19.2.3一次函数与一元一次不等式
19.2.3 一次函数与方程、不等式课件 数学人教版八年级下册
一次
函数,于
是也对应一条直线,直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程
的 解 .
②解二元一次方程组,从“数”的角度看,相当于求自变量为何值时相
应的两个函数值 相等 ,以及这个函数值是多少;从“形”的角度看,
相当于确定两条相应直线
交点 的坐标.
2.一次函数与不等式
任 何 一 个 以 x 为 未 知 数 的 一 元 一 次 不 等 式 都 可 以 变 形 为 ax+b>0 或
19.2.3
一次函数与方程、不等式
1.一次函数与方程(组)
(1)任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)
的形式,所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的
函数值为0 时,求 自变量x 的值;
(2)一次函数与二元一次方程(组)
①每个含有未知数x和y的二元一次方程,都对应一个
A.x>-1
B.x>-2
C.x<-2
D.x<-1
2.如图所示,已知一次函数y=kx+b的图象与x轴,y轴分别交于点(2,0),
点(0,3).有下列结论:①图象经过点(1,-3);②关于x的方程kx+b=0的解
为x=2;③关于x的方程kx+b=3的解为x=0.其中正确的是( C )
A.①②③
B.①③
新知应用
1.一元一次方程 ax-b=0 的解为 x=5,则函数 y=ax-b 的图象与 x 轴的交点
坐标为( A )
A.(5,0)
B.(-5,0)
C.(a,0)
D.(-b,0)
2.如图所示,直线 y=2x 与 y=kx+b 相交于点 P(m,2),则关于 x 的方程
一次函数与一元一次方程、不等式
19.2.3 一次函数与方程、不等式第1课时一次函数与一元一次方程、不等式基础题知识点1 一次函数与一元一次方程1．(1)一元一次方程－2x＋4＝0的解是；(2)函数y＝－2x＋4，当x＝时，函数值y＝0；(3)直线y＝－2x＋4与x轴的交点坐标是；(4)由上述问题可知，一元一次方程ax＋b＝0的解就是一次函数y＝ax＋b当y＝0时所对应的的值；从图象上看，就是一次函数y＝ax＋b的图象与轴交点的．2．已知关于x的方程mx＋n＝0的解为x＝－3，则直线y＝mx＋n与x轴的交点坐标是．3．如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与x轴相交于点(2，0)，与y轴相交于点(0，4)，结合图象可知，关于x的方程ax＋b＝0的解是．4．如图所示，已知直线y＝ax－b，则关于x的方程ax－b＝1的解是．5．若一次函数y＝ax＋b(a，b为常数且a≠0)中x 与y的部分对应值如下表，则方程ax＋b＝0的解是( )x －2 －1 0 1 2 3y 6 4 2 0 －2 －4C．x＝2 D．x＝36．已知方程kx＋b＝0的解是x＝3，则函数y＝kx ＋b的图象可能是( )A B C D7．已知关于x的方程kx＋b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx＋b的图象一定过点( )A．(3，0) B．(7，0)C．(3，7) D．(7，3)知识点2 一次函数与一元一次不等式(组)8．如图，直线y＝kx＋3经过点(2，0)，(0，3)，则关于x的不等式kx＋3>0的解集是( ) A．x>2B．x<2C．x≥2D．x≤29．(2019·遵义)如图所示，直线l1：y＝32x＋6与直线l2：y＝－52x－2交于点P(－2，3)，则不等式32x＋6＞－52x－2的解集是( )A．x＞－2B．x≥－2C．x＜－2D．x≤－210．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象分别与x 轴、y轴交于点(2，0)、点(0，3)．有下列结论：①关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2；②当x＞2时，y＜0；③当x＜0时，y＜3.其中正确的是( )A．①②B．①③C．②③D．①②③11．(2020·遵义)如图，直线y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)与直线y＝2交于点A(4，2)，则关于x的不等式kx＋b＜2的解集为．12．已知函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，利用函数图象回答：(1)当x 取何值时，kx ＋b ＝0? (2)当x 取何值时，kx ＋b ＝1.5? (3)当x 取何值时，kx ＋b ＜0? (4)当x 取何值时，0.5＜kx ＋b ＜2.5?中档题13．如图是直线y ＝x －5的图象，点P(2，m)在该直线的下方，则m 的取值范围是( )A ．m ＞－3B ．m ＞－1C ．m ＞0D ．m ＜－314．(2020·湘潭)如图，直线y ＝kx ＋b(k ＜0)经过点P(1，1)，当kx ＋b ≥x 时，则x 的取值范围为( )A ．x ≤1B ．x ≥1C ．x ＜1D ．x ＞115．(2019·娄底)如图，直线y ＝x ＋b 和y ＝kx ＋2与x 轴分别交于点A(－2，0)、点B(3，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ＞0，kx ＋2＞0的解集为( )A ．x ＜－2B ．x ＞3C ．x ＜－2或x ＞3D ．－2＜x ＜316．已知一次函数y ＝－2x ＋4，完成下列问题： (1)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象． (2)根据函数图象回答：①方程－2x ＋4＝0的解是 ．②当x 时，y ＞2.③当－4≤y ≤0时，相应x 的取值范围是 ．17．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y ＝k 1x ＋b 1和y ＝kx ＋b 的图象，分别与x 轴交于点A ，B ，两直线交于点C.已知点A(－1，0)，B(2，0)，观察图象并回答下列问题：(1)关于x 的方程k 1x ＋b 1＝0的解是 ，关于x 的不等式kx ＋b ＜0的解集是 ．(2)直接写出关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋b ＞0，k 1x ＋b 1＞0的解集．(3)若点C(1，3)，求关于x 的不等式k 1x ＋b 1＞kx ＋b 的解集和△ABC 的面积．答案1．(1)x＝2；(2)2；(3)(2，0)；(4)x；x 横坐标．2．(－3，0)．3．x＝2．4．x＝4．5．A6．C7．D8．B9．A10．A11．x＜4．12．解：(1)x＝－0.5.(2)x＝1.(3)x＜－0.5.(4)0＜x＜2. 13．D14．A15．D16．(1)(2)①x＝2．②x＜1.③2≤x≤4．17．解：(1)x＝－1，x＞2．(2)－1＜x＜2.(3)∵点C(1，3)，∴由图象可知，不等式k1x＋b1＞kx＋b的解集是x ＞1.∵AB＝3，∴S△ABC＝12AB·y C＝12×3×3＝92.。
人教版八年级数学下册课件：19.2一次函数--2.3 一次函数与方程、不等式(1)一次方程、不等式
知识点一：一次函数与一元一次方程
学以致用
3.一次函数y=mx+n的图象如图所示， 则方程mx+n=0的解为( C ) A.x=2 B.y=2 C.x=-3 D.y=-3 4.已知方程kx+b=0的解是x=3，则函 数y=kx+b的图象可能是( C )
11
知识点二：一次函数与一元一次不等式
新知探究
4
知识点一：一次函数与一元一次方程
新知归纳
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都 可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解 一元一 次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为 0时，求自变量x的值.
5
知识点一：一次函数与一元一次方程
新知归纳 一次函数与一元一次方程的联系：
任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变 形为ax＋b＝0(a≠0，a，b为常数)的形式，所以解一 元一次方程可以转化为：求一次函数y＝ax＋b(a≠0， a，b为常数)的函数值为0时，自变量x的取值；反映在 图象上，就是直线y＝ax＋b与x轴的交点的横坐标．
下面3个不等式有什么共同点和 不同点？你能从函数的角度对解这3个不等 式进行解释吗？ (1)3x+2＞2; (2) 3x+2＜0；(3) 3x＋2＜-1.
12
知识点二：一次函数与一元一次不等式
新知探究
可以看出，这3个不等式的不等号左 边都是3x＋2,而不等号及不等号右边却有 不同.从函数的角度看，解这3个不等式相 当于在一次函数y＝3x＋2的函数值分别大 于2、小于0、小于－1时，求自变量x的取 值范围.或者说，在直线y＝3x＋2上取纵坐 标分别满足大于2、小于0、小于－1的点， 看它们的横坐标分别满足什么条件(如图).
一次函数与一元一次方程,不等式
19.2.3 一次函数与方程、不等式龙湖中学郭燕一、教学目标1.知识与技能：①使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程，一元一次不等式的相互联系。
②是学生能初步运用函数的图像来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并通过函数图像来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集。
2.过程与方法：通过对一次函数与一元一次方程，一元一次不等式关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系，发展学生的辩证思维能力。
3.情感态度与价值观：探究活动中，让学生体会数学知识的融会贯通，发现数学的美，以激发学生学习数学的兴趣和克服困难的信心。
二．教学重难点：1.重点：①理解一次方程，一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系。
②掌握用图像求解方程不等式的方法。
2.难点：根据一次函数的图像求解方程和不等式三．教学过程：1.探究一次函数与方程的关系问题1（1）解方程2x-4=0（2）当自变量x取何值时，函数y=2x-4的值为0?（3）画出函数y=2x-4的图像，并确定它与x轴的交点坐标。
（4）第（1）（2）问题有何关系？（1）（3）呢？［从上述问题中，你能发现一次函数与一元一次方程的关系吗？］问题（2）（3）可以看作是同一个问题的两种形式，问题（1）（2）是从数的角度看，问题（3）是从形的角度看。
学生按要求探究，并总结结论从数的角度看，一元一次方程2x-4=0的解是一次函数y=2x-4的y为0时x 的值。
从形的角度看，一元一次方程2x-4=0的解是一次函数y=2x-4的图像与x轴交点的横坐标。
2.新知构建①填写表格，使得以下的一元一次方程问题与一次函数问题是同一问题。
你能从函数的角度解方程2x+1=3吗？学生独立思考后，画出一次函数y=2x+1的图像，从数的角度，y=2x+1的函数值为3时，自变量x 的值是这个方程的解；从图像上可以看出，直线y=2x+1上纵坐标为3的点的横坐标为1，是这个方程的解。
任何以x 为未知数的一元一次方程，都可以化成ax+b=0(a,b 为常数,a ≠0)的形式，因此，方程2x+1=3的解,也可以看成直线y=2x-2与x 轴交点的横坐标。
人教版八年级数学下册-19.2.3 一次函数与方程、不等式(教案)
19.2.3 一次函数与方程、不等式【知识与技能】1.理解一次函数与方程、不等式的关系.2.会根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问题.【过程与方法】学习用函数的观点看待方程、不等式，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想.【情感态度】经历方程、不等式与函数关系的探究，学习用联系的观点看待数学问题.【教学重点】一次函数与方程、不等式关系的应用.【教学难点】一次函数与方程、不等式关系的理解.一、情境导入，初步认识探究：1.解方程2x+20=0.2.在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x+20的图象.问题1 直线y=2x+20与x轴交点横坐标是方程2x+20=0的解吗？为什么？问题2 这两个问题是同一个问题么？由学生完成以上任务的画图与思考，教师走入每个学习小组，指导交流与总结，适时对学生的发言进行评判.【归纳总结】从“数”的角度看，方程2x+20=0的解是x=-10；从“形”的角度看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标是（-10，0），这也说明，方程2x+20=0的解是x=-10.由于任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值.二、思考探究，获取新知问题1 一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？思考：（1）本题的相等关系是什么？（2）设再过x 秒物体速度为17m/s ，能否列出方程？（3）如果速度用y 表示，那么能否列出函数关系式？（4）上面不同的解法各有何特点？解法1 设再过x 秒物体速度为17m/s.由题意可知：2x+5=17，解得x=6.解法2 速度y （m/s ）是时间x （s ）的函数，关系式为y=2x+5.当函数值为17时，对应的自变量x 值可得2x+5=17.求得x=6.解法3 由2x+5=17可变形得到2x-12=0.从图象上看，直线y=2x-12与x 轴的交点为（6，0）.故x=6.问题2 1.解不等式5x+6＞3x+10.【思考】不等式5x+6＞3x+10可以转化为ax+b ＞0的形式吗？所有的不等式是否都可以转化成这种形式呢？2.当自变量x 为何值时函数y=2x-4的值大于0？【思考】上述两个问题是同一个问题吗？3.问题2能用一次函数图象说明吗？【教学说明】引导学生解不等式后思考问题，并师生共同归纳：（1）在问题1中，不等式5x+6＞3x+10可以转化为2x-4＞0，解这个不等式得x ＞2.（2）解问题2就是要不等式2x-4＞0，得出x ＞2时函数y=2x-4的值大于0.因此它们是同一问题.（3）如图，函数y=2x-4与x 轴的交点为（2,0），且这个函数的y 随着x 的增大而增大，故要求当函数y=2x-4的值大于0时的自变量的值，只需在图中找出当函数图象在x 轴上方时的x 的值即可，由图可知，当x ＞2时，函数y=2x-4的值大于0.问题3 试用一次函数图象法求解35821x y x y +=⎧⎨-=⎩，，从中总结你的体会. 【归纳总结】上面的方程组可以转化为385521y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，其本质是求当x 为何值时，两个一次函数的y值相等，它反映在图象上，就是求直线3855y x=-+与y=2x-1的交点坐标.三、典例精析，掌握新知例1 若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？【分析】（1）一次函数的图象与两坐标轴围成的图形是直角三角形，两条直角边的长分别是图象与x轴的交点的横坐标的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值.（2）确定图象与两条坐标轴的交点坐标可以通过令x=0和y=0解方程求得.解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A、B.令y=0，得x=-6k；令x=0，得y=6.∴A（-6k，0），B（0，6），∴|OA|=|-6k|，|OB|=6.∴S=12OA·OB=12|-6k|×6=24.|k|=34.∴k=±34.【教学说明】教学中引导学生利用一次函数解析式和方程的关系先得出直线与两个坐标轴的交点，再借助直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24来构造方程.例2 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，求（1）当x为何值时，kx+b＞0；（2）当x为何值时，kx+b=0；（3）当x为何值时，kx+b＜0.解：（1）当x＜3时，kx+b＞0；（2）当x=3时，kx+b=0；（3）当x＞3时，kx+b＜0.【教学说明】寻找kx+b＞0的解集，实际上就是寻找当x为何值时，一次函数y=kx+b 的图象在x轴的上方；寻找kx+b＜0的解集，实际上就是寻找x为何值时，一次函数y=kx+b的图象在x轴的下方.例3 用作图象的方法解方程组3 3 5. x yx y+=⎧⎨-=⎩，【分析】首先将两个方程分别写成一次函数的形式，然后在直角坐标系中作出它们的图象，观察得出两直线的交点坐标，从而得出方程组的解.解：由x+y=3，可得y=3-x.由3x-y=5，可得y=3x-5.在同一直角坐标系内作出一次函数y=3-x的图象l1和y=3x-5的图象l2，如图所示，观察图象得l1、l2的交点坐标为P（2，1）.所以，方程组335x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是21.xy=⎧⎨=⎩，四、运用新知，深化理解1.如图，已知直线y=kx-3经过点M，求此直线与x轴、y轴交点坐标.【分析】要求此直线与x轴、y轴的交点坐标，就需确定这条直线对应的函数解析式，即确定直线y=kx-3中的k，这由直线过点M（-2，1）求得.2.用画函数图象的方法解不等式3x+2＞2x+1.【分析】本题可以把原不等式的两边分别看作一次函数，也可以先化简将其看作一个一次函数，然后画出函数图象求解.3.已知如图所示，直线l1:y=2x-4与x轴交于点A，直线l2:y=-3x+1与x轴交于点B，且直线l1与l2相交于点P，求△APB的面积.【分析】显然本题易求A点与B点的坐标，这样很容易求出线段AB的长度，则本题的关键就是求出点P的坐标，进而把点P的坐标转化为点P到线段AB的距离，求点P的坐标的方法就是联立l1和l2所表示的方程，建立成二元一次方程组，求解即可.【教学说明】下列问题有一定综合性，教师提示思路，由学生分组讨论求解.【答案】1.解：由图象可知，点M（-2，1）在直线y=kx-3上，∴-2k-3=1，解得k=-2.∴此直线的解析式为y=-2x-3.当y=0时，可得x=-32，∴直线与x轴交于（-32，0）.当x=0时，可得y=-3，∴直线与y轴交于（0，-3）.2.解法一：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=3x+2和直线y=2x+1的图象，如图1，由图象可以看出它们的交点的横坐标为-1，当x＞-1时，直线y=3x+2在直线y=2x+1的上方，即不等式3x+2＞2x+1的解集为x＞-1.图1 图2解法二：原不等式也可以化为x+1＞0，画出y=x+1的图象，如图2，可以看出当x ＞-1时这条直线上的点在x轴的上方，即y=x+1＞0，所以不等式的解集为x＞-1.3.解：l1：y=2x-4，令y=0，x=2，则A（2，0）l2：y=-3x+1，令y=0，x=13，则B（13，0），则AB=53，2431y xy x=-⎧⎨=-+⎩解得12xy=⎧⎨=-⎩∴P（1，-2），则点P到直线AB的距离为2. ∴S△APB =12×53×2=53.五、师生互动，课堂小结结合下表总结一次函数与一元一次方程的关系：从数的角度看：从形的角度看：反思如何由一次函数图象求得一元一次不等式的解集.理解一次函数图象与二元一次方程组间的关系.掌握图象法解二元一次方程组的步骤.1.布置作业：从教材“习题19.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.用函数的观点看方程和不等式，是学生应该学会的一种数学思想方法，本课时教学应考虑到学生形成一种教学观点的需要，考虑学生对函数、方程、不等式之间关系的理解.应从不同角度（如练习，讨论交流）帮助学生认识知识间关系的本质，形成函数、方程、不等式知识间相互转化的能力.。
人教版八下数学 学霸笔记整理19.2.3 一次函数与方程、不等式
人教版八下数学学霸笔记整理19.2.3 一次函数与方程、不等式1.因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式,所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时,求自变量x的值.2.因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0 (a≠0)的形式,所以解一元一次不等式相当于当某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围.3.一般地,因为每个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以改写为y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线.这样直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解.4.由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组,都对应两个一次函数,于是也对应两条直线.从“数”的角度看,解这样的方程组,相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等,以及这个函数值是多少;从“形”的角度看,解这样方程组,相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此,我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.1.解关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)可以转化为:已知函数y=kx+b的函数值为0,求相应的自变量x的值.从图象上看,相当于已知直线y=kx+b,确定它与x轴的交点的横坐标.2.用图象法求解问题,作图要准确.1.规律方法:(1)根据图象求关于x的不等式kx+b>mx+n的解的方法:①求当自变量x取何值时,直线y=(k-m)x+b-n上的点在x轴的上方;②求当x取何值时,直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方.特别说明:不等号为“<”时,道理类似.(2)用图象法解二元一次方程组的一般步骤:①先把方程组中的两个二元一次方程转化成一次函数的形式;②建立平面直角坐标系,画出这两个一次函数的图象;③写出这两条直线的交点的横、纵坐标,从而得出二元一次方程组的近似解(横坐标为x,纵坐标为y).2.解题技巧:(1)在直角坐标系中,以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点的集合组成的图象就是一次函数y=kx+b 的图象.(2)由于两条直线的交点坐标是由这两条直线的解析式所组成的二元一次方程组的解,所以求两条直线的交点坐标时,通常把两个一次函数的解析式联立成二元一次方程组,通过解方程组求得.[典例精析]【例1】 如图,已知函数y=x-2和y=-2x+1的图象交于点P ,根据图象可得方程组{x -y =2,2x +y =1的解是( )A.{x =1,y =1B.{x =-1,y =-1C.{x =1,y =-1D.{x =-1,y =1解析:由y=x-2,得x-y=2;由y=-2x+1,得2x+y=1.由图象可知:函数y=x-2和y=-2x+1的图象的交点P 的坐标是(1,-1).∴方程组{x -y =2,2x +y =1的解是{x =1,y =-1.故选C . 答案:C 解题总结:二元一次方程组的解就是组成二元一次方程组的两个方程的公共解,即两条直线的交点坐标.【例2】 如图,直线y=kx+b 经过点A (-1,-2)和点B (-2,0),直线y=2x 经过点A ,则2x<kx+b<0的解集为( )A.x<-2B.-2<x<-1C.-2<x<0D.-1<x<0解析:2x<kx+b<0体现的几何意义就是直线y=kx+b上,位于直线y=2x上方,x轴下方的那部分点,显然,这些点在点A与点B之间.故选B.答案:B解题总结:解决此类问题关键是仔细观察图形,注意几个关键点(两直线的交点,直线与坐标轴的交点、原点等),数形结合求解即可.。
人教版八年级数学下册教案：19.2.3一次函数与方程,不等式
一、教学内容
本节课选自人教版八年级数学下册19.2.3节，主要内容包括：
1.一次函数与一元一次方程的关系：利用一次函数图像求解一元一次方程，以及方程的解与函数图像上点的坐标关系。
2.一次函数与一元一次不等式的关系：根据一次函数图像，判断不等式的解集，并能在数轴上表示出来。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数与方程、不等式的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在学生小组讨论环节，我鼓励学生们提出自己的观点，并进行交流。大家普遍对一次函数与方程、不等式在实际生活中的应用表现出较高的兴趣。但在讨论过程中，我也注意到有些学生参与度不高，可能是由于他们对这一知识点还不够自信。因此，我需要在今后的教学中，更加关注这部分学生，鼓励他们积极参与，提高自信心。
总体来说，今天的教学还有许多需要改进的地方。首先，我需要在讲解难点时，更加注重学生的接受程度，适时调整教学节奏，确保每一个学生都能跟上。其次，针对学生在一次函数图像与不等式解集关系上的困惑，我计划在下一节课中增加一些更具针对性的练习和案例分析，帮助他们更好地理解这一部分内容。
3.应用实际问题：结合生活实例，让学生学会运用一次函数与方程、不等式的关系解决问题，如利润问题、速度问题等。
4.练习题：通过练习题巩固一次函数与方程、不等式的转换与应用，提高学生实际操作学知识解决实际问题的能力，使学生能够结合一次函数与方程、不等式的知识，分析并解决生活中的数学问题，提升数学应用意识。
19.2.3一次函数与方程不等式的关系(3个课时)
19.2.3一次函数与一元一次方程学习目标：1、理解一次函数与一元一次方程的关系，会根据图象解决一元一次方程求解问题。
2、学习用函数的观点看待方程的方法，经历方程与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题。
学习重点：利用一次函数知识求一元一次方程的解。
学习难点：一次函数与一元一次方程的关系发现、归纳和应用。
学习过程：活动一、课前小测1、一次函数12+=x y ，当=x 时，3=y ；当=x 时，0=y ；当=x 时，1-=y 。
2、一次函数，12+=x y ，x 轴交点坐标为________；与y 轴交点坐标_________；图像经过_______象限，y 随x 的增大而______，图像与坐标轴所围成的三角形的面积是 。
活动二：观察分析，探究新知 1、自主探究(1)解方程2x+20=0(2)当自变量x 为何值时，函数y=2x+20的值为0？解：(1) 2x+20=0(2) 当y=0时 ，即思考：上面两个问题实际上是______问题．（3）画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x 轴的交点坐标.（思考：直线y=2x+20与x 轴交点坐标为（____,_____），这说明方程2χ＋20＝0的解是x=_____）2、合作交流(小组交流答成共识,然后展示交流成果 )从“函数值”看，“解方程ax+b=0(a ，b 为常数， a ≠0)”与“求自变量 x 为何值时，一次函数y=ax+b 的值为0”有什么关系？从图象上看呢？求一元一次方程ax +b =0(a ，b 是常数，a ≠0)的解，从“函数值”看就是某个一次函数b ax y +=求一元一次方程ax +b =0(a , b 是常数，a ≠0)的解，从“函数图象”看就是直线b ax y +=与x 轴的交点的活动三、师生互动，运用新知1、根据下列图像，你能说出哪些一元一次方程的解？并直接写出相应方程的解？1、直线3+=x y 与y 轴的交点是（ ）A 、（0，3）B 、（0，1）C 、（3，0）D 、（1，0） 2、直线3+=kx y 与x 轴的交点是（1，0 ），则k 的值是（ ） A 、3 B 、2 C 、-2 D 、-3y=x-13600 OBt(分)S(米) A 153、直线y=x+3与x 轴的交点坐标为（ ， ），所以相应的方程x+3=0的解是x=4、直线y=3x+6与x 轴的交点的横坐标x 的值是方程2x+a=0的解，则a•的值是______5、弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图所示，请判断不挂物体时弹簧的长度是多少？活动五、课堂小结，巩固新知同学们，本节课你学到了那些重要的知识点或内容呢？请试着自己总结一下吧!活动六、作业1、有一个一次函数的图象，可心和黄瑶分别说出了它的两个特征． 可心：图象与x 轴交于点（6，0）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小结
从数的角度看： 求ax+b＞0 （a≠0） 的解 从形的角度看： 求ax+b＞0（a≠0） 的解 直线y=ax+b 在x轴上方的图象 所对应的x值
X为何值时 y=ax+b的值大于0
1.当自变量x的取值满足什么条件时， y 函数y=3x+8的值满足下列条件？ 15 （1）y= -7 （2）y＜2 解： (1)要使y= -7， 即3x+8 = -7，变为3x+15 =0 画直线 y=3x+15，由图象可知 当x=-5时， 3x+15 =0 ∴ 当x=-5时， y=-7
y
y=3x-6 x
02Βιβλιοθήκη -63.求当自变量x取值范围为什么时，函数 y=2x+6的值满足以下条件？ (1)y=0 (2) y＞0
4.利用图像解不等式：5x-1 ＞2x+5
5、作出函数y=-2x-5的图象,观察图象回 答下列问题: ① x取什么值时,-2x-5=0?
② x取什么值时,-2x-5>0? ③ x取什么值时,-2x-5≤0? ④ x取什么值时,-2x-5<3
x为何值时 y=ax+b的值为0
求ax+b=0（a≠0） 的解
函数的观点
数形结合
确定直线y=ax+b与x 轴交点的横坐标
课前小练
1、若直线y=(m-2)x-6与x轴交点的横坐标是6,则 m= 3 。
从解析式的角度思考:这个问题等价于“当x为6时，y值 为0。”即6(m-2)-6=0，得m-2=1，∴m=3.
从方程的角度思考：直线与x轴交点的横坐标是6，即 “方程(m-2)x-6=0的解是6,求x。”
2、已知直线y=(3m+2)x+2与直线y=-3x+6交于x轴 上的同一点，则m的值为 -1 .
从方程的角度看：这个问题等价于“当m为何值时，方 程 (3m+2)x+2=0 与方程-3x+6=0的解相等。”
0
2
-6
y
解法二：
14
把 5x+4＜2x+10 看做两个一次函 数y=5x+4和y=2x+10, 10 画出y=5x+4和y=2x+10的图像. 由图像可知 它们的交点的横坐标为2. 当x＜2时直线y=5x+4上的点 都在直线y=2x+10的下方. 即5x+4＜2x+10 ∴此不等式的解集为 x ＜2
y=3x+15 -5
0
x
1.当自变量x的取值满足什么条件时， y 函数y=3x+8的值满足下列条件？ 8 （1）y= -7 （2）y＜2 解：（2）画直线 y=3x+8 由图象可知 y＜2 时对应的 x＜-2 ∴ 当x＜-2时， y＜2
y=3x+8
8 -2 3
2
0
x
2. 利用函数图象解出x： （2）6x-4＜3x+2 解：不等式化为 3x-6 ＜0 画出函数y=3x-6的图像 由图像可以看出： 当 x＜2 时这条直线 上的点在x轴的下方， 这时 y=3x-6 ＜0 ∴ 此不等式的解集为x ＜2
-5 y=2x+10
0
4
2
x
y=5x+4
两种解不等式的方法都是把不等式 转化为比较直线上点的位置的高低
y
y
14
y=3x-6
10 x 4
0
2
-6
-5 y=2x+10
0
2
x
y=5x+4
由于任何一元一次不等式都可以转 化为ax+b＞0或ax+b＜0(a,b为常数， a≠0)的形式，所以解一元一次不等式 可以看作：当一次函数值大于或小于0 时，求自变量相应的取值范围。
0 2
y
y=2x-4 x
由此可知：通过函数图像 可以求不等式的解集
-4
用画函数图象的方法解不等式： 5x+4＜2x+10
解法一：
y y=3x-6 x
不等式化为 3x-6 ＜0 画出函数y=3x-6的图像 由图像可以看出： 当 x＜2 时这条直线上的 点在x轴的下方， 这时 y=3x-6 ＜0 ∴ 此不等式的解集为x ＜2
拓展延伸
1.若y1=－x+3，y2=3x+4，当x取何值 时， y1＞y2？
回顾
小结
通过这节课的学习，你有什么收获？
1、用一次函数图象来解一元一次不等式
2、一次函数、一元一次不等式之间的联系
107页 5、10题
1、认识一元一次不等式与一次函数问 题的转化关系。
2、学会用图像法求解不等式。
3、进一步理解数形结合思想。
我们来看下面的问题 当自变量x为何值时，函数y=2x-4值大于0?
分析：本题是要解不等式 得出 x＞2 时，
2x-4＞0，
函数y=2x-4值大于0.
思考：能否通过函数图象求不等式的解集呢？
观察函数y=2x-4 的图像, 当x满足什么条 件时，直线上的点在x轴的上方？ 即：x＞2时,y=2x-4 ＞0 同理 x< 2时,y=2x-4 < 0