09第三章第1讲 函数与图像
函数及其图象PPT课件
s
s
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t
t
O
O
A
B
O
t
C
t
O D
3、（09湖州市）如图，一只蚂蚁从 O 点出发，沿着扇形 OAB 的边缘匀速
爬行一周，设蚂蚁的运动时间为 t ，蚂蚁到 O 点的距离为 S ，则 S 关于 t 的函数图象大致为（ C ）
A
S
S
S
S
O
O
tO
tO
tO
t
第（3）题
B
A.
B.
C.
D.
4、(09内江市)打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机 经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗
（2）（09大连）函数y x 2 中，自变量x的取值范围是 ( D )
A．x < 2 B．x ≤2 C．x > 2 D．x≥2
x x 2
（3）（09哈尔滨）函数y＝
的自变量 的取值范围是_____________．
x2
x （4）（09齐齐哈尔）函数 y x 的自变量 的取值范围是_x_≥_0_且__x_≠1 ___． x 1
5000
4000 3000 2000
乙
甲
A
1000
O
5
10 15
20 x(分)
(3)解: x 15 时，甲的路程是: 25015 5000 1250 米，
乙的路程是2000米， 两人相距：2000 — 1250 = 750米
在15＜x＜20的时段内， 乙速：2000÷（20 — 15）= 400 米/分 两人速度之差： 400 — 250 = 150米/分
热身练习：
函数与图像的基本概念与性质
函数与图像的基本概念与性质一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。
2.函数的性质：（1）一一对应：对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。
（2）自变量与因变量：在函数f中，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。
对于定义域中的任意一个元素x，在值域中都有唯一的元素y与之对应，称为函数值。
（3）函数的单调性：若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f在定义域上为增函数；若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f在定义域上为减函数。
3.函数的分类：（1）线性函数：形如f(x)=ax+b（a、b为常数，a≠0）的函数。
（2）二次函数：形如f(x)=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。
（3）分段函数：形如f(x)={g1(x), x∈D1}{g2(x), x∈D2}的函数，其中D1、D2为定义域的子集，且D1∩D2=∅。
二、图像的概念与性质1.函数图像的定义：函数图像是指在平面直角坐标系中，根据函数的定义，将函数的定义域内的每一个点（x, f(x)）连接起来形成的图形。
2.函数图像的性质：（1）单调性：增函数的图像呈上升趋势，减函数的图像呈下降趋势。
（2）奇偶性：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；若函数f(-x)=f(x)，则称函数f为偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）周期性：若函数f(x+T)=f(x)，则称函数f为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像具有周期性。
（4）拐点：函数图像在拐点处，曲线的斜率发生改变。
三、函数与图像的关系1.函数与图像的相互转化：通过函数的解析式，可以在平面直角坐标系中绘制出函数的图像；同时，根据函数图像的形状，可以反推出函数的解析式。
函数的图象课件
通过对称性，我们可以快速判断出函数在不同自变量取值下的函数值变化情况，从而更好地掌握函数的性质和变化规律。
总结词：函数图象的周期性是指函数图像按照一定的规律重复出现。详细描述：函数图象的周期性是函数的另一个重要特性，它反映了函数值在自变量按一定周期取值时保持不变的规律。例如，正弦函数的图像是按照一定的周期重复出现的。总结词：理解函数图象的周期性有助于我们更好地理解函数的性质和变化规律。详细描述：通过对周期性的理解，我们可以掌握函数在不同自变量取值下的变化规律，从而更好地掌握函数的性质和变化规律。同时，周期性也是解决一些实际问题的重要工具，例如在物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
渐近线、极限状态
总结词
当x趋于无穷大或无穷小时，对数函数趋近于一条水平渐近线。对于底数大于1的对数函数，渐近线为y轴；对于底数在0到1之间的对数函数，渐近线为x轴。
详细描述
总结词
参数变化、图象平移
详细描述
对数函数的图象可以通过参数的变化进行左右平移。当底数大于1时，向右平移表示增加参数；当底数在0到1之间时，向左平移表示增加参数。
总结词
详细描述
总结词
复合函数、图象变换
要点一
要点二
详细描述
通过将指数函数与其他基本初等函数进行复合运算，可以得到更复杂的函数图象。例如，指数函数与三角函数的复合可以得到正切、余切等函数的图象。
总结词
增长趋势、对数增长
详细描述
对数函数图象具有对数增长的趋势，当底数大于1时，图像呈现上升趋势；当底数在0到1之间时，图像呈现下降趋势。
函图象的特性
总结词
详细描述
总结词
详细描述
函数的图像与性质课件
函数的图像与性质课件函数是数学中一个非常重要且广泛应用的概念。
它将输入值映射到输出值，可以用图像来直观地表示函数的性质。
本课件将介绍函数的图像与性质，帮助读者更好地理解和应用函数。
一、函数的定义与图像表示函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
数学上常用的表示函数的方式有函数符号法、图像法和映射关系法。
其中，图像法是最直观且常用的一种方式。
图像法通过将函数的输入值和输出值表示在坐标系中，从而形成一个函数的图像。
在直角坐标系中，横轴表示输入值，纵轴表示输出值，将函数的所有点连接起来，就得到了函数的图像。
函数图像可以帮助我们观察函数的性质，如增减性、奇偶性等。
二、常见函数的图像与性质1. 线性函数线性函数是函数中最简单且最重要的一类函数。
它的图像呈现为一条直线，表达式为y=ax+b，其中a和b是常数。
线性函数的特点是斜率恒定，图像可以通过斜率和截距来确定。
2. 幂函数幂函数是一类以自变量为底数的函数，常见的有平方函数、立方函数等。
幂函数的图像呈现为一条曲线，其形状受幂指数的正负和大小的影响。
根据幂指数的奇偶性，可以确定幂函数的对称性。
3. 指数函数指数函数是以指数为变量的函数，常见的有以e为底的自然指数函数。
指数函数的特点是增长速度快，图像在原点处必过(0,1)，具有递增性质。
4. 对数函数对数函数是指以某个正常数为底数的函数，常见的有自然对数函数。
对数函数的图像在正半轴递增，并且在(1,0)处必过，具有递增性质。
5. 三角函数三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，常见的有正弦函数、余弦函数等。
三角函数的图像周期性重复出现，并且具有交替性。
三、函数图像的应用函数图像不仅能够直观地展示函数的性质，还有很多实际应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学中的运动轨迹函数图像可以用于描述物体在不同时间的位置变化情况，常见的有抛物线轨迹、圆周运动等。
2. 经济学中的供需关系函数图像可以用于表示市场的供给和需求关系，帮助分析市场的平衡点和价格变化。
函数概念与图像ppt课件
y
3
2
1
-2 -1
o1
2x
-1
-2
y 3
2
1 -л -л/2
o л/2 л x -1
-2
跳转
前屏
继续
34
单调区间的判断
例2.写出函数的单调增区间及单调减区间
(1)y=x+1
(2)y= -x2+2x
(3)y=
增区间 减区间
(-,+) 无
(-,1] [1,+)
练习：写出下列函数的单调增区间及单调减区间 增区间
9
判断两函数是否为同一函数只要判断它们的定义域和对应关系是否相同 即可.
练习3 判断下列各组函数是否同一函数？
(1)f(x)1,与 g(x)x0 (2)f(x)x1,与 g(x)x21
x (3 )f(x ) x 1 ,与 g (x ) |x 1 |
答案：
（1）定义域相同且对应关系相同，是同一函数
所以，f(x)= 在（01x，）上是减函数 例：证明f（x）=x³在（-∞，+∞）上是增函数
且 (1)设数 (2)作差 (3)因式分解 (4)判断符号 (5)对比定义 (6)得出结论
38
单调性的证明
思考：怎样证明函数的增减性？ 练习
1 判断函数f(x)= - x2+1在（0，）是增函数还是减 函数，并证明你的结论
15
函数图象的变换 小结（平移变换）： 1. 将函数y=f(x)的图象向左（或向右）平移|k|个单位（k>0时向左，
k<0向右）得y=f(x+k)的图象。
2. 将函数y=f(x)的图象向下（或向上）平移|k|个单位（k>0时向下， k<0向上）得y +k =f(x) 的图象。
中考第三章函数及其图像第四节反比例函数
反比例函数
8
第四节
第三章 函数及其图像
反比例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数
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第四节
第三章 函数及其图像
反比例函数
（2,2）
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第三章 函数及其图像
反比例函数
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第三章 函数及其图像
反比例函数
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第三章 函数及其图像
反比例函数
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第三章 函数及其图像
反比例函数
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第四节
第三章 函数及其图像
反比例函数
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第四节
第三章 函数及其图像
北师大版高中数学必修 -函数的图像 PPT优质教学ppt1
CHAPTER 02
常见函数的图像
一次函数的图像
一次函数
y=kx+b，当k>0时，函数图像为上 升直线；当k<0时，函数图像为下降 直线。
斜率
截距
b决定了函数图像与y轴的交点，当 b>0时，交点在y轴的正半轴；当b<0 时，交点在y轴的负半轴。
计算机构图法
利用计算机软件（如 GeoGebra、Desmos等 ）输入函数解析式，自动 生成函数的图像。
函数图像的基本特征
连续性
函数图像是连续的曲线，没有 间断。
单调性
函数在其定义域内可能存在单 调增或单调减的情况。
奇偶性
根据函数是否满足奇偶性，函 数的图像可能关于原点对称或 关于y轴对称。
周期性
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
验证模型
通过函数图像验证数学模型的正确性和有效性。
应用模型
将数学模型应用于实际问题，解决实际问题。
CHAPTER 04
函数图像的变换
平移变换
平移变换
函数图像在平面坐标系中沿x轴或y轴方向进行等距离移动。
水平平移
函数图像沿x轴方向移动，左加右减。
垂直平移
函数图像沿y轴方向移动，上加下减。
伸缩变换
不等式的性质
通过观察函数图像与不等式解集的关系，可以进一步了解不等式的性质，如对 称性、传递性等。
函数图像与方程的关系
方程的根
通过观察函数图像与x轴的交点，可以确定方程的根。如果函数图像与x轴交于一 点，则该点为方程的一个根；如果交于两点，则这两个点分别为方程的两个根。
函数的奇偶性
函数的图像及解析式
正比例函数
01
图像
正比例函数图像是一条过原点的 直线。
02
03
解析式
性质
$y = kx$，其中$k$是常数且$k neq 0$。
当$k > 0$时，图像位于第一、 三象限；当$k < 0$时，图像位 于第二、四象限。
一次函数
图像
一次函数图像是一条直线。
解析式
$y = ax +
分式
通过分式表示函数关系，如y=1/x。
对数式
通过对数运算表示函数关系，如y=log_a x。
函数解析式的应用示例
线性函数
y=kx+b，用于描述匀速直线运动、 弹簧的伸长量等。
幂函数
y=x^n，用于描述物体随时间加速 或减速运动。
三角函数
y=sin x、y=cos x，用于描述简谐振 动、交流电等周期性现象。
函数的图像及解析式
contents
目录
• 函数图像的绘制 • 函数的解析式 • 函数的性质与图像关系 • 常见函数的图像与解析式 • 函数图像与解析式的应用
01 函数图像的绘制
函数图像的基本概念
01
02
03
函数图像
表示函数中自变量与因变 量之间关系的曲线或曲面。
坐标系
确定函数图像在平面或空 间中的位置和方向。
解析式
以10为底的对数函数为$y = log_{10} x$，以自 然数e为底的对数函数为$y = ln x$。
3
性质
定义域为$(0, +infty)$，值域为$(-infty, +infty)$。
05 函数图像与解析式的应用
解决实际问题
预测模型
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A. 1
B. 1.5
C. 2
D. 3
3．（2014•汕尾）汽车以60千米/时的速度
课 前 小 练
在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，
继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车
行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）
的函数关系的大致图象是（
）
A.
B.
C.
D.
课 前 小 练
4.(2014•山西)我们学习了一次函数、二次 函数和反比例函数，回顾学习过程，都是按 照列表、描点、连线得到函数的图象，然后 根据函数的图象研究函数的性质，这种研究 方法主要体现的数学思想是( ) A.演绎 B.数形结合 C.抽象 D.公理化 5.(2014•丽水)写出图象经过点（﹣1，1） y=－ x 的一个函数的解析式是_____________ ．
课 堂 精 讲
解：(1)由图可知，A比B后出发1小时；B 的速度：60÷3=20（km/h）； (2)由图可知点D(1,0),C(3,60),E(3,90) 设OC的解析式为y=kx，则3k=60， 解得k=20，所以，y=20x，设DE的解析式为 m 45 mn 0 y=mx+n，则 ，解得 n 45
课 堂 精 讲
【变式】 2. （2014•龙东）如图，在平面直角坐标
系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的 中点处有一动点P，动点P沿 P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵 坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系 用图象表示大致是（ ）
A
B
D
C
考点3：利用函数的图象解决实际问题
课 堂 精 讲
【例3】(2014•衡阳)小明从家出发，外出散 步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继 续散步了一段时间，然后回家，如图描述了 小明在散步过程汇总离家的距离s(米)与散 步所用时间t(分)之间的函数关系，根据图 象，下列信息错误的是( ) A.小明看报用时8分钟 B.公共阅报栏距小明家200米 C.小明离家最远的距离为400米 D.小明从出发到回家共用时 16分钟
课 堂 精 讲
【名师点拨】利用函数的图象解决实际问 题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意 义，理解问题的过程，就能够通过图象得 到函数问题的相应解决． 解：A.从4分钟到8分钟时间增加而离家的 距离没变，所以这段时间在看报； B.4分钟时散步到了报栏，据此知公共阅 报栏距小明家200米； C.据图形知，12分钟时离家最远，小明离 家最远的距离为400米； D.据图知小明从出发到回家共用时16分钟. 故选：A．
3m n 90
所以，y=45x﹣45，由题意得
9 y 20 x x ，解得 5 y 45 x 45 y 36
所以，B出发 小时后两人相遇．
9 5
二、广东省省卷近五年中考统计
备 考 指 南
考试 内容
2010
2011 第7题 4分
2012
2013
2014
题型
第10题 填空、 3分 选择
函数 与图 象
第17题 第23题 第13题 第21 7分分 9分
解答
课 前 小 练
1.(2014•娄底)函数 y x 2自变量x的取 值范围为（ ） A. x≥0 B. x ≥﹣2 C. x≥2 D. x≤﹣2 2.(2014•金华)如图，点A（t，3）在第一 3 象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tan 2 则t的值是（ ）
课 堂 精 讲
【名师点拨】根据点P的位置，分①点P在 OA上时，四边形OMPN为正方形；②点P在 反比例函数图象AB段时，根据反比例函数 系数的几何意义，四边形OMPN的面积不变； ③点P在BC段，设点P运动到点C的总路程为 a，然后表示出四边形OMPN的面积，最后 判断出函数图象即可得解.故选B.
考点2：动点问题的函数图象
课 堂 精 讲
【例2】（2014•岳阳）如图，已知点A是直线y=x与 反比例函数 y k （k＞0，x＞0）的交点，B是 y k
x x
图象上的另一点，BC∥x轴，交y轴于点C．动点P 从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→” 所示路线）匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴， PN⊥y轴，垂足分别为M，N． 设四边形OMPN的面积为S， P点运动时间为t，则S关于t的 函数图象大致为（ ） A. B. C. D.
(答案不唯一)
考点1：点的坐标、找规律
课 堂 精 讲
【例1】(2014•绥化)如图，在平面直角坐 标系中，已知点A(1，1)，B(﹣1，1)， C(﹣1，﹣2)，D(1，﹣2)，把一根长为 2014个单位长度且没有弹性的细线（线的 粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按 A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形 ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的 点的坐标是__________． 【名师点拨】根据点的坐标求出 四边形ABCD的周长，然后求出另 一端是绕第几圈后的第几个单位 长度，从而确定答案.
课 堂 精 讲
解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1， ﹣2），D（1，﹣2）， ∴AB=_2，BC=_3，CD=_2，DA=_3， ∴绕四边形ABCD一周的细线长度为_10， ∴细线另一端在绕四边形第504_圈的第2__ 个单位长度的位置，故答案为:(-1，1)．
【变式】 1.(2014•长沙)如图，在平 面直角坐标系中，已知点 A(2，3)，点B(﹣2，1)， 在x轴上存在点P到A，B两 点的距离之和最小，则P点 的坐标是_________ (－1,0) ．
课 堂 精 讲
【变式】 3.(2014•绍兴)已知甲、乙两地相距90km，A，
B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑 摩托车，B骑电动车，图中DE，OC分别表 示A，B离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的
函数关系的图象，根据图象解答下列问 题． (1)A比B后出发几个小时？ B的速度是多少? (2)在B出发后几小时， 两人相遇？
第三章 函数
第1讲 函数与图象
备 考 指 南
一、考试要求 1．通过简单实例，了解常量、变量的意义. 2．能结合实例，了解函数的概念和三种表 示方法，能举出函数的实例． 3．能结合图象对简单实际问题中的函数关 系进行分析． 4．能确定简单的整式、分式和简单实际问 题中的函数自变量取值范围，并会求出函 数值． 5．能用适当的函数表示法刻画某些实际问 题中变量之间的关系． 6．结合对函数关系的分析，尝试对变量的 变化规律进行初步预测．