基于MATLAB的搅拌机蜗杆传动的优化设计

第33卷第1期湖南农业大学学报(自然科学版) Vol.33 No.1 2007年2月Journal of Hunan Agricultural University (Natural Sciences) Feb．2007文章编号：1007-1032(2007)01-0101-04基于MATLAB的搅拌机蜗杆传动的优化设计袁 雄a，滕召金b，陶栋材b(湖南农业大学 a.图书馆；b.工学院，湖南长沙 410128)摘要：分析了HWL搅拌机目前存在的主要问题．在满足搅拌机工作要求的情况下，通过选取合理的设计变量和确定约束函数，建立了以蜗杆传动中心距为研究对象的优化设计数学模型，并用MATLAB算法进行了求解．计算结果表明：新的设计方案使蜗杆传动的中心距下降了20%，能缩短蜗杆传动零部件的采购周期，从而节省大量原材料和生产成本．关键词：搅拌机；蜗杆传动；优化设计；MATLAB中图分类号：TH132.44文献标识码：AOptimal worm transmission design based on MATLABYUAN Xiong a，TENG Zhao-jin b，TAO Dong-cai b(a.Library；b.College of Engineer，HNAU，Changsha 410128，China )Abstract：Major problems existing in HML mixer were analyzed．Under normally working situation，an optimal mathematic design model，with worm transmission center space as research object，was established through selecting reasonable design variable and ensuring restrict function．Meanwhile，this model was resolved using MA TLAB arithmetic．The results indicated that the new design declined center space 20% and sharply shorten worm transmission accessory stocking cycle，which greatly saved raw and processed materials and production cost．Key words：mixer；worm transmission；optimal design；MATLAB搅拌机械在食品加工和工程施工等领域有着广泛的应用．湖南省麻阳惠峰油化有限公司进口的HWL搅拌机是目前世界上较先进的搅拌机，但在使用中发现，其易损件的更换如果全部依靠进口，不仅会消耗大量的资金，而且会由于供应不及时造成停产损失；此外，还发现该机传动装置的参数设计不太合理，结构不紧凑，蜗杆和蜗轮的使用寿命相差很大，按互换性原理对产品进行更换时会造成经济上的浪费，所以，有必要使用机械优化设计方法对蜗杆传动装置进行国产化改造．1 优化数学模型的建立1.1 已知参数根据搅拌机的特性和工厂生产的实际需要，搅拌机械采用闭式的普通圆柱蜗杆传动．由原始资料得知，搅拌机的输入功率P=9 kW，蜗杆转速n1= 1 450 r/min，传动比i=20，精度等级为8级精度，传动不反向，工作载荷较稳定，但有不大的冲击，要求传动装置设计寿命L h为12 000 h．蜗杆的材料为45钢，渗碳淬硬，表面硬度45~55 HRC，蜗轮材料为QSn4-3，金属铸造．1.2 目标函数和设计变量的确定在蜗杆传动的可行方案中，建立以中心距a最小为目标的优化模型[1-9]，即：21()2a m q z=+=11()2m q iz+．式中，a为传动中心距，单位为mm；m为蜗杆轴向和蜗轮端面模数，单位为mm；q为蜗杆直系系数；1z为蜗杆头数；2z为蜗轮头数；i为传动比．由上式可知，中心距a大小与m，q，1z有关，收稿日期：2006-11-21基金项目：湖南省教育厅项目(02C551)作者简介：袁雄(1980-)，男，湖南望城人，硕士研究生．102 湖南农业大学学报(自然科学版) 2007年2月故可以建立以m ，q ，1z 为设计变量的优化模型．设计变量123()x x x =，，X T =1()，，m q z T ．综上可将目标函数确定为：1231min ()()2f x x x iz =+．1.3 约束条件的建立 1.3.1 模数m 的选取在标准压力角α=20°的情况下，模数尽可能选取标准数．由于搅拌机的功率不大，因而选2≤ m ≤10[10]548-655，于是得到约束条件：11()20≤g x x =−；21()100≤g x x =−．1.3.2 蜗杆的直径系数q 的选取当m 一定时，增大q ，蜗杆的强度和刚度也提高，所以在搅拌机的功率不大的条件下，选取6≤ q ≤25[10]558-655，于是得到约束条件：32()6≤g x x =−0； 42()250≤g x x =−． 1.3.3 蜗杆头数的选取蜗杆头数z 1可根据要求的传动比和效率来选定．按照实践经验，可选1≤z 1≤4[10]559-655，于是可得到约束条件：53()1≤g x x =−0； 63()40≤g x x =−． 1.3.4 导程角γ的选取导程角γ的大小与机械传动的效率有关，在要求效率高时通常取15≤°≤γ30°[10]559-655，要求蜗杆具有自锁功能时常取3.5°≤≤γ 4.5°[11]252-253．此处选取15≤°≤γ30°．由1arctan(/)z q γ=[10]559-655，可得到如下约束条件：372()15arctan()≤x g x x =°−0； 382()arctan()300≤x g x x =−°． 1.3.5 按蜗轮齿面接触疲劳进行设计按照蜗轮齿面接触疲劳强度进行校验，应该满足条件[11]252-253：[]H Z Z ρσσΗΕ=． 式中，Z Ε为材料的弹性影响系数，单位为，对于ZCusn10P1，取Z ΕZ ρ为接触系数，从文献[11]240-259查得Z ρ=10.8881/4.02e d a −；1/d a 为蜗杆中圆直径与传动中心距的比值， 112d qa q iz =+； 2T 为蜗轮转矩，单位为(N ·mm)，取啮合效率0.8η=，6219.5510/P T n i η=×=59.48410×(N ·mm)；K 为载荷系数，K K K K βνΑ=，K Α为使用系数，选取 1.15K Α=[11]240-259；K β为齿向载荷分布系数，由于工作稳定，选取1K β=[11]259；K ν为动载荷系数，由于转速不高，冲击不大，选取 1.05K ν=，则1.21≈K K K K βνΑ=．[]，σσΗΗ分别为蜗轮齿面的接触应力与许用接触应力，单位为MPa ．由文献[10]查得[]'300σ= MPa ．应力循环次数2h 60N jn L ==75.2210×；寿命系数0.8134N K Η==．[][]'244N K σσΗΗΗ==MPa ．将以上数据代入[]Z Z σσΗΕΗ=得：2231.77622069() 1.94910e2440x x x g x −+=×≤． 1.3.6 按蜗轮齿根弯曲疲劳进行设计按照蜗轮齿根弯曲疲劳进行校验，应该满足条件[11]260-262：2F F 2[]≤t F Kmb σσΑ=．式中，2t F 为蜗轮的圆周力，单位为N ，2t F = 221294840T mz mz =； 2b为蜗轮齿宽，22(0.5≈b m +； σ，F []σ分别为蜗轮齿根弯曲应力与许用弯曲应力，单位为MPa ；从文献[11]259中查得蜗轮的基本许用弯曲应力为F []'70σ=MPa ．第33卷第1期 袁 雄等 基于MATLAB 的搅拌机蜗杆传动的优化设计 103寿命系数0.644FN K ；F []700.644σ=×=45.08 MPa ．将以上数据代入2F F 2[]≤t F Kmb σσΑ=得：10()g x=45.080−≤． 1.3.7 按蜗杆轴的刚度要求进行设计按蜗杆轴的刚度进行校验，应该满足[11]260-268： f=3'[]L f ≤．式中，1t F 为蜗杆圆周力，单位为N ；1r F 为蜗杆径向力，单位为N ；E 为蜗杆材料的弹性模量，单位为MPa ； I 为蜗杆轴危险截面的惯性矩，单位为mm 4，4π(20.4)64I mq m =×−−； 'L 为蜗杆两端支承间的跨距，单位为mm ，1'18≈L mz ；[]f f ，分别为蜗杆挠度和许用挠度，12[]/1000f x x =．将以上数据代入式3'[]≤f f 得：183313114121.17910()(20.4)x x g x x x x −×−−−1201000x x ≤． 2 MATLAB 优化理论和程序利用MATLAB 的优化工具箱，可以求解线性、非线性规划和多目标规划问题，为优化方法在工程上的实际应用提供方便和快捷的途径．本文中的问题属于有约束的非线性问题．MATLAB 的求解过程如下(图1)[12]：(1) 首先编写目标函数的M 文件wolunfun.m ，返回x 处的值f ：function f = wolunfun(x )f =x (1)*(x (2)+x (3)*5)/2；由于约束条件中有非线性约束，所以需要编写一个描述非线性约束条件的M 文件woluncon.m ：function [c ，ceq ]=woluncon(x )c (1)=15－atand(x (3)/x (2))； c (2)=atand(x (3)/x (2))－30；c (3)=1.949*10^6*exp(－1.7762*x (2)/(x (2)+ 20*x (3)))*(1/(x (1)^3*(x (2)+20*x (3))^3))^0.5－244；图1 MATLAB 计算流程图Fig.1 Flowcharting for MATLAB procedurec (4)=57 378.2/(x (1)^3*x (3)*(0.5+(x (2)+1)^0.5))－ 45.08；c (5)=((118 552/(x (1)*x (2)))^2+(34 519/(x (1)* x (3))) ^2)^0.5*(1.179*10^(－8)*x (1)^3*x (3)^3)/(x (1)*x (2)－2*x (1)－0.4)^4－0.001*x (1)*x (2)；ceq =[]；选现在有一组方案做为优化方案的初始条件，给定变量的可行域，并调用优化过程．x 0=[8，10，2]； %传统方案设计值 lb=[2，7，1]； %变量的下限 ub=[10，25，3]； %变量的上限 options=optimset('Display'，'iter'，'LargeScale'，'off')； %设置优化参数 [x ，fval ，exitflag ，output ，lambda]=fmincon(@wolun fun ，x 0，[]，[]，[]，[]，lb ，ub ，@woluncon ，options)(2) 运行MATLAB 程序可得到以下结果：x =[5.970 3 11.382 6 2.007 1]Tfval=153.806 3104 湖南农业大学学报(自然科学版) 2007年2月根据蜗杆传动设计要求，将计算参数按工艺标准圆整，先选定m=6.3，z1=2为附加的约束条件，再对直系系数q用MATLAB再次进行优化处理；即描述非线性约束条件的M文件变为：woluncon.m：function [c，ceq]=woluncon(x)c(1)=15－atand(x(3)/x(2))；c(2)=atand(x(3)/x(2))－30；c(3)=1.949*10^6*exp(－1.776 2*x(2)/(x(2)+20* x(3)))*(1/(x(1)^3*(x(2)+20*x(3))^3))^0.5－244；c(4)=57 378.2/(x(1)^3*x(3)*(0.5+(x(2)+1)^0.5))－45.08；c(5)=((118 552/(x(1)*x(2)))^2+(34 519/(x(1)*x (3)))^2)^0.5*(1.179*10^(－8)*x(1)^3*x(3)^3)/(x(1)*x (2)－2*x(1)－0.4)^4－0.001*x(1)*x(2)；ceq(1)=x(1)－6.3；ceq(3)=x(1)－2；(3) 运行MATLAB程序可得到以下结果：x=[6.300 0 10.026 7 2.000 0]Tfval=157.584 1根据蜗杆传动设计要求，将计算参数按工艺标准圆整[10]，即取m=6.3 mm，q=10，z1=2，与之相对应的γ=10°18′36″，a =160 mm．所以，蜗杆传动参数模数、直径系数、蜗杆头数、中心距优化前分别为8 mm，10，2，200 mm，优化后分别为6.3 mm，10，2，160 mm．蜗杆传动的中心距优化后比优化前下降了20%．3 结 论a.采用MATLAB优化工具箱求解，在保证各约束条件的前进下，与优化前相比，新的设计方案使蜗杆传动的中心距下降了20%，从而可节省大量的材料和成本．b.通过建立适当的数学模型，运用MATLAB优化工具箱进行求解，可大大促进机械优化设计方法在实际生产中的运用与推广．c.按照新的设计方案选用的蜗轮和蜗杆，结构更加紧凑，在实际应用中运转很好，完全满足生产的需要，采购件运转的周期短，可节省大量资金．参考文献：[1] 孙 桓．机械原理[M]．北京：高等教育出版社，2000：210-211．[2] 孙靖民．机械优化设计[M]．3版．北京：机械工业出版社，2003：214-243．[3] 陶栋材，孙松林，卢月娥，等．耕整机齿轮传动箱的优化设计[J]．农业机械学报，2001，32(2)：118-120．[4] 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