福建省2016高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(理科)(计数原理、概率统计——泉州市数学组供稿)

2016高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷（理科）
计数原理、概率统计
泉州市数学组
一、选择题：本大题共6小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)变量x ，y
x ) （A ）2x
y = （B ）2log y x = （C ）1y x =+ （D ）21y x =+
（2）如图所示的正方形内的曲线段C 为正态分布)4
1,0(N 密度
曲线的一段若向正方形内随机投掷10000个点，则落入阴影
部分的点的个数大约为( )
（A ）2386 （B ）2718 （C ）3413 （D ）4772
（3）甲、乙二人进行一次乒乓球比赛，约定先胜3局者为胜方，
比赛结束．假设在每一局比赛中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，且各局比赛结果相互独立，那么在前2局比赛中甲、乙各胜1局的情况下，甲为比赛胜方的概率为( )
（A ）0.156 （B ）0.504 （C ）0.648 （D ）0.792 （4）从0,6中选一个数字，从5,7,9中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数
的个数为( )
（A ）6 （B ）12 （C ）18 （D ）24
（5）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查：首先将这960人随机编号为
9602,1，，⋅⋅⋅并分组，然后在第一组中采用简单随机抽样方法抽得号码9，最后抽到接
受问卷调查的32人.若要求编号落入区间[1,450]的做问卷A ，编号落入区间
[451,750]的做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的32人中，做问卷B 的人数为
( )
（A ）7 （B ）9 （C ）10 （D ）15 （6）从五种不同的颜色中选择若干种颜色，依次涂到右图的五个
区域中，要求相邻的区域（有公共边）涂不同的颜色，则全部涂完后恰好只使用两种颜色的概率是( )
（A ）
11280
（B ）1640
（C ）1128 （D ）1
64
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分。

（7）4()(1)a x x ++的展开式中，若x 的奇数次幂的项的系数之和为32，则a =________． （8）将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1，5的小球放入同一盒子，则不同的方法共有_____________种． （9）某市在对两千多名出租车司机的年龄进行的调查中，从两千多名出租车司机中随机抽选100名司机，这样100名司机的年龄都在20岁至50岁之间，且根据调查结果得出的年龄情况频率分布直方图如图所示（部分图表污损）.利用这个残缺的频率分布直方图，可估计该市出租车司机年
龄的中位数大约是_____________．（近似到小数
点后两位）
（10）若从区间[0e]，（e 为自然对数的底数，e 2.71828= ）内随机选取两个数，则这两个数
之积不小于．．．e 的概率为_____________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（11）（本小题满分10分）
某学习兴趣小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，考察该校高二
年级800名学生上学期期末的语文和外语成绩，按是否优秀分类得结果：语文和外语成绩都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语成绩不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文成绩不优秀的有100人． （Ⅰ）能否有99.9%的把握认为“该校学生语文成绩优秀与外语成绩是否优秀有关系”？ （Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校高二年级学生成绩中，有放回地随
机抽取3名学生的成绩，记所抽取的成绩中，语文、外语两科成绩至少有一科优秀的人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ．
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++.
0.01
0.02 0.03 0.04 0.05
0.06 0.07
0.08
（12）（本小题满分15分）
某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段．已知如下的初赛成绩（满分为100分）频率分布表：
（Ⅰ）求频率分布表中a，b，c，d的值；
（Ⅱ）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道题，答对2道题就终止答题，并获得一等奖；如果前三道题都答错，就不再答第四题．若某同学进入决赛，
且已知该同学答对每道题的概率P的值恰好等于与频率分布表中得分不少于
80分的频率的值．
（ⅰ）求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；
（ⅱ）记该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及数学期望．
（13）（本小题满分15分）
某工厂生产的甲、乙两种产品都需经过两道工序加工而成，且两道工序的加工结果均
有,A B两个等级.当两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等
品．已知两种不同的产品之间及其每一道工序的加工结果都相互独立，且加工结果为A 级的概率如表一所示．
（Ⅰ）从甲、乙产品中各随机抽取二件，求至少有一件为一等品的概率；
（Ⅱ）某商家计划按表二所示的统一售价经销甲、乙两产品，据市场预测，每件产品的经销成本均为10元，且甲，乙产品均能按表二售价售出．
（ⅰ）用ξ表示经销一件甲产品的利润，求ξ的分布列和期望Eξ；
（ⅱ）该商家拟投资不超过100元用于经营甲、乙两种产品，要确保资金亏损不
超过14元，请你根据以上信息制定一个最大盈利的投资计划（甲、乙两种
（表一） （表二）（单位：元/件）
注：产品销售的盈利率＝100% －销售价成本
成本（正值表示盈利率，负值表示亏损率）．
2016高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷（理科）
计数原理、概率统计（参考答案）
泉州市数学组
一.选择题。

1．选A.【解析】画出散点图，或取近似值代入后，2x y =最适合． 2．选D.【解析】该正态分布标准差2
1
=
σ，而(22)P μσξμσ-<<+ (11)0.9544P ξ=-<<=，则4722.0)10(=<<ξP ，故选D ．
3．选C. 【解析】用i A 表示事件“第i 局甲胜”，j B 表示事件“第j 局乙胜”（,3
,4,5i j =），
B 表示事件“甲为胜方”.因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后
面的比赛中，甲先胜2局，从而54354343A B A A A B A A B ⋅⋅+⋅⋅+⋅=，由于各局比赛结果相互独立，计算可得648.0)(=A P ，故选C ．
4．选C.【解析】第一类：从0，6中选一个数字0，则0只能排在十位，从5，7，9中选
两个数字排在个位与百位，共有6A 2
3=种；第二类：从0，6中选一个数字6，且6排在十位，从5，7，9中选两个数字排在个位与百位，共有6A 23=种；第三类：从0，6中选一个数字6，且6排在百位，从5，7，9中选两个数字排在个位与十位，共有6A 23=种.故共有183A 23=种，选C ．
5. 选C .【解析】采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30
人，即30=l ，第k 组的号码为930)1(+-k ，令750930)1(451≤+-≤k （z k ∈），解得2516≤≤k ，则满足2516≤≤k 的整数k 有10个，故选C ．
6． 选D .【解析】总涂法数4
541280n =⨯=，恰好涂了两种颜色即1，3，4，5区域涂相
同颜色，共有2520m A ==种涂法，则所求概率201
128064
m p n =
==，故选D ． 二、填空题。

7．填3.【解析】4
3244641)1(x x x x x ++++=+，故4
()(1)a x x ++的展开式中x 的
奇数次幂项分别为ax 4，3
4ax ，x ，3
6x ，5
x ，其系数和为3216144=++++a a ，
解得3=a ，故填3．
8．填18.【解析】第一步：先从3个盒子中选一个放1，5号小球，有31
3=C 种不同的选
法；第二步：再从剩下的4个球中选两个放入一个盒子，有6C 24=种不同的选法；第
三步：余下两球放入最后一个盒子，只有1种选法，所以共有18C C 2
413=⋅种选法，
故填18．
9．填3
1.43.【解析】由频率分布直方图可知[2025)，的频率为0.1，[2530)，
的频率为0.3，[3035]，的频率为0.35，因为0.10.30.50.10.30.35+<<++，所以中位数0(3035)x ∈，，
由00.10.3(30)0.070.5x ++-⋅=，得031.43x ≈，故填31.43． 10．填2.【解析】设,[0,]x y e ∈，由xy e ≥，得e
y x
≥
，所以所求概率e
e
211
2
2
2e e d (e eln )e 2e 2
1e e e e
x x x x P ⎛⎫
- ⎪--⎝
⎭=
=
==-
⎰．
三、解答题。

11．解：
因为2
8006050010014016.667160640200600
K ⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯，
由16.66710.828>知，有99.9%的把握认为“该校学生语文成绩优秀与外语成绩是否优秀有关系”．
（Ⅱ）由已知得，随机抽取1名学生，其语文、外语两科成绩至少有一科优秀的概
率是6014010038008++=，所以338X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，~，3335()C 88k
k
k P X k -⎛⎫⎛
⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3k =．
X 故39()38
8
E X =⨯=．
12．解：（Ⅰ）a =8，b =0.34，c =6，d =0.12．
（Ⅱ）（ⅰ）依题意0.5=P ．设A 表示事件“该同学恰好答满4道题而获得一等奖”，
则1
231113()()22216
=⨯⨯⨯=P A C ．
（ⅱ）X 的可能取值为2，3，4．
且211(2)()24===P X ，31211113
(3)()22228
==+⨯⨯⨯=P X C ，
1
23113(4)()228
==⨯⨯=P X C ．
故13325
2344888
=⨯+⨯+⨯=EX ．
13．解：（Ⅰ）生产出的甲产品、乙产品为一等品的概率分别记为P 甲，P 乙，
则0.80.8750.7P =⨯=甲，0.750.80.6P =⨯=乙．
记“随机抽取的四件产品中至少有一件一等品”为事件A ，则表示抽取的四件产品均为二等品，
所以22
()(1)(1)0.0144P A P P =-⨯-=甲乙，()1()0.9856P A P
A =-=．
所以随机抽取的四件产品中至少有一件一等品的概率为0.9856． （Ⅱ）ξ
所以30.7(2)0.3 1.5E ξ=⨯+-⨯=（ⅱ）设分别用x 元、y 元投资甲、乙两种产品，获利z 元．
因为
1310
100%30%
10
-⨯=， 1210100%20%10-⨯=，810
100%20%10-⨯=-，910
100%10%10
-⨯=-， 所以经销甲、乙两种产品可能的最大盈利率分别为30%和20%，最大亏损率分别为20%和10%．
依题意得1000.20.11400x y x y x y +≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥≥⎩，，，，即100214000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩
，，，，
盈利的目标函数0.30.2z x y =+（元）．
作出不等式组表示的平面区域如图，由
1002140x y x y +=⎧⎨
+=⎩
，
，解得(4060)A ，，
结合图形可知，当直线0.30.2z x y =+经过点A 时，z 最大，且max 0.3400.26024z =⨯+⨯=（元）．
所以该商家应分别投资40元、60元用于经营甲、乙两种产品，才能在确保亏损不超过14元的前提下使可能的收益最大．。