方程思想及其课程教学设计

摘要：准确把握方程思想是进行方程课程设计、教科书编写和教学实施的必要前提和重要基础。

方程是从现实生活到数学的一个提炼过程，一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。

方程思想的核心在于建模、化归。

方程的学习，从一开始就应该让学生接触现实的问题，学习建模，学习把日常生活中的自然语言等价地转化为数学语言，得到方程，进而解决有关问题；而解方程的设计要点在于再现化归的思想方法。

关键词：方程；数学思想；课程设计；教学设计
随着教育改革的不断深入，与中小学数学中的大部分内容一样，人们对方程思想的认识也在悄悄地发生着变化。

一些参与数学新课程设计、课程标准实验教科书编写的专业人员，教学一线上从事数学课程实施的广大教师、教研员，甚至专门从事中小学数学教育研究的高校教学研究人员，对方程思想的模糊认识、困惑甚至迷茫，或多或少地阻碍了数学课程改革的进程。

为此，东北师范大学从事数学教育研究的人员，在数学教育博士生导师、校长史宁中教授的带领下，通过专题访谈、研讨班、座谈会等多种形式，对包括方程思想在内的中小学数学课程改革中的一系列重大的热点问题进行了系列研究。

本文就是史宁中教授系列访谈录中的第一篇。

访谈形式：专题访谈，三人对话，并辅以资料查询。

访谈的核心问题：方程的教育价值主要体现在哪些方面？方程思想的核心到底是什么？学生为什么必须学习方程（方程的学习对后续内容有哪些影响）？对中国中小学数学课程、教学来说，方程课程教材设计的重点应放在哪些方面？
一、方程思想的本质
△问：史教授，方程长期以来一直是中小学数学中的一项重要内容。

您能不能谈一谈方程思想的核心到底是什么？学生为什么必须学习方程？
▲史教授：方程思想具有很丰富的含义，其核心体现在：（1）建模思想；（2）化归思想，如在中小学数学中，三元一次方程可以化归为二元一次方程，二元一次方程可以化归为一元一次方程，一元一次方程最终化归为x=a的形式。

虽然大学《高等代数》中有方程的矩阵解法，但是，对中小学生来说，用这种解法解二元一次方程、三元一次方程是不可取的。

事实上，矩阵解法涉及的因素太多，不符合这个年龄段儿童的特点。

对初中生来说，学习方程内容最主要的事情集中在两个方面：一方面是建模，另一方面是会解方程。

对于后者来说，解方程的关键在于转化，即将新的问题化归为以前可以解决的问题，利用以前的算法解决。

这种化归、迭代的思想正是当代计算机的思想。

长期以来，中小学数学教育界一直存在这样的观点：一元一次方程比小学四则算术进步，但两者没有本质的不同。

其实不然，两者有本质的区别：小学四则运算仅仅提供一种算法，而一元一次方程则比较全面地展示了建模思想──用等号将相互等价的两件事情联立，等号的左右两边等价，至于其中的关系是用自然语言表示的，还是用数学符号表达的，都不太重要，重要的是等号左右两边的两件事情在数学上是等价的。

这就是数学建模的本质表现之一。

方程一般有两种情况出现，一种是仅出现未知数，另一种是既出现未知数，也出现未知的系数。

在目前的初中数学中，只存在含未知数的方程这样一种情况，没有含未知系数的方程。

但是，在经济数学和现实应用中，将出现大量含有可以变动系数的方程。

在初中数学中，解一元一次方程，只需要将含有未知数的项放到方程的一边，将不含未知数的项放到方程的另一边，就可以解出未知数的值，这是解方程的核心工作。

而解的具体过程就要用到四则运算。

为此，在进行解一元一次方程的课程设计、教材编写、教学实施时，必
须突出化归这个重点，至于合并同类项、通分等问题，虽然是代数式的重点内容，但不是这里的重点。

否则，就会陷入繁琐运算的误区。

从这个意义上讲，一元一次方程课程的重点就是让学生掌握“建模”思想，学会“化归”方法，其中，前者是列一元一次方程的重点，后者是解一元一次方程的重点。

对二元一次方程来说，也有类似的解释。

不同的是，在用等号联立两个相互等价的事情时，涉及两个未知量。

对二元一次方程组来说，是两个等价关系，每个等价关系涉及两件相互等价的事件，而这两个等价关系依靠相同的未知数关联在一起。

从表面上看，这里似乎出现了两件事情，事实上却是同一件事情，是在同一个描述过程中，对同一组事物的不同角度、不同方面的刻画和写照。

在解二元一次方程组时，只要把未知数看成已知数，将其中的一个未知数用另一个替代，转化为一元一次方程就可以了。

所以，解二元一次方程组的要害在于：通过替代等手段，将二元一次方程组转化为一元一次方程。

对于三元一次方程（组）问题，同样也是如此，只需要通过替代等手段，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而转化为一元一次方程即可。

二、方程思想的含义及典型观点辨析
△问：《标准》[1]中关于方程思想阐述了这样一个基本观点（刘坚在许多不同场合提到这个说法）：
（1）方程是刻画现实世界的有效模型；
（2）方程没有一般解法；
（3）特殊方程用特殊解法。

另外，张奠宙先生曾经提出，方程的思想不在于《标准》上所说的“建模”思想，而在于“方程是一座桥梁，一座联立已知和未知的桥梁”。

你如何看待上面的观点？
▲史教授：方程不能看作是建立“已知和未知之间的桥梁”，四则运算实质上才是这样的桥梁。

事实上，四则运算是将已知全部写在等号的一边，只不过没有写出“=x”而已，这才是在已知和未知之间建立了一个桥梁。

方程不是这样，方程根本没有经过任何运算，只是阐述了一个事实本身，一个没有经过任何加工的事实本身。

方程只是在说明两件事情是等价的。

比如，小明走了5千米，用了2小时，问速度是多少？
四则运算是：速度=5÷2，而方程则是：设速度为x千米/小时，则2x=5。

显然，前者用已知的两个量──路程、时间表示出未知的量──速度，而后者是再现了路程、时间、速度之间的关系。

△问：张先生的观点强调“在方程中，已知和未知借助等号联立以后，未知可以和已知一样参与运算，享有同样的地位”。

您认为是不是这样？
▲史教授：在这件事情（“未知可以和已知一样参与运算”）上是对的。

当然，不要过于强调已知、未知，而要强调用数学的符号把要说的话（即两件事情等价）表达出来。

这个是根本，是学生必须真正掌握的东西。

在进行方程的课程设计和教学实施时，可以先让学生用自然语言阐述所述的事情，然后抽象成数学表达，最后用数学符号建立方程，解决问题。

这正是建模的过程。

当然，与中小学数学中的方程不同的是，现实应用中的数学建模往往含有可以变动的未知系数──含有变动系数的方程，它代表了不同场合下同一个方程模型的适应情况。

比如，自由落体的运动方程，在地球上是，而在月球上也是，但是作为系数之一的重力加速度g的值是不同的。

△问：这是不是说，方程概括的是一类事物普遍适用的模型，这类事物有一系列子类，由于系数的出现，随着事物的变化，这个模型可以满足各个子类的变化规律。

▲史教授：是的，这就是真正的模型了。

有时需要求最优的系数，即达到最佳的状态。

比如，随着社会的发展，经济效率与社会公平是一对矛盾，经济高速发展时不能过多地考虑公平，但是，社会需要公平，这时就需要掌握一个尺度，也就是，建立一个恰当的模型，确定一个最佳尺度。

当然，这个模型就复杂了。

对于风险与投资来说，一般地，风险越大，收益也越大；风险越小，收益也越小。

于是，就需要解决在某个风险下如何得到最大效益、如何投资的问题，这就是1990年得诺贝尔奖的经济模型问题，建立这样的模型也需要寻找最优系数。

当然，对于中学生来说，你不能把如此复杂的模型呈现给他们。