1.3度量空间
泛函分析课程论文
泛函分析课程论文数学与计算科学学院 09数本2班 黄丽萍 2009224725大四新学年开始了，我们也开始学习了一门综合性及专业性强的课程——泛函分析。
首先，理解下“泛函分析”这个概念。
泛函分析是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。
在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。
所以在接下来的两章内容的学习中，我们将先学习“两大空间”——度量空间和赋范线性空间及其相关知识（第七章和第八章）。
在学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。
第七章的标题已经明确给出了学习任务——度量空间和赋范线性空间。
§1 度量空间§1.1 定义：若X 是一个非空集合，:d X XR ⨯→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ∀∈，有（1）(,)0d x y =当且仅当xy =；（2）(,)(,)d x y d y x =；（3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+，则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。
【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式） 其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。
§1.2 度量空间的进一步例子例：1、离散的度量空间(,)X d ，设X 是一个非空集合，,x y X ∀∈，当1,(,)0,=x y d x y x y≠⎧=⎨⎩当当。
2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i i i i d x y ξηξη∞=∑是度量空间 3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t Ad x y x y ∈=是度量空间4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t bd x y x y ≤≤=是度量空间5、空间2l ，122=1(,)[(-)]k ki d x y y x ∞=∑是度量空间§1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间§1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果{}n x 是(,)X d 中点列，如果∃x X ∈，使n l im (,)=0n d x x →∞，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。
度量空间的可分性与完备性
1.3 度量空间的可分性与完备性在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间．1.3.1 度量空间的可分性定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ⊂，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ⊂，通常称A 是B 的稠密子集．注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ⊂．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数．定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密；(2) x B ∀∈，{}n x A ∃⊂，使得lim (,)0n n d x x →∞=；(3) B A ⊂（其中A A A '=，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）； (4) 任取0δ>，有(,)x AB O x δ∈⊂．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合覆盖B ．证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得．定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 是度量空间，,,A B C X ⊂，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密．证明 由定理1.1知B A ⊂，C B ⊂，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ⊂⊂，于是有C A ⊂，即A 在C 中稠密．□注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．}(1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密． 参考其它资料可知：(2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密．(3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：(4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ⊂⊂⊂．定义 1.3.2 设X 是度量空间，A X ⊂，如果存在点列{}n x A ⊂，且{}n x 在A 中稠密，则称A 是可分点集(或称可析点集)．当X 本身是可分点集时，称X 是可分的度量空间．注3：X 是可分的度量空间是指在X 中存在一个稠密的可列子集．例1.3.1 欧氏空间n R 是可分的．{坐标为有理数的点组成的子集构成n R 的一个可列稠密子集．}证明 设12{(,,,)|,1,2,,}n n i Q r r r r Q i n =∈=为n R 中的有理数点集，显然n Q 是可数集，下证n Q 在n R 中稠密．对于n R 中任意一点12(,,,)n x x x x =，寻找n Q 中的点列{}k r ，其中12(,,,)k k k k n r r r r =，使得()k r x k →→∞．由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数i x (1,2,,i n =)，存在有理数列()k i i r x k →→∞.于是得到n Q 中的点列{}k r ，其中12(,,,)k k k k n r r r r =，1,2,.k =现证()k r x k →→∞．0ε∀>，由()k i i r x k →→∞知，i K ∃∈N ，当i k K >时，有||ki i r x -<1,2,,i n =取12max{,,,}n K K K K =，当k K >时，对于1,2,,i n =，都有||k i i r x -<，因此(,)k d r x ε=即()k r x k →→∞，从而知n Q 在n R 中稠密．□例 1.3.2 连续函数空间[,]C a b 是可分的．{具有有理系数的多项式的全体[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，而[,]o P a b 是可列集．}证明 显然[,]o P a b 是可列集．()[,]x t C a b ∀∈，由Weierstrass 多项式逼近定理知，()x t 可表示成一致收敛的多项式的极限，即0ε∀>，存在(实系数)多项式()p t ε，使得(,)max |()()|2a t bd x p x t p t εεε≤≤=-<另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式00()[,]p t P a b ∈，使得00(,)max |()()|2a t bd p p p t p t εεε≤≤=-<因此，00(,)(,)(,)d x p d x p d p p εεε≤+<，即0()(,)p t O x ε∈，在[,]C a b 中任意点()x t 的任意邻域内必有[,]o P a b 中的点，按照定义知[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密．□例1.3.3 p 次幂可积函数空间[,]p L a b 是可分的．证明 由于[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，又知[,]C a b 在[,]p L a b 中稠密，便可知可数集[,]o P a b 在[,]p L a b 中稠密．□例1.3.4 p 次幂可和的数列空间p l 是可分的．证明 取12{(,,,,0,,0,)|,}o n i E r r r r Q n =∈∈N ，显然o E 等价于1n n Q ∞=，可知o E 可数，下面证o E 在p l 中稠密．12(,,,,)p n x x x x l ∀=∈，有1||p i i x ∞=<+∞∑，因此0ε∀>，N ∃∈N ，当n N >时，1||2p pin N x ε∞=+<∑又因Q 在R 中稠密，对每个i x (1i N ≤≤)，存在i r Q ∈，使得||2p pi i x r Nε-<，(1,2,3,,)i N =于是得1||2p Npiii x r ε=-<∑令0120(,,,,0,,0,)N x r r r E =∈，则11011(,)(||||)()22ppNppppi i iii i N d x x x r xεεε∞==+=-+<+=∑∑因此o E 在p l 中稠密．□例1.3.5 设[0,1]X =，则离散度量空间0(,)X d 是不可分的．证明 假设0(,)X d 是可分的，则必有可列子集{}n x X ⊂在X 中稠密．又知X 不是可列集，所以存在*x X ∈，*{}n x x ∉．取12δ=，则有 ***01(,)(,)2O x x d x x x δ⎧⎫=<=⎨⎬⎩⎭即*(,)O x δ中不含{}n x 中的点，与{}n x 在X 中稠密相矛盾．□思考题: 离散度量空间0(,)X d 可分的充要条件为X 是可列集．注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如 (0.625)10=(0.101)2 0.625⨯2=1.25取1；0.25⨯2=0.50取0；0.5⨯2=1.00取1． 二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2)，第二位为1则加上0.25(1/4)，第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推．即1221011(0.)()2nn i ii x x x x ==∑，例如(0.101)2=1010111(101)(0.625)248=⨯+⨯+⨯=． 因此[0,1]与子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===或对等，由[0,1]不可数知A 不可列．例1.3.6 有界数列空间l ∞是不可分的．12{(,,,,)=()| }n i l x x x x x x ∞==为有界数列，对于()i x x =，()i y y =∈l ∞，距离定义为1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-．证明 考虑l ∞中的子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===或，则当,x y A ∈,x y ≠时，有(,)1d x y =．因为[0,1]中每一个实数可用二进制表示，所以A 与[0,1]一一对应，故A 不可列．假设l ∞可分，即存在一个可列稠密子集0A ，以0A 中每一点为心，以13为半径作开球，所有这样的开球覆盖l ∞，也覆盖A ．因0A 可列，而A 不可列，则必有某开球内含有A 的不同的点，设x 与y 是这样的点，此开球中心为0x ，于是001121(,)(,)(,)333d x y d x x d x y =≤+<+=矛盾，因此l ∞不可分．□1.3.2 度量空间的完备性实数空间R 中任何基本列(Cauchy 列)必收敛．即基本列和收敛列在R 中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间．定义1.3.3 基本列设{}n x 是度量空间X 中的一个点列，若对任意0ε>，存在N ，当,m n N >时，有(,)m n d x x ε<则称{}n x 是X 中的一个基本列(或Cauchy 列）． 定理1.3.3 (基本列的性质) 设(,)X d 是度量空间，则 (1) 如果点列{}n x 收敛，则{}n x 是基本列； (2) 如果点列{}n x 是基本列，则{}n x 有界；(3) 若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点． 证明 (1) 设{}n x X ⊂，x X ∈，且n x x →．则0ε∀>，N N ∃∈，当n N >时，(,)2n d x x ε<，从而n ，m N >时，(,)(,)(,)22n m n m d x x d x x d x x εεε≤+<+=．即得{}n x 是基本列．(2) 设{}n x 为一基本列，则对1ε=，存在N ，当n N >时，有1(,)1N n d x x ε+<=，记11211max{(,),(,),,(,),1}1N NN N M d x x d x x d x x +++=+，那么对任意的,m n ，均有 11(,)(,)(,)2n m n N m N d x x d x x d x x M M M ++≤+<+=，即{}n x 有界．(3) 设{}n x 为一基本列，且{}kn x 是{}n x 的收敛子列，().kn x x k →→∞于是，10,N ε∀>∃∈N ，当1,m n N >时，(,)2n m d x x ε<；2N ∃∈N ，当2k N >时，(,)2kn d x x ε<．取12max{,}N N N =，则当n N >，k N >时，k n k N ≥>，从而有(,)(,)(,)22k k n n n n d x x d x x d x x εεε≤+<+=，故()n x x n →→∞．□注4：上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列(Cauchy 列)，那么基本列是收敛列吗？ 例 1.3.7 设(0,1)X =，,x y X ∀∈，定义(,)d x y x y =-，那么度量空间(,)X d 的点列1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭是X 的基本列，却不是X 的收敛列．证明 对于任意的0ε>，存在N ∈N ，使得1N ε>，那么对于m N a =+及n N b =+，其中,a b ∈N ，有11(,)11(1)(1)n m n m a bd x x x x N b N a N a N b -=-=-=++++++++ max{,}1(1)(1)a b a b N a N b Na Nb Nε+<<=<+++++，即得{}n x 是基本列．显然1lim 01n X n →∞=∉+，故{}n x 不是X 的收敛列．或者利用1{}{}1n x n =+是R 上的基本列，可知0ε∀>，N ∃∈N ，当,n m N >时有 1111n m ε-<++．于是可知1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭也是X 上的基本列．□ 如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间．定义1.3.4 完备性如果度量空间X 中的任何基本列都在X 中收敛，则称X 是完备的度量空间． 例1.3.8 n 维欧氏空间n R 是完备的度量空间．证明 由n R 中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及R 的完备性易得．□ 例1.3.9 连续函数空间[,]C a b 是完备的度量空间．(距离的定义：[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-)证明 设{}n x 是[,]C a b 中的基本列，即任给0ε>,存在N ，当,m n N >时，(,)m n d x x ε<即[,]max ()()m n t a b x t x t ε∈-<故对所有的[,]t a b ∈,()()m n x t x t ε-<，由一致收敛的Cauchy 准则，知存在连续函数()x t ，使{()}n x t 在[,]a b 上一致收敛于()x t ，即(,)0()m d x x n →→∞,且[,]x C a b ∈.因此[,]C a b 完备．□例1.3.10 设[0,1]X C =，(),()f t g t X ∈，定义110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰，那么1(,)X d 不是完备的度量空间．(注意到例1.3.9结论(,)X d 完备)证明 设10 021111()() 222111 12n t f t n t t n t n ⎧≤<⎪⎪⎪=-≤<+⎨⎪⎪+≤≤⎪⎩()[0,1]n f t C ∈的图形如图1.3.1所示．显然()[0,1]n f t C ∈，1,2,3,n =．因为1(,)m n d f f 是下面右图中的三角形面积，所以0ε∀>，1N ε∃>，当,m n N >时，有1111(,)2m n d f f n mε=-<，112m ma =+112n na =+|()()|m n S f t f t dx∆=-⎰图1.3.1 ()[0,1]n f t C ∈图像及有关积分示意图于是{}n f 是X 的基本列．下面证{}n f 在X 中不收敛．若存在()f t X ∈，使得1(,)0()n d f f n →→∞．由于1(,)n d f f 1|()()|n f t f t dt =-⎰11122111221|()||()()||1()|n nn f t dt f t f t dt f t dt ++=+-+-⎰⎰⎰，显然上式右边的三个积分均非负，因此1(,)0n d f f →时，每个积分均趋于零．推得1212[0,]0()(,1]1t f t t ∈⎧=⎨∈⎩ 可见()f t 不连续，故{}n f 在X 中不收敛，即[0,1]C 在距离1d 下不完备．□表1.3.1 常用空间的可分性与完备性度量空间距离 可分性 完备性n 维欧氏空间(,)nR d(,)d x y =√ √ 离散度量空间0(,)X dX 可数 00 (,)1x y d x y x y =⎧=⎨≠⎩当时当时√√ X 不可数× √ 连续函数空间[,]C a b[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-√ √1(,)()()bad f g f x g x dx =-⎰√× 有界数列空间l ∞ 1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-× √ p 次幂可和的数列空间p l 11(,)||pp p i i i d x y x y ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑√√ p 次幂可积函数空间([,],)p L a b d1[,](,)(|()()|)ppa b d f g f t g t dt =-⎰√√由于有理数系数的多项式函数集0[,]P a b 是可列的，以及0[,]P a b 在[,]P a b 、[,]C a b 、[,]B a b 以及[,]p L a b 中稠密，可知闭区间[,]a b 上多项式函数集[,]P a b 、连续函数集[,]C a b 、有界可测函数集[,]B a b 、p 次幂可积函数集[,]p L a b 均是可分的．前面的例子说明n 维欧氏空间n R 以及p 次幂可和的数列空间p l 也是可分空间，而有界数列空间l ∞和不可数集X 对应的离散度量空间0(,)X d 是不可分的．从上面的例子及证明可知，n 维欧氏空间n R 是完备的度量空间，但是按照欧氏距离(0,1)X =却不是完备的；连续函数空间[,]C a b 是完备的度量空间，但是在积分定义的距离110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰下，[0,1]C 却不完备．由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的．我们还可以证明p 次幂可和的数列空间p l 是完备的度量空间，p 次幂可积函数空间[,](1)p L a b p ≥是完备的度量空间，有界数列空间的完备性．通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3所示．在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理． 定理1.3.4 (闭球套定理)设(,)X d 是完备的度量空间，(,)n n n B O x δ=是一套闭球：12n B B B ⊃⊃⊃⊃． 如果球的半径0()n n δ→→∞，那么存在唯一的点1n n x B ∞=∈．证明 (1)球心组成的点列{}n x 为X 的基本列．当m n >时，有m m n x B B ∈⊂((,)n n O x δ=)，可得(,)m n n d x x δ≤． (2.4)0ε∀>,取N ，当n N >时，使得n δε<，于是当,m n N >时，有(,)m n n d x x δε≤<，所以{}n x 为X 的基本列．(2)x 的存在性．由于(,)X d 是完备的度量空间，所以存在点x X ∈，使得lim n n x x →∞=．令(2.4)式中的m →∞，可得(,)n n d x x δ≤即知n x B ∈，1,2,3,n =，因此1n n x B ∞=∈．(3) x 的唯一性．设还存在y X ∈，满足1n n y B ∞=∈，那么对于任意的n ∈N ，有,n x y B ∈，从而(,)(,)(,)20n n n d x y d x x d x y δ≤+≤→()n →∞，于是x y =．□注4：完备度量空间的另一种刻画：设(,)X d 是一度量空间，那么X 是完备的当且仅当对于X 中的任何一套闭球：12n B B B ⊃⊃⊃⊃，其中(,)n n n B O x δ=，当半径0()n n δ→→∞，必存在唯一的点1n n x B ∞=∈．大家知道1lim(1)n n e n→∞+=，可见有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用．对于一般的度量空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用．那么是否对于任一不完备的度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢？下面的结论给出了肯定的回答．定义1.3.5 等距映射设(,)X d ，(,)Y ρ是度量空间，如果存在一一映射:T X Y →，使得12,x x X ∀∈，有1212(,)(,)d x x Tx Tx ρ=，则称T 是X 到Y 上的等距映射，X 与Y 是等距空间(或等距同构空间)． 注5：从距离的角度看两个等距的度量空间，至多是两个空间里的属性不同，是同一空间的两个不同模型．另外度量空间中的元素没有运算，与(,)X d 相关的数学命题，通过等距映射T ，使之在(,)Y ρ中同样成立．因此把等距同构的(,)X d 和(,)Y ρ可不加区别而看成同一空间．定义1.3.6 完备化空间设X 是一度量空间，Y 是一完备的度量空间，如果Y 中含有与X 等距同构且在Y 中稠密的子集Y'，则称Y 是X 的一个完备化空间．图1.3.2 度量空间X 的完备化示意图定理1.3.5 (完备化空间的存在与唯一性)对于每一个度量空间X ，必存在一个完备化的度量空间Y ，并且在等距同构意义下Y 是唯一确定的．例1.3.11 设,(,)x y R ∈=-∞+∞，定义距离(,)|arctan arctan |d x y x y =-，试证(,)R d 不是完备的空间．证明 取点列{}n x R ⊂，其中n x n =，注意lim arctan 2n n x π→∞=，显然不存在一点x R ∈，使得(,)|arctan arctan |0()n n d x x x x n =-→→∞．所以点列{}n x 在R 中没有极限．由于lim arctan 2x x π→∞=，即0ε∀>，N ∃，当,m n N >时，有|arctan |22m πε-<，|arctan |22n πε-<，于是(,)|arctan arctan |n m n m d x x x x =-|arctan ||arctan |22n m x x ππε≤-+-<因此点列{}n x 是基本列，却不是收敛列．□。
高等数学系列教材目录
高等数学系列教材目录第一册：微积分基础1.数集与函数1.1 数集的表示与运算1.2 函数的定义与性质1.3 常用函数及其图像2.极限与连续2.1 数列与极限2.2 函数的极限2.3 连续函数与间断点3.导数与微分3.1 导数的定义与计算3.2 微分的概念与应用3.3 高阶导数与高阶微分4.一元函数的应用4.1 函数的单调性与极值4.2 函数的凹凸性与拐点4.3 泰勒公式及其应用第二册：多元函数微积分1.二元函数与偏导数1.1 二元函数的定义与性质1.2 偏导数与全微分1.3 隐函数与参数方程求导2.多元函数的极值与条件极值2.1 多元函数的极值2.2 隐函数极值与参数方程极值2.3 条件极值与拉格朗日乘子法3.重积分3.1 二重积分的计算3.2 三重积分的计算3.3 积分次序与坐标变换4.曲线与曲面积分4.1 曲线积分的计算4.2 曲面积分的计算4.3 斯托克斯定理与高斯公式第三册：级数与常微分方程1.级数的收敛性与性质1.1 数项级数的概念与性质1.2 正项级数的审敛法1.3 交错级数与绝对收敛2.幂级数与函数展开2.1 幂级数的收敛域与收敛半径 2.2 幂级数的运算与逐项求导2.3 函数的泰勒级数展开3.常微分方程基础3.1 微分方程的基本概念3.2 一阶线性微分方程3.3 高阶线性微分方程4.常微分方程应用4.1 古典物理问题的建模与求解 4.2 生物、经济与工程领域的应用4.3 相图与稳定性分析第四册：向量与解析几何1.向量代数基础1.1 向量的定义与运算1.2 向量的线性相关性与线性无关性1.3 向量的内积与外积2.空间直线与平面2.1 三维空间的点、直线与平面2.2 直线的方向向量与法向量2.3 空间直线与平面的位置关系3.空间曲线与曲面3.1 曲面的参数方程与一阶偏导数 3.2 流形与曲率3.3 空间曲线、曲面与切线法向第五册：数学分析基础1.度量空间与拓扑1.1 度量空间的定义与性质1.2 拓扑空间的概念与特征1.3 开集、闭集与连通性2.泛函分析2.1 功能空间与泛函空间2.2 线性算子与线性泛函2.3 无穷维空间与紧性理论3.微分流形3.1 流形的定义与性质3.2 曲线与曲面的切空间3.3 切向量场与流形上的积分4.测度论基础4.1 测度空间的定义与测度函数4.2 测度的可测性与测度的完备性4.3 测度函数与积分运算这是《高等数学系列教材》的目录，详细介绍了每一册的章节内容。
度量空间的可分性与完备性
1.3 度量空间的可分性与完备性在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间．1.3.1 度量空间的可分性定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ⊂，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ⊂，通常称A 是B 的稠密子集．注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ⊂．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数．定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密；(2) x B ∀∈，{}n x A ∃⊂，使得lim (,)0n n d x x →∞=；(3) B A ⊂（其中A A A '=U ，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）；(4) 任取0δ>，有(,)x AB O x δ∈⊂U ．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合覆盖B ．证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得．定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 是度量空间，,,A B C X ⊂，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密．证明 由定理1.1知B A ⊂，C B ⊂，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ⊂⊂，于是有C A ⊂，即A 在C 中稠密．□注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．}(1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密． 参考其它资料可知：(2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密．(3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：(4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ⊂⊂⊂．定义1.3.2 设X 是度量空间，A X ⊂，如果存在点列{}n x A ⊂，且{}n x 在A 中稠密，则称A 是可分点集(或称可析点集)．当X 本身是可分点集时，称X 是可分的度量空间．注3：X 是可分的度量空间是指在X 中存在一个稠密的可列子集．例1.3.1 欧氏空间n R 是可分的．{坐标为有理数的点组成的子集构成n R 的一个可列稠密子集．}证明 设12{(,,,)|,1,2,,}n n i Q r r r r Q i n =∈=L L 为n R 中的有理数点集，显然n Q 是可数集，下证n Q 在n R 中稠密．对于n R 中任意一点12(,,,)n x x x x =L ，寻找n Q 中的点列{}k r ，其中12(,,,)k k k k n r r r r =L ，使得()k r x k →→∞．由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数i x (1,2,,i n =L )，存在有理数列()k i i r x k →→∞.于是得到n Q 中的点列{}k r ，其中12(,,,)k k k k n r r r r =L ，1,2,.k =L现证()k r x k →→∞．0ε∀>，由()k i i r x k →→∞知，i K ∃∈N ，当i k K >时，有||ki i r x -<1,2,,i n =L取12max{,,,}n K K K K =L ，当k K >时，对于1,2,,i n =L ，都有||k i i r x -<，因此(,)k d r x ε=即()k r x k →→∞，从而知n Q 在n R 中稠密．□例1.3.2 连续函数空间[,]C a b 是可分的．{具有有理系数的多项式的全体[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，而[,]o P a b 是可列集．}证明 显然[,]o P a b 是可列集．()[,]x t C a b ∀∈，由Weierstrass 多项式逼近定理知，()x t 可表示成一致收敛的多项式的极限，即0ε∀>，存在(实系数)多项式()p t ε，使得(,)max |()()|2a t bd x p x t p t εεε≤≤=-<另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式00()[,]p t P a b ∈，使得00(,)max |()()|2a t bd p p p t p t εεε≤≤=-<因此，00(,)(,)(,)d x p d x p d p p εεε≤+<，即0()(,)p t O x ε∈，在[,]C a b 中任意点()x t 的任意邻域内必有[,]o P a b 中的点，按照定义知[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密．□例1.3.3 p 次幂可积函数空间[,]p L a b 是可分的．证明 由于[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，又知[,]C a b 在[,]p L a b 中稠密，便可知可数集[,]o P a b 在[,]p L a b 中稠密．□例1.3.4 p 次幂可和的数列空间p l 是可分的．证明 取12{(,,,,0,,0,)|,}o n i E r r r r Q n =∈∈L L L N ，显然o E 等价于1n n Q ∞=U ，可知o E 可数，下面证o E 在p l 中稠密．12(,,,,)pn x x x x l ∀=∈L L ，有1||p i i x ∞=<+∞∑，因此0ε∀>，N ∃∈N ，当n N >时，1||2p pin N x ε∞=+<∑又因Q 在R 中稠密，对每个i x (1i N ≤≤)，存在i r Q ∈，使得||2p pi i x r Nε-<，(1,2,3,,)i N =L于是得1||2p Npiii x r ε=-<∑令0120(,,,,0,,0,)N x r r r E =∈L L L ，则11011(,)(||||)()22ppNppppi i iii i N d x x x r xεεε∞==+=-+<+=∑∑因此o E 在p l 中稠密．□例1.3.5 设[0,1]X =，则离散度量空间0(,)X d 是不可分的．证明 假设0(,)X d 是可分的，则必有可列子集{}n x X ⊂在X 中稠密．又知X 不是可列集，所以存在*x X ∈，*{}n x x ∉．取12δ=，则有 ***01(,)(,)2O x x d x x x δ⎧⎫=<=⎨⎬⎩⎭即*(,)O x δ中不含{}n x 中的点，与{}n x 在X 中稠密相矛盾．□思考题: 离散度量空间0(,)X d 可分的充要条件为X 是可列集．注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如 (0.625)10=(0.101)2 0.625⨯2=1.25取1；0.25⨯2=0.50取0；0.5⨯2=1.00取1．二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2)，第二位为1则加上0.25(1/4)，第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推．即1221011(0.)()2nn i ii x x x x ==∑L ，例如 (0.101)2=1010111(101)(0.625)248=⨯+⨯+⨯=．因此[0,1]与子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===L L 或对等，由[0,1]不可数知A 不可列．例1.3.6 有界数列空间l ∞是不可分的．12{(,,,,)=()| }n i l x x x x x x ∞==L L 为有界数列，对于()i x x =，()i y y =∈l ∞，距离定义为1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-．证明 考虑l ∞中的子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===L L 或，则当,x y A ∈,x y ≠时，有(,)1d x y =．因为[0,1]中每一个实数可用二进制表示，所以A 与[0,1]一一对应，故A 不可列．假设l ∞可分，即存在一个可列稠密子集0A ，以0A 中每一点为心，以13为半径作开球，所有这样的开球覆盖l ∞，也覆盖A ．因0A 可列，而A 不可列，则必有某开球内含有A 的不同的点，设x 与y 是这样的点，此开球中心为0x ，于是001121(,)(,)(,)333d x y d x x d x y =≤+<+=矛盾，因此l ∞不可分．□1.3.2 度量空间的完备性实数空间R 中任何基本列(Cauchy 列)必收敛．即基本列和收敛列在R 中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间．定义1.3.3 基本列设{}n x 是度量空间X 中的一个点列，若对任意0ε>，存在N ，当,m n N >时，有(,)m n d x x ε<则称{}n x 是X 中的一个基本列(或Cauchy 列）． 定理1.3.3 (基本列的性质) 设(,)X d 是度量空间，则 (1) 如果点列{}n x 收敛，则{}n x 是基本列； (2) 如果点列{}n x 是基本列，则{}n x 有界；(3) 若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点． 证明 (1) 设{}n x X ⊂，x X ∈，且n x x →．则0ε∀>，N N ∃∈，当n N >时，(,)2n d x x ε<，从而n ，m N >时，(,)(,)(,)22n m n m d x x d x x d x x εεε≤+<+=．即得{}n x 是基本列．(2) 设{}n x 为一基本列，则对1ε=，存在N ，当n N >时，有1(,)1N n d x x ε+<=，记11211max{(,),(,),,(,),1}1N N N N M d x x d x x d x x +++=+L ，那么对任意的,m n ，均有11(,)(,)(,)2n m n N m N d x x d x x d x x M M M ++≤+<+=，即{}n x 有界．(3) 设{}n x 为一基本列，且{}kn x 是{}n x 的收敛子列，().kn x x k →→∞于是，10,N ε∀>∃∈N ，当1,m n N >时，(,)2n m d x x ε<；2N ∃∈N ，当2k N >时，(,)2kn d x x ε<．取12max{,}N N N =，则当n N >，k N >时，k n k N ≥>，从而有(,)(,)(,)22k k n n n n d x x d x x d x x εεε≤+<+=，故()n x x n →→∞．□注4：上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列(Cauchy 列)，那么基本列是收敛列吗？ 例1.3.7 设(0,1)X =，,x y X ∀∈，定义(,)d x y x y =-，那么度量空间(,)X d 的点列1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭是X 的基本列，却不是X 的收敛列．证明 对于任意的0ε>，存在N ∈N ，使得1N ε>，那么对于m N a =+及n N b =+，其中,a b ∈N ，有11(,)11(1)(1)n m n m a bd x x x x N b N a N a N b -=-=-=++++++++max{,}1(1)(1)a b a b N a N b Na Nb Nε+<<=<+++++，即得{}n x 是基本列．显然1lim 01n X n →∞=∉+，故{}n x 不是X 的收敛列．或者利用1{}{}1n x n =+是R 上的基本列，可知0ε∀>，N ∃∈N ，当,n m N >时有 1111n m ε-<++．于是可知1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭也是X 上的基本列．□ 如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间．定义1.3.4 完备性如果度量空间X 中的任何基本列都在X 中收敛，则称X 是完备的度量空间． 例1.3.8 n 维欧氏空间n R 是完备的度量空间．证明 由n R 中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及R 的完备性易得．□ 例1.3.9 连续函数空间[,]C a b 是完备的度量空间．(距离的定义：[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-)证明 设{}n x 是[,]C a b 中的基本列，即任给0ε>,存在N ，当,m n N >时，(,)m n d x x ε<即[,]max ()()m n t a b x t x t ε∈-<故对所有的[,]t a b ∈,()()m n x t x t ε-<，由一致收敛的Cauchy 准则，知存在连续函数()x t ，使{()}n x t 在[,]a b 上一致收敛于()x t ，即(,)0()m d x x n →→∞,且[,]x C a b ∈.因此[,]C a b 完备．□例1.3.10 设[0,1]X C =，(),()f t g t X ∈，定义110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰，那么1(,)X d 不是完备的度量空间．(注意到例1.3.9结论(,)X d 完备)证明 设10 021111()() 222111 12n t f t n t t n t n ⎧≤<⎪⎪⎪=-≤<+⎨⎪⎪+≤≤⎪⎩()[0,1]n f t C ∈的图形如图1.3.1所示．显然()[0,1]n f t C ∈，1,2,3,n =L ．因为1(,)m n d f f 是下面右图中的三角形面积，所以0ε∀>，1N ε∃>，当,m n N >时，有1111(,)2m n d f f n mε=-<，112m ma =+112n na =+|()()|m n S f t f t dx∆=-⎰图1.3.1 ()[0,1]n f t C ∈图像及有关积分示意图于是{}n f 是X 的基本列．下面证{}n f 在X 中不收敛．若存在()f t X ∈，使得1(,)0()n d f f n →→∞．由于1(,)n d f f 1|()()|n f t f t dt =-⎰111221112210|()||()()||1()|n nn f t dt f t f t dt f t dt ++=+-+-⎰⎰⎰，显然上式右边的三个积分均非负，因此1(,)0n d f f →时，每个积分均趋于零．推得1212[0,]0()(,1]1t f t t ∈⎧=⎨∈⎩ 可见()f t 不连续，故{}n f 在X 中不收敛，即[0,1]C 在距离1d下不完备．□表1.3.1 常用空间的可分性与完备性度量空间距离 可分性 完备性n 维欧氏空间(,)nR d(,)d x y √ √ 离散度量空间0(,)X dX 可数00 (,)1x y d x y x y =⎧=⎨≠⎩当时 当时√√X 不可数×√ 连续函数空间[,]C a b[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-√ √1(,)()()bad f g f x g x dx =-⎰√×有界数列空间l ∞1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-× √ p 次幂可和的数列空间p l 11(,)||pp p i i i d x y x y ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑√√ p 次幂可积函数空间([,],)p L a b d1[,](,)(|()()|)ppa b d f g f t g t dt =-⎰√√由于有理数系数的多项式函数集0[,]P a b 是可列的，以及0[,]P a b 在[,]P a b 、[,]C a b 、[,]B a b 以及[,]p L a b 中稠密，可知闭区间[,]a b 上多项式函数集[,]P a b 、连续函数集[,]C a b 、有界可测函数集[,]B a b 、p 次幂可积函数集[,]p L a b 均是可分的．前面的例子说明n 维欧氏空间n R 以及p 次幂可和的数列空间p l 也是可分空间，而有界数列空间l ∞和不可数集X 对应的离散度量空间0(,)X d 是不可分的．从上面的例子及证明可知，n 维欧氏空间n R 是完备的度量空间，但是按照欧氏距离(0,1)X =却不是完备的；连续函数空间[,]C a b 是完备的度量空间，但是在积分定义的距离110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰下，[0,1]C 却不完备．由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的．我们还可以证明p 次幂可和的数列空间p l 是完备的度量空间，p 次幂可积函数空间[,](1)p L a b p ≥是完备的度量空间，有界数列空间的完备性．通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3所示．在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理． 定理1.3.4 (闭球套定理)设(,)X d 是完备的度量空间，(,)n n n B O x δ=是一套闭球：12n B B B ⊃⊃⊃⊃L L ．如果球的半径0()n n δ→→∞，那么存在唯一的点1n n x B ∞=∈I ．证明 (1)球心组成的点列{}n x 为X 的基本列．当m n >时，有m m n x B B ∈⊂((,)n n O x δ=)，可得(,)m n n d x x δ≤． (2.4)0ε∀>,取N ，当n N >时，使得n δε<，于是当,m n N >时，有(,)m n n d x x δε≤<，所以{}n x 为X 的基本列．(2)x 的存在性．由于(,)X d 是完备的度量空间，所以存在点x X ∈，使得lim n n x x →∞=．令(2.4)式中的m →∞，可得(,)n n d x x δ≤即知n x B ∈，1,2,3,n =L ，因此1n n x B ∞=∈I ．(3) x 的唯一性．设还存在y X ∈，满足1n n y B ∞=∈I ，那么对于任意的n ∈N ，有,n x y B ∈，从而(,)(,)(,)20n n n d x y d x x d x y δ≤+≤→()n →∞，于是x y =．□注4：完备度量空间的另一种刻画：设(,)X d 是一度量空间，那么X 是完备的当且仅当对于X 中的任何一套闭球：12n B B B ⊃⊃⊃⊃L L ，其中(,)n n n B O x δ=，当半径0()n n δ→→∞，必存在唯一的点1n n x B ∞=∈I ．大家知道1lim(1)n n e n→∞+=，可见有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用．对于一般的度量空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用．那么是否对于任一不完备的度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢？下面的结论给出了肯定的回答．定义1.3.5 等距映射设(,)X d ，(,)Y ρ是度量空间，如果存在一一映射:T X Y →，使得12,x x X ∀∈，有1212(,)(,)d x x Tx Tx ρ=，则称T 是X 到Y 上的等距映射，X 与Y 是等距空间(或等距同构空间)．注5：从距离的角度看两个等距的度量空间，至多是两个空间里的属性不同，是同一空间的两个不同模型．另外度量空间中的元素没有运算，与(,)X d 相关的数学命题，通过等距映射T ，使之在(,)Y ρ中同样成立．因此把等距同构的(,)X d 和(,)Y ρ可不加区别而看成同一空间．定义1.3.6 完备化空间设X 是一度量空间，Y 是一完备的度量空间，如果Y 中含有与X 等距同构且在Y 中稠密的子集Y'，则称Y 是X 的一个完备化空间．图1.3.2 度量空间X 的完备化示意图定理1.3.5 (完备化空间的存在与唯一性)对于每一个度量空间X ，必存在一个完备化的度量空间Y ，并且在等距同构意义下Y 是唯一确定的．例1.3.11 设,(,)x y R ∈=-∞+∞，定义距离(,)|arctan arctan |d x y x y =-，试证(,)R d 不是完备的空间．证明 取点列{}n x R ⊂，其中n x n =，注意lim arctan 2n n x π→∞=，显然不存在一点x R ∈，使得(,)|arctan arctan |0()n n d x x x x n =-→→∞．所以点列{}n x 在R 中没有极限．由于lim arctan 2x x π→∞=，即0ε∀>，N ∃，当,m n N >时，有|arctan |22m πε-<，|arctan |22n πε-<，于是(,)|arctan arctan |n m n m d x x x x =-|arctan ||arctan |22n m x x ππε≤-+-<因此点列{}n x 是基本列，却不是收敛列．□（此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容，供参考，感谢您的配合和支持）编辑版word。
13 度量空间的可分性与完备性
1、3 度量空间的可分性与完备性在实数空间R 中,有理数处处稠密,且全体有理数就是可列的,我们称此性质为实数空间R 的可分性.同时,实数空间R 还具有完备性,即R 中任何基本列必收敛于某实数.现在我们将这些概念推广到一般度量空间.1.3.1 度量空间的可分性定义 1.3.1 设X 就是度量空间,,A B X ⊂,如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点,则称A 在B 中稠密.若A B ⊂,通常称A 就是B 的稠密子集.注1:A 在B 中稠密并不意味着有A B ⊂.例如有理数在无理数中稠密;有理数也在实数中稠密.无理数在有理数中就是稠密的,无理数在实数中也就是稠密的,说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数.定理1.3.1 设(,)X d 就是度量空间,下列命题等价: (1) A 在B 中稠密;(2) x B ∀∈,{}n x A ∃⊂,使得lim (,)0n n d x x →∞=;(3) B A ⊂(其中A A A '=,A 为A 的闭包,A '为A 的导集(聚点集)); (4) 任取0δ>,有(,)x AB O x δ∈⊂.即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合覆盖B .证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得.定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 就是度量空间,,,A B C X ⊂,若A 在B 中稠密,B 在C 中稠密,则A 在C 中稠密.证明 由定理1、1知B A ⊂,C B ⊂,而B 就是包含B 的最小闭集,所以B B A ⊂⊂,于就是有C A ⊂,即A 在C 中稠密.□注2:利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限.}(1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密. 参考其它资料可知:(2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密.(3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞). 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得:(4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞). 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ⊂⊂⊂.定义1.3.2 设X 就是度量空间,A X ⊂,如果存在点列{}n x A ⊂,且{}n x 在A 中稠密,则称A 就是可分点集(或称可析点集).当X 本身就是可分点集时,称X 就是可分的度量空间.注3:X 就是可分的度量空间就是指在X 中存在一个稠密的可列子集.例1.3.1 欧氏空间n R 就是可分的.{坐标为有理数的点组成的子集构成n R 的一个可列稠密子集.}证明 设12{(,,,)|,1,2,,}n n i Q r r r r Q i n =∈=为n R 中的有理数点集,显然n Q 就是可数集,下证n Q 在n R 中稠密.对于n R 中任意一点12(,,,)n x x x x =,寻找n Q 中的点列{}k r ,其中12(,,,)k k k k n r r r r =,使得()k r x k →→∞.由于有理数在实数中稠密,所以对于每一个实数i x (1,2,,i n =),存在有理数列()k i i r x k →→∞、于就是得到n Q 中的点列{}k r ,其中12(,,,)k k k k n r r r r =,1,2,.k =现证()k r x k →→∞.0ε∀>,由()k i i r x k →→∞知,i K ∃∈N ,当i k K >时,有||ki i r x -<1,2,,i n =取12max{,,,}n K K K K =,当k K >时,对于1,2,,i n =,都有||k i i r x -<因此(,)k d r x ε=即()k r x k →→∞,从而知n Q 在n R 中稠密.□例 1.3.2 连续函数空间[,]C a b 就是可分的.{具有有理系数的多项式的全体[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密,而[,]o P a b 就是可列集.}证明 显然[,]o P a b 就是可列集.()[,]x t C a b ∀∈,由Weierstrass 多项式逼近定理知,()x t 可表示成一致收敛的多项式的极限,即0ε∀>,存在(实系数)多项式()p t ε,使得(,)max |()()|2a t bd x p x t p t εεε≤≤=-<另外,由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式00()[,]p t P a b ∈,使得00(,)max |()()|2a t bd p p p t p t εεε≤≤=-<因此,00(,)(,)(,)d x p d x p d p p εεε≤+<,即0()(,)p t O x ε∈,在[,]C a b 中任意点()x t 的任意邻域内必有[,]o P a b 中的点,按照定义知[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密.□例1.3.3 p 次幂可积函数空间[,]p L a b 就是可分的.证明 由于[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密,又知[,]C a b 在[,]p L a b 中稠密,便可知可数集[,]o P a b 在[,]p L a b 中稠密.□例1.3.4 p 次幂可与的数列空间p l 就是可分的.证明 取12{(,,,,0,,0,)|,}o n i E r r r r Q n =∈∈N ,显然o E 等价于1n n Q ∞=,可知o E 可数,下面证o E 在p l 中稠密.12(,,,,)p n x x x x l ∀=∈,有1||p i i x ∞=<+∞∑,因此0ε∀>,N ∃∈N ,当n N >时,1||2p pin N x ε∞=+<∑又因Q 在R 中稠密,对每个i x (1i N ≤≤),存在i r Q ∈,使得||2p pi i x r Nε-<,(1,2,3,,)i N =于就是得1||2p Npiii x r ε=-<∑令0120(,,,,0,,0,)N x r r r E =∈,则11011(,)(||||)()22ppNppppi i iii i N d x x x r xεεε∞==+=-+<+=∑∑因此o E 在p l 中稠密.□例1.3.5 设[0,1]X =,则离散度量空间0(,)X d 就是不可分的.证明 假设0(,)X d 就是可分的,则必有可列子集{}n x X ⊂在X 中稠密.又知X 不就是可列集,所以存在*x X ∈,*{}n x x ∉.取12δ=,则有 ***01(,)(,)2O x x d x x x δ⎧⎫=<=⎨⎬⎩⎭即*(,)O x δ中不含{}n x 中的点,与{}n x 在X 中稠密相矛盾.□思考题: 离散度量空间0(,)X d 可分的充要条件为X 就是可列集.注意:十进制小数转可转化为二进制数:乘2取整法,即乘以2取整,顺序排列,例如 (0、625)10=(0、101)2 0、625⨯2=1、25取1;0、25⨯2=0、50取0;0、5⨯2=1、00取1. 二进制小数可转化为十进制小数,小数点后第一位为1则加上0、5(即1/2),第二位为1则加上0、25(1/4),第三位为1则加上0、125(1/8)以此类推.即1221011(0.)()2nn i ii x x x x ==∑,例如 (0、101)2=1010111(101)(0.625)248=⨯+⨯+⨯=. 因此[0,1]与子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===或对等,由[0,1]不可数知A 不可列.例1.3.6 有界数列空间l ∞就是不可分的.12{(,,,,)=()| }n i l x x x x x x ∞==为有界数列,对于()i x x =,()i y y =∈l ∞,距离定义为1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-.证明 考虑l ∞中的子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===或,则当,x y A ∈,x y ≠时,有(,)1d x y =.因为[0,1]中每一个实数可用二进制表示,所以A 与[0,1]一一对应,故A 不可列.假设l ∞可分,即存在一个可列稠密子集0A ,以0A 中每一点为心,以13为半径作开球,所有这样的开球覆盖l ∞,也覆盖A .因0A 可列,而A 不可列,则必有某开球内含有A 的不同的点,设x 与y 就是这样的点,此开球中心为0x ,于就是001121(,)(,)(,)333d x y d x x d x y =≤+<+=矛盾,因此l ∞不可分.□1.3.2 度量空间的完备性实数空间R 中任何基本列(Cauchy 列)必收敛.即基本列与收敛列在R 中就是等价的,现在将这些概念推广到一般的度量空间.定义1.3.3 基本列设{}n x 就是度量空间X 中的一个点列,若对任意0ε>,存在N ,当,m n N >时,有(,)m n d x x ε<则称{}n x 就是X 中的一个基本列(或Cauchy 列).定理1.3.3 (基本列的性质) 设(,)X d 就是度量空间,则 (1) 如果点列{}n x 收敛,则{}n x 就是基本列; (2) 如果点列{}n x 就是基本列,则{}n x 有界;(3) 若基本列含有一收敛子列,则该基本列收敛,且收敛到该子列的极限点. 证明 (1) 设{}n x X ⊂,x X ∈,且n x x →.则0ε∀>,N N ∃∈,当n N >时,(,)2n d x x ε<,从而n ,m N >时,(,)(,)(,)22n m n m d x x d x x d x x εεε≤+<+=.即得{}n x 就是基本列.(2) 设{}n x 为一基本列,则对1ε=,存在N ,当n N >时,有1(,)1N n d x x ε+<=,记11211max{(,),(,),,(,),1}1N N N N M d x x d x x d x x +++=+,那么对任意的,m n ,均有11(,)(,)(,)2n m n N m N d x x d x x d x x M M M ++≤+<+=,即{}n x 有界.(3) 设{}n x 为一基本列,且{}kn x 就是{}n x 的收敛子列,().kn x x k →→∞于就是,10,N ε∀>∃∈N ,当1,m n N >时,(,)2n m d x x ε<;2N ∃∈N ,当2k N >时,(,)2kn d x x ε<.取12max{,}N N N =,则当n N >,k N >时,k n k N ≥>,从而有(,)(,)(,)22k k n n n n d x x d x x d x x εεε≤+<+=,故()n x x n →→∞.□注4:上述定理1.3.3表明收敛列一定就是基本列(Cauchy 列),那么基本列就是收敛列不？ 例 1.3.7 设(0,1)X =,,x y X ∀∈,定义(,)d x y x y =-,那么度量空间(,)X d 的点列1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭就是X 的基本列,却不就是X 的收敛列.证明 对于任意的0ε>,存在N ∈N ,使得1N ε>,那么对于m N a =+及n N b =+,其中,a b ∈N ,有11(,)11(1)(1)n m n m a bd x x x x N b N a N a N b -=-=-=++++++++ max{,}1(1)(1)a b a b N a N b Na Nb Nε+<<=<+++++,即得{}n x 就是基本列.显然1lim 01n X n →∞=∉+,故{}n x 不就是X 的收敛列.或者利用1{}{}1n x n =+就是R 上的基本列,可知0ε∀>,N ∃∈N ,当,n m N >时有 1111n m ε-<++.于就是可知1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭也就是X 上的基本列.□ 如果一个空间中的基本列都收敛,那么在此空间中不必找出序列的极限,就可以判断它就是否收敛,哪一类度量空间具有此良好性质呢？就是完备的度量空间.定义1.3.4 完备性如果度量空间X 中的任何基本列都在X 中收敛,则称X 就是完备的度量空间. 例1.3.8 n 维欧氏空间n R 就是完备的度量空间.证明 由n R 中的点列收敛对应于点的各坐标收敛,以及R 的完备性易得.□ 例1.3.9 连续函数空间[,]C a b 就是完备的度量空间.(距离的定义:[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-)证明 设{}n x 就是[,]C a b 中的基本列,即任给0ε>,存在N ,当,m n N >时,(,)m n d x x ε<即[,]max ()()m n t a b x t x t ε∈-<故对所有的[,]t a b ∈,()()m n x t x t ε-<,由一致收敛的Cauchy 准则,知存在连续函数()x t ,使{()}n x t 在[,]a b 上一致收敛于()x t ,即(,)0()m d x x n →→∞,且[,]x C a b ∈、因此[,]C a b 完备.□例 1.3.10 设[0,1]X C =,(),()f t g t X ∈,定义110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰,那么1(,)X d 不就是完备的度量空间.(注意到例1、3、9结论(,)X d 完备)证明 设10 021111()() 222111 12n t f t n t t n t n ⎧≤<⎪⎪⎪=-≤<+⎨⎪⎪+≤≤⎪⎩()[0,1]n f t C ∈的图形如图1.3.1所示.显然()[0,1]n f t C ∈,1,2,3,n =.因为1(,)m n d f f 就是下面右图中的三角形面积,所以0ε∀>,1N ε∃>,当,m n N >时,有1111(,)2m n d f f n mε=-<,112m ma =+112n na =+|()()|m n S f t f t dx∆=-⎰图1.3.1 ()[0,1]n f t C ∈图像及有关积分示意图于就是{}n f 就是X 的基本列.下面证{}n f 在X 中不收敛.若存在()f t X ∈,使得1(,)0()n d f f n →→∞.由于1(,)n d f f 10|()()|n f t f t dt =-⎰111221112210|()||()()||1()|n nn f t dt f t f t dt f t dt++=+-+-⎰⎰⎰,显然上式右边的三个积分均非负,因此1(,)0n d f f →时,每个积分均趋于零.推得1212[0,]0()(,1]1t f t t ∈⎧=⎨∈⎩ 可见()f t 不连续,故{}n f 在X 中不收敛,即[0,1]C 在距离1d 下不完备.□表1.3.1 常用空间的可分性与完备性度量空间距离 可分性 完备性n 维欧氏空间(,)nR d(,)d x y √ √ 离散度量空间0(,)X dX 可数 00 (,)1x y d x y x y =⎧=⎨≠⎩当时当时√√ X 不可数× √ 连续函数空间[,]C a b[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-√ √1(,)()()bad f g f x g x dx =-⎰√× 有界数列空间l ∞1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-× √ p 次幂可与的数列空间p l 11(,)||pp p i i i d x y x y ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑√√ p 次幂可积函数空间([,],)p L a b d1[,](,)(|()()|)ppa b d f g f t g t dt =-⎰√√由于有理数系数的多项式函数集0[,]P a b 就是可列的,以及0[,]P a b 在[,]P a b 、[,]C a b 、[,]B a b 以及[,]p L a b 中稠密,可知闭区间[,]a b 上多项式函数集[,]P a b 、连续函数集[,]C a b 、有界可测函数集[,]B a b 、p 次幂可积函数集[,]p L a b 均就是可分的.前面的例子说明n 维欧氏空间n R 以及p 次幂可与的数列空间p l 也就是可分空间,而有界数列空间l ∞与不可数集X 对应的离散度量空间0(,)X d 就是不可分的.从上面的例子及证明可知,n 维欧氏空间n R 就是完备的度量空间,但就是按照欧氏距离(0,1)X =却不就是完备的;连续函数空间[,]C a b 就是完备的度量空间,但就是在积分定义的距离110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰下,[0,1]C 却不完备.由于离散度量空间中的任何一个基本列只就是同一个元素的无限重复组成的点列,所以它就是完备的.我们还可以证明p 次幂可与的数列空间p l 就是完备的度量空间,p 次幂可积函数空间[,](1)p L a b p ≥就是完备的度量空间,有界数列空间的完备性.通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3所示.在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理,就就是下述的闭球套定理. 定理1.3.4 (闭球套定理)设(,)X d 就是完备的度量空间,(,)n n n B O x δ=就是一套闭球:12n B B B ⊃⊃⊃⊃.如果球的半径0()n n δ→→∞,那么存在唯一的点1n n x B ∞=∈.证明 (1)球心组成的点列{}n x 为X 的基本列.当m n >时,有m m n x B B ∈⊂((,)n n O x δ=),可得(,)m n n d x x δ≤. (2、4)0ε∀>,取N ,当n N >时,使得n δε<,于就是当,m n N >时,有(,)m n n d x x δε≤<,所以{}n x 为X 的基本列.(2)x 的存在性.由于(,)X d 就是完备的度量空间,所以存在点x X ∈,使得lim n n x x →∞=.令(2、4)式中的m →∞,可得(,)n n d x x δ≤即知n x B ∈,1,2,3,n =,因此1n n x B ∞=∈.(3) x 的唯一性.设还存在y X ∈,满足1n n y B ∞=∈,那么对于任意的n ∈N ,有,n x y B ∈,从而(,)(,)(,)20n n n d x y d x x d x y δ≤+≤→()n →∞,于就是x y =.□注4:完备度量空间的另一种刻画:设(,)X d 就是一度量空间,那么X 就是完备的当且仅当对于X 中的任何一套闭球:12n B B B ⊃⊃⊃⊃,其中(,)n n n B O x δ=,当半径0()n n δ→→∞,必存在唯一的点1n n x B ∞=∈.大家知道1lim(1)n n e n→∞+=,可见有理数空间就是不完备的,但添加一些点以后得到的实数空间就是完备的,而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用.对于一般的度量空间也就是一样,完备性在许多方面起着重要作用.那么就是否对于任一不完备的度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢？下面的结论给出了肯定的回答.定义1.3.5 等距映射设(,)X d ,(,)Y ρ就是度量空间,如果存在一一映射:T X Y →,使得12,x x X ∀∈,有1212(,)(,)d x x Tx Tx ρ=,则称T 就是X 到Y 上的等距映射,X 与Y 就是等距空间(或等距同构空间).注5:从距离的角度瞧两个等距的度量空间,至多就是两个空间里的属性不同,就是同一空间的两个不同模型.另外度量空间中的元素没有运算,与(,)X d 相关的数学命题,通过等距映射T ,使之在(,)Y ρ中同样成立.因此把等距同构的(,)X d 与(,)Y ρ可不加区别而瞧成同一空间.定义1.3.6 完备化空间设X 就是一度量空间,Y 就是一完备的度量空间,如果Y 中含有与X 等距同构且在Y 中稠密的子集Y',则称Y 就是X 的一个完备化空间.图1.3.2 度量空间X 的完备化示意图定理1.3.5 (完备化空间的存在与唯一性)对于每一个度量空间X ,必存在一个完备化的度量空间Y ,并且在等距同构意义下Y 就是唯一确定的.例 1.3.11 设,(,)x y R ∈=-∞+∞,定义距离(,)|arctan arctan |d x y x y =-,试证(,)R d 不就是完备的空间.证明 取点列{}n x R ⊂,其中n x n =,注意lim arctan 2n n x π→∞=,显然不存在一点x R ∈,使得(,)|arctan arctan |0()n n d x x x x n =-→→∞.所以点列{}n x 在R 中没有极限.由于lim arctan 2x x π→∞=,即0ε∀>,N ∃,当,m n N >时,有|arctan |22m πε-<,|arctan |22n πε-<,于就是(,)|arctan arctan |n m n m d x x x x =-|arctan ||arctan |22n m x x ππε≤-+-<因此点列{}n x 就是基本列,却不就是收敛列.□。
1.3空间向量及其运算的坐标表示(教学课件)高二数学选择性高效课堂(人教A版2019)(2)
新课探究
问题1
我们是如何建立平面向量的坐标表示的?你能类比平面直角 坐标系与平面向量单位正交基的关系，你能利用空间向量 单位正交基底概念构建空间直角坐标系吗?
y
j
在平面内选定一点O 和一个单位正交 i, j 基底,以O 为原点,分别
以 i, j 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴: x
因例例此如如，：：只当当有bb
与b与1,平平b2面面, bOO3xxy均y平平不行行为时时0，时，b，33=a0∥..此b此时时
aa13 bb13
ab33 无无a意2意义义a..3 b2 b3
.
特殊地，当 b 0 时，b 与任意向量平行.
新课探究
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设 a (a1, a2 ), b (b1, b2 ),
新课探究
追问1：如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？
平面向量的特殊位置关系
平面向量的特殊位置关系
设 a (a1, a2 ), b (b1, b2 ),
当b 0时， a∥b a=b R
(a1, a2 ) (b1, b2 )
aa12
b1,
b2 .
R
a1b2 a2b1 0.
yOz平面
设 a (a , a , a ), b (b , b , b ), 1 2
3
a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 ),
123
当 b 0时，a∥b a=b R
(a1, a2 , a3 ) (b1, b2 , b3 )
a1 b1,
a2 b2, R
有了空间向量的坐标表示,你能类比平面向量的坐标运算,得出空间向量运 算的坐标表示并给出证明吗?请同学们类比平面向量运算的坐标表示研究 空间向量运算的坐标表示，独立完成下列表格，并进行小组交流
度量空间的大尺度几何与高指标问题(特约稿)
XX
定义 2.2
[1-2]
Hilbert 空间
2
( X , H ) 上的局部紧、有限传播算子全体构成一个*-代数，其算子范数闭包
黄 渊，王 勤，王显金
（东华大学理学院应用数学系，上海 201620）
摘 要：粗几何上的指标理论是“非交换几何”领域近年来非常活跃的研究分支，与几何、拓扑、算子代数、几何 群论、 Banach 空间几何理论等都有密切联系。 对该领域的若干思想、 主要问题和部分最新研究进展进行综述性介绍。 关键词：粗几何；非交换几何；算子代数；指标理论 中图分类号：O177.1 文献标志码：A
2
上海第二工业大学学报
2011 年 第 28 卷
d ( x, y) R d ( f ( x), f ( y)) S ；
(2) f 具有度量真性（metrically proper） ：对任何有界子集 B Y ，逆象 f 1 ( B) 在 X 中是有界的。 定义 1.2[1-2] (1) 称两个粗映射 f , g : X Y 是粗等价的，如果存在常数 K 0 ，使得对所有 x X ，有
和取整数映射 i :Fra bibliotek建立了
的粗等价。粗几何研究的度量空间通常要求具有“真性” （properness） ，即有界闭
子集都是紧集。所有完备黎曼流形和有限生成离散群都是真性度量空间。设 是一个有限生成群， S 是其 有限生成集，则在 上有关于 S 的“字长度量” 。 中的每个元都能表示成“单词” ， 1 2 … n ，其中
可以表示成作用在希尔伯
上的对角 2 2 矩阵代数。
A C( X ) 0 : , 0 2 M 2 ( ) B( ( X )) B( )
13度量空间的可分性与完备性
1.3度量空间的可分性与完备性在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性•同时，实数空间R还具有完备性，即R中任何基本列必收敛于某实数•现在我们将这些概念推广到一般度量空间.1.3.1度量空间的可分性定义1.3.1 设X是度量空间，A,B X，如果B中任意点x B的任何邻域0(x,)内都含有A的点，则称A在B中稠密•若A B，通常称A是B的稠密子集•注1 : A在B中稠密并不意味着有 A B .例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密.无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数.定理1.3.1 设(X,d)是度量空间，下列命题等价：(1)A在B中稠密；(2)x B，｛xJ A，使得limd (人，x) 0 ;n(3) B A(其中A AU A , A为A的闭包，A为A的导集(聚点集));(4)任取0,有B U O(x,).即由以A中每一点为中心为半径的开球组成的集合x A覆盖B .证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得.稠密集的传递性设X是度量空间，A,B,C X，若A在B中稠密，B在定理 1.3.2C中稠密，则A在C中稠密.证明由定理1.1知B A , C B，而B是包含B的最小闭集，所以 B B A，于是有C A，即A在C中稠密.口注2：利用维尔特拉斯定理可证得｛定理(Weierstrass 多项式逼近定理)闭区间［a,b］上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限. ｝(1) 多项式函数集P［a,b］在连续函数空间C［a,b］中稠密.参考其它资料可知：(2) 连续函数空间C［a, b］在有界可测函数集B［a,b］中稠密.(3) 有界可测函数集B［a,b］在p次幕可积函数空间L p［a,b］中稠密(1 p ).利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：⑷连续函数空间C［a,b］在p次幕可积函数空间L p［a,b］中稠密(1 p ).因此有P[a,b] C[a,b] B[a,b] L p[a,b].定义1.3.2 设X是度量空间，A X，如果存在点列｛x n｝ A，且｛X n｝在A中稠密,则称A是可分点集(或称可析点集).当X本身是可分点集时，称X是可分的度量空间.注3: X 是可分的度量空间是指在 X 中存在一个稠密的可列子集 .例1.3.1 欧氏空间R n 是可分的.｛坐标为有理数的点组成的子集构成R n 的一个可列稠密子集.｝证明 设Q n ｛( r ,r 2 L ,r n )|n Q,i 1,2,L , n ｝为R n 中的有理数点集，显然Q n 是可数集，下证Q n 在R n 中稠密.d (x,p ) max |x(t) p (t)| 2另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式 p b (t) P 0[a,b]，使得d(p , P o ) max | p (t) P o (t) | -a t b2因此，d(x, p o ) d (x, p ) d(p , p o ) ，即 p o (t) O(x,)，在 C[a,b]中任意点 x(t)的任意邻域 内必有F 0[a,b]中的点，按照定义知P o [a,b]在C[a,b]中稠密.口例1.3.3p 次幕可积函数空间 L p [a, b]是可分的.证明 由于F 0[a,b]在C[a,b]中稠密，又知C[a,b]在L p [a,b]中稠密，便可知可数集F 0[a,b]在L p [a,b]中稠密.口例1.3.4 p 次幕可和的数列空间l p 是可分的.证明 取 E 。