8机械能守恒定律

机械能守恒定律机械能守恒的判断1.利用机械能的定义判断(直接判断)分析动能和势能的和是否变化。

2.用做功判断若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。

3.用能量转化来判断若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒。

4、判断机械能是否守恒时，一定要注意研究对象是单个物体还是物体系统，研究对象不同，得到的结果也会不一样。

5、判断机械能守恒应注意的“两点”(1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”。

(2)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。

【典例1】.(多选)质量为m的物体，从静止开始以2g的加速度竖直向下运动h高度，下列说法正确的是( )A.物体的重力势能减少2mghB.物体的机械能保持不变C.物体的动能增加2mghD.物体的机械能增加mgh解析因重力做了mgh的功，由重力做功与重力势能变化关系可知重力势能减少mgh，合力做功为2mgh，由动能定理可知动能增加2mgh，除重力之外的力做功mgh，所以机械能增加mgh，选项A、B错误，C、D正确。

答案CD【典例2】如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的小球，小球与一轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，已知杆与水平面之间的夹角θ<45°，当小球位于B点时，弹簧与杆垂直，此时弹簧处于原长。

现让小球自C点由静止释放，在小球滑到杆底端的整个过程中，关于小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能，下列说法正确的是( )A ．小球的动能与重力势能之和保持不变B ．小球的动能与重力势能之和先增大后减小C ．小球的动能与弹簧的弹性势能之和保持不变D ．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变解析 小球与弹簧组成的系统在整个过程中，机械能守恒。

弹簧原长时弹性势能为零，小球从C 到最低点过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大，所以小球的动能与重力势能之和先增大后减小，A 项错，B 项正确；小球的重力势能不断减小，所以小球的动能与弹簧的弹性势能之和不断增大，C 项错；小球的初、末动能均为零，所以上述过程中小球的动能先增大后减小，所以小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大，D 项错。

答案 B机械能守恒定律的应用机械能守恒定律的表达式【典例1】 一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R ，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m ，若小球恰好能通过轨道2的最高点B ，则小球在轨道1上经过最高点A 处时对轨道的压力为( )A.2mgB.3mgC.4mgD.5mg解析 小球恰好能通过轨道2的最高点B 时，有mg ＝m v 2B1.8R ，小球在轨道1上经过A 处时，有F ＋mg ＝m v 2A R ，根据机械能守恒定律，有1.6mgR ＋12mv 2B ＝12mv 2A ，解得F ＝4mg ，由牛顿第三定律可知小球对轨道的压力F ′＝F ＝4mg ，选项C 正确。

答案 C【典例2】如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面AB 与水平面BC 平滑连接于B 点，BC 右端连接内、外壁光滑、半径r ＝0.2 m 的四分之一细圆管CD ，管口D 端正下方直立一根劲度系数为k ＝100 N/m 的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口D 端平齐。

一个质量为1.0 kg 的小滑块(可视为质点)放在曲面AB 上，现从距BC 的高度为h ＝0.6 m 处由静止释放小滑块，它与BC 间的动摩擦因数μ＝0.5，小滑块进入管口C 端时，它对上管壁有N ＝2.5mg 的相互作用力，通过CD 后，在压缩弹簧过程中小滑块速度最大时弹簧的弹性势能为E p ＝0.5 J 。

取重力加速度g ＝10 m/s 2。

求：(1)小滑块在C 处受到的向心力大小；(2)在压缩弹簧过程中小滑块的最大动能E km ；(3)小滑块最终停止的位置。

解析 (1)小滑块进入管口C 端时它与圆管外管壁有大小为N ＝2.5mg 的相互作用力，故小滑块在C 点受到的向心力大小为F 向＝2.5mg ＋mg ＝35 N 。

(2)在压缩弹簧过程中小滑块速度最大时，所受合力为零。

设此时小滑块离D 端的距离为s 0，则有ks 0＝mg解得s 0＝mg k＝0.1 m 在C 点合外力提供向心力，有F 向＝m v 2C r得v 2C ＝7 m 2/s 2 小滑块从C 点运动到速度最大位置的过程中，由机械能守恒定律得mg (r ＋s 0)＋12mv 2C ＝E km ＋E p联立解得E km ＝mg (r ＋s 0)＋12mv 2C －E p ＝6 J 。

(3)小滑块从A 点运动到C 点过程，由动能定理得 mgh －μmgs ＝12mv 2C解得B 、C 间的距离s ＝0.5 m小滑块与弹簧作用后返回C 处动能不变，小滑块的动能最终消耗在与BC 水平面相互作用的过程中，设之后小滑块在BC 上的运动路程为s ′，由动能定理有：－μmgs ′＝0－12mv 2C ，解得s ′＝0.7 m ，故最终小滑块在距离B 点为(0.7－0.5) m ＝0.2 m 处停下。

答案 (1)35 N (2)6 J (3)距B 点0.2 m系统机械能守恒的两类连接体模型模型一 速率相等的连接体模型1.如图所示的两物体组成的系统，当释放B 而使A 、B 运动的过程中，A 、B 的速度均沿绳子方向，在相等的时间内A 、B 运动的路程相等，则A 、B 的速率相等。

2.判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。

这类题目的典型特点是系统不受摩擦力和空气阻力作用。

【典例1】如图所示，A 、B 两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A 放在固定的光滑斜面上，B 、C 两小球在竖直方向上通过劲度系数为k 的轻质弹簧相连，C 球放在水平地面上。

现用手控制住A ，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。

已知A 的质量为4m ，B 、C 的质量均为m ，重力加速度为g ，细线与滑轮之间的摩擦不计。

开始时整个系统处于静止状态；释放A 后，A 沿斜面下滑至速度最大时，C 恰好离开地面。

求：(1)斜面的倾角α；(2)A 球获得的最大速度v m 。

审题建模 (1)细线不可伸长，A 、B 两球速率一定相等，但B 与C 球用弹簧相连，速率一般不同。

(2)弹簧的弹性势能与弹簧的形变量大小有关，无论弹簧处于伸长状态还是压缩状态。

解析 (1)由题意可知，当A 沿斜面下滑至速度最大时，C 恰好离开地面，A 的加速度此时为零。

由牛顿第二定律得4mg sin α－2mg ＝0则sin α＝12，α＝30°。

(2)由题意可知，mg ＝k Δx ，B 球上升的高度x ＝2Δx ＝2mg k。

A 、B 两小球及轻质弹簧组成的系统在初始时和A 沿斜面下滑至速度最大时弹簧的弹性势能相等，对A 、B 、C 三小球和弹簧组成的系统机械能守恒，得4mgx sin α－mgx ＝12(5m )v 2m 联立化简得v m ＝2gm 5k 。

答案 (1)30° (2)2g m 5k模型二 角速度相等的连接体模型1.如图所示的两物体组成的系统，当释放后A 、B 在竖直平面内绕O 点的轴转动，在转动的过程中相等时间内A 、B 转过的角度相等，则A 、B 转动的角速度相等。

2.系统机械能守恒的特点(1)一个物体的机械能增加，另一个物体的机械能必然减少，机械能通过内力做功实现物体间的转移。

(2)内力对一个物体做正功，必然对另外一个物体做负功，且二者代数和为零。

3、解决角速度相等的连接体问题三点提醒(1)要注意判断系统的机械能是否守恒。

(2)注意寻找物体间的速度关系和位移关系。

(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔE k ＝－ΔE p 的形式。

【典例1】(多选)将质量分别为m 和2m 的两个小球A 和B ，用长为2L 的轻杆相连，如图所示，在杆的中点O 处有一固定水平转动轴，把杆置于水平位置后由静止自由释放，在B 球顺时针转动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)( )A.A 、B 两球的线速度大小始终不相等B.重力对B 球做功的瞬时功率先增大后减小C.B 球转动到最低位置时的速度大小为23gL D.杆对B 球做正功，B 球机械能不守恒解析 A 、B 两球用轻杆相连共轴转动，角速度大小始终相等，转动半径相等，所以两球的线速度大小也相等，选项A 错误；杆在水平位置时，重力对B 球做功的瞬时功率为零，杆在竖直位置时，B 球的重力方向和速度方向垂直，重力对B 球做功的瞬时功率也为零，但在其他位置重力对B 球做功的瞬时功率不为零，因此，重力对B 球做功的瞬时功率先增大后减小，选项B 正确；设B 球转动到最低位置时速度为v ，两球线速度大小相等，对A 、B 两球和杆组成的系统，由机械能守恒定律得2mgL －mgL ＝12(2m )v 2＋12mv 2，解得v ＝23gL ，选项C 正确；B 球的重力势能减少了2mgL ，动能增加了23mgL ，机械能减少了，所以杆对B 球做负功，选项D 错误。

答案 BC【典例2】如图所示，半径为r 、质量不计的圆盘盘面与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O ，在盘的右边缘固定有一个质量为m 的小球A ，在O 点正下方离O 点r 2处固定一个质量也为m 的小球B ，放开盘让其自由转动。

(1)当A 转动到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？(2)A 球转到最低点时的线速度是多少？解析 (1)以通过固定轴O 的水平面为零势能面，开始时两球的重力势能之和为 E p1＝E p A ＋E p B ＝0－12mgr ＝－12mgr ，当小球A 转至最低点时两小球重力势能之和为 E p2＝E p A ＋E p B ＝－mgr ＋0＝－mgr ，故两球重力势能之和减少量为ΔE p 减＝E p1－E p2＝－12mgr －(－mgr )＝12mgr 。

(2)由于圆盘转动过程中，系统只有动能和重力势能相互转化，系统的机械能守恒，因此系统的重力势能的减少一定等于两球动能的增加。

设A 球转至最低点时，A 、B 的线速度分别为v A 和v B ，则12mgr ＝12mv 2A ＋12mv 2B 。

因A 、B 两球固定在同一圆盘上，转动过程中角速度相等，故线速度的关系为v A ＝2v B ，解得v A ＝45gr 。

答案 (1)12mgr (2)45gr。