湘教版九年级数学下册第2章小结与复习

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湘教版九年级下册数学教学课件第2章小结与复习

60°
B
∴ AD=CD×tan60°，
CD= 3 x .
3
BC=BD-CD= 2 3 x =8.
3
解得 x= 434 1 .7 3 26 .9 2 8 ＜ 7 .
即渔船继续往东行驶，有触礁的危险.
A
30°
D C
针对训练
5.如图b，线段AB是直径，点D是☉O上一点， ∠CDB=20 °,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点 E,则∠E等于 50° .
D
O
N
∴ CD与☉O相切.
BM
C
（2）若正方形ABCD的边长为1，求☉O的半径. (2)解: ∵正方形ABCD的边长为1,AC= 2 . 设☉O的半径为r,则OC= 2 r .
又易知△OMC是等腰直角三角形， ∴OC= 2 r
因此有 2r 2r ，解得 r 2 2 .
A
D
O
BM
C
7. 已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，
(4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
二、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r比较得到．设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
d＜r
[注意]点与圆的位置关点P在圆内；系可以转化为点到圆心
与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的
方向移动，那么 4或8 秒钟后☉P与直线CD相切.
C
AP
P1 E
P2 B
D 解析：根本题应分为两种情况：(1)☉P在直线CD下面与
直线CD相切；(2)☉P在直线CD上面与直线CD相切.

九年级数学下册第2章圆小结与复习学案 (新版)湘教版

A．2B．2 C. D．2
【变例2】如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则(C)
A．EF>AE＋BFB．EF<AE＋BF
C．EF＝AE＋BFD．EF≤AE＋BF
【例3】一个扇形的弧长是12π，它的圆心角是120°，则这个扇形的面积是__108π__.
【变例1】如图，正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB与CD是大圆的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是(D)
交流展示生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一圆的有关概念及性质的运用
知识模块二圆与切线
【例2】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于(B)
A． 40°B．50°C．60°D．70°
(例2图) (变例1图) (变例2图)
【变例1】如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为(B)
第2章小结与复习
【学习目标】
1．梳理本章知识，构建知识体系．
2．巩固本章所学知识，加强对各知识点的熟练应用．
【学习重点】
对本章知识结构的总体认识．
【学习难点】
把握有关性质和定理解决问题．
情景导入生成问题
知识结构我能建：
圆
自学互研生成能力

2020年春湘教版九年级数学下册教学课件第2章小结与复习

切线的判定定理的两种应用
1、如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径即可；
2、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径即可．
切线的性质定理出可理解为:如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个，那么第三个也成立. ①经过切点、②垂直于切线、③经过圆心.
●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
D
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
C
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； A M└
B
(3) 平分弦；(4)平分劣弧；
●O
(5)平分优弧.
知二得三
D
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗错?
()
例：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16， CD=12，则AB、CD间的距离是 2cm 或14cm .
四、点和圆的位置关系
.o .p r
.p .o
OP＜r OP=r OP＞r
点P在⊙O内点P在⊙O上点P在⊙O外
.o .p
不在同一直线上的三个点确定一个圆（这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心）
反证法的三个步骤： 1.提出假设 2.由题设出发，引出矛盾 3.由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确
的⊙O与直角边BC相切于点D.
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．
(1)证明：连结OD，
∵BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC. 又∵∠C＝90°，∴OD∥AC，
图32－1
∴∠ODA＝∠DAC.而OD＝OA，

九年级数学下册第2章圆章末复习教案新版湘教版

章末复习【知识与技能】掌握本章重要知识.能灵活运用有关定理、公式解决具体问题.【过程与方法】通过梳理本章知识,回顾解决问题中所涉及的数形结合思想,分类讨论思想的过程,加深对本章知识的理解.【情感态度】在运用本章知识解决具体问题过程中,进一步体会数学与生活的密切联系,增强数学应用意识,感受数学的应用价值,激发学生兴趣.【教学重点】回顾本章知识点,构建知识体系.【教学难点】利用圆的相关知识解决具体问题.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构框图，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回顾边建立结构框图.二、释疑解惑，加深理解1.垂径定理及推论的应用垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.拓展:①弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.说明:由垂径定理及其推论,可知对于一个圆和一条直线.如果具备下列五个性质中的两个,那么就具备其余三个性质.这五个性质分别为:①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧.特别注意:此处被平分的弦不能是直径,因为在圆中,任意两条直径总是互相平分的.2.三角形内切圆的半径r,周长l 与面积S 之间的关系.与三角形各边都相切的圆叫做三角形内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.所以,三角形的内心到三角形三边的距离相等,并且一定在三角形内,三角形有唯一的一个内切圆,而圆有无数个外切三角形.三、典例精析，复习新知例1如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，则下列结论中不正确的是（）A.AB ⊥CDB.∠AOB=2∠AODC.AD BD =D.PO=PD【分析】∵P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径.∴由垂径定理的推论及“三线合一”的性质即可判断.由题意易判断出D 项结论不正确.例2如图,已知△ABC,AC=BC=6,∠C=90°,O 是AB 的中点,⊙O 与AC 相切于点D, 与BC 相切于点E,设⊙O 交OB 于F,连DF 并延长交CB 的延长线于G.(1)∠BFG 与∠BGF 是否相等?为什么?(2)求由DG 、GE 和ED 所围成图形的面积(阴影部分).解:(1)相等.连接OD,∵OD=OF,∴∠ODF=∠OFD,∵⊙O 与AC 相切于点D,∴OD ⊥AC.又∵∠C=90°,即:GC ⊥AC ，∴OD ∥GC.∴∠BGF=∠ODF,又∵∠BFG=∠OFD,∴∠BFG=∠BGF.(2)如图,连接OE,则四边形ODCE 为正方形,边长为3.∵∠BFG=∠BGF,∴BG=BF=OB-OF=323.∴CG=CB+BG=332+S 阴影=S △DCG -(S 正方形ODCE -S 扇形ODE ）=(221199293332(33)24422ππ⨯⨯+--=+-. 例3如图⊙O 的半径为1,过点A （2，0）的直线与⊙O 相切于点B ，交y 轴于点C.(1)求线段AB 的长.(2)求以直线AC 为图象的一次函数的解析式.解:(1)连接OB.∵AC 是⊙O 的切线∴OB ⊥AC, ∴2222213AB OA OB =-=-=. (2)过B 作BE⊥OA 于E,∴S △ABO =12·BE ·OA=12·OB ·AB. ∴·133OB AB BE OA ⨯===. ∴2222311()22OE OB BE =-=-=. ∴13(,)2B .设直线AC 的解析式为y=kx+b. 则：0232k b k b =+⎧⎪⎨=+⎪ ∴3323k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴以直线AC 为图象的一次函数的解析式为32333y x =-+. 四、复习训练，巩固提高1.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ，若AP ∶PB=1∶4，CD=8，则AB=___.第1题图第2题图2.如图,AB 、AC 是⊙O 的两条切线,切点分别为B 、C,D 是优弧BC 上的一点,已知∠BAC=80°,那么∠BDC=______.3.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=2,O 、H 分别为AB 、AC的中点，将△ABC 绕点B 沿逆时针方向旋转120°到△A 1BC 1的位置，则整个旋转过程中，线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为______.4.如图，已知直线AB ：y=-12x+4交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，O 1为y 轴上的点，以O 1为圆心，经过A 、B 两点作圆，⊙O 1与x 轴交于另一点C ，AF 切⊙O 1于点A ，直线BD ∥AF 交⊙O 1于点D ，交OA 于点E.(1)求⊙O 1的半径；(2)求点E 的坐标.【答案】1.102.50°3.π【解析】连接BH 、BH 1,则有△BOH ≌△BO1H1,由勾股定理，得BH=BH 1=()22237+=,BO=BO 1=2,所以阴影部分的面积()112212072360HBH BOO S S S ππ=-=⨯-=扇形扇形［］. 4.解：（1）连接O 1A 交BD 于点H ，设⊙O 1的半径为r.∵直线y=-12x+4. ∴OB=4,OA=8. ∵OO 12+OA 2=O 1A 2,∴(r-4)2+82=r 2,解得r=10,∴⊙O 1的半径为10.(2)∵AF 是⊙O 1切线，∴O 1A ⊥AF.又∵BD ∥AF ，∴O 1A ⊥BD,∴AD AB =,∵OB ⊥AC,∴CB AB =,∴CB AD =,∴∠EAB=∠EBA,∴EA=EB.设OE=x,则EB=AE=8-x,∵OE 2+OB 2=BE 2,∴x 2+42=(8-x)2,解得x=3,∴点E 的坐标为（3,0).五、师生互动，课堂小结本堂课你能完整地回顾本章所学的有关圆的知识吗？你学会了哪些相关的证明方法？你还有哪些疑问？【教学说明】教师引导学生回顾本章知识，尽可能让学生自主交流与反思，对于学生的困惑与疑问，教师应予以补充和点评.1.布置作业:从教材“复习题24”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课通过学习归纳本章内容,以垂径定理、内切圆、两圆相交作公共弦等知识点为支撑,力求以点带面,查漏补缺,让学生对本章知识了然于胸.此外,又通过两个有关切线的例题,加强对重点知识的训练.使学生能在全面掌握知识点前提下,又能抓住重点.。

湘教版九年级数学下册知识点总结

知识点总结二次函数知识点I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

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第2章小结与复习
【学习目标】
1．进一步理解一元二次方程的有关概念．
2．能灵活运用配方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程．
3．进一步提高建一元二次方程模型解决实际问题的能力．
【学习重点】
一元二次方程的解法与应用．
【学习难点】
一元二次方程的应用．
一、情景导入生成问题
【本章知识结构】
【基础知识梳理】
1．一元二次方程的定义及一般形式
一元二次方程的定义：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫作一元二次方程．一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
2．一元二次方程的解法
(1)解一元二次方程的基本思路是降次(即转化为解两个一元一次方程)．一元二次方程的解法有：配方法，公式法，因式分解法等．
(2)一元二次方程的求根公式是x＝2a(b2－4ac≥0)．其中b2－4ac叫作一元二次方程根的判别式．
当b2－4ac>0时，它有两个不相等的实数根；
当b 2－4ac ＝0时，它有两个相等的实数根；
当b 2－4ac<0时，它没有实数根． (3)若设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两实根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a
． 3．一元二次方程的应用 (1)解决应用题的一般步骤：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答．
(2)平均增长率(降低率)问题的常用公式：a(1±x)n ＝b.
二、自学互研生成能力
知识模块一一元二次方程的定义及一般形式
【例1】 (1)方程(m ＋1)xm 2－2m －1＋7x －m ＝0是一元二次方程，则m ＝3．
(2)若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0，则m 等于( B )
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0
知识模块二一元二次方程的解法
【例2】选择恰当的方法解下列方程：
①(2y －3)2＝5； ②(x ＋3)2＝2x ＋6；
解：原方程可化为解：原方程可化为
2y －3＝±5， (x ＋3)2－2(x ＋3)＝0，
y ＝3±52
， (x ＋3)(x ＋3－2)＝0， ∴y 1＝
3＋52，y 2＝3－52. ∴x 1＝－3，x 2＝－1. ③2x 2－3(x －1)2＝1; ④x 2－5x －14＝0.
解：原方程可化为解：原方程可化为
x 2－6x ＝－4, b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×(－14)＝81，
(x －3)2＝5, x ＝5±812＝5±92
， ∴x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5. ∴x 1＝7，x 2＝－2.
教师点拨：解一元二次方程时要注意：先观察方程的特点，再选择恰当的解法，一般情况下：①首先看能否用平方根的意义或因式分解法；②不能用以上方的可考虑配方法；③最后考虑公式法．
知识模块三一元二次方程的应用
【例3】某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个．市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个．若销售利润率不得高于100%，那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？
解：设这种台灯的售价上涨x 元，根据题意，得
(40＋x －30)(600－10x)＝10000.即x 2－50x ＋400＝0.
解得x 1＝10，x 2＝40.
所以每个台灯的售价应定为50元或80元．当台灯售价定为80元时，销售利润率为53，不符合要求；当台灯售价定为50元时，销售利润率为23
，符合要求．
答：每个台灯售价应是50元．
三、交流展示生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一一元二次方程的定义及一般形式
知识模块二一元二次方程的解法
知识模块三一元二次方程的应用
四、检测反馈达成目标
见《名师测控》学生用书．
五、课后反思查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________。