泛函分析中的度量空间
泛函分析度量空间知识和不动点的应用
泛函分析度量空间知识和不动点的应用第七章度量空间和赋范线性空间知识总结 一、度量空间的例子定义：设X 为一个集合，一个映射d ：X ×X →R 。
若对于任何x,y,z 属于X ，有 （I ）（正定性）d(x,y ）≥0，且d(x,y)=0当且仅当 x = y ； （Ⅱ）（对称性）d(x,y)=d(y,x ）；（Ⅲ）（三角不等式）d(x,z ）≤d(x,y)+d(y,z ）则称d 为集合X 的一个度量（或距离）。
称偶对（X ，d ）为一个度量空间，或者称X 为一个对于度量d 而言的度量空间。
根据定义引入度量空间有离散的度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间、C 【a ，b 】空间、2l 空间，这6个空间是根据度量空间的定义可证它们是度量空间，在后面几节中给出它们相关的性质。
二、度量空间中的极限，抽密集，可分空间： 证明极限有二种方法：1、定义法：设{}n x 是（X ，d ）中点列，如果存在x ∈X ，是lim (,)n x d x x →∞=0，则称点列{}n x是（X ，d ）中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。
2、M 是闭集是充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。
即若n x M ∈，n=1、，2……，n x x →，则x M ∈。
给出n 维欧氏空间、C[a,b]序列空间、可测函数空间中点列收敛的具体意义，由这些系列例子可以看到，尽管在各个具体空间中各种极限概念不完全一致，所以我们引入度量空间中的稠密子集和可分空间的概念，根据定义可得出n 维欧氏空间nR 是可分空间，坐标为有理数的全体是nR 的可数稠密集，离散度量空间X 可分的充要条件为X 是可数集。
l ∞是不可分空间。
三、连续映射证明度量空间的连续映射有四种方法：1、定义法：设X=（X ，d ），Y=（Y ，d ）是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射，0x X ∈，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ0，使对X 中一切满足d （x ，0x ）δ 的x ，有(,)d Tx Tx ε ，则称T 在0x 连续。
泛函分析第2章度量空间与赋范线性空间
泛函分析第2章度量空间与赋范线性空间泛函分析是数学中的一个重要分支，研究函数空间上的函数和运算的性质。
在泛函分析中，度量空间和赋范线性空间是两个基本的概念。
本文将介绍这两个概念以及它们的性质。
度量空间是一个集合X，其中定义了一个度量函数d：X×X→R，满足以下条件：1.非负性：对于任意的x，y∈X，有d(x,y)≥0，且当且仅当x=y时，d(x,y)=0；2.对称性：对于任意的x，y∈X，有d(x,y)=d(y,x)；3.三角不等式：对于任意的x，y，z∈X，有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)。
度量函数d可以看作是度量空间X中点之间的距离，由其性质可以推导出许多重要结论。
例如，由三角不等式的性质可以得出X中点列的收敛性质，即对于度量空间X中的点列{x_n}，如果存在x∈X，使得对于任意的ε>0，存在正整数N，当n≥N时，有d(x_n,x)<ε，那么称{x_n}收敛于x。
赋范线性空间是一个向量空间V，其中定义了一个范数函数∥·∥：V→R，满足以下条件：1.非负性：对于任意的x∈V，有∥x∥≥0，且当且仅当x=0时，∥x∥=0；2. 齐次性：对于任意的x∈V和实数a，有∥ax∥=，a，∥x∥；3.三角不等式：对于任意的x，y∈V，有∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。
范数函数∥·∥可以看作是赋范线性空间V中向量的长度或大小，具有度量空间的部分性质，如非负性和齐次性。
范数函数还满足一条重要的性质，即∥x+y∥≥，∥x∥-∥y∥，这被称为三角不等式强化定理。
度量空间和赋范线性空间都具有一些不同的性质和概念。
例如，度量空间中存在序列的收敛性质，而赋范线性空间中存在序列的收敛性质以及序列的Cauchy性质。
同时，度量空间和赋范线性空间都可以构建拓扑结构，使其成为一个拓扑空间。
在拓扑空间中，点列的收敛性质和序列的Cauchy性质是等价的。
此外，度量空间和赋范线性空间都是完备的，即满足序列的Cauchy 性质的序列都收敛于空间中的一些点。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
数学专业课复试专题系列——泛函分析（度量空间基本概念,空间上的范数,连续映射与开映射）
数学专业课复试专题系列——泛函分析（度量空间基本概念,空间上的范数,连续映
射与开映射）
泛函分析是数学专业的一门重要的基础课.一般在大三上半学期开设,需要对数学分析，高等代
数，常微分方程，实变函数，复变函数，拓扑学等前置课程的一些相关知识.泛函分析是较新的
一门学科，并且仍然在发展，目前相关理论已经得到了充分的发展，如算子谱理论已经发展到
了一个十分成熟的地步.这门课的课程内容十分丰富，通常来说一学期难以学完全部内容，故很
多学校会开设泛函分析续论这门课程，作为泛函分析课程的补充.泛函分析作为现代数学的三
大“基础”之一(另两门是拓扑学和近世代数)，对后续学习数理方程(Sobolev空间)，调和分析等课
程有很大的帮助.一般来说，初学的时候会给人以“泛函分析比实变函数简单”的认知，我并不否定
这一局限的认知.一般来说院校对于泛函分析的考察内容也较为基础，本次的整理内容来自夏道
行、吴卓人等所著的《实变函数与泛函分析(下册·第二版修订本)》，该书内容详实.本次整理内
容为度量空间基本概念,空间上的范数,连续映射与开映射.。
实变函数与泛函分析第2章
备课第二章用点集纸§1 度量空间， n 维欧氏空间教学目的 1、深刻理解 R n 中的距离、邻域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型 的点及点集中的作用. 2、理解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念， 理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念. 3、了解邻域的四条性质. 本节要点 度量空间的概念. 本节难点 度量空间的概念. 一、 度量空间 定义 1：设 X 为一非空集合， d ： X X R 为一映射，且满足 （1） d ( x , y ) 0 ， d ( x , y ) （2） d ( x , y ) （3） d ( x , y ) d ( y, x) 0 x y（正定性）（对称性） （三角不等式） d ( x, z ) d ( z, y )则称 ( X , d ) 为度量空间. 例 1: (1) 欧氏空间 ( R n , d ) ,其中 d ( x , y ) (xi 1ni yi )2(2)离散空间 ( X , d ) ，其中 d ( x , y ) 1 0x y x y(3) C a , b 空 间 ( C a , b 表 示 闭 区 间 a , b 上 实 值 连 续 函 数 全 体 ), 其 中d ( x , y ) m ax | x ( t ) y ( t ) |atb二、 邻域 定义2： 称集合 { P | d ( P , P0 ) } 为 P0 的 邻域，并记为 U ( P0 , ) . P0 称为邻域的中 心， 称为邻域的半径. 在不需要特别指出是什么样的半径时，也简称为 P0 的邻域，并记为 U ( P0 ) . 不难看出：点列 { Pm } 收敛于 P0 的充分必要条件是对任意 0 ，存在 N ，当第 页备m N课用纸时有： Pm U ( P0 ) .容易验证邻域具有下面的基本性质： 1)P U (P ) ；2) 对于 U 1 ( P ) 和 U 2 ( P ) ， 如果存在 P U 1 ( P ) U 2 ( P ) ，则存在U 3 (P ) U 1 (P ) U 2 (P )3) 对于 Q U ( P ) ，存在 U ( Q ) U ( P ) ； 4) 对于 Q P，存在 U ( Q ) 和 U ( P ) 满足 U ( Q ) U ( P )定义3：两个非空的点集 A , B 间的距离定义为d A, B P A ,Q Bin fd P,Q 注：1）如果 A , B 中至少有一个是空集，则规定 d A , B 0 ； 2）若 B X ，则记d A, B d A, X3）若 A B ，则 d A , B 0 。
泛函分析课程总结
泛函分析课程总结数学与计算科学学院 09数本5班 符翠艳 2009224524 序号：26 一．知识总结 第七章 度量空间和赋范线性空间 1. 度量空间的定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素,x y ，都有唯一确定的实数(),d x y 与之相对应，而且满足()()()()()()()1,0,,0=;2,,;3,,,,d x y d x y x y d x y d y x d x y d x z d z y z ≥=⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪≤+⎩⎭、的充要条件是、、对任意都成立。
则称d 为X 上的一个度量函数，（d X ,）为度量空间，),(y x d 为y x ,两点间的度量。
2. 度量空间的例子①离散的度量空间(),X d设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点,x y X ∈,令()1,,0,x y d x y x y ≠⎧⎫=⎨⎬=⎩⎭当当②序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中任意两点()()12n 12,,...,,...,,...,,...n x y ξξξηηη==及，令()11,21i ii i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑③有界函数空间B （A ）设A 是一给定的集合，令B （A ）表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B （A ）中任意两点,x y ，定义(),()()sup t Ad x y x t y t ∈=-④可测函数空间m(X)设m(X)为X 上实值（或复值）的L 可测函数全体，m 为L 测度，若()m X ≤∞，对任意两个可测函数()()f t g t 及，令()()(),1()()Xf tg t d f g dt f t g t -=+-⎰⑤[],C a b 空间令[],C a b 表示闭区间[],a b 上实值（或复值）连续函数的全体，对[],C a b 中任意两点,x y ，定义(),max ()()a t bd x y x t y t ≤≤=-⑥2l 空间 记{}12k k k x x x l ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭∞===<∞∑，设2k x x l ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∈=，2y k y l ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∈=，定义 ()1221,()k k k d x y y x ∞=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑注：度量空间中距离的定义是关键。
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泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
泛函分析第2章_度量空间与赋范线性空间[1]
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第2章 度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。
事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。
它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。
因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。
2.1 度量空间的基本概念2.1.1 距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。
度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。
【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(∙∙ρ：[)∞→⨯,0X X 是一个定义在直积X X ⨯上的二元函数，如果满足如下性质：（1） 非负性 y x y x y x X y x =⇔=≥∈0,(,0),(,,ρρ；（2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈（3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈；则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。
此时，称X 按),(∙∙ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。
注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(∙∙ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。
当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。
例2.1 离散的距离空间设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令显然，这样定义的),(∙∙ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。
这种距离是最粗的。
它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。
此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间。
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泛函分析主要内容
泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。
是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。
它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
主要内容有拓扑线性空间等。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
1、度量空间
定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。
若对于任何x,y,z属于X，有
（I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y；
（II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)；
（III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）
则称d为集合X的一个度量（或距离）。
称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。
例：实数带有由绝对值给出的距离函数d(x, y) = |y−x|，和更一般的欧几里得n维空间带有欧几里得距离是完备度量空间
2、赋范线性空间
泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。
这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔
伯特空间。
例：任何赋范向量空间通过定义d(x, y) = ||y−x|| 也是度量空间。
(如果这样一个空间是完备的，我们称之为巴拿赫空间)。
例：曼哈顿范数引发曼哈顿距离，这里在任何两点或向量之间的距离是在对应的坐标之间距离的总和。
3、希尔伯特空间
希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。
对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。
对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。
希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。
该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。
4、巴拿赫空间
巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。
大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。
巴拿赫空间（Banach space ）是一种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之一。
数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。
从外尔斯特拉斯﹐K.(T.W.)以来﹐人们久已十分关心闭区间[a ﹐b ]上的连续函数以及它们的一致收敛性。
甚至在19世纪末﹐G.阿斯科利就得到[a ﹐b ]上一族连续函数之列紧性的判断准则﹐后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。
5、内积空间
（1）内积空间的定义：
设H 是域K 上的线性空间，对任意H y x ∈,，有一个中K 数),(y x 与之对应，使得对任意H z y x ∈,,；K ∈α
满足 a)
0),(≥y x ；),(y x ＝0，当且仅当 0=x ； b)
),(y x ＝___________),(x y ； c)
),(),(y x y x αα=； d) ),(z y x +＝),(z x ＋),(z y ；
称)(,是H 上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。
二、线性算子
线性算子与线性泛函 设x 、Y 是两个（实数或复数域上的）线性空间，T 是x 到Y 的映射。
T 的定义域和值域分别记为D (T )、R (T )。
如果对任何数α、β和x 1、x 2∈D (T )，满足αx 1+βx 2∈D (T )，并且
，
则称T 是以D （T ）为定义域的x 到Y 的线性算子。
特别当D (T )=x ，Y 是实数域或复数域时，称T 是x 上的线性泛函。
例1，设x ＝C 1【0,1】（【0,1】上连续可微函数全体）,Y ＝B 【0,1】(【0,1】上有界函数全体)，定义
，
则T 是x 到Y 的线性算子。
例2,设x =C 【α,b 】(【α,b 】上的连续函数全体), K (t ,s)是【α,b 】×【α,b 】上的二元连续函数，定义
，则T 是x 到x 的线性算子。
例3,设x =C 【α,b 】,则,T 2x =x (t 0)(t 0是【α,b 】中取定的一个点)
都是x 上的线性泛函。
例： 设X 是赋范线性空间，α是一给定的数，
映射:T x x α→是X 上的线性算子，称为相似算子；当1α
=时，称T 为单位算子或者恒等算子，记作I 。
例：[],x C a b ∀∈，定义()()t a Tx t x d ττ=⎰
由积分的线性知，T 是[],C a b 到[],C a b 空间中的线性算子。
若令
()()[](),b a f x x d x C a b ττ=∀∈⎰
则f 是[],C a b 上的线性泛函。
三、泛函分析与数学分析的区别
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。
比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。
它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函
数空间
数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。
它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。
这些特性，有助我们应用在对物理世界的研究，研究及发现自然界的规律。
数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。
学好数学分析（和高等代数）是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课的必备的基础。