7.2.1二元一次方程组解法--代入法
七年级数学下册7.2二元一次方程组的解法7.2.1用代入法解二元一次方程组(1)课件(新版)华东师大版
x＝3， 则方程组的解为y＝1.
【点悟】 用代入法解二元一次方程组时，应注意下列问题：(1)给原方 程组中的两方程编号；(2)写明关键步骤；(3)代入后，消去一个未知数，得 到一元一次方程，求出一个未知数的值；(4)将求出的未知数的值代入到系 数较简单的方程，求出另一未知数的值；(5)求出一对 x、y 值后，检验并下 结论．
代数式 x2＋px＋q 中，当 x＝－1 时，它的值是－5；当 x＝3 时，它 的值是 3，则 p、q 的值是多少？
－p＋q＝－6，① 解：根据题意，得3p＋q＝－6. ② 由①，得 q＝p－6.③ 将③代入②，得 3p＋p－6＝－6，解得 p＝0. 将 p＝0 代入③，得 q＝－6， 所以pq＝ ＝0－，6.
x＋y＝35，
x＝23，
解：设鸡有 x 只，兔有 y 只．根据题意，得2x＋4y＝94，解得y＝12.
即有鸡 23 只，兔 12 只．
当 堂 测 评 [学生用书P29]
3x＋4y＝2，①
1．用代入法解方程组2x－y＝5 ② 时，化简比较容易的变形是( D )
A．由①，得 x＝2－34y
B．由①，得 y＝2－43x
归 类 探 究 [学生用书P29]
类型之一 用代入法解二元一次方程组
解方程组： y＝2x－4， (1)3x＋y＝1；
x－2y＝1， (2)x＋3y＝6.
解：(1)y3＝x＋2xy－＝41，.②① 把①代入②，得 3x＋2x－4＝1，解得 x＝1.
x＝1， 把 x＝1 代入①，得 y＝－2.则方程组的解为y＝－2.
A.y＝0 B.y＝2 C.y＝2 D.y＝1
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法在数学学科中，解方程是一个非常重要的内容。
而二元一次方程组是解方程的一种特殊形式，它由两个二元一次方程组成。
解决二元一次方程组的问题可以帮助我们更好地理解和应用代数知识。
下面，我将为大家详细介绍二元一次方程组的解法。
一、代入法代入法是解决二元一次方程组的最常用方法之一。
它的基本思想是将一个方程的其中一个未知数表示为另一个方程中的未知数，然后代入另一个方程进行求解。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以先将方程1中的y表示为方程2中的未知数：y = 3x - 1然后将y的值代入方程1，得到：2x + (3x - 1) = 5化简后，我们可以得到一个一元一次方程：5x - 1 = 5解这个方程，我们可以得到x的值为2。
将x的值代入方程1，我们可以求得y 的值为1。
因此，这个二元一次方程组的解为x=2，y=1。
二、消元法消元法是解决二元一次方程组的另一种常用方法。
它的基本思想是通过对方程组进行加减运算，消去其中一个未知数，然后求解另一个未知数。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以将方程1乘以3，方程2乘以2，得到：方程1：6x + 3y = 15方程2：6x - 2y = 2然后将方程2的两倍加到方程1上，得到：9y = 17解这个一元一次方程，我们可以得到y的值为17/9。
将y的值代入方程1，我们可以求得x的值为5/3。
因此，这个二元一次方程组的解为x=5/3，y=17/9。
三、图像法图像法是解决二元一次方程组的另一种可视化方法。
它的基本思想是将方程组转化为直线的图像，通过观察直线的交点来求解方程组的解。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以将这两个方程转化为直线的形式：方程1对应的直线为：y = -2x + 5方程2对应的直线为：y = 3x - 1我们可以在坐标系中画出这两条直线，并观察它们的交点。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法在代数学中，二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程组。
解决这种方程组的方法有很多种，下面将介绍其中三种常见的解法。
方法一：代入法代入法是一种比较简单直观的解二元一次方程组的方法。
假设有如下二元一次方程组：{ Equation1{ Equation2首先将其中一个方程（不妨设为方程1）的其中一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程（方程2）中消去这个未知数，从而得到一个只包含一个未知数的一次方程。
例如，假设方程组为：{ 2x + 3y = 7 Equation1{ 5x - y = 1 Equation2我们可以通过将方程2中y表示为x的函数（y = 5x - 1），将其代入方程1中，得到：2x + 3(5x - 1) = 7然后将这个一次方程化简，求解得到x的值。
将x的值代入方程2中，即可得到y的值。
最终得到方程组的解。
方法二：消元法消元法是解二元一次方程组的常用方法之一。
它通过逐步消去一个未知数，将方程组化为只含有一个未知数的一次方程，然后求解得到解。
例如，假设方程组为：{ 2x + 3y = 7 Equation1{ 5x - y = 1 Equation2我们可以通过将方程1乘以5，将方程2乘以2，然后将两个方程相减，消去y的系数，得到一个只含有x的一次方程：10x + 15y = 3510x - 2y = 2--------------17y = 33通过化简这个一次方程，求解得到y的值。
将y的值代入方程1或方程2中，即可得到x的值。
最终得到方程组的解。
方法三：Cramer法则Cramer法则是一种基于行列式的解二元一次方程组的方法。
假设有如下二元一次方程组：{ Equation1{ Equation2首先计算系数矩阵A的行列式值D，然后在D中用方程组右边的常数项替换掉A的某一列，得到矩阵Dx。
同理，用方程组右边的常数项替换掉A的另一列，得到矩阵Dy。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法二元一次方程组是指包含两个未知数和两个方程的方程组。
解二元一次方程组的常用方法有消元法、代入法和矩阵法等。
下面将分别介绍这三种方法的步骤和应用。
一、消元法消元法是解二元一次方程组常用的方法，它的基本思想是通过消去一个未知数，从而将方程组转化为只含一个未知数的一次方程，进而求解。
假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）步骤如下：1. 通过等式的加减消去一个未知数。
选择其中一个方程，将其系数乘以另一个方程中与其同未知数的系数的相反数，然后将两个方程相加或相减，消去该未知数。
2. 获得新的一次方程，其中只含有一个未知数。
3. 解新的一次方程，求得该未知数的值。
4. 将求得的未知数值代入原方程中，求得另一个未知数的值。
5. 检查解的可行性，在原方程组中验证求得的解是否满足原方程组。
二、代入法代入法是解二元一次方程组的另一种常用方法，它的基本思想是将一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程，从而将方程组转化为只含一个未知数的方程，进而求解。
假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）步骤如下：1. 选择一个方程，将其一个未知数表示为另一个未知数的函数，例如将（1）中的 x 表示为 y 的函数：x = f(y)。
2. 将函数表达式代入另一个方程（2），得到只含有一个未知数 y的一次方程。
3. 解这个一次方程，求得 y 的值。
4. 将求得的 y 值代入第一个方程（1），求得 x 的值。
5. 检查解的可行性，在原方程组中验证求得的解是否满足原方程组。
三、矩阵法矩阵法是用矩阵运算的方法解二元一次方程组，它的基本思想是将方程组转化为矩阵方程，通过对矩阵的运算得到解。
假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）将方程组表示为矩阵形式：⎛ a₁ b₁⎞⎛ x ⎞⎛ c₁⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝ a₂ b₂⎠ * ⎝ y ⎠ = ⎝ c₂⎠利用矩阵的逆矩阵，可以得到未知数向量的值：⎛ x ⎞⎛ a₁ b₁⎞⁻¹⎛ c₁⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝ y ⎠ = ⎝ a₂ b₂⎠⎝ c₂⎠通过计算矩阵的逆矩阵，可以求得未知数的值。
7.2新版二元一次方程组(代入法)教案
初步掌握用代入法解二元一次方程组的步骤和写法。
教学难点：
理解代入消元法的基本思路。
教学过程：
一、提纲导学：
1.复习提问
什么叫二元一次方程组，什么叫二元一次方程组的解？
2.创设情境，导入新课：
小明买桃子和葡萄，已知葡萄的单价是桃子单价的4倍，他买了2斤桃子和3斤葡萄，共用了14元钱，问桃子、葡萄每斤各多少元？设桃子每斤x元,葡萄每斤y元，列方程组为 ,
学情分析：
1．通过提问，课内、课外的练习与作业反馈回来的学生已学的知识，即是灵活运用代入法解二元一次方程组，掌握较好。
2．学生认知发展分析：由学生已掌握的知识可以推断学生基本上认识到用代入法解二元一次方程组的一般步骤和方法。教师要引导好学生怎样消元，才是最简便的方法，即从方程组选一个未知数系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y，用含x的式子表示出来，也就是化成y=ax+b的形式。
=14，
X=。
将x=代入（填①还是②，选择时考虑便捷求y值的方程）。
得y==，
所以
问题二：用代入法解方程组
问题三：用代入法解方程组
4.自学设疑：
结合提纲导学中的几个问题，自学课本27页--29页内容，并把自己疑问的地方列出来.
二.合作互动：
1.小组交流
学生进行充分自学后，结合自学结果，带着自己的疑问在小组进行交流.
如何求这个二元一次方程组的解呢？
3．出示导纲：
问题一：
①．情景问题中的方程组，方程①中y与x之间有什么关系？
②．方程中①中的y与方程②中的y各表示什么量？能否相互替换？
③．根据以上回答完成以下填空：
把①代入②，得
2x+3×()=14(思考：代入后，消去了未知数，得到了一个关于未知数的一元一次方程)。
二元一次方程组的解法(代入消元法)教学设计
7．2二元一次方程组的解法（代入消元法）教学设计一、教学内容：初中数学华东师大2011课标版七年级下册第七章第二节二元一次方程组的解法。
二、教学目标1、使学生通过探求二元一次方程组的解法，经历把“二元”转化为“一元”的过程，从而初步体会消元的思想；2、了解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的化归思想。
三、教学重难点：重点：用代入消元法解二元一次方程组的解题步骤；难点：如何正确消元。
四、教具、学具准备：教具：课件、电脑投影、导学案等；学具：签字笔、草稿纸、课本等。
五、设计理念这一堂课的学习目标是“探索二元一次方程组的解法”，通过学生身边熟悉的事情，建构“问题情境”，使学生感受到问题是“现实的、有意义的、富有挑战性的”，让学生在不自觉中走进自己的“最近发展区”，愉悦地接受教学活动．这是我备课时的设计意图。
六、教学流程（一）创设情境上课一开始，我就把学生学过的、熟悉的问题提出来，引导学生解答，说：“同学们，在生活中，我们时常遇到这样的问题，你能用前面我们学过的知识解决这个问题吗？问题1：小明到商店购买签字笔和作业本，签字笔价格是作业本价格的2倍，小明购买一支笔和一个作业本共花了6元钱，请你算一算签字笔和作业本的价格分别是多少元？学生活动：独立完成问题1的解答教师活动：通过巡视，发现问题的解答有可能会出现两种，一种是列一元一次方程解，另一种是列二元一次方程解，分别让学生将两种解法写在黑板上。
师：“同学们，黑板上两位同学用了不同的方法来解决这个问题，你认为哪一种方法是正确的呢？那我想请一位同学来说一说这两种方法分别是用到了前面我们学过的什么知识？那列出来的这个二元一次方程组和这个一元一次方程有没有什么联系呢，我们又该如何求解呢？这就是今天我们要一起探讨的内容，请同学们翻开书27页，并熟悉本节课的学习目标。
设计意图：当学生看到自己所学的知识与“现实世界”息息相关时，学习通常会更主动。
“与其拉马喝水，不如让它口渴”。
行唐县六中七年级数学下册第7章一次方程组7.2二元一次方程组的解法第1课时用代入消元法解二元一次方程
序号 ① ② ③ …
方程组
2x－y＝2 x＋y＝7 2x－y＝5 x＋y＝10 2x－y＝8 x＋y＝13
…
方程组的解
x＝3 y＝4 x＝5 y＝5 x＝7 y＝6
…
(1)将方程组②的解填在表中的空白处；
2x－y＝a，
x＝11，
(2)若方程组
的解是
则 a＝14，b＝19.该方程是表中所给的一列方程
〔1〕不考虑其他因素 , 请你画图确定蓄水池H 点 的位置 , 使它到四个村庄距离之和最小 ;
〔2〕计划把河水引入蓄水池 H 中 , 怎样开渠最短 并说明根据.
拓展与延伸
解 : 〔1〕∵两点之间线段最短 , ∴连接AD , BC 交于 H , 那么 H 为蓄水池位 置 , 它到四个村庄距离之和最小.
H
拓展与延伸
〔2〕过 H 作 HG⊥EF , 垂足为 G . H G
〞过直线外一点与直线各点的连线中 , 垂线段 最短”是把河水引入蓄水池 H 中开渠最短的根据.
THANKS
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
x＋y＝b
y＝8，
组中的第 5 个方程组； (3)根据表中所给的一列方程组所反映的规律，写出这列方程组中第 n 个方程组和它的
解．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐 对身体不好哦~
2x－y＝3n－1，
x＝2n＋1，
考试加油!奥利给~
有理数加法的运算律
学习目标
1.能概括出有理数的加法交换律和结合律. 2.灵活熟练地运用加法交换律、结合律简化运算
二元一次方程组的解法(一)代入法
二元一次方程组的解法（一）——代入法一、知识互动1、消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数。
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想。
2、代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
3、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：（1）从方程组中选一个系数较简单的方程，将这个方程中一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；（2）把变形后的方程代入另一个方程，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值；（5）写出方程组的解。
4、热身：把方程872=-y x （1）写成用含x 的代数式表示y 的形式； 7872-=x y （2）写成用含y 的代数式表示x 的形式。
427+=y x二、例题讲解例1 用代入法解二元一次方程组（1）⎩⎨⎧=+=+1341632y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=-142732y x y x 解：⎩⎨⎧==25y x ⎩⎨⎧-==610y x例2 用整体代入法解二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+11)1(2231y x y x 解：⎩⎨⎧==15y x例3 甲、乙两人同求方程7=-by ax 的整数解，甲求出的一组解为⎩⎨⎧==43y x ，而乙把7=-by ax 中的7错看成1，求出一组解为⎩⎨⎧==21y x ，求a 、b 的值。
解：将解代入得⎩⎨⎧=-=-12743b a b a ，解得⎩⎨⎧==25b a三、课堂检测 1、用代入法解方程组⎩⎨⎧=--=421y x x y 代入正确的是（ C ） A 、42=--x x B 、422=--x xC 、422=+-x xD 、42=+-x x2、用代入法解方程组⎩⎨⎧=-=+)2(,52)1(,243y x y x 下列变形中，化简较容易的是（ D ）A 、由（1），得342yx -= B 、由（1），得432xy -=C 、由（2），得25+=y x D 、由（2），得52-=x y2、若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=-n my x my x 2的解是⎩⎨⎧==12y x ，则n m -为（ D）A 、1B 、3C 、5D 、24、用代入法解二元一次方程组：（1）⎩⎨⎧+==+173x y y x （2）⎩⎨⎧=-=+3252y x y x （3）⎩⎨⎧=+=+743725y x y x解：⎩⎨⎧==21y x ⎩⎨⎧==11y x ⎩⎨⎧==11y x5、用整体代入法解二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=--yx y x 211)3(2032)3( 解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==1011548y x6、如果573+n m b a 与m n b a 4218--是同类项，求n m -的值。
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巩固提高
教学过程设计
5X 7 7 3Y 3 ⑴方程5x-3Y=7，变形可得x=_________ ，Y=__________. 5
⑵解方程组
2x+3Y=6 ② ⑶方程Y=2x-3和方程3x+2Y=1的公共解是
Y=x-3 ①
① 代入_____. ② Y ，可把_____ 应消去____
⑷若
① ②
由① 得：y=22-x 再用22-x代换方程2x+y=40中 的y，即把2x+y=40变成 2x+(22-x)=40。解得x=18. 把x=18代入y=22-x，得y=4. 所以这个方程组的解是 x=18 ﹛ y=4
教学过程设计
应用 新知
例1：用代入法 解方程组
x y 3 3 x 8 y 14
Y=1是方程组mx+kY=8
x=2
kx-mY=1
1 x=_____ -1 Y=_____
的解，求k和m的值。
教学过程设计
课堂 小结
1．用代入法解二元一次方程组的步骤 2．用代入法解二元一次方程组的技巧： ①变形的技巧; ②代入的技巧．
3．解二元一次方程组的思路：
布置作业
必做题
选做题
作业布置： P97 2 P111：1
问题1：篮球联赛中， 每场比赛都要分出胜 负，每队胜一场得2 分，负一场得1分， 某队为了争取较好的 名次，想在全部22场 比赛中得到40分，那 么这个队胜负场数分 别是多少？
解：设这个队胜x场， 则负（22－x）场， 由题意得 2x＋ （22－x）＝40 解得：x＝18 则负：22－18＝4场。
教学过程设计 探究 新知
二元一次方程组的解题思路是：
二元一次方程组
代入
消元
一元一次方程
教学过程设计
用代入法解二元一次 方程组的一般步骤
1、方程变形：将其中一个方
用代入法 解二元一次 方程组
4、口算检验。
程的某个未知数用含有另一个 未知数的代数式表示出来 （x=ay+b或y=ax+b）
2、代入消元：将变形后的方 程代入另一个方程中，消去一 个未知数，化二元一次方程组 为一元一次方程。 3、方程求解：解出一元一次 方程的解，再将其代入到原方 程或变形后的方程中求出另一 个未知数的解，最后得出方程 组的解。
人教版义务教育教科书 七年级下册
方营中学
耿素荣
把下列方程变形成用含的式子表示的形式
⑴ x+y=9
⑵ 2x-y=3
⑶ 3x+y-1=0
⑷ 2x+3y=1
如果设应拆除上校舍xm2，建造新校舍 ym2，那么根据题意可列出方程组
y x 20000 30 %, y 4 x.
① ②
① ②
解：由①，得 x＝ y＋ 3 ③ 把③代入②，得 y＝－1. 把y＝－1代入③，得 x＝2. 所以这个方程的解是 x＝ 2 y＝－1
﹛
教学过程设计
课堂 巩固
用代入法解下列方 程组 x y 7 ① （1） 3x y 17 ②
2 x y 5, ① （2） 3x 4 y 2. ②
由② ，得
把③代入① ，得 2（22-y）+y = 40 解这个方程得: y= 4
代入
求解
将变形后的式子代入 另一方程实现消元
把 y = 4 代入③ ，得
解出一元一次方程后 再代入求出另一个值
x=18
∴原方程组的解是
x=18 y=4
写解 检验
写出方程组的解
代入原方程组， 进行检验
教学过程设计
新课 导入
2、解下列二元一次方程组（别着急做，想一想每 道题怎样进行第一步？然后任选一道完成）
y 2x 3 （1 ） 3x 2 y 8
2 x y 5 （2 ） 3x 4 y 2
3x 2 y 8 （3） x - 2 y 0
2 x 3 y （4 ） 3x 2 y 5
怎样求这个二元一次方程组的解呢？
20000 30% %, ① y x 20000 ② y . 4 x
y
3x=6000 X=2000 把x=2000代入②式，得 y=8000
1、 解：
x y 22 ① 2 x y 40 ②
x = 22 - y ③ 变形
选择一个方程变形成 用含一个未知数的式 子表示另一未知数的 形式
解： （1）由①，得 x＝ 7－ y ③ 把③代入② ，得 y＝2. 把y＝2代入③，得 x＝5. 所以这个方程的解是 x＝ 5 y＝2 （2） x＝2 y＝－1
﹛﹛
教学过程设计
归 纳：
将未知数的个数由多化少，逐 一解决的思想是消元思想。
将方程组的一个方程中的某个未知数用含 有另一个未知数的代数式表示，并代入另一 个方程，实现消元，进而求得方程组解的方 法称为代入消元法，简称为代入法。
1、若方程5x 2m+n+4y 3m-2n = 9是关于x、y的二元一 次方程，求m 、n 的值. 2、如果∣y + 3x - 2∣+∣5x + 2y -2∣= 0，求 x 、 y 的值.
设计说明
突出
强调
重视
体验
问题2：在上述问 题中，我们也可以 设出两个未知数， 列出二元一次方程 组，那么怎样求解 二元一次方程组呢？
解：设这个队胜x场，负y场
则得：
由① 得：y=22-x 再用22-x代换方程2x+y=40 中的y，即把2x+y=40变成 2x+(22-x)=40。解得x=18. 把x=18代入y=22-x，得y=4. 所以这个方程组的解是 x=18 ﹛y=4
x y 22 2 x y 40
① ②
教学过程设计
对比 观察
解：设这个队胜x场，则 负（22－x）场，由题意 得： 2x＋（22 － x）＝40 解得：x＝18 则负：22－18＝4场． 解：设这个队胜x场，负y场
则得： x y 22
2 x y 40