广东省中山市第一中学2017-2018学年高二下学期第一次段考数学(理)试题
数学-广东省中山市第一中学2017-2018学年高二下学期第二次段考(理)
广东省中山市第一中学2017-2018学年高二下学期第二次段考（理）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．下列说法正确的是（）A．由归纳推理得到的结论一定正确B．由类比推理得到的结论一定正确C．由合情推理得到的结论一定正确D．演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确2．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是（）A．B．C．D．3．已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．4．用反证法证明命题“已知a、b、c为非零实数，且，求证a、b、c中至少有二个为正数”时，要做的假设是（）A．a、b、c中至少有二个为负数B．a、b、c中至多有一个为负数C．a、b、c中至多有二个为正数D．a、b、c中至多有二个为负数5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X0 1P则q等于A．1B．C．D．6．若，且，则等于A ．B ．C ．D ．7．如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A ． 24B ．18C ．12D ．9 8．设6260126(2)x a a x a x a x -=++++，则的值是A ． 665B ．729C ．728D ．639．如图，由曲线，直线和x 轴围成的封闭图形的面积是A ．1B ．23C ．43D ．2 10．已知函数，则 A ．B ．eC ．D ．111．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于A ． 101021235()()88C ⋅ B ．99211353()()888C ⋅⋅C ．9921153()()88C ⋅D ．9921135()()88C ⋅12．若函数在上是单调函数，则a 的取值范围是A ．1(,0][,)4-∞+∞ B ．1(,][0,)4-∞-+∞ C ．1[,0]4-D ．(,1]-∞二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．用红、黄、蓝、绿、黑5种颜色给如图的a 、b 、c 、d 四个区域染色，若相邻的区域不能用相同的颜色，不同的染色方法的种数有______ 种．14．已知复数z 满30z z+=，则 ______ ．15．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 16．222017-2(4)x x dx --=⎰．三、解答题（本大题共7小题，共70分） （一）必做题17．（本题满分为12分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．（1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；（2）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列．18．（本题满分为12分）某单位为了了解用电量y 度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．气温 14 12 8 6 用电量度22263438（I ）求线性回归方程；（参考数据：411120i ii x y==∑，421440i i x ==∑）（II ）根据（I ）的回归方程估计当气温为时的用电量．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx =-⋅．19．（本题满分为12分）已知112a =，112n n n a a a +=+（*n ∈N ）．（1）求并由此猜想数列的通项公式的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．20．（本题满分为12分）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一项的系数的56． （1）求该展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项．21．（本题满分为12分）设函数，记．（I）求曲线在处的切线方程；（II）求函数的单调区间；（III ）当时，若函数没有零点，求a的取值范围．（二）选做题（请考生从给出的22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑，注意所做题目必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分。
精选广东省中山一中2017-2018学年第二学期高二级第一次段考题文科数学试题
中山一中2017-2018学年第二学期高二级第一次段考（文科）数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：由题意首先求解一元二次不等式，然后确定最终结果即可.详解：求解一元二次不等式可得，据此可知：“”是“”的必要不充分条件.本题选择B选项.点睛：本题主要考查不等式的解法，条件的充分性、必要性的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，这种思维方式是（）A. 归纳推理B. 演绎推理C. 类比推理D. 其它推理【答案】C【解析】试题分析：类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理。
本题中描述的都是关于相切问题下的性质，因此属于类比推理考点：类比推理3. 曲线与曲线（）的（）A. 顶点相同B. 虚轴长相等C. 焦点相同D. 离心率相等【答案】C【解析】分析：逐一考查两曲线的性质，据此即可确定曲线的性质.详解：考查曲线的性质：顶点坐标为，虚轴长为，焦点坐标为，离心率为；考查曲线（）的性质：顶点坐标为，虚轴长为，焦点坐标为，离心率为；据此可知两曲线的焦点相同.本题选择C选项.点睛：本题主要考查双曲线的几何性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意可知命题的否定为真命题，据此求解a的取值范围即可.详解：由题意可知，题中所给命题的否定为真命题，即：,,则，解得：.本题选择A选项.点睛：本题主要考查命题及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先求解导函数，然后利用导函数研究函数的单调性即可.详解：由题意可得：，函数的单调递增区间满足：，即，结合可得，即函数的单调递增区间是.本题选择B选项.点睛：本题主要考查导数研究函数的单调性，三角不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 复平面内表示复数的点位于第四象限，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意得到关于m的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：由题意可得：，求解不等式组有：，据此可得：实数m的取值范围是.本题选择D选项.点睛：本题主要考查复数的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 下列不等式中：①；②；③；④．其中正确的序号是（）A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ③④【答案】B【解析】分析：由题意逐一考查所给的不等式是否成立即可.详解：逐一考查所给的不等式：，，即：，整理可得：，说法①正确；，，，说法②正确；，，，说法③正确；，，，说法④错误；综上可得：正确的序号是①②③.本题选择B选项.点睛：本题主要考查不等式的性质的应用，实数大小的比较等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 阅读如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的自然数为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】分析：由题意结合流程图的运行过程确定①处应填的自然数即可.详解：由题意结合流程图和输出值运行程序如下：首先初始化数据，，第一次循环时：；第二次循环时：；第三次循环时：；第四次循环时：；此时满足题意，应跳出循环，即①处应填的自然数为5.本题选择B选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．9. 设，，…，（n∈N*），则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合所给的定义进行导数运算，然后归纳推理即可确定的值. 详解：由题意可得：，，，据此归纳推理可得：.本题选择D选项.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．10. 以下四个椭圆方程所表示的图形中，其形状最圆的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意求解椭圆的离心率，然后确定最圆的椭圆即可.详解：考查题中所给选项的椭圆的离心率：A.，，则；B.，，则；C.，椭圆方程即，，则；D.，椭圆方程即，，则；越小，则椭圆越圆，据此可知，形状最圆的是.本题选择A选项.点睛：本题主要考查椭圆的离心率的求解及其几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11. 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）A. 成绩B. 视力C. 智商D. 阅读量【答案】D【解析】试题分析：由表中数据可得表1:；表2:；表3:；表4:．其中最大,所以阅读量与性别有关联的可能性最大．故D正确．考点：独立性检验．12. 已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，若函数，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：将原问题转化为恒成立的问题，然后结合恒成立的结论整理计算即可求得最终结果.详解：构造函数，令，由题意可知，函数在内单调递增，即恒成立，则恒成立，即.结合可知，则.即实数的取值范围是..点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）13. 复数的共轭复数为______________．【答案】【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：，则复数的共轭复数为.点睛：本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14. 已知经过计算和验证有下列正确的不等式:,,, ,,根据以上不等式的规律，写出一个一般性的不等式___.【答案】【解析】解：根据已知条件，可知左边表示的连续正整数的倒数和，并且有项的和，右边是分母为2，分子是n,即为，因此我们可以得到一般结论，即为15. 已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比．如果车轮启动后转动第一圈需要0.8秒，则转动开始后第4秒的瞬时角速度为____________弧度/秒．【答案】【解析】分析：由题意首先确定比例系数，然后结合导函数的物理意义整理计算即可求得最终结果.详解：设旋转角度为，时间为，由题意可知：，车轮启动后转动第一圈需要0.8秒，则，解得：，即：，由导函数的物理意义可知，角速度的表达式为：，则转动开始后第4秒的瞬时角速度为弧度/秒．点睛：微积分在物理方面的应用中要注意各种具体问题中含有的物理意义．防止实际问题的物理意义不明确，导致把物理问题转化为微积分时出现错误．16. 教材上一例问题如下：一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据如下表，试建立y与x之间的回归方程．某同学利用图形计算器研究它时，先作出散点图（如图所示），发现两个变量不呈线性相关关系．根据已有的函数知识，发现样本点分布在某一条指数型曲线的附近（和是待定的参数），于是进行了如下的计算：根据以上计算结果，可以得到红铃虫的产卵数y对温度x的回归方程为__________．（精确到0.0001）（提示：利用代换可转化为线性关系）【答案】【解析】分析：由题意首先将非线性问题转化为线性问题，然后结合线性回归方程的公式整理计算即可求得最终结果.详解：对回归方程：两侧作对数运算可得：，即与之间具有线性相关关系，结合题中的图片可知两者之间的回归方程系数为：，，即：，据此可得，红铃虫的产卵数y对温度x的回归方程为.点睛：本题主要考查非线性回归方程的计算，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17. 数列{a n}中，且．（1）求数列{a n}的前5项；（2）由（1）猜想数列{a n}的一个通项公式；（3）求证数列为等比数列．【答案】（1）0，2，8，26，80．（2）（3）见解析【解析】分析：（1）由题意结合递推关系计算可得数列{a n}的前5项为0，2，8，26，80．（2）猜想．（3）整理递推关系可得，则数列是一个首项为1，公比为3的等比数列．详解：（1）由且，得：，，，，所以，数列{a n}的前5项为0，2，8，26，80．（2）猜想．（3）由得，而，所以数列是一个首项为1，公比为3的等比数列．点睛：本题主要考查数列的递推关系，等比数列的判断与证明等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18. 已知的三边长分别为，其面积为，则的内切圆的半径．这是一道平面几何题，其证明方法采用“等面积法”．由平面类比到空间，设空间四面体的各表面面积分别为，其体积为，四面体的内切球半径为r，试猜测对空间四面体存在什么类似结论？并加以证明．【答案】，证明见解析.【解析】分析：猜测结论：．结合棱锥的性质利用体积相等即可证得猜想的结论.详解：猜测结论：．下面加以证明：设四面体的内切球球心为，则有．．∴．点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．19. 近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.（1）大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病. 为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：问有多大的把握认为是否患心肺疾病与性别有关?（2）空气质量指数PM2.5（单位：μg/）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重. 某市在2016年年初着手治理环境污染，改善空气质量，检测到2016年1～5月的日平均PM2.5指数如下表：试根据上表数据，求月份x与PM2.5指数y的线性回归直线方程，并预测2016年8月份的日平均PM2.5指数(保留小数点后一位).【答案】（1）有99.5%的把握（2）预测2014年8月份的日平均PM2.5指数为66.5 【解析】分析：（1）由题意计算观测值可得，则有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关.（2）结合题中所给的数据计算回归方程可得.据此预测可得2014年8月份的日平均PM2.5指数为66.5.详解：（1），查表得，所以，有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关.（2），.，，.当时，，所以，预测2014年8月份的日平均PM2.5指数为66.5.点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．20. 如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知为直径，且km,为圆心，为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且//．现在准备从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧，到是线段．设，观光路线总长为．（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）求观光路线总长的最大值．【答案】（1），．（2）观光路线总长的最大值为千米【解析】试题分析：（1）函数应用题，必须明确题意：观光路线总长为圆弧与线段之和，由弧长公式得，由直角三角形得，所以，根据实际意义得函数的定义域为（2）利用导数求函数最值：先求导数，再求零点，列表分析函数变换趋势得函数在处取得极大值，这个极大值就是最大值，即.试题解析：（1）由题意知，，2分，5分因为为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且，所以所以，7分（2）记,则，9分令，得，11分列表，所以函数在处取得极大值，这个极大值就是最大值， 13分即，答：观光路线总长的最大值为千米． 14分考点：函数解析式，利用导数求函数最值 21. 已知椭圆的方程为，其焦点在轴上，点为椭圆上一点．（1）求该椭圆的标准方程； （2）设动点满足，其中、是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值．【答案】（1）（2）证明见解析. 【解析】分析：（1）由题意可得，则，椭圆方程为．（2）设，，由题意可得，结合平面向量的坐标运算可得为定值.详解：（1）因为点为椭圆上一点，所以，解得，所以椭圆方程为．（2）设，， 则，， 即，，由已知，化简得，，所以（定值）.点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22. 已知函数，，其中函数的图象在点处的切线平行于轴．（1）确定与的关系；（2）若，试讨论函数的单调性．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数的图象在点处的切线平行于轴得，即；（Ⅱ）利用第一问，对二次项系数讨论，结合图像易得函数的单调性.试题解析：（Ⅰ）依题意得，则由函数的图象在点处的切线平行于轴得：∴（Ⅱ）由（Ⅰ）得∵函数的定义域为∴当时，由得，由得即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减当时，令得或若，即时，由得或，由得即函数在，上单调递增，在单调递减若，即时，由得或，由得即函数在，上单调递增，在单调递减若，即时，在上恒有即函数在上单调递增综上得：当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增点睛：求函数的单调区间的“两个”方法方法一(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二(1)确定函数的定义域；(2)求导数，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；(4)确在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性。
(解析版)广东省中山市第一中学2017-2018学年高二下学期第三次统测(期末模拟)物理试题
中山市第一中学2017~2018学年第二学期高二年级第三次统测物理一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项）1. 下列说法正确的是( )A. 爱因斯坦在研究黑体辐射的过程中提出了能量子的假说B. 康普顿效应说明光子有动量，即光具有粒子性C. 宏观物体的物质波波长非常小，极易观察到它的波动性D. 天然放射现象的发现揭示了原子的核式结构【答案】B【解析】普朗克在研究黑体辐射的过程中提出了能量子的假说，选项A错误；康普顿效应说明光子有动量，即光具有粒子性，选项B正确；宏观物体的物质波波长非常小，极不容易观察到它的波动性，选项C错误；天然放射现象的发现说明可原子核具有复杂结构，选项D错误；故选B.2. 铀核裂变是核电站核能的重要来源，其一种裂变反应是，下列说法正确的有（）A. 上述裂变反应中伴随着α粒子放出B. 铀块体积对链式反应的发生无影响C. 铀核的链式反应可人工控制D. 铀核的半衰期会受到环境温度的影响【答案】C【解析】A项：A、由核反应方程式可以看出该反应生成了3个中子，故A错误；B项：铀块体积需达到临界体积才能发生链式反应，故B错误；C项：铀核的链式反应可以通过控制棒进行人工控制，故C正确；D项：放射性物质的半衰期是元素本身的属性，与外界物理环境和化学环境均无关，故D错误。
3. 下面说法正确的是( )A. 饱和汽压和与体积无关B. 将未饱和汽转化成饱和汽可以保持体积不变，升高温度C. 当两薄玻璃板间夹有一层水膜时，在垂直于玻璃板的方向很难将玻璃板拉开，这是由于水膜具有表面张力D. 当人们感觉空气干燥时，空气的绝对湿度一定较小【答案】A【解析】A项：饱和汽压是物质的一个重要性质，它的大小取决于物质的本性和温度，与饱和汽的体积无关，故A正确；B项：在体积不变的情况下，可以通过降低温度降低饱和汽压，使未饱和蒸汽达到饱和状态，故B错误；C项：玻璃及水分子之间存在着引力，故我们很将玻璃板拉开，这不是因水膜的表面张力，故C错误；D项：在一定气温条件下，大气中相对湿度越小，水汽蒸发也就越快，人就越感到干燥，故当人们感到干燥时，空气的相对湿度一定较小，但绝对湿度不一定小，故D错误。
广东省中山市第一中学2017-2018学年高二下学期第一次段考数学(文)试题
中山一中2017-2018学年第二学期高二级第一次段考（文科）数学试卷满分:150分，时间:120分钟参考公式：回归直线ˆybx a =+，其中1122211()(),()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx y b a y bx xx xnx====---===---∑∑∑∑参考临界值表：()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n = a + b + c + d一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．“1x <”是“21x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，这种思维方式是（ ） A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．其它推理3．曲线221259x y -=与曲线221259+x y k k-=- （925k -<<）的（ ）A ．顶点相同B ．虚轴长相等C ．焦点相同D ．离心率相等 4．若命题“0x R ∃∈，20020x x a ++<”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥B ．1a >C ．1a ≤D ．1a <5．函数()2sin ,(0,)f x x x x π=-∈的单调递增区间是（ ） A ．(0,)πB ．(0,)3πC ．()3ππ,D ．2()33ππ,6．复平面内表示复数2(815)(4)z m m m i =-++-的点位于第四象限，则实数m的取值范围是（）A ．3,5（）B．,4-∞（）C ．,3(5)∞+∞(-)，D ．,3∞（-）7． 下列不等式中：；其中正确的序号是（ ） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①②④D ．③④8．阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的自然数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．设1()x f x xe =，21()()f x f x '=，…，1()()n n f x f x +'=（n ∈N*），则2017()f x =（ ） A ．xeB ．xxeC ．(2017)x x e +D ．(2016)x x e +10．以下四个椭圆方程所表示的图形中，其形状最圆的是（ ）A ．2211612x y +=B ．221610x y +=C ．22936x y +=D ．22936x y +=11．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量 12．已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，若()f x y x=在()0,+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，若函数()2ln f x hx x x =+，且()1f x ∈Ω，则实数h 的取值范围是（ ）A ．[)0,+∞B ．()0,+∞C ．(),0-∞D ．(],0-∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上） 13．复数2ii -的共轭复数为 ． 14. 已知经过计算和验证有下列正确的不等式:112>,111123++>,111312372++++>, 111122315++++>,,根据以上不等式的规律，写出一个一般性的不等式.（第8题图）15．已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比．如果车轮启动后转动第一圈需要0.8秒，则转动开始后第4秒的瞬时角速度为 弧度/秒． 16．教材上一例问题如下：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了 7组观测数据如下表，试建立y 与x 之间的回归方程．某同学利用图形计算器研究它时，先作出散点图（如右图所示），发现两个变量不呈线性相关关系． 根据已有的函数知识，发现样本点分布在某一条指数型曲线21c x y c e =的附近（1c 和2c 是待定的参数），于是进行了如下的计算：根据以上计算结果，可以得到红铃虫的产卵数y 对温度x 的回归方程为 ．（精确到0.0001） （提示：21c x y c e =利用代换可转化为线性关系）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17．（12分）数列{a n }中，10a =且132n n a a +=+． （1）求数列{a n }的前5项；（2）由（1）猜想数列{a n }的一个通项公式； （3）求证数列{1}n a +为等比数列．18．（10分）已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其面积为S ，则ABC ∆的内切圆O 的半径2Sr a b c=++．这是一道平面几何题，其证明方法采用“等面积法”．由平面类比到空间，设空间四面体ABCD 的各表面面积分别为1234,,,S S S S ，其体积为V ，四面体ABCD 的内切球半径为r ，试猜测对空间四面体ABCD 存在什么类似结论？并加以证明．19．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重. （1）大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病. 为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：问有多大的把握认为是否患心肺疾病与性别有关?（2）空气质量指数PM2.5（单位：μg/3m ）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重. 某市在2016年年初着手治理环境污染，改善空气质量，检测到2016年1～5月的日平均PM2.5指数如下表：试根据上表数据，求月份x 与PM2.5指数y 的线性回归直线方程ˆy bx a =+，并预测2016年8月份的日平均PM2.5指数 (保留小数点后一位).20．（12分）如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知AB 为直径，且2AB =km,O 为圆心，C 为圆周上靠近A的一点，D 为圆周上靠近B的一点，且CD //AB ．现在准备从A 经过C 到D 建造一条观光路线，其中A 到C 是圆弧AC ，C 到D 是线段CD ． 设rad AOC x ∠=，观光路线总长为km y ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）求观光路线总长的最大值．21．（12分）已知椭圆C 的方程为22212x y a +=(0)a >，其焦点在x 轴上，点Q 为椭圆上一点． （1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P 00(,)x y 满足2OP OM ON =+，其中M 、N 是椭圆C 上的点，直线OM 与ON的斜率之积为12-，求证：22002x y +为定值．22．（12分）已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，其中函数()y g x =的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴．（1）确定a 与b 的关系；（2）若0a ≥，试讨论函数()g x 的单调性．(第20题图)O密 封19．（12分）O(第20题图) 21．（12分）答题（2）1234535x ++++==，7976757372755y ++++==. ……（7分）121()()()nii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑(2)4(1)1001(2)2(3)1.741014-⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-==-++++. ……（9分）75( 1.7)380.1a y bx ∴=-=--⨯=， ……（10分） ˆ 1.780.1yx ∴=-+. 当8x =时，ˆ 1.7880.166.5y=-⨯+=，……（11分） 所以，预测2014年8月份的日平均PM2.5指数为66.5. ……（12分）20．解：（1）由题意知，1AC x x =⨯=，2cos CD x =． ……（3分）因为C 为圆周上靠近A 的一点，D 为圆周上靠近B 的一点，且//CD AB ， 所以02x π<<， ……（4分） 于是，2cos y x x =+，(0,)2x π∈． ……（6分）（2）记()2cos f x x x =+，则()12sin f x x '=-， ……（7分）令()0f x '=，得6x π=， ……（8分） 将()f x '，()f x 在(0,)2π上的变化情况列表如下：……（10分）由上表可知函数()f x 在π6x =处取得极大值，这个极大值就是最大值，即()66f ππ= ……（11分）答：观光路线总长的最大值为6π……（12分）21．解：（1）因为点Q 为椭圆上一点，所以217128a +=， ……（2分） 解得24a =， ……（3分）所以椭圆方程为22142x y +=． ……（5分）（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ， ……（6分）则2211142x y +=，2222142x y +=， 即221124x y +=，222224x y +=， ……（7分） 由已知121212OM ON y y k k x x ⋅=⋅=-，化简得121220x x y y +=， ……（8分） 2O P O M O N =+0121222x x x y y y =+⎧⇒⎨=+⎩ ……（9分）所以22220012122(2)2(2)x y x x y y +=+++222211221212(2)4(2)48x y x y x x y y =+++++1212204(2)x x y y =++20=（定值） ……（12分）22．解：（1）22()()ln g x f x ax bx x ax bx =++=++， ……（1分） 1()2g x ax b x'∴=++， ……（3分） 由题意得(1)120g a b '=++=， ……（4分） 21b a ∴=--． ……（5分）（2）11(21)(1)()2221(0)ax x g x ax b ax a x x x x--'=++=+--=>，……（6分） ①当0a =时，(1)()(0)x g x x x--'=>， ∴当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，于是，函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减． ……（7分） ②当112a >，即102a <<时，12()(1)2()(0)a x x a g x x x--'=>， ∴当01x <<或12x a >时，()0g x '>，当112x a<<时，()0g x '<， 于是，函数()g x 在(0,1)和(12,)a +∞上单调递增，在(11,)2a上单调递减．……（8分） ③当21a =，即12a =时，2(1)()0(0)x g x x x -'=≥>，于是，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增． ……（9分） ④当112a <，即12a >时，12()(1)2()(0)a x x a g x x x--'=>，∴当12xa<<或1x>时，()0g x'>，当112xa<<时，()0g x'<，于是，函数()g x在(0,12)a和(1,)+∞上单调递增，在(1,1)2a上单调递减．……（10分）综上，当0a=时，函数()g x在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；当12a<<时，函数()g x在(0,1)和(12,)a+∞上单调递增，在(11,)2a上单调递减；当12a=时，函数()g x在(0,)+∞上单调递增；当12a>时，函数()g x在(0,12)a和(1,)+∞上单调递增，在(1,1)2a上单调递减．……（12分）。
广东省中山市第一中学2017-2018学年高二下学期第三次统测(期末模拟)数学(理)试题
中山一中2017-2018第二学期高二级第三次统测（理数）命题人： 审题人：一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 若复数11miz i+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．()1,0- C ．()1,+∞ D ．(),1-∞-2．若二项式26()m x x-的展开式中3x 的系数为160-，m 的值为（ ） A ．4 B ．3 C.2 D ．1 3．若函数()x f x e mx =+有极值，则实数m 的取值范围( ) A ．0m > B ．0m < C ．1m >D ．1m <4．设()f x =⎩⎨⎧∈-∈]2,1(,2]1,0[,2x x x x ，则⎰2)(dx x f 等于( )A ．34B ．45C ．56D ．不存在5．为了检验设备M 与设备N 的生产效率，研究人员作出统计，得到如下表所示的结果，则附：参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.A ．有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择有关B ．没有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择有关C ．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为生产的产品质量与设备的选择有关D ．不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为生产的产品质量与设备的选择有关 6．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )A.48， D ．84，85 7．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变．则不同调整方法的种数是( )A.2283C A B. 2686C A C. 2286C A D. 2285C A 8．某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X 服从正态分布N(75，121)，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为( ) 人．(参考数据P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544) A ．261 B ．341 C ．477D ．6839．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为( ) A ．ln 2B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+10．51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）A ．- 40B ．- 20C ．20D ．4011. 甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X ，则()E X =( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.512．设函数()y f x =在(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(,)a b 上的导函数为()f x ''，若在(,)a b 上，()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”，已知当2m ≤时，3211()62f x x mx x =-+在(1,2)-上是“凸函数”，则()f x 在(1,2)-上 ( ) A.既有极大值,也有极小值 B.既有极大值,也有最小值 C.有极大值,没有极小值 D.没有极大值,也没有极小值 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知曲线y =2y x =-，13y x =-所围成的图形的面积为S ，则S =_______14．已知复数31(1)z i i =-，若复数z 满足1z =，则1z z -的最大值为_______15．某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只来测试，直到这4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现，则不同情况种数是______ （用数字作答）16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如11S =，22S =，32S =，44S =，……，则126S =______三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．） （一）必考题：共60分．17. （12分）（1）用分析法证明：a －a －1<a －2－a －3 (a ≥3).（2）已知 ，且 ，求证：与中至少有一个小于． 18. （12分）设数列满足，（1）求，， 的值，并猜想数列的通项公式（不需证明）；（2）记为数列的前项和，用数学归纳法证明：当时，有成立.19．（12分）大学生赵某参加社会实践，对机械销售公司1月份至6月份销售某种机械配件图②图①的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：（1）根据1至5月份的数据，求出y 关于x 的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．参考公式：回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，其中1221··ni i i n ii x y n x y b x nx==-=-∑∑， 参考数据：55211392,502.5i ii i i x yx ====∑∑．20．（12分）某校为了解开展校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：(1)求a ，b ，c 的值；(2)先用分层抽样的方法从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)； (3)某评估机构以指标M （，其中()D ξ表示ξ的方差）来评估该校开展安全教育活动的成效．若M ≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在(2)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案． 21．（12分）已知函数()(1)x f x e a x b =--+ （1）求函数()f x 的极小值；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，求证：（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线错误！未找到引用源。
2017-2018学年广东省中山一中高二下学期第一次段考数学理试题(Word版)
中山一中2017-2018学年第二学期高二级第 一 次 段 考 数学 试 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、函数2x y =在区间]2,1[上的平均变化率为（A ）2 （B ）3 （B ）4 （D ）5 2、若z i =-，则复数11z z++在复平面上对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、已知曲线32x y =上一点)2,1(A ，则A 处的切线斜率等于 （A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）2 4、方程)(04)4(2R a ai x i x ∈=++++有实根b ，且bi a z +=，则=z （A ）i 22- （B ）i22+ （C ）i 22+- （D ）i 22--5、在用反证法证明2=+b a 时的反设为（A ）2>+b a 且2<+b a （B ）2>+b a 或2<+b a （C ）2>+b a （D ）2<+b a6、某个命题与正整数有关，如果当)(*∈=N k k n 时，该命题成立；那么可推得当1+=k n 时命题也成立，现在已知当5=n 时，该命题不成立，那么可推得（A ）当6=n 时，该命题不成立 （B ）当6=n 时，该命题成立 （C ）当4=n 时，该命题不成立 （D ）当4=n 时，该命题成立7、复数)(212R m iim z ∈+-=不可能在 （A ）在第一象限（B ）在第二象限（C ）在第三象限（D ）在第四象限 8、函数32y x x =-的切线方程为(0)y x a a =+>，则a = （A ）2（B ）1（C ）3（D ）09、数列 ,1,2,3,4,5,1,2,3,4,1,2,3,1,2,1，则此数列的第50项是 （A ）5 （B ）6（C ）7 （D ）810、某运动员罚球命中得1分，不中得0分，如果该运动员罚球命中的概率为8.0，那么他罚球一次的得分X 的方差为（A ）14.0 （B ）16.0 （C ）18.0 （D ）2.011、计算⎰20)(dx x f （其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=)1(21)1(1)(2x x x x x f ）的结果为（A ）38 （B ）310 （C ）311 （D ）31312、若存在(0,)x ∈+∞使不等式21[1](31)1x e ax a +++-<成立，则实数a 的范围为A. 203(1)e a e +<<+ B. 201a e <<+ C. 23(1)e a e +<+ D. 11a e <+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
广东省中山一中2017-2018学年高二级第二学期第一次段考数学(理)试题
广东省中山一中2020-2021学年高二级第二学期第一次段考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数y =x 2在区间[1,2]上的平均变化率为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．若z i =-，则复数11z z -+在复平面上对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知曲线32y x =上一点(1,2)A ，则A 处的切线斜率等于A ．8B ．6C ．4D ．2 4．已知方程()()2440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于（ ）A ．22i -B ．22i +C ．22i -+D ．22i -- 5．在用反证法证明2a b +=时的反设为A ．2a b +>且2a b +<B ．2a b +>或2a b +<C ．2a b +>D ．2a b +<6．某个命题与自然数n 有关，若*()n k k N =∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时该命题也成立，现已知5n =时，该命题不成立，那么可以推得A ．6n =时该命题不成立B ．6n =时该命题成立C ．4n =时该命题不成立D ．4n =时该命题成立 7．复数2()12m i z m R i-=∈+不可能在 A ．在第一象限B ．在第二象限C ．在第三象限D ．在第四象限 8．函数32y x x =-的切线方程为(0)y x a a =+>，则a =A ．2B ．1C ．3D ．0 9．数列1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,5,4,3,2,1,，则此数列的第50项是A ．5B ．6C ．7D ．8 10．某运动员罚球命中得1分，不中得0分，如果该运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球一次的得分X 的方差为A ．0.14B ．0.16C ．0.18D ．0.2 11．计算20()f x dx ⎰（其中21(1)()1(1)2x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩）的结果为 A ．83 B ．103 C ．113 D ．13312．若存在(0,)x ∈+∞使不等式21[1](31)1x e ax a +++-<成立，则实数a 的范围为 A ．203(1)e a e +<<+ B ．201a e <<+ C ．23(1)e a e +<+ D ．11a e <+二、填空题 13．复数226(56)()2a a z a a i a R a +-=+-+∈+为纯虚数，则a 的取值是________ 14．在某次考试中，学号为(1,2,3,4)i i =的同学的考试成绩{}()85,87,88,90,93,94f i ∈，且(1)(2)(3)(4)f f f f <<<，则这四位同学的考试成绩的共有__________种；15．若在1)n x的展开式中，第4项是常数项，则n = 16．将集合{22|0t s s t +≤<，且,}s t Z ∈中所有的数按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12--- --- --- ------ --- --- --- ---则该数表中，从小到大第50个数为______________________三、解答题17．（1>;（2）如果,,a b c 是不全相等的实数，若,,a b c 成等差数列，用反证法证明：111,,a b c 不成等差数列.18．已知a 为实数，函数()()232f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,若()10f '-=.(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 证明对任意的()12,1,0x x ∈-，不等式()()12516f x f x -<恒成立. 19．甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是121,,352. (Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率；(Ⅱ)用X 表示乙投篮3次的进球数,求随机变量X 的概率分布及数学期望EX ；20．已知函数()0)f x x >，数列{}n a 满足1()a f x =，1()n n a f a +=． （1）求234a a a ，，；（2）猜想数列{}n a 的通项，并用数学归纳法予以证明．21．某班n 名同学的数学小测成绩的频率分布表如图所示，其中2b a c =+，且分数在[]90,100的有6人.（1）求n 的值;（2）若分数在[)40,50的人数是分数在[)50,60的人数的13，求从不及格的人中任意选取3人，其中分数在50分以下的人数为X ，求X 的数学期.22．已知a 为实常数，函数()ln 1f x x ax =-+.（1）若()f x 在(1,)+∞是减函数，求实数的取值范围；（2）当01a <<时函数()f x 有两个不同的零点1212,()x x x x <，求证：111x e<<且122x x +>.（注：e 为自然对数的底数）；（3）证明2*ln 2ln 3ln 4ln (N ,2).34514n n n n n n -+++<∈≥+参考答案1．B【解析】平均变化率为△y △x =22−122−1=3 2．D【解析】 分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数11z z -+在复平面上对应的点的坐标，即可得结果. 详解：因为211112i i i i i i --+=--+=--- 所以复数11z z-+在复平面上对应的点的坐标为()1,2-， 位于第四象限，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．B【解析】分析：求出曲线的导函数，然后把切点的横坐标代入导函数即可求出切线的斜率. 详解：322,'6y x y x =∴=，1x =时，'6y =，即A 处切线的斜率是6，故选B.点睛：本题主要考查导数的几何意义，以及已知切点坐标求斜率，属于简单题.要解答本题，首先必须掌握在曲线上某点的导函数就是该点处的切线斜率，先对函数求导，再将切点横坐标代入即可.4．A【解析】【详解】由b 是方程()()2440x i x ai a R ++++=∈的根可得()2440b i b ai ++++=,整理可得：()()2440b a i b b ++++=， 所以20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以22z i =-，故选A . 5．B 【解析】分析：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，命题“2a b +=”的否定，即是所求.详解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，因为命题“2a b +=”的否定为“2a b +≠”，用反证法证明2a b +=时的反设为“2a b +>或2a b +<”，故选B.点睛：本题考查命题的否定，用反证法证明数学命题，属于简单题.6．C【分析】根据数学归纳法的有关概念，利用5n =时命题不成立，得出4n =时命题不成立，而6n =无法判断.由此得出正确选项.【详解】假设4n =时该命题成立，由题意可得5n =时，该命题成立，而5n =时，该命题不成立，所以4n =时，该命题不成立.而5n =时，该命题不成立，不能推得6n =该命题是否成立．故选C ．【点睛】本小题主要考查数学归纳法的有关知识，考查归纳猜想的知识，属于基础题.7．A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，令复数实部、虚部大于零，得到不等式组无解，即对应的点不在第一象限. 详解：由已知()()()()()()2i 12i 2i 1421i 12i 12i 12i 5m m z m m ---⎡⎤===--+⎣⎦++-，复平面对应的点如果在第一象限，则4010m m ->⎧⎨+<⎩， 而此不等式无解，即在复平面对应的点不可能在第一象限，故选A.点睛：本题主要考查数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，考查复数的几何意义，复数与复平面内的以实部为横坐标，虚部为纵坐标的点一一对应.8．A【解析】分析：求出导函数2’32y x =-，令2321x -=可得切点坐标，将切点坐标代入切线方程即可得结果.详解：因为32y x x =-，所以，令2321x -=，得1x =±， 1x =时，切点坐标为()1,1-，代入切线方程可得2a =-，不合题意；1x =-时，切点坐标为()1,1-，代入切线方程可得2a =，符合题意，故选A.点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.9．B【解析】分析：分析给数列的变化规律，可以将数列如下分组：第一组1个数，为1；第二组2个数，为2,1；第三组3个数，为3,2,1,...，分析可得60项应该在第11组，列举第11组的每个数，即可得到结论.详解：根据题意，数列1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,5,4,3,2,1,...，可以将数列如下分组：第一组1个数，为1；第二组2个数，为2,1；第三组3个数，为3,2,1,...，前n 组共有()11234...2n n n ++++++=个数，第10组有123...1055++++=个数，第50项应该在第10组，第10组为10,9,8,7,6,...1，则第50项是6，故选B.点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.10．B【解析】分析：直接利用期望公式与方差公式求解即可.详解：()()10.8,00.2P P ξξ====，()10.800.2=0.8E ξ∴=⨯+⨯，()()()2210.80.810.20.2=0.16D ξ∴=-⨯+-⨯，故选B.点睛：本题考查离散型随机变量的期望与方差，属于中档题. 求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算． 11．A【解析】分析： ()()2122001112f x dx x dx x dx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，利用微积分基本定理求解即可.详解：()21,11,12x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩， ()()2122001112f x dx x dx x dx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 21011|26x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭321|x 38182663=+-=，故选A. 点睛：本题考查定积分的求法，考查计算能力.对于求分段函数以及含绝对值符号的函数求定积分，往往将所求定积分化为多个定积分的和或差解答.12．C【解析】 分析：21211[1](31)1311x x e ax a ax a e ++++-<⇒+-<+,先证明0a ≤符合题意，若0a >，利用单调性可得()3131g x ax a a =+->-，利用导数可得10()1f x e <<+，利用13110a e a ⎧-<⎪+⎨⎪>⎩可得结果. 详解：由21211[1](31)1311x x e ax a ax a e ++++-<⇒+-<+，（1）若0a ≤，当(0,)x ∈+∞时，310ax a +-<，而2110x e ++>，此时结论成立；（2）若0a >，由于212121212()'()01(1)x x x e f x f x e e +++-=⇒=<++，所以()f x 在(0,)+∞是减函数，则10()1f x e <<+. 由于()31g x ax a =+-与y 轴的交点为(0,31)a -，那么，如果存在(0,)x ∈+∞使不等式21[1](31)1x e ax a +++-<成立， 则1312013(1)0a e a e e a ⎧-<+⎪⇒<<+⎨+⎪>⎩，由（1）、（2）得实数a 的范围为23(1)e a e +<+，故选C. 点睛：本题考查不等式能成立问题，考查利用导数研究函数的单调性， 以及分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中。
广东省中山市2017-2018学年高二下学期期末统一考试数学(理)试题
中山市高二级2017-2018学年度第二学期期末统一考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么、、中至少有一个偶数.用反证法证明时，下列假设正确的是（）A. 假设、、都是偶数B. 假设、、都不是偶数C. 假设、、至多有一个偶数D. 假设、、至多有两个偶数2.的值为（）A. B. C. D.3.已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.通过随机询问名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：由算得参照附表，得到的正确结论（）A. 我们有以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别有关”B. 我们有以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关” 5.已知随机变量满足，，则下列说法正确的是（ ）A. ，B. ，C.，D.，6.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（ ）A.B.C. D.7.已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口连续遇到红灯的概率为，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（ ）A.B.C.D.8.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则（ ）A. 0.3B.C. 4D.9.已知随机变量的概率分布如下表，则（ ）A. B. C. D.10.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D.11.若，则（ ）A. B. C. D.12.为自然对数的底数，已知函数，则函数有唯一零点的充要条件是（）A. 或或B. 或C. 或D. 或第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.给出下列演绎推理：“自然数是整数，，所以是整数”，如果这是推理是正确的，则其中横线部分应填写___________．14.，，，，……则根据以上四个等式，猜想第个等式是__________．15.已知曲线在点处的切线为，则点的坐标为__________．16.江湖传说，蜀中唐门配置的天下第一奇毒“含笑半步癫”是由种藏红花，种南海毒蛇和种西域毒草顺次添加炼制而成，其中藏红花添加顺序不能相邻，同时南海毒蛇的添加顺序也不能相邻，现要研究所有不同添加顺序对药效的影响，则总共要进行__________此实验．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.以下是某地搜集到的新房源的销售价格（万元）和房屋的面积的数据：房屋面积销售价格学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（2）请根据（1）中的线性回归方程，预测该地当房屋面积为时的销售价格。
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中山一中2017-2018学年第二学期高二级第 一 次 段 考 数学 试 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、函数2x y =在区间]2,1[上的平均变化率为（A ）2 （B ）3 （B ）4 （D ）5 2、若z i =-，则复数11z z++在复平面上对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、已知曲线32x y =上一点)2,1(A ，则A 处的切线斜率等于（A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）2 4、方程)(04)4(2R a ai x i x ∈=++++有实根b ，且bi a z +=，则=z （A ）i 22- （B ）i22+ （C ）i 22+- （D ）i 22--5、在用反证法证明2=+b a 时的反设为（A ）2>+b a 且2<+b a （B ）2>+b a 或2<+b a （C ）2>+b a （D ）2<+b a6、某个命题与正整数有关，如果当)(*∈=N k k n 时，该命题成立；那么可推得当1+=k n 时命题也成立，现在已知当5=n 时，该命题不成立，那么可推得（A ）当6=n 时，该命题不成立 （B ）当6=n 时，该命题成立 （C ）当4=n 时，该命题不成立 （D ）当4=n 时，该命题成立7、复数)(212R m iim z ∈+-=不可能在（A ）在第一象限（B ）在第二象限（C ）在第三象限（D ）在第四象限 8、函数32y x x =-的切线方程为(0)y x a a =+>，则a = （A ）2（B ）1（C ）3 （D ）09、数列 ,1,2,3,4,5,1,2,3,4,1,2,3,1,2,1，则此数列的第50项是 （A ）5 （B ）6（C ）7 （D ）810、某运动员罚球命中得1分，不中得0分，如果该运动员罚球命中的概率为8.0，那么他罚球一次的得分X 的方差为（A ）14.0 （B ）16.0 （C ）18.0 （D ）2.011、计算⎰20)(dx x f （其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=)1(21)1(1)(2x x x x x f ）的结果为（A ）38 （B ）310 （C ）311 （D ）31312、若存在(0,)x ∈+∞使不等式21[1](31)1x eax a +++-<成立，则实数a 的范围为 A. 203(1)e a e +<<+ B. 201a e <<+ C. 23(1)e a e +<+ D. 11a e <+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13、复数)()65(2622R a i a a a a a z ∈+-++-+=为纯虚数，则a 的取值是 14、在某次考试中，学号为)4,3,2,1(=i i 的同学的考试成绩{}94,93,90,88,87,85)(∈i f ， 且)4()3()2()1(f f f f <<<，则这四位同学的考试成绩的所有 种；15、若在nxx )1(5-展开式中，第四项是常数项，则n 的值为 ； 16、将集合t s st<≤+0|22{，且},Z t s ∈中所有的数按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：3 5 6 9 10 12--- --- --- ------ --- --- --- ---则该数表中，从小到大第50个数为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本题满分10分）（1（2）如果c b a ,,是不全相等的实数，若c b a ,,成等差数列，用反证法证明：cb a 1,1,1不成等差数列。
18、（本题满分12分）已知a 为实数，函数23()()()2f x x x a =++．若(1)0f '-=，(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 证明对任意的12,(1,0)x x ∈-，不等式125()()16f x f x -<恒成立。
19、（本题满分12分）甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是13, 25 , 12 .(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率；(Ⅱ)用X 表示乙投篮3次的进球数,求随机变量X 的概率分布及数学期望EX ； 20、（本题满分12分） 已知函数)0(1)(2>+=x xx x f ，数列{}n a 满足)(1x f a =，)(1n n a f a =+；（1）求2a ，3a ，4a 并猜想数列{}n a 的通项 （2）对于（1）猜想的结论用数学归纳法予以证明 21、（本题满分12分）某班n 名同学的数学小测成绩的频率分布表如图所示，其中2b a c =+，且分数在[90,100]的有6人。
（1）求n 的值。
（2）若分数在[40,50)的人数是分数在[50,60)的人数的13，求从不及格的人中任意选取3人，其中分数在50分以下的人数为X ，求X 的数学期。
22、（本题满分12分）已知a 为实常数，函数()ln 1f x x ax =-+.（1）若)(x f 在),1(+∞是减函数，求实数a 的取值范围；（2）当10<<a 时函数()f x 有两个不同的零点1212,()x x x x <，求证：111x e<<且122x x +>.（注：e 为自然对数的底数）；（3）证明)2*,(41ln 54ln 43ln 32ln 2≥∈-<+++++n N n nn n n班级 登分号 姓名 统考号19、（本小题满分12分）21、（本小题满分12分）高二理科数学段考试题参考答案一、选择题：BDBABC AABBAC 12、C ；由21211[1](31)1311x x eax a ax a e ++++-<⇒+-<+（1）若0a ≤，当(0,)x ∈+∞时，310ax a +-<，而2110x e ++>，此时结论成立。
（2）若0a >，由于212121212()'()01(1)x x x e f x f x e e +++-=⇒=<++，所以()f x 在(0,)+∞是减函数，则10()1f x e <<+ 由于()31g x ax a =+-与y 轴的交点为(0,31)a - 那么，如果存在(0,)x ∈+∞使不等式21[1](31)1x eax a +++-<成立，则1312013(1)0a e a e e a ⎧-<+⎪⇒<<+⎨+⎪>⎩ 由（1）、（2）得实数a 的范围为23(1)e a e +<+二、填空题13、3-； 14、15种； 15、18； 16、1056； 三、解答题：17、（1只需证：22>即6785+>+7>4240>显然结论成立故（2）假设c b a 1,1,1成等差数列，则acca c ab +=+=112 由于c b a ,,成等差数列，得 c a b +=2①那么acb ac c a b 22=+=，即 ac b =2② 由①、②得c b a ==与c b a ,,是不全相等的实数矛盾。
故cb a 1,1,1不成等差数列。
18、(Ⅰ) ∵(1)0f '-=，∴33202a -+=，即94a =． ∴231()323()(1)22f x x ax x x '=++=++． 由()0f x '>，得1x <-或12x >-由()0f x '<，得112x -<<-．因此，函数()f x 的单调增区间为(,1]-∞-，1[,)2-+∞；单调减区间为1[1,]2--．(Ⅱ) 由(Ⅰ)的结论可知，()f x 在1[1,]2--上的最大值为25(1)8f -=，最小值为149()216f -=； ()f x 在1[,0]2-上的的最大值为27(0)8f =，最小值为149()216f -=． ∴()f x 在[1,0]-上的的最大值为27(0)8f =，最小值为149()216f -=． 因此，任意的12,(1,0)x x ∈-，恒有1227495()()81616f x f x -<-=． 19、(Ⅰ)记"甲投篮1次投进"为事件A 1 , "乙投篮1次投进"为事件A 2 , "丙投篮1次投进"为事件A 3, "3人都没有投进"为事件A . 则 P(A 1)= 13, P(A 2)= 25, P(A 3)= 12,∴ P(A) = P(A 1－A 2－A 3－)=P(A 1－)·P(A 2－)·P(A 3－)= [1－P(A 1)] ·[1－P (A 2)] ·[1－P (A 3)]=(1－13)(1－25)(1－12)=15∴3人都没有投进的概率为15.(Ⅱ)随机变量X 的可能值有0,1,2,3), X ~ B(3, 25),P(X =k)=C 3k (25)k (35)3－k (k=0,1,2,3) , EX =np = 3×25 = 65.20、（1）由)(1x f a =，得22222111221)1(111)(xx x x x xaa a f a +=+++=+==22222222331)21(1211)(xx x x x xaa a f a +=+++=+==22222333441)31(1311)(xx x x x x aa a f a +=+++=+==据此猜想：21nxx a n +=；（2）数学归纳法证明（略）21、（1）依题意得10(0.0350.0252)10.012c b a b b a c ++++=⎧⇒=⎨=+⎩因为，在[90,100]的有6人，所以6600.0110n ==⨯故n 的值为60（2）由0.020.00530.015a c a c a c +==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩， 于是，分数在[40,50)及[50,60)内的人数分别为3人与9人，即不及格的人数为12人。
从中任选3人，其中分数在50分以下的人数为X ，则X 的可取值分别为：0,1,2,33021120393939393333312121212212727(0),(1),(2),(3)5555220C C C C C C C CP X P X P X P X C C C C ============所以，X 的分布列如下：故X 的数学期为2127271210123555522022055EX =⨯+⨯+⨯+⨯=22、（1）因()ln 1f x x ax =-+，则xaxa x x f -=-=11)('，又)(x f 在),1(+∞是减函数所以01≤-ax 在),1(+∞∈x 时恒成立，则实数a 的取值范围为),1[+∞（2）因当10<<a 时函数()f x 有两个不同的零点1212,()x x x x <，则有01ln 1ln 2211=+-=+-ax x ax x ，则有12121ln 1ln x x a x x ++==.设1ln ()(0)x g x x x+=> . 2ln '()xg x x =-. 当01x << 时，'()0g x > ；当1x > 时，'()0g x < ；所以()g x 在(0,1) 上是增函数，在(1,)+∞ 上是减函数.()g x 最大值为(1)1g = .由于12()()g x g x = ，且01a << ，所以12121ln 1ln 01x x x x ++<=< ，又21x x <，所以111x e<<. 下面证明：当01x <<时，221ln 1x x x -<+ .设221(x)ln (0)1x h x x x -=->+ ， 则2222(1)'()0(1)x h x x x -=>+ .()h x 在(0,1] 上是增函数， 所以当01x <<时，()(1)0h x h <= .即当01x <<时，221ln 1x x x -<+..由101x <<得1()0h x < .所以211211ln 1x x x -<+.所以112111ln 21x x x x +<+ ，即12121xa x <+，112()1x x a ->，112ln ln()0x x a +->.又111ln ax x =+ ，所以1121ln()0ax x a -+->，112ln()1ax x a+->.所以111112222()ln()()1ln()10f x x a x x ax a a a a-=---+=-+-> .而0)(2=x f ，则有122()()f x f x a->.由（1）知x ax a x x f -=-=11)('，则)(x f 在)1,0(a 内单调递增，在),1(+∞a内单调递减，由1210x x a <<<，得121x a a ->.所以122x x a -<，1222x x a+>> .（3）由（1）知当1=a 时，1ln )(+-=x x x f 在),1(+∞上是减函数，且0)1(=f 所以当),1(+∞∈x 时恒有01ln <+-x x ，即1ln -<x x 当2*,≥∈n N n 时，有1ln 22-<n n ，即211ln -<+n n n ， 累加得：4)]1(21[211ln 43ln 32ln 2nn n n n -=-+++<++++ （2*,≥∈n N n ）。