气体分子平均自由程
7.6 气体分子的平均自由程
② kT 2.110 7 m 2d 2 p
③ Z 2d 2 vn — —n ？
Z 8.1109
分析 Z ——单位时间(1s)平均碰撞次数
连续两次碰撞的时间间隔 —— 1
平均自由程 ： v 1
Z
Z
其中 ：v
8RT
A走过路程 u
可碰区域体积 d 2 u
2d d
该区域的分子数 nV d 2un
碰撞次数 Z d 2un
③可证：考虑其它分子的运动 u 2v
Au
Z 2d 2 vn
§7.6 气体分子的平均自由程(平均碰撞频率)
7.6.2 平均自由程
Z 2d 2 vn
(1)概念：连续两次碰撞间分子自由运动的平均路程
(2)结果：
①形式一：Z ——单位时间(1s)平均碰撞次数 连续两次碰撞的时间间隔 —— 1 Z
平均自由程 ： v 1
Z
1 2d 2n
②形式二：由 p nkT 有 kT 2d 2 p
● n
●与 v 无关
例 已知：O2分子的有效直径2×10-10m
求:标准状态下O2分子的 、Z 解：①标准状态 T： 0C 273 K
M mol
88.31 273 3.14 2103
§7.6 气体分子的平均自由程 ——习题
P240: 7-18
完
§7.6 气体分子的平均自由程
气 体
动理论
几个概念 理想气体状态方程
压强和温度的微观解释
能量按自由度均分定理 理想气体的内能
几个统计规律 气体
476 m/s
事实：
M mol 氮气，27C
克劳修斯推导平均自由程公式阴极射线
克劳修斯推导平均自由程公式阴极射线
我们要找出阴极射线在克劳修斯推导平均自由程公式下的行为。
首先，我们需要了解克劳修斯推导平均自由程公式是什么。
克劳修斯推导平均自由程公式是用来描述气体分子在给定温度和压力下的平均自由程的。
这个公式是：
λ = (8πkT/πm)1/2
其中，λ 是平均自由程，k 是玻尔兹曼常数，T 是温度，m 是分子质量。
对于阴极射线，我们可以使用这个公式来描述其在气体中的平均自由程。
根据克劳修斯推导平均自由程公式，阴极射线在气体中的平均自由程为：米。
在大气层外层的气体分子平均自由程
在大气层外层的气体分子平均自由程下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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气体平均自由程
气体平均自由程
气体平均自由程是指气体分子在单位时间内在碰撞前直线路径上能够自由运动的平均距离。
它是描述气体分子运动的重要参数之一，与气体的密度、温度和分子直径等因素有关。
根据气体动理论，气体分子之间的碰撞是完全弹性碰撞，即在碰撞过程中没有能量损失。
在两个碰撞间隔期间，气体分子可以自由运动。
当气体分子之间的碰撞频率很高时，其平均自由程就很短。
相反，如果碰撞频率很低，其平均自由程就很长。
根据运动学原理，气体分子的平均自由程可以通过下式计算：
平均自由程 = 1 / (根号2 * 分子数密度* π * 分子直径^2)
分子数密度是单位体积中气体分子的数量，分子直径是气体分子的直径。
气体的平均自由程决定了气体的输运性质。
当气体分子的平均自由程远大于其他物体的尺度（如容器大小、障碍物等），气体可以被视为连续介质，可以使用流体力学的方法来描述气体的运动。
相反，当气体分子的平均自由程接近于容器或障碍物的尺度时，气体分子的运动会受到分子间相互作用和碰撞的影响，需要使用分子动力学的方法来描述。
气体分子平均自由程表达式
气体分子平均自由程表达式在物理学中，气体分子的平均自由程(也称平均自由路径)是一个重要的物理量，它指的是气体分子在碰撞前后所移动的平均距离。
在理想气体中，分子之间的距离相对较小，因此自由程相对较长。
但是在实际气体中，气体分子之间的距离往往比较大，分子间的碰撞比较频繁，因此自由程也较短。
那么，气体分子平均自由程的表达式是什么呢？在这里，我们将详细讲解。
首先，我们需要确定一个基本概念——平均自由时间。
平均自由时间指的是气体分子运动中两次相邻碰撞之间的平均时间间隔。
与平均自由时间相关的是气体分子平均自由程，两者之间有如下关系：平均自由程=平均速度×平均自由时间接下来，我们需要进一步求解平均自由时间和平均速度。
首先，我们可以通过热力学的方法推导平均自由时间的表达式。
根据玻尔兹曼方程，假设气体分子的碰撞为完全弹性碰撞，即气体分子之间没有损失或转化的能量。
此时，可以得到分子平均自由时间的表达式：τ = [(1/√2)×π×d2×N]/(4π×d2×P×v)其中，τ为平均自由时间，d为分子直径，N为单位体积中的分子数，P为气体压强，v为分子平均速度。
接下来，需要对上式进行简单的推导。
我们可以通过分析气体中的分子运动状态，发现当分子的平均自由程大于等于分子直径时，分子之间的碰撞才可能发生。
因此，我们可以得到下式：π×(d/2)2×n×v×τ = 1其中，n为单位体积中的分子数。
通过上述推导过程，我们可以推导出平均自由程的表达式：λ = v×τ此时，将平均自由时间的表达式代入上式中，得到：λ = [(1/√2)×d2×N]/(4P)该公式是分子平均自由程的表达式。
根据该公式，可以发现分子平均自由程与分子直径、气体压强以及分子数等因素有关。
此外，还需要注意的是，该公式只适用于弹性碰撞情况下的气体分子。
06-6气体分子的平均自由程
我们需要探讨分子之间相互碰撞的规律！ 我们需要探讨分子之间相互碰撞的规律！
任一个分子在什么时间与其他分子发生碰撞 以及与哪个分子碰撞都不是我们想关心的
1 平均碰撞频率 Z
单位时间内一个分子平均 碰撞的次数
如何计算分子的平均碰撞频率呢？ 如何计算分子的平均碰撞频率呢？ 追踪一个分子A， 追踪一个分子 ，计算单位时间内与该分 子相碰的分子数
σ = πd
σ u∆t
2
时间内，分子A走过的路程 在 ∆t 时间内，分子 走过的路程 相应圆柱体的体积
u∆t
在 ∆t 时间内，分子A与 时间内， ， 设分子数密度n，该 设分子数密度分子 与 其他分子的碰撞次数 圆柱体内总分子数
nπd u ∆t
2
根据麦克斯韦速率分布 根据麦克斯韦速率分布 律，气体分子的平均相 对速率与分子的平均速率存在下列关系 平均碰撞频率
√
A. Z 和λ 都增大一倍 B. Z 和λ 都减为原来的一半 C. Z 增大一倍而 减为原来的一半 增大一倍而λ D. Z 减为原来的一半而 增大一倍 减为原来的一半而λ
u = 2 ⋅v
nπd
2
Z=
2 v ∆t 2 = nπd 2 v ∆t
2 分子的平均自由程 λ
一个分子在连续两次碰撞之间所经过的自 由路程的平均值 单位时间内分子走过的平均路程为 v 单位时间内分子与其他分子平均碰撞次数 Z 分子的平均自由程
1 v v = λ= = 2 2 2nπd Z nπd 2 v
追踪一个分子a计算单位时间内与该分子相碰的分子数分子间碰撞的简化模型把所有分子视为有效直径为d的刚性小球假设其他分子静止不动只有分子a在它们之间以平均相对速率运动以分子a的运动轨迹为轴线分子有效直为半径作一曲折圆柱体凡是分子中心在此圆柱体内的分子都会与分子a相碰圆柱体的截面积又称分子的碰撞截面设分子数密度n该圆柱体内总分子数时间内分子a与其他分子的碰撞次数根据麦克斯韦速率分布律气体分子的平均相对速率与分子的平均速率存在下列关系平均碰撞频率一个分子在连续两次碰撞之间所经过的自由路程的平均值分子的平均自由程nkt分子的平均自由程与平均速率无关与分子的有效直径及分子数密度有关当温度一定时分子的平均自由程与气体压强成反比
分子运动的平均自由程
分子运动的平均自由程分子运动的平均自由程是指分子在气体、液体或固体中在碰撞之间所能运动的平均距离。
它是一个重要的物理参数，可以帮助我们理解分子在不同状态下的运动行为。
为了理解分子运动的平均自由程，我们首先需要了解分子运动的特点。
在气体中，分子具有高度自由的运动，不受相互作用力的限制。
在液体中，分子之间存在较强的相互作用力，但仍然能够以较高的速度运动。
在固体中，分子的运动受到最强的相互作用力的限制，只能在一个非常狭小的区域内振动。
分子运动的平均自由程与分子的平均自由时间密切相关。
平均自由时间是指分子在两次相互碰撞之间的平均时间间隔。
它可以通过分子的平均速度和分子之间的碰撞频率来计算。
分子的平均速度可以根据其运动能量和质量来计算，而分子之间的碰撞频率可以通过理想气体动力学理论中的碰撞模型来估算。
在气体中，分子的平均自由程可以用碰撞截面积与密度的比值来计算。
碰撞截面积是指分子在碰撞中所占据的面积，它可以通过假设分子为刚球模型，并通过计算分子之间的碰撞几率来估算。
密度是指单位体积内分子的数量，可以通过气体状态方程和理想气体动力学理论来计算。
在液体中，分子的平均自由程要考虑分子之间的相互作用力。
通常情况下，液体分子的运动路径受到相互作用力的限制，平均自由程较短。
然而，液体中存在一些自由的分子，可以运动一段距离而不受相互作用力的束缚，从而形成分子的平均自由程。
这可以通过在分子之间引入排斥作用力和引力作用力来计算。
在固体中，分子的平均自由程非常短。
由于固体分子之间的相互作用力非常强大，分子只能在一个非常小的区域内振动，不具备自由运动的能力。
因此，固体分子的平均自由程通常可以认为是分子的尺寸。
总结起来，分子运动的平均自由程是分子在气体、液体或固体中在碰撞之间所能运动的平均距离。
它与分子的平均自由时间、碰撞截面积、密度和相互作用力等因素有关。
对于不同状态的物质，平均自由程的计算方法也不同。
热学气体分子平均自由程
气体分子的碰撞截面
碰撞截面
截面对平均自由程的影响
气体分子间的碰撞截面决定了分子间 的相互作用和碰撞概率。
碰撞截面越大，分子间的碰撞概率越 高，平均自由程越短。
截面大小
不同气体分子间的碰撞截面大小不同， 与分子间的距离和相互作用力有关。
气体分子的能量损失
能量损失
01
气体分子在碰撞过程中会损失能量，导致平均自由程的变化。
特性
与气体分子的速度、气体分子的分布、气体分子的碰撞频率等因素有关。
平均自由程与气体分子碰撞频率的关系
碰撞频率
气体分子在单位时间内所发生的碰撞 次数。
关系
平均自由程与气体分子碰撞频率成反 比，碰撞频率越高，平均自由程越小。
平均自由程在热学中的重要性
热传导
平均自由程是影响气体热传导的重要因素之一，通过 改变平均自由程可以调节气体的热传导性能。
总结词
在高温高压条件下，气体分子间的相互 作用力减弱，分子间的碰撞频率降低， 因此平均自由程较大。
VS
详细描述
在高温高压条件下，气体分子间的平均距 离增大，分子间的碰撞频率减少，导致气 体分子的平均自由程增大。这种情况下， 气体分子的运动受到的相互碰撞的限制较 小，运动路径较长。
04 气体分子平均自由程的影 响因素
探索气体分子平均自由程在极端条件下的行为
研究高温、高压、高密度等极端 条件下气体分子平均自由程的变 化规律，揭示其与温度、压力、
密度的关系。
探讨极端条件下气体分子与障碍 物的相互作用，以及气体分子间 的相互作用，以理解其行为特性。
研究极端条件下气体分子输运性 质的变化，为相关领域的应用提
供理论支持。
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子间的引力，但考虑了分子斥力起作用时两个分子质心间的距离，即考虑了 分子的体积，而不象理想气体，忽略了分子本身的大小。
4
自由程 ： 分子两次相邻碰撞之间自由通过 的路程 .
5
气体分子平均自由程（mean free path） 平均自由程λ 为分子在连续两次碰撞之间所自 由走过的路程的平均值。
dN K exp( Kx)dx N0
18
由分子自由程的概率分布可求平均自由程 dN K exp( Kx)dx N0
1 K exp( Kx) xdx K 0
dN Kdx N
N Kdx Ln N
0 0
x
N N 0 exp( Kx )
17
N N 0 exp( Kx )
表示从 x =0 处射出了刚被碰撞过的N0个分子，它们 行进到 x 处所残存的分子数 N 按指数衰减。 对上式之右式两边微分，得到
既然（-dN ）表示 N0 个分子中自由程为 x 到x + dx 的平均分子数，则（-dN /N0 ）是分子的自由程在 x 到 x + dx范围内的概率。这就是分子自由程的概率分布。 即分子按自由程分布的规律。
Z 2 π d vn
2
v 1 2 z 2π d n
当气体较稀薄时
p nkT
1 T 一定时 p
kT 2π d 2 p
p 一定时
T
11
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程 10 和碰撞频率。取分子的有效直径 d 3.5 10 m 已知空气的平均相对分子量为29。 解： 标准状态下
2v , v 为
气体分子的平均速率。
Z 2 π d vn
2
8kT （当气体较稀薄时） p nkT ，v m 4p Z ( d 2 ) mkT
平均碰撞频率的大小与气体的种类和所处的状态有关。分子的 大小对碰撞的频繁程度有重要作用。
10
分子的平均自由程公式 vt v Zt Z
1 2 N N
——N次(N很大)
也就是平均两次碰撞之间所走过的距离
6
平均碰撞频率 平均碰撞频率 z 为：单位时间内一个分子与 其它分子碰撞的平均次数。
分子的平均碰撞频率反映了分子碰撞的频繁程度。
分子的平均自由程公式
vt v Zt Z
7
平均碰撞频率的计算
2
§1 气体分子的平均自由程
3
无引力的弹性刚球模型
气体分子间发生碰撞，两分子间的距离较大时，它 们之间无相互作用力，分子作匀速直线运动。 当两分子质心间的距离减小到分子有效直径d 时， 便发生无穷大的斥力，以阻止分子间的接近，并使分 子运动改变方向。 因此把两个分子间的这种相互作用过程看成是两个 无引力的弹性刚球之间的碰撞。
16
又 dx 是很短的距离，则: 在 x 到 x + dx 距离内所减少的分子数 dN 与 x 处的分 子数 N 成正比。另外, dN 也与 dx 的大小成正变,更确切 说成正比。 因为dx 很小,即使不成正比,由此所产生误差仅是二阶 无穷小。 设成正比的比例系数为 K，则 dN KNdx
1
系统自发地进行的过程靠的是分子的热运动。 研究输运过程时，必须考虑到分子间相互作用时对 运动情况的影响。 碰撞使分子不断改变运动方向与速率大小，使分子 行进的轨迹十分曲折。 碰撞使分子间不断交换能量与动量。 系统的平衡也需借助频繁的碰撞才能达到。 本节将介绍一些描述气体分子间碰撞特征的物理量： 碰撞截面、平均碰撞频率及平均自由程。
第四章气体内的输运过程
前面我们对热学的学习所涉及的都是气体在平衡态 下的性质和规律，然而许多的问题都是牵扯到气体在
非平衡态下的变化过程。
非平衡态问题是至今没有完全解决的问题。理论只 能处理一部分，另一部分问题还在研究中。 最简单的非平衡态问题是：不受外界干扰时，系统 自发地从非平衡态向平衡态过渡的过程——输运过程。
为了描这种随机性质，必须找到它在某一个范围 内受到碰撞的概率，即分子的自由程处于这个范围内 的概率——分子按自由程的分布规律。
14
分子按自由程的分布
制备 N0 个分子所 组成的分子束，分子束 中的分子恰好在同一地 点 x = 0 处刚被碰过一 次，以后都向 x 方向 运动。分子束在行进过 程中不断受到背景气体 分子的碰撞，使分子数 逐渐减少。
y
O Z
x
15
y
O
x x t N x+ dx t + dt N+dN
Z
0 0 N0
假设在 t 时刻，x 处剩下N 个分子（这N个分子的自由程在0-x之间） 经过d t 时间，分子束运动到 x + d x 处又被碰撞掉 dN 个分子。（这dN个分子的自由程在x-x+dx之间） 即自由程为x 到x + d x 的分子数为 – dN 。 因为dN 是减少了的分子数, dN ＜ 0，要加个负号。
P 1.01310 Pa T 273 K kT 2 πd2p 1.38 1023 273 8 m 6.9 10 m 10 2 5 2π (3.5 10 ) 1.013 10
5
12
∵空气的平均相对分子量为29 ∴
8kT 8RT v 448 m s m M
v 9 1 Z 6.5 10 s
每个分子平均每秒与其他分子碰撞65亿次。
13
前面引入的分子间碰撞的平均频率及平均自由程， 虽然均能表示分子间碰撞的主要特征，但不能反映分 子间碰撞的随机性质。
实际上，若一分子在某处刚好被碰撞过，则以后遭 受第二次碰撞的时间完全是随机的。所以它在两次碰 撞之间走过的路程也是随机的。
设分子的有效直径为d ，气体单位体积内的分子数为
A 分子以平均速率
n，
u 相对于其他分子运动，其它分子都不动。
8
d d
A
碰撞截面:
2
d
1 2 d , 不同分子则： (d1 d 2 ) 4
单位时间内平均碰撞次数：
Z π d un
2
9
A 分子以相对速度 u 运动，u