空间度量算法
算法的时间复杂度和空间复杂度-总结分析
算法的时间复杂度和空间复杂度-总结通常，对于一个给定的算法，我们要做两项分析。
第一是从数学上证明算法的正确性，这一步主要用到形式化证明的方法及相关推理模式，如循环不变式、数学归纳法等。
而在证明算法是正确的基础上，第二部就是分析算法的时间复杂度。
算法的时间复杂度反映了程序执行时间随输入规模增长而增长的量级，在很大程度上能很好反映出算法的优劣与否。
因此，作为程序员，掌握基本的算法时间复杂度分析方法是很有必要的。
算法执行时间需通过依据该算法编制的程序在计算机上运行时所消耗的时间来度量。
而度量一个程序的执行时间通常有两种方法。
一、事后统计的方法这种方法可行，但不是一个好的方法。
该方法有两个缺陷：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，必须先依据算法编制相应的程序并实际运行；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优势。
二、事前分析估算的方法因事后统计方法更多的依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优劣。
因此人们常常采用事前分析估算的方法。
在编写程序前，依据统计方法对算法进行估算。
一个用高级语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：(1). 算法采用的策略、方法；(2). 编译产生的代码质量；(3). 问题的输入规模；(4). 机器执行指令的速度。
一个算法是由控制结构（顺序、分支和循环3种）和原操作（指固有数据类型的操作）构成的，则算法时间取决于两者的综合效果。
为了便于比较同一个问题的不同算法，通常的做法是，从算法中选取一种对于所研究的问题（或算法类型）来说是基本操作的原操作，以该基本操作的重复执行的次数作为算法的时间量度。
1、时间复杂度（1）时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
空间复杂度的计算
空间复杂度是算法在运行过程中所需的存储空间大小的度量。
与时间复杂度类似，空间复杂度是对算法性能的一种评估，但关注的是算法在存储资源方面的开销。
空间复杂度通常用大O符号（O）来表示。
空间复杂度的计算可以分为几个方面：1. 常量空间：对于使用固定大小的空间的算法，空间复杂度是一个常量，通常表示为O(1)。
即使输入规模增大，算法所需的额外空间始终保持不变。
2. 线性空间：如果算法使用的额外空间与输入规模成线性关系，空间复杂度可以表示为O(n)，其中n 是输入规模。
3. 二次空间：如果算法使用的额外空间与输入规模的平方成正比，空间复杂度可以表示为O(n^2)。
4. 递归空间：对于递归算法，需要考虑递归调用所使用的栈空间。
递归深度和每层递归的空间开销会影响空间复杂度。
5. 空间复杂度与输入规模：空间复杂度的计算通常关注于算法对输入规模的敏感程度。
如果算法对输入规模的增加而额外使用的空间不断增长，那么空间复杂度可能是线性或更高的。
以下是一些示例：-常量空间的例子：def example_constant_space(n):x = 1 # 常量空间y = 2 # 常量空间result = x + yreturn result-线性空间的例子：def example_linear_space(n):data = [0] * n # 随着输入规模n 的增加，需要的空间呈线性增长for i in range(n):data[i] = ireturn data-递归空间的例子：def example_recursive_space(n):if n <= 0:returnexample_recursive_space(n-1) # 递归调用在分析算法的空间复杂度时，通常需要考虑算法的整体空间占用，包括额外的数据结构、递归调用、临时变量等。
空间计量方法
空间计量方法
空间计量方法是一种用来衡量和分析空间模式和空间关系的方法。
它可以帮助我们理解和解释人类活动在空间上的分布规律。
常见的空间计量方法包括：
1. 空间自相关性分析：用来测量空间数据的相关性。
通过计算其相关指数（如Moran's I指数），可以判断空间数据是否存
在空间聚集或分散的特征。
2. 空间插值：用来推断未被测量或采样的地点的值。
常用的方法包括克里金插值和反距离加权插值。
3. 点模式分析：用来分析点数据的分布模式。
常用的方法有基尼系数和Ripley's K函数。
4. 空间回归分析：用来研究空间模式和变量之间的关系。
它可以帮助我们理解空间因素对变量的影响程度，并预测变量在不同空间位置的取值。
5. 空间聚类分析：用来识别空间数据中的集群或热点区域。
常用的方法包括密度聚类和聚类扫描统计。
通过应用这些空间计量方法，我们可以揭示空间模式与人类活动、环境特征等因素之间的关系，进一步了解空间中的规律和趋势。
尺度空间理论和SIFT算法小结
尺度空间理论和SIFT算法小结一、尺度空间理论尺度空间理论是一种描述图像在不同尺度上的表示方法。
它源于人类视觉系统在感知物体时会通过改变焦距和观察距离来获得不同尺度的信息。
尺度空间理论在图像处理中模拟了这种方式，通过高斯滤波器的不同尺度参数来表示图像的不同尺度信息。
高斯滤波器具有平滑图像的作用，其尺度参数越大则平滑效果越明显，图像的细节信息也会被模糊化。
通过不同尺度的高斯滤波器对图像进行滤波操作，得到一系列尺度空间图像，即每张图像代表了特定尺度下的图像信息。
尺度空间理论的应用有两个主要目的：尺度不变性和尺度选择。
尺度不变性是指当图像在不同尺度上发生变化时，特征点的描述子应保持不变。
这一特性在物体检测和图像匹配中非常重要，因为物体的大小和形状在不同尺度下可能发生变化。
尺度选择是指如何选择合适的尺度参数来提取图像特征。
根据尺度空间理论，选择一个合适的尺度参数可以提取到物体的局部特征，并使得特征对尺度的变化不敏感。
二、SIFT算法SIFT（Scale Invariant Feature Transform）算法是一种用于检测和描述图像中的局部特征的算法。
它由David Lowe在1999年提出，是一种具有尺度不变性和鲁棒性的特征提取算法，并被广泛应用于物体检测、图像匹配和三维重建等领域。
SIFT算法的主要步骤包括尺度空间极值检测、关键点精确定位、方向分配和特征描述等。
首先，通过构建尺度空间图像和高斯差分金字塔，从图像中检测出尺度空间极值点，用于确定关键点的位置和尺度。
然后，对关键点进行迭代精确定位，通过求解关键点的仿射变换参数来提高关键点的准确性。
接下来，通过梯度方向直方图统计的方法为每个关键点分配主方向，用于为关键点的描述子进行旋转。
最后，使用关键点周围的梯度信息生成一个128维的特征向量作为关键点的描述子，该描述子具有尺度不变性和鲁棒性。
SIFT算法的优点是具有良好的尺度不变性和鲁棒性，在复杂的环境下仍能较好地提取和匹配特征。
06-空间度量算法
2. 直线 3)参数方程形式
地 理 信 息 系 统 算 法 基 础
用两点P0和P1定义的并且带有方向矢量vL的直线
参数t的取值范围为 (0~1)时表示P0和P1 之间的点
4. 点到直线的距离 定义
地 理 信 息 系 统 算 法 基 础
这里的直线指向两方无限延伸的直线; 点到直线的距离就是点P到直线的垂足PB两点之 间的距离
P P1 PB
P0
4. 点到直线的距离 1）两点式方程情况
地 理 信 息 系 统 算 法 基 础
由三点构成 两个矢量
根据两个三维矢量的矢量积的模等于两矢量构成的平 行四边形的面积，推得P到直线P0P1的距离：
其中
4. 点到直线的距离 1）两点式方程情况
地 理 信 息 系 统 算 法 基 础
对一个嵌人三维中的二维的情况点
地 理 信 息 系 统 算 法 基 础
v1θv2来自//计算两个矢量的夹角
double angle(SVec3D v1, SVec3D v2) { double m1 = sqrt(v1.x*v1.x+v1.y*v1.y+v1.z*v1.z); double m2 = sqrt(v2.x*v2.x+v2.y*v2.y+v2.z*v2.z); double dot = v1.x*v2.x+v1.y*v2.y+v1.z*v2.z; return acos(dot/(m1*m2)); }
3. 任意2维平面多边形面积 分析
地 理 信 息 系 统 算 法 基 础
式(1),(2),(3)实际是等价的(将三式展开直接 可以推出等价性)； 式(3)计算效率最高
(1) (2) (3) Vn=V0 Vn+1=V1
度量空间——精选推荐
设E 是集合，若映射:[0,)d E E R +×=+∞ 满足下述性质： M1：(,)0d x y x y =⇔= M2：(,)(,)d x y d y x = M3：(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+则称映射d 是E 上的度量(metric)，(,)d x y 称为点x ,y 间的距离(distance)，(,)E d 称为度量空间(Metric space)[例1] 在实线R 上，映射(,)||x y x y →−是通常的度量 [例2] 设G 是一个（加法）交换群，映射:p G R + 满足：()00;()();()()()p x x p x p x p x y p x p y =⇔=−=+≤+则映射(,)()d x y p x y =−是G 上的度量 比如，12{(,,...,):}n n i R x x x x x R ==∈，1/1()(||),1nq q i i p x x q ==≥∑满足上述三个性质，因此1/1(,)()(||),1nq q i i i d x y p x y x y q ==−=−≥∑是n R 上的度量。
[例3] 离散度量：E 是一任意集合，(,)0;(,)1d x y if x y d x y if x y ===≠[距离空间的积]设{(,):1,2,...,}i i E d i n =是一簇度量空间，令积空间112(...)n i i n E E E E E ==×=×××，则（1）1/1(,)(,),1qnqq i i i i d x y d x y q =⎛⎞=≥⎜⎟⎝⎠∑（2）(,)sup (,)i i i i d x y d x y ∞= 均为积空间E 上的度量 [度量的等价性]设,d d ′是集合E 上的两个度量，如果存在常数12,0c c >使得1212(,)(,)(,),(,)()c d x y d x y c d x y x y E Ec d d c d ′≤≤∀∈×′≤≤则称,d d ′是等价的，记作d d ′∼[例4] 在积空间1n i i E E ==×中，不难验证：1/,1q q d d n d q ∞∞≤≤≥因此，{:[1,]}q d q ∈∞是E 上的一簇等价度量。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结泛函分析知识总结与举例、应⽤学习泛函分析主要学习了五⼤主要内容：⼀、度量空间和赋范线性空间；⼆、有界线性算⼦和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算⼦的谱。
本⽂主要对前⾯两⼤内容进⾏总结、举例、应⽤。
⼀、度量空间和赋范线性空间（⼀）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧⽒空间n R （有限维空间）的推⼴，所以学好它有助于后⾯知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是⼀个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯⼀确定的实数d(x,y)与之对应，⽽且这⼀对应关系满⾜下列条件： 1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ? x=y （⾮负性） 2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常⽤的⽅法）注意:⑴定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满⾜1°、2°、3°都称为度量。
这⾥“度量”这个名称已由现实⽣活中的意义引申到⼀般情况，它⽤来描述X 中两个事物接近的程度，⽽条件1°、2°、3°被认为是作为⼀个度量所必须满⾜的最本质的性质。
⑵度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同⼀个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶集合X 不⼀定是数集，也不⼀定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，⽽称“度量空间X ” 。
空间几何的度量
空间几何的度量空间几何是一门涉及空间的形状、大小、位置、方向等特性的数学学科。
作为几何学的一部分，空间几何是研究实际空间与抽象空间的关系，研究空间内的各种图形的性质与变换。
而度量则是空间几何的重要工具，它可以帮助我们计算出空间内的距离、面积、体积等。
度量基础知识空间几何的度量涉及到三个概念：长度、面积和体积。
长度是两点间的直线距离，面积是平面内图形所占的面积，体积是立体图形所占的空间。
度量的单位有很多种，一般可以用国际单位制下的长度、面积和体积单位进行度量。
例如，长度的单位有米（m）、千米（km）、英尺（ft）等；面积单位有平方米（m²）、平方千米（km²）、平方英尺（ft²）等；体积单位有立方米（m³）、立方千米（km³）、立方英尺（ft³）等。
度量的方法也有很多种。
对于长度，我们可以测量（如测地线、测量地图上的距离）或者计算（如通过勾股定理计算斜边和直角边的长度）。
对于面积，我们可以使用勾股定理计算一个三角形或四边形的面积，而对于更复杂的图形，如圆形、椭圆形，则需要使用特定的公式来计算。
对于体积，我们可以使用棱柱、棱锥和圆柱等公式。
度量的应用度量在现实中应用广泛。
例如，建筑施工时需要准确测量建筑物的长度、宽度和高度，以确保建筑物符合规划要求。
工程师利用度量来设计和建造道路、桥梁、隧道等基础设施。
地理学家使用长度、面积和体积来研究地球表面的各种地形特征和海洋迁移。
度量也在数学教育中得到广泛应用。
例如，高中和大学的数学课程中，学生需要掌握勾股定理、三角函数和导数等基本数学概念，并学会使用它们来计算各种几何图形的属性。
总之，度量作为空间几何学科的基础工具，对研究空间内的各种图形性质和计算距离、面积及体积具有重要作用。
掌握度量的方法及其应用可能会帮助我们理解空间内的各种现象，更好地解决现实生活中的问题。
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14
①. 两点定义的直线
《地理信息系统算法基础》
空间度量算法
1
本讲内容
1.直线和距离 2.角度量算 3.多边形面积的量算
2
1.直线和距离
关于两点间距离的定义，使用标准的欧几里得距离L2，它基
于毕达哥拉斯定理。对一个n维的矢量v=(v1，v2，…，vn)，
它的长度|v|为
2 2 1 2 2 2 n
v v v … v v
7
1.2 直线方程
隐式或显式方程定义二维中的一条直线，三维中定义了一个 平面，在n维中，它定义了一个(n-1)维的超平面。 在任意n维的空间中，参数方程是有效的并且是最通用的。 对于一个用两点P0和P1定义的并且带有方向矢量vL的直线， 其方程有以下几种写法： P(t) = P0+ tvL = P0 + t(Pl – P0) = (1-t)P0 + tP1 式中，t为实数。在这个表达中，P(0)=P0, P(1)=P1，P(t)(0<t<1)是线段P0P1上的一点， 其中t = d[P0,P(t)]/d(P0,P1)。 因此P(1/2)=(P0+P1)/2是线段的中点。进一 步看，如果t<0，那么P(t)位于线段之外， 并且是在P0 一边；如果t >1，P(t)也位于线 段之外，但在P1—边，见图6.2。
i 1
2 cos i 1
6
1.2 直线方程
直线可以使用方程来定义，方程中的未知数是点的坐标。
二维显式方程：最先接触到的，它在计算机软件中并不是最灵活的。
隐式方程更有用些，并且很容易将显式方程转化为隐式方程。
隐式方程的前两个系数定义了一个矢量nL = (a，b)，这个矢量垂 直于直线L。对于直线L上的任意两个点P0 =(x0，y0)、P1 =(x1，y1)， 有nL· vL= (a, b)· (P1-P0) = a(x1-x0) + b(y1-y0) =f(P1)-f(P0) = 0。 给定一个直线L的法线矢量nL = (a，b)和L上的一个点P0，法线式 的隐式方程为 nL· (P-P0) = ax + by-nL· P0 = 0。如果a2 + b2=1则称这个 方程是规范化的，并且n是一个单位法线矢量。
计算点到射线或线段的距离与点到直线的距离的不同点是， 点P到直线L的垂线与L的交点可能位于射线或线段之外。在 这种情况下，实际的最短距离是点P到射线的起点的距离(图
6.6)或是线段的某个端点的距离(图6.7)。
22
(2).点到射线或线段的距离
对于图6.6，只有一个选择，就是计算P到射线端点的距离； 而对于一条线段， 则必须判断哪一个端点离P更近。可以分 别计算点到两个端点的距离，然后取最短的，但这不是最高 效的办法，见图6.7。而且，同时要判断点P在直线L上的基
对一个嵌入三维中的二维的情况，点P = ( x，y，0)矢量积变 为 vL w ( x1 x0 , y1 y0 ,0) ( x x0 , y y0 ,0)
(0, 0, x1 x0 x x0 y1 y0 y y0 )
距离公式则变为
d ( P, L)
( y0 y1 ) x ( x1 x0 ) y ( x0 y1 x1 y0 ) ( x1 x0 )2 ( y1 y0 )2
的无限长的直线。
直线L也可以通过一个点和方向来定义：令P0是L上的一点， vL是一个非零矢量， vL给出了直线的方向。设定 vL =(P1-P0)， 或给出P0和vL ，可以选择P1=P0+ vL为直线上的第二个点。 如果vL被规范化为单位矢量， uL=vL /| vL |那么它的每个系数 就是L的各个方向角的余弦。
5
1.1 直线
在n维中，令θi(i=1,…,n)是L和第i个坐标轴ai的夹角（例如， 在二维中，a1是x轴，a2是y轴）。那么矢量vL=(vi)，其中 vi=cosθi, i=1, …, n，是L的一个方向矢量。
在二维中，如图6.1所示，如
果θ是L与x轴的夹角，那么 cosθ2= sinθ，并且vi=(cosθ1, cosθ2) = (cosθ, sinθ)是L的一个 单位方向矢量。因为 cos2θ+sin2θ=1。同样，对于任 意维，各个方向余弦的平方和 为1，即 n
式中，uL为直线L的单位方向矢量。
这个公式很适于在n维空间中使用，同时在计算基点P(b)也很 有用。在三维空间中，和矢量积公式同样高效。但在二维中， 当P(b)不是必须时，隐式公式的方法更好，尤其是计算多个 点到同一条直线的距离。
21
(2).点到射线或线段的距离
射线以某个点P0为起点，沿某个方向无限延伸。它可以用参 数方程P(t)表达，其中t>0、P(0) = P0是射线的起点。一个有 限的线段由一条直线上两端点 P0、P1间的所有点组成。同样 也可以用参数方程P(t)表达，其中P(0) = P0、 P(1) = P1为两 个端点，并且点P(t)(0≤t≤1)是线段上的点。
i 1
n
2 i
对于P(p1，p2，…，pn)和Q(q1，q2,…，qn)两点间距离为
d ( P, Q ) P Q
2 ( p q ) i i i 1
n
3
1.直线和距离
1.1
直线 直线方程 点到直线的距离
1.2
1.3
4
1.1 直线
最初的直线：给出直线上的不同的两点P0和P1，定义了一条 有限的从P0到P1的线段。 延伸这条线段的任意一个端点会得到无限长的射线。 现在所理解的直线：同时延长两个端点则将得到一条概念上
特点： （1）没有计算分子的绝对值，计算出的结果是带有符号的 距离，正的表示P点在直线的一边，负的表示在直线另一边。 （2）分子的形式与直线隐式方程的形式相似。
15
②. 二维隐式方程定义的直线
直线L是很容易通过隐式方程f(x，y) =ax + by + c = 0来定义。 对于任意二维点P=（x，y），距离d(P，L)可以直接用这个
W = (P-P0)， 则得到
b d ( P0 , P(b)) | w | cos w vL w vL 2 d ( P0 , P | vL | | vL | vL vL 1)
20
③.参数方程定义的直线
d(P,L)=|P-P(b)|=|w-bvL|=|w-(w· uL)uL|
三个坐标Z= 0即变为三维中。两个三维矢量的矢量积的模等
于两矢量构成的平行四边形的面积，因为|v×w|=|v||w||sinθ|， 其中θ是两个矢量v和w的夹角。
13
①. 两点定义的直线
但是，平行四边形的面积也等于底和高的乘积。令
vL=P0P1=(P1-P0)、w = P0P=(P-P0)，如图6.3所示，这样点P到
式中x和y的系数就是nL中的各个组成部分。
9
1.2 直线方程
在二维中，θ是直线L与x轴的夹角，vL=(cosθ, sinθ)是单位方
向矢量，因此nL=(-sinθ，cosθ)是一个单位法线矢量。如果
P0=(x0，y0)是直线L上的某个点，那么一个规范化的L的方程
为：
-xsinθ+ ysinθ+ (x0sinθ-y0cosθ)=0
24
w1 v 0 w1 P P 1 ,0 [180,180]
w1 v v v | 0 | 90
(2).点到射线或线段的距离
d ( P, S ) d ( P, P 1)
w0 P P 0 ,0 [180,180]
w0 v 0 | 0 | 90 d ( P, S ) d ( P, P0 )
（3）对选定的点P0还有：
nL· P0P=(a,b）• (x + c /a，y ) =ax + by + c = f( x，y )=f(P)等于 (2)。
17
②. 二维隐式方程定义的直线
最后得出公式
f ( p) ax by c | nL | a 2 b2
d ( P, L)
用|nL |除f(x,y)的每个系数，使隐式方程规范化，即|nL|
（1）点到直线的垂直距离 （2）点到射线或线段的距离
11
（1）点到直线的垂直距离
①. 两点定义的直线
②. 二维隐式方程定义的直线
③. 参数方程定义的直线
12
①. 两点定义的直线
在二维和三维中，当L是通过两个点P0、P1给出的，可以 使用矢量积直接计算出点P到L的距离。若是二维的，令第
方程计算出。
矢量nL=（a，b）是直 线L的法线矢量，利用 nL即可计算任意点P到L 的距离。首先在L上任 意选一点P0，然后将矢 量P0P投影到nL，如图 6.4所示。
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②. 二维隐式方程定义的直线
具体如下：
（1）因为a和b不同时为零，设a≠0 ，则P0=( - c/a，0)位于直线
L上；相反，如果a=0，则b≠0，则P0 = (0，-c/b)，最后的结 果是相同的。 （2）对在L上的任意点P0有：nL· P0P =|nL| |P0P| cosθ = |nL| d(P,L)。
8
1.2 直线方程
三种方程表示形式中相互转换： 例如，已知二维直线上的两点P0 =(x0，y0)，P1 =(x1，y1）， 我们可以根据这两点生成一个隐式的方程。由于 vL = (xv， yv) = P1-P0=(x1-x0，y1-y0)是直线的方向矢量，因为nL· vL=0， 可得直线L的法线矢量nL=(-yv， xv) =(y0-y1，x1-x0)。那么， 直线 L的一个隐式方程为 (y0-y1)x+(x1-x0)y+(x0y1-x1y0)=0