提高高考数学复习效率的若干途径

提高高考数学复习效率的若干途径浙江省杭州高级中学 周顺钿如何提高高三数学复习的效率，是高三数学复习研讨的一个重要话题。

一、题组串联，提高概念复习的容量在进行高三数学复习教学时，前面二年的学习已使学生积累了大量的数学概念、定理、解题方法、数学思想等，这些知识象珍珠般散落在学生的脑海中，需要在高三复习时引导学生将这些知识“联珠成线”，“织线成网”。

以函数的奇偶性为例，它涉及函数的定义域、对应法则、图象特征等，内涵丰富，概念性强，若能以题组的形式予以串联，可大大提高复习效率。

1、奇偶函数的定义域必须关于原点中心对称 （1）判断函数的奇偶性，须优先考虑定义域 例1、判断下列函数的奇偶性 ①()()2,0,f x x x =∈+∞；②()(],1,1f x x x =∈-；③()(1f x x =-④()f x =⑤()f x =（2）已知函数的奇偶性，求参变量的值例2、已知函数()1,22,421b bx f x a x ⎡⎤=+∈--⎣⎦-为奇函数，求,a b 的值。

例3、设,a b R ∈，且2a ≠，定义在区间(),b b -内的函数()1lg 12axf x x+=+是奇函数。

①求b 的取值范围；②讨论函数()f x 的单调性。

（2003年安徽春季高考）2、活用奇偶函数的对应法则 （1）奇偶函数的分拆例4、函数()2f x ax bx c =++为奇函数的充要条件是 ，为偶函数的充要条 件是 。

一般地，定义域关于原点对称的函数()f x 一定可以表示为一个奇函数()g x 与一个偶函数()h x 之和，则()g x = ；()h x = 。

应用：① 定义在(),-∞+∞上的任意函数都可以表示成一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 之和，如果()()()lg 101,,x f x x =+∈-∞+∞，那么（ ）A 、()()(),lg 10102x xg x x h x -==++；B 、()()()()11lg 101,lg 10122x x g x x h x x ⎡⎤⎡⎤=++=+-⎣⎦⎣⎦；C 、()()(),lg 10122xx x g x h x ==+-；D 、()()(),lg 10122xx x g x h x =-=+-；（全国高考）②已知()[]23,1,2f x ax bx a b x a a =+++∈-是偶函数，则a = ，b = 。

③若函数()()()sin f x x x θθ=+-为奇函数，求θ的值。

若为偶函数呢？ ④已知()532f x ax bx cx x =+++，且()23f -=，求()2f 的值。

（2）抽象函数的奇偶性例5、设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是（ ） (A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数(C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数（2006年辽宁高考）例6、已知函数()21y f x =+是定义在R 上的奇函数，函数()y g x =的图象与函数()y f x = 的图象关于直线y x =对称，则()()g x g x +-的值为（ ）A 、2B 、1C 、0D 、不能确定3、奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 例7、定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()1f x x =-。

①求()f x 的表达式；②解不等式()0f x >；③解不等式()12f x <； ④求()1f x -的表达式；⑤解不等式()10x f x ⋅-<。

注：特别地，当0x =时，()0f x =。

例8、已知()f x 是定义在[]6,6-上的奇函数，且在[]0,3上为一次函数，在[]3,6上为 二次函数，并且当[]3,6x ∈时，()()()53,62f x f f ≤==，求()f x 的解析式。

4、奇偶函数的性质（1）奇偶函数的和差积商的奇偶性例9、设()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''+>，且()30g -=，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A 、()()3,03,-+∞B 、()()3,00,3-C 、()(),33,-∞-+∞D 、()(),30,3-∞-（2）奇偶函数的复合函数的奇偶性例10、定义在()2,2-上的偶函数()f x 在[)0,2上为减函数，试解不等式()()1f m f m <-。

评注：若分类讨论去做，较繁！若用偶函数性质()()fx f x =，则立得21m m >>-，从而避开分类讨论。

5、关于奇偶函数的综合问题例11、已知()f x 在()1,1-上有定义，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足(),1,1x y ∈-有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，对数列11221,21n n nx x x x +==+。

①证明：()f x 在()1,1-上为奇函数； ②求()n f x 的表达式；③是否存在自然数m ，使得对于任意n N *∈，有()()()1211184n m f x f x f x -+++<成立？若存在，求出m 的最小值。

（2005年湖北省八校联考） 引申：你能求出通项n x 的表达式吗？6、奇偶函数对称性的推广①若函数()x f 满足()()x f x f =-（偶函数），则()x f 的图像关于直线0=x （y 轴）对称； 若函数()x f 满足()()x a f x a f +=-，则()x f 的图像关于直线a x =对称； 若函数()x f 满足()()x b f x a f +=-，则()x f 的图像关于直线2ba x +=对称。

②若函数()x f 满足()()0=+-x f x f （奇函数），则()x f 的图像关于原点()0,0对称； 若函数()x f 满足()()0=++-x a f x a f ，则()x f 的图像关于点()0,a 对称；若函数()x f 满足()()b x a f x a f 2=++-，则()x f 的图像关于点()b a ,对称；③若函数()x f 的图像有两条对称轴()b a b x a x ≠==,，则()x f 是周期函数，且b a T -=2是它的一个周期； 若函数()x f 的图像有两个对称中心()()()b a b a ≠0,,0,，则()x f 是周期函数，且b a T -=2是它的一个周期； 若函数()x f 的图像有一条对称轴a x =，一个对称中心()()b a b ≠0,，则()x f 是周期函数，且b a T -=4是它的一个周期；例12、例6、已知()x f 是定义在()+∞∞-,上的增函数，()()()x a f x f x g --= ①用函数单调性的定义证明函数()x g y =是()+∞∞-,上的增函数； ②当a=0时，试解不等式()021>+⎪⎭⎫⎝⎛g m g ； ③若a=2，（i ）请指出函数()x g y =图像的对称中心点的坐标（无须证明）；（ii ）试求满足()21g m g >⎪⎭⎫⎝⎛的m 的取值范围。

在高考复习中，要重视对概念、法则、性质、公式、公理、定理等基础知识的全面梳理与回顾，弄清各知识的内部结构和内在联系。

二、精选范例，通过引申、拓展、探究，提高复习的深广度 “问渠哪得清如许，为有源头活水来”。

纵观近三年的高考，数学试题越来越“朴素”，既没有艰深的知识，也没有冷僻的技巧，许多题目取材于课本，由若干基础知识经组合、加工、改造而成，因此，在高三复习时要排除各种复习资料的干扰，抓住主干知识强化复习，精选范例，通过引申、拓展、探究，做到解一题通一片，跳出题海，提高效率。

以下例题取材于人教社高中数学第一册（上）第三章《数列》。

1、探究逆命题我们知道，等差数列的前n 项和的公式有三种形式：()21n n a a n S +=()d n n na 211-+=＝Bn An +2。

引导学生逆向探究 探究1：若数列{}n a 的前n 项和=n S Bn An +2，问数列{}n a 是不是等差数列？ 分析：当2≥n 时，()B n A S S a n n n +-=-=-121，A a a n n 21=-+（常数）；又B A S a +==11，知A a a 212=-也适合。

故数列{}n a 是等差数列。

探究2：若数列{}n a 的前n 项和()21n n a a n S +=，问数列{}n a 是不是等差数列？ 分析1：由()()()2121111--+--+=-=n n n n n a a n a a n S S a 得 ()()01211=+----a a n a n n n ，因而()()023121=+-----a a n a n n n ，相减得0221=+---n n n a a a ，变形并递推，有12211a a a a a a n n n n -==-=---- （常数），故{}n a 是等差数列。

分析2：由()()01211=+----a a n a n n n 得()()()()11112a a n a a n n n --=---，变形并递推，有()1211112111--==---=---a a n a a n a a n n ，易知数列{}n a 是等差数列。

评注：探究2是1994年全国高考文科试题，有较强的抽象度，较难找到问题的突破口，与2005年江苏省高考题有异曲同工之妙。

2005年江苏省高考题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中A.B 为常数⑴求A 与B 的值；⑵证明：数列{}n a 为等差数列；⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立2、探寻最优解 P117例4：已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？ 教材突出基本量思想，采用第二个求和公式解答，复习时鼓励学生尝试一题多解。

方法1 设Bn An S n +=2，则⎩⎨⎧=+=+12202040031010100B A B A解得1,3==B A 。

评注：公式3比公式2简洁，因此运算也更简便。

受公式3启发，有 方法 2 令B An n S b n n +==，则数列{}n b 仍为等差数列，结合公差的两点式nm b b d nm --=，有101020101020--=--n b b b b n ，在这里，除n b 外，其余都是已知的，一步到位，直接得到了答案。