考研数学一概率论知识点概要

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祝大家学有所得。

第一章随机事件概率随机试验：满足以下三个条件的试验：（1）可重复；（2）知道所有可能；（3）结果不可预知。

样本点：每一个可能的结果叫做一个样本点。

样本空间：全体样本点的集合，记为Ω。

随机事件：随机试验中每一个可能出现的结果，叫做随机事件。

基本事件：试验中不可再分的事件。

不可能事件：不可能发生的事件。

必然事件：必定要发生的事件。

复合事件：由两个或两个以上的事件构成的事件。

事件的关系与运算：事件的关系定义文氏图A B⊂：包含关系：事件B发生必然导致事件A发生，则称事件A包含事件B。

事件相等：A=B 事件A,B 相互包含，就称事件A,B相等。

互斥事件：AB=∅不可能同时发生的事件对立事件：若AB=∅且=0A B，称事件A,B对立事件。

两者之一必然发生，但又不可能同时发生的事件。

事件的并：A B事件A,B中至少有一个发生，称事件A B发生。

事件的差：A-B 事件A发生且B不发生，事件的交：A B AB=事件A,B同时发生，称事件AB发生。

概率：事件发生可能性大小的描述。

条件概率：设A,B 是两个基本事件，且P(A)>0，则：()()()P AB P B A P A =称为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。

事件的独立性：如果两事件A,B 满足：()()()P AB P A P B =,则称A 与B 独立。

A,B 独立 ⇔ ()()P A B P A =⇔()()P B A P B A =独立和互斥的关系：()0,()0P A P B >>时，独立一定不互斥，互斥一定不独立。

对于三个以上的事件：相互独立 ⇒ 两两独立， 两两独立退不出相互独立。

取反运算不改变事件的独立性：,A B 相互独立⇔,A B 相互独立⇔,A B 相互独立。

概率的基本性质： 非零性：0()1P A ≤≤ 归一性：()1iP A =∑：()1()1()P A B P A B P AB =-=-古典概率满足： （1），试验的样本空间的元素只有有限个； （2），每个样本点出现的可能性相等： 古典概型事件A 的计算公式：()k P A n=n---样本点数，k---事件A 包含的样本点数。

几何概率：随机试验E 的样本空间为一个欧氏空间的一个区域，且每个样本点出现的可能性相同。

计算公式：()A P A Ω=的测度 的测度加法公式（加奇减偶公式）：对于任意事件A,B,C 有：()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()()()()()()P A B P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+减法公式：()()()()()()()P AB P A B P A AB P A P AB P A B P B =-=-=-=-乘法公式：对事件A,B,且P （A ）>0，P(B)>0,有：()()()()()()P AB P AB P A P B A P A P A == ()()()()()()P AB P AB P B P A B P B P B ==完备组（分割，划分）：如果事件组i B 满足 （1），iB =Ω∑（2），i j B B =∅， ,1,2,...,i ji j n ≠= 这样的事件组成为一个完备组。

全概率公式：设12,,...,n B B B 为一个完备组，则对于事件A 发生的概率为：1()()()ni i i P A P A B P B ==∑贝叶斯公式：设12,,...,n B B B 为一个完备组，()0i P B >，()0P A >,则有：1()()()()()j j i njji P A B P B P B A P A B P B ==⋅∑ , j=1,2,…,n 。

事件的运算规则： 交换律： 结合律： 分配率： 德-摩根率： AB A B = , A B A B =除独立性外，无法从概率关系推出事件关系。

排列组合知识：排列：从n 个不同的元素中m 个按特定顺序排成一列，称为从n 个元素中取m 个元素的一个排列。

[]!(1)(2)(1)()!m n n A n n n n m n m =--⋅⋅⋅--=-全排列：将n 个不同元素全部取出的排列。

(1)(2)1!nn A n n n n =--⋅⋅⋅=规定0!1=。

组合：从n 个不同元素中取m 个元素，排成无序的一组，称为从n 个元素中取m 个元素的一个组合，记为：[](1)(2)(1)!!!()!!mmn nn n n n m A n C m m n m m --⋅⋅⋅--===- 组合的性质：m n mn nC C -=第2章 一维随机变量随机变量：定义在样本空间Ω上的样本点e 的实值函数()X X e =,随机变量一般用大写字母X 表示，其取值用小写字母x , y , z 来表示。

离散型随机变量的分类：离散型随机变量：X 的取值为有限个或无限可列多个。

用分布列来表示。

连续型随机变量：X 的取值为某区间上的所有值。

用分布函数来表示。

非离散也非连续：连续型随机变量的概率分布：一维随机变量X 的分布几何表示X 是一个随机变量，对于任意实数x ，称函数：()()F x P X x =≤，x -∞<<+∞， 为X 的分布函数。

（完整的F(x)表达式必须从-∞写到+∞）随机变量 X 的分布函数，是满足下列条件的函数：()=()F x P X x ≤ ，x -∞<<+∞（完整的F(x)表达式自变量必须从-∞写到+∞） 1,0()1F x ≤≤2，()lim ()0x F F x →-∞-∞==，()lim ()0x F F x →+∞+∞==3，F(x)是不减函数，4，F(x)右续函，对于任意点0x ，有：00()lim ()x x F x F x +→=X 为离散型 X 为连续型概率分布：{}k P x k p ==，1,2,...k =分布率： X P性质：1， 非负，归一，写离散型随机变量的概率分布，先确定X 的所有取值，在确定X 取特定值时的概率。

如非负函数满足： ()()xF x f t dt -∞=⎰（x -∞<<+∞）则称f (x) 为X 的概率密度函数，简称密度函数：1，非负：()0f x ≥ 归一：()1f t dt +∞-∞=⎰归一：()1f t dt +∞-∞=⎰2，()()F x f x '=，x 为f (x)的连续点。

3，F (x) 是连续函数。

4，对任意点x, 都有 P(X=x) = 0 。

5，对于任意a >b 有：()()()()()()()ba P a Xb P a X b P a X b P a X b f x dx F b F a <≤=≤≤=≤<=<<==-⎰ 可见，对连续型随机变量，个别点（甚至有限个点）的存在与否，不影响区间上的概率值。

重要离散分布：1, 0-1分布：设事件发生的概率为p 。

X 01k p1-pp2，二项分布：伯努利概型（考研中能建模的唯一概率模型）：试验E 只有两个结果A 和A 的概型。

n 重伯努利概型：将伯努利概型独立重复n 次，则称为n 重伯努利概型。

若P(A)= p, 则n 次试验中事件A 发生k 次的概率为：()(1)kn k n k P k C p p -=- ， 1,2,k n =⋅⋅⋅称X 服从参数为 ,n p 的二项分布，记为：(,)XB n p 。

3，泊松分布：定义：对于常数0λ>，如果随机变量X 的分布律为：!kk P e k λλ-=，0,1,2,...k =则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为：()XP λ。

泊松定理：4，几何分布：（试验第一次成功发生在第k 次的概率）：1(1)k k P p p -=-，1,2,...k = 此时称X 服从几何分布。

5，超几何分布：产品检测，放回抽取和不放回抽取。

重要连续分布：1，均匀分布：X ~ U ( a , b)如果随机变量X 密度函数为：1,()0,a x b f x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它，则称X 服从[ a , b ]上的均匀分布。

记作：X ~ U ( a , b)。

2，指数分布：X ~ E (λ ) 寿命问题如果随机变量X 密度函数为：,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布。

记作：X ~ E (λ) 。

3，正态分布：如果随机变量X 密度函数为： 22()21()2x f x e μσπσ--=，x -∞≤≤+∞ ， 0σ>称X 服正态分布。

记作：X ~ N (2,μσ) 。

特别的，如果密度函数满足：221()2x x e ϕπ-= ，则称X 服从标准正态分布，记为：N~(0,1) 若X ~ N (2,μσ) ，令X X μσ*-=，则(0,1)X N *，这就是正态分布的标准化。

性质：1，()()1x x Φ+Φ-=； 2，()()2()1x x x Φ-Φ-=Φ-；3，若X ~ N (2,μσ) ，则：{}()()b b P a x b μμσσ--≤≤=Φ-Φ ， ()()b P X a μσ-≤=Φ随机变量函数的分布：两个随机变量 X,Y ,Y= g(X) 是X 的函数，已知X ，求 Y 的分布。

第3章 二维随机变量随机试验E 的样本空间为 ={}e Ω, (),()X e Y e 是定义在Ω的两个随机变量，则随机变量（ X, Y ），叫做二维随机变量。

二维随机变量 几何意义 性质：,1，非负、归一：0(,)1F x y ≤≤ ，(,)1F +∞+∞= 对于任意的x , y ，有：(,)(,)(,)0F x F y F -∞=-∞=-∞-∞= 2，F(x ,y ) 对于任意的x , y 都是右连续的，对于任意点0x ，有：00()lim ()x x F x F x +→= 3，F(x) 对x , y 分别是不减函数，且有：22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥（X,Y ）为离散型 （X,Y ）为连续型 （X,Y ）的联合分布率：{},i j ij P X x Y y p ===， ,1,2,...i j =表格形式：概率密度f (x,y) ：定义：(,)(,)xyF x y f u v dvdu -∞-∞=⎰⎰则称其位（X,Y ）的联合密度函数。

性质：1， 在（x,y ）的连续点处2(,)(,)F x y f x y x y∂=∂∂，2，{}(,)DPx D f x y dxdy ∈=⎰⎰（哪儿求概率，哪儿求积分）边缘分布：二维随机变量的边缘分布：边缘分布函数： 定义：关于X, 有：(){}{,}X F x P X x P X x Y =≤=≤≤+∞ 关于Y ，有：(){}{,}Y F x P Y x P X Y y =≤=≤-∞≤（X,Y ）为离散型 （X,Y ）为连续型边缘分布率：设（X,Y ）的联合分布率为：{},i j ij P X x Y y p ===对于X,有：{}{},i i j ij i jjP X x P X x Y y p p ⋅======∑∑关于Y , 有 ：{}{},i i j ij jiiP Y y P X x Y y p p ⋅======∑∑ 此时：()i X i x xF x p ⋅≤=∑ ，()j Y jy yF y p⋅≤=∑二维随机变量的边缘分布： 边缘密度函数： 关于X, 有：()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰关于Y ，有：()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰()()(,)xxX X F x f x dy f x y dxdy +∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰(y)()(,)yyY Y F f x dx f x y dxdy +∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰条件分布：二维随机变量（X,Y ）在Y=y 条件下：X,Y 为离散型 （X,Y ）为连续型（X,Y ）在条件i Yy =下的X 的条件分布律：{,}{}{}i i i i i P X x Y y P X x Y y P Y x ====== ,（X,Y ）在条件Y y =下的X 的条件分布率：(,)()()X Y Y f x y f x y f y =（X,Y ）在条件i Yy =下的X 的条件分布率：{,}{}{}i i i i i P X x Y y P Y y X x P X x ======（X,Y ）在条件X x =下的X 的条件分布率： (,)()()Y X X f x y f y x f x =设随机变量(X,Y)的联合分布函数，边缘分布函数分别为(,)F x y , ()Y F x , ()X F y ,若对于任一x,y,均有：(,)()()Y X F x y F x F y =⋅则称随机变量X,Y 是相互独立的。