“利润最大值”问题的解答策略
二次函数最大利润求法经典
一、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件。
已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：本题用到的数量关系是：（1）利润=售价-进价（2）销售总利润=单件利润×销售数量问题1：售价为x 元时，每件的利润可表示为 （x-40）问题2：售价为x 元，售价涨了多少元？可表示为 （x-60）问题3：售价为x 元，销售数量会减少，减少的件数为 -60202x ⨯ （件） 问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为-60300202x y =-⨯= 30010(60)x --= 10900x -+ 因为0600x x ⎧⎨-≥⎩f 自变量x 的取值范围是 60x ≥问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为(40)W x y =-⋅= (40)(10900)x x --+= 210130036000x x -+-问题5：售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为 (40)W x y =-⋅= (40)(10900)x x --+= 210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦ =210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：本题用到的数量关系是：（1）利润=售价-进价（2）销售总利润=单件利润×销售数量问题1：售价为x 元时，每件的利润可表示为 （x-40）问题2：售价为x 元，售价降了多少元？可表示为 （60-x ）问题3：售价为x 元，销售数量会增加，增加的件数为 60402x -⨯ （件） 问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为60300402x y -=+⨯= 30020(60)x +-= 201500x -+ 因为0600x x ⎧⎨-≥⎩f 所以，自变量x 的取值范围是 060x ≤≤问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为(40)W x y =-⋅= (40)x -（201500x -+）= 220230060000x x -+-问题5：售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为 (40)W x y =-⋅= (40)x -（201500x -+）= 220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =211520()66125600002x --+- =220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元三、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件；每降价2元，每星期可多卖出40件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（2）降价时，虽然每件的利润减少了，但是销售数量增加了，所以同样可以使销售过程中的总利润增加本题用到的数量关系是：（1）利润=售价-进价（2）销售总利润=单件利润×销售数量根据题目内容，完成下列各题：1、涨价时（1）售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为-60300202x y =-⨯= 30010(60)x --= 10900x -+ 因为0600x x ⎧⎨-≥⎩f 自变量x 的取值范围是 60x ≥（2）售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为1(40)W x y =-⋅= (40)(10900)x x --+= 210130036000x x -+-（3）售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？1W = (40)(10900)x x --+= 210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦ =210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元2、降价时：（1）售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为 60300402x y -=+⨯= 30020(60)x +-= 201500x -+ 因为0600x x ⎧⎨-≥⎩f2W =(40)x -y= (40)x -（201500x -+）= 220230060000x x -+-（3）售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为2W =(40)x -（60300402x -+⨯） = (40)x -（201500x -+）= 220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =211520()66125600002x --+- =220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元本题解题过程如下：解：设售价为x 元，利润为W（1）涨价时，1W =(40)x -（300 --60202x ⨯） = (40)(10900)x x --+= 210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元（2）降价时，2W =(40)x -（300+60402x -⨯） = (40)x -（201500x -+）= 220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =211520()66125600002x --+- =220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元综上所述，售价为65元或售价为57.5元时，都可得到最大利润，最大利润分别为6250元或6125元。
“利润最大值”问题的解答策略
“利润最大值”问题的解答策略数学来源于生活，生活也离不开数学，利用数学知识解决生活中的问题，是数学教学的目的，也是新课改的要求。
数学涉及生活的方方面面，小到计算柴米油盐，大到计算企业的收支状况。
纵观近几年各地的数学中考试题，“利润最大值”问题也常有出现，难易程度不一，它涉及方程、二次函数等方面的知识。
在解决此类问题时，学生一定要结合实际情况灵活运用数学知识，不能生搬硬套数学公式。
下面笔者结合具体试题，分析归纳此类问题的解题策略。
一、利用配方法，解决最大值问题例1 （2013年江苏南通中考题）某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获的利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系。
当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6.信息2：销售B种产品所获的利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x。
根据以上信息，解答下列问题：（1）求二次函数解析式；（2）该公司准备购进A，B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？解析：该题第一问求二次函数的解析式不是难点，只要把两组数值代入公式，然后解方程组就能解决问题，得出二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x.关键是第二问：利润最大是多少？设销售A种产品m吨，则销售B种产品（10-m）吨，代入上述两个函数，得到利润之和w=-0.1m2+1.2m+3.相信绝大部分学生能够得出该解析式，那么下面该怎么办呢？我们利用“配方法”把式子变形为w=-0.1（m-6）2+6.6，因为系数-0.1是负数，所以w有最大值，即当m-6=0时，利润最大。
所以m=6时，最大利润是6.6万元。
只要想到了对二次函数进行配方，那么这个问题就迎刃而解了。
二、利用二次函数图象的顶点，解决最大值问题例2 某商品现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件。
经市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出20件；每降价1元，每星期可多卖出20件。
例析最大利润
所以当订住房间33间时，宾馆利润最大，最大利润为10890元。
某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每 天180元时房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10 元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间 每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价 不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(x为10 的正 整数倍).
⑵设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式.
某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时房间 会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲. 宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间的房价 每天增加x元（x为10 的正整数倍）.
⑶一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?最大利润是多少元？
⑴设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量的取 值范围。
⑵设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式.
某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时房 间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空 闲. 设每个房间的房价每天增加x元（x为10 的正整数倍）.
⑴设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系 式及自变量的取值范围.
⑵设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式. ⑶一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润 是多少元？
y
《最大利润问题》课件
03
最大利润问题的实际案例
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题涉及到在风险和收益之间寻找最佳平衡，以最大化长期回报 。
详细描述
投资者通过选择不同的资产（如股票、债券、现金等）来构建投资组合，目标 是最大化投资组合的长期回报，同时控制风险。最大利润问题在投资组合优化 中表现为确定最佳资产配置，以最大化预期收益。
生产调度问题
总结词
生产调度问题是在给定生产资源和市场需求的情况下，合理安排生产计划，以最 小化生产成本并最大化利润。
详细描述
生产调度涉及原材料采购、生产计划、人员和设备安排等方面。最大利润问题表 现为确定最佳的生产计划和调度安排，以最小化生产成本并最大化利润。
物流配送问题
总结词
物流配送问题是在满足客户需求的前 提下，通过优化配送路线和车辆调度 ，降低运输成本并提高运输效率。
02
最大利润问题的求解方法
动态规划法
01
02
03
04
动态规划是一种通过将问题分 解为子问题并解决子问题来找 到原问题的最优解的方法。
在最大利润问题中，动态规划 法通常用于解决具有重叠子问
题和最优子结构的问题。
通过构建状态转移方程，动态 规划法能够避免重复计算子问
题，提高求解效率。
动态规划法的适用范围较广， 可以应用于各种不同类型的问 题，如背包问题、排班问题等
《最大利润问题》ppt课件
contents
目录
• 最大利润问题概述 • 最大利润问题的求解方法 • 最大利润问题的实际案例 • 最大利润问题的扩展与展望 • 结论与总结
01
最大利润问题概述
行测数量关系：速解行测最大利润问题
⾏测数量关系：速解⾏测最⼤利润问题 ⾏测数量关系⼀直是⽐较难的题⽬，但是我们不能放弃！⼩编为⼤家提供⾏测数量关系：速解⾏测最⼤利润问题，⼀起来学习⼀下吧！ ⾏测数量关系：速解⾏测最⼤利润问题 在⾏测考试中，哪个板块是最好拉开差距的呢?当然是我们的数量关系啦。
数量关系⼀直都是省考中拉开分差的核⼼板块，难度⼤、时间紧，分值⼜很⾼。
如果抱着全盘放弃的想法，那么成为“炮灰”的概率可就很⾼了。
因此，⼩编建议⼤家趁现在攻坚克难、抓紧学习，切不可以掉以轻⼼，放弃数量关系。
⼀、题型特征展⽰ “最⼤利润”的问题具体长什么样⼦呢?让我们先来看⼀道例题： 【例】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，定价为多少才能使利润最⼤?A.63B.64C.65D.66 根据题意我们可以知道，每次⼀涨价，销量就会随之下降，⽽总利润=单件利润×销量，因此总利润会随着涨价⽽变化，最终想求涨价多少元利润最⼤化的问题。
这种题型就属于我们的“最⼤利润”问题，相信同学们应该见过不少类似的题⽬。
这类问题在考试时往往只是更换数字，或者改成问“最⼤收⼊”，本质和解法都是⼀样的。
我们注意到这类问题有两个主要的特征： 1. 随着价格的提⾼，销量会相应地减少。
价格提⾼得越多，销量就会下降得越多，并且每次价格提⾼“1”，销量的下降幅度都是固定不变的。
2. 题⽬的问法是“最⼤利润(收⼊)”。
⼀开始价格提⾼会促使总利润随之提⾼，但当价格的提⾼超过⼀定限度时，会出现利润反降的情况。
因此我们要找的是⼀个顶峰值。
那么，现在这类题⽬的特征相信⼤家都已经清楚了，下⾯我们就开始来学习怎么利⽤简单的⽅法来解这类题⽬吧。
⼆、巧解⽅法精讲 ⾸先，就以刚才的真题为例，我们先把求总利润的⽅程式快速列出来。
假设涨价了x元，总利润为y，则： 此时200+10x和300-10x的和就是定值了，所以只要使200+10x=300-10x，解出来的x就可以使y的取值最⼤，符合我们题⽬的要求。
求利润最大值的公式
求利润最大值的公式
求利润最大值的公式一般采用最优化理论来求解。
其中，利用数
学最优化方法可以解决多余变量、非线性及不可微分函数的最优化问题，也即求利润最大化的问题。
具体的求利润最大值的公式可以表示为：
有：n个决策变量：x1, x2, x3 ……xn；目标函数：Z=f(x1,
x2, x3 ……xn)；因变量约束条件：gi(x1, x2, x3 ……xn)≤0
(i=1,2,3……m)
求解最优化问题即求满足所有约束条件和目标函数最大值的决策
变量值，即求最大利润z* 。
求解利润最大化问题，可以采用数学规划中的拉格朗日乘子法，
即求解其对应的对偶问题。
由拉格朗日乘子法可以得出求利润最大值
的公式为：
构造拉格朗日函数：L(x,λ)=f(x)+∑λi gi(x);
令L(x,λ)=0，即可求出最大值z*
这里，x表示一系列的决策变量，λ表示一系列的拉格朗日乘子，gi(x)表示约束条件，f(x)表示目标函数，利润最大值z*可以求解如下：
z* = max{f(x)}
s.t. gi(x)≤0 (i=1,2,3……m)
尤其在面对多变量、非线性及不可微分的情况下，以上的拉格朗
日乘子法是十分有效的，可以得到准确的求利润最大值的公式。
最大利润问题
（3）家佳源购进一批单价为20元的日用 品，如果以单价30元销售，那么半个月 内可以售出400件。根据销售经验，提 高单价会导致销售量的减少，即销售单 价每提高1元，销售量相应减少20件。 如何 提高售价，才能在半个月内获得最 大利润？最大利润是多少？
4、某产品进货单价为90元，按100元一个售出时， 能售500个，如果这种商品涨价1元，其销售额就 减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为( ) A.130元; B.120元 C.110元; D.100元
时, y最大=k
1、某商店销售一种销售成本为40元的 水产品,若按50元/千克销售,一月可售出 500千克,销售价每涨价1元,月销售量就 减少10千克.销售单价定为多少时，获得 最大利润？最大利润是多少？
2、某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价 为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40元 ~70元之间.市场调查发现:若每箱发50元销售, 平均每天可售出90箱价格每升高1元,平均每 天少销售3箱. 每箱定价多少元时,才能使平均 每天的利润最大?最大利润是多少?
5、某商场销售一种名牌衬衫，平均每 天可售出30件，每件盈利50元，为了扩 大销售，增加盈利，尽快减少库存，商 场决定采取适当的降价措施，经调查发 现，如果每件衬衫每降价1元，商场平 均每天可多售出2件。每件降价多少元， 获得最大利润？最大利润是多少？
何时获得最大利润
• 6、某化工材料经销公司购进了一种化工原料共 700千克,已知进价为30元/千克,物价部门规定其 销售价在30元~70元之间.市场调查发现:若单价定 为70元时,日均销售60千克.价格每降低1元,平均 每天多售出2千克.在销售过程中,每天还要支出其 它费用500元(天数不足一天时,按整天计算). • （1）求销售单价为x(元/千克)与日均获利y(元)之 间的函数关系式,并注明x的取值范围 • （2）何时获得的最大利润
经济利润问题中的利润最大化问题
2015湖北省公务员备考——经济利润问题中的利润最大化问题湖北华图 黄晖在经济利润问题中，常常涉及到定价与利润的问题。
在实际生活中，商品的价格除了受商品的价值量影响外，还收价值规律的影响。
在成本一定的情况下，商品售价提高时，单价商品的利润会上升，但同时商品的销量会下降，二者是反比例关系。
在公务员考试中，经常会根据这种反比例关系进行命题，条件是销量随着定价的升高而降低，要求求出商品总收入或者总利润最大，本质上是一个二次函数求最值的问题，方法主要有以下三种：（1）求导法。
对于任意的多次函数121210n n n n n n y a x a x a x a x a ----=+++++，可以用求导法求出最值。
当()()'12312211220n n n n n n y na x n a x n a x a x a x -----=+-+-+++=时，求得的x 值代入原式可得到最大值或者最小值。
（2）配方法。
二次函数()2224024b ac b y ax bx c a x a a a -⎛⎫=++=++≠ ⎪⎝⎭，当0a >时，2b y a =-时，244ac b a-为最小值；当0a <时，2b y a =-时，244ac b a -为最大值。
（3）不等式法。
当a 、b 均大于0时，有()24a b ab +≤，故a b +为定值时，当a b =时，ab 的乘积取得最大值。
【例1】（2013下半年-四川-55）某报刊以每本2元价格发行，可发行10万份，若该报刊单价每提高0.2元，发行量将减少5000份，则该报刊可能的最大销售收入为多少万元？( )A.24B.23.5C.23D.22.5【答案】D【解析】方法一：设提价x 次，则售价为（0.2x ＋2）元，销量为（10－0.5x ）万份，则销售收入为。
因为（x+10）与（20－x ）的和为定值，要使总的销售收入最大，需要，此时，此时销售收入为()()()()0.22100.50.11020y x x x x =+⨯-=⨯+⨯-1020x x +=-5x =万元。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
“利润最大值”问题的解答策略
作者：周邦益
来源：《语数外学习·中旬》2013年第12期
数学来源于生活，生活也离不开数学，利用数学知识解决生活中的问题，是数学教学的目的，也是新课改的要求。
数学涉及生活的方方面面，小到计算柴米油盐，大到计算企业的收支状况。
纵观近几年各地的数学中考试题，“利润最大值”问题也常有出现，难易程度不一，它涉及方程、二次函数等方面的知识。
在解决此类问题时，学生一定要结合实际情况灵活运用数学知识，不能生搬硬套数学公式。
下面笔者结合具体试题，分析归纳此类问题的解题策略。
一、利用配方法，解决最大值问题
例1 （2013年江苏南通中考题）某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：销售A种产品所获的利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系。
当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6.
信息2：销售B种产品所获的利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求二次函数解析式；
（2）该公司准备购进A，B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？
解析：该题第一问求二次函数的解析式不是难点，只要把两组数值代入公式，然后解方程组就能解决问题，得出二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x.关键是第二问：利润最大是多少？设销售A种产品m吨，则销售B种产品（10-m）吨，代入上述两个函数，得到利润之和w=-0.1m2+1.2m+3.相信绝大部分学生能够得出该解析式，那么下面该怎么办呢？我们利用“配方法”把式子变形为w=-0.1（m-6）2+6.6，因为系数-0.1是负数，所以w有最大值，即当m-6=0时，利润最大。
所以m=6时，最大利润是6.6万元。
只要想到了对二次函数进行配方，那么这个问题就迎刃而解了。
二、利用二次函数图象的顶点，解决最大值问题
例2 某商品现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件。
经市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出20件；每降价1元，每星期可多卖出20件。
已知商品的进价为每件60元，如何定价才能使利润最大？
三、利用不等式分段确定，解决最大值问题
例3 某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹的生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：
（1）该厂对这两种型号的挖掘机有哪几种生产方案？
（2）该厂如何生产能获得最大利润？
（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m>0），该厂应该如何生产可以获得最大利润？（注：利润=售价-成本）
“最大利润”问题是中考数学的一个重要考点，题型比较灵活，分值也往往较高。
这种试题可以考查学生对多种知识的综合运用能力，学生们一定要立足实际问题，结合二次函数知识、方程知识、不等式知识等来解决问题。
当然，这种解题方法还可以拓展到“极值”问题，比如面积最大（涉及到面积公式）问题、如何用材料最省问题等。