[K12学习]2019年高考数学一轮复习 专题探究课2 三角函数与解三角形中的高考热点问题 理 北师

二 三角函数与解三角形中的高考热点问题
(对应学生用书第67页)
[命题解读] 从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T 17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图像与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．
要进行五点法作图、图像变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解．
(2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2
x －cos 2
x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝
⎛⎭
⎪⎫2π3的值；
(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． [解] (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－1
2，
得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，
所以f ⎝
⎛⎭
⎪⎫2π3＝2.
(2)由cos 2x ＝cos 2
x －sin 2
x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π
2＋2k π，k ∈Z ，
解得π6＋k π≤x ≤2π
3
＋k π，k ∈Z ，
所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．
A
ω的单调性找到“ωx ＋
[跟踪训练] (2018·北京海淀区期末练习)已知函数f (x )＝sin 2x cos 5－cos 2x sin 5
.
(1)求函数f (x )的最小正周期和对称轴方程； (2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2上的最大值.
【导学号：79140141】
[解] (1)f (x )＝sin 2x cos π5－cos 2x sin π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5，
所以f (x )的最小正周期T ＝
2π
2
＝π， 因为y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝k π＋π
2，k ∈Z ，
令2x －π5＝π
2＋k π，k ∈Z ，
得x ＝7π20＋1
2
k π，k ∈Z ，
f (x )的对称轴方程为x ＝
7π20＋1
2
k π，k ∈Z . (2)因为x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ∈[0，π]，
所以2x －π5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π5
，4π5，
所以当2x －π5＝π2，即x ＝7π20时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为1.
从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是边角互化，结合三角恒等变换进行化简与求值．
(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 2
3sin A
.
(1)求sin B sin C ；
(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．
[规范解答] (1)由题设得12ac sin B ＝a 2
3sin A ，即12c sin B ＝a
3sin A
.
2分
由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A
3sin A .
故sin B sin C ＝2
3
.
5分
(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－1
2，
即cos(B ＋C )＝－1
2.
所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π
3.
7分
由题设得12bc sin A ＝a
2
3sin A ，a ＝3，
所以bc ＝8.9
分
由余弦定理得b 2
＋c 2
－bc ＝9， 即(b ＋c )2
－3bc ＝9.由bc ＝8， 得b ＋c ＝33.
11分 故△ABC 的周长为3＋33. 12分
[阅卷者说]
C ＝3(a cos B ＋b cos A )．
(1)求角C ；
(2)若c ＝23，求△ABC 面积的最大值.
【导学号：79140142】
[解] (1)∵c tan C ＝3(a cos B ＋b cos A )， ∴sin C tan C ＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )，
∴sin C tan C ＝3sin(A ＋B )＝3sin C ， ∵0＜C ＜π，∴sin C ≠0， ∴tan C ＝3，∴C ＝60°. (2)∵c ＝23，C ＝60°， 由余弦定理c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ， 得12＝a 2
＋b 2－ab ≥2ab －ab ，
∴ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝23时，等号成立． ∴S △ABC ＝1
2ab sin C ≤3 3.
∴△ABC 面积的最大值为3 3.
以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．
(2018·石家庄一模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且
sin C
sin A －sin B ＝
a ＋b
a －c
. (1)求角B 的大小；
(2)点D 满足BD →＝2BC →
，且线段AD ＝3，求2a ＋c 的最大值． [解] (1)∵sin C sin A －sin B ＝a ＋b
a －c
，
由正弦定理可得
c
a －
b ＝
a ＋b
a －c
，
∴c (a －c )＝(a －b )(a ＋b )， 即a 2
＋c 2
－b 2
＝ac .
又∵a 2＋c 2－b 2
＝2ac cos B ，∴cos B ＝12.
∵B ∈(0，π)，∴B ＝π
3
.
(2)法一：在△ABD 中，由余弦定理知，
c 2＋(2a )2－2·2a ·c ·cos π3
＝32，
∴(2a ＋c )2
－9＝3·2a ·c .
∵2a ·c ≤⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2a ＋c 22
，
∴(2a ＋c )2－9≤34(2a ＋c )2
，
(2a ＋c )2
≤36，
即当且仅当2a ＝c 时，等号成立，即a ＝3
2，c ＝3时，2a ＋c 的最大值为6.
法二：由正弦定理知
2a sin∠BAD ＝c
sin∠ADB
＝
3sin
π3
＝23，
∴2a ＝23sin∠BAD ，c ＝23sin∠ADB ， ∴2a ＋c ＝23sin∠BAD ＋23sin∠ADB ＝23(sin∠BAD ＋sin∠ADB )
＝23⎣⎢⎡⎦
⎥⎤sin∠BAD ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－∠BAD ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin∠BAD ＋32cos∠BAD
＝6⎝
⎛⎭
⎪⎫
32sin∠BAD ＋12cos∠BAD
＝6sin ⎝
⎛⎭⎪⎫∠BAD ＋π6. ∵∠BAD ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴∠BAD ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6， 即当且仅当∠BAD ＋π6＝π2，即∠BAD ＝π
3
时，2a ＋c 的最大值为6.
以解三角形的某一结论作为条件，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化. 已知函数cos(π＋(1)求f (x )的单调增区间；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，c ＝3，a ＋b ＝23，求△ABC 的面积．
[解] (1)f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
解得－π3＋k π≤x ≤π
6
＋k π，k ∈Z ，
∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )．
(2)∵f (C )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，
∴2C ＋π6＝π6＋2k π，k ∈Z 或2C ＋π6＝5π
6＋2k π，k ∈Z .
∵C ∈(0，π)，∴C ＝π
3
.
∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2
－ab ＝3，
又a ＋b ＝23，解得ab ＝3， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝33
4.。