北师大版高中数学选修1-1计算导数同步练习
2019—2020年北师大版高中数学选修1-1《导数的四则运算法则》课时同步练习及解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1§4 导数的四则运算法则课时目标 1.理解导数的四则运算法则.2.能利用导数公式和四则运算法则求解函数的导数．导数的运算法则：(1)[f(x)＋g(x)]′＝______________； (2)[f(x)－g(x)]′＝______________； (3)[f(x)·g(x)]′＝________________；(4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝____________________.一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝12x，则y ′＝－14xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝32．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.12e 2B.94e 2 C ．2e 2D ．e 23．已知f(x)＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x)为( )A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x ·ln 3＋13C ．3x 2＋3x ·ln 3D ．x 3＋3x ·ln 34．曲线y ＝xe x ＋1在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．2x －y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x －2y ＋2＝05．已知函数f(x)＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b 等于( ) A ．18 B ．－18 C ．8 D ．－86．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πB ．[0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知f(x)＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a ＝___________________. 8．若函数y ＝f(x)满足f(x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x)＝________.9．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位：s ，s 的单位：m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为________ m/s.三、解答题10．求下列函数的导数． (1)y ＝10x ； (2)y ＝x ＋cos x x －cos x；(3)y ＝2x cos x －3xlog 2 009x ； (4)y ＝x ·tan x.11.求过点(1，－1)与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程．能力提升12．设函数f(x)＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tanθ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( ) A ．[－2,2]B ．[2，3] C ．[3，2] D ．[2，2]13．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．§4 导数的四则运算法则知识梳理(1)f ′(x)＋g ′(x) (2)f ′(x)－g ′(x) (3)f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)(4)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g(x)≠0)作业设计1．B [y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ′＝(1212x -)′＝－1432x - ＝－14xx .]2．A [∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝y ′|x=2＝e 2. ∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为 y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2. 当x ＝0时，y ＝－e 2， 当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.]3．C [(ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误．]4．A [y ′＝e x ＋xe x ，当x ＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.]5．A [∵f ′(x)＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝－13f ′(－1)＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13.∴a ＋b ＝5＋13＝18.] 6．A [∵y ′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]．∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π.]7．4解析 ∵f ′(x)＝ax a －1，∴f ′(－1)＝a(－1)a －1＝－4，∴a ＝4. 8．2x解析 ∵f(x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2， ∴f(x)＝x 2，f ′(x)＝2x. 9.12516解析 ∵s ′＝2t －3t 2，∴v ＝s ′(4)＝8－316＝12516(m/s)．10．解 (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10. (2)y ′＝(x ＋cos x )′(x －cos x )－(x ＋cos x )(x －cos x )′(x －cos x )2＝(1－sin x )(x －cos x )－(x ＋cos x )(1＋sin x )(x －cos x )2＝－2(cos x ＋xsin x )(x －cos x )2.(3)y ′＝(2x )′cos x ＋(cos x)′2x －3[x ′log 2 009 x ＋(log 2 009x)′x]＝2x ln 2·cos x －sin x ·2x －3[log 2 009 x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x log 2 009e x]＝2x ln 2·cos x －2x sin x －3log 2 009 x －3log 2 009e.(4)y ′＝(xtan x)′＝⎝⎛⎭⎪⎫xsin x cos x ′＝(xsin x )′cos x －xsin x (cos x )′(cos x )2＝(sin x ＋xcos x )cos x ＋xsin 2x(cos x )2＝sin xcos x ＋x (cos 2x ＋sin 2x )(cos x )2＝12sin 2x ＋x (cos x )2＝sin 2x ＋2x 2cos 2x .11．解 设P(x 0，y 0)为切点， 则切线斜率为k ＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)．① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0.② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得 －1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)． 解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0. 12．D [由已知f ′(x)＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4，∴22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2.] 13．解 依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)． ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12.切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.。
2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1《计算导数》课时同步练习及答案解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1§3 计算导数课时目标 1.会计算函数在一个点处的导数.2.理解导函数的概念.3.了解导数公式表．1．计算函数y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数的步骤： (1)计算函数的增量：Δy ＝f(Δx ＋x 0)－f(x 0) (2)确定平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx(3)当Δx 趋于0时，得到导数： f ′(x 0)＝0lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx2．导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间(a ，b)上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x)，则f ′(x)＝______________________，则f ′(x)为f(x)的__________，简称导数． 3．导数公式表函数 导函数函数导函数y ＝c (c 是常数) y ′＝0 y ＝sin x y ′＝cos xy ＝x α (α为实数) y ′＝αx α－1 y ＝cos x y ′＝－sin xy ＝a x (a>0，a ≠1)y ′＝a x ln a 特别地(e x )＝e xy ＝tan xy ′＝1cos 2xy＝log a x (a>0，a ≠1)y ′＝1xln a特别地(ln x)′＝1xy ＝cot xy ′＝－1sin 2x一、选择题 1．已知函数f(x)＝13，则f ′(x)等于( )A ．－33B ．0 C.33D.32．曲线y ＝－1x 在点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12处的切线方程为( )A ．x －4y －4＝0B ．x －y －4＝0C ．x －4y ＝0D ．2x －4y －4＝03．函数y ＝3x 2＋2x ＋1在点x ＝1处的导数为( ) A ．3 B ．7 C ．8 D ．1 4．曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 5．函数y ＝(x －1)2的导数是( ) A ．(x －1)2B ．2(x －1) C ．2(1－x) D ．－26．y ＝cos x 在点x ＝π6处的导数为( )A.32B ．－32C ．－12D.12题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7．函数y＝5x＋4的导数为________．8．函数f(x)＝x2＋3x导数为5的点是________．9．曲线y＝ln x在x＝1处的切线斜率为________．三、解答题10．已知函数y＝x2＋4x，求x＝1,2处的导数值．11.已知f(x)＝log2x，利用导数公式求f′(2)．能力提升12．给出下列结论：①(cos x)′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x ′＝12x x . 其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．313．已知f ′(x)是一次函数，x 2f ′(x)－(2x －1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导数，再计算这一点处的导数值． 2．可以利用导数公式计算函数在某点处的导数．§3 计算导数知识梳理 2．f ′(x)=0lim x ∆→f (x ＋Δx )－f (x )Δx导函数作业设计 1．B2．A [∵f ′(2)＝14，∴所求切线方程为y ＋12＝14(x －2)，即x －4y －4＝0.] 3．C4．D [设切点坐标为(x 0，x 20)， 则tan π4＝1＝2x 0.∴x 0＝12，所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.]5．B [∵y ＝x 2－2x ＋1，∴y ′＝2x －2＝2(x －1)．] 6．C [由导数公式，y ′＝－sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＝－12.]7．5 8．(1,4) 9．1解析 y ′＝1x，∴f ′(1)＝1.10．解 f ′(1)=0lim x ∆→f (1＋Δx )－f (1)Δx=0limx ∆→(1＋Δx )2＋4(1＋Δx )－1－4Δx=0lim x ∆→(Δx )2＋(Δx )×6Δx ＝6. f ′(2)=0limx ∆→f (2＋Δx )－f (2)Δx=0lim x ∆→(2＋Δx )2＋4(2＋Δx )－22－4×2Δx＝8.11．解 ∵f ′(x)＝(log2x)′＝1xln2＝2xln 2， ∴f ′(2)＝1ln 2.12．B [因为(cos x)′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32′＝0，所以②错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，所以③错误；⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x ′＝(－12x -)′＝1232x -＝12x x ， 所以④正确，故选B.]13．解 由f ′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数． 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x)＝2ax ＋b.把f(x)，f ′(x)代入方程x 2f ′(x)－(2x －1)f(x)＝1中得：x 2(2ax ＋b)－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c)＝1，即(a －b)x 2＋(b －2c)x ＋c －1＝0 要使方程对任意x 恒成立， 则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝1， 所以f(x)＝2x 2＋2x ＋1.。
2019—2020年北师大版高中数学选修1-1《导数与函数的单调性》同步练习及答案.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1导数与函数的单调性 同步练习一,选择题:1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为()A.(2,)+∞B.(,2)-∞C.(,0)-∞D.(0,2)2 .在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是 （）A ．3B ．2C ．1D ．0 3.已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( )4.函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B.41 C.21 D.1 5.函数2)sin 1(x y -=的导数是( )A.y=2sin2x-cosxB. y=sin2x+2cosxC. y=2sin2x-2cosxD. y=sin2x-2cosx6.抛物线y=(1-2x)2在点x=32处的切线方程为（） A.y=0 B.8x －y －8=0C ．x =1D .y=0或者8x －y －8=07.若函数f(x)=2x 2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)，则xy ∆∆=（ ） A . 4 B. 4Δx C .4+2Δx D . 2Δx二.填空题:8、函数x x x f ln 2)(2-=的单调递增区间是。
9、函数1032)(23+-=x x x f 的单调递减区间为三,解答题10、 求下列各函数的导数： （1）xy 2=； （2）x x y sin 2=； （3）x x y =； （4）x e y x =； （5）xx y 1ln +=； （6）)43)(12(22-+-=x x x y11、确定函数762)(23+-=x x x f 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。
12、求函数xx y 33+=的单调区间。
参考答案一、选择题1.D2..D3..C4..B5.D.6.B7..C二、填空题8.)0,21(-和),21(+∞ 9.)1,0( 10.解：（1）2ln 2)2(''x x y ==；（2）x x x x x x x x x x x x y 222'2'2'2'sin cos sin 2sin )(sin sin )()sin (⋅-=-==； （3）x x x x x y 2323)()(21'23''====； （4）x e x e x e x e x e y xx x x x 2)()()('21'''+=+==；（5）22''''111)1()(ln )1(ln xx x x x x x x y -=-=+=+=； （6）'234'22')43962()]43)(12[(+--+=-+-=x x x x x x x y31818823--+=x x x11、解：由762)(23+-=x x x f ，得x x x f 126)(2'-=令0126)(2' x x x f -=，解不等式得0 x 或2 x因此，当),2()0,(+∞-∞∈和x 时，函数762)(23+-=x x x f 是增函数 令0126)(2' x x x f -=，解不等式得20 x因此，当)2,0(∈x 时，函数762)(23+-=x x x f 是减函数12、解：函数x x y 33+=的定义域为),0()0,(+∞-∞ 由xx y 33+=，得2222'3')1)(1)(1(333)3(x x x x x x x x y -++=-=+= 令0' y ，得1- x 或1 x ；令0' y ，得10 x 或01 x - 所以函数xx y 33+=的单调增区间是),1()1,(+∞--∞和；单调减区间是)1,0()0,1(和。
北师大版数学数学 导数的几何意义同步练习北师大版选修1-1
学案导学备课精选】2015年高中数学 3.2.2导数的几何意义同步练习（含解析）北师大版选修1-1课时目标 1.理解导数的几何意义；2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．1．函数y＝f(x)在的平均变化率是过A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．2．函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处__________，反映了导数的几何意义．一、选择题1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于( )A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．62．如果曲线y＝f(x)在点(2,3)处的切线过点(－1,2)，则有( )A．f′(2)<0 B．f′(2)＝0C．f′(2)>0 D．f′(2)不存在3．下面说法正确的是( )A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么( )A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定5．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直6．已知函数f(x)的图像如图所示，下列数值的排序正确的是( )A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．8．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是______________．9．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.三、解答题10．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率．11.设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．能力提升12．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim x ∆→f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝f′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． 2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y －f(x 0)＝f′(x 0) (x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f(x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．2.2 导数的几何意义知识梳理1．斜率2．切线的斜率作业设计1．D ＝6x 2.∴y′＝6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.]2．C3．C4．B5．B6．B 时，曲线上x ＝2处切线斜率最大，k ＝f 3－f 23－2＝f(3)－f(2)>f′(3)．] 7．－18．2x －y ＋4＝0解析 由题意知，Δy ＝3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2＝3Δx 2＋2Δx ，∴y′=0lim x ∆→Δy Δx＝2. ∴所求直线的斜率k ＝2.则直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.9．2解析 ∵点P 在切线上，∴f(5)＝－5＋8＝3，又∵f′(5)＝k ＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.10．解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则有y 0＝x 20.因y′=0lim x ∆→Δy Δx =0lim x ∆→x ＋Δx 2－x 2Δx ＝2x. ∴k＝y′＝2x 0.因切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，将点(1，－3)代入，得：－3－x 20＝2x 0－2x 20，∴x 20－2x 0－3＝0，∴x 0＝－1或x 0＝3.当x 0＝－1时，k ＝－2；当x 0＝3时，k ＝6.∴所求直线的斜率为－2或6.11．解 ∵Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)＝(x 0＋Δx)3＋a(x 0＋Δx)2－9(x 0＋Δx)－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a)Δx ＋(Δx)2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9.∴f′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋a 32－9－a 23. 当x 0＝－a 3时，f′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3. 又a<0，∴a＝－3.12．解 f′(x)＝0lim x ∆→a x ＋Δx 2＋b x ＋Δx －7－ax 2－bx ＋7Δx =0lim x ∆→(a·Δx ＋2ax ＋b)＝2ax ＋b. 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －7＝12a ＋b ＝4，解得a ＝－4，b ＝12.。
北师大版数学高二选修1-1 作业 3.3计算导数
1．若f (x )＝log 3x ，则f ′(3)等于( )A.13B ．ln 3 C.13ln 3 D. 1ln 3解析：f ′(x )＝1x ln 3，∴f ′(3)＝13ln 3. 答案：C2．曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫3，13处的切线的斜率为( ) A ．3B.13C.19 D ．－19解析：y ′＝－1x 2，∴点(3，13)处切线斜率k ＝－19. 答案：D3．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若f (x )＝sin α，则f ′(x )＝cos α；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：对于②y ＝3x ，y ′＝13x 113-＝13x 23-＝133x2，故②错；对于③f (x )＝sin α，为常数函数，∴f ′(x )＝0，故③错；①④都正确．答案：B4．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，……，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 012(x )等于( )[]A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x 解析：f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝－sin x ，f 7(x )＝－cos x ，f 8(x )＝sin x ，…，故f n (x )以4为周期，∴f 2 012(x )＝f 503×4(x )＝f 4(x )＝sin x .答案：A5．y ＝sin x 在(π4，22)处的切线方程为________． 解析：y ′＝cos x ，故在点⎝⎛⎭⎫π4，22处的切线斜率k ＝cos π4＝22. 故切线方程为y －22＝22⎝⎛⎭⎫x －π4， 即42x －8y ＋2(4－π)＝0.答案：42x －8y ＋2(4－π)＝06．f (x )＝cot x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝________.解析：f ′(x )＝－1sin 2x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－1sin 2π4＝－2. 答案：－27．求下列函数的导数．(1)y ＝2；(2)y ＝4x 3；(3)y ＝10x ；(4)y ＝12log x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1. 解：(1)∵c ′＝0，∴y ′＝2′＝0.(2)∵(x n )′＝n ·x n －1，∴y ′＝(4x 3)′＝(34x )′＝34x 34－1 ＝34x －14＝344x. (3)∵(a x )′＝a x ·ln a ，∴y ′＝(10x )′＝10x ·ln 10.(4)∵(log a x )′＝1x ·ln a， ∴y ′＝(12log x )′＝1x ·ln 12＝－1x ·ln 2. (5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .8．若直线y ＝－x ＋b 为曲线y ＝1x的切线，求切点坐标及b 的值． 解：设切点为(x 0，y 0)，∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x 2.[] ∴切线的斜率为－1x 20. 又∵切线斜率为－1，∴－1x 20＝－1.∴x 0＝±1. ∴当x 0＝1时，y 0＝1，代入直线得b ＝2；当x 0＝－1时，y 0＝－1，代入直线得b ＝－2.∴切点为(1,1)时，b ＝2；切点为(－1，－1)时，b ＝－2.。
2019北师大版高中数学选修1-1：第四章 导数应用 同步测试
第四章导数应用§1函数的单调性与极值1.1导数与函数的单调性1.B[解析]f'(x)=3x2-6x,令f'(x)=3x2-6x=0,解得x=0或x=2,当x<0时,f'(x)>0;当0<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0.所以函数f(x)=x3-3x2+1的递减区间是(0,2).2.D[解析]f(x)=x-ln x的定义域是{x|x>0},f'(x)=1-=-,当->0时,x>1,∴函数f(x)=x-ln x的递增区间是(1,+∞),故选D.3.A[解析]当x∈(0,+∞)时,f'(x)=+>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增加的,所以f(2)<f(e)<f(3).故选A.4.B[解析]由导函数f'(x)的图像得:在(-∞,-2)上,f'(x)的图像在x轴下方,即f'(x)<0,则f(x)是减少的;在(-2,-1)上,f'(x)的图像在x轴上方,即f'(x)>0,则f(x)是增加的;在(-1,+∞)上,f'(x)的图像在x轴上及x轴下方,即f'(x)≤0,则f(x)是减少的.故选B.5.C[解析]由函数y=x sin x+cos x,得y'=sin x+x cos x-sin x=x cos x.观察给出的四个选项,均有x>0,故仅需cos x>0,结合余弦函数的图像可知,当x∈,时,cos x>0,故选C.6.B [解析]由题意知f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立,则Δ=4a2-12≤0,可得-≤a≤.7.A[解析]因为函数f(x)满足(x-1)f'(x)<0,所以当x<1时,f'(x)>0,当x>1时,f'(x)<0,则f(x)在(-∞,1)上是增加的,在(1,+∞)上是减少的,又f(x)的图像关于直线x=1对称,所以f=f,则有f(4)<f(3)<f=f,即c<b<a.8.,3[解析]f'(x)=--,令f'(x)>0,解得<x<3,即f(x)的递增区间为,3.9.-∞[解析]∵f'(x)=3ax2+1,且f(x)在区间[-1,1]上是增加的,∴f'(x)=3ax2+1≥0在[-1,1]上恒成立.当a≥0时,不等式在[-1,1]上恒成立;当a<0时,由x2≤-在[-1,1]上恒成立,得1≤-,解得-≤a<0.故实数a的取值范围为-∞.10.(-∞,-1)[解析]由f(x)=sin x+3x,得f(-x)=sin(-x)+3(-x)=-(sin x+3x)=-f(x),则函数f(x)为奇函数.由f'(x)=cos x+3≥2>0,得函数f(x)在R上是增加的,故f(2x)+f(1-x)<0,即f(2x)<-f(1-x),即f(2x)<f(x-1),即2x<x-1,解得x<-1,即不等式的解集为(-∞,-1).11.1,[解析]f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=4x-=-.由f'(x)>0,得x>,故函数f(x)的递增区间是∞.由f'(x)<0,得0<x<,故函数f(x)的递减区间是.由于函数f(x)在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,所以k-1<<k+1,解得-<k<.又(k-1,k+1)为函数f(x)的定义域的一个子区间,所以k-1≥0,解得k≥1.综上,可得1≤k<.12.解:(1)y'=(x3-9x2+24x)'=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4),令3(x-2)(x-4)>0,解得x>4或x<2,∴y=x3-9x2+24x的递增区间是(4,+∞)和(-∞,2).令3(x-2)(x-4)<0,解得2<x<4,∴y=x3-9x2+24x的递减区间是(2,4).(2)y'=(+x)'=-+1=+1,当x>0,+1>0,∴y'>0,∴y=+x的递增区间是(0,+∞).13.解:(1)函数f(x)=ax4+bx2+c的图像经过点(0,1),则c=1.f'(x)=4ax3+2bx,则f'(1)=4a+2b=1,易知切点坐标为(1,-1),则函数f(x)=ax4+bx2+c的图像经过点(1,-1),得a+b+c=-1,可得a=,b=-,∴f(x)=x4-x2+1.(2)令f'(x)=10x3-9x>0,得-<x<0或x>,则f(x)的递增区间为-和∞.14.A[解析]由f(x)>f'(x),得f(x)-f'(x)>0.设g(x)=,则g'(x)=-=-<0,则g(x)在R上是减少的,则g(ln 2017)>g(ln 2018),即>,则2018f(ln 2017)>2017f(ln 2018),故选A.15.解:(1)当a=3时,f(x)=x2+2x-ln x,其定义域为(0,+∞),f'(x)=3x+2-=-.当x∈0,时,f'(x)<0,f(x)是减少的;当x∈,+∞时,f'(x)>0,f(x)是增加的.故f(x)的递减区间为0,,递增区间为,+∞.(2)f(x)=ax2+2x-ln x(a∈R)的定义域为(0,+∞).f'(x)=ax+2-=-(a∈R).若函数f(x)存在递增区间,则f'(x)≥0在区间(0,+∞)上有解,即ax2+2x-1≥0在区间(0,+∞)上有解.分离参数得a≥-(x∈(0,+∞)),令g(x)=-(x∈(0,+∞)),则a≥g(x)min.∵g(x)=-=-12-1,∴g(x)min=-1,当a=-1时,f'(x)≤0,f(x)在定义域上不存在递增区间,故实数a的取值范围为(-1,+∞).1.2函数的极值1.B[解析]由导函数的图像可知,f'(x)在(-∞,x0)上为负,f'(x)在(x0,+∞)上非负,∴f(x)在(-∞,x0)上是减少的,在(x0,+∞)上是增加的,∴f(x)在x=x0处有极小值,无极大值,故选B.2.A[解析]f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2,当x=1时导函数值为0,但在此零点左、右两侧导函数值均大于0,所以x=1不是函数f(x)的极值点,所以函数f(x)的极值点的个数为0.3.C[解析]函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是f'(x)=3ax2+1=0有两个不等的实根,易得a<0.4.C[解析]f'(x)=2cos x-1,f'=0,由图像可知在x=左侧f'(x)>0,在x=右侧f'(x)<0,所以x=是f(x)的极大值点.5.B[解析]f'(x)=3x2-2ax-b.∵在x=1处f(x)有极值10,∴----解得-或-验证知当a=3,b=-3时,f(x)在x=1处无极值,∴a=-4,b=11.6.B[解析]函数f(x)=x3-6bx+3b的导函数为f'(x)=3x2-6b,因为函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,所以f'(x)=3x2-6b在(0,1)内有零点,则f'(0)<0且f'(1)>0,即-6b<0且3-6b>0,所以0<b<,故实数b的取值范围是0,,故选B.7.D[解析]h(x)=f(x)e x,则h'(x)=(2ax+b)e x+(ax2+bx+c)e x=(ax2+2ax+bx+b+c)e x.由x=-1为函数h(x)=f(x)e x的一个极值点,得当x=-1时,ax2+2ax+bx+b+c=c-a=0,∴c=a,∴f(x)=ax2+bx+a.若方程ax2+bx+a=0有两根x1,x2,则x1x2==1,D中图像一定不满足该条件,故选D.8.17[解析]函数f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2-12,令f'(x)=0,解得x=-2或x=2.列表:∴当x=-2时,函数有极大值f(-2)=9.3[解析]f'(x)=-,由题意知f'(1)=-=0,解得a=3.10.(-2,2)[解析]令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1,可得f(x)的极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,结合图像(图略)知,当-2<a<2时,直线y=a与函数f(x)的图像有三个相异的交点.11.(-3,0)[解析]设切点为(a,0)(a≠0),f(x)=x(x2+px+q),由题意得,方程x2+px+q=0有两个相等实根a,故可得f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,f'(x)=3x2-4ax+a2=(x-a)(3x-a).令f'(x)=0,则x=a或x=.∵f(a)=0≠-4,∴f=-4,于是-=-4,∴a=-3,即切点坐标为(-3,0).12.解:由于a>0,所以“f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“f'(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞,+∞)内恒成立”.由f'(x)-9x=0即ax2+(2b-9)x+c=0的两根为1,4,可得-即-所以一元二次方程ax2+2bx+c=0的判别式Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9).不等式ax2+2bx+c≥0在(-∞,+∞)内恒成立等价于--解得1≤a≤9,即a的取值范围是[1,9].13.解:(1)f'(x)=3ax2+2bx+c,由已知可得--即----∴-(2)当a=1时,b=2,c=1,∴f(x)=x3+2x2+x+2,∴f'(x)=3x 2+4x+1=3(x+1).令f'(x)=0,得x=-1或x=-.当x∈--时,f'(x)<0,f(x)是减少的;当x∈-,+∞,x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,f(x)是增加的.∴f(x)有极小值f-=-+-+2=.14.D[解析]f'(x)=ln x-ax+x -a =ln x-2ax+1.由题意知f'(x)=ln x-2ax+1=0在(0,2)上有两个不等实根,即a=在(0,2)上有两个不等实根.设g(x)=,则g'(x)=-,易知当0<x<1时,g'(x)>0,g(x)是增加的,当1<x<2时,g'(x)<0,g(x)是减少的,∴g(x)极大值=g(1)=,又g(2)=,当0<x<时,g(x)<0,∴<a<.故选D.15.解:(1)f(x)=x(x-m)2=x3-2mx2+m2x,f'(x)=3x2-4mx+m2=(3x-m)(x-m).令f'(2)=0,解得m=2或m=6.当m=2时,f'(x)=(3x-2)(x-2),故f(x)在区间,2上是减少的,在区间(2,+∞)上是增加的,∴f(x)在x=2处有极小值,不合题意.故m=6.(2)由(1)知f(x)=x(x-6)2,f'(x)=(3x-6)(x-6),故f(x)在(-∞,2)上是增加的,在(2,6)上是减少的,在(6,+∞)上是增加的,∴f(x)极大值=f(2)=32,f(x)极小值=f(6)=0,则当x∈[-1,7]时,f(-1)=-49,f(7)=7,故当x∈[-1,2]时,f(x)∈[-49,32],当x∈(2,6]时,f(x)∈[0,32),当x∈(6,7]时,f(x)∈(0,7],又∵关于x的方程f(x)=a,x∈[-1,7]有三个不同的实根,即函数f(x)的图像与直线y=a在[-1,7]上有三个不同交点,∴实数a的取值范围是(0,7].§2导数在实际问题中的应用2.1实际问题中导数的意义1.D[解析]s'(t)=t3-5t2+4t,令t3-5t2+4t=0,解得t=0或t=1或t=4.2.D[解析]导数为正说明盈利是增加的,导数变小说明增加的幅度变小了,但还是增加的.3.C[解析]由导数的实际意义知,位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度.4.A[解析]由阴影部分面积的变化情况可知,开始时面积增长的速度在增加,然后增长的速度保持不变,最后增长的速度逐渐减缓,对应的图像就是切线的斜率先增加,再不变,最后减小.故选A.5.C[解析]∵h'=-200t+800,∴当t=2时,-200×2+800=400(m/h).6.D[解析]通过某种导体的电量q在第5 s时的瞬时变化率就是第5 s时的电流强度.∵q'=4t+3,∴当t=5时,电流强度为4×5+3=23(C/s).7.C[解析]==--=g=35(m/s).8.-5[解析]由题意得,f'(x)=2x-7,当x=1时,f'(1)=2×1-7=-5,即原油温度的瞬时变化率是-5 ℃/h.9.14[解析]速度v(t)=s'(t)=6t2-10t,所以加速度a(t)=v'(t)=12t-10,当t=2时,a(t)=14,即t=2时,汽车的加速度为14.10.16π[解析]∵V'(r)=4πr2,∴V'(2)=16π.11.52.84,1321[解析]c'(x)=-'=-,∴c'(90)=-=52.84,c'(98)=-=1321.故纯净度为90%时,净化费用的瞬时变化率为52.84;纯净度为98%时,净化费用的瞬时变化率为1321.12.解:(1)T(10)-T(0)=+15--15=-16(℃),所以蜥蜴的体温下降了16 ℃.(2)平均变化率是-1.6 ℃/min,它表示从t=0 min到t=10 min这段时间内,蜥蜴体温平均每分钟下降1.6 ℃.(3)由已知得T'(t)=-,所以T'(5)=-1.2,它表示t=5 min时,蜥蜴体温的下降速度为1.2 ℃/min.13.解:(1)∵p0=1,∴p(t)=(1+5%)t=1.05t,∴p'(t)=(1.05t)'=1.05t·ln 1.05,∴p'(10)=1.0510ln 1.05≈0.08.因此,在第10个年头,这种商品的价格以约0.08元/年的速度上涨.(2)当p0=5时,p(t)=5×(1+5%)t=5×1.05t,则p'(t)=(5×1.05t)'=5×1.05t×ln 1.05,∴p'(10)=5×1.0510×ln 1.05≈0.40.因此,在第10个年头,这种商品的价格以约0.40元/年的速度上涨.14.D[解析]函数的定义域为[0,+∞),当x∈[0,2]时,在单位长度变化量内面积变化量越来越大,即斜率f'(x)在[0,2]内越来越大,因此,函数S=f(x)的图像是上升的,且图像是下凸的;当x∈(2,3)时,在单位长度变化量内面积变化量越来越小,即斜率f'(x)在(2,3)内越来越小,因此,函数S=f(x)的图像是上升的,且图像是上凸的;当x∈[3,+∞)时,在单位长度变化量内面积变化量为0,即斜率f'(x)在[3,+∞)内为常数0,此时,函数图像为平行于x轴的射线.15.解:(1)船的实际速度为(x-6) km/h,故全程用时- h,所以耗油量y关于x的函数关系式为y=f(x)=-=-(x>6).(2)f'(x)=3·---=--,f'(36)=--=2.88.f'(36)表示当船相对于水的速度为36 km/h时耗油量增加的速度为2.88 L/(km/h),也就是说当船相对于水的速度为36 km/h时,船的航行速度每增加1 km/h,耗油量就要增加2.88 L.2.2最大值、最小值问题1.D[解析]由函数最值的定义知,A,B,C均不正确,D正确.2.A[解析]由题意可得,y'=-,当x∈(0,e)时,y'>0,则函数y=是增加的;当x∈(e,+∞)时,y'<0,则函数y=是减少的.故y max==e-1.3.D[解析]设总利润为P(x)(单位:元),则P(x)=由P'(x)=0,得x=300,经检验选D.4.A[解析]设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,则4r+2h=l,∴h=-,V=πr2h=πr2-2πr3,则V'=lπr-6πr2,令V'=0,得r=0或r=,而r>0,∴r=是其唯一的极值点.当r=时,V取得最大值,最大值为π.5.C[解析]由题意可得f'(x)=-3x2-4x+4=-(x+2)(3x-2),令f'(x)=0,可得x1=-2,x2=,又f(-3)=-3,f(-2)=-8,f =,f(3)=-33,据此可知函数f(x)在区间[-3,3]上的最小值为-33,则m2-14m≤-33,解得3≤m≤11,即实数m的取值范围是[3,11].6.C[解析]由函数f(x)=x2-a ln x+1,得f'(x)=x-.∵函数f(x)在(0,1)内有最小值,∴f'(x)=0在(0,1)上有解,函数f(x)的极小值也为最小值,显然a>0.令x-=0,x∈(0,1),得x=,则0<<1,得a∈(0,1).当x∈(0,)时,f'(x)<0,当x∈(,1)时,f'(x)>0,∴x=时函数f(x)取得极小值,也是最小值,∴0<a<1.故选C.7.C[解析]函数f(x)=ax3+2x2+x+1在(1,2)上有最大值无最小值,则f(x)的极大值点在(1,2)之间.由已知得f'(x)=3ax2+4x+1,则f'(1)>0,f'(2)<0,解得-<a<-,故选C.8.-[解析]f'(x)=-cos x,x∈[0,π].当0<x<时,f'(x)<0,故f(x)在0,上是减少的;当<x<π时,f'(x)>0,故f(x)在,π上是增加的.∴当x=时,函数f(x)取得最小值,且f=-.9.2[解析]由于瓶子的半径为r cm,每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm,设每瓶饮料的利润是y分,则y=f(r)=0.2×πr3-0.8πr2,0<r≤6,令f'(r)=0.8πr2-1.6πr=0,则r=2.当r∈(0,2)时,f'(r)<0;当r∈(2,6)时,f'(r)>0.∴函数y=f(r)在(0,2)上是减少的,在(2,6)上是增加的,∴r=2时,每瓶饮料的利润最小.10.(7,+∞)[解析]由题意知当x∈[0,2]时,f(x)<m恒成立等价于m>f(x)max.f'(x)=3x2-x-2=(x-1)(3x+2),当0≤x<1时,f'(x)<0,当1<x≤2时,f'(x)>0,所以函数f(x)在[0,1)上是减少的,在(1,2]上是增加的,f(0)=5,f(2)=7,所以当x∈[0,2]时,f(x)max=7,故m>7.11.-8[解析]由已知得f'(x)=4x3cos x-x4sin x+2mx+1,令g(x)=4x3cos x-x4sin x+2mx,则g(x)是奇函数,由f'(x)的最大值为10知,g(x)的最大值为9,最小值为-9,从而f'(x)的最小值为-9+1=-8.12.解:(1)y'=3ax2+2bx,当x=1时,y'|x=1=3a+2b=0,y|x=1=a+b=3,解得a=-6,b=9,所以函数解析式为y=-6x3+9x2.(2)由(1)知y=-6x3+9x2,y'=-18x2+18x.令y'>0,得0<x<1;令y'<0,得x>1或x<0.所以函数的递增区间为(0,1),递减区间为(-∞,0),(1,+∞).(3)由(2)知当x=0时函数取得极小值0,当x=1时函数取得极大值3,又y|x=-2=84,y|x=2=-12,故函数在[-2,2]上的最大值为84,最小值为-12.13.解:(1)f'(x)=3x2+2ax+b,f'(1)=3+2a+b.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y-f(1)=(3+2a+b)·(x-1),即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1),即y=(3+2a+b)x+(c-a-2).又已知该切线方程为y=3x+1,所以--即-因为f(x)在x=-2处有极值,所以f'(-2)=0,所以-4a+b=-12.解方程组-得-所以f(x)=x3+2x2-4x+5.--(2)由(1)知f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2).令f'(x)=0,得x1=-2,x2=.当x∈[-3,-2)时,f'(x)>0;当x∈-2,时,f'(x )<0;当x ∈时,f'(x)>0.所以f(x)在[-3,1]上的递增区间是[-3,-2)和,递减区间是-2,.因为f(1)=4,f(x)极大值=f(-2)=13,所以f(x)在区间[-3,1]上的最大值为13.14.A[解析]由已知得f'(x)=a e x-2x-(2a+1),设g(x)=f'(x),由函数f(x)在区间(0,ln 2)上有最值得,g(x)在区间(0,ln 2)上单调且存在零点,∴g(0)g(ln 2)=(a-2a-1)(2a-2ln 2-2a-1)<0,可得a+1<0,解得a<-1.此时g'(x)=a e x-2在区间(0,ln 2)上是减少的,∴实数a的取值范围是(-∞,-1).15.解:(1)当a=1时,f(x)=x2-5x+2ln x(x>0),∴f'(x)=2x-5+,∴f(1)=-4,f'(1)=-1,∴切线方程为y+4=-(x-1),即x+y+3=0.(2)函数f(x)=ax2-(a+4)x+2ln x的定义域为(0,+∞).当a>0时,f'(x)=2ax-(a+4)+=-=--.令f'(x)=0得x=或x=.①当0<≤1,即a≥2时,f(x)在[1,2e]上是增加的,∴f(x)在[1,2e]上的最小值为f(1)=-4,符合题意;②当1<<2e,即<a<2时,f(x)在1,上是减少的,在,2e上是增加的,∴f(x)在[1,2e]上的最小值为f<f(1)=-4,不合题意;③当≥2e,即0<a≤时,f(x)在[1,2e]上是减少的,∴f(x)在[1,2e]上的最小值为f(2e)<f(1)=-4,不合题意.综上,a的取值范围是[2,+∞).滚动习题(四)1.D[解析]f'(x)=3x2+2>0恒成立,故f(x)不存在递减区间.2.B[解析]f'(x)=-,令f'(x)=0,得ln x=0或ln x=2,∴x=1或x=e2.当f'(x)<0时,解得0<x<1或x>e2,当f'(x)>0时,解得1<x<e2,∴x=1时,函数取得极小值,且f(1)=0.3.B[解析]由已知得f'(x)=1-2sin x,令f'(x)=0,得sin x=,又x∈,所以x=.又f=+,f(0)=2,f=,所以f为最大值.故选B.4.D[解析]f'(x)=3x2+2ax+3,则f'(-3)=3×9-6a+3=0,∴a=5.5.A[解析]x<-2时,f'(x)<0,则f(x)是减少的;-2<x<0时,f'(x)>0,则f(x)是增加的;x>0时,f'(x)<0,则f(x)是减少的.符合上述条件的只有选项A中的图像.故选A.6.D[解析]由题得f'(x)=-.令x=e,可得f'(e)=,所以f'(x)=-.令f'(x)=->0,得0<x<2e;令f'(x)=-<0,得x>2e.故函数f(x)=2e f'(e)ln x-在x=2e处取得极大值,f(x)极大值=f(2e)=2ln 2,故选D.7.C[解析]函数f(x)=x+a ln x的定义域为x>0.函数f(x)=x+a ln x的导函数为f'(x)=1+.当a≥0时,f'(x)>0,函数f(x)=x+a ln x是增加的;当a<0时,函数f(x)=x+a ln x在(0,-a)上是减少的,在(-a,+∞)上是增加的,f(x)=x+a ln x不是单调函数,则实数a的取值范围是(-∞,0),故选C.8.A[解析]令g(x)=,则g'(x)=-<0(x>0),g(-2)=0.因为f(x)为奇函数,所以g(x)为偶函数,且g(x)在(-∞,0)上是增加的,在(0,+∞)上是减少的,g(2)=g(-2)=0.因此当x>0时,f(x)>0等价于g(x)>0=g(2),可得0<x<2;当x<0时,f(x)>0等价于g(x)<0=g(-2),可得x<-2.因此使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-2)∪(0,2),故选A.9.(-1,1)[解析]由题得f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f'(x)=3(x+1)(x-1)<0,得-1<x<1,∴函数f(x)的递减区间为(-1,1).10.2[解析]由f'(x)=-=0,得x=±1,当x=1时,f(x)取得最大值2.11.(0,3)[解析]f'(x)=-3x2+2mx=x(-3x+2m).令f'(x)=0,得x=0或x=.由题意知0<<2,∴0<m<3.12.40[解析]由y'=x2-39x-40=0,得x=-1(舍去)或x=40.当0<x<40时,y'<0;当x>40时,y'>0.所以当x=40时,y有最小值.13.解:∵函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减少的,∴a<0,b<0.由y=ax3+bx2+5,得y'=3ax2+2bx,令y'>0,即3ax2+2bx>0,∴-<x<0.因此,函数在-上是增加的.令y'<0,即3ax2+2bx<0,∴x<-或x>0,因此,函数在-∞-和(0,+∞)上是减少的.14.解:设x为没有租出去的公寓套数,可获得的收入为y元,则y=(1000+50x)(50-x)-100(50-x)=(900+50x)(50-x),0≤x≤50,且x为整数,∴y'=1600-100x,∴当x=16时,y取最大值,即把租金定为1800元时,收入最大.15.解:(1)由题意,f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=+=.∵a>0,∴f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上是增加的.(2)由(1)可知,f'(x)=.①若a≥-1,则x+a≥0,即f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上是增加的,∴f(x)min=f=-a=2,∴a=-2(舍去).②若a≤-e,则x+a≤0,即f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上是减少的,∴f(x)min=f=1-=2,∴a=-e.③若-e<a<-1,令f'(x)=0得x=-a.当1<x<-a时,f'(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上是减少的;当-a<x<e时,f'(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上是增加的.∴f(x)min=f-=ln(-a)+1=2,a=-e(舍去).综上可知,a=-e.。
北师大版高中数学选修1-1实际问题中导数的意义同步练习
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）实际问题中导数的意义 同步练习一,选择题:1.2x y =在1=x 处的导数为（ ）A. x 2B.2x ∆+C.2D.12.下列求导数运算正确的是（ ） A. 2'11)1(xx x +=+ B. ='2)(log x 2ln 1x C. e x x 3'log 3)3(= D. x x x x sin 2)cos ('2-=3.)(x f 与)(x g 是定义在R 上的两个可导函数，若)(x f ,)(x g 满足)()(''x g x f =,则)(x f 与)(x g 满足（ ）A. )(x f =)(x gB. )(x f －)(x g 为常数函数C. )(x f =)(x g =0D. )(x f +)(x g 为常数函数4.函数xx y sin =的导数为（ ） A.2'sin cos x x x x y += B.2'sin cos xx x x y -= C.2'cos sin x x x x y -= D.2'cos sin xx x x y +=5.若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且),(b a x ∈时，)('x f >0,又)(a f <0,则（ ）A. )(x f 在],[b a 上单调递增，且)(b f >0B. )(x f 在],[b a 上单调递增，且)(b f <0C. )(x f 在],[b a 上单调递减，且)(b f <0D.)(x f 在],[b a 上单调递增，但)(b f 的符号无法判断6.函数33x x y -=的单调增区间是（ ）A.(0,+∞)B.(－∞,－1)C.(－1,1)D.(1,+∞)7.三次函数x ax x f +=3)(在),(+∞-∞∈x 内是增函数，则（ ）A. a >0B. a <0C. a =1D. a =31 8.函数23)(23++=x ax x f ，若)1('-f =4，则a 的值等于（ ） A.319 B.316 C.313 D.310 9.函数a x x x f +-=2332)(的极大值为6，那么a 等于（ ）A.6B.0C.5D.110.下列说法正确的是（ ） A.当)(0'x f =0时，则)(0x f 为)(x f 的极大值B.当)(0'x f =0时，则)(0x f 为)(x f 的极小值C.当)(0'x f =0时，则)(0x f 为)(x f 的极值D.当)(0'x f 为函数)(x f 的极值且)(0'x f 存在时，则有)(0'x f =011.下列四个函数，在0=x 处取得极值的函数是（ ）①3x y = ②12+=x y ③||x y = ④x y 2=A.①②B.②③C.③④D.①③12.函数)1()(2x x x f -=在[0，1]上的最大值为（ ） A. 932 B. 922 C. 923 D. 83 二.解答题13.设函数32()23(1)68f x x a x ax =-+++，其中a R ∈.①若()f x 在3=x 处取得极值，求常数a 的值；②若()f x 在(,0)-∞上为增函数，求a 的取值范围.14.已知函数32()f x x bx cx d =+++的图像过点P （0，2），且在点M （-1，)1(-f ）处的切线方程为076=+-y x .①求函数)(x f y =的解析式；②求函数)(x f y =的单调区间.答案1—12 C.B.B.B.D C.A.D.A.D B.A22.解：（Ⅰ）).1)((66)1(66)(2--=++-='x a x a x a x x f因3)(=x x f 在取得极值， 所以.0)13)(3(6)3(=--='a f 解得.3=a经检验知当)(3,3x f x a 为时==为极值点.（Ⅱ）令.1,0)1)((6)(21===--='x a x x a x x f 得当),()(,0)(),,1(),(,1a x f x f a x a -∞>'+∞-∞∈<在所以则若时 和),1(+∞上为增 函数，故当)0,()(,10-∞<≤在时x f a 上为增函数.当),()1,()(,0)(),,()1,(,1+∞-∞>'+∞-∞∈≥a x f x f a x a 和在所以则若时 上为增函 数，从而]0,()(-∞在x f 上也为增函数.综上所述，当)0,()(,),0[-∞+∞∈在时x f a 上为增函数.24.解：(Ⅰ)由32()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2）,d=2知,所以 32()2f x x bx cx =+++,f '(x)=3x 2+2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, f'(-1)=6,∴326,121,b cb c-+=⎧⎨-+-+=⎩即0,23,b cb c-=⎧⎨-=-⎩解得b=c=-3.故所求的解析式为f(x)=x3-3x-3+2,(Ⅱ) f'(x)=3x2-6x-3,令3x2-6x-3=0即x2-2x-1=0,解得x1=1-2,x2=1+2,当x<1-2或x>1+2时, f'(x)>0;当1-2<x<1+2时, f'(x)<0∴f(x)=x3-3x2-3x+2在(1+2,+∞)内是增函数,在(-∞, 1-2)内是增函数,在(1-2,1+2)内是减函数.。
高中数学北师大版选修1-1第3章《计算导数》同步练习
计算导数 同步练习一,选择题:1．曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是( )A 、5B 、 25C 、35D 、02、设P 点是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A 、2[0,)[,)23πππ⋃B 、5[0,)[,)26πππ⋃ C 、),32[ππ D 、)65,2(ππ3、已知函数63)(23-+=x ax x f ，若4)1('=-f ，则实数a 的值为（ ） （A ）319 （B ）316 （C ）313 （D ）3104.已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则xf x f x )1()1(lim-+→= ( )A ．2B ．1C ．21 D ．41 5．若曲线y =f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线方程为2x －y +1=0，则（ ）（A ）f ’(x 0)>0 （B ）f ’(x 0)<0 （C ）f ’(x 0)=0 （D ）f ’(x 0)不存在 6．设曲线2x y =在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为 （ ）A ．（3，9）B ．（－3，9）C ．（49,23） D ．（49,23-） 7．函数 A ．4x +3 B ．4x -1 C ．4x -5 D ．4x -38、f /（x ）是f （x ）的导函数，f /（x ）的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）A B C D 9、设)(x f 是可导函数，且='=∆-∆-→∆)(,2)()2(lim0000x f xx f x x f x 则 （ ）A ．21 B ．－1 C ．0 D ．－210、已知曲线122+=x y 在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标是（ ） A （1，3） B （-4，33） C （-1，3） D 不确定=-=-)(',2)1(2x f x x x f则11、设函数)(x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数值的改变量是（ ） A )(0x x f ∆+ B x x f ∆+)(0 C x x f ∆)(0 D )()(00x f x x f -∆+ 12、已知函数12+=x y 的图像上一点（1，2）及邻近一点)2,1(y x ∆+∆+，则xy∆∆等于（ ） A 2 B 2x C x ∆+2 D 2+2)(x ∆ 二,解答题:13. 已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点（1，0）处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且.21l l ⊥（Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积..14.已知抛物线C 1：y=x 2+2x 和C ：y=－x 2+a ，如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.（Ⅰ）a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； （Ⅱ）若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.答案:1.A2.A3.D4.B5.A6.C7.D8.D9.B 10.C 11.D 12.C 13. 解：y ′=2x +1.直线l 1的方程为y=3x －3.设直线l 2过曲线y=x 2+x －2上 的点B （b, b 2+b －2）,则l 2的方程为y=(2b+1)x －b 2－2因为l 1⊥l 2，则有2b+1=.32,31-=-b 所以直线l 2的方程为.92231--=x y （II ）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=92231,33x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.25,61y x 所以直线l 1和l 2的交点的坐标为).25,61(-l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为（1，0）、)0,322(-. 所以所求三角形的面积 .12125|25|32521=-⨯⨯=S 14.分析：根据导数可以求得两切线的方程，有且仅有一条公切线即两方程为同一个方程，可以求a 的值；若证明两公切线平分，即证明中点相同即可.（Ⅰ）解：函数y=x 2+2x 的导数y ′=2x+2,曲线C 1在点P （x 1,x 21+2x 1）的切线方程是： y －(x 21+2x 1)=(2x 1+2)(x －x 1),即 y=(2x 1+2)x －x 21 ①函数y=－x 2+a 的导数y ′=－2x, 曲线C 2 在点Q （x 2,－x 22+a ）的切线方程是 即y －(－x 22+a)=－2x 2(x －x 2). y=－2x 2x+x 22+a . ② 如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程， x 1+1=－x 2所以 － x 21=x 22+a.消去x 2得方程 2x 21+2x 2+1+a=0.若判别式△=4－4×2（1+a ）=0时，即a=－21时解得x 1=－21，此时点P 与Q 重合.即当a=－21时C 1和C 2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为 y=x －41 . （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.当a<－21时C 1和C 2有两条公切线设一条公切线上切点为：P （x 1,y 1）, Q （x 2 , y 2 ）.其中P 在C 1上，Q 在C 2上，则有 x 1+x 2=－1,y 1+y 2=x 21+2x 1+(－x 22+a)= x 21+2x 1－(x 1+1)2+a=－1+a .线段PQ 的中点为).21,21(a+--同理，另一条公切线段P ′Q ′的中点也是).21,21(a +-- 所以公切线段PQ 和P ′Q ′互相平分.。
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高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作
计算导数 同步练习
一,选择题:
1．曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是( )
A 、5
B 、 25
C 、35
D 、0 2、设P 点是曲线3
2
33+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A 、2[0,)[,)23πππ⋃
B 、5
[0,)[,)26πππ⋃ C 、),32[ππ D 、)6
5,2(ππ
3、已知函数63)(23-+=x ax x f ，若4)1('=-f ，则实数a 的值为（ ）
（A ）
319 （B ）316 （C ）313 （D ）3
10 4.已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则 x f x f x )
1()1(lim 0
-+→= ( )
A ．2
B ．1
C ． 21
D ．4
1
5．若曲线y =f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线方程为2x －y +1=0，则（ ）
（A ）f ’(x 0)>0 （B ）f ’(x 0)<0 （C ）f ’(x 0)=0 （D ）f ’(x 0)不存在
6．设曲线2x y =在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为
（ ）
A ．（3，9）
B ．（－3，9）
C ．（49,23）
D ．（4
9,23-）
7．函数
A ．4x +3
B ．4x -1
C ．4x -5
D ．4x -3 8、f /（x ）是f （x ）的导函数，f /（x ）的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）
A B C D
9、设)(x f 是可导函数，且='=∆-∆-→∆)(,2)
()2(lim 0000x f x
x f x x f x 则 （ ）
A ．2
1
B ．－1
C ．0
D ．－2
10、已知曲线122+=x y 在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标是（ ） A （1，3） B （-4，33） C （-1，3） D 不确定
11、设函数)(x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数值的改变量是（ ） A )(0x x f ∆+ B x x f ∆+)(0 C x x f ∆)(0 D )()(00x f x x f -∆+ 12、已知函数12+=x y 的图像上一点（1，2）及邻近一点)2,1(y x ∆+∆+，则x
y
∆∆等于（ ）
A 2
B 2x
C x ∆+2
D 2+2)(x ∆ 二,解答题:
13. 已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点（1，0）处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且.21l l ⊥ （Ⅰ）求直线2l 的方程；
=-=-)(',2)1(2x f x x x f
则
（Ⅱ）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积..
14.已知抛物线C 1：y=x 2+2x 和C ：y=－x 2+a ，如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.
（Ⅰ）a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； （Ⅱ）若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.
答案:
1.A
2.A
3.D
4.B
5.A
6.C
7.D
8.D
9.B 10.C 11.D 12.C 13. 解：y ′=2x +1.
直线l 1的方程为y=3x －3.
设直线l 2过曲线y=x 2+x －2上 的点B （b, b 2+b －2）,则l 2的方程为y=(2b+1)x －b 2－2
因为l 1⊥l 2，则有2b+1=.32
,31-=-b
所以直线l 2的方程为.9
22
31--=x y
（II ）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=92231,33x y x y 得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-==.25,6
1y x 所以直线l 1和l 2的交点的坐标为).2
5
,61(-
l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为（1，0）、)0,3
22
(-
. 所以所求三角形的面积 .12
125
|25|32521=
-⨯⨯=S 14.分析：根据导数可以求得两切线的方程，有且仅有一条公切线即两方程为同一个方程，可以求a 的值；若证明两公切线平分，即证明中点相同即可.
（Ⅰ）解：函数y=x 2
+2x 的导数y ′=2x+2,曲线C 1在点P （x 1,x 2
1+2x 1）的切线方程
是：
y －(x 21+2x 1)=(2x 1+2)(x －x 1),即 y=(2x 1+2)x －x 21 ①
函数y=－x 2+a 的导数y ′=－2x, 曲线C 2 在点Q （x 2,－x 22+a ）的切线方程是
即y －(－x 22+a)=－2x 2(x －x 2). y=－2x 2x+x 22+a . ②
如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程， x 1+1=－x 2
所以
－ x 2
1=x 22+a.
消去x 2得方程 2x 21+2x 2+1+a=0.
若判别式△=4－4×2（1+a ）=0时，即a=－
21时解得x 1=－2
1
，此时点P 与Q 重合. 即当a=－21时C 1和C 2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为 y=x －4
1
.
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.当a<－2
1
时C 1和C 2有两条公切线
设一条公切线上切点为：P （x 1,y 1）, Q （x 2 , y 2 ）. 其中P 在C 1上，Q 在C 2上，则有 x 1+x 2=－1,
y 1+y 2=x 21+2x 1+(－x 22+a)= x 2
1+2x 1－(x 1+1)2+a=－1+a .
线段PQ 的中点为).2
1,21(a +--
同理，另一条公切线段P ′Q ′的中点也是).2
1,21(a
+--
所以公切线段PQ 和P ′Q ′互相平分.。