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福州市高中毕业班数学质量检测答案
参考答案-、选择题 1 . C 2 . A 3 . C 4 . B 5 . B 6 . A 8 . C 9 . B 10 . A11 . B 12 . A 二、填空题4 •主？ 15 .(理)82 ;(文) 916~3.①②③三、解答题 17.解：T A 、 B > <2是厶ABC 勺三个内角•••A+B+C =Tt•・y = tB Ccos — 2 B C2si n2^~Ccos —2A tg iBC 2(s in cos 2 2 o B C 2cos cos2B . cos sin 2 2tg|+ Atg 2因此，任意交换两个角的位置,18.解：(I )设 X 1 Vx 2 tg2y 的值不变.10则 f(x 1)—f(x2) 2X1 +1)(2 x12x1)(12aL•「X 1Vx 2 , •2为2 又••• a V0,「.1 —2.•.当 a <0时， f (x •••当 a <0时，y = f(n)设P ( x , y )是函数X 1a X i X 22 x 1)—f(x )是R 上的增函数 y =g (x )的图象上的一点,X2V (x 2)v 0 即 fV f ( x 2) 分(x 1) 4P(x , y )关于直线x =1成对称的点为P'(x ',y')x x' 1 则T1y y' 由已知有 • • y = 2y 2-x—1y'=2 —1(x )=2 2-x(川)•••(x)=0=2V 0 x a••• 2X12Xa = 0△= (— 1)2—4a=1—4a>01 1 4a2x■ 1 4a分•••当aVO 时，1V ..1 4a •••2 x = 1一上没有实数解.2 由 2 x = 11 4a 2解得： x =log 2 1_J__4a2•••当aVO 时，f ( x )= O 的解为 x =log -_—_4a 分219. (I)证：取AC 中点D,连ED ••• E 是AB 的中点1• ED // — B'C . 22••• E ' C 丄 AC•DE 丄AC 2 分又'/△ABC 是底角等于30°的等腰三角形 • ED 丄AC 3 分BD A DE = D 「.AC 丄面 BDE• AC 丄BE ，即AC 丄BA' 4 分ED =BD =A D •tg3 0 =2在厶BDE 中，由余弦定理得：2八+ BD —2 ED •2EB = EDBD cos4=2+4—2•△ BDE 是等腰直角三角形， DE 丄BE ED 是异面直线 AC 与BA 的距离为 运 8 分 （川）连A' D ■/EB =EA '=ED = ,2• A ' D 丄 BD 又AC 丄面BEDA'D 面BED • A ' D ± AC • A ' D 丄面 ABC M A ' D =2V B'— ABC =A ' D=丄】(BD AC) A'D3 2 =8 .3 11 分3V B '—BEC=V C —BEB'=2V CABB' 2V B 'ABC（H ）解：由（I ）小题知/EDB 是二面角B '— AC — B 的一个平面角1)20.解：（I ）2000年底除了危旧住房和新型住房外的其它形式的住房面积为 a -( - l )a -a 1 分4 312每年拆除危旧住房面积为 1 1 a ——a 10 330a a1=(1 4 20%)5 a 12a 一5 a 2= (1 20%)2a 4 12a5 a 3= (1 20%)3a4 12一般地依题意，得： -a ------- ------a3 10 31 2a — a3 301 a 3 a 4分3301 1 1 10 nan5a -(1 20%)—412 a , 亠，、n5a-(1 20%)412 30 a n =a(1 10)(n ),a由- (1 20%) n 5a 4a412an43得— 1.2na 41211) (n n Ig 1.2 Ig 43 Ig 3 Ig 43 Ig 3 n14.372lg 2 Ig 3 1 n 15取 15 105 答：至少再经过5年才能使该地区的居民住房总面积翻两番 .12分21.解：（I ）：a n?2n 1 n当n >2时，a a 3 3a n 1n 1 a 2(n 1} 1 ②由①一②得弐n•'•a n =(a 2—1) n 当n = 1时，由已知得a --a n^( a 1)n(n) S n =( a 2—1) I ① 2na[a 2(n °n 1] a 2(a 2 1)2n — 2・a21=a2n —2・a [1 + 2 (n >2)—1 (n €N) a2+3(4分a 2)2 + 42) 3+-+(n — 1)2 n-2(a ) +n(a2) "J2 2• •a S n =(a — 1)①—②得：(1 — (a 2) T a >0且a 工12— 1^0 n= — [1 + a1 a 2n1 a 2aa 2)S n2、 2 / 2、 )+3(a)2a +2(a2(a —1) [1++ -+(n —1)(2、 2 / 2、 a )+…+(a )2) —1n —1/ 2、 n+ n(a ):—nna 2n2+(a2) 2+ -+(a2）—i(a 2)S n n im(a 2n1)n2na2n0(a 2 1(a 21)（川） （理）本题即a n a n 1 2 a n 2n n 1 n 2• a n an 1a n2 - 212分nn 1 n 2“ 2 八 2n 2“ 2 2n 2 八 2n 2 (a 1)a (a 1)a2(a 1)a (a 2 2n1)a2(1 2 a 2a 4)2n a 2 2(a1)(1 2a 2)(1 a 2) 2 2 2 2n 2(a 1) (1 2a )a 0(a 0) a n a n 1 2 n n 1 a n 2n 214 22.解：（理）（I ）解：设椭圆 C： (x 1)22 笃 1(a b b 2 0)•/2C=2,A • ••右准线方程为 设M (x , y ）、 连接PB 则| P 2 C =1 x = a 十 P ( x 0, 2 A | +| 0） •(| PA | 2• (2 a )—2・2 y o = ±(+ | PB | y PB | 2 -1) I 2 )-2| PA |・| PB |=4 I =4 AB 2由x a y y 0 消去a ,得y =±（ x — 2)T0v| y 0 |<1,2•・0< a — 1<1, 1< 2 a < 2••2< x <3即M 点的轨迹方程是 y = ±( x —2) (2< x < 3 = 7分 (H)解：设 ZABQ = a , a €(- 4 ，2），则 8 分 | AB |=2,| P A | =| B Q | = 2co s a| PQ | = | AB | —2 | BQ | co s a = =2- -4 c 2 os a• •周长 L =(2—4c :os 2 、 a ) + 4c os a + 2 = — 4(co 10s(a 2 1)当cos a =［，即a =—时，周长L 取最大值5. 一 3 112 此时 | BQ |=1, I AQ |= 3 2 a =| BQ | + | AQ |=1 b 2 2 a 2 2 仝 2 •••所求椭圆C 的方程为(x 1)2 2y— 1 14 分 2 2 一 3 2（文）（I ）解：设 D 为AB 中点，连接 DQ DR PB当丨PQ |= 1时，△ DPQ 为正三角形，边长为 1.从而 △DPA 、A DQE 也是边长为1的正三角形.•••I PA |=1,| PB |= ,3 /•2 a =| PA | + | PB |=1+3 312 2V3• -a=, a2 2又••• c = 1a 2 1y o(a 2 1)消去 a ,得 y =±( x —2) '^0<| y o |<1 ••0< a • •2< x <3即M 点的轨迹方程是 y =±( x — 2) (2< x <3 )14分异—c 2=异—1=2•椭圆C 的方程 〔为(x 1) 2 12_y_ 1 6 分2、 3321)2 22(n )解：设椭圆C: (x2；2 1(ab0)abV2 C =2,. C =1•右准线方程为 x 2=a+ 1 8 分又设M ( x , y ), P ( x o , y o )•••| PA | 2+| PB | 221 AB |•(| PA | 2+ | PB | 2)—2| PA |•|即(2a 2)— 2・ 2| y o |=4•- b2.•.y o = ±(a2—1)11 分PB=421<1,1< a <2。
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考 答 案一、选择题１.Ｃ ２.Ａ ３.Ｃ ４.Ｂ ５.Ｂ ６.Ａ ７.Ｄ ８.Ｃ ９.Ｂ １０.Ａ １１.Ｂ １２.Ａ二、填空题１３.2 １４.938 １５.(理)８2；(文)316１６.①②③ 三、解答题17.解：∵Ａ、Ｂ、Ｃ是△ABC 的三个内角∴Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，222C B A +-=π 2分 ∴ｙ＝ｔｇ2cos 2cos 2sin22C B C B CB A -++++ 4分 2cos 2cos 2)2sin 2cos 2cos 2(sin22tg C B C B C B A ++= 6 分 2tg 2tg 2tg C B A ++= 8分 因此，任意交换两个角的位置，y 的值不变.10分18.解：(Ⅰ)设ｘ1＜ｘ2则ｆ（ｘ1）－ｆ（ｘ2）＝（12x ＋)122()12221-+--x x x a a )21)(22(2111x x x x a +--= 2分 ∵ｘ1＜ｘ2，∴2122x x -＜０又∵ａ＜０，∴１－0221 x x a+∴当ａ＜０时，ｆ（ｘ1）－ｆ（ｘ2）＜０即ｆ（ｘ1）＜ｆ（ｘ2）∴当ａ＜０时，ｙ＝ｆ（ｘ）是R 上的增函数 4分（Ⅱ）设P (x ,y )是函数y =g (x )的图象上的一点，P(x ,y )关于直线x =1成对称的点为P ′（ｘ′，ｙ′） 则⎩⎨⎧=-=∴⎪⎩⎪⎨⎧==+y y x x y y x x '2''12' 6分 由已知有ｙ′＝２ｘ′－１∴ｙ＝２2-x －１ 即ｇ（ｘ）＝２2-x －１. 8分（Ⅲ）∵ｆ（ｘ）＝０ ∴0122=-+x x a 令ｔ＝２ｘ，则ｔ2－ｔ＋ａ＝０∵ａ＜0Δ＝（－１）2－４ａ＝１－４ａ＞０∴ｔ＝2411224112,2411a a a x x --=-+=∴-±或10分∵当ａ＜０时，１＜a 41-∴２ｘ＝2411a --没有实数解. 由２x ＝2411a -+ 解得：ｘ＝ｌｏｇ22411a -+ ∴当ａ＜０时，ｆ（ｘ）＝０的解为ｘ＝ｌｏｇ22411a -+.12分 19.（Ⅰ）证：取ＡＣ中点D ，连ED ∵Ｅ是AB ′的中点∴ＥＤ∥2'21=C B ∵Ｂ′Ｃ⊥ＡＣ∴ＤＥ⊥ＡＣ 2分又∵△ＡＢＣ是底角等于30°的等腰三角形∴ＢＤ⊥ＡＣ 3分ＢＤ∩ＤＥ＝Ｄ ∴ＡＣ⊥面BDE∴ＡＣ⊥ＢＥ，即ＡＣ⊥ＢＡ′ 4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）小题知∠ＥＤＢ是二面角Ｂ′—ＡＣ—Ｂ的一个平面角. ∴∠ＥＤＢ＝４５° ＥＤ＝2ＢＤ＝ＡＤ·ｔｇ３０°＝２2333=⋅ 在△BDE 中，由余弦定理得：ＥＢ２＝ＥＤ２＋ＢＤ２－２ＥＤ·ＢＤｃｏｓ４５° ＝２＋４－２22222=⋅⋅ ∴ＥＢ＝2 6分∴△ＢＤＥ是等腰直角三角形，ＤＥ⊥ＢＥＥＤ是异面直线ＡＣ与BA ′的距离为2 8分（Ⅲ）连Ａ′Ｄ∵ＥＢ＝ＥＡ′＝ＥＤ＝2 ∴Ａ′Ｄ⊥ＢＤ又ＡＣ⊥面ＢＥＤ Ａ′Ｄ⊂面BED∴Ａ′Ｄ⊥ＡＣ∴Ａ′D ⊥面ABC 且Ａ′Ｄ＝２ＶＢ′—ＡＢＣ＝31Ｓ△ＡＢＣ·Ａ′Ｄ ＝D A AC BD ')(2131⋅⋅⋅ ＝338 11分 ＶＢ′—ＢＥＣ＝ＶＣ—ＢＥＢ′＝3421'21'==--ABC B ABB C V V 3 20.解：(Ⅰ)2000年底除了危旧住房和新型住房外的其它形式的住房面积为ａ－（a a 125)3141=+ 1分 每年拆除危旧住房面积为3031101a a =⋅ 依题意，得： ａ1＝a a a a 3110131125%)201(4⋅-+++ ａ2＝a a a a 30231125%)201(42-+++ ａ3＝a a a a 30331125%)201(43-+++ 4分 一般地ａn ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥++≤≤-+++)11(125%)201(4)101(3010125%)201(4n a a n a n a a n n 7分 (Ⅱ)由a a a n 4125%)201(4≥++ 9分 得a a n 12432.14≥⨯ 510151537.1413lg 2lg 23lg 43lg 3lg 43lg 2.1lg =-=∴≈-+-≥∴-≥取n n n 答：至少再经过5年才能使该地区的居民住房总面积翻两番.12分21.解：（Ⅰ）∵ａ1＋1232232-=+++n n na a a ① 当ｎ≥２时，ａ1＋1132)1(2132-=-+++--n n a n a a a ② 由①－②得)1(]1[1222)1(22-=---=--a a a a na n n n n ∴ａn ＝（ａ2－１）ｎ·ａ２ｎ－２（ｎ≥２）3分当ｎ＝１时，由已知得ａ1＝ａ2－１∴ａn ＝（ａ2－１）ｎ·ａ2ｎ－２（ｎ∈Ｎ）4分（Ⅱ）Ｓｎ＝（ａ2－１）［１＋２ａ2＋３（ａ2）２＋４（ａ2）３＋…＋（ｎ－１）（a ２）n-2＋ｎ（ａ2）ｎ－１］……①∴ａ2Ｓｎ＝（ａ2－１）［ａ2＋２（ａ2）２＋３（ａ2）３＋…＋（ｎ－１）（ａ2）ｎ－１＋ｎ（ａ2）ｎ］……②① －②得：(１－ａ2)Ｓｎ＝（ａ2－１）［１＋ａ2＋（ａ2）2＋…＋（ａ2）ｎ－１－ｎ（ａ2）ｎ］∵ａ＞0且ａ≠１∴ａ2－１≠０∴Ｓｎ＝－［１＋ａ2＋（ａ2）２＋…＋（ａ2）ｎ－１－ｎ（ａ2）ｎ］ ＝－n nna a a 22211+--⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-∞←∞→)1(1)1(0])1()1(1[lim )1(lim 222222 a a a a a n a S n n n n n n n 9分 （Ⅲ）(理)本题即证：22121+++++n a n a n a n n n ∵22121+-++++n a n a n a n n n 12分 )00(0)21()1()1)(21)(1()21()1()1(2)1()1(22222222224222222222222≠+--=-+-=-+-=---+-=---+-a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n 且 ∴22121+++++n a n a n a n n n 14分 22.解：(理)（Ⅰ）解：设椭圆C ：)0(1)1(2222b a b y a x =+-∵２Ｃ＝２，∴Ｃ＝１∴右准线方程为ｘ＝ａ２＋１ 2分设Ｍ（ｘ，ｙ）、Ｐ（ｘ０，ｙ０）连接PB ，则｜ＰＡ｜２＋｜ＰＢ｜２＝｜ＡＢ｜２∴（｜ＰＡ｜２＋｜ＰＢ｜２）－２｜ＰＡ｜·｜ＰＢ｜＝４∴（２ａ2）－２·２｜ｙ０｜＝４ｙ０＝±（ａ２－１）4分由⎪⎩⎪⎨⎧-±==+=)1(1202a y y a x 消去a ，得ｙ＝±（ｘ－２）∵０＜｜ｙ０｜＜１，∴０＜ａ２－１＜１，１＜ａ２＜２∴２＜ｘ＜３即M 点的轨迹方程是ｙ＝±（ｘ－２）（２＜ｘ＜３＝7分（Ⅱ）解：设∠ＡＢＱ＝α，α∈（)2,4ππ，则 8分 ｜ＡＢ｜＝２，｜ＰＡ｜＝｜ＢＱ｜＝２ｃｏｓα｜ＰＱ｜＝｜ＡＢ｜－２｜ＢＱ｜ｃｏｓα＝２－４ｃｏｓ２α 10分∴周长Ｌ＝（２－４ｃｏｓ２α）＋４ｃｏｓα＋２＝－４（ｃｏｓα－2)21＋５ 当ｃｏｓα＝21，即α＝3π时，周长L 取最大值5. 12分 此时｜ＢＱ｜＝１，｜ＡＱ｜＝3２ａ＝｜ＢＱ｜＋｜ＡＱ｜＝１＋3ａ2＝（232)2312+=+ｂ２＝ａ２－１＝23∴所求椭圆C 的方程为123232)1(22=++-yx 14分(文)（Ⅰ）解：设D 为AB 中点，连接DQ 、DP 、PB .当｜ＰＱ｜＝１时，△ＤＰＱ为正三角形，边长为1.从而△ＤＰＡ、△ＤＱＢ也是边长为1的正三角形.∴｜ＰＡ｜＝１，｜ＰＢ｜＝3∴２ａ＝｜ＰＡ｜＋｜ＰＢ｜＝１＋3 3分∴ａ＝232,2312+=+a又∵ｃ＝１∴ｂ２＝ａ2－ｃ2＝ａ2－１＝23∴椭圆C 的方程为123232)1(22=++-y x 6分(Ⅱ)解：设椭圆C ：)0(1)1(2222b a b y a x =+-∵２Ｃ＝２，∴Ｃ＝１∴右准线方程为ｘ＝ａ２＋１ 8分又设M （ｘ，ｙ），Ｐ（ｘ０，ｙ０）∵｜ＰＡ｜２＋｜ＰＢ｜２＝｜ＡＢ｜２∴（｜ＰＡ｜２＋｜ＰＢ｜２）－２｜ＰＡ｜·｜ＰＢ｜＝４即（２ａ２）－２·２｜ｙ０｜＝４∴ｙ０＝±（ａ２－１） 11分由⎪⎩⎪⎨⎧-±==+=)1(1202a y y a x 消去a ，得ｙ＝±（ｘ－２）∵０＜｜ｙ０｜＜１ ∴０＜ａ２－１＜１，１＜ａ２＜２∴２＜ｘ＜３即M 点的轨迹方程是ｙ＝±（ｘ－２）（２＜ｘ＜３)14分情感语录1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了11.如此情深，却难以启齿。
【试卷】福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检)数学试题(4页版)
2023年福州市普通高中毕业班质量检测数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}12A x x =-≤，{|2x B x =，则A B =（ ）A ．112x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤B ．{|1x x -≤C ．12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤ D ．{|3}x x ≤2．已知(1i)24i z +=-，则z = （ ）A ．2BC ．4D ．103．若二项式2213nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中存在常数项，则正整数n 可以是 （ ）A ．3B ．5C ．6D ．74．为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团．甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为 （ ） A ．13B ．12C ．23D ．345．已知2b a = ，若a 与b 的夹角为120︒，则2a b - 在b 上的投影向量为 （ ）A ．3b -B ．32b -C ．12b - D ．3b6．已知221:(2)(3)4O x y -+-= ，1O 关于直线210ax y ++=对称的圆记为2O ，点E ，F 分别为1O ，2O 上的动点，EF 长度的最小值为4，则=a （ ）A ．32-或56B ．56-或32C ．32-或56- D ．56或327．已知三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，PA PB PC AB ====2π3ACB ∠=，则球O 的体积为（ ） A ．3πB ．27π8C ．9π2D ．9π8．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，(1)f x +是奇函数，且(1)()2f x g x -+=，()(3)2f x g x +-=，则（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()g x 为奇函数C ．201()40k f k ==∑D ．201()40k g k ==∑二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则 （ ）A ．()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增 B ．()f x 在区间[0,π]有两个零点C ．直线π12x =是曲线()y f x =的对称轴 D ．直线2π43y x =+是曲线()y f x =的切线10．已知曲线222:1424x y C m +=-，则 （ ）A ．若m >，则C 是椭圆B ．若m <<C 是双曲线 C ．当C 是椭圆时，若m 越大，则C 越接近于圆D ．当C 是双曲线时，若m 越小，则C 的张口越大11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱BC ，1CC 的中点，P 为线段EF 上的动点，则 （ ） A ．线段DP 长度的最小值为2 B ．三棱锥1D A AP -的体积为定值 C ．平面AEF 截正方体所得截面为梯形 D ．直线DP 与1AA 所成角的大小可能为π312．若x ，y 满足223x xy y ++=，则（ ）A ．2x y +≤B ．21x y +-≥C ．228x y xy +-≤D ．221x y xy +-≥三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．若3cos 5α=-，α是第三象限角，则tan 2α=___________．14．利率变化是影响某金融产品价格的重要因素经分析师分析，最近利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%．根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下该金融产品价格上涨的概率为40%．则该金融产品价格上涨的概率为__________．15．已知曲线32()362f x x x x =-++在点P 处的切线与在点Q 处的切线平行，若点P 的纵坐标为1，则点Q 的纵坐标为__________．16．已知椭圆22:1126x y C +=，直线l 与C 在第二象限交于A ，B 两点（A 在B 的左下方），与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，且::1:2:3MA AB BN =，则l 的方程为____________________．1 2 3 4 5 6 7 8 得分9 10 11 12 得分13． 14． 得分15． 16．四､解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17．记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2222b a c -=．（1）求tan tan BA的值： （2）求C 的最大值．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，AD CD ⊥，24CD AB ==，PAD △ 是正三角形，E 是棱PC 的中点． （1）证明：//BE 平面PAD ；（2）若AD =，平面PAD ⊥平面ABCD ，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．19．欧拉函数*()()n n ϕ∈N 的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数，例如：(1)1ϕ=，(4)1ϕ=． （1）求2(3)ϕ，3(3)ϕ；（2）令1(3)2nn a ϕ=，求数列3log n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．20．脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．（1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数） （2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且2(17,)X N σ～，其中2σ近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P X μσμσ-+≈≤≤，(22)0.9545P X μσμσ-+≈≤≤4.7≈ 4.8≈，30.158650.004≈．21．已知抛物线2:2(0)E y px p =>，过点(2,0)-的两条直线1l ，2l 分别交E 于A 、B 两点和C 、D 两点．当1l 的斜率为23时，AB =． （1）求E 的标准方程：（2）设G 为直线AD 与BC 的交点，证明：点G 必在定直线上．22．已知函数()(1)ln f x x x ax a =+-+．（1）若2a =，试判断()f x 的单调性，并证明你的结论； （2）若1x >，()0f x >恒成立． （i ）求a 的取值范围：（ii ）设11111232n a n n n n=+++++++ ，[]x 表示不超过x 的最大整数．求[10]n a ． （参考数据：ln 20.69≈）。
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一•选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 是正确的，将正确答案填写在答题卷相应位置.）1・设集合 t/={l,2,3,4,5}A={l,2,3},3={3,4,5},则 Cu （AcB ）等于（）.A. {1, 2, 3, 4}B.{1, 2, 4, 5}C.{1, 2, 5}D.{3}2•某学校为了调查高三年级的200名文科学牛完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式: 笫一种山学牛.会的同学随机抽取20名同学进行调查涕二种山教务处対该年级的文科学牛进行编 号，从001到200,抽取学号最后一位为2的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次为（）.A.分层抽样,简单随机抽样B.简单随机抽样，分层抽样C.分层抽样，系统抽样D.简单随机抽样，系统抽样3•下列各选项屮，与sin2011°ft 接近的数是（）4•等差数列{%}的前〃项和为S“,若⑷+為+如=30,那么焉值的是（ ）A. 65B. 70C. 130D. 2605•若曲线y=x 2-^-ax+b 在点（0,b ）处的切线方程是x —y+l=0,则（ ）A.a=— l,b=lB.a=— l,b=— 1C.a=\,b=— 1D.d=l,b=l6•菜学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：X1.99 3 45」 6」22011年福州市高中毕业班质量检查数学文科试卷（满分150分，考试时间120分钟）参考公式：样本数据为，也…，必的标准差锥体体积公式［（西_可2 +（兀2 -牙F + ・•・ +（兀，厂元）2•其中元为样本平均数V=-Sh 3其中S 为底血血积，力为高柱体体积公式球的表而积、体积公式V 二 Sh 其中S 为底面面积，力为高 其屮斤为球的半径对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（）A. y=2x —27.给出下列四个命题：① 分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是界面直线； ② 若一个平面经过另一个平血的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③ 垂直于同一直线的两条直线相互平行：④ 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是（）2 2&双Illi 线話-十=1上到定点（5,0）的距离是9的点的个数是（a } +a 2 =（巧,1）的（）11•在区间［-兀，兀］内随机取两个数分别记为 以，贝I 」使得函数f （x ） = x 2+2ax-b 2^7T 2有零点的概 率为（）12•已知函数 阳1）是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数X 】、兀2，不等式（西一兀2）［/（坷）一/（兀2）］ V0恒成立,则不等式Al-X ）＜0的解集为（C. y=log2/A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④A. 0 个;B. 2 个;C. 3 个;D. 4 个.9•对任意非零实数d, b ,若a®h 的运算规则如右图的程序框图所示, 则（3（8）2）0 4的值是（）. A.01 B.-2 C|D.910 •已知坷卫2均为单位向量, A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分乂不必要条件兀A.l__87T B.1- —471C. 1 —— 2 3龙 D.1 ——4A ・（l,+s ）B ・（0，+8）C ・（_8,0）D ・（_F ））. !_那么a x =「开『］二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将正确答案填写在答题卷相应位置.）13•已知复数z = ± （i 是虚数单位），贝lj|z|= _____ •1 - z14•命题“王胆R,e 、x”的否定是 ___________ .15•四棱锥P-ABCD 的顶点P 在底面ABCD 屮的投影恰好是 A,其三视图如右图所示，根据图中的信息，在四棱锥P - ABCD 的任两个顶点的连线中，互相垂直的弄而直线对数 为 ・16•将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作叫匕疋Nj,如第2行第4列的数是15, 记作勺4 = 1 5，则有序数对（伐2，。
福州市20XX年高中毕业班第一次质量检查数学(文科)试卷.doc
2020 年福州市高中毕业班质量检查数学（文科）试卷（完卷时间： 120 分钟；满分： 150 分）参考公式参考公式：球的表面积公式如果事件 A 、B 互斥，那么S 4 R 2P( A B) P( A) P(B)其中 R 表示球的半径 如果事件 A 、B 相互独立，那么球的体积公式P(A B) P( A) P( B)V4 R 3 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率3其中 R 表示球的半径P (k) C k P k (1 P) n knn一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1．函数 f ( x) 1 x lg( x 1) 的定义域是（）A ．(1, )B ． (1,1]C ． [1,1) D ． ( , 1)2． A , B , C 是三个集合，那么“ A B ”是“ AI CB IC ”成立的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．函数 y e 1x3 的反函数是（）ex33 x e A ． y ln 3B ． y lnC ． y lnD ． y lnxee3 x4．正四棱柱的底面边长是 1，侧棱长是 2，它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）A ． 6B ． 5C ． 6D ． 8 5．已知等差数列 { a n } 中， a 6 a 10 16 , a 4 1，则 a 12 的值是（ ） A ．15B ．30C ． 31D ．646．若奇函数 f ( x) ( x R) ，满足 f (2) 1,f ( x 2) f ( x) f (2) ，则 f (1) 等于（）A ． 0B ．11 1C ．D ．227．已知双曲线 x 2 3y 26 ，则双曲线左支上的点 P 到左焦点的距离与点P 到左准线的距离之比等于（）2 3 A ． 3B ．2C ．D ．338．已知直线m、n与平面、，给出下列三个命题：①若 m // , n // ，则 m // n ；②若 m // , n，则m n ；③若 m, m // ，则．其中真命题的个数是（）A ． 0 B．1 C． 2 D．39．某校校庆期间，高三⑴班有14 名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班 4 人，每人每天最多值一班，则校庆当天不同的排班数为（）A ．C 12 4 C 4 B．C 12 4 4 C1412 C124C84 12 4 4A 3C8 A A C．D．C C C14 12 14 12 8 A33 14 12 8 310．已知圆的方程x2 y2 4 ，若抛物线过点 A(0, 1) , B(0,1) 且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是（）x 2 y 21（ y 0 ）x2 y20 ）A ．4 B ．1（ y3 4 3x2 y 21（ x 0 ）x 2 y 20 ）C．4 D ．1（ x3 4 3sin( x) x 200711．设f ( x) 2 4 ，则 f (2006) f (2007) f (2008) f (2009) （）f ( x 4) x 2007A ． 0 B．1 C． 2 D．1 212．已知等比数列{ a n}的首项为16，S n是其前n项的和，某同学经计算得S2 40, S3 72 ，S4 130 ，后来该同学发现，其中一个值错了，则该值为（）A．S1 B．S2 C．S3 D．S4二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在答题卡的相应位置．13．在( x 2)8的展开式中， x6 的系数为＊＊＊（用数字作答）．x14．在 100 件产品中只有 1 件次品，现抽取10 件产品送质检部门检测，则次品被抽到的概率是＊＊＊．x 2y15．设实数x , y满足约束条件：y x ，则 z ＊＊＊．的最大值为2x y 12x16．已知函数 f (x) ax3bx2cx ，其导函数 y f (x) 的图象经过点(1,0) , (2,0) ，如图所示．则下列说法中不正确的编号是＊＊＊．（写出所有不正确说法的编号）①当 x 3时函数取得极小值；2② f ( x) 有两个极值点；③ c 6 ；④当 x 1 时函数取得极大值．yO12x三、解答题：本大题共 6 小题，共74 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12 分）在 ABC 中， B 45 , BC 3 2 , cos A10．10⑴求ABC 的面积 S；⑵求 BC 边上的中线长．18．（本小题满分12 分）已知数列 { a n} ，其前 n 项和为 S n，又 S n 1 n2 1 n，2 2⑴求 { a n } 的通项公式；⑵1 1 1 1记 TS2L ，求T．S1 S3S9919．（本小题满分 12 分）如图，在棱长为 1 的正方体ABCD A1 B1C1 D1中，P是 CC1上的一动点．1AP与平面BDD1B1所成角的正切值；⑴当CP 时，试求直线3⑵求证：不论P 在CC1上的任何位置时，B1 D1在平面 APD1上的射影总垂直于AP ．20．（本小题满分12 分）春节期间，小五用私家车送 4 位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为1 ，求：3⑴只有一位朋友在第三个景点下车的概率；⑵在第三个景点同时有几个人下车的概率最大．21．（本小题满分12 分）设函数 y f ( x) x(x a)(x b) （ a , b R ）．⑴若 a b , ab 0 ，过两点 (0,0) 、(a,0) 的中点作与 x 轴垂直的直线，此直线与函数 y f ( x) 的图象交于点P( x0 , f (x0 )) ，求证：函数 y f ( x) 在点P处的切线过点 ( b,0) ；⑵若 a b （ a 0 ），且当 x [0,| a | 1] 时， f ( x) 2a2恒成立，求实数 a 的取值范围．22．（本小题满分14 分）uuur uuuruuur， M 在 y 轴上，如图所示，ABC 中， CA CB , OA (0, 2)yuuuur 1 uuur uuur B且 AM ( AB AC ) ， C 在 x 轴上移动．2⑴求 B 点的轨迹 E 的方程；M⑵过点 F (0, 1) 的直线 l 交轨迹E于 H 、G 两点，（H在4O C x uuur 1 uuurF、G 之间），若 FH HG ，求直线 l 的方程．2-2 A。
福建省福州市2023-2024学年高三下学期4月末质量检测数学试卷(解析版)
2023—2024学年福州市高三年级4月末质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合101M x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则R M =ð（）A.{}1x x <- B.{}1x x ≤- C.{}1x x >- D.{}1x x ≥-【答案】D 【解析】【分析】先解不等式再利用补集运算即可求解.【详解】由101x ≤+得10x +<，即1x <-，所以{}1M x x =<-，于是{}R 1M x x =≥-ð.故选：D.2.设a ，b ∈R ，则“0ab <”是“0a ba b+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充要条件的概念即可求解.【详解】当0ab <时，00a b >⎧⎨<⎩或0a b <⎧⎨>⎩，则0a b a b +=，即充分性成立；当0a b a b +=时，0b ba a =->，则0ab <，即必要性成立；综上可知，“0ab <”是“0a ba b+=”的充要条件.故选：C.3.等轴双曲线经过点()3,1-，则其焦点到渐近线的距离为（）A. B.2C.4D.【答案】A 【解析】【分析】由题意，先求出等轴双曲线的方程，得到焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式进行求解即可．【详解】因为该曲线为等轴双曲线，不妨设该双曲线的方程为22221(0)x y a a a-=>，因为等轴双曲线经过点(3,1)-，所以22911a a-=，解得28a =，则22216c a a =+=，所以该双曲线的一个焦点坐标为(4,0)F ，易知该双曲线的一条渐近线方程为y x =，则点(4,0)F 到直线y x =的距离d ==．故选：A ．4.已知1sin 44πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（） A.78B.158C.158-D.78-【答案】D【解析】【分析】先利用和角公式展开1sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，平方可求sin 2α.【详解】1sin cos 4224πααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭平方可得11(1sin 2)216α+=，所以7sin 28α=-,故选D.【点睛】本题主要考查倍角公式，熟记公式是求解关键，题目较为简单,侧重考查数学运算的核心素养.5.已知非零复数z 满足1i z z -=-，则zz=（）A.1 B.1- C.iD.i-【答案】D 【解析】【分析】设()i ,z a b a b =+∈R ，利用条件证明a b =，再代入zz化简即可.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，则由1i z z -=-知()1i 1i a b a b -+=+-.从而()()222211a b a b -+=+-，展开即得a b =.由z 非零，知0a b =≠，故()()()2i 1i i 1i 2i i i 1i 1i 1i 2i a z a b b a z a b b-----======-+++-+.故选：D.6.()()54112x x -+的展开式中2x 的系数为（）A.14- B.6- C.34D.74【答案】B 【解析】【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．【详解】5(1)x -的展开式为15C (1)(0rrrr T x r +=⋅-⋅=，1，2，3，4，5)，4(12)x +的展开式14C 2(0k k k k T x k +=⋅⋅=，1，2，3，4)，当0r =，2k =时，2x 的系数为224C 224⋅=；当1r =，1k =时，2x 的系数为54240-⨯⨯=-；当2r =，0k =时，2x 的系数为25C 10=，故2x 的系数为2410406+-=-．故选：B ．7.数列{}n a 共有5项，前三项成等差数列，且公差为d ，后三项成等比数列，且公比为q ．若第2项等于2，第1项与第4项的和等于10，第3项与第5项的和等于30，则d q -=（）A.1 B.2 C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】结合等差、等比数列的概念利用第二项写出剩下四个项，进而列方程组即可求解.【详解】由根据题意得，该数列的项为()()22,2,2,2,2d d d q d q -+++，又()()222102230d d q d d q ⎧-++=⎪⎨+++=⎪⎩，即26213021d q d q ⎧+=⎪-⎪⎨⎪+=⎪+⎩，解得24q d =⎧⎨=⎩或31q d =⎧⎨=⎩.于是2d q -=.故选：B.8.四棱锥E ABCD -的顶点均在球O 的球面上，底面ABCD 为矩形，平面BEC ⊥平面ABCD，BC =，1CD CE ==，2BE =，则O 到平面ADE 的距离为（）A.13B.14C.24D.58【答案】A 【解析】【分析】根据线面关系可证得AB ⊥平面BEC ，BE CE ⊥，将四棱锥E ABCD -补成长方体111AD DA BECB -，确定球心的位置，再建立空间直角坐标系，求解平面ADE 的法向量，利用空间向量的坐标运算计算O 到平面ADE 的距离即可.【详解】因为平面BEC ⊥平面ABCD ，交线为BC ，又底面ABCD 为矩形，则AB BC ⊥，因为AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面BEC ，则,AB CE AB EB ⊥⊥，又BC =，1CD CE ==，2BE =，所以222BE CE BC +=，则BE CE ⊥,如图，将四棱锥E ABCD -补成长方体111AD DA BECB -，若四棱锥E ABCD -的顶点均在球O 的球面上，则长方体111AD DA BECB -的顶点均在球O 的球面上，O 为体对角线11D B 中点，如图，以E 为原点，1,,EC EB ED 所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()110,2,1,1,0,1,0,0,0,0,0,1,1,2,0A D E D B ，故11,1,22O ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =，又()()0,2,1,1,0,1EA ED == ，12020n EA y z y z n ED x z x z⎧⎧⋅=+==-⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩=-⎩ ，令2z =，所以()2,1,2n =-- ，又11,1,22EO ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则O 到平面ADE的距离为13EO n n ⋅==.故选：A.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.或者采用补形法，利用规则图形的外接球位置确定所求外接球球心的位置.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是（）甲乙87909691869086928795A.甲选手射击环数的极差大于乙选手射击环数的极差B.甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数C.甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差D.甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数【答案】ABC 【解析】【分析】通过极差、平均数、方差、第75百分位数的计算即可求解.【详解】甲选手射击环数从小到大排列：86，87，90，91，96，则甲选手射击环数的：极差等于968610-=；平均数等于()18687909196905⨯++++=；方差等于()()()()()2222218690879090909190969012.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；第75百分位数等于91.乙选手射击环数从小到大排列：86，87，90，92，95，则乙选手射击环数的：极差等于95869-=；平均数等于()18687909295905⨯++++=；方差等于()()()()()2222218690879090909290959010.85⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；第75百分位数等于92.综上可知，ABC 选项正确，D 选项错误.故选：ABC.10.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+满足()()33ππ+=-f x f x，且()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则（）A.1sin 2ϕ=B.1sin 2ϕ=-C.()y f x =的图象关于点13π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减【答案】BC 【解析】【分析】由已知结合正弦函数的对称性可先求出ϕ，即可判断A ，B ；然后结合正弦函数的对称性及单调性检验选项C ，D 即可判断．【详解】因为函数()sin(2)f x x ϕ=+满足()()33ππ+=-f x f x，所以()f x 的图象关于π3x =对称，则2πππ32k ϕ+=+，Z k ∈，则6πkπϕ=-，Z k ∈，所以π()sin(2)6f x x =-或5π()sin(2)6f x x =+，因为π((π)2f f >，所以π2π6n ϕ=-，Z n ∈，1sin 2ϕ=-，A 错误，B 正确；则π()sin(2)6f x x =-，13π(sin 2π012f ==，即()f x 的图象关于点13(π,0)12对称，C 正确；当ππ2x <<时，5ππ11π2666x <-<，因为sin y t =在5π(6,11π6上不单调，D 错误．故选：BC ．11.已知函数()()e eee xxxx f x ax --=+-+恰有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则（）A.1230x x x ++=B.实数a 的取值范围为(]0,1C.110ax +>D.31ax a +>【答案】ACD 【解析】【分析】利用()f x 的奇偶性可判断A 选项；将函数的零点问题转化为函数图像的交点问题，再利用导数和基本不等式确定切线斜率的取值范围，进而得实数a 的取值范围，即可判断B 选项；由112122e1e 1x xax +=+来可判断C 选项；由32321e 1x ax =-+得323121e 1x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，进而31ax a +>等价于323e 210x x -->，令()()2=e210xh x x x -->，用导数证明()0h x >，即可判断D 选项.【详解】函数()()e eee xxxx f x ax --=+-+定义域为R ，()()()()()e e e e e e e e x x x x x x x xf x a x ax f x ----⎡⎤-=-+-+=-+-+=-⎣⎦，所以()f x 是奇函数，则()00f =，又因为()f x 有三个零点且123x x x <<，()()()1230f x f x f x ===，所以13x x =-，20x =，即1230x x x ++=，故A 选项正确；()()e eee0xxxxf x ax --=+-+=，得222e e e 121e e e 1e 1x x x x x x xax --=--==-+++，令()221e 1xg x =-+，则()()2224e 0e 1xxg x =>+'，所以()f x 在R 上增函数，要使函数()f x 有3个零点，y ax =与()y g x =的图象有3个交点，如图：又()()()2222222224e 4e 411e 1e 2e 1e 2e xxx xx x x g x ===≤=+++++'，当且仅当0x =时取等号，即()01g x <'≤，所以01a <<，故B 错误；111212222e 1110e 1e 1x x x ax ⎛⎫+=-+=> ⎪++⎝⎭，故C 选项正确；由32321e 1x ax =-+得323121e 1x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，又30x >，要使333223212111e 1e 1x x ax a x ⎛⎫+=-+-> ⎪++⎝⎭成立，则323e 210x x -->成立，令()()2=e210xh x x x -->，()()()2=2e 100x h x x -'>>，所以()h x 在()0,∞+单调递增，则()()0=0h x h >，于是323e210x x -->，则31ax a +>，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若向量()3,4a =- 在向量()2,1b =- 上的投影向量为b λ，则λ等于______．【答案】2-【解析】【分析】根据投影向量的公式运算即可得答案.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为2a b b b⋅ ，所以()()()223,42,164252,1a b b λ-⋅-⋅--====--.故答案为：2-.13.倾斜角为π3的直线经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与C 交于A ，B 两点，Q 为线段AB 的中点，P 为C 上一点，则PF PQ +的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】由题意，根据给定条件，求出点Q 的横坐标，再借助抛物线的定义求解作答．【详解】易知抛物线2:12C y x =的焦点(3,0)F ，准线3x =-，直线AB的方程为3)y x =-，联立23)12y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 并整理得21090x x -+=，不妨设1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，由韦达定理得1210x x +=，此时线段AB 的中点Q 的横坐标5Q x =，过P 作准线3x =-的垂线，垂足为D '，过Q 作准线3x =-的垂线，垂足为D ，由抛物线的定义可得5382Q pPF PQ PD PQ QD QD x +=+≥≥+='+'==||||PF PQ +取得的最小值为8．故答案为：8．14.如图，六面体111ABCDA C D 的一个面ABCD 是边长为2的正方形，1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，且11AA =，12CC =，则该六面体的体积等于________，表面积等于______．【答案】①.6②.22【解析】【分析】根据1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，所以111////AA CC DD ，在1DD 上取1DM AA =，连接1,A M MC ，从而根据线线平行可得故1ABA DCM -为三棱柱，111BCC A MD -为三棱柱，根据柱体体积公式即可得该六面体的体积，根据几何体外表面的线线关系结合勾股定理、余弦定理、三角形面积公式、梯形面积公式、正方形面积公式，即可得几何体的表面积.【详解】如图，在1DD 上取1DM AA =，连接1,A M MC ，因为1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，所以111////AA CC DD ，则11,AA AD AA DC ⊥⊥，因为正方形ABCD ，所以AD DC ⊥，又,,AD DC D AD DC =⊂ 平面11A ADD ，所以DC ⊥平面11A ADD ，由1DM AA =可得四边形1AA MD 为平行四边形，所以11//,AD A M AD A M =，因为面ABCD 为正方形，则//,AD BC AD BC =，所以11//,BC A M BC A M =，则四边形1A MCB 为平行四边形，所以11//,A B MC A B MC =，又1A B ⊄平面11DCC D ，MC ⊂平面11DCC D ，所以1//A B 平面11DCC D ，因为平面11DCC D 平面11111A BC D C D =，则111//A B C D ，所以四边形11MD C C 为平行四边形，所以112MD C C ==，故1ABA DCM -为三棱柱，111BCC A MD -为三棱柱，则该六面体的体积1111ABA CDM BCC A MD V V V --=+=1111212222622ABA BCC S BC S DC ⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ；如图，连接1,BD D B ，又1A B ===，11A D ===，BD ==所以1BD ==，则在四边形111A BC D中，由余弦定理得22211111111110cos 210A B A D BD D A B A B A D +-∠===-⋅，所以11sin 10D A B ∠==，则11111111sin 610A BC D S AB A D D A B =⋅⋅∠== ，该六面体的表面积111111111ABA BCC A BCD ABCDA ADD DCC D S S S S S S S =+++++ 四边形四边形()()11112122132232622222222=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯=.故答案为：6；22.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定六面体的线线关系.关于求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a n -=+（2n ≥）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <．【答案】（1）2n a n n =+，*n ∈N ；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n 项和公式求解即得.（2）利用裂项相消法求和即可得证.【小问1详解】数列{}n a 中，当2n ≥时，12n n a a n -=+，即12n n a a n --=，则12112312()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=--⋅⋅⋅+--++++()()2222462222n n n a n n n n +=+++⋅⋅⋅+-+==+，而12a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2n a n n =+，*n ∈N ．【小问2详解】由（1）知()21n a n n n n =+=+，*n ∈N ，则()111111n a n n n n ==-++，因此()()1111122311n S n n n n =++⋅⋅⋅++⨯⨯-+1111111111223111n n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-+-=--++，而1n ≥，则1111n -<+，所以1n S <．16.甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X 服从正态分布()20,0.2N ，规定()0.2,0.2X ∈-的零件为优等品，()0.6,0.6X ∈-的零件为合格品．（1）从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数（精确到整数）；（2）乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取2个作检测，若这2个零件都是优等品，则通过检测；若这2个零件中恰有1个为优等品，1个为合格品但非优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测．求这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率（精确到0.01）．（附：若随机变量()2,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()220.9545P μσξμσ-<<+=，()330.9973P μσξμσ-<<+=）【答案】（1）约31个（2）约为0.61【解析】【分析】（1）利用正态分布的对称性即可求解；（2）利用条件概率求解即可．【小问1详解】依题意得，0μ=，0.2σ=，所以零件为合格品的概率为()()0.60.6330.9973P X P X μσμσ-<<=-<<+=，零件为优等品的概率为()()0.20.20.6827P X P X μσμσ-<<=-<<+=，所以零件为合格品但非优等品的概率为0.99730.68270.3146P =-=，所以从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数为1000.314631⨯≈．【小问2详解】设从这批零件中任取2个作检测，2个零件中有2个优等品为事件A ，恰有1个优等品，1个为合格品但非优等品为事件B ，从这批零件中任取1个检测是优等品为事件C ，这批产品通过检测为事件D ，则D A BC =+，且A 与BC 互斥，所以()()()()()()P D P A P BC P A P B P C B=+=+221222C 0.6827C 0.68270.31460.6827 1.62920.6827=⨯+⨯⨯⨯=⨯，所以这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率为22()0.68271(|)0.61() 1.62920.6827 1.6292P AD P A D P D ===≈⨯．答：这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率约为0.61．17.如图，以正方形ABCD 的边AB 所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体ADF BCE -．设P 是CE 上的一点，G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点．（1）证明：//GH 平面BCE ；（2）若BP AE ⊥，求平面BPD 与平面BPA 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）证法一：在正方形ABEF 中，连接AH 并延长，交BE 的延长线于点K ，连接PK ，通过证明Rt Rt AFH KEH ≌△△可得GH PK ∥，进而利用线面平行的判定定理即可证明；证法二：取BP 的中点Q ，连接GQ ，EQ ，通过证明四边形GQEH 是平行四边形可得GH QE ∥，进而利用线面平行的判定定理即可证明；证法三：取AB 的中点I ，连接G I ，HI ，利用面面平行的判定定理证明平面//GIH 平面BCE ，从而即可得证//GH 平面BCE .（2）首先通过线面垂直的判定定理证明BP ⊥平面ABEF 可得BP BE ⊥，然后建立空间直角坐标系，利用向量法可求平面BPD 与平面BPA 夹角的余弦值.【小问1详解】证法一：在正方形ABEF 中，连接AH 并延长，交BE 的延长线于点K ，连接PK ．因为G ，H 分别为线段AP ，EF 中点，所以HF HE =，所以Rt Rt AFH KEH ≌△△，所以AH KH =，所以GH PK ∥．又因为GH ⊄平面BCE ，PK ⊂平面BCE ，所以//GH 平面BCE ．证法二：取BP 的中点Q ，连接GQ ，EQ ，因为G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点，所以//GQ AB ，12GQ AB =，又因为//AB EF ，AB EF =，所以GQ HE ∥，GQ HE =，所以四边形GQEH 是平行四边形，所以GH QE ∥，又因为GH ⊄平面BCE ，QE ⊂平面BCE ，所以//GH 平面BCE ．证法三：取AB 的中点I ，连接G I ，HI ．因为G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点，所以GI BP ∥，HI EB ∥，又因为GI ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ，所以//GI 平面BCE ．因为HI ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以//HI 平面BCE ．又因为GI HI I ⋂=，GI ⊂平面GIH ，HI ⊂平面GIH ，所以平面//GIH 平面BCE ，又因为GH Ì平面GIH ，所以//GH 平面BCE ．【小问2详解】依题意得，AB ⊥平面BCE ，又因为BP ⊂平面BCE ，所以AB BP ⊥．又因为BP AE ⊥，AB AE A = ，AB ，AE ⊂平面ABEF ，所以BP ⊥平面ABEF ，又BE ⊂平面ABEF ，所以BP BE ⊥，所以BP ，BE ，BA 两两垂直．以B 为原点，BP ，BE ，BA 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设1AB =，30BCP ∠= ，则()1,0,0P ，31,,122D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0BP =，31,,122BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BPD 的法向量为(),,m x y z = ，则0,0,BP m BD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即031022x x y z =⎧-+=⎩，取2y =，得0x =，1z =，所以平面BPD 的一个法向量是()0,2,1m =，又平面BPA 的一个法向量为()0,1,0n =．设平面BPD 与平面BPA 的夹角为θ，则25cos cos ,5m n m n m n θ⋅====．所以平面DBP 与平面BPA．18.点P 是椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）上（左、右端点除外）的一个动点，()1,0F c -，()2,0F c 分别是E 的左、右焦点.（1）设点P 到直线l ：2a x c =的距离为d ，证明2PF 为定值，并求出这个定值；（2）12PF F △的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G ，I ，已知直线IG 垂直于x 轴.（ⅰ）求椭圆E 的离心率；（ⅱ）若椭圆E 的长轴长为6，求12PF F △被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围.【答案】（1）证明见解析，定值为ca（2）（ⅰ）13；（ⅱ）45,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由两点间距离公式（结合点P 在椭圆上）、点到直线距离公式表示出2,PF d ，两式相比即可得解；（2）（ⅰ）解法一：一方面由（1）得20cPF a x a =-，另一方面结合已知以及椭圆定义得023x PF a =-，对比两式即可得解；解法二：利用已知以及椭圆定义得12,PF PF 的一种表达式，另外结合两点间距离公式也可以分别表示12,PF PF ，从而平方后作差即可得解；解法三：表示出12,PF PF 方程，根据题意设出内心坐标，结合点到直线距离公式以及内切圆性质即可得解；（ⅱ）先求出椭圆方程，然后求得1FCD 的面积1S 与12PF F △的面积S 之比的表达式结合导数即可求出其范围，进一步即可得解.【小问1详解】依题意，222b c a +=.设()00,P x y ，则2200221x y a b+=，0a x a -<<，所以2PF =所以20c PF x a a==-，又a c >，所以0c a x a >，20ax c >，所以20c PF a x a =-，20a d x c=-所以0220ca x PF c a a d a x c-==-，即2PF 为定值，且这个定值为c a .【小问2详解】（ⅰ）解法一：依题意，00,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG x ⊥轴，所以0,03x C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以001202333x x F C F C c c x ⎛⎫⎛⎫-=+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12PF F △的内切圆与x 轴切于点C ，所以1212023PF PF F C F C x -=-=，又因为122PF PF a +=，解得023x PF a =-由（1）得20cPF a x a =-，所以003x c a x a a -=-，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.解法二：依题意，00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG x ⊥轴，所以0,03x C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以001202333x x F C F C c c x ⎛⎫⎛⎫-=+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12PF F △的内切圆与x 轴切于点C ，所以1212023PF PF F C F C x -=-=，又因为122PF PF a +=，得0102,3,3x PF a x PF a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以0,3,3x a x a =+=-两式平方后作差，得00443cx ax =对任意0x 成立，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.解法三：依题意，00,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为IG x ⊥轴，设点I 坐标为0,3x t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求直线1PF 方程为()00y y x c x c=++，则点I 到直线1PFt =，即()()()2222000003x y c t x c t y x c ⎛⎫⎛⎫+-+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()22000002033x x y t t c x c y c ⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①同理，由点I 到直线2PF 的距离等于t ，可得()22000002033x x y t t c x c y c ⎛⎫⎛⎫+----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②将式①－②，得00084233t cx y cx ⋅=⋅，则04y t =.将04y t =代入式①，得()2200001016233y x x c x c c ⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得220022198x y c c+=，得229c a =，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.（ⅱ）由26a =，得3a =，又13c a =，所以1c =，2228b a c =-=，所以椭圆E的方程为221 98x y+=.根楛椭圆对称性，不妨设点P在第一象限或y轴正半轴上，即0003,0x y≤<<≤又()11,0F-，()21,0F，所以直线1PF的方程为()11yy xx=++，设直线IG与1PF交于点D，因为03Dxx=，所以()()00331Dy xyx+=+，1FCD的面积1S与12PF F△的面积S之比为()()()()00200131123313118122y xxx xSS xy+⎛⎫+⨯⎪++⎝⎭==+⨯⨯，令()()()23181xf xx+=+（03x≤<），则()()()()231181x xf xx+-+'=，当[)0,1x∈，()0f x'<，当()1,3x∈，()0f x'>，所以函数()f x在[)0,1单调递减，在()1,3单调递增.又因为()12f=，()419f=，()132f=，所以()f x的值域是41,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以14192SS≤≤，所以11415SS S≤≤-，根据对称性，12PF F△被直线IG分成两个部分的图形面积之比的取值范围是45,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：第二问（ⅱ）的关键在于求得1FCD 的面积1S 与12PF F △的面积S 之比的表达式，由此即可顺利得解.19.记集合()()()()()()(){}000,R ,,,f x x D L l x kx b x x D f x l x x D f x l x ∈==+∈∀∈≤∃∈=且，集合()()()()()()(){}000,R ,,,f x x D T l x kx b x x D f x l x x D f x l x ∈==+∈∀∈≥∃∈=且，若()(),f x x D l x L ∈∈，则称直线()y l x =为函数()f x 在D 上的“最佳上界线”；若()(),f x x D l x T ∈∈，则称直线()y l x =为函数()f x 在D 上的“最佳下界线”．（1）已知函数()2f x x x =-+，()01l x kx =+．若()()0,R f x x l x L ∈∈，求k 的值；（2）已知()e 1xg x =+．（ⅰ）证明：直线()y l x =是曲线()y g x =的一条切线的充要条件是直线()y l x =是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”；（ⅱ）若()()ln 1h x x =-，直接写出集合()()(),1,,R h x x g x x L T ∞∈+∈⋂中元素的个数（无需证明）．【答案】（1）3k =或1-（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2个【解析】【分析】（1）由题意可得R x ∀∈，21x x kx -+≤+，且0R x ∃∈，20001x x kx -+=+，再由△0=求解即可；（2）（ⅰ）结合“最佳下界线”及充要条件的定义证明即可；（ⅱ）由定义直接写出结果即可．【小问1详解】依题意，()()0,R f x x l x L ∈∈ ，R x ∴∀∈，21x x kx -+≤+，且0R x ∃∈，20001x x kx -+=+，令2()(1)1x x k x ϕ=-+--，2Δ(1)4k =--，则()0x ϕ≤，且0()0x ϕ=，∴Δ0,Δ0,≤⎧⎨≥⎩，∴Δ0=，即2(1)40k --=，12k -=或12k -=-，解得3k =或1-；【小问2详解】（ⅰ）先证必要性．若直线()y l x =是曲线()y g x =的切线，设切点为()00,e 1x x +，因为()e x g x '=，所以切线方程为()()000e 1e x x y x x -+=-，即()()000e 1e 1x xl x x x =+-+（*）一方面，()()00g x l x =，所以0x ∃∈R ，()()00g x l x =，另一方面，令()()()()000e e 1e x xx G x g x l x x x =-=---，则()00G x =，因为()0e e xx G x '=-，所以当0x x <时，()0G x '<，()G x 在()0,x ∞-单调递减，当0x x >时，()0G x '>，()G x 在()0,x ∞+单调递增，所以()()00G x G x ≥=，所以()()g x l x ≥．即x ∀∈R ，()()g x l x ≥，所以()(),R g x x l x T ∈∈，即()l x 是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”．再证充分性．若()l x 是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”，不妨设()l x kx b =+，由“最佳下界线”的定义，x ∀∈R ，()()g x l x ≥，且0x ∃∈R ，()()00g x l x =，令()()()e 1xH x g x l x kx b =-=+--，则()0H x ≥且()00H x =，所以()min 0H x =．因为()e xH x k '=-，①若0k ≤，则()0H x '≥，所以()H x 在R 上单调递增，所以10x x ∃<，使得()()100H x H x <=，故0k ≤不符合题意．②若0k >，令()0H x '=，得ln x k =，当(),ln x k ∞∈-时，()0H x '<，得()H x 在(),ln k ∞-单调递减，当()ln ,x k ∞∈+时，()0H x >，得()H x 在()ln ,k ∞+单调递增，所以，当且仅当ln x k =时，()H x 取得最小值()ln H k ．又由()H x 在0x 处取得最小值，()min 0H x =，所以()0,ln 0,x lnk H k =⎧⎨=⎩即000e ,e 10,x x k kx b ⎧=⎪⎨+--=⎪⎩解得0e x k =，()001e 1x b x =-+，所以()()000e 1e 1x xl x x x =+-+，由（*）式知直线()y l x =是曲线()y g x =在点()00,e 1x x +处的切线．综上所述，直线()y l x =是曲线()y g x =的一条切线的充要条件是直线()y l x =是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”．（ⅱ）集合()()(),1,,R h x x g x x L T ∞∈+∈⋂元素个数为2个．【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．。
2024届福建省福州市高三下学期2月质量检测数学试题及答案
1（在此卷上答题无效）2023～2024学年福州市高三年级2月份质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}1,1,1A x x B =<=-，则A B =U A.(],1-∞ B.(),1-∞ C.{}1- D.{}1,1-2.已知点()2,2A 在抛物线2:2C x py =上，则C 的焦点到其准线的距离为A.12B.1C.2D.43.已知1e ，2e 是两个不共线的向量，若122λ+e e 与12μ+e e 是共线向量，则A.2λμ=- B.2λμ=- C.2λμ= D.2λμ=4.在ABC △中，2AB =，4AC =，BC =ABC △的面积为A.2B. C.4D.A. B. C. D.22227.甲、乙、丙三个地区分别有%x ，%y ，%z 的人患了流感，且,,x y z 构成以1为公差的等差数列.已知这三个地区的人口数的比为5:3:2，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则x 的可能取值为A.1.21B.1.34C.1.49D.1.518.已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()='g x f x .若()2g x -的图象关于点()20，对称，且()()()22112---=-g x g x g x ，则下列结论一定成立的是2A.()()2f x f x =-B.()()2g x g x =+C.()20241==∑n g n D.()20241n f n ==∑二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
福州市普通高中毕业班质量检查数学(文科)试卷.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016年福州市普通高中毕业班质量检查数学(文科)试卷（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1．设集合{}2320M x x x =++>，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N ，则 MN =（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}1x x >-C ． {}2x x ≤-D ．R2. 已知复数z 满足2zi i x =+()x R ∈，若z 的虚部为2，则z =（ ）．A ． 2B ．22C ．5D ．33．已知命题:p “,10xx e x ∃∈--≤R ”，则p ⌝为 （ ） A ． ,10xx e x ∃∈--≥R B ．,10xx e x ∃∈-->RC ．,10x x e x ∀∈-->RD ． ,10xx e x ∀∈--≥R4．若)4sin(2cos 2απα-=，且()2παπ∈，，则sin 2α的值为（ ）A ．78-B ．158-C ．1D ．1585．已知①1-=x x ,②2-=x x ,③3-=x x , ④4-=x x 在如右图所示的程序框图中，如果输入10=x ，而输出4=y ，则在空白处可填入（ ）．A ．①②③B ．②③C ．③④D ．②③④6.已知数列{}n a 是等差数列，且74326,2a a a -==，则公差=d ( )A ．22B ．4C ．8D ．167．在2015年全国青运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选2人，则选出的火炬手的编号相连的概率为 ( ) A ．310B ．58C ．710D ．258．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．12+B ．2C ．222+D ．329．已知抛物线2:8C y x =与直线()()20y k x k =+>相交于,A B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =( )A ．13B ．223C ．23D ．2310．已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )． A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(0,1]D ．(1,0)-111正视图俯视图侧视图11．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>的左．右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线C 的右支相交于,P Q 两点，若1PQ PF ⊥，且1PF PQ =，则双曲线的离心率e =（ ）A ． 21+B ．221+ C ．522+D ．522-12．已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为（ ）． A ． (0,1) B ．(1,2)C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13. 已知向量, ), ,2( ),3 ,5(b a x b x a⊥=-=且则=x14.已知实数,x y 满足212x y x y x+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩，且数列4,,2x z y 为等差数列，则实数z 的最大值是15.以下命题正确的是： ．①把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π个单位，可得到3sin 2y x =的图象；②四边形ABCD 为长方形，2,1,AB BC O ==为AB 中点，在长方形ABCD 内随机取一点P ，取得的P 点到O 的距离大于1的概率为12π-；③为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40；④已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为08.023.1ˆ+=x y． 16. 已知直线n l ：2y x n =- 与圆n C ：222n x y a n +=+ 交于不同的两点n A 、n B ，n N +∈，数列{}n a 满足：11a =，2114n n n a A B +=，则数列{}n a 的通项公式为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足(2)cos cos b c A a C -=． （I ）求角A 的大小(II)若3a =，求ABC ∆的周长最大值．18.（本小题满分12分）长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A 、B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．（Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长； （Ⅱ）从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求b a >的概率．19.（本小题满分12分）如图，平行四边形ABCD 中，1CD =，60OBCD ∠=，BD CD ⊥，正方形ADEF ，且面ADEF ⊥面ABCD ．（I ）求证：BD ⊥平面ECD ． （II ）求D 点到面CEB 的距离．FABDCE20． (本小题满分12分) 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 经过点)3,0(，离心率为21，且1F 、2F 分别为椭圆的左右焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点)0,4(-M 作斜率为)0(≠k k 的直线l ，交椭圆C 于B 、D 两点，N 为BD 中点，请说明存在实数k ，使得以1F 2F 为直径的圆经过N 点，（不要求求出实数k ）．21．(本小题满分12分) 已知函数)(ln 2)(2R a x a x x x f ∈+-=． （Ⅰ）当2=a 时，求函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）当0>a 时，若函数)(x f 有两个极值点)(,2121x x x x <，不等式21)(mx x f ≥恒成立，求实数m 的取值范围．本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于CD 两点，交圆O 于,E F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点．（Ⅰ）求证：,,,B D H F 四点共圆；（Ⅱ）若2,22AC AF ==，求BDF ∆外接圆的半径．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：24(cos sin )6ρρθθ=+-.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求圆C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上动点，试求x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标. （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,m n 都是实数，0m ≠，()12f x x x =-+-.(I)若()2f x >，求实数x 的取值范围；(II)若()m n m n m f x ++-≥对满足条件的所有,m n 都成立，求实数x 的取值范围．2016年福州市普通高中毕业班质量检查数学(文科)答案第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1. D 2. B 3. C 4. A 5. D 6. B 7.D 8.A 9.B 10. B 11. D 12.C第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13. 2 14.3 15.①④ 16.12-=n n a .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） （I ）解: 法一：由(2)cos cos b c A a C -=及正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=…………………………………………3分2sin cos sin cos sin cos B A C A A C ∴=+ 2sin cos sin()sin B A C A B ∴=+= (0,)B π∈ sin 0B ∴≠(0,)A π∈1cos 2A =3A π∴=…………………………………………6分法二：由(2)cos cos b c A a C -=及余弦定理，得222222(2)22b c a b a c b c a bc ba+-+--=……………………………………3分整理，得222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==(0,)A π∈3A π∴=．………………………………………6分(II)解：由（I ）得3A π∴=，由正弦定理得323sin sin sin 32b c a B C A ==== 所以23sin ;23sin b B c C ==ABC ∆的周长323sinB 23sin(B )3l π=+++ …………………………………9分323sinB 23(sinBcos cosBsin )33ππ=+++333sinB 3cosB =++36sin(B )6π=++2(0,)3B π∈当3B π=时，ABC ∆的周长取得最大值为9．…………………………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）A 班样本数据的平均值为1(911142031)175++++=………………3分 由此估计A 班学生每周平均上网时间17小时； B 班样本数据的平均值为1(1112212526)195++++=由此估计B 班学生每周平均上网时间较长． …………………6分 （Ⅱ）A 班的样本数据中不超过19的数据a 有3个，分别为：9，11，14， B 班的样本数据中不超过21的数据b 也有3个，分别为：11，12，21， 从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有：9种不同情况，分别为：（9，11），（9，12），（9，21），（11，11），（11，12），（11，21），（14，11），（14，12），（14，21），…………………9分其中b a >的情况有（14，11），（14，12）两种， 故b a >的概率92=p ．…………………2分 19.（本小题满分12分）FABDCE（I ）证明：∵四边形ADEF 为正方形∴ED AD ⊥又∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ⋂平面ABCD =AD ，∴ED ⊥平面ABCD …………………………………………3分 ∴ED BD ⊥又∵BD CD ⊥, ED CD D ⋂=∴BD ⊥平面ECD …………………………………………6分 （II ）解：1CD =，60OBCD ∠=，BD CD ⊥， 又∵ 正方形ADEF∴2CB =，5CE =，7BE =∴4575cos 10225BCE +-∠==⨯⨯ ∴19519252102CEB S ∆=⨯⨯⨯=…………………………8分 Rt BCD 的面积等于 131322BCD S ∆=⨯⨯=…………………9分 由得（I ）ED ⊥平面ABCD∴点E 到平面BCD 的距离为2ED =…………………………10分∴113..1. 3.2323D CEBE CDB V V --===11932h =⨯⨯ ∴25719h =即点D 到平面CEB 的距离为25719． ……………………………12分20．(本小题满分12分)解：（I ）∵椭圆经过点)3,0(，离心率为21， ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===222321c b a b a c ，解得3,1,2===b c a ． ∴椭圆C 的方程为13422=+y x ．………………………………………4分（II ）证明：设),(11y x B ，),(22y x D ，线段BD 的中点),(00y x N ．由题意可得直线l 的方程为：)4(+=x k y ，且0≠k ．联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+)4(13422x k y y x ，化为12)4(43222=++x k x …………………………………6分 0126432)43(2222=-+++k x k x k ，由0)1264)(43(4)32(2222>-+-=∆k k k ，可得412<k ，且0≠k ． ∴22214332k k x x +-=+2221431264.k k x x +-=．………………………………………8分∴222143162k k x x x o +-=+=，204312)4(kk x k y o +=+= 假设存在实数k ，使得1F 2F 为直径的圆过N 点，即12F N F N ⊥，则12.1F N F N k k =-，∵22220041414316431211k k kk k k x y k N F -=++-+=+=，2202202121234161203134F Nky k k k k x k k +===-----+ ∴22412114203k k k k ⨯=----，化为42804030k k +-=， 设2t k =，则2804030t t +-=∴关于t 的方程存在正解，这样实数k 存在．即存在实数k ，使得以1F 2F 为直径的圆过N 点．……………………………………12分 21.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）当2=a 时，x x x x f ln 22)(2+-=；xx x f 222)(+-=' 则1)1(-=f ，2)1(='f 所以切线方程为)1(21-=+x y ，即为32-=x y ．………………………………………4分 （Ⅱ）)0(22)(>+-='x xax x f 令022)(=+-='xax x f ，则0222=+-a x x 当084≤-=∆a ，21≥a 时，0)(≥'x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，无极值点；…………………6分（1）当084>-=∆a 且0>a ，210<<a 时，由0222=+-a x x 得221148422,1a a x -±=-±=当x 变化时，)(x f '与)(x f 的变化情况如下表：x1(0,)x1x12(,)x x2x2(,)x +∞)(x f ' +-+)(x f单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增当210<<a 时，函数)(x f 有两个极值点)(,2121x x x x <，则121=+x x ， 22111a x --=，22112ax -+=………………………………………8分由210<<a 可得2101<<x ，1212<<x21)(x x f 21121ln 2x x a x x +-=21211121ln )22(2x x x x x x -+-=112111211ln )22(2x x x x x x --+-=1111ln 2111x x x x +---= 令)210(ln 2111)(<<+---=x x x x x x h ………………………………………10分 x x x h ln 2)1(11)(2+--='因为210<<x ，所以2111-<-<-x ，1)1(412<-<x 0ln 2)1(11)(2<+--='x x x h ，即)(x h 在)21,0(递减， 即有2ln 23)21()(--=>h x h ， 所以实数m 的取值范围为]2ln 23,(---∞．………………………………………12分本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲证明:(I) AB 为圆O 的一条直径,BF FH DH BD ∴⊥⊥,,,B D H F ∴四点共圆 ……………………………………4分 解：(II) AH 与圆B 相切于点F ，由切割线定理得2AF AC AD =⋅，即()2222AD =⋅， 解得4AD =，所以()11,12BD AD AC BF BD =-===， 又AFBADH ∆∆， 则DH AD BF AF=，得2DH =，……………………………………7分 连接BH ，由（1）知BH 为BDF ∆的外接圆直径，223BH BD DH =+=，故BDF ∆的外接圆半径为32．……………………………………10分 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为24(cos sin )6ρρθθ=+-，所以22446x y x y +=+-，所以224460x y x y +--+=，即22(2)(2)2x y -+-=为圆C 的普通方程．…………………………………4分所以所求的圆C 的参数方程为22cos 22sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数) ．………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，42(sin cos )42sin()4x y πθθθ+=++=++ …………………………7分当 4πθ=时，即点P 的直角坐标为(3,3)时， ……………………………9分x y +取到最大值为6. …………………………………10分（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：(I)⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<≤-=2,3221,11,23)(x x x x x x f由2)(>x f 得⎩⎨⎧≤>-1223x x 或⎩⎨⎧>->2322x x ， 解得21<x 或25>x . 故所求实数x 的取值范围为),25()21,(+∞⋃-∞.……5分 （II ）由)(x f m n m n m ≥-++且0m ≠得 )(x f m nm n m ≥-++， 又∵2=-++≥-++m nm n m m nm n m ， …………………………7分∴2)(≤x f ，∵2)(>x f 的解集为),25()21,(+∞⋃-∞，∴2)(≤x f 的解集为]25,21[，∴所求实数x 的取值范围为]25,21[.……10分。
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数学试题
2001.4
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.
参考公式：
三角函数的和差化积，积化和差公式
sin αcos β=
2
1［sin(α+β)+sin(α-β)］ cos αsin β=2
1［sin(α+β)-sin(α-β)］ cos αcos β=2
1［cos(α+β)+cos(α-β)］ sin αsin β=-21［cos(α+β)-cos(α-β)］ 三角函数的和差化积公式
sin θ+sin φ=2sin 2ϕ
θ+cos 2
ϕθ-
sin θ-sin φ=2cos 2ϕθ+sin 2
ϕθ- cos θ+cos φ=2cos 2ϕθ+cos 2
ϕθ- cos θ-cos φ=-2sin 2ϕθ+sin 2
ϕθ- 正棱台、圆台的侧面积公式Ｓ台侧＝2
1（ｃ′＋ｃ）ｌ 其中ｃ′、ｃ分别表示上、下底面周长，ｌ表示斜高或母线长.
台体的体积公式 Ｖ台体＝3
1（S ′＋S S '＋S ）ｈ
其中S ′、S 分别表示上、下底面积，ｈ表示高.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设全集为Ｒ，Ａ＝｛ｘ｜ｘ＜－２或ｘ＞６}，Ｂ＝｛ｘ｜－２＜ｘ＜２}，则 A.A ∪Ｂ＝Ｒ B.Ａ∪B ＝Ｒ C.ＡA ∪B ＝Ｒ D.Ａ∪Ｂ＝Ｒ
2.直线l １、l ２的倾斜角分别为α、β，且１＋ｔｇβ－ｔｇα＋ｔｇα·ｔｇβ＝０，则l １到l ２的角等于
A.１３５°
B.４５°
C.６０°
D.１２０°
3.将函数ｙ＝ｓｉｎ（
21ｘ＋3π）的图象作如下的变换便得到函数ｙ＝ｓｉｎ2
1ｘ的图象 A.向右平移
3π B.向左平移3
π C.向右平移32π D.向左平移32π 4.已知复数z －１的辐角为65π，z ＋１的辐角为3π，则复数z 是 A. 21＋23ｉ B.－21＋23ｉ C. 21±23ｉ D.－2
1±23i 5.已知(2ｘ２＋31x
)ｎ（ｎ∈Ｎ）的展开式中含有常数项，则n 的最小值是 A.4 B.5 C.9 D.10
6.抛物线型拱桥，当水面距拱顶8米时，水面宽24米，若雨后水面上涨2米，则此时的水面宽约为(以下数据供参考3≈１．７，2≈１．４)
A.20．４
B.１０．２
C.１２．８
D.６．４
7.(理)极坐标方程４ｓｉｎ２θ＝３（ρ∈Ｒ）表示的曲线是
A.两条射线
B.圆
C.抛物线
D.两条相交直线
(文)如果直线l 将圆ｘ２＋ｙ２－２ｘ－４ｙ＝０平分，且不通过第四象限，则l 的斜率
的取值范围是
A.［０，１］
B.［
21，１］ C.［０，2
1］ D.［０，２］ 8.圆台的侧面积是它的内切球表面积的34倍，则圆台母线和底面所成角的大小是 A.30° B.４５° C.６０° D.７５°
9.从6名短跑运动员中选出4人参加４×１００接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有
A.180种
B.240种
C.300种
D.360种
10.P 为双曲线22
22b
y a x -＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上的一点，F １、Ｆ２为焦点，若 ∠Ｆ１ＰＦ２＝６０°，则21PF F S ∆＝ A.3ｂ２ B.43ａｂ C.33｜ｂ２－ａ２｜ D. 2
3（ａ２＋ｂ２） 11.若关于x 的不等式｜ｘ－２｜＋｜ｘ－ａ｜≥ａ在R 上恒成立，则a 的最大值是
A.0
B.1
C.-1
D.2
12.函数f (x )=ｌｏｇ２（２－ａｘ）在（－∞，１]上单调递减，则a 的取值范围是
A.１＜ａ＜２
B.０＜ａ＜１
C.０＜ａ＜１或１＜ａ＜２
D.ａ＜１或ａ＞２
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)
13.函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０，ａ≠１），已知f (25)=2,则ｆ－１
（ｌｏｇ２５２）＝ .
14.长方体的各顶点都在半径为1的球面上，则该长方体的最大体积是 . 15.(理)方程⎩⎨⎧=+-=t
y t x 232（ｔ为参数）所表示的曲线被直线ｙ＝ｘ截得的弦长等
于 .
(文)过抛物线ｙ２＝４ｘ的焦点F 作倾斜角为3
π的弦AB ，则｜ＡＢ｜等于 . 16.设函数ｆ（ｘ）＝ｘ｜ｘ｜＋ｂｘ＋ｃ，给出四个命题
①ｃ＝０时，ｙ＝ｆ（ｘ）是奇函数.
②b =0，ｃ＞０时，方程f (x )=0只有一个实数根.
③ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于点(0,c )对称.
④方程f (x )=0至多有两个实根.
上述四个命题中所有正确的命题序号是 .
三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知A 、Ｂ、Ｃ是△ＡＢＣ的三个内角，ｙ＝ｔｇ2A ＋2cos 2sin 2cos
2C B A A
-+.若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化?并证明你的结论.
18.(本小题满分12分)
设ｆ（ｘ）＝２ｘ＋x a 2
－１（ａ为实常数). (Ⅰ)当ａ＜０时，用函数的单调性定义证明：ｙ＝ｆ（ｘ）在R 上是增函数；
（Ⅱ）当ａ＝０时，若函数ｙ＝ｇ（ｘ）的图象与ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝１对称，求函数ｙ＝ｇ（ｘ）的解析式；
（Ⅲ）当ａ＜０时，求关于ｘ的方
程ｆ（ｘ）＝０的实数集R 上的解.
19.(本小题满分12分)
在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，已
知底面ABC 是底角等于30°、底边Ａ
Ｃ＝４3的等腰三角形，且Ｂ′Ｃ⊥
ＡＣ，Ｂ′Ｃ＝２2，面Ｂ′ＡＣ与面ABC
成
45°，Ａ′Ｂ与AB ′交于点E .
（Ⅰ）求证：直线AC ⊥ＢＡ′；
（Ⅱ）求异面直线AC 与BA ′的距
离；
（Ⅲ）求三棱锥Ｂ′—ＢＥＣ的体积.
20.(本小题满分12分
)
某城区2000年底有居民住房总面积为a (平方米)，现将居民住房划分为三类，其中危旧住房占31，新型住房占4
1.为了加快住房建设，计划用10年的时间全部拆除危旧住房(每年拆除的数量相同)，自2001年起居民住房只建设新型住房，使得从2001年开始，每年年底的新型住房面积都比上一年底增加20%.用ａｎ(平方米)表示第n 年底(2001年为第一年)该城区的居民住房总面积.
（Ⅰ）分别写出ａ１、ａ２、ａ３的表达式，并归纳出ａｎ的计算公式(不必证明)；
（Ⅱ）危旧住房全部拆除后，至少再过多少年才能使该城区居民住房总面积翻两番?(精确到年，以下数据供参考：ｌｇ２≈０．３０，ｌｇ３≈０．４８，ｌｇ４３≈１．６３）
21.(本小题满分14分)
设数列｛ａｎ｝满足：ａ１＋
22a ＋33a …＋n a n ＝ａ２ｎ－１，｛ａｎ｝的前n 项和为S ｎ，（ａ＞０，ａ≠１，ｎ∈Ｎ）．
（Ⅰ）求ａｎ； （Ⅱ）求n
a S n n )1(2 ；
（Ⅲ）(理)求证：(n +2)(n +1)a ｎ＋ｎ（ｎ＋２）ａｎ＋１＜２ｎ（ｎ
＋１）ａｎ＋２．
22.(本小题满分14分)
已知圆的方程是（ｘ－１）２＋ｙ２＝１，四边形PABQ 为该圆内
接梯形，底边AB 为圆的直径且在x 轴上，以A 、B 为焦点的椭圆C 过
P 、Q 两点.
(理)（Ⅰ）若直线QP 与椭圆C 的右准线相交于点M ，求点M 的轨
迹方程；
（Ⅱ）当梯形PABQ 周长最大时，求椭圆C 的方程；
(文)（Ⅰ）当｜ＰＱ｜＝１时，求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线QP 与椭圆C 的右准线相交于点M ，求点M 的轨迹方程.
情感语录
1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力
2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己
3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用
4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕
5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在
6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你
7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾
8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字
9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你
10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了
11.如此情深，却难以启齿。
其实你若真爱一个人，内心酸涩，反而会说不出话来
12.生命中有一些人与我们擦肩了，却来不及遇见；遇见了，却来不及相识；相识了，却来不及熟悉，却还要是再见
13.对自己好点，因为一辈子不长；对身边的人好点，因为下辈子不一定能遇见
14.世上总有一颗心在期待、呼唤着另一颗心
15.离开之后，我想你不要忘记一件事：不要忘记想念我。
想念我的时候，不要忘记我也在想念你
16.有一种缘分叫钟情，有一种感觉叫曾经拥有，有一种结局叫命中注定，有一种心痛叫绵绵无期
17.冷战也好，委屈也罢，不管什么时候，只要你一句软话，一个微笑或者一个拥抱，我都能笑着原谅
18.不要等到秋天，才说春风曾经吹过;不要等到分别，才说彼此曾经爱过
19.从没想过，自己可以爱的这么卑微，卑微的只因为你的一句话就欣喜不已
20.当我为你掉眼泪时，你有没有心疼过。