3.1.1 不等关系与不等式(一)

3.1 不等关系与不等式 3.1.1 不等关系与不等式（一）第二十课时
教学目标 1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；
2.了解不等式或不等式组的实际背景；
3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.
教学重点 1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；
2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系；
3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.
教学难点 1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；
2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.
教学过程 导入新课
日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？
1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.（表示应该为32℃≤t≤26℃.）
2：对于数轴上任意不同的两点A 、B ，若点A 在点B 的左边，则x a ＜x b .
3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.（表示为x≥0）. 4:两点之间线段最短.
5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.（|AB |+|BC |＞|AC |、|AC |+|BC |＞|AB |、|AB |+|AC |＞|BC |.|AB |-|BC |＜|AC |、|AC |-|BC |＜|AB |、|AB |-|AC |＜|BC |等等）
推进新课
实例6:限时40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h.（如果用v 表示速度，则v≤40 km/h.）
实例7:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于
2.3%. （可以表示⎩
⎨⎧≥≥%.3.2%,5.2p f ） ［过程引导］
1、 什么是不等式呢?
用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式.如：-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a +2≥0;3≠4. ［合作探究］
1、2、3、4、5、及实例6、实例7的答案 课堂练习
教科书第83页练习1、2.
【问题1】 设点A 与平面α的距离为d, B 为平面α上的任意一点.用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系 ［方法引导］借助图形来表示不等量关系,过点A 作AC ⊥平面α于点C ，则d=|AC |≤|AB |.
【问题2】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售
量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢? 答案：表示为)2.01.05.28(⨯--x x≥20或者表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20. 【问题3】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种,按照生产的要求,600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?
解 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，可以用下面的不等式组来表示：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.
,,0,
0,3,40000600500N y x y x y x y x 课堂练习
练习：若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组?
分析：设截出长为698 mm 的毛坯x 个和截出长为518 mm 的毛坯y 个，把截取条件数学化地表示出来就是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≥≤+.
,,0,0,4000518698N y x y x y x 课堂小结
本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.
布置作业
第84页习题3.1A 组4、 5.
板书设计
不等关系与不等式（一） 实例 方法引导 方法归纳
如何用不等式或不等式组表示 实例剖析（知识方法应用） 小结
实际问题中不等量关系？ 示范解题
3.1.2 不等关系与不等式（二）第二十二课时
教学目标 1.回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小
2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质;
3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式.
教学重点 1.回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；
2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质；
3.能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.
教学难点 1.用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形；
2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.
教学过程
导入新课
上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要对不等式的性质有必要的了解.
推进新课
1、等式的性质是怎样的？：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.
如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？
2、 一般地说，不等式的基本性质有三条：
性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向 不变. 性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向 不变. 性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向 改变. ［过程引导］
3、不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.
性质1：a ＜b a +c ＜b +c （或a -c ＜b -c ）；a ＞b a +c ＞b +c （或a -c ＞b -c ）.
性质2：a ＜b 且c ＞0⇒ac ＜bc (或c
b c a ＜)；a ＞b 且c ＞0ac ＞bc (或c b c a ＞).
性质3：a ＜b 且c ＜0⇒ac ＞bc (或c b c a ＞)；a ＞b 且c ＜0ac ＜bc (或c b c a ＜). ［教师精讲］
若点Ａ对应的实数为a ，点Ｂ对应的实数为b ，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a ＞b . a ＞b 表示a 减去b 所得的差是一个大于０的数即正数，即a ＞b ⇒a -b ＞0.它的逆命题是否正确？ 一般地,a ＞b ⇒a -b ＞0;a =b ⇒a -b =0;a ＜b ⇒a -b ＜0.
［合作探究］
【问题1】 已知x≠0，比较(x 2+1)2与x 4+x 2+1的大小.
解：(x 2+1)2－x 4-x 2-1=x 4+2x 2+1-x 4-x 2-1=x 2，
由x≠0，得x 2＞0，从而(x 2+1)2＞x 4+x 2+1.
【例1】 比较下列各组数的大小（a ≠b ）.
(1)
2b a +与b
a 112+ (a ＞0,
b ＞0);（2）a 4－b 4与4a 3（a －b ）. 解：（1）)(2)()(24)(2211222
2b a b a b a ab b a b a ab b a b
a b a +-=+-+=+-+=+-+， ∵a ＞0,b ＞0且a ≠b , ∴a +b ＞0,(a -b )2＞0.∴b a b a b a b a 11220,)(2)(2+++-＞即＞. （2）a 4-b 4-4a 3(a -b )=(a -b )(a +b )(a 2+b 2)-4a 3(a -b )=(a -b )(a 3+a 2b +ab 2+b 3-4a 3)
=(a -b )［(a 2b -a 3)+(ab 2-a 3)+(b 3-a 3)］=-(a -b )2(3a 2+2ab +b 2)
=-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］,
∵2a 2+(a +b )2≥0(当且仅当a =b =0时取等号),又a ≠b ,∴(a -b )2＞0,2a 2+(a +b )2＞0.
∴-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］＜0.∴a 4-b 4＜4a 3(a -b ).
总结：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判号.
变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用. ［合作探究］
【问题2】 求证：（1）a ＞b 且c ＞0⇒ac ＞bc ；（2）a ＞b a +c ＞b +c .
证明：ac -bc =(a -b )c ，∵a ＞b ，∴a -b ＞0.又∵c ＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a -b )c ＞0，所以得证.
证明：，a +c -(b +c )=a -b ，∵a ＞b ，∴a -b ＞0，∴a +c ＞b +c . ［例题剖析］
已知a ＞b ＞0,c ＜0，求证：b c a c ＞.
证明：∵a ＞b ＞0，两边同乘以正数ab 1，得b 1＞a 1，即a 1＜b 1b .又∵c ＜0，∴b c a c ＞. 课堂小结
常用的不等式的基本性质及证明：
（1）a ＞b ,b ＞c ⇒a ＞c ;（2）a ＞b a +c ＞b +c ;
（3）a ＞b ,c ＞0⇒ac ＞bc ;（4）a ＞b ,c ＜0⇒ac ＜bc .
布置作业
课本第84页习题3.1A 组3,Ｂ组1.（3）（4）、2.
板书设计
不等关系与不等式（二）
引入 方法引导 方法归纳
不等式和实数的基本性质 实例剖析（知识方法应用） 小结
示范解题。