高三数学教师命题大赛试题21

2010届高三数学教师命题大赛试题（21）数学 （理科）2009．10本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第6页．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在小答题卡上．同时，用黑色钢笔将姓名、考号、座位号填写在模拟答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把模拟答题卡上对应题目的答案标号涂黑；最后，用2B 铅笔将模拟答题卡上的答案转涂到小答题卡上，不能答在试题卷上． 3．考试结束后，将模拟答题卡和小答题卡一并交回．一．选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1.若条件2:log 2p x <,条件1:0,4x q x -≤-则¬p 是¬q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2. =++-i i i 1)21)(1( （ ）A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +2 3．在各项都为正数的等比数列{}n a 中,首项是13a =,前三项和为21,则345a a a ++=( ) Ａ．33 Ｂ．72 Ｃ．84 Ｄ．189 4．已知函数()[)1lna ln xf x ,x+=+∞在上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10a e<<B ．0a e <≤C ．a e ≤D ．a e ≥5．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任班长，其中至少有1名女生当选的概率是( )A ．73 B ．74 C ．75 D ．76 6.设0x 是方程ln 4x x +=的解，则0x 属于区间 ( )A . （0，1）B . （1，2）C . （2，3）D .（3，4） 7.若7722107)1(x a x a x a a x ++++=- ，则2753126420)()(a a a a a a a a +++-+++=（ ）A.1B.0C.-1D.2 8．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③ 4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断是 （ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③第Ⅱ卷 (非选择题共110分)注意事项:第Ⅱ卷全部是非选择题，必须在答题卡非选择题答题区域内，用黑色钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否则答案无效．二．填空题：本大题共9个小题,分必做题和选做题，每小题5分，共30分． 必做题：考生必须作答第9至第13题．9．已知i ， j 为互相垂直的单位向量，a = i – 2j ， b = i + λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 ． 10．在直角坐标平面内，由直线1,0,0x x y ===和抛物线22y x =-+所围成的平面区域的面积是 .11．在如下程序框图中，输入0()f x cosx =，则输出的是__________12．F 1、F 2是椭圆19222=+y ax 的左、右两焦点，P 为椭圆的一个顶点，若△PF 1F 2是等边 三角形，则a 2=． 13.不等式：6|4-x ||2-x |22>+的解集为选做题：从第14、15两道题中选做一题，两题都答的只计算第一题的得分。

14．极坐标方程分别为θρθρsin cos 2==和的两个圆的圆心距为 .15．如图，AB 是半圆O 的直径，C 在半圆上，CD AB ⊥于D ，且DB AD 3=，设COD θ∠=，则2tan2θ＝ .三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．(本题满分12分)已知函数f (x ) = sin( x +6π) +sin (x -6π) + cos x + a 的最大值为1．(1) 求常数a 的值；(2) 求使f (x )≥0成立的x 的取值集合； (3) 若 x ∈[0，π]，求函数的值域．17. (本题满分12分)如图所示, 有两个独立的转盘()A 、()B .两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60︒、120︒、180︒.用这两个转盘进行玩游戏，规则是：依次随机转动两个转盘再随机停下（指针固定不会动,当指针恰好落在分界线时,则这次结果无效,重新开始），记转盘()A 指针对的数为x ，转盘()B 指针对的数为y .设y x +的值为ξ,每转动一次则得到奖励分ξ分. （Ⅰ）求x <2且y >1的概率；(Ⅱ) 某人玩12次，求他平均可以得到多少奖励分？AODC18．（本题满分14分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45． （Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ） 求二面角C BD A --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．19．（本题满分14分）已知数列}{n a 满足：,21,121==a a 且*2,0]1)1[(22])1(3[N n a a n n n n ∈=--+--++．（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；20．（本题满分14分）已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径为圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称. （1）求双曲线C 的方程；（2）若Q 是双曲线C 上的任一点，F 1、F 2为双曲线C 的左、右两个焦点，从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程.（3）设直线y=m x +1与双曲线C 的左支交于A 、B 两点，另一直线L 经过M （－2，0）及AB 的中点，求直线L 在y 轴上的截距b 的取值范围.21．（本题满分14分）ABD1A 1B 1C已知函数)0()(>+=t xtx x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64, 2[nn +内总存在1+m 个实数 m a a a ,,,21 ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．广东省2010高中青年教师命题大赛（21）数学 （理科）答案及评分标准一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题每小题5分(第12题前空2分，后空3分)，满分30分． 9．)21,2()2,(---∞ ； 10．53； 11． sinx ； 12．__12 ;13. {x|x<0或x>6}; 14. 25; 15.13.三、解答题16. （本小题满分12分）解：(1) f (x )=2sin( x +6π) + a ……3分由2+a =1得a = -1 ……4分(2)由f (x )≥0得sin( x +6π)≥21， ………5分则Z k k x k ∈+≤+≤+,265626πππππ………7分∴{x |2k π≤x ≤2k π+32π， k ∈Z} ……8分(3) x ∈[0，π]]67,6[6πππ∈+∴x ………9分 则－21≤sin( x +6π)≤1 ………11分故值域 y ∈[-2, 1] ……12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由几何概率模型可知：P （x =1）=61、P （x =2）=31、P （x =3）=21； P （y =1）=31、P （y =2）=21、P （y =3）=61…………………………………………….2分则P （x <2）= P （x =1）=61，P （y >1）= P （y =2）+ P （y =3）=21+61=32所以P （x <2且y >1）= P （x <2）⋅P （y >1）=91…………………………………….6分（Ⅱ）由条件可知ξ的取值为：2、3、4、5、6. 则ξ的分布列为：他平均一次得到的钱即为ξ的期望值：6251216361153613436731812=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 所以给他玩12次，平均可以得到5012=⋅ξE 分..……………………………………………………..12分 18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC —111C B A 的侧棱长为x ．取BC 中点E ，连AE ．ABC ∆ 是正三角形，AE BC ∴⊥．又底面ABC ⊥侧面11BB C C ，且交线为BC ．AE ∴⊥侧面11BB C C ．连ED ，则直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45ADE ∠=． ……………2分A BD1A 1B 1C EF G HI在AED Rt ∆中，tan 45AEED==，解得x = …………3分∴此正三棱柱的侧棱长为 ……………………4分注：也可用向量法求侧棱长．（Ⅱ）解法1：过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ，⊥AE 侧面,11C C BB ∴AF BD ⊥．AFE ∴∠为二面角C BD A --的平面角． ……………………………6分 在BEF Rt ∆中，sin EF BE EBF =∠，又1,sin CD BE EBF BD =∠===，∴EF =．又AE =∴在AEF Rt ∆中，tan 3AEAFE EF∠==． …………………………8分 故二面角C BD A --的大小为arctan 3． …………………………9分解法2：（向量法，见后）（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，⊥BD 平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面ABD ，且交线为AF ，∴过E 作EG AF ⊥于G ，则EG ⊥平面ABD ． …………10分在AEF Rt ∆中，AE EFEG AF⨯===． …………12分E 为BC 中点，∴点C 到平面ABD的距离为210EG =． …………14分 解法2：（思路）取AB 中点H ，连CH 和DH ，由,CA CB =D A D B =，易得平面ABD ⊥平面CHD ，且交线为DH ．过点C 作CI DH ⊥于I ，则CI 的长为点C 到平面ABD 的距离．解法3：（思路）等体积变换:由C ABD A BCD V V --=可求． 解法4：（向量法，见后） 题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系o -则(0,1,0),(0,1,0),(,0)A B C D -设1(,,)n x y z =为平面ABD 的法向量．1由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,021AD n n得0y y ⎧=⎪-+=．取1(6,).n =- …………6分 又平面BCD 的一个法向量2(0,0,1).n = …………7分∴10101)3()6(1)1,0,0()1,3,6(,cos 222212121=+-+-⨯⋅--=⋅>=<n n n n n n ． …………8分 结合图形可知，二面角C BD A--的大小为arccos10． …………9分 （Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，1(6,),n =-(0,1CA =-…………10分∴点C到平面ABD 的距离d =2221)3()6()1,3,6()3,1,0(+-+---⋅-=＝10302．14分19.（本小题满分14分） .解：（Ⅰ）经计算33=a ，414=a ，55=a ，816=a ． …………………………3分 当n 为奇数时，22+=+n n a a ，即数列}{n a 的奇数项成等差数列，122)1(112-=⋅-+=∴-n n a a n ； …………………………5分当n 为偶数，n n a a 212=+，即数列}{n a 的偶数项成等比数列， n n n a a )21()21(122=⋅=∴-． …………………………7分 因此，数列}{n a 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧=)()21()( 2为偶数为奇数n n na n n ． …………………8分（Ⅱ） nn n b )21()12(⋅-=， ………………………9分n n n n n S )21()12()21()32()21(5)21(3211132⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=∴- （1） 1432)21()12()21()32()21(5)21(3)21(121+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S （2）10分 （1）、（2）两式相减，得132)21()12(])21()21()21[(2211 21+⋅--++++⋅=n n n n S 11)21()12(211])21(1[2121+-⋅----⋅+=n n n 1)21()32(23+⋅+-=n n ．……………12分nn n S )21()32(3⋅+-=∴． ………………………………14分20．（本小题满分14分） 解：（1）设双曲线C 的渐近线方程为y=k x ，即k x －y=0∵该直线与圆 1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为x y ±= ……………………………………………2分故设双曲线C 的方程为12222=-ay a x ，又∵双曲线C 的一个焦点为)0,2(∴1,2222==a a ，∴双曲线C 的方程为122=-y x ……………………………4分 （2）若Q 在双曲线的右支上，则延长QF 2到T ，使|QT|=|OF 1|若Q 在双曲线的左支上，则在QF 2上取一点T ，使|QT|=|QF 1|根据双曲线的定义|TF 2|=2，所以点T 在以F 2)0,2(为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程是)0(4)2(22≠=+-x y x ① ………………………………………6分 由于点N 是线段F 1T 的中点，设N （x ，y ），T （T T y x ,）则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=yy x x y y x x T T T T 222,222即 代入①并整理得点N 的轨迹方程为 )22(122≠=+x y x …………………8分 （3）由022)1(112222=---⎩⎨⎧=-+=mx x m y x mx y 得令22)1()(22---=mx x m x f直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 )0,(0)(-∞=在x f 上有两个不等实根.因此21012012022<<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--<->∆m m m m解得 ……………………………………………10分又AB 中点为)11,1(22mm m -- ∴直线L 的方程为)2(2212+++-=x m m y ……………………………………12分 令x =0，得817)41(2222222+--=++-=m m m b ∵)2,1(∈m ∴)1,22(817)41(22+-∈+--m∴故b 的取值范围是),2()22,(+∞⋃---∞ …………………………………………14分 21. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，21)(x t x f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x tx t x y --=+-， 又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x tx t x --=+-， 即02121=-+t tx x ， ………………………………………………（1） …… 2分 同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ．…………（2） 由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，⎩⎨⎧-=⋅-=+∴. ,22121t x x t x x ………………（ * ） ……………………… 4分 22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x t x x -+-= ])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=， 把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………5分（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴01111--+x x t x ＝01222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，21x x ≠ ，1212)(x x x x t =+∴． ………………（3） …………… 7分把（*）式代入（3），解得21=t ． ∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ． ……………………9分 （Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64,2[nn +上为增函数， ∴)64()()2(nn g a g g i +≤≤)1,,2,1(+=m i ， 则)64()()()()2(21nn g m a g a g a g g m m +⋅≤+++≤⋅ ． 依题意，不等式)64()2(nn g g m +<⋅对一切的正整数n 恒成立， …………11分 )64(20)n 6420(n 22022022nn m +++<⋅+⋅， 即)]64()n 64[(n 612nn m +++<对一切的正整数n 恒成立，． 1664≥+n n ， 3136]1616[61)]64()n 64[(n 6122=+≥+++∴n n ， 3136<∴m ． 由于m 为正整数，6≤∴m ． ……………………………13分 又当6=m 时，存在221====m a a a ，161=+m a ，对所有的n 满足条件． 因此，m 的最大值为6． ……………………………14分 解法2：依题意，当区间]64,2[nn +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值． 1664≥+nn ，∴长度最小的区间为]16,2[， …………………11分 当]16,2[∈i a )1,,2,1(+=m i 时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m <⋅，解得3136m ． ……………………………13分 后面解题步骤与解法1相同（略）．。