 0θ<C ．sin 0θ≥或cos 0θ≥D ．sin 0θ>且cos 0θ>5.方程2222t tt tx y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线的上支 C ．双曲线的下支 D ．圆 6.若220a x dx =⎰，230b x dx =⎰，2sin c xdx =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b << 7.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有甲、乙、丙3个柱子，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束.在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为n ，则n =（ ）A ．7B ．8C ．11D ．158.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有222c a b =+.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下一个三条侧棱两两垂直的三棱锥O LMN -，如果用1S ，2S ，3S 表示三个侧面面积，4S 表示截面面积，那么类比得到的结论是（ ）A ．4123S S S S =++B ．41232222S S S S =++ C ．41233333S S S S =++ D ．41234444S S S S =++9.设函数()(sin cos )(04)xf x e x x x π=-≤≤，则函数()f x 的所有极大值之和为（ ）A ．4n eB ．2e eππ+ C ．3e e ππ- D ．3e e ππ+10.已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），M 是曲线C 上的动点.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到T 的距离的最大值为（ ）A ．2+．4+．11.已知函数()f x 与'()f x 的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．(0,4)B ．(,1)-∞，4,43⎛⎫⎪⎝⎭C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,1)，(4,)+∞12.已知函数21,1()ln ,1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程22[()](12)()0f x m f x m +--=有5个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B ．(0,)+∞ C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13.复数321iz i-=+（i 为虚数单位）的虚部为 ． 14.在极坐标系中，直线l的方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭32,4A π⎛⎫⎪⎝⎭到直线l 的距离为 ．15.在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”.四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 ．16.已知实数a ，b 满足225ln 0a a b --=，c R ∈为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设复数22(4)z m m i =+-，其中i 为虚数单位，当实数m 取何值时，复数z 对应的点： （1）位于虚轴上； （2）位于一、三象限；（3）位于以原点为圆心，以4为半径的圆上.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n S a n +=+，*n N ∈. （1）写出1a ，2a ，3a ，并推测数列{}n a 的表达式； （2）用数字归纳法证明（1）中所得的结论.19.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a，其参数方程为1x a y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值.20.某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级的对应关系，如下表所示（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2016年某100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.（1）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）； （2）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X 元，求X 的分布列及数学期望.21.已知抛物线24y x =的焦点为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F ，点B 为此抛物线与椭圆C 在第一象限的交点，且53BF =. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线2l 与直线4x =交于点T ，求TF PQ的取值范围.22.已知a R ∈，函数2()ln f x a x x=+. （1）若函数()f x 在区间(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围； （2）当0a >时，求函数()f x 的最小值()g a 的最大值；（3）设函数()()(2)h x f x a x =+-，[1,)x ∈+∞，求证：()2h x ≥.参考答案及解析一、选择题1-5: BCDAB 6-10: ACBDB 11、12：DC 二、填空题13. 52-14. 215. 甲 16. 2 三、解答题17.解：（1）复数z 对应的点位于虚轴上，则220040m m m =⎧⇒=⎨-≠⎩. ∴0m =时，复数z 对应的点位于虚轴上. （2）复数z 对应的点位于一、三象限，则22(4)0(2)(2)0m m m m m ->⇒-+<2m ⇒<-或02m <<. ∴当(,2)(0,2)m ∈-∞-时，复数z 对应的点位于一、三象限.（3）复数z 对应的点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上，则4z ==0m ⇒=或2m =±.∴0m =或2m =±时，复数z 对应的点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上. 18.解：（1）将1n =，2，3分别代入21n n S a n +=+，可得132a =，274a =，3158a =. 猜想122n n a =-.（2）①由（1），得1n =时，命题成立； ②假设n k =时，命题成立，即122k ka =-， 那么当1n k =+时，1211k k k a a a a a ++++⋅⋅⋅+++2(1)1k =++，且1221k k a a a k a ++⋅⋅⋅+=+-，所以12122(1)123k k k a a k k ++-+=++=+，所以11111222222k k k k a a +++=+-⇒=-， 即当1n k =+时，命题也成立.根据①②，得对一切*n N ∈，122n n a =-都成立. 19.解：（1）曲线1C的参数方程为1x a y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，则曲线1C 的普通方程为10x y a --+=.由曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=， 得222cos 4cos 0ρθρθρ+-=， ∴22240x x x y +--=，即曲线2C 的直角坐标方程为24y x =. （2）设A ，B 两点所对应参数分别为1t ，2t ， 将曲线1C 的参数方程代入2C ：24y x =，得22140t a -+-=. 若有两个不同的交点，则242(14)0a ∆=-⨯->，即0a >.由韦达定理，有1212142t t a t t ⎧+=⎪⎨-⋅=⎪⎩，根据参数方程的几何意义， 可知12PA t =，22PB t =，又由2PA PB =，可得12222t t =⨯， 即122t t =或122t t =-. ∴当122t t =时，有122212231422t t t a t t t ⎧+==⎪⎨-⋅==⎪⎩1036a ⇒=>，符合题意. 当122t t =-时，有12221221422t t t a t t t ⎧+=-=⎪⎨-⋅=-=⎪⎩904a ⇒=>，符合题意. 综上所述，实数a 的值为136或94. 20.解：（1）由直方图，可估算2017（以365天计算）全年空气质量优良的天数为(0.10.2)3650.3365+⨯=⨯109.5110=≈（天）.（2）由题，可知X 的所有可能取值为0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，则3464(0)5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，2131424(10000)105125P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， 22314(20000)105P X C ⎛⎫==⨯⨯ ⎪⎝⎭2131410827105500125C ⎛⎫+⨯⨯==⎪⎝⎭， 31311(30000)1010P X C ⎛⎫==+⨯ ⎪⎝⎭1214491051000C ⨯⨯⨯=， 22311(40000)1010P X C ⎛⎫==⨯⨯ ⎪⎝⎭22314271051000C ⎛⎫+⨯⨯=⎪⎝⎭， 223113(50000)10101000P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， 311(60000)101000P X ⎛⎫===⎪⎝⎭. 所以X 的分布列为642427()01000020000125125125E X =⨯+⨯+⨯49273300004000050000100010001000+⨯+⨯+⨯16000090001000+⨯=（元）. 21.解：（1）由已知，可得24y x =的焦点坐标为(1,0)F ， 设0000(,)(0,0)B x y x y >>， 则0513BF x =+=， 解得023x =， 所以2028433y =⨯=.由点B 在椭圆C 上，得2200221x y a b+=，即2248193a b +=. 又221a b =+，解得24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）当直线2l 的斜率不存在时，与直线4x =无交点， 故直线1l 的斜率不为0. 设直线1l 的方程为1x my =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=，则223636(34)0m m ∆=++>，122634my y m -+=+，122934y y m -=+，所以12PQ y y =-==2212(1)34m m +=+. 当0m ≠时，直线2l 的方程为(1)y m x =--，由4(1)x y m x =⎧⎨=--⎩，得4x =，3y m =-， 即(4,3)T m -，所以TF ==所以23412TFm PQ +=14⎛⎫= ⎝.设t =1t >， 则3144TFt PQ t=+， 由于3144y t t =+在区间(1,)+∞内为增函数， 所以31144y >+=，则1TF PQ>.当0m =时，223b PQ a==，(4,0)T ， 则3TF =，所以1TF PQ=.综上，得TF PQ的取值范围是[1,)+∞.22.解：（1）函数()f x 在区间(0,2)内单调递减(0,2)x ⇔∀∈，恒有'()0f x ≤成立，而22'()0ax f x x -=≤， 故对(0,2)x ∀∈，恒有2a x≤成立， 而21x>，则1a ≤满足条件. 所以实数a 的取值范围为(,1]-∞. （2）当0a >时，222'()0ax f x x x a-==⇒=. 随x 的变化，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 的最小值22()ln g a f a a a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭. '()ln 2ln 02g a a a =-=⇒=.随x 的变化，'()g x ，()g x 的变化情况如下表：所以()g a 的最大值为(2)2g =. （3）因为[1,)x ∈+∞， 所以当2a ≥时，()()(2)h x f x a x =+-2ln (2)a x a x x=++-. 因为22'()20ax h x a x-=+-≥， 所以()h x 在区间[1,)+∞内是增函数， 故()(1)2h x h a ≥=≥. 当2a <时，()()(2)h x f x a x =--2ln (2)a x a x x=+--， 由22'()2ax h x a x -=-+ [(2)2](1)0a x x x -+-==，解得202x a=-<-（舍去）或1x =. 又20a ->，故1x ≥时，'()0h x ≥， 所以()h x 在区间[1,)+∞内是增函数， 所以()(1)42h x h a ≥=->.综上所述，对[1,)x ∀∈+∞，()2h x ≥恒成立.。