北京四中初三数学期中试题 (含答案)
北京四中2020--2021学年度初三上学期期中数学试题及详细解析
北京四中2020--2021学年度初三上学期期中数学试题及详细解析北京四中2020-2021学年度初三上学期期中数学试卷及参考答案一、选择题：本大题共10个小题,每小题2分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A ．6，7，8B ．2，3，4C ．3，4，6D ．6，8，10 2.下列各式中，运算正确的是（）A B ．3= C ．2+= D 2=-3.如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，30B ∠=?，点D 为AB 的中点，若2AC =，则CD 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．54.右图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（）A ．区域①处B ．区域②处C ．区域③处D ．区域④处 5.用配方法解方程2410x x --=，方程应变形为（）A ．()223x += B ．()225x += C ．()223x -= D ．()225x -= 6.下列条件中，不能．．判定一个四边形是菱形的是（）A ．一组邻边相等的平行四边形B ．一条对角线平分一组对角的四边形 C ．四条边都相等的四边形D ．对角线互相垂直平分的四边形7.若a ，b ，c 满足0,0,a b c a b c ++=??-+=?则关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的解是（）A ．1，0B ．-1，0C ．1，-1D ．无实数根8.五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数.得到五个数据，并对数据进行整理和分析，给出如下信息：则下列选项正确的是（） A ．可能会有学生投中了8个B ．五个数据之和的最大值可能为30C ．五个数据之和的最小值可能为20D ．平均数m 一定满足4.2 5.8m ≤≤之间9.如图1，将矩形ABCD 和正方形EFGH 的分别沿对角线AC 和EG 剪开，拼成图2所示的平行四边形PQMN ，中间空白部分的四边形KRST 是正方形.如果正方形EFGH 与正方形KRST 的面积分别是16和1，则矩形ABCD 的面积为（）A ．15B ．16C ．17D ．2510.如图，正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D .设AE x =，矩形ECFG 的面积为y ，则y 与x 之间的关系描述正确的是（）A ．y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 先增大再减小B ．y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 先减小再增大C ．y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 一直保持不变D ．y 与x 之间不是函数关系二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）11.计算：已知x =y =xy = ．12.有意义的x 的取值范围是．13.如图，在平行四边形ABCD 中，2ED =，5BC =，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则CD 的长为．14.写出一个一元二次方程，两个根之中有一个为2，此方程可以是．15.《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。
北京四中2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)
北京四中2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列学生喜欢的手机应用软件图标中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.抛物线y=−(x−3)2−2的顶点坐标是()A. (3,−2)B. (−2,3)C. (2,3)D. (−3,−2)3.已知x2=y3(x,y都不等于0)，那么下列式子中一定成立的是()A. x+y=5B. 2x=3yC. xy =32D. xy=234.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE//AC，若DB=6，AB=8，BE=3，则EC的长是()A. 4B. 2C. 1D. 85.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，∠A=35∘，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，A′B′恰好经过点B，则旋转角α的度数为()A. 70∘B. 65∘C. 55∘D. 35∘6.抛物线y=2(x−2)2−1关于x轴对称的抛物线的解析式为()A. y=2(x−2)2+1B. y=−2(x−2)2+1C. y=−2(x−2)2−1D. y=−(x−2)2−17.已知抛物线y=x2−4x+3与x轴相交于点A，B(点A在点B左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为()A. y=x2+2x+1B. y=x2+2x−1C. y=x2−2x+1D. y=x2−2x−18.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m−1=0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为()A. 0B. −1C. 1D. 2二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.请写出一个开口向上，且过点(0,1)的抛物线的表达式______．10.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则abc________0，a−b+c________0，b+5a________0.(填“>”或“<”号)．11.在△ABC中，点M，N分别是边AC和BC的中点，△CMN的面积等于1，则四边形MNBA的面积是______．12.若A(−4,y1)，B(−3,y2)，C(1,y3)为二次函数y=x2+4x−m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是______ ．13.如图，在小孔成像问题中，小孔O到物体AB的距离是60cm，小孔O到像CD的距离是30cm，若物体AB的长为16cm，则像CD的长是_____cm．14.把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为______________．15.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是______________．16.如图，Rt△ODC的直角顶点D在y轴上，DC边上的点P(√2,2)在抛物线y=ax2上，将Rt△ODC绕点O逆时针旋转90°，得到△OBA，点A恰好在抛物线上，则点A的坐标为_______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.(1)已知二次函数图象的顶点坐标为(−1,4)，且经过点M(2,−5)，求该函数的解析式．(2)抛物线过点(−2,0)、(2,−8)，且对称轴为直线x=1，求其解析式．18.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE相交于F.求证：AF平分∠BAC．19.如图，在△ABC中，AB=AC，若△ABC≌△DEF，且点A在DE上，点E在BC上，EF与AC交于点M．求证：△ABE∽△ECM．20.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；①y随x变化的部分数值规律如下表：x−10123y03430②有序数对(−1,0)、(1,4)、(3,0)满足y=ax2+bx+c；③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分(如图)．(2)直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(−2,2)，B(−4,1)，C(−1,0)．(1)以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C(点A′与点A是对应点)，使△A′B′C的面积是△ABC的面积的4倍；(2)写出所画△A′B′C的顶点A′，B′的坐标．22.如图，已知抛物线y=−x2+bx+c的部分图象，A(1,0)，B(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的另一个交点是C点，求△ABC的面积．23.如图，点D，E在线段BC上，△ADE是等边三角形，且∠BAC=120°(1)求证：△ABD∽△CAE；(2)若BD=2，CE=8，求BC的长．24.某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w(双)与销售单价x(元)满足w=−2x+80(20≤x≤40)，设销售这种手套每天的利润为y(元)．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？25.数学兴趣小组的同学们，想利用自己所学的数学知识测量学校旗杆的高度：下午活动时间，兴趣小组的同学们来到操场，发现旗杆的影子有一部分落在了墙上(如图所示).同学们按照以下步骤进行测量：测得小明的身高1.65米，此时其影长为2.5米；在同一时刻测量旗杆影子落在地面上的影长BC为9米，留在墙上的影高CD为2米，请你帮助兴趣小组的同学们计算旗杆的高度．26.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线BC与抛物线y=x2+bx+c交于点B(3,0)和点C(0,3)，抛物线y=x2+bx+c过点B、C且与x轴的另一个交点为A．(1)求直线BC及该抛物线的表达式；(2)设该抛物线的顶点为D，求△DBC的面积．27.如图1，直角三角形ABC中，∠C=90°，CB=1，∠BCA=30°．(1)求AB、AC的长；(2)如图2，将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，将AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD．①连接CE，BD.求证：BD=EC；②连接DE交AB于F，请你作出符合题意的图形并求出DE的长．28.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0)(x1<x2)，且x1，x2是方程x2−2x−3=0的两个实数根，点C为抛物线与y轴的交点．(1)求点A，B的坐标；(2)分别求出抛物线和直线AC的解析式；(3)若将过点(0,2)且平行于x轴的直线定义为直线y=2.设动直线y=m(0<m<2)与线段AC、BC分别交于D、E两点．在x轴上是否存在点P，使得△DEP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念即可求解．解：A.不是中心对称图形，故此选项错误；B.不是中心对称图形，故此选项错误；C.是中心对称图形，故此选项错误；D.不是中心对称图形，故此选项正确．故选C．2.答案：A解析：解：y=−(x−3)2−2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(3,−2)．故选：A．已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)，对称轴是x=ℎ．3.答案：D解析：本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键.根据比例的性质，可得答案．解：A.x+y不一定等于5，故A错误；B.2y=3x，故B错误；C.xy =23，故C错误；D.xy =23，故D正确；故选D．4.答案：C解析：此题考查了平行线分线段成比例定理．注意掌握各比例线段的对应关系是解此题的关键．由△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE//AC，根据平行线分线段成比例定理，可得DB：AB=BE：BC，又由DB=6，AB=8，BE=3，即可求得答案．解：∵DE//AC，∴DB：AB=BE：BC，∵DB=6，AB=8，BE=3，∴6：8=3：BC，解得：BC=4，∴EC=BC−BE=1．故选C．5.答案：A解析：本题主要考查旋转的性质，根据直角三角形的性质可求解∠ABC=55∘，由旋转的性质可得∠B′CA′=∠ACB=90∘，结合CB′=CB可得∠CBB′=∠B′=55∘，进而求解α度数．解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，∠A=35∘，∴∠ABC=55∘，∵将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，∴∠B′=∠ABC=55∘，∠B′CA′=∠ACB=90∘，CB′=CB，∴∠CBB′=∠B′=55∘，∴α=∠BCB′=70∘，故选A．6.答案：B解析：本题考查了二次函数图象与几何变换．先确定抛物线y=2(x−2)2−1的顶点坐标为(2,−1)，再利用关于x轴对称的点的坐标特征得到新抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出新抛物线解析式．解：抛物线y=2(x−2)2−1的顶点坐标为(2,−1)，而(2,−1)关于x轴对称的点的坐标为(2,1)，所以所求抛物线的解析式为y=−2(x−2)2+1．故选：B．7.答案：A解析：此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A，B，M点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．解：当y=0，则0=x2−4x+3，(x−2)2=1，解得：x1=1，x2=3，∴A(1,0)，B(3,0)，y=x2−4x+3=(x−2)2−1，∴M点坐标为：(2,−1)，∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，∴平移后的解析式为：y=(x+1)2=x2+2x+1．故选：A．8.答案：A解析：本题考查二次函数的图象，解题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系，本题属于中等题型．根据抛物线的图象以及二次函数与一元二次方程的之间的关系即可求出答案．解：∵ax2+bx+m−1=0有两个不相等的实数根，∴ax2+bx=1−m有两个不相等的实数根，令y1=ax2+bx，y2=1−m，∴函数y1与函数y2的图象有两个交点，∴1−m<2，∴m>−1，∵m是整数，∴m的最小值为0，故选：A．9.答案：y=x2+1等．答案不唯一解析：解：依题意，满足题意的抛物线解析式为y=x2+1等，答案不唯一．故本题答案为：y=x2+1等．答案不唯一．开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点(0,1)，说明常数项c=1．本题考查了抛物线的对称轴与抛物线解析式的关系．关键是明确对称轴的值与顶点横坐标相同．10.答案：<，<，<解析：本题考查了二次函数图像与系数的关系，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数：b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．解：∵抛物线开口方向向下，∴a<0，∵对称轴在y轴右侧，∴−b2a>0，∴b>0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc<0；当x=−1时，y=a−b+c<0，∴a−b+c<0；∵对称轴为直线x=2，∴−b2a=2，∴b=−4a，∴b+5a=−4a+5a=a<0．故答案为<，<，<．11.答案：3解析：解：∵M，N分别为AC，BC的中点，∴MN为△ABC的中位线，∴MN//AB，且AB=2MN，∴△CMN∽△CAB，∴S△CABS△CMN =(ABMN)2=4，∴S△CAB=4S△CMN=4，∴S四边形ABNM=S△CAB−S△CMN=4−1=3．故答案为：3．利用三角形的中位线定理以及相似三角形的性质即可解决问题．本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用相似三角形的性质求出S△CAB的值是解题的关键．12.答案：y3>y1>y2解析：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别计算出自变量为−4，−3和1所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．解：当x=−4时，y1=x2+4x−m=16−16−m=−m；当x=−3时，y2=x2+4x−m=9−12−m=−3−m；当x=1时，y3=x2+4x−m=1+4−m=5−m；所以y3>y1>y2．故答案为y3>y1>y2．13.答案：8解析：[分析]根据相似三角形的性质即可解题．[详解]解：由小孔成像的特征可知，△OAB∽△OCD，由相似三角形的性质可知：对应高比=相似比=对应边的比，∴30:60=CD：16，解得：CD=8cm．[点睛]本题考查了相似三角形的判定和性质，属于简单题，熟悉性质内容是解题关键．14.答案：2√3解析：本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．解：∵每一个小长方形与原长方形相似，∴2x =x6，解得，x=2√3或x=−2√3(舍)，故答案为：2√3．15.答案：−1≤x≤2解析：解：根据图象可得出：当y1≥y2时，x的取值范围是：−1≤x≤2．故答案为：−1≤x≤2．根据图象可以直接回答，使得y1≥y2的自变量x的取值范围就是二次函数y1=ax2+bx+c的图象落在直线y2=kx+t上方的部分及交点对应的自变量x的取值范围．本题考查了二次函数的性质．本题采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得更形象、直观，降低了题的难度．16.答案：(−2,4)解析：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．先把P点坐标代入y=ax2求出a=1，得到抛物线的解析式为y=x2，再根据旋转的性质得OD= OB=2，∠ODC=∠OBA=90°，所以A点的横坐标为−2，然后把x=−2代入抛物线解析式计算出对应的函数值，于是确定A点坐标．解：由题意可得：OD=2，∠ODC=90°，把P(√2,2)代入y=ax2得2a=2，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2，∵Rt△ODC绕点O逆时针旋转90°，得到△OBA，∴OD=OB=2，∠ODC=∠OBA=90°，∴AB⊥x轴，∴A点的横坐标为−2，把x=−2代入y=x2得y=4，∴A点坐标为(−2,4)，故答案为(−2,4)．17.答案：解：(1)设所求函数的解析式为y=a(x+1)2+4，∵图象经过点M(2,−5)，∴−5=a(2+1)2+4，∴a=−1，∴y=−(x+1)2+4(或y=−x2−2x+3).解：(2)设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，则{4a−2b+c=04a+2b+c=−8−b2a=1，∴{a=1b=−2c=−8，∴y=x2−2x−8．解析：本题主要考查二次函数的图像与性质相关知识。
2020-2021学年数学北京四中初三期中试卷
2020-2021学年数学试卷（考试时间为120分钟，试卷满分为120分）班级 学号 姓名 分数一、选择题（每小题4分，共32分．下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．）1．下列事件是必然事件的是（ ）．A ．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和是6B ．掷一枚硬币，正面朝上C ．3个人分成两组，一定有两个人分在一组D ．打开电视，正在播放动画片2．抛物线2(1)2y x =-+可以由抛物线2x y =平移而得到，下列平移正确的是（ ）． A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位3．已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为10cm ，母线长为50cm ，则圆锥形纸帽的侧面积为（ ）． A ．2250cm πB ．2500cm πC ．2750cm πD ．21000cm π4．两圆半径分别为2和3，圆心坐标分别为（1，0）和（-4，0），则两圆的位置关系是（ ）．A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切 5．同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为（ ）．A ． 14B ．13C ．34D ．126．如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于(02)M ，，(08)N ，两点，则点P 的坐标是（ ）．A ．(53)，B ．(35)，C ．(54)，D ．(45)，7．抛物线21y x kx =++与2y x x k =--相交，有一个交点在x 轴上，则k 的值为（ ）． A ．0B ． 2C ．−1D ．148．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90C ∠=，6cm CD =，QPONxy MPQ ADCBAD ＝2cm ，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿BA 、AD 、DC 运 动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到C 点停止，两点运动时的速度 都是1cm/s ，而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C ．设P 点运动的时间为(s)t ，BPQ △的面积为y 2(cm )．下图中能正确表示整个运动中y 关于t 的函数关系的大致图象是（ ）．A ．B ．C ．D ． 二．填空题（每小题4分，本题共16分）9．正六边形边长为3，则其边心距是___________cm ．10．函数223(22)y x x x =+--≤≤的最小值为_________，最大值为__________．11．如图，在△ABC 中，BC =4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF =40°，则图中阴影部分的面积是_______________．12． 已知二次函数2y ax bx c =++满足：（1）a b c <<； （2）0a b c ++=；（3）图象与x 轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有．①0a < ②0a b c -+< ③0c > ④20a b -> ⑤ 124b a -<三．解答题（每小题5分，本题共30分）13．计算：()3031221250-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---π 14．用配方法解方程： 212302x x --=15． 已知221(1)(3)m m y m x m x m --=++-+，当m 为何值时，是二次函数？P AEFDC16．如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离 OC 为3 cm ．试求：（1）弦AB 的长； （2） AB⌒ 的长．17．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点位于x 轴下方，它到x 轴的距离为4，x 0 2 y−3−4−3（1（2）将表中的空白处填写完整；（3）在右边的坐标系中画出y =ax 2+bx +c 的图象； （4）根据图象回答：当x 为何值时， 函数y =ax 2+bx +c 的值大于0．_______________________18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 经过点D ． （1）求证：BC 是⊙O 切线； （2）若BD =5，DC =3，求AC 的长．xO yOC B A O A CB。
2022-2023学年北京四中九年级(上)期中数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年北京四中九年级（上）期中数学试卷1.下列四个图形中，是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.抛物线y=(x+2)2−1的顶点坐标是( )A. (−1,2)B. (−2,1)C. (−2,−1)D. (−1,−2)3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100∘，则∠A的度数为( )A. 30∘B. 50∘C. 80∘D. 100∘4.下列方程中，有两个相等的实数根的方程是( )A. x2+3x=0B. x2+2x−1=0C. x2+2x+1=0D. x2−x+3=05.若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为( )A. y=5(x−2)2+1B. y=5(x+2)2+1C. y=5(x−2)2−1D. y=5(x+2)2−16.如图，△OAB绕点O逆时针旋转75∘，得到△OCD，若∠AOB=40∘，则∠AOD等于( )A. 115∘B. 75∘C. 40∘D. 35∘7.如图，⊙O的半径是1，点P是直线y=−x+2上一动点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接OA，OP，则AP的最小值为( )A. √2−1B. 1C. √2D. √38.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0).如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( )A. 4mB. 7mC. 8mD. 10m9.已知某个二次函数的最小值为−1，请你写出一个符合，上述条件的二次函数的表达式为______.10.已知扇形的半径为2cm，圆心角为120∘，则此扇形的弧长是______ cm.11.A(−1,y1)，B(2,y2)在二次函数y=−x2+2x+1的图象上，则y1与y2的大小关系为______.(用“>”，“<”，“=”连接)12.若抛物线y=x2+4x+m与x轴没有公共点，则m的取值范围是______.13.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是__________.14.如图，MA，MB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若∠AMB=60∘，AB=√3，则⊙O的半径等于______.15.为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国．今年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为______.16.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=−1，它的图象经过点A(1,y1)，B(−2,y2)，C(−4,0).对于下列四个结论：①y1<y2；②c=−8a；③方程ax2+bx+c=0的解为x1=−4，x2=2；④对于任意实数t，总有a(t2+9)+bt+c≤0.其中正确的结论是______(填写序号).17.解下列方程：(1)x2−5x=0；(2)2x2−x−1=0.18.下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O和⊙O外一点P.求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，①连接OP；OP的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②分别以点O和点P为圆心，大于12③作直线MN，交OP于点C；④以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；⑤作直线PA，PB.直线PA，PB即为所求作⊙O的切线．(1)请根据上述作法完成尺规作图；(2)连接OA，OB，可证∠OAP=∠OBP=90∘，理由是______；(3)直线PA，PB是⊙O的切线，依据是______.19.已知二次函数C：y=−x2+2x+3.(1)将y=−x2+2x+3化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)在图中画出二次函数C的图象；(3)当−1≤x≤2时，利用图象直接写出y的取值范围．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(−1,1)，B(−4,2)，C(−3,3).(1)将△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1；(2)将△ABC绕点A顺时针旋转90∘得到△AB2C2，请在图中画出△AB2C2；(3)连接A1C2，线段A1C2的长等于______.21. 已知关于x 的方程kx 2+(k −2)x −2=0(k ≠0).(1)求证：此方程总有实数根；(2)若k 为整数，且此方程有两个不相等的整数根，求k 的值．22. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，CD =8，BE =2.求⊙O 的半径.23. 如图，有一农户要建一个矩形菜地，菜地的一边利用长为12m 的墙(AD ≤12m)，另外三边用26m 长的篱笆围成．求当矩形的边长BC 为多少m 时，菜地面积为80m 2？24. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，CD 平分∠ACB ，交AB 于点E ，交⊙O 于点D ，延长BA 到点P ，使得PE =PC.(1)求证：PC 与⊙O 相切；(2)若⊙O 的半径5，AC =6，求CD 的长．25. 已知函数y =x 2+bx +c(x ≥2)的图象过点A(2,1)，B(5,4).(1)直接写出y =x 2+bx +c(x ≥2)的解析式；(2)如图，请补全分段函数y ={−x 2+2x +1(x <2)x 2+bx +c(x ≥2)的图象(不要求列表). 并回答以下问题：①写出此分段函数的一条性质：______；②若此分段函数的图象与直线y =m 有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m 的取值范围；(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记(2)中函数的图象与直线y =12x −1围成的封闭区域(不含边界)为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．26.已知，抛物线C1：y=−x2+bx+c经过点A(2,1)，B(0,1).(1)求抛物线C1的对称轴；(2)平移抛物线C1：y=−x2+bx+c，使其顶点在直线y=−2x+1上，设平移后的抛物线C2的顶点的横坐标为m.求抛物线C2与y轴交点的纵坐标的最大值．(3)在(2)的条件下，抛物线C2与y轴交于点M，将其向左平移2个单位得到点N，若抛物线C2与线段BN只有1个公共点，直接写出m的取值范围．27.如图，在正方形ABCD中，点E在线段CB的延长线上，连接AE，并将线段AE绕点E顺时针旋转90∘，得到线段FE，连接AF，BD，CF，线段AF与线段BD相交于点M.(1)请写出∠ECF的度数，并给出证明；(2)求证：点M是线段AF的中点；(3)直接写出线段CF，BM和AD的数量关系．28.在平面直角坐标系xOy中，已知点A和B，对于点P定义如下：以点A为对称中心作点P 的对称点，再将对称点绕点B逆时针旋转90∘，得到点Q，称点Q为点P的反转点．已知⊙O的半径为1.(1)如图，点A(2,1)，B(3,2)，点P在⊙O上，点Q为点P的反转点．①当点P的坐标为(−1,0)时，在图中画出点Q；②当点P在⊙O上运动时，求线段AQ长的最大值；(2)已知点A是⊙O上一点，点B和P是⊙O外两个点，点Q为点P的反转点．若点P在第一象限内，点B在第四象限内，当点A在⊙O上运动时，直接写出线段PQ长的最大值和最小值的差．答案和解析1.【答案】B【解析】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：B.根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2.【答案】C【解析】解：∵y=(x+2)2−1，∴抛物线顶点坐标为(−2,−1)，故选：C.由二次函数顶点式求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．3.【答案】B【解析】解：∵∠BOC=100∘，∴∠A=12∠BOC=50∘.故选：B.直接根据圆周角定理即可得出结论．本题考查的是三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．4.【答案】C【解析】解：A、Δ=9−4×1×0=9>0，故A不符合题意．B、Δ=4−4×1×(−1)=8>0，故B不符合题意．C、Δ=4−4×1×1=0，故C符合题意．D、Δ=1−4×1×3=−11<0，故D不符合题意．故选：C.根据根的判别式即可求出答案．本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．5.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据平移规律，可得答案．【解答】解：y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为y=5(x−2)2+1，故选A.6.【答案】D【解析】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转75∘到△OCD的位置，∴∠BOD=75∘，∴∠AOD=∠BOD−∠AOB=75∘−40∘=35∘.故选：D.首先根据旋转角定义可以知道∠BOD=75∘，而∠AOB=40∘，然后根据图形即可求出∠AOD.此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识．7.【答案】B【解析】解：∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，且OA=1，∴当OP最小时，PA最小，∴当OP与直线y=−x+2垂直时，OP最小，如图，设直线y=−x+2交x轴、y轴于点B、C，则B(2,0)，C(0,2)，∴OB=OC=2，∴BC=2√2，∴OP=1BC=√2，即OP的最小值为√2，2∴PA的最小值=√OP2−OA2=1，故选：B.连接OA、OP，由切线性质可知OA⊥PA，且OA=1，则当OP最小时，PA最小，故当OP与直线y=−x+2垂直时，PA最小，再利用等腰直角三角形的性质可求得OP的值，可求得答案．本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．8.【答案】C【解析】解：设运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系为y =ax 2+bx +c ，把图中数据(0,20)，(5,22.75)，(14,21,40)代入解析式，得{25a +5b +c =22.75196a +14b +c =21.40c =20，解得{a =−0.05b =0.80c =20.00，∴y =−0.05x 2+0.80x +20.00=−0.05(x −8)2+23.20，∵−0.05<0，∴当x =8时，y 最大，故选：C.根据图中数据用待定系数法求函数解析式，再根据函数的性质求y 最大时x 的值即可．本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题关键是求出函数解析式．9.【答案】y =x 2−1(答案不唯一)【解析】解：∵抛物线y =x 2−1开口向上，顶点坐标为(0,−1)，∴函数最小值为−1，故答案为：y =x 2−1.(答案不唯一)根据二次函数顶点纵坐标为函数最值求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．10.【答案】43π【解析】解：扇形的弧长=120⋅π⋅2180=43πcm.故答案为4π3.直接利用弧长公式计算．本题考查了弧长的计算：记住弧长公式：l =nπR 180(弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R)，在弧长的计算公式中，n 是表示1∘的圆心角的倍数，n 和180都不要带单位．11.【答案】<【解析】解：当x=−1时，y1=−x2+2x+1=−1−2+1=−2，当x=2时，y2=−x2+2x+1=−4+4+1=1，所以y1<y2.故答案为：<.分别计算出自变量为−2和1对应的函数值即可得到y1与y2的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．12.【答案】m>4【解析】解：∵若抛物线y=x2+4x+m与x轴没有公共点，∴Δ=b2−4ac=42−4×1×m<0.即16−4m<0，解得：m>4，故答案为：m>4.根据抛物线与x轴的没有交点，即Δ=b2−4ac<0，即可求出m的取值范围．本题主要考查抛物线与x轴的交点．熟记抛物线与x轴的交点个数与系数的关系是解决此题的关键．13.【答案】(2,1)【解析】【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理．【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是(2,1).故答案为：(2,1).14.【答案】1【解析】解：∵MA、MB是⊙O的两条切线，A、B为切点，∠AMB=30∘，∠OAM=90∘，∴AM=BM，∠OMA=12∵OA=OB，∴OM是AB的垂直平分线，∵AB=√3，∴AC =√32，Rt △OAM 中，∠AOM =60∘，∵∠ACO =90∘，∴sin60∘=AC OA ，∴OA =√32√32=1，∴⊙O 的半径等于1，故答案为：1.根据切线长定理可得：AM =BM ，∠OMA =12∠AMB =30∘，∠OAM =90∘，由同圆的半径相等可知：OA =OB ，所以根据线段垂直平分线的逆定理可知：OM 是AB 的中垂线，由∠AOM =60∘，利用特殊的三角函数值或直角三角形30度的性质可得圆的半径的长．本题考查了切线长定理、线段垂直平分线的性质、三角函数等知识，熟练掌握切线长定理是关键．15.【答案】12000(1+x)2=27000【解析】解：依题意得12000(1+x)2=27000，故答案为：12000(1+x)2=27000.利用今年8月份的盈利=今年6月份的盈利×(1+6月份到8月份盈利的月平均增长率)2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16.【答案】②③【解析】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线x =−1，1−(−1)>−1−(−2)，∴点A 与对称轴的距离大于点B 与对称轴的距离，∴y 1>y 2.①错误．∵抛物线经过C(−4,0)，对称轴为直线x =−1，∴抛物线经过(2,0)，∴方程ax 2+bx +c =0的解为x 1=−4，x 2=2，③正确．∵−b 2a =−1，∴b =2a ，由抛物线经过(2,0)可得4a +2b +c =8a +c =0，∴c =−8a ，②正确．∵抛物线开口向上，4ac−b 24a =−32a 2−4a 24a =−9a ，∴函数最小值为y=−9a，∴at2+bt+c≥−9a，即a(t2+9)+bt+c≥0，④错误．故答案为：②③．根据抛物线开口方向及点A，B与对称轴距离的大小关系可判断①，由抛物线对称轴可得a与b 的关系，由抛物线经过(−4,0)可得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而判断②③，由b与a，c与a的关系可得抛物线顶点纵坐标，从而判断④．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．17.【答案】解：(1)x2−5x=0，x(x−5)=0，x=0或x−5=0，所以x1=0，x2=5；(2)2x2−x−1=0，(2x+1)(x−1)=0，2x+1=0或x−1=0，，x2=1.所以x1=−12【解析】(1)利用因式分解法把方程转化为x=0或x−5=0，然后解一次方程即可；(2)利用因式分解法把方程转化为2x+1=0或x−1=0，然后解一次方程即可．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．18.【答案】直径所对的圆周角为直角过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线【解析】解；(1)如图，PA、PB为所作；(2)∵OP为直径，∴∠OAP=∠OBP=90∘；故答案为：直径所对的圆周角为直角；(3)∵∠OAP=∠OBP=90∘，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∵OA、OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB是⊙O的切线．故答案为：过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．(1)根据几何语言画出对应的几何图形即可；(2)根据圆周角求解；(3)根据切线的判定定理求解．本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、圆周角定理和切线的判定．19.【答案】解：(1)y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4；(2)由y=−(x−1)2+4得顶点坐标为(1,4)，开口向下，当x=0时，y=3，当x=3或−1时，y=0，作出函数图象如下图所示，(3)由图象可知，当x=1时，y最大值=4；当x=−1时，y最小值=0，∴当−1≤x≤2时，y的取值范围为0≤y≤4.【解析】(1)由完全平方公式化为顶点式；(2)由顶点式得到顶点坐标，再画出几个点，然后用平滑的曲线连接，从而得到二次函数的图象；(3)结合函数图象求出y的取值范围．本题考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象和二次函数的性质，解题的关键是准确画出二次函数的图象．20.【答案】5【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；(2)如图，△AB2C2即为所求；(3)线段A1C2的长=√32+42=5.故答案为：5.(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；(2)利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B2，C2即可；(3)利用勾股定理求解即可．本题考查作图-旋转变换，平移变换，勾股定理等知识，解题的关键是周围旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．21.【答案】(1)证明：∵k≠0，Δ=(k−2)2−4k×(−2)=(k+2)2≥0，∴方程总有两个实数根；(2)解：kx2+(k−2)x−2=0(k≠0)，(kx−2)(x+1)=0，，x2=−1，解得x1=2k因为该方程的两根均整数，所以2为整数，k∵方程有两个不相等的整数根，∴Δ=(k−2)2−4k×(−2)=(k+2)2>0，∴k≠−2，∴整数k为±1或2.【解析】(1)先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程总有两个实数根；(2)先利用因式分解法求得kx2+(k−2)x−2=0(k≠0)的解为x1=2，x2=−1，然后根据整数k的整除性可确定整数k的值．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．22.【答案】解：连接OC，设⊙O的半径为x.∵直径AB⊥弦CD，CD=4，∴CE=12在Rt△OEC中，由勾股定理可得x2=(x−2)2+42，解得x=5，∴⊙O的半径为5.【解析】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出CE是解此题的关键.连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可.23.【答案】解：设矩形菜地AB的长为x m，则BC的长为(26−2x)m，由题意得：x(26−2x)=80，化简得：x2−13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26−2x=16>12(不合题意舍去)，当x=8时，26−2x=10，∴BC的长为10m，答：当矩形的边长BC为10m时，菜地面积为80m2.【解析】设矩形菜地AB的长为x m，则BC的长为(26−2x)m，由矩形的面积公式建立方程，解方程即可．本题考查了一元二次方程的应用、矩形的面积公式等知识，解答时寻找题目的等量关系是关键．24.【答案】(1)证明：如图，连接OC、OD，则OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∵AB是⊙的直径，∴∠ACB=90∘，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=1∠ACB=45∘，2∴∠AOD=2∠ACD=90∘，∵PE=PC，∴∠PCE=∠PEC，∵∠PEC=∠OED，∴∠PCE=∠OED，∴∠OCP=∠PCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90∘，∴PC⊥OC，∵OC是⊙O的半径，∴PC与⊙O相切．(2)解：如图，连接BD，在Rt△ABC中，AC=6，AB=10，∴BC=√AB2−AC2=8，∵∠PCA+∠OCA=90∘，∠B+∠OAC=90∘，∠OCA=∠OAC，∴∠PCA=∠B，∵∠P=∠P，∴△PAC∽△PCB，∴AP CP =CP BP =AC BC =68=34，∴CP 2=PA ⋅PB ，CP =43AP ，∴CP 2=AP(AP +10)，∴169AP 2=AP 2+10AP ，∴AP =907或AP =0(不符合题意，舍去)，∴CP =PE =1207，∴AE =PE −PA =1207−907=307，∵∠BOD =2∠BCD =90∘，OB =OD =5，∴BD =√OB 2+OD 2=√52+52=5√2，∵∠BCD =∠ECA ，∠CDB =∠CAE ，∴△CDB ∽△CAE ，∴CD AC =BD AE， ∴CD =AC⋅BD AE =6×5√2307=7√2，∴CD 的长是7√2.【解析】(1)连接OC 、OD ，先证明∠AOD =2∠ACD =90∘，再证明OCP =∠PCE +∠OCD =∠OED +∠ODC =90∘，即可证明PC 与⊙O 相切；(2)连接BD ，根据勾股定理求出BC =8，先证明△PAC ∽△PCB ，得AP CP =CP BP =AC BC =34，所以PC 2=PA ⋅PB ，即可求得AP =907，CP =PE =1207，AE =307，再由勾股定理求得BD =5√2，然后证明△CDB ∽△CAE ，即可根据相似三角形的对应边成比例求得CD =7√2.此题重点考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．25.【答案】抛物线关于点(2,1)成中心对称【解析】解：(1)把A(2,1)，B(5,4)代入解析式得：{4+2b +c =125+5b +c =4， 解得{b =−6c =9， ∴y =x 2+bx +c(x ≥2)的解析式为y =x 2−6x +9；(2)如图所示：①性质：抛物线关于点(2,1)成中心对称，故答案为：抛物线关于点(2,1)成中心对称；②由图象可得：实数m的取值范围为0<m<2；(3)如图：由函数图象可得：“W区域“内所有整点的坐标为(0,0)，(1,1).(1)用待定系数法求函数解析式即可；(2)①根据函数图象写出性质即可；②由图象可求出m的取值范围；(3)根据图象求整点坐标即可．本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，关键是对函数性质的掌握和运用．26.【答案】解：(1)∵抛物线C1：y=−x2+bx+c经过点A(2,1)，B(0,1)，∴{−4+2b+c=1c=1，解得{b =2c =1， ∴抛物线C 1：y =−x 2+2x +1，∴抛物线C 1的对称轴为直线x =−22×(−1)=1；(2)∵抛物线C 2的顶点的横坐标为m ，抛物线顶点在直线y =−2x +1上， ∴抛物线顶点纵坐标为−2m +1，∴抛物线C 2的解析式为y =−(x −m)2−2m +1，将x =0代入y =−(x −m)2−2m +1得y =−m 2−2m +1， ∴抛物线与y 轴交点的纵坐标为−m 2−2m +1，∵−m 2−2m +1=−(m +1)2+2，∴抛物线C 2与y 轴交点的纵坐标的最大值为2.(3)由(2)得抛物线与y 轴交点M 坐标为(0,−m 2−2m +1)， ∴点N 坐标为(−2,−m 2−2m +1)，当m =0时，抛物线顶点坐标为M(0,1)，与点B 重合，符合题意，当m >0时，抛物线延直线y =−2x +1向下移动，不符合题意，当m <0时，抛物线延直线y =−2x +1向上移动，当点N落在抛物线上时，由点M，N的对称性可得抛物线对称轴为直线x=−1，∴m=−1，∴−1≤m≤0符合题意，当m减小，点M与点B重合时，−m2−2m+1=1，解得m=0(舍)或m=−2，∵−m2−2m+1=−(m−1)2+2，∴m<−2时，点M向下移动，∴m≤−2符合题意．综上所述，−1≤m≤0或m≤−2.【解析】(1)通过待定系数法求解．(2)由C2的顶点的横坐标为m，顶点在直线y=−2x+1上，可得抛物线C2的顶点式，将x=0代入解析式求出抛物线与y轴交点纵坐标，再通过配方法求解．(3)由点M坐标可得点N坐标，由抛物线C2的顶点在直线y=−2x+1上可得抛物线的运动轨迹，结合图象求解．本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．27.【答案】(1)解：∠ECF=45∘，理由如下：如图1，过点F作FG⊥CB于G，由旋转得：AE=EF，∠AEF=90∘，∴∠AEB+∠FEG=90∘，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABE=90∘，AB=BC，∴∠BAE+∠AEB=90∘，∴∠BAE=∠FEG，∵∠ABE=∠EGF=90∘，∴△ABE≌△EGF(AAS)，∴AB=EG，BE=FG，∴EG=BC，∴BE=CG，∴FG=CG，∵∠CGF=90∘，∴∠ECF=45∘；(2)证明：如图2，过点F作FH//CD，交BD于H，交BC于G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB//CD，AB=CD，∠DBC=45∘，∵∠ECF=45∘，∴∠ECF=∠DBC，∴BD//CF，∴四边形DHFC是平行四边形，∴FH=CD，∵AB=CD，∴AB=FH，∵AB//CD，CD//FH，∴AB//FH，∴∠ABM=∠FHM，∵∠AMB=∠FMH，∴△ABM≌△FHM(AAS)，∴AM=FM，∴点M是线段AF的中点；(3)解：√2AD=2BM+FC，理由如下：∵△ABD是等腰直角三角形，∴BD=√2AD，由(2)知：△ABM≌△FHM，四边形DHFC是平行四边形，∴BM=MH，HD=FC，∵BD=BM+MH+HD，∴√2AD=2BM+CF.【解析】(1)如图1，过点F作FG⊥CB于G，证明△ABE≌△EGF(AAS)，可得△CGF是等腰直角三角形，即可解答；(2)如图2，过点F作FH//CD，交BD于H，交BC于G，证明四边形DHFC是平行四边形，得FH=CD，再证明△ABM≌△FHM(AAS)，可得结论；(3)根据(2)中的结论可解答．本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型．28.【答案】解：(1)①如图，当P(−1,0)时，点P关于点A的对称点P′(5,2)，把点P′绕点B逆时针旋转90∘得到Q(3,4).图形如图所示．②当点P在⊙O上运动时，点P关于点A的对称点P″在以T(4,2)为圆心，半径为1的圆上运动，此时点P关于点B的旋转对称点Q在圆J(3,3)为圆心，半径为1是圆上运动到，连接AJ.∵AJ=√12+22=√5，∴AQ的最大值=√5+1；(2)如图，作直径PD，连接P′D，AO.∵PA=AP′，OP=OD，∴DP′=2AO=2，∴当点P确定时，点P′的运动轨迹是以D为圆心，2为半径的圆，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转90∘，得到BG，连接GQ.∵∠P′BQ=∠DBG=90∘，∴∠P′BD=∠GBQ，∵BP′=BQ，BD=BG，∴△P′BD≌△QBG(SAS)，∴DP′=BG=2，∴此时点Q的运动轨迹是以G为圆心，2为半径的圆，∴PQ的最大值与最小值的差是2.【解析】(1)①如图，当P(−1,0)时，点P关于点A的对称点P′(5,2)，把点P′绕点B逆时针旋转90∘得到Q(3,4).图形如图所示．②判断出的Q的运动轨迹，可得结论；(2)如图，作直径PD，连接P′D，AO.证明DP′=2AO=2，推出当点P确定时，点P′的运动轨迹是以D为圆心，2为半径的圆，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转90∘，得到BG，连接GQ.证明△P′BD≌△QBG(SAS)，推出DP′=BG=2，推出此时点Q的运动轨迹是以G为圆心，2为半径的圆，由此可得结论．本题属于几何变换综合题，中心对称变换，旋转变换，全等三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
北京四中111104初三数学期中试卷
数学试卷（考试时间为120分钟，试卷满分为120分）班级 _________ 学号 __________ 姓名 _____________ 分数 __________________一、选择题（每小题4分，共32分.下列各题均有四个选项，其中只有一个.是符合 题意的.）1 •下列事件是必然事件的是（ ）.A .随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和是 6B. 掷一枚硬币，正面朝上C. 3个人分成两组，一定有两个人分在一组D. 打开电视，正在播放动画片2. 抛物线y （x 1）2 2可以由抛物线y x 2平移而得到，下列平移正确的是（）.4. 两圆半径分别为2和3,圆心坐标分别为（1，0）和（-4，0），则两圆的位置关 系是（）.A .先向左平移1个单位，再向上平移B .先向左平移1个单位，再向下平移 C .先向右平移1个单位，再向上平移 D .先向右平移1个单位，再向下平移3. 已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为 面积为（）.2个单位 2个单位 2个单位2 A. 250 cm2 B. 500 cm C. 750 cm 2 D . 1000 cm 2A .外离B .外切C .相交D .内切 5.同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为（）. C .6.如图, 在平面直角坐标系中，点D.- 2 P 在第一象限, 相切于点Q ,与y 轴交于M （0,2）, N （0,8）两点，则点P 的坐标是 ( ). A . (5,3) B . (3,5) C . (5,4) D . (4,5) 抛物线 x 2 kx 1 与 y x 2 x k 相交, 有一个交点在 )轴上, k 的值为-4BC , 如图，在直角梯形 AD = 2cm ,动点P 、Q 同时从点B 出发， 动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到C 点停止，两点运动时的速度 都是1cm/s ,而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C . ABCD 中, AD // C 90o , CD 点P 沿P 与x 轴 6cm ,DQ设P点运动的时间为t(s), △ BPQ的面积为y(cm2).下图中能正确表示整个运动中y关于t的函数关系的大致图象是( ).填空题(每小题4分，本题共16 分)9.正六边形边长为3,则其边心距是 _________ m.10.函数y x22x 3( 2 x 2)的最小值为_________ 最大值为11.如图，在△ ABC中，BC=4,以点A为圆心，2为半径的O A 与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是。
2024-2025学年北京四中初三上学期期中数学试题及答案
数学试卷班级__________ 姓名__________学号__________ 成绩__________一、选择题 (共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．下面四个标志中是中心对称图形的是（ ）.A ．B ．C ．D ．2．方程220x x -=的根是（ ）. A ．0x =B ．2x =C ．0x =或2x =D ．0x =或2x =-3．若1(3,)A y -，2(2,)B y -，3(3,)C y 为二次函数21y x =+（）图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）. A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<4．二次函数(5)(7)y x x =-+的图象的对称轴是（）. A ．直线1x =- B ．直线1x =C ．直线2x =D ．直线6x =5．如图，AB 为O 直径，点C 、D 在O 上，如果70ABC ∠=︒，那么D ∠的度数为（ ）.A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．70︒6．2024年北京第一季度GDP 约为1.058万亿元，第三季度GDP 约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP 增长率为x ，则可列关于x 的方程为（ ）. A ．21.058(1) 1.167x -= B ．1.058(12) 1.167x +=C ．21.058(1) 1.167x +=D ．21.167(1)1.058x -=7．如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时 的B 、D 两点并延长，交过整点8时的切线于点P ，若切线长2PC =，则表盘的半径长为（ ）.A ．3B． C ． D．A8．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的篱笆（不包括门）总长为12m ，现有四种方案（如图）中面积最大的方案为（ ）. A 方案为一个封闭的矩形B 方案为一个等边三角形，并留一处1m 宽的门C 方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门D 方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1m 宽的门A. B.C. D.二、填空题（共16分，每题2分）9．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为 ．10．如图，四边形ABCD 内接于O ，E 为BC 延长线上一点，50A ∠=︒，则DCE ∠的度数为 ．11．抛物线256y x x =-+与y 轴的交点的坐标是 ．12．如图，PA 、PB 分别切O 于A 、B 两点，点C 为AB 上一点，过点C 作O 的切线分别交PA 、PB 于M 、N 两点，若△PMN 的周长为10，则切线长PA 等于 ．第10题图 第12题图13．已知22310a a -+=，则代数式2(3)(3)a a a -++的值为 ．14．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm ，开口AB 宽为12cm ，这个水容器所能装水的最大深度．．．．是 cm ．图1 图2 第15题图15．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)-， 对称轴为直线2x =，抛物线与y 轴交点在(0,1)A 和(0,2)B 之间（不与A 、B 重合）．下列结论：①0abc >； ②93a c b +>； ③40a b +=； ④当0y >时，15x -<<； ⑤a 的取值范围为2155a -<<-． 其中正确结论有 ．（填序号）16．如图，在直角三角形ABC 中，∠A =90°，D 是AC 上一点，BD =10， AB =CD ，则BC 的最大值为 ．三、解答题（共68分，第17题8分，第18、21、25题每题4分，第19、23、24题每题5分，第20、26题6分，第22、27、28题每题7分）17．解下列方程：（1）23610x x -+=； （2）2(3)3x x x -=-．18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为(1,1)A -，(3,1)B -，(1,4)C -．将△ABC 绕着点B 顺时针旋转90︒后得到△11A BC ， （1）请在图中画出△11A BC ； （2）线段BC 旋转过程中所扫过的面积是 （结果保留π）．19．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，连接CD ，BE ． （1）求证：△AEB ≌△ADC ； （2）连接DE ，若96ADC ∠=︒，求BED ∠的度数． 20．已知关于x 的一元二次方程22(8)40x k x k +--=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于3，求k 的取值范围． 21．已知：如图O 及O 外一点P ．求作：直线PB ，使PB 与O 相切于点B ．李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B 是直线OP 上方一点）：A ，A 交O 于点B ，则直线PB 是O 的切O 于点M ；②以点的长为半径作弧，交直线，交O 于点B PB 是O 的切线． 证明：如图1，连接OB ， A 直径，90PBO =︒．（ OB ． OB 是O 的半径，∴直线PB 是O 的切线．请仔细阅读，并完成相应的任务．（1）“作法一”中的“依据”是指 ； （2）请写出“作法二”的证明过程．NQ M P22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象经过(0,2)A -，(2,0)B 两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）填写表格并在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；（3）若一次函数y mx n =+的图象也 经过A ，B 两点，结合图象，直接写出 不等式2x bx c mx n ++<+的解集．23．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AC于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥． （1）求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线；（2）若2AD =，AE =，求EC 的长．24．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O 处，以点O 为原点，水平方向为x 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线2(20)y a x k =-+的一部分，山坡OA 上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD ，墙宽2BC =米，BC 与x 轴平行，点B 与点O 的水平距离为28米，竖直距离为6米．若发射石块在空中飞行的最大高度为10米． （1）求抛物线的解析式；（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙．25．如图1，线段AB 及一定点C ，P 是线段AB 上一动点，作直线CP ，过点A 作AQ CP ⊥于点Q ，已知7AB =cm ，设A 、P 两点间的距离为x cm ，A 、Q 两点间的距离为1y cm ，P 、Q 两点间的距离为2y cm ．小明根据学习函数的经验，分别对函数1y 、2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程：第一步：按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y 、2y 与x 的几组对应值．1(,)x y ，2(,)x y ，并画出函数1y 、2y 的图象． 解决问题：（1）在给出的平面直角坐标系中（图2）补全函数2y 的图象；（2）结合函数图象，解决问题：当△APQ 中有一个角为30︒时，AP 的长度约为 cm ．图1图226．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线224(0)y ax a x a =-≠． （1）当1a =时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知1(M x ，1)y 和2(N x ，2)y 是抛物线上的两点．若对于15x a =，256x ，都有12y y <，求a 的取值范围．27．已知，如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =45°，点D 在BC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，DC =BE ，连接AE ，过C 作CF ⊥AE 于F ，CF 交AB 于G ，连接DG ． （1）求证：∠AEB =∠ACF ；（2）用等式表示CG ，DG 和AE 的数量关系，并证明．28. 对于平面直角坐标系xOy 内的直线l 和点P ，若点A 关于l 作轴对称变换得到点1A ，点1A 关于点P 作中心对称变换得到点2A ，我们则称点2A 为点A 关于直线l 和点P 的“正对称点”． 已知B （-1,0），C （2,0），（1）写出B 关于y 轴和点C 的“正对称点”的坐标________；（2）已知点1C （2,m ）（102m ），存在过原点O 的直线1l ，使得点B 关于直线1l 和点1C 的“正对称点”在直线2l ：y =x+b 上，求b 的取值范围；（3）已知点H 是直线x =1上的一点，且点H 的纵坐标小于0，C （3,0），E 点在以C 为圆心1为半径的圆上，对于直线x =6上的点F （6,h ），以F 为圆心，1为直径作圆F ，若圆F 上存在点B 关于直线OH 和点E 的“正对称点”，直接写出h 的取值范围．备用图数学参考答案一、选择题1．D 2．C 3．B 4．A 5．A 6．C 7．B 8．C二、填空题9． 231y x =+ 10. 50° 11．(0,6) 12．5 13．8 14．18 15．③④⑤16. 5+ 补充说明：T15只有一个正确答案得1分，有错误答案不得分。
北京四中九年(下)期中考试卷及答案
北京四中初三期中测试题 （答题时间：120分钟 总分：120分） 一. 选择题：（每小题3分，共30分） 1．若y =（2－m ）22m x 是二次函数，则m 等于（ ） A ．±2 B ．2 C ．－2 D ．不能确定 2. 二次函数y=2（x －1）2－5的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标为（ ） A. 开口向上，对称轴为直线x=－1，顶点（－1，－5） B. 开口向上，对称轴为直线x=1，顶点（1，5） C. 开口向下，对称轴为直线x=1，顶点（1，－5） D. 开口向上，对称轴为直线x=1，顶点（1，－5） 3. 下列抛物线中，开口向上且开口最小的抛物线为（ ） A. y=x 2+1 B. y=43x 2－2x+3 C. y=2x 2 D. y=－3x 2－4x+7 4. 已知二次函数y=kx 2－7x －7的图象与x 轴没有交点，则k 的取值范围为（ ） A. k ﹥－47 B. k ≥－47且k ≠0 C. k ﹤－47 D. k ﹥－47且k ≠0 5. 二次函数图象y=2x 2向上平移1个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的关系式为（ ） A. y=2（x+3）2+1 B. y=2（x －3）2+1 C. y=2（x+3）2－1 D. y=2（x －3）2－1 6. 如图，函数y=ax 2和y=－ax+b 在同一坐标系中的图象可能为（ ） 7. 如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，点P （a+b ，ac ）是坐标平面内的点，则点P 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 密 封 线 内 不 要 答 题 班级：_______ 姓名：__________（7题） （8题）8．如图，两根等高的电线杆的水平距离是50米，某人在杆的底部连结上E 处，测得一根杆顶的仰角是60°，另一根杆顶的仰角为30°，则电线杆顶距地面的高度是（ ）A ．25米B ．12.5米C ．D ．米9．数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC 和△DEF ，数据如图3，如果把小敏画的的三角形的面积记作S 1，小颖画的三角形的面积记作S 2，那么你认为（ ）A ．12S S >B ．12S S <C ．12S S =D ．不能确定9题 15题图10. 抛物线的顶点坐标为P （1，3），且开口向下，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围为（ ）A. x ﹥3B. x ﹤3C. x ﹥1D. x ﹤1二. 填空题：（每小题3分，共30分）11．已知三角形三边的比是25∶24∶7，则最小角的余弦值为 ，最小角的正切值为______．12．若sin(10)α-︒=α为 ． 13. 若二次函数y=（m+8）x 2+2x+m 2－64的图象经过原点，则m= .14. 抛物线y=2x 2+bx+8的顶点在x 轴上，则b=E D C B A15．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示．①这个二次函数的表达式是y=______；②当x=______时，y=3；③根据图象回答：当x______时，y>0．16. 二次函数y=2x2－4x－1的图象是由y=2x2+bx+c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b= ，c= . 17．不论x取何值，二次函数y=－x2+6x+c的函数值总为负数，则c 的取值范围为.18、如图所示，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2cm的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y( 平方厘米)与时间t（秒）之间的函数式为————19、开口向上的抛物线y=a（x+2）（x－8）与x轴交于A、B，与y 轴交于点C，且∠ACB=90°，则a= .20. 将抛物y=2x2+16x－1绕顶点旋转180°后所得抛物线为 .三.解答题：（共60分）21. 已知抛物线y=ax2+bx+c与y=2x2开口方向相反，形状相同，顶点坐标为（3，5）. （1）求抛物线的关系式；（2）求抛物线与x轴、y 轴交点.坐标。
北京四中初三数学期中试题
数学试卷<考试时间为120分钟，试卷满分为120分）班级学号姓名分数一、选择题<每小题4分，共32分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．）1．下列事件是必然事件的是< ）．A．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和是6B．掷一枚硬币，正面朝上C．3个人分成两组，一定有两个人分在一组D．打开电视，正在播放动画片2．抛物线可以由抛物线平移而得到，下列平移正确的是< ）．A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位3．已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为10cm，母线长为50cm，则圆锥形纸帽的侧面积为< ）．A．B． C． D．4．两圆半径分别为2和3，圆心坐标分别为<1，0）和<-4，0），则两圆的位置关系是< ）．A．外离 B．外切 C．相交 D．内切5．同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为< ）．A ．B ．C ．D ．6．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙与轴相切于点，与轴交于，两点，则点的坐标是< ）．A ．B ．C ．D ． 7．抛物线与相交，有一个交点在x 轴上，则k 的值为< ）．A ．0B ． 2C ．−1D ．8．如图，在直角梯形中，∥，，，AD ＝2cm ，动点P 、Q 同时从点出发，点沿BA 、AD 、DC 运 动到点停止，点沿运动到点停止，两点运动时的速度都是1cm/s ，而当点到达点时，点 正好到达点．设P点运动的时间为，的面积为．下图中能正确表示整个运动中关于的函数关系的大致图象是< ）．A ．B ．C ．D ．b7ee0oNvygb5E2RGbCAP 二．填空题<每小题4分，本题共16分）9．正六边形边长为3，则其边心距是___________cm ．10．函数的最小值为_________，最大值为__________．11．如图，在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是_______________．b7ee0oNvygp1EanqFDPw 12． 已知二次函数满足：<1）； <2）；<3）图象与x 轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有 ．b7ee0oNvygDXDiTa9E3d ① ② ③ ④ ⑤三．解答题<每小题5分，本题共30分）13．计算：14．用配方法解方程：15． 已知，当m 为何值时，是二次函数？ 16．如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离 OC 为3 cm ．试求：<1）弦AB 的长； <2） 错误!的长．17．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象的顶点位于x 轴下方，它到x 轴的距离为4，下表是x 与y的对应值表：b7ee0oNvygRTCrpUDGiT<1）求出二次函数的解读式；<2）将表中的空白处填写完整；<3）在右边的坐标系中画出y=ax2+bx+c 的图象；<4）根据图象回答：当x 为何值时， 函数y=ax2+bx+c 的值大于0．_______________________x O y18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 经过点D ． b7ee0oNvyg5PCzVD7HxA <1）求证：BC 是⊙O 切线；<2）若BD=5，DC=3，求AC 的长．四．应用题<19题6分，20题5分，21题4分）19． 桐桐和大诚玩纸牌游戏．下图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，桐桐先从中抽出一张，大诚从剩余的3张牌中也抽出一张． xOqEenXxxajLBHrnAILg桐桐说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜．<1）请用列表<或树状图）表示出两人抽牌可能出现的所有结果；<2）若按桐桐说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．20．某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出20件，每件可获利40元；若售价减少1元，平均每天就可多售出2件；若想平均每天销售这种器材盈利1200元，那么每件器材应降价多少元？若想获利最大，应降价多少？xOqEenXxxaxHAQX74J0X 21．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O 的位置．<保留作图痕迹，不写作法）五．解答题<本题5分）22．已知如图，正方形AEDG 的两个顶点A 、D 都在⊙O 上，AB 为⊙O 直径，射线线ED 与⊙O 的另一个交点为 C ，试判断线段AC 与线段BC 的关系．xOqEenXxxaLDAYtRyKfE六．综合运用<23、25题7分，24题8分）23．已知： 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2−bx+kc<c ≠0）的图与x 轴一个交点的横坐标为1．xOqEenXxxaZzz6ZB2Ltk <1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；<2）求代数式的值；<3）求证： 关于x 的一元二次方程ax2−bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根．24． 已知：如图，在直角坐标系xoy 中，点A<2，0），点B 在第一象限且△OAB 为正三角形，△OAB 的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D ．xOqEenXxxadvzfvkwMI1<1）求B 、C 两点的坐标；<2）求直线CD 的函数解读式；<3）设E 、F 分别是线段AB 、AD 上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长．试探究：当点E 运动到什么位置时，△AEF 的面积最大？最大面积是多少？ 25．抛物线交轴于两点，交轴于点，已知抛物线的对称轴为直线，．<1）求二次函数的解读式；<2）在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；xOqEenXxxarqyn14ZNXI<3）平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径．初三期中考试参考答案及评分标准 四中一、选择题：<本题共32分，每小题4分）二、填空题：<本题共16分，每小题4分）9． 10． −4， 5 11． 12． ①②③⑤<少选1个扣1分，多选或选错均不得分）xOqEenXxxaEmxvxOtOco 三、 解答题：<本题共30分，每小题5分）13． 计算：解：原式=…………．．4分<化简运算对一个数给1分） =……………………5分14．用配方法解方程：解：………．．1分………．．3分∴……．．5分 15．已知，当m 为何值时，是二次函数？解：依题设，若原函数为二次函数，则有 (2)解得 m=3 ………．．．5分16．如图，在半径为6 cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离 OC为3 cm．试求：<1）弦AB的长； <2）错误!的长．解：依题设有OC⊥AB于C，又∵AB为⊙O的弦∴ AC=BC=AB ……… 2分连结OA 则又∵OA=6，OC=3∴ AC=∴ AB=………3分<2）由<1）知，在Rt△ACO中，OA=6，OC=3∴∠OAC=30°∴∠AOC=60°∴∠AOB=120° ………4分∴错误!= =………．．5 分17．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点位于x轴下方，它到x轴的距离为4，下表是x与y的对应值表：xOqEenXxxaSixE2yXPq5<1）求出二次函数的解读式；解：由上表可知，二次函数图象的对称轴为直线x=1，顶点坐标为<1，4）……1分∴二次函数解读式可变形为又由图象过<0，-3），有-3=a-4，解得a=1∴二次函数解读式为．．．．．2分<2）将表中的空白处填写完整；．．．．．3分<3）在右边的坐标系中画出y=ax2+bx+c的图象；………4分<4）根据图象回答：当x为何值时，函数y=ax2+bx+c的值大于0．x<−1或x>3．．．．．5分18．如图，在△ABC中，∠C=90°， AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．<1）求证： BC是⊙O切线；<2）若BD=5， DC=3，求AC的长．解：<1）证明：如图1，连接OD．∵ OA=OD， AD平分∠BAC，∴∠ODA=∠OAD，∠OAD=∠CAD．………………1分∴∠ODA=∠CAD．∴ OD//AC．…………………………………2分∴∠ODB=∠C=90︒．∴ BC是⊙O的切线．……………………………3分图1<2）解法一：如图2，过D作DE⊥AB于E．∴∠AED=∠C=90︒．又∵ AD=AD，∠EAD=∠CAD，∴△AED≌△ACD．∴ AE=AC， DE=DC=3．在Rt△BED中，∠BED =90︒，由勾股定理，得图2 BE=．………………………………………………………4分设AC=x<x>0），则AE=x．在Rt△ABC中，∠C=90︒， BC=BD+DC=8， AB=x+4，由勾股定理，得x2 +82= <x+4） 2．解得x=6．即AC=6．…………………………………………………………5分解法二：如图3，延长AC到E，使得AE=AB．∵ AD=AD，∠EAD =∠BAD，∴△AED≌△ABD．∴ ED=BD=5．在Rt△DCE中，∠DCE=90︒，由勾股定理，得CE=．………………………4分图3在Rt△ABC中，∠ACB=90︒， BC=BD+DC=8，由勾股定理，得AC2 +BC2= AB 2．即 AC2 +82=<AC+4） 2．解得AC=6． (5)分19．解：<1）树状图为：共有12种可能结果．················· 3分<2）游戏公平．·················· 4分∵两张牌的数字都是偶数有6种结果：<6，10），<6，12），<10，6），<10，12），<12，6），<12，10）．∴桐桐获胜的概率P==．············5分大诚获胜的概率也为．··············6分∴游戏公平．20．某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出20件，每件可获利40元；若售价减少1元，平均每天就可多售出2件．若想平均每天销售这种器材盈利1200元，那么每件器材应降价多少元？若想获利最大，应降价多少？xOqEenXxxa6ewMyirQFL解：设若想盈利1200元，每件器材应降价x元，则有 (2)可解得，答：若想盈利1200元，每件器材降价10元或20元均可 (3)设降价x元时，盈利为y元，则0<x<40 (4)解读式可变形为且 0<15<40由此可知，当降价15元时，最大获利为1250元． (5)分．21．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O的位置．<保留作图痕迹，不写作法）任作2弦 给1分，两条中垂线各1分，标出并写出 点O 即为所求给1分 五．解答题<本题5分）22． 已知如图，正方形AEDG 的两个顶点A 、D 都在⊙O 上，AB 为⊙O 直径，射线线ED 与⊙O 的另一个交点为 C ，试判断线段AC 与线段BC 的关系．xOqEenXxxakavU42VRUs 解：线段AC 与线段BC 垂直且相等 ………1分 证明：连结AD ………2分 ∵ 四边形AEDG 为正方形 ∴ ∠ADE =45°∵ 四边形ABCD 内接⊙O∴∠B+∠ADC =180° ……．．．3分 又∵∠ADE+∠ADC =180° ∴∠B=∠ADE =45° 又∵AB 为⊙O 直径∴ ∠ACB=90°，即AC ⊥BC ……4分 ∴ ∠BAC =45°∴ AC=BC ……．．5分 23． 解：<1）解：由 kx=x+2，得<k-1） x=2． 依题意 k-1≠0．∴ ． (1)分∵ 方程的根为正整数，k 为整数， ∴ k-1=1或k-1=2．∴k1= 2，k2=3．…………………………………………………2分<2）解：依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点<1，0），∴ 0 =a-b+kc， kc = b-a ．∴ =…3分<3）证明：方程②的判别式为Δ=<-b）2-4ac= b2-4ac．由a≠0，c≠0，得ac≠0．xOqEenXxxay6v3ALoS89证法一：< i ）若ac<0，则-4ac>0．故Δ=b2-4ac>0．此时方程②有两个不相等的实数根．……4分xOqEenXxxaM2ub6vSTnP< ii ）若ac>0，由<2）知a-b+kc =0，故 b=a+kc．Δ=b2-4ac= <a+kc）2-4ac=a2+2kac+<kc）2-4ac = a2-2kac+<kc）2+4kac-4acxOqEenXxxa0YujCfmUCw=<a-kc）2+4ac<k-1）．…………………………………………………5分∵方程kx=x+2的根为正实数，∴方程<k-1） x=2的根为正实数．由x>0，2>0，得k-1>0．…………………………………6分∴ 4ac<k-1）>0．∵ <a-kc）2 0，∴Δ=<a-kc）2+4ac<k-1）>0．此时方程②有两个不相等的实数根．…………7分证法二：< i ）若ac<0， 则-4ac>0． 故Δ=b2-4ac>0． 此时方程②有两个不相等的实数根． ……4分xOqEenXxxaeUts8ZQVRd < ii ）若ac>0，∵ 抛物线y=ax2-bx+kc 与x 轴有交点， ∴ Δ1=<-b ）2-4akc =b2-4akc ≥0．<b2-4ac ）-< b2-4akc ）=4ac<k-1）． 由证法一知 k-1>0， ∴ b2-4ac> b2-4akc ≥0．∴ Δ= b2-4ac>0． 此时方程②有两个不相等的实数根． …………………7分综上， 方程②有两个不相等的实数根． 证法三：由已知，，∴可以证明和不能同时为0<否则），而，因此．24．解：<1）∵A<2，0）， ∴OA=2． 作BG ⊥OA 于G ，∵△OAB 为正三角形，∴OG=1，BG=，∴B<1，）． ………………………………1分连AC ，∵∠AOC=90°，∠ACO=∠ABO =60°．，∴OC=．∴C<0，）． …………………………………2分<2）∵∠AOC=90°，∴AC 是圆的直径， 又∵CD 是圆的切线，∴CD ⊥AC ． ∴∠OCD =30°，OD=．∴D<，0）．<第24题）设直线CD 的函数解读式为y=kx+b<k ≠0）， 则，解得∴直线CD 的解读式为y=．…4分<3）∵AB=OA=2，OD=，CD=2OD=，BC=OC=，∴四边形ABCD 的周长6+．设AE=t ，△AEF 的面积为S ， 则AF=3+－t ，S=<3+）．∵S=<3+）=．∵点E 、F 分别在线段AB 、AD 上， ∴ ∴…………………………6分 ∴当t=时，S 最大=．…………8分25．<1）设抛物线的解读式为，∵点、在抛物线上， ∴解得∴抛物线的解读式为． ……………2分<2）， ∴A<，0），B<3，0）． ∴． ∴PA=PB ，<第24题）E∴．………．．3分如图1，在△PAC中，，当P在AC的延长线上时，．设直线AC的解读式为，∴解得∴直线AC的解读式为．当时，．∴当点P的坐标为<1，）时，的最大值为． (5)<3）如图2，当以MN为直径的圆与轴相切时，．∵点N的横坐标为，∴．∴．解得，．……………．．7分申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
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初三数学试卷班级__________ 学号__________ 姓名__________ 成绩__________ 考生须知1．本试卷共8页，共26道题，满分100分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号。
3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回。
一、选择题（每题2分，共16分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数y =(1x +)22-的最小值是 （ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，40OCB ∠=︒，则A ∠的大小为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒3．若将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则得到的新抛物线的表达式为（ ）A ．2521y x =-+（） B ．25+21y x =+（） C ．2521y x =--（） D ．25+21y x =-（） 4. 如图， AB 为⊙O 的弦， 点C 为AB 的中点，AB =8，OC =3， 则⊙O 的半径长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．已知A （12-，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）三点都在二次函数y=-(x -2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A. y 1＜y 2＜y 3B. y 1＜y 3＜y 2C. y 3＜y 1＜y 2D. y 3＜y 2＜y 1 6．如图，⊙O 中直径AB ⊥DG 于点C ，点D 是弧EB 的中点，CD 与BE 交于点F ．下列结论①∠A =∠E ，②∠ADB =90°，③FB=FD 中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3AB CO第2题图第4题图第6题图7．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：x… 2- 1-0 1 23 … y…4-2 24-…下列结论：①抛物线开口向下； ②当−1<x <2时，y >0；③抛物线的对称轴是直线12x =； ④函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大值为2. 其中所有正确的结论为( )A ．①②③B ．①③C ．①③④D ．①②③④ 8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以 0) (3，为圆心作⊙P ， ⊙P 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于点C 2) (0，，Q 为⊙P 上 不同于A 、B 的任意一点，连接QA 、QB ，过P 点分别作 PE ⊥QA 于E ，PF ⊥QB 于F ．设点Q 的横坐标为x ，y PF PE =+22．当Q 点在⊙P 上顺时针从点A 运动到点B的过程中，下列图象中能表示y 与x 的函数关系的部分．．图象是（ ）A. B.C.D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若抛物线26y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 .10．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，如果∠AOB =140°， 那么∠ACB 的度数为 .11．若点（1，5），（5，5）是抛物线y =x 2+bx +c(a ≠0)上的两个点， 则b = ．第8题图BCAO第10题图12. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5 m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 m ．13．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 都在格点上， 过A ，B ，C 三点作一圆弧，则圆心的坐标是 ． 14. 已知关于x 的二次函数42++=bx ax y 的图象如右图所示，则关于x 的方程02=+bx ax 的根为_____________. 15.元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，⊙A 经过坐标原点O ，并与两坐标轴分别交于B 、C 两点，点B 的坐标为（2，0），点D 在⊙A 上，且∠ODB ＝30°，求⊙A 的半径. 元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程.解：如图2，连接BC. ∵∠BOC ＝90°，∴BC 是⊙A 的直径． （依据是___________________________________________）431254312OxyC BA 第13题图图1图2第12题图yx41-4O第14题图图2图1第15题图∵∠ODB ＝30°，∴∠OCB ＝∠ODB ＝30°．（依据是_________________________________________）∴BC OB 21=．∵OB=2,∴BC ＝4．即⊙A 的半径为2．16．抛物线2y ax bx c =++经过点（1，0），且对称轴为直线1x =-，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ⊥abc ＜0； ⊥20a b +=； ⊥4a −2b +c >0； ⊥若，则1x m =-时的函数值小于1x n =-时的函数值．其中正确结论的序号是 .三、解答题 (本题共68分,第17题每小题5分共10分，第18、19、21、22、24题每题6分，第20、23、25、26题每题7分) 17. 解关于x 的方程.（1）0232=++x x ； （2）01222=--x x .18. 已知抛物线的顶点为（-2,2），且过坐标原点，求抛物线的解析式.19.如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA .若AB = 4，CD =1，求⊙O 半径的长.0m n >>C D OAB第16题图20. 已知抛物线y=-x 2+2x +3，回答下列问题： (1)画出该函数图象(要求列表、2B 铅笔画图)；(2)当−3<x <3时，y 的取值范围是__________．21. 如图，⊥ABC 中AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，DE AC 于点E . 求证：（1）BD=DC ;（2）DE 是⊙O 的切线.22. 学生会要组织“四中杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． （1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行 场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？x … ... y …...23.在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法．某班“数学兴趣小组”根据学到的函数知识探究函数22||y x x =-的图象与性质，并利用函数图象解决问题．探究过程如下，请补充完整．（1）函数22||y x x =-的自变量x 的取值范围是________． （2）化简：当x >0时函数y =_________，当x <0时函数y =________.（3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点， 画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ______________________________________________． （4）若直线y=k 与该函数只有两个公共点，根据图象判断 k 的取值范围为________．24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+232y mx mx m =-+. （1） 求抛物线的对称轴；（2） 过点)20(，P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点M ，N .求点M ，N 的坐标； （3） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN 围成的封闭区域内(不包括边界)恰有3个整点，求m 的取值范围．25. （1）已知等边三角形ABC ，请作出△ABC 的外接圆⊙O .在⊙O 上任取一点P （异于A 、B 、C 三点），连结P A 、PB 、PC .①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②请判断P A 、PB 、PC 的关系，并给出证明.（2）已知⊙O ，请作出⊙O 的内接等腰直角三角形ABC ，∠C =90°.在⊙O 上任取一点P （异于A 、B 、C 三点），连结P A 、PB 、PC.①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②请判断P A 、PB 、PC 的关系，并给出证明.26.在平面直角坐标系xOy 中，对于△ABC ，点P 在BC 边的垂直C ABO平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”.右图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”已知点P（0, 4），Q（a, 0）（1）如图1，a=4，在点A（1, 0）、B( 2, 2)、C( 2√3, 2√3) 、D( 5, 5)中，△POQ关于边PQ的“Math点”为.（2）如图2，a=4√3，①已知D(0 , 8)，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围;②将△POQ绕原点O旋转一周，直线y=−√3x+b交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围.图1图2初三期中测试数学学科参考答案：一、选择题1、D2、B3、A4、B5、B6、D7、A8、A 二、填空题9、9 10、110 11、-6 12、2 13、（2，1） 14、-3，0 15、90º的圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等。
16、③④ 三、解答题17.（1）3,121-=-=x x ；（2）231,23121-=+=x x . 18.2)2(212++-=x y 或x x y 2212--=.19.⊙O 半径的长为25.20.（1）图略 （2）412≤<-y . 21.证明略. 22.（1）6；（2）解：设有x 支球队参加比赛..8,936)1(2121-===-x x x x82-=x 不合题意，舍去. 答：有9支球队参加比赛.23.（1）函数22||y x x =-的自变量x 的取值范围是全体实数． （2）当x >0时函数x x y 22-=，当x <0时函数x x y 22+=.（3）图象略，写出该函数的一条性质：当x >1时，y 随x 增大而增大.(答案不唯一） （5）若直线y=k 与该函数只有两个公共点，根据图象判断k 的取值范围为k=-1或k>0． 24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+232y mx mx m =-+.（4） 求抛物线的对称轴；（5） 过点)20(，P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点M ，N .求点M ，N 的坐标； （6） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN 围成的封闭区域内(不包括边界)恰有3个整点，求出m 的取值范围．解：（1） 对称轴为直线x =-1； （2） M （-3,2）；N （1,2）（3） 1113223m m <≤≤<-1或-25. （1）①如下图1、图2.②由图1，由∠APB =∠ACB =60°，做等边三角形△APE. 可得△APC ≌△AEB ，可得BP =AP +PC .由图2，同理可得AP =BP +PC . （2）①如下图3、图4；②请判断P A 、PB 、PC 的关系，并给出证明.由图3，由∠APB =∠ACB =45°，做等腰直角三角形△APE. 可得△CAK ≌△CBP ，可得A P -BP =2PC .由图4，同理可得A P +BP =2PC .EO C A BP 图1 FO CAB P 图2 KCBOAPLCBOAP图3图426.答案：（1）B 、C（2）346≤≤DE（3）784<≤b 或478-≤<-b .2020～2021学年度第一学期初三期中测试数学答题卡 注 意 事 项1. 答题前请考生务必在每张答题卡的规定位置认真填写班级、考号、姓名。