2016届高三文科数学总复习课件：热点专题突破系列(六)概率与统计的综合问题
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2016年高考总复习数学(文科)配通课件：专题5 概率与统计
解：(1)从 5 名学生中任取2 名学生的所有情况为：
(A4，A5)，(A4，A1)，(A4 ，A2)，(A4，A3)，(A5，A1)，(A5，
A2)，(A5，A3)，(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共 10 种情况．
其中至少有1 人物理成绩高于90 分的情况有：(A4，A5)，(A4，
3 1 概率 P(A)＝ ＝ . 6 2
【规律方法】(1)本题共有 3 个小题，前两小题考查统计知 识，第 3 小题考查古典概型，这种考查方式是近六年的传统， 应特别关注． (2)对于古典概型，是高考中的常考知识点，难度不高，复 习的时候我们只需稍加留意，掌握方法就可以轻易拿下．解决 古典概型的一种有效的方法是列举法，而利用列举法解题要做 到不重不漏．
同学有 AB，AC，AD，AX，AY，BC，BD，BX，BY，CD，CX，
CY，DX，DY，XY，共 15 种情况．
设“随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组”为 事件 E， 有 AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY,共 9 种情况． 9 3 所以 P(E)＝ ＝ . 15 5 ⅱ)设“随机抽取的 2 名同学来自同一组”为事件 F， 有 AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY，共 7 种情况． 7 所以 P(F)＝15.
【互动探究】 2．(2011 年广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打 篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月 1ห้องสมุดไป่ตู้号到 5 号每天打 篮球时间 x(单位：时)与当天投篮命中率 y 之间的关系： 时间 x/时 命中率 y 1 0.4 2 3 4 0.6 5 0.4
图 5-1
组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
北师大版高三数学一轮复习课件：专题探究课六 高考中概率与统计问题的热点题型
解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错， 3 2 1 3 2 1 3 2 1 11 故 P(ξ＝2)＝ × ×1－ ＋ ×1－ × ＋1－ × × ＝ ； 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24
统计与统计案例
(2)设甲队和乙队得分之和为 4 为事件 A，甲队比乙队得分高为事件 B.设乙队得 2 分为 η， 则 η～B3， . 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1 1 P (ξ＝1)＝ ×1－3×1－2＋1－4× ×1－2＋1－4×1－3× ＝ ， 4 3 2 4 3 2 1 1 P(ξ＝3)＝ × × ＝ ， 4 3 2 4 2 1 2 1 4 2 2 3 8 3 2 2 1 2 P(η＝3)＝C33 ＝ ， P(η＝1)＝C3· · ＝ ， P ( η ＝ 2) ＝ C · · ＝ ， 3 27 3 3 9 3 3 9
离散型随机变量的分布列、均值与方差(规范
[例 2] (满分 12 分)甲乙两人进行围棋比赛， 约定先连胜两局者直接赢得比赛， 若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概 2 1 率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立. 3 3 (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率； (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求 X 的分布列和均值(数学期望).
∴P(A)＝P(ξ＝1)P(η＝3)＋P(ξ＝2)P(η＝2)＋P(ξ＝3)· P(η＝1) 1 2 1 1 8 11 4 1 2 1 P(η＝1)＝ × ＝ ， ＝ × ＋ × ＋ × ＝ ，P(AB)＝P(ξ＝3)· 4 9 18 4 27 24 9 4 9 3 1
P（AB） 18 1 ∴所求概率为 P(B|A)＝ ＝ ＝. P（A） 1 6 3
山东省2016年高考数学(理)二轮专题复习课件：专题六 概率与统计 第1讲
真题感悟· 考点整合 热点聚焦· 题型突破 归纳总结· 思维升华
)
解析
^＝0.76，∴a ^＝ 回归直线一定过样本点中心(10，8)，∵b
0.4，由^ y＝0.76x＋0.4 得当 x＝15 万元时，^ y＝11.8 万元.故选 B.
答案 B
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解析
B.13.59%
C.27.18%
D.31.74%
由题意，
P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3） 知 P(3＜ξ＜6)＝ 2 95.44%－68.26% ＝ ＝13.59%. 2
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考点整合
1.计数原理 (1)排列与组合： Am n ＝n(n－1)(n－2)„(n－m＋1)＝ n！ ， （n－m）！ n！ . m！（n－m）！
1 s ＝n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋„＋(xn－ x )2]，
2
2 1 2 2 ( x x ) ( x x ) ( x x ) 2 n s＝ n 1 .
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^x＋a ^经过样本点的中心点( x ，y )， (4)回归直线^ y＝b 若 x 取某一个 ^x＋a ^中，可求出 y 的估计值. 值代入回归直线方程^ y＝b
关 系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入 x(万元) 支出 y(万元) 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8
^x＋a ^， ^＝0.76， ^＝ y －b ^x. 根据上表可得回归直线方程^ y＝b 其中b a 据此估计，该社区一户年收入为 15 万元家庭的年支出为( A.11.4 万元 C.12.0 万元 B.11.8 万元 D.12.2 万元
)
解析
^＝0.76，∴a ^＝ 回归直线一定过样本点中心(10，8)，∵b
0.4，由^ y＝0.76x＋0.4 得当 x＝15 万元时，^ y＝11.8 万元.故选 B.
答案 B
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解析
B.13.59%
C.27.18%
D.31.74%
由题意，
P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3） 知 P(3＜ξ＜6)＝ 2 95.44%－68.26% ＝ ＝13.59%. 2
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考点整合
1.计数原理 (1)排列与组合： Am n ＝n(n－1)(n－2)„(n－m＋1)＝ n！ ， （n－m）！ n！ . m！（n－m）！
1 s ＝n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋„＋(xn－ x )2]，
2
2 1 2 2 ( x x ) ( x x ) ( x x ) 2 n s＝ n 1 .
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^x＋a ^经过样本点的中心点( x ，y )， (4)回归直线^ y＝b 若 x 取某一个 ^x＋a ^中，可求出 y 的估计值. 值代入回归直线方程^ y＝b
关 系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入 x(万元) 支出 y(万元) 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8
^x＋a ^， ^＝0.76， ^＝ y －b ^x. 根据上表可得回归直线方程^ y＝b 其中b a 据此估计，该社区一户年收入为 15 万元家庭的年支出为( A.11.4 万元 C.12.0 万元 B.11.8 万元 D.12.2 万元
2016届高三文科数学总复习课件：热点专题突破系列(六)概率与统计综合问题
所以不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论.
答案:1.78 不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别
的结论
考点二 统计与概率综合 【考情分析】以现实生活为背景,利用频率估计概率,常与抽样方法、 茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查,考查学生分析问题、 解决问题的能力.
36 4
所以女性应该抽取12× 1 =3(人).
4
(2)因为K2的观测值k= 602418=61102＞27.879,所以可以在犯
30303624
错误的概率不超过0.005的前提下认为是否患三高疾病与性别有关.
【规律方法】利用独立性检验思想解决问题的步骤 (1)依题意写出列联表. (2)依据列联表用公式计算K2的观测值k的值. (3)依据k的值以及临界值表确定问题的结果.
【典例2】(2015·泰州模拟)某中学共有1000名学生参加了该地区高 三第一次质量检测的数学考试,数学成绩如表所示:
数学 成绩 [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150] 分组Βιβλιοθήκη 人数 6090300
x
160
(1)为了了解同学们前段复习的得失,以便制定下阶段的复习计划,学 校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查,甲同学在本次 测试中数学成绩为95分,求他被抽中的概率. (2)已知本次数学成绩的优秀线为110分,试根据所提供数据估计该中 学达到优秀线的人数. (3)作出频率分布直方图,并估计该学校本次考 试的数学平均分.(同一组中的数据用该组区间 的中点值作代表)
故估计该中学达到优秀线的人数m=160+3901 2×0 1 10 =290.
120 90
(3)频率分布直方图如图所示.
答案:1.78 不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别
的结论
考点二 统计与概率综合 【考情分析】以现实生活为背景,利用频率估计概率,常与抽样方法、 茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查,考查学生分析问题、 解决问题的能力.
36 4
所以女性应该抽取12× 1 =3(人).
4
(2)因为K2的观测值k= 602418=61102＞27.879,所以可以在犯
30303624
错误的概率不超过0.005的前提下认为是否患三高疾病与性别有关.
【规律方法】利用独立性检验思想解决问题的步骤 (1)依题意写出列联表. (2)依据列联表用公式计算K2的观测值k的值. (3)依据k的值以及临界值表确定问题的结果.
【典例2】(2015·泰州模拟)某中学共有1000名学生参加了该地区高 三第一次质量检测的数学考试,数学成绩如表所示:
数学 成绩 [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150] 分组Βιβλιοθήκη 人数 6090300
x
160
(1)为了了解同学们前段复习的得失,以便制定下阶段的复习计划,学 校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查,甲同学在本次 测试中数学成绩为95分,求他被抽中的概率. (2)已知本次数学成绩的优秀线为110分,试根据所提供数据估计该中 学达到优秀线的人数. (3)作出频率分布直方图,并估计该学校本次考 试的数学平均分.(同一组中的数据用该组区间 的中点值作代表)
故估计该中学达到优秀线的人数m=160+3901 2×0 1 10 =290.
120 90
(3)频率分布直方图如图所示.
高考数学复习核心素养提升系列六数列高考中档大题的规范问题文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课
设事件 M 为“这 2 人《数学分析》成绩等级均为 E”，则事件 M 包含的情况有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共 3 种，则 P(M)＝17.
23/34
热点 3 概率与函数的综合问题 [典例 3] (导学号 14576947)(2016·高考全国Ⅰ卷)某公司计划购 买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在 购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器 使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购买机 器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在 三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
18/34
[答题启示] 利用列举法求解基本事件数最容易出的错误是 “重”和“漏”，要避免此类错误，首先，要正确理解题意，明确一 些常见的关键词，如“至多”“至少”“只有”等，其次，要熟练使 用常用的列举法．只有有规律地列出基本事件，才能避免“重”和 “漏”．
19/34
[跟踪训练] 2．(导学号 14576946)某大学数学专业的大一学生在期末考试中 都必须考《数学分析》和《高等代数》两个科目，最终考试成绩分为 A，B，C，D，E 五个等级．其中一个班级的两个科目考试成绩数据 统计如图所示，且该班级中《数学分析》成绩等级为 B 的有 10 人．
P(K2≥k0) 0.050 0.025 0.010 0.001
k0
3.841 5.024 6.635 10.828
12/34
解：(1)依题意，2×2 的列联表如下：
喜欢运动 不喜欢运动 总计
男
10
6
16
女
6
8
14
总计
16
14
30
23/34
热点 3 概率与函数的综合问题 [典例 3] (导学号 14576947)(2016·高考全国Ⅰ卷)某公司计划购 买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在 购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器 使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购买机 器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在 三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
18/34
[答题启示] 利用列举法求解基本事件数最容易出的错误是 “重”和“漏”，要避免此类错误，首先，要正确理解题意，明确一 些常见的关键词，如“至多”“至少”“只有”等，其次，要熟练使 用常用的列举法．只有有规律地列出基本事件，才能避免“重”和 “漏”．
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[跟踪训练] 2．(导学号 14576946)某大学数学专业的大一学生在期末考试中 都必须考《数学分析》和《高等代数》两个科目，最终考试成绩分为 A，B，C，D，E 五个等级．其中一个班级的两个科目考试成绩数据 统计如图所示，且该班级中《数学分析》成绩等级为 B 的有 10 人．
P(K2≥k0) 0.050 0.025 0.010 0.001
k0
3.841 5.024 6.635 10.828
12/34
解：(1)依题意，2×2 的列联表如下：
喜欢运动 不喜欢运动 总计
男
10
6
16
女
6
8
14
总计
16
14
30
2016届高考数学二轮复习 专题整合突破课件：1-6-4高考中的概率与统计(解答题型)
8
主干知识整合
热点探究悟道
建模规范答题
适考素能特训
第八页，编辑于星期五：二十点 四十三分。
大二轮 ·数学 ·理
[重要性质] 均值与方差的性质 1．E(ax＋b)＝ aE(x)＋b ； 2．D(ax＋b)＝ a2D(x)．
[易错提醒] 1．分布列中随机变量所有取值对应的概率之和为 1.
－ 2．对于“至多，至少”类型事件的概率，常忘记用 P(A)＝1－P( A )去求．
(2)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取 3 个城市组织专家进行调研，记选
到空气质量“轻度污染”的城市个数为 ξ，求 ξ 的分布列和数学期望．
解 (1)x＝82，D 东部<D 西部．
(2)“优”类城市有 2 个，“轻度污染”类城市有 4 个．
根据题意 ξ 的所有可能取值为：1,2,3. ∵P(ξ＝1)＝CC41C36 22＝15，P(ξ＝2)＝CC24C36 12＝53，P(ξ＝3)＝CC43C36 02＝15. ∴ξ 的分布列为：
一个新球”就是事件 A0B＋A1B＋A2B.而事件 A0B、A1B、A2B 互斥，所以，P(A0B＋A1B＋A2B)＝P(A0B) ＋P(A1B)＋P(A2B)．由条件概率公式得：
P(A0B)＝P(A0)P(B|A0)＝15×CC31C26 13＝51×53＝235.
12
主干知识整合
热点探究悟道
建模规范答题
18
主干知识整合
热点探究悟道
建模规范答题
适考素能特训
第十八页，编辑于星期五：二十点 四十三分。
大二轮 ·数学 ·理
已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过 5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且 在陶然亭站出站的乘客中随机选出 120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．
高考文科数学复习概率与统计中的热点问题课件
统计与统计案例
以统计图表或文字叙述的实际问题为载体，通过对相关数据的 分析、抽象概括，作出估计、判断. 常与抽样方法、茎叶图、频率分 布直方图、概率等知识交汇考查，考查学生的数据处理能力与运算 能力及应用意识．
【例 1】 已知某班 n 名同学的数学测试成绩(单位：分，满分 100 分)的频率分布直方图如图所示，其中 a，b，c 成等差数列，且 成绩在[90,100]内的有 6 人．
第10章 概 率
高考大题增分课 （六） 概率与统计中的高考热点问题
[命题解读] 1. 统计与概率是高考中相对独立的一块内容，处理 问题的方式、方法体现了较高的思维含量，该类问题以应用题为载 体，注重考查学生的数学建模及阅读理解能力、分类讨论与化归转 化能力．
2．概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立是概率 计算的核心. 统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是 频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，统计与概率内容相互 渗透，背景新颖．
－x
1
＝
1 50
(0.05×1
＋
0.15×3
＋
0.25×2
＋
0.35×4
＋
0.45×9
＋
0.55×26＋0.65×5)＝0.48.
9分
该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为
－x
2
＝
1 50
(0.05×1
＋
0.15×5
＋
0.25×13
＋
0.35×10
＋
0.45×16
＋
0.55×5)＝0.35.
常见概率模型的概率
概率应用题侧重于古典概型，主要考查随机事件、等可能事件、 互斥事件、对立事件的概率. 解决简单的古典概型试题可用直接法 (定义法)，对于较为复杂的事件的概率，可以利用所求事件的性质将 其转化为互斥事件或对立事件的概率求解．
2016年高考数学总复习课件：专题六 概率与统计
解：(1)由题设知，y1和y2的分布列分别为：
y1
5
10
P
0.8
0.2
y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
第二十页，编辑于星期五：二十三点 二十七分。
E(y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6， D(y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4， E(y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8， D(y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)f(x)＝D10x0y1＋D10100－0 xy2 ＝10x02D(y1)＋10100－0 x2D(y2)
的几组对照数据.
x y
3 456 2.5 3 4 4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线
性回归方程^y ＝b^ x＋a^ ；
第二十七页，编辑于星期五：二十三点 二十七 分。
(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准 煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的
(3)离散型随机变量分布列的性质p1＋p2＋…＋pn＝1，这条
性质是我们检验分布列是否正确最有效的工具，希望同学们在
求分布列时尽量将每个变量的概率求出，而不要偷懒(如 1－ 0.04－0.42＝0.54)，否则将失去自我检查的机会．
第十八页，编辑于星期五：二十三点 二十七分。
【互动探究】
2．(2014 年广东珠海二模)A，B 两个投资项目的利润率分 别为随机变量x1和x2.根据市场分析，x1和x2的分布列分别为：
品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：
y1
5
10
P
0.8
0.2
y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
第二十页，编辑于星期五：二十三点 二十七分。
E(y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6， D(y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4， E(y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8， D(y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)f(x)＝D10x0y1＋D10100－0 xy2 ＝10x02D(y1)＋10100－0 x2D(y2)
的几组对照数据.
x y
3 456 2.5 3 4 4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线
性回归方程^y ＝b^ x＋a^ ；
第二十七页，编辑于星期五：二十三点 二十七 分。
(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准 煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的
(3)离散型随机变量分布列的性质p1＋p2＋…＋pn＝1，这条
性质是我们检验分布列是否正确最有效的工具，希望同学们在
求分布列时尽量将每个变量的概率求出，而不要偷懒(如 1－ 0.04－0.42＝0.54)，否则将失去自我检查的机会．
第十八页，编辑于星期五：二十三点 二十七分。
【互动探究】
2．(2014 年广东珠海二模)A，B 两个投资项目的利润率分 别为随机变量x1和x2.根据市场分析，x1和x2的分布列分别为：
品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：
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该学校本次考试的数学平均分
x＝ 60 15 90 45 300 75 390 105 160 135 ＝90. 1 000
估计该学校本次考试的数学平均分为90分.
【规律方法】解决统计与概率问题的几点注意
(1)注意用样本频率可以估计整体的概率.
(2)注意用样本频率分布直方图的面积来估计频率.
钟)作为样本分成5组,如表所示: 组别 候车时间(分钟) 人数
一
二 三
[0,5)
[5,10) [10,15)
2
6 4
四
五
[15,20)
[20,25]
2
1
(1)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数.
(2)若从表中第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步问卷调查,求抽
到的两人恰好来自不同组的概率.
2
=10＞7.879,所以可以在犯
错误的概率不超过0.005的前提下认为是否患三高疾病与性别有关.
【规律方法】利用独立性检验思想解决问题的步骤
(1)依题意写出列联表.
(2)依据列联表用公式计算K2的观测值k的值.
(3)依据k的值以及临界值表确定问题的结果.
【变式训练】(2015·济宁模拟)某企业为了更好地了解设备改造前后 与生产合格品的关系,随机抽取了180件产品进行分析,其中设备改造 前生产的合格品有36件,不合格品有49件,设备改造后生产的合格品有 65件,不合格品有30件.根据所给数据: (1)写出2×2列联表. (2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为产品是否合格与设 备改造有关.
测试中数学成绩为95分,求他被抽中的概率.
(2)已知本次数学成绩的优秀线为110分,试根据所提供数据估计该中
学达到优秀线的人数.
(3)作出频率分布直方图,并估计该学校本次考
试的数学平均分.(同一组中的数据用该组区间
的中点值作代表)
【解题提示】(1)利用分层抽样的定义及各层抽样比相等即可解决问 题.(2)可由样本值来估计达到优秀线的人数.(3)各层的均值与其频率 乘积的和就是本次考试的数学平均分.
【解析】(1)由已知数据得列联表如下:
合格品 设备改造后 设备改造前 总计 65 36 101 不合格品 30 49 79 总计 95 85 180
(2)根据列联表中数据，K2的观测值为 k＝
180 65 49 36 30 101 79 85 95
2
≈12.38，
答案:1.78 不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别
的结论
考点二
统计与概率综合
【考情分析】以现实生活为背景,利用频率估计概率,常与抽样方法、 茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查 ,考查学生分析问题、 解决问题的能力.
【典例2】(2015·泰州模拟)某中学共有1000名学生参加了该地区高
总计
68
324
392
试根据上述数据计算K2的观测值k=
,比较这两种手术对
病人又发作心脏病的影响有没有差别.
【解析】根据列联表中的数据可以求得
392 (39 167 29 157) 2 k＝ 1.78 2.706. 68 324 196 196
.
所以不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论 .
个,其中质量在[80,85)的有几个? (3)在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求质量在[80,85)和[95,100) 中各有1个的概率.
【解析】(1)由题意知苹果的样本总数n=50,在[90,95)的频数是20,
所以苹果的质量在[90,95)的频率是 20 =0.4.
50
(2)设从质量在[80,85)的苹果中抽取x个,则从质量在[95,100)的苹 果中抽取(4-x)个. 因为表格中[80,85),[95,100)的频数分别是5,15, 所以5∶15=x∶(4-x),解得x=1. 即质量在[80,85)的有1个.
则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数有 13个: (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4) ,(5,1),(5,3),(5,5),
13 12 所以甲胜的概率P(B)= 13 ， 从而乙胜的概率P(C)= 1－ ＝ . 25 25 25
三第一次质量检测的数学考试,数学成绩如表所示:
数学 成绩 分组
[0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150]
人数
60
90
300
x
160
(1)为了了解同学们前段复习的得失,以便制定下阶段的复习计划,学
校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查,甲同学在本次
【规范解答】(1)分层抽样中,每个个体被抽到的概率均为
样本容量 ， 总体中个体总数
故甲同学被抽到的概率P= 1 .
10
(2)由题意得x=1000-(60+90+300+160)=390. 故估计该中学达到优秀线的人数m=160+390× 120 110
120 90
Hale Waihona Puke =290.(3)频率分布直方图如图所示.
热点专题突破系列(六) 概率与统计的综合问题
考点一
统计与统计案例
【考情分析】以实际生活中的事例为背景,通过对相关数据的统计分 析、抽象概括,作出估计、判断.常与抽样方法、茎叶图、频率分布直 方图、概率等知识交汇考查,考查学生数据处理能力.
【典例1】(2015·太原模拟)近几年出现各种食品问题,食品添加剂会 引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病.为了解三高疾病是否与 性别有关,医院随机对入院的60人进行了问卷调查,得到了如下的列联 表: (1)请将如图的列联表补充完整;若用分层抽样的方法在患三高疾病的
人群中抽9人,其中女性抽多少人?
(2)为了研究三高疾病是否与性别有关,请计算出统计量K2的观测值k,
并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为三高疾病
与性别有关.
患三高疾病 不患三高疾病 总计 男 女 总计 36 6 30
下面的临界值表供参考: P(K2≥k0) 0.15 k0 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
6 2
考点三
古典概型的综合应用
【考情分析】以现实生活为背景,求某些事件发生的概率,常与抽样方
法、茎叶图等统计知识交汇考查,考查学生分析问题、解决问题的能 力.
【典例3】(2015·琼海模拟)口袋中有质地、大小完全相同的5个球, 编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记 下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算 甲赢,否则算乙赢. (1)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率. (2)这种游戏规则公平吗?试说明理由. 【解题提示】(1)依题意,本题符合古典概型的条件,可利用古典概型 公式解决.(2)可依据两者的概率是否相等来判断游戏是否公平 .
【解析】(1)由题表可知:这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8, 所以,这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约为60× (2)设第三组的乘客为a,b,c,d,第四组的乘客为1,2. “抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A, 所得基本事件共有15种,即: ab,ac,ad,a1,a2,bc,bd,b1,b2,cd,c1,c2,d1,d2,12.
【规范解答】(1)设“甲胜且两数字之和为6”为事件A,事件A包含的 基本事件为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1), 共5个. 又甲、乙二人取出的数字共有5×5=25(个)等可能的结果,所以 P(A)= 5 ＝ 1 .
25 5
(2)这种游戏规则不公平.
设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C,
【加固训练】从一批苹果中,随机抽取50个,其质量(单位:克)的频数
分布表如下:
分组(质量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 频数(个) 5 10 20 15
(1)根据频数分布表计算苹果的质量在[90,95)的频率.
(2)用分层抽样的方法从质量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4
由于12.38＞10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下可 认为产品是否合格与设备改造有关．
【加固训练】(2015·潍坊模拟)对196个接受心脏搭桥手术的病人和 196个接受血管清障手术的病人进行了三年的跟踪研究,调查他们是否 又发作过心脏病,调查结果如表所示: 又发作过心脏病 心脏搭桥手术 血管清障手术 39 29 未发作心脏病 157 167 总计 196 196
成绩/分
人数
[90,100]
[80,89] [70,79] [60,69] [50,59]
43
182 260 90 62
[0,49]
8
【解析】根据表格可计算出李老师的高等数学课的学生考试成绩在各 个分数段上的频率依次为(总人数为43+182+260+90+62+8=645):
43 182 260 90 62 8 0.067， 0.282， 0.403， 0.140， 0.096， 0.012. 645 645 645 645 645 645
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(参考公式K2=
a b c d a c b d
n ad bc
2
, 其中n=a+b+c+d)
【解题提示】(1)由问卷调查的情况,可补充完表格. (2)可利用随机变量K2确定,因此首先计算K2的观测值k.