数值分析 迭代

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迭代法
数值计算方法
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x = 2x + 5 1 2 例： x2 = 3 x1 + 5 定义：（1）对于 x = Bx + f ，用 x(k+1) = Bx(k) + f 逐步代入求近似解的 方法称为迭代法。 （2）若 lim x(k) 存在（记为 x∗） ，则称此 迭代法收敛，x∗ 是解，否则称此迭代法 发散。
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迭代法
数值计算方法
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例：方程组 x = Bx + f ，其中 1 3 5 0 8 −4 2 1 4 B= − 11 0 11 , f = 3 1 −1 0 3 2 −4
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迭代法
数值计算方法
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（1）迭代法收敛； （2）∥x∗ − x(k)∥ ≤ q k ∥x∗ − x(0)∥； q （3）∥x∗ − x(k)∥ ≤ ∥x(k) − x(k−1)∥； 1−q qk ∗ (k ) （4）∥x − x ∥ ≤ ∥x(1) − x(0)∥。 1−q
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k →∞
பைடு நூலகம்
迭代法
数值计算方法
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. 二 . 、向量序列与矩阵序列的极限 定义：设 {x(k)} 为 Rn 中一向量序列， x∗ ∈ Rn，记 x(k) = (x1 , x2 , . . . , xn )T ，
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迭代法
数值计算方法
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例：考察迭代法 x(k+1) = Bx(k) + f 的收敛性，其中 0 2 5 , f = 。 B= 3 0 5 解：特征方程为 λ2 − 6 = 0。 √ ρ(B ) = 6 > 1，迭代法发散。
. 第六章 解线性方程组的迭代法 . . §1 迭代法的基本概念 . . 一 . 、引言 线性方程组 Ax = b，当 A 低阶稠密时， 选主元法有效；但对工程技术中产生的 大型稀疏矩阵方程组，迭代法是有效的。 从计算机内存和运算两方面，迭代法通 常都可利用 A 中有大量的零元素。
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精确解是 x∗ = (3, 2, 1)T 。
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迭代法
数值计算方法
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现将线性方程组改写为 1 x = 1 8 (3x2 − 2x3 + 20) + x3 + 330) x = − 3x2 + 36) 3 或写为 x = Bx + f ，任取初始值，例如 x(0) = (0, 0, 0)T 。 x2 =
迭代法
数值计算方法
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等价： lim ∥x(k) − x∗∥ = 0，其中 ∥ • ∥ 是 向量的任何一种范数。
k →∞
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迭代法
数值计算方法
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x = 2x + 5 1 2 例： x2 = 3 x1 + 5
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迭代法
数值计算方法
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. 三 . 、迭代法的收敛条件 定理：对任何初始向量 x(0) 和右端项 g ， 由迭代公式 x(k+1) = Bx(k) + f ， (k = 0, 1, 2, . . .) 产生的向量序列 {x(k)} 收 敛的充要条件是 ρ(B ) < 1。换言之，当 ρ(B ) < 1 时，迭代法是收敛的；当 ρ(B ) ≥ 1 时，迭代法是发散的。ρ(B ) 越 小，收敛速度越快。
迭代法
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数值计算方法
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例：考察迭代法 x(k+1) = Bx(k) + f 的收敛性，其中 0 2 5 , f = 。 B= 3 0 5
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迭代法
数值计算方法
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迭代法收敛的充分条件 定理：设 x = Bx + f 及迭代法 x(k+1) = Bx(k) + f ，如果有 B 的某种算 子范数 ∥B ∥ = q < 1，则
(k ) (k ) (k ) ∗ ∗ T x∗ = ( x∗ 1 , x2 , . . . , xn ) 。如果 k →∞ (k )
lim xi = x∗ i ，(i = 1, 2, . . . , n)，则称
(k ) k →∞
{x } 收敛于 x∗，记为 lim x(k) = x∗。
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1 11 (−4x1 1 12 (−6x1
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迭代法
数值计算方法
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将 x(0) 代入上述方程组右侧，得到 x(1)， 再将 x(1) 代入右侧，得到 x(2)，反复利用 这个计算程序，得到一个向量序列和一 般计算公式（迭代公式） ，简记为 x(k+1) = Bx(k) + f ，其中 k 是迭代次数。 迭代到第 10 次，
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k →∞
(k )
{Ak } 收敛于 A，记为 lim Ak = A。
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迭代法
数值计算方法
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例： A= λ 1 0 λ
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迭代法
数值计算方法
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x(10) = (3.000032, 1.999838, 0.9998813)T ∥ε(10)∥∞ = 0.000187(ε(10) = x(10) − x∗) x(k) 逐步逼近 x∗。
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迭代法
数值计算方法
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例：方程组 x = Bx + f ，其中 1 3 5 0 8 −4 2 1 4 B= − 11 0 11 , f = 3 1 −1 0 3 2 −4 解：特征方程为 λ3 + 0.034090909λ + 0.039772727 = 0 λ1 = −0.3082, λ2,3 = 0.1541 ± 0.3245i 由 |λ1| < 1, |λ2| = |λ3| < 1, ρ(A) < 1。迭 代收敛。