北师大版必修2第一章《平行关系》单元测试题041019130338
2019—2020年最新北师大版高中数学必修二平行关系同步练习(精品试题)
平行关系1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．【答案】 A2．下列说法正确的是( )A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面【解析】由异面直线的定义可知选D.【答案】 D3．(2010·全国大纲高考)正三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A．30° B．45°C．60° D．90°【解析】如图，可补成一个正方体，∴AC1∥BD1.∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形，∴∠A1BD1＝60°.∴BA1与AC1成60°的角．【答案】 C4．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________．【解析】①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ 相交．【答案】③5．(2013·青岛模拟)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，求异面直线BE与CD1所成的角的余弦值．【解】如图连接BA1.∵BA1∥CD1，∴∠A1BE为所求．在△A1BE中，设AB＝1，则AA1＝2，∴A1B＝5，A1E＝1，BE＝ 2.∴由余弦定理得cos∠A1BE＝310 10.课时作业【考点排查表】1．若异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝l，则直线l( )A．与直线a，b都相交B．至少与a，b中的一条相交C．至多与a，b中的一条相交D．与a，b中的一条相交，另一条平行【解析】若a∥l，b∥l，则a∥b，故a，b中至少有一条与l相交，故选B.【答案】 B2．正方体AC1中，E、F分别是线段BC、C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．垂直【解析】如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．【答案】 A3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】有2条：A1B和A1C1，故选B.【答案】 B4．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是( )A．①②B．③④C．②③D．①③【解析】将展开图还原为正方体，由于EF∥ND，而ND⊥AB，∴EF⊥AB；显然AB与CM平行，故②不正确．EF与MN是异面直线，MN与CD也是异面直线，故①③正确，②④错误．【答案】 D5．已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上，若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点( ) A．成钝角三角形B．成锐角三角形C．成直角三角形D．在一条直线上【解析】D、E、F为已知平面与平面A′B′C′的公共点，由公理2知，D、E、F共线．【答案】 D6．在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，则以这4个顶点为顶点构成的几何形体可能是：①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．则其中正确结论的序号是( )A．①③④⑤B．①②④⑤C．①②③⑤D．①②③④【解析】由长方体的性质知①正确，②不正确；对于③，长方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A1－ABD符合条件，③正确；对于④，长方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A1－BC1D符合条件，④正确；对于⑤，长方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A1－ABC符合条件．【答案】 A二、填空题7．(2013·丰台模拟)已知线段AB、CD分别在两条异面直线上，M、N分别是线段AB、CD的中点，则MN__________1 2(AC＋BD)(填“>”，“<”或“＝”)．【解析】如图所示，四边形ABCD是空间四边形，而不是平面四边形，要想求MN与AB、CD的关系，必须将它们转化到平面来考虑．我们可以连接AD，取AD的中点为G，再连接MG、NG，在△ABD中，M、G分别是线段AB、AD的中点，则MG∥BD，且MG＝12BD，同理，在△ADC中，NG∥AC，且NG＝12AC，又根据三角形的三边关系知，MN<MG＋NG，即MN<12BD＋12AC＝12(AC＋BD)．【答案】<8．(2013·海淀模拟)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．【解析】如题图所示，由A′O⊥平面ABCD，可得平面A′BC⊥平面ABCD，又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.【答案】90°9．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)．【解析】由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．【答案】①三、解答题10．如图所示，O1是正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点．求证：O1、M、A三点共线．【证明】∵A1C1∩B1D1＝O1，B1D1⊂平面B1D1A，A1C1⊂平面AA1C1C.∴O1∈平面B1D1A，O1∈平面AA1C1C.∵A1C∩平面B1D1A＝M，A1C⊂平面AA1C1C，∴M∈平面B1D1A，M∈平面AA1C1C.又∵A∈平面B1D1A，A∈平面AA1C1C，∴O1、M、A在两个平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上，由公理3可知，O1、M、A三点共线．11．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M.【解】(1)因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角．因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°.而A1B1＝1，B1M＝B1C21＋MC21＝2，故tan∠MA1B1＝B1MA1B1＝2，即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为 2.(2)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM⊂平面BCC1B1，得A1B1⊥BM.①由(1)知，B1M＝2，又BM＝BC2＋CM2＝2，B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.②又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，再由①②得BM ⊥平面A 1B 1M ，而BM ⊂平面ABM ，因此平面ABM ⊥平面A 1B 1M.12．(2012·上海高考)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成的角的余弦值．【解】 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23， 三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA＝13×23×2＝433. (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，∴∠ADE(或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角． 在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34， ∴异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34. 四、选做题13．如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M 、N 分别为AB 、DF 的中点．(1)若CD ＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF ，求MN 的长；(2)若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求异面直线MN 与AF 所成的角；(3)用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线．【解】 (1)取CD 的中点G ，连结MG ，NG ， ∵ABCD ，DCEF 为正方形，且边长为2，∴MG ⊥CD ，MG ＝2，NG ＝ 2.∵平面ABCD ⊥平面DCEF ，∴MG ⊥平面DCEF.可得MG ⊥NG ，∴MN ＝MG 2＋NG 2＝ 6.(2)如图，取EF 的中点G ，连结MG ，则GF 綊12CD ，又MA 綊12CD ， ∴GF 綊MA.∴四边形MAFG为平行四边形，∴MG綊AF.∴∠GMN即为异面直线MN与AF所成的角．连结AN，NG，设正方形棱长为a，则有MG＝2a，NG＝22a，MN＝AM2＋AN2＝62a，在△MNG中，cos∠GMN＝MG2＋MN2－NG2 2MG·MN＝2a2＋32a2－12a22×2a×62a＝32，∴∠GMN＝30°，∴异面直线MN与AF所成的角为30°.(3)证明：假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，∴AB∥EN.又AB∥CD∥EF，∴EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．。
北师大版高中数学必修二第一章测试
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第一章测试时间120分钟满分150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在下列四个选项中，只有一项是符合题意的)1．下列说法正确的是()A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α与平面β有不同在一条直线上的三个交点解析梯形有两条边平行，过两条平行直线有且只有一个平面．答案 C2．室内有直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线()A．异面B．相交C．平行D．垂直答案 D3．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．bαB．b∥αC．bα或b∥αD．b与α相交或bα或b∥α答案 D4．若三球的半径之比是1:2:3，则半径最大的球的体积是其余两球的体积和的()A．4倍B．3倍C．2倍D．1倍解析设三个球的半径依次为a,2a,3a，V最大＝43π(3a)3＝36πa3，V1＋V2＝43πa3＋43π(2a)3＝363πa3＝12πa3，V最大V1＋V2＝3.答案 B5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()答案 C6．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a ∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．③④解析根据公理4，知①正确；根据垂直于同一平面的两直线平行可知④正确．答案 C7．在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，则有() A．面ABC⊥面DBC B．面ABC⊥面ADCC．面ABC⊥面ADB D．面ADC⊥面DBC解析如图，在四面体ABCD中，∵AD⊥BC，AD⊥BD，BD∩BC＝B，∴AD⊥面BCD.又AD面ADC，∴面ADC⊥面BCD.答案 D8．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，D为AB的中点，下列说法中正确的个数有()①CD⊥面ABB1A1；②BC1∥面A1DC；③面ADC⊥面ABB1A1.A．0个B．1个C．2个D．3个解析∵ABC－A1B1C1为直三棱柱，AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，由两平面垂直的性质定理，可知CD⊥面ABB1A1，又CD面ADC，故面ADC⊥面ABB1A，故①、③正确，对于②连接AC1，BC1，设A1C∩AC1＝O，则O为AC1的中点，又D为AB的中点，∴OD∥BC1.又OD面A1DC，BC1面A1DC，∴BC1∥面A1DC，故②正确．答案 D9．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )A.73 m 3B.92 m 3C.72 m 3D.94 m 3解析 由三视图可知，原几何体如图所示，故V ＝3×13＋12×13＝3＋12＝72 m 3.答案 C10．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，沿BD 将△ABD 折起到A ′BD ，使面A ′BD ⊥面BCD ，连接A ′C ，则在四面体A ′BCD 的四个面中，互相垂直的平面有( )①面ABD⊥面BCD；②面A′CD⊥面ABD；③面A′BC⊥面BCD；④面ACD⊥面ABC.A．1个B．2个C．3个D．4个解析由于面ABD⊥面BCD，故①正确．又AB⊥BD则A′B ⊥BD，则A′B⊥BD，∴A′B⊥面BCD，故面A′BC⊥面BCD，又CD⊥BD，∴面A′CD⊥面ABD，故②③正确，④显然不正确．答案 C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析由三视图知，该几何体是由圆柱中间除去正四棱柱得到的，所以体积是4π×4－2×2×4＝16π－16.答案16π－1612．若正三棱台的上、下底面的边长分别为2和8，侧棱长为5，则这个棱台的高为________．解析 由题可知，上底面三角形的高为2sin60°＝3，下底面三角形的高为8sin60°＝43，故棱台的高h ＝52－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(43－3)×232＝13. 答案1313．已知圆锥的表面积为a m 2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________．解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则πl ＝2πr ，即l ＝2r ， S 圆锥表＝πr 2＋πrl ＝3πr 2＝a ，则r ＝3πa3π. 答案3πa 3π m14．如图四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为SA 上的点，当E 满足条件：________时，SC ∥面EBD .解析当E为SA的中点时，设AC∩BD＝O，连接EO，EB，ED，∵ABCD为平行四边形，∴O为AC的中点．∴EO∥SC，又SC面EBD，OE面EBD，∴SC∥面EBD.答案E为SA的中点15．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上，取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3，BD＝12，则线段CD的长为________．解析 连接BC ，∵AC ⊥l ，∴∠CAB ＝90°， CB ＝AC 2＋AB 2＝32＋42＝5. 又BD ⊥l ，α⊥β， ∴BD ⊥平面α. 又BC α，∴BD ⊥BC . ∴CD ＝BD 2＋BC 2 ＝122＋52＝13. 答案 13三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．(12分)已知圆台的上、下底面半径分别是2,5，且侧面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．解 设圆台的母线长为l ，则圆台的上、下底面面积为S 上＝π·22＝4π，S 下＝π·52＝25π，∴圆台的两底面面积之和S ＝S 上＋S 下＝29π， 又圆台的侧面积S 侧＝π(2＋5)·l ＝7πl ， 由7πl ＝29π，得l ＝297，即母线长为297.17．(12分)如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且EH ∥FG .求证：EH ∥BD .证明 ∵EH ∥FG ，EH 面BDC ，FG 面BDC ， ∴EH ∥面BDC ， 又EH面ABD ，面ABD ∩面BDC ＝BD ，∴EH ∥BD .18．(12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝6，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积． 解 (1)取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B .因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝ 3.又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA21，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.19．(13分)如图，已知P A垂直于正方形ABCD所在平面，E，F 分别是AB，PC的中点，∠PDA＝45°.(1)求证：EF∥面P AD；(2)求证：面PCE⊥面PCD.证明 (1)设PD 中点为G ，连接FG ，AG ，∵F ，G 分别为PC ，PD 的中点，∴FG 綊12CD .又E 为AB 的中点，∴AE 綊FG .即四边形EFGA 为平行四边形．∴EF ∥AG .又EF 面P AD ，AG面P AD ，∴EF ∥面P AD .(2)P A ⊥面ABCD ，∴P A ⊥AD ，P A ⊥CD .又∵在Rt △P AD 中，∠PDA ＝45°，∴P A ＝AD ，∴AG ⊥PD .又CD ⊥AD ，CD ⊥P A ，且P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥面P AD ，CD ⊥AG ，又PD ∩CD ＝D ，∴AG ⊥面PCD .由(1)知EF ∥AG ，∴EF ⊥面PCD ，又EF面PCE ，∴面PCE ⊥面PCD .20．(13分)如图①，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，将△AEF 沿EF 折起，使A ′在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图②.(1)求证：EF ⊥A ′C ；(2)求三棱锥F —A ′BC 的体积．解 (1)证法1：在△ABC 中，EF 是等腰直角△ABC 的中位线，在四棱锥A ′—BCEF 中，EF ⊥A ′E ，EF ⊥EC ，∴EF ⊥平面A ′EC ，又A ′C 平面A ′EC ，∴EF ⊥A ′C .证法2：同证法1 EF ⊥EC ，∴A ′O ⊥EF ，∴EF ⊥平面A ′EC .又A ′C 平面A ′EC ，∴EF ⊥A ′C .(2)在直角梯形EFBC 中，EC ＝2，BC ＝4，∴S △FBC ＝12BC ·EC ＝4.又∵A ′O 垂直平分EC ，∴A ′O ＝A ′E 2－EO 2＝3，∴三棱锥F —A ′BC 的体积V F —A ′BC ＝V A ′—FBC ＝13S △FBC ·A ′O ＝13×4×3＝433.21．(13分)如图所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底面ABCD 对角线的交点．(1)求证：C 1O ∥平面AB 1D 1；(2)求证：A 1C ⊥平面AB 1D 1；(3)若AA 1＝2，求三棱锥A 1—AB 1D 1的体积． 解 (1)证明：设B 1D 1的中点为O 1，∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，∴C 1O 1綊AO .故AOC 1O 1为平行四边形．∴AO 1∥C 1O ，又AO 1面AB 1D 1，C 1O 面AB 1D 1， ∴C 1O ∥面AB 1D 1.(2)证明：∵B 1D 1⊥A 1C 1，B 1D 1⊥CC 1，A 1C 1∩C 1C ＝C 1. ∴B 1D 1⊥面ACC 1A 1，A 1C 面ACC 1A 1.∴B 1D 1⊥A 1C . 同理可证A 1C ⊥AB 1.又AB 1∩B 1D 1＝B 1，∴A 1C ⊥面AB 1D 1.(3)VA 1—AB 1D 1＝VA —A 1B 1D 1＝13×12×2×2×2＝43.。
【精准解析】北师大版必修2一课三测：1.5.2+平行关系的性质
答案：D
2．下列说法正确的是( )
A．如果直线 l∥平面α，那么过平面α内一点和直线 l 平行的直线在α内 B．若直线 l∥平面α，aα，则 l∥a
C．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β内的所有直线 D．若α∥β，α∩γ＝a，bγ，则 a∥b 解析：直线 l 与平面α内一点确定一个平面，与平面α交于一条直线，此直线与直线 l 平行， 故 A 正确；由线面平行的定义可知 l 与 a 没有公共点，但不一定平行，可能异面，故 B 不正 确；由面面平行的定义可知平面α与β没有公共点，二者的直线可能平行，也可能异面，故 C 不正确；D 不正确，因为不确定 b 是否为平面β与γ的交线.
解析：因为直线 EF∥平面 AB1C，EF平面 ABCD，且平面 AB1C∩平面 ABCD＝AC，所 以 EF∥AC，因为 E 是 DA 的中点，所以 F 是 DC 的中点，由中位线定理可得 EF＝1AC，在正
2 方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，AC＝2 2，所以 EF＝ 2.
答案： 2 10.
如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，点 D 为 AC 的中点，点 D1 是 A1C1 上的一点，若 BC1∥
平面 AB1D1，则DA11DC11等于(
)
A.1 B．1 2
C．2 D．3
解析：可证 AD1∥DC1，所以 D1 为 A1C1 中点．
答案：B
7.
-7-
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如图，在三棱台 A1B1C1－ABC 中，点 D 在 A1B1 上，且 AA1∥BD，点 M 是△A1B1C1 内的 一个动点，且有平面 BDM∥平面 A1C1CA.则动点 M 的轨迹是( )
答案：A 3．设平面α∥β，直线 aα，直线 bβ，有下列四种情形：①a⊥b；②a∥b；③a 与 b 为
高中数学北师大版必修二1.5.1 同步练习 《平行关系的判定》
《平行关系的判定》同步练习1．直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系( )A．平行B．相交C．异面D．不能确定2．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面( )A．平行B．相交C．平行或相交D．重合3．点E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是( )A．0 B．1 C．2 D．34．下列命题中正确的是( )A．平行于同一平面的两条直线平行B．同时与两条异面直线平行的平面有无数多个C．如果一条直线上有两点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行D．直线l与平面α不相交，则l∥α5．设AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们的中点的平面和直线AC的位置关系是( )A．平行B．相交C．平行或相交D．AC在此平面内6．下列命题中正确的是( )A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αB．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行D．若直线l与平面α平行，则l与平面α没有公共点7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1C1C和平面BB1D1D的交线与棱柱CC1的位置关系是________，截面BA1C1和直线AC的位置关系是________。
8．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′的六个面中，(1)与平面AD ′平行的平面是________；(2)与直线AB ′平行的平面是________。
9．如图，正方形ABCD 和四边形AC EF ，EF ∥AC ，AB ＝，EF ＝1。
求证：A F ∥平面BD E 。
10．如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 、G 分别为AA 1、AB 、AC 的中点，M 、N 、P 分别为A 1C 1、A 1B 1、C 1C 的中点。
求证：平面EFG ∥平面MNP 。
北师大版必修二 平行关系的性质 课时作业
平行关系的性质课时作业一、选择题1．下列结论中正确的是( )A．平行于另一个平面内两条直线的平面，一定平行于这个平面B．一条直线平行于另一个平面内的无数条直线，则这条直线与该平面平行C．两个平面分别与第三个平面相交，若交线平行则两个平面平行D．在两个平行平面中，一个平面内的一条直线必平行于另一个平面解析：A中如果另一个平面内的两条直线平行，则显然不正确；B中如果这条直线在平面内，也符合它平行于平面内的无数条直线，但是显然这条直线不与该平面平行；C显然不正确；根据面面平行的性质知D正确，故选D.答案：D2．下列说法正确的是( )A．如果直线l∥平面α，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内B．若直线l∥平面α，aα，则l∥aC．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β内的所有直线D．若α∥β，α∩γ＝a，bγ，则a∥b解析：直线l与平面α内一点确定一个平面，与平面α交于一条直线，此直线与直线l 平行，故A正确；由线面平行的定义可知l与a没有公共点，但不一定平行，可能异面，故B 不正确；由面面平行的定义可知平面α与β没有公共点，二者的直线可能平行，也可能异面，故C不正确；D不正确，因为不确定b是否为平面β与γ的交线.答案：A3．设平面α∥β，直线aα，直线bβ，有下列四种情形：①a⊥b；②a∥b；③a 与b为异面直线；④a与b相交．其中可能出现的情形有( )A．1种B．2种C．3种 D．4种解析：易知①②③均可能出现，如果a与b相交，则α与β有公共点，这与α∥β相矛盾，故④不可能出现．答案：C4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B在平面β内，则在平面β内且过点B 的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线解析：当直线a平面β，且点B在直线a上时，在平面β内且过点B的所有直线中不存在与a平行的直线．故选A.答案：A5.如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则( )A．BF∥平面ACGDB．CF∥平面ABEDC．BC∥FGD．平面ABED∥平面CGF解析：取DG的中点为M，连接AM，FM，如图所示．则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，∴DE綊FM.∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM.又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM.又BF 平面ACGD ，∴BF ∥平面ACGD .故选A.答案：A 6.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1是A 1C 1上的一点，若BC 1∥平面AB 1D 1，则A 1D 1D 1C 1等于( )A.12B ．1C ．2D ．3解析：可证AD 1∥DC 1，所以D 1为A 1C 1中点． 答案：B 7.如图，在三棱台A 1B 1C 1－ABC 中，点D 在A 1B 1上，且AA 1∥BD ，点M 是△A 1B 1C 1内的一个动点，且有平面BDM ∥平面A 1C 1CA .则动点M 的轨迹是( )A ．平面B ．直线C ．线段，但只含1个端点D ．圆解析：因为平面BDM ∥平面A 1C 1CA ，平面BDM ∩平面A 1B 1C 1＝DM ，平面A 1C 1CA ∩平面A 1B 1C 1＝A 1C 1，所以DM ∥A 1C 1，过D 作DE ∥A 1C 1交B 1C 1于E ，则点M 的轨迹是线段DE (不包括点D )． 答案：C 二、填空题8．一个面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形的两条对角线与这个截面平行，那么此四个交点围成的四边形是________．解析：由线面平行的性质定理可得四个交点围成的四边形为平行四边形． 答案：平行四边形9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ，因为E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得EF ＝12AC ，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AC ＝22，所以EF ＝ 2.答案： 2 10.如图，过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点B 1，D 1与棱AB 的中点P 的平面与底面ABCD 所在平面的交线记为l ，则l 与B 1D 1的位置关系为________．解析：如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝l ，所以l ∥B 1D 1.答案：l ∥B 1D 111．如图是正方体的平面展开图： 在这个正方体中，①BM ∥平面ADE ；②CN ∥平面BAF ；③平面BDM ∥平面AFN ；④平面BDE ∥平面NCF ，以上说法正确的是________(填序号)．解析：以四边形ABCD 为下底还原正方体，如图所示，则易判定四个说法都正确．答案：①②③④12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为CC 1，C 1D 1，D 1D ，CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足________时，MN ∥平面BDD 1B 1.解析：如图，取B 1C 1的中点P ，连接NP ，NH ，HF ，PF ，则可证明平面NPFH ∥平面BDD 1B 1， 若MN 平面NPFH ， 则MN ∥平面BDD 1B 1.答案：M ∈FH .(答案不唯一，如FH ∩GE ＝M 等) 三、解答题 13.如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，平面A 1DCE 与B 1B 交于点E .求证：EC ∥A 1D .证明：因为BE ∥AA 1，AA 1平面AA 1D ，BE 平面AA 1D ， 所以BE ∥平面AA 1D .因为BC ∥AD ，AD 平面AA 1D ，BC 平面AA 1D ， 所以BC ∥平面AA 1D .又BE ∩BC ＝B ，BE 平面BCE ，BC 平面BCE ， 所以平面BCE ∥平面AA 1D .又平面A 1DCE ∩平面BCE ＝EC ，平面A 1DCE ∩平面AA 1D ＝A 1D ， 所以EC ∥A 1D .14．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是棱B 1C 1，BB 1，C 1D 1的中点，是否存在过点E ，M 且与平面A 1FC 平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由．解析：如图，设N 是棱C 1C 上的一点，且C 1N ＝14C 1C 时，平面EMN 过点E ，M 且与平面A 1FC平行．证明如下：设H 为棱C 1C 的中点，连接B 1H ，D 1H .因为C 1N ＝14C 1C ，所以C 1N ＝12C 1H .又E 为B 1C 1的中点，所以EN ∥B 1H . 又CF ∥B 1H ，所以EN ∥CF .又EN 平面A 1FC ，CF 平面A 1FC ， 所以EN ∥平面A 1FC .同理MN ∥D 1H ，D 1H ∥A 1F ， 所以MN ∥A 1F .又MN 平面A 1FC ，A 1F 平面A 1FC ， 所以MN ∥平面A 1FC ， 又EN ∩MN ＝N ，所以平面EMN ∥平面A 1FC .能力提升15.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．解析：存在点E ，且E 为AB 的中点时， DE ∥平面AB 1C 1，下面给出证明： 如图，取BB 1的中点F ，连接DF ， 则DF ∥B 1C 1.因为AB 的中点为E ，连接EF ，则EF ∥AB 1，B 1C 1∩AB 1＝B 1，DF ∩EF ＝F ， 所以平面DEF ∥平面AB 1C 1.又DE 平面DEF ，∴DE ∥平面AB 1C 1.16．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q 分别是BC ，C 1D 1，AD 1，BD 的中点．(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1； (2)求PQ 的长；(3)求证：EF ∥平面BB 1D 1D .解析：(1)证明：方法一 如图，连接AC ，CD 1.因为P ，Q 分别是AD 1，AC 的中点， 所以PQ ∥CD 1.又PQ 平面DCC 1D 1， CD 1平面DCC 1D 1， 所以PQ ∥平面DCC 1D 1.方法二 取AD 的中点G ，连接PG ，GQ ， 则有PG ∥DD 1，GQ ∥DC ，且PG ∩GQ ＝G ， 所以平面PGQ ∥平面DCC 1D 1. 又PQ 平面PGQ ， 所以PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)由(1)易知PQ ＝12D 1C ＝22a .(3)证明：方法一 取B 1D 1的中点O 1， 连接FO 1，BO 1，则有FO 1綊12B 1C 1.又BE 綊12B 1C 1，所以BE 綊FO 1.所以四边形BEFO 1为平行四边形， 所以EF ∥BO 1，又EF 平面BB 1D 1D ，BO 1平面BB 1D 1D ， 所以EF ∥平面BB 1D 1D .方法二 取B 1C 1的中点E 1，连接EE 1，FE 1， 则有FE 1∥B 1D 1，EE 1∥BB 1，且FE 1∩EE 1＝E 1，所以平面EE1F∥平面BB1D1D. 又EF平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.。
2019—2020年最新北师大版必修2高中数学《平行关系的判断》同步练习.doc
高中数学1.5.1平行关系的判断课时提能演练北师大版必修2"（30分钟50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.（2012·宝鸡高一检测）若平面α和平面β相交于直线l，直线a在平面α内，但不与直线l重合，则直线a与平面β的位置关系是() (A)相交(B)平行(C)相交或平行(D)aβ2.如图，下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()（A）①④(B)②④（C）①③④(D)①③3.（2012·汉中高一检测)过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有()(A)4条(B)6条(C)8条(D)12条4.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是AB的中点，点F在BC上，则BF等于多少时，EF∥平面A1C1D()(A)1(B)12(C)13(D)14二、填空题（每小题4分，共8分）5.a，b，c是三条直线，α，β是两个平面，如果a∥b∥c，aα,bβ，cβ，那么平面α与平面β的位置关系是_________.6.（2012·郑州高一检测）设m,n是平面α外的两条直线，给出三个说法：①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，可构成三个命题，写出你认为正确的一个命题__________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.（易错题）不共面的三条线段AA1，BB1，CC1交于一点O且被O 所平分，求证：平面ABC∥平面A1B1C1.8.（2012·渭南高一检测）如图是一几何体的直观图，主视图和俯视图.（1）在主视图右侧，按照画三视图的要求画出该几何体的左视图;（2）在所给直观图中连接BD，证明：BD∥平面PEC.【挑战能力】（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别为BC，PA的中点，在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，说明点E的位置；若不存在，说明理由.答案解析1.【解析】选C.若直线a与l平行，则a∥β，若直线a与直线l相交，则a与β相交.2.【解析】选D.对于图①，连接N与MP的中点，则其与AB平行，从而AB∥平面MNP.对于图③，AB∥MP,能得出AB∥平面MNP.图②，④中直线AB与平面MNP相交.【举一反三】在本题条件下，试判断下面三个正方体图形中，是否有AB∥平面MNP？【解析】对于图①，取NP的中点为R,连接MR，则有AB∥MR且AB平面MNP，所以AB∥平面MNP.对于图③，AB∥NP,且AB平面MNP，NP平面MNP, 所以AB∥平面MNP.图②中，AB与平面MNP相交.所以，①③图中AB∥平面MNP.3.【解析】选D.如图，设M，N，P，Q为所在棱的中点，易知平面MNPQ∥平面DBB1D1，则过M，N，P，Q这四个点中的任意两点的直线与平面DBB1D1 平行，这种情形共有6条；同理，经过BC，CD，B1C1，C1D1四条棱的中点也有6条，故共有12条.4.【解析】选B.当点F是BC的中点时，即BF=12BC=12，有EF∥平面A1C1D.∵EF∥AC,AC∥A1C1,∴EF∥A1C1,又∵EF平面A 1C1D,A1C1平面A1C1D,∴EF∥平面A1C1D.5.【解题指南】借助于正方体模型来判断.【解析】由正方体模型易知α∥β或α与β相交.答案：平行或相交6.【解题指南】先列出三个命题，然后判断真假. 【解析】三个命题如下:（1）m∥n,m∥α⇒n∥α；(2)m∥n,n∥α⇒m∥α；(3)m∥α,n∥α⇒m∥n.经验证，（1）（2）正确，（3）中m与n可能相交、平行、异面.答案：①②⇒③（或①③⇒②）7.【证明】如图，因AA1∩CC1=O,所以AA1与CC1确定一个平面，设为平面α.又∵△AOC≌△A1OC1，∴∠OAC=∠OA1C1,从而AC∥A1C1.又A 1C1A1B1C1,AC A 1B1C1,由线面平行的判定定理得AC∥平面A1B1C1.同理AB∥平面A 1B1C1.又AB∩AC=A,AB ABC,ACABC，由面面平行的判定定理得平面ABC∥平面A1B1C1.8.【解析】(1)如图所示：（2）取PC的中点M，设AC与BD的交点为N，连接MN，ME，∵PM＝CM，AN＝CN，∴MN＝1PA，MN∥PA，2∴MN＝EB，MN∥EB，故BEMN是平行四边形，∴EM∥BN.又EM平面PEC，BD平面PEC，∴BD∥平面PEC.【方法技巧】线面平行证法面面观在点、线、面的位置关系中，线面平行是重要的位置关系，也是我们学习的重点.在证明线面平行的过程中，关键是如何找线线平行，其方法主要有借助对应线段成比例、中位线、平行四边形等方法.下面主要就线面平行的证法进行归类总结.（1）借助对应线段成比例借助对应线段成比例来证明两直线平行，进而证明线面平行. （2）借助中位线借助三角形或梯形的中位线可以找到线线平行关系,从而证明线面平行.（3）借助平行四边形对于平行四边形我们知道其对边平行，借助此关系可以证明线面平行.【挑战能力】【解析】存在.取PD的中点E，连接NE，EC，AE，因为N，E分别为PA，PD的中点，所以NE∥AD且NE=12AD.又在平行四边形ABCD中，CM∥AD且CM=12AD，所以NE MC，即四边形MCEN是平行四边形，所以NM∥EC，又EC平面ACE，NM平面ACE，所以MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，此时PE=12PD.。
北师大版高中数学必修二第一章《平行关系》单元测试题
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）北师大版必修2第一章《平行关系》单元测试题班级：姓名：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )．A．α内的所有直线均与a异面 B．α内不存在与a平行的直线C．α内直线均与a相交 D．直线a与平面α有公共点2．下列说法中正确的是( )．①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①②④3．若α∥β，a α，下列四种说法中正确的是( )．①a与β内所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．A．①② B．②④ C．②③ D．①③④4．P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出四个命题：①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA.其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．45．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为( )A．都平行 B．都相交且交于同一点C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或都交于同一点6．不同直线m、n和不同平面α，β，给出下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫n∥αm⊂α⇒m∥n；②⎭⎪⎬⎪⎫m∥nm∥β⇒n∥β；③⎭⎪⎬⎪⎫m⊂αn⊂β⇒m，n不共面；④⎭⎪⎬⎪⎫n∥βm∥α⇒m∥n，其中假命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．47．设平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )．A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线8．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )A．4条B．6条 C．8条D．12条9．直线l与平面α平行，点A是平面α内的一点，则下列说法正确的是( )A．过点A作与l平行的直线只能作一条，且在α内B．过点A作与l平行的直线只能作一条，且在α外C．过点A作与l平行的直线可作无数条，可在α内，也可在α外D．过点A不可作与l平行的直线10．下列四个命题中，正确的个数是( )①AB是平面α外的线段，若A、B到平面α的距离相等，则AB∥α；②若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等； ③若直线a∥直线b ，则a 平行于过b 的所有平面； ④若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a∥b.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共25分）． 11．如图，在空间四边形ABCD 中，M∈AB，N∈AD，若AM MB ＝ANND，则MN 与平面BDC 的位置关系是_____． 12．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，①与直线AB 平行的平面是________； ②与直线AA 1平行的平面是________； ③与直线AB 1平行的平面是________．13．已知α∥β，A ，C∈α，B ，D∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS＝ 8，BS ＝9，CD ＝34.(1)当S 在α，β之间时，CS ＝________. (2)当S 不在α，β之间时，CS ＝________.14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面AA 1C 1C 和平面BB 1D 1D的交线与棱CC 1的位置关系是________，截面BA 1C 1和直线AC 的位置关系是________．15．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足__________时，有MN∥平面B 1BDD 1.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共75分)． 16．（12分）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH. 求证：AP ∥GH.17．（12分）如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N分别为AB 、PC 的中点，平面PAD∩平面PBC ＝l. (1)判断BC 与l 的位置关系，并证明你的结论；(2)判断MN 与平面PAD 的位置关系，并证明你的结论． 18．（12分）如图，已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF不在同一个平面内，P 、Q 分别是对角线AE 、BD 上的点，且AP ＝DQ. 求证：PQ∥平面CBE.19．（12分）已知四面体ABCD中，M、N分别是三角形ABC和三角形ACD的重心，求证：(1)MN∥面ABD；(2)BD∥面CMN.20．（13分）如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．21．（14分）用平行于四面体ABCD的一组相对棱AB、CD的平面截此四面体，如图所示．(1)求证所得截面MNPQ是平行四边形；(2)如果AB＝CD＝a，求证四边形MNPQ的周长为定值．北师大版必修2第一章《平行关系》单元测试题答案一、选择题： 1．[答案]D 2．[答案]D 3．[答案]B 4．[答案]B [解析] 由已知OM∥PD，∴OM∥平面PCD 且OM∥平面PAD.故正确的只有①③，选B.5．[答案]D[解析] 当直线与平面平行时，a∥b∥c…，当直线与平面α相交时，设l ∩α＝O ，则a 、b 、c ，…是过O 点的直线，故选D. 6．[答案]D[解析] ①中m 与n 可能平行，也可能异面，②中可能n ⊂β，③中可能m∥n，④中不知道α与β的位置，无法判断m 与n 的关系，故四个命题全不正确．7．[答案]D[解析] 依题意，由点B 和直线a 可确定唯一的平面γ，平面γ与平面β的交线设为c ，则必有c∥a，且这样的直线c 是唯一的．8．[答案]D[解析] 如图所示，设M 、N 、P 、Q 为所在边的中点，则过这四个点中的任意两点的直线都与面DBB 1D 1平行，这种情形共有6条；同理，经过BC 、CD 、B 1C 1、C 1D 1四条棱的中点，也有6条；故共有12条，故选D. 9．[答案] A10．[答案] A[解析] ①若AB 与α相交，则AB 上存在两点与α距离相等，故①错误．②由等角定理知，应注意条件中的“方向”，即此两角也可能互补，故②错误．③a 也可能与b 共面，故③错误．④由条件知，a 与b 可异面、相交、平行，故④错． 二、填空题：11．[答案] 平行[解析] ∵M∈AB，N∈AD，AM MB ＝ANND，∴MN∥BD，∵MN ⊄平面BDC ，BD ⊂平面BCD ，∴MN∥平面BDC. 12．[答案]①面A 1C 1，面CD 1；②面BC 1，面CD 1；③面CD 1 13．[答案](1)16 (2)272[解析](1)如右图所示，∵AB 与CD 相交于S ，∴AB，CD 可确定平面γ，且α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD.∵α∥β，∴AC∥BD，则有AS BS ＝CS DS ，即AS AS ＋BS ＝CSCD，∴CS 34＝817，∴CS＝16. (2)如右图所示，由(1)知AC∥BD，则有AS BS ＝CS DS ，即89＝CSCS ＋34. 解得CS ＝272.14．[答案]平行 平行[解析] 如图所示，平面AA 1C 1C∩平面BB 1D 1D ＝OO 1，O 为底面ABCD 的中心，O 1为底面A 1B 1C 1D 1的中心， ∴OO 1∥CC 1.又AC∥A 1C 1，A 1C 1⊂平面BA 1C 1，AC 面BA 1C 1， ∴AC∥面BA 1C 1.15．[答案]M 在线段FH 上移动[解析] 此时HN∥BD，MH∥DD 1， ∴平面MNH∥平面BDD 1B 1， ∴MN∥平面B 1BDD 1. 三、解答题：16．思路分析：欲证线线平行，往往先证线面平行，再由线面平行的性质定理证得线线平行．证明：连接AC 交BD 于O ，连接MO ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点． 又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM.又OM ⊂平面BMD ，AP 平面BMD ， ∴AP ∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD ＝GH ，AP ⊂平面PAHG ， ∴AP∥GH.17．[解析](1)结论：BC∥l .证明：∵AD∥BC，BC⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴BC∥平面PAD.又∵BC ⊂平面PBC ，平面PAD∩平面PBC ＝l，∴BC∥l.(2)结论：MN∥平面PAD.证明：设Q为CD的中点，连结NQ，MQ，则NQ∥PD，MQ∥AD，又∵NQ∩MQ＝Q，PD∩AD＝D，∴平面MNQ∥平面PAD.又∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD.18．[解析]作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，则PM∥QN.∴PMAB＝EPEA，QNCD＝BQBD.∵AP＝DQ，∴EP＝BQ.又∵AB＝CD，EA＝BD，∴PM＝QN.故四边形PMNQ是平行四边形．∴PQ∥MN.∵PQ平面CBE，MN⊂平面CBE，∴PQ∥平面CBE.19．[解析](1)如图所示，连结CM、CN并延长分别交AB、AD于G、H，连结GH、MN.∵M、N分别为△ABC、△ACD的重心，∴CMCG＝CNCH. ∴MN∥GH.又GH⊂面ABD，MN面ABD，∴MN∥面ABD.(2)连结AM、AN并延长分别交BC、CD于E、F，连结EF.同理MN∥EF，又E、F分别为BC、CD的中点，∴BD∥EF.∴BD∥MN.又MN⊂面CMN，BD 面CMN，∴BD∥面CMN.20．思路分析：在平面MNQ内找到两条相交直线与平面PBC平行，条件中给出了线段比相等，故可利用平行线截线段成比例的性质证得线线平行，再转化为线面平行，然后根据面面平行的判定定理证明．证明：在△PAD中，∵PM∶MA＝PQ∶QD，∴MQ∥AD.又∵AD∥BC，∴MQ∥BC.∵MQ平面PBC，BC⊂平面PBC，∴MQ∥平面PBC.在△PBD中，∵BN∶ND＝PQ∶QD，∴NQ∥PB. ∵NQ平面PBC，PB⊂平面PBC，∴NQ∥平面PBC.∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PBC.21．[解析](1)∵AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，∴AB∥MN，同理可得PQ∥AB.∴由平行公理可知，MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.∴截面四边形MNPQ为平行四边形．(2)∵由(1)可知，MN∥AB，∴MNAB＝MCAC，∴AB－MNAB＝AC－MCAC＝AMAC.又MQ∥CD，∴AMAC＝MQCD，∴AB－MNAB＝MQCD.又AB＝CD＝a，∴MN＋MQ＝a，∴平行四边形MNPQ的周长为2(MN＋MQ)＝2a，∴四边形MNPQ的周长为定值.。
高中数学 第一章立体几何初步 1.5.2 平行关系的性质练习 北师大版必修2
5.2 平行关系的性质A组1.设a,b是两条直线,α,β是两个平面,若a∥α,a⫋β,α∩β=b,则平面α内与b相交的直线与a的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行或异面答案:C2.导学号62180038如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G,H两点,则HG与AB的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定解析:∵E,F分别是AA1和BB1的中点,∴EF∥AB.又AB⊈平面EFGH,EF⫋平面EFGH,∴AB∥平面EFGH.又AB⫋平面ABCD,平面ABCD∩平面EFGH=GH,∴AB∥GH.答案:A3.设a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列命题中不正确的是()A.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥bB.a∥b,b∥α,a⊈α⇒a∥αC.α∥β,β∥γ⇒α∥γD.α∥β,a∥α⇒a∥β解析:当α∥β,且a∥α时,可能有a∥β,也可能有a⫋β,因此选项D中的命题不正确.答案:D4.a是平面α外的一条直线,过a作平面β,使β∥α,这样的平面β()A.只能作一个B.至多可以作一个C.不存在D.至少可以作一个解析:因为a在平面α外,所以a∥α或a∩α=P.当a∥α时,过a可作唯一的平面β,使β∥α;当a∩α=P时,过a不能作平面β,使β∥α,故至多可以作一个.答案:B5.如图所示,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,线段PA,PB,PC分别交α于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则△A'B'C'与△ABC面积的比为()A.2∶5B.3∶8C.4∶9D.4∶25解析:由题意知,△A'B'C'∽△ABC,从而.答案:D6.若α∥β,a⫋α,b⫋β,下列几种说法中正确的有.(只填序号)①a∥b;②a与β内无数条直线平行;③a与β内的唯一一条直线平行;④a∥β.答案:②④7.如图所示为长方体被一个平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为.解析:因为原来的几何体是长方体,所以平面ABFE∥平面DCGH,从而可得EF∥HG,同理可得HE∥GF,故EFGH是平行四边形.答案:平行四边形8.如图所示,P为▱ABCD所在平面外一点,E为AD的中点,F为PC上一点,当PA∥平面EBF时,=.解析:连接AC交BE于点G,连接FG.因为PA∥平面EBF,PA⫋平面PAC,平面PAC∩平面BEF=FG,所以PA∥FG,所以.又AD∥BC,E为AD的中点,所以,所以.答案:9.如图所示,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,M为OA的中点,N为BC的中点,求证:直线MN∥平面OCD.证明:取OB的中点G,连接GN,GM.在△OAB中,GM为中位线,∴GM∥AB.又AB∥CD,∴GM∥CD.∵GM⊈平面OCD,CD⫋平面OCD,∴GM∥平面OCD.在△OBC中,GN为中位线,∴GN∥OC.∵GN⊈平面OCD,OC⫋平面OCD,∴GN∥平面OCD.∵GM∩GN=G,∴平面GMN∥平面OCD.∵MN⫋平面GMN,MN⊈平面OCD,∴MN∥平面OCD.10.导学号62180039如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC上一点,且A1B∥平面AC1D,D1是B1C1的中点,求证:(1)D为BC的中点;(2)平面A1BD1∥平面AC1D.证明:(1)连接A1C交AC1于点O,连接OD,则O为A1C的中点,因为A1B∥平面AC1D,A1B⫋平面CA1B,平面CA1B∩平面ADC1=OD,所以A1B∥OD.因为O为A1C的中点,所以D为BC的中点.(2)因为D1为B1C1的中点,由三棱柱的性质知,C1D1 BD,所以四边形BDC1D1为平行四边形.所以BD1∥DC1.因为BD1⊈平面AC1D,C1D⫋平面AC1D,所以BD1∥平面AC1D.连接D1D,因为D1,D分别为B1C1,BC的中点,所以D1D B1B.因为B1B A1A,所以D1D A1A.所以四边形A1ADD1为平行四边形.所以A1D1∥AD.因为A1D1⊈平面AC1D,AD⫋平面AC1D,所以A1D1∥平面AC1D.因为A1D1∩BD1=D1,所以平面A1BD1∥平面AC1D.B组1.平面α截一个三棱锥,如果截面是梯形,则平面α必定和这个三棱锥的()A.底面平行B.一个侧面平行C.平行于两条相对的棱D.仅与一条棱平行解析:当平面α平行于某一个面时,截面为三角形,故A,B错.当SA∥平面α时,如图所示.SA⫋平面SAB,平面SAB∩平面α=DG,所以SA∥DG,同理SA∥EF,所以DG∥EF,同理若BC∥平面α时,得到GF∥DE.因为截面是梯形,所以只能有一条棱与之平行.答案:D2.导学号62180040已知平面α∥β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为()A.16B.24或C.14D.20解析:第①种情况,如图所示,当点P在α,β的同侧时,设BD=x,则PB=8-x,∴.∴BD=.第②种情况,如图所示,当点P在α,β中间时,设PB=x.∴.∴x==16,∴BD=24.答案:B3.过长方体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有()A.4条B.6条C.8条D.12条解析:如图所示,与平面BDD1B1平行的平面有EFGH,MNPQ,其中E,F,G,H,M,N,P,Q分别为棱的中点,每一个平面由中点构成的线有6条,据面面平行的性质定理,可知与面BDD1B1平行的线共有12条.答案:D4.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是.解析:因为过A1,C1,B的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1,且正方体的两个底面互相平行,所以由两个平面平行的性质定理知l∥A1C1.答案:平行5.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N,若AN=mAC,则m=.解析:因为平面AB1M∥平面BC1N,平面ACC1A1∩平面AB1M=AM,平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N,所以C1N∥AM.又AC∥A1C1,所以四边形ANC1M为平行四边形,所以AN=C1M=A1C1=AC,所以N为AC的中点,m=.答案:6.已知平面α∥平面β,△ABC与△A'B'C'分别在α,β内,线段AA',BB',CC'都交于点O,点O在α,β之间,若S△ABC=,OA∶OA'=3∶2,则△A'B'C'的面积为.解析:根据题意有S△ABC=.∵AA',BB'相交,∴直线AA',BB'确定一个平面ABA'B',∵平面α∥平面β,∴AB∥A'B',易得△ABO∽△A'B'O,①△ABC∽△A'B'C',②由①得,由②得,故S△A'B'C'=.答案:7.已知平面α∥β,点A,C∈α,点B,D∈β,直线AB与CD交于点S,且AS=8,BS=9,CD=34,求CS的长度.解:①当点S在α,β之间时,如右图所示,连接AC,BD,已知AB∩CD=S,设AB,CD构成平面γ,则γ∩α=AC,γ∩β=BD.因为α∥β,所以AC∥BD.所以△ACS∽△BDS.则,设CS=x,则,解得x=16,即CS=16.②当点S在平面α,β同侧时,如下图所示,已知AB∩CD=S,设AB,CD构成平面γ,则γ∩α=AC,γ∩β=BD.因为α∥β,所以AC∥BD,所以△SCA∽△SDB.所以,即,解得CS=272.综上,CS=16或272.8.导学号62180041如图所示,几何体E-ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD.若∠BCD=120°,M 为线段AE的中点.求证DM∥平面BEC.证明:取AB的中点N,连接DN,MN,如图所示.∵M是AE中点,∴MN∥BE.又∵MN⊈平面BEC,BE⫋平面BEC,∴MN∥平面BEC.∵△ABD是等边三角形,AN=BN,∴∠BDN=30°.又∵CB=CD,∠BCD=120°,∴∠CBD=30°,∴ND∥BC.又∵ND⊈平面BEC,BC⫋平面BEC,∴ND∥平面BEC.又∵MN∩ND=N,MN⫋平面DMN,ND⫋平面DMN,∴平面DMN∥平面BEC.又∵DM⫋平面DMN,∴DM∥平面BEC.。
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北师大版必修2第一章《平行关系》单元测试题班级：姓名：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )．A．α内的所有直线均与a异面 B．α内不存在与a平行的直线C．α内直线均与a相交 D．直线a与平面α有公共点2．下列说法中正确的是( )．①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①②④3．若α∥β，a α，下列四种说法中正确的是( )．①a与β内所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．A．①② B．②④ C．②③ D．①③④4．P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出四个命题：①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA.其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．45．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为( )A．都平行 B．都相交且交于同一点C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或都交于同一点6．不同直线m、n和不同平面α，β，给出下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫n∥αm⊂α⇒m∥n；②⎭⎪⎬⎪⎫m∥nm∥β⇒n∥β；③⎭⎪⎬⎪⎫m⊂αn⊂β⇒m，n不共面；④⎭⎪⎬⎪⎫n∥βm∥α⇒m∥n，其中假命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．47．设平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )．A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线8．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )A．4条B．6条 C．8条D．12条9．直线l与平面α平行，点A是平面α内的一点，则下列说法正确的是( )A．过点A作与l平行的直线只能作一条，且在α内B．过点A作与l平行的直线只能作一条，且在α外C．过点A作与l平行的直线可作无数条，可在α内，也可在α外D．过点A不可作与l平行的直线10．下列四个命题中，正确的个数是( )①AB是平面α外的线段，若A、B到平面α的距离相等，则AB∥α；②若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；③若直线a∥直线b，则a平行于过b的所有平面；④若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a∥b.A．0个B．1个 C．2个D．3个二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共25分）．11．如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若AMMB＝ANND，则MN与平面BDC的位置关系是_____．12．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，①与直线AB平行的平面是________；②与直线AA1平行的平面是________；③与直线AB1平行的平面是________．13．已知α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS ＝ 8，BS＝9，CD＝34.(1)当S在α，β之间时，CS＝________.(2)当S不在α，β之间时，CS＝________.14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1C1C和平面BB1D1D的交线与棱CC1的位置关系是________，截面BA1C1和直线AC的位置关系是________．15．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足__________时，有MN∥平面B1BDD1.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共75分)．16．（12分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD 外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH. 17．（12分）如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N 分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；(2)判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．18．（12分）如图，已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF 不在同一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.19．（12分）已知四面体ABCD中，M、N分别是三角形ABC和三角形ACD 的重心，求证：(1)MN∥面ABD；(2)BD∥面CMN.20．（13分）如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．21．（14分）用平行于四面体ABCD的一组相对棱AB、CD的平面截此四面体，如图所示．(1)求证所得截面MNPQ是平行四边形；(2)如果AB＝CD＝a，求证四边形MNPQ的周长为定值．北师大版必修2第一章《平行关系》单元测试题答案一、选择题： 1．[答案]D 2．[答案]D 3．[答案]B 4．[答案]B [解析] 由已知OM∥PD，∴OM∥平面PCD 且OM∥平面PAD.故正确的只有①③，选B.5．[答案]D[解析] 当直线与平面平行时，a∥b∥c…，当直线与平面α相交时，设l ∩α＝O ，则a 、b 、c ，…是过O 点的直线，故选D. 6．[答案]D[解析] ①中m 与n 可能平行，也可能异面，②中可能n ⊂β，③中可能m∥n，④中不知道α与β的位置，无法判断m 与n 的关系，故四个命题全不正确．7．[答案]D[解析] 依题意，由点B 和直线a 可确定唯一的平面γ，平面γ与平面β的交线设为c ，则必有c∥a，且这样的直线c 是唯一的．8．[答案]D[解析] 如图所示，设M 、N 、P 、Q 为所在边的中点，则过这四个点中的任意两点的直线都与面DBB 1D 1平行，这种情形共有6条；同理，经过BC 、CD 、B 1C 1、C 1D 1四条棱的中点，也有6条；故共有12条，故选D. 9．[答案] A10．[答案] A[解析] ①若AB 与α相交，则AB 上存在两点与α距离相等，故①错误．②由等角定理知，应注意条件中的“方向”，即此两角也可能互补，故②错误．③a 也可能与b 共面，故③错误．④由条件知，a 与b 可异面、相交、平行，故④错． 二、填空题：11．[答案] 平行[解析] ∵M∈AB，N∈AD，AM MB ＝ANND，∴MN∥BD，∵MN ⊄平面BDC ，BD ⊂平面BCD ，∴MN∥平面BDC. 12．[答案]①面A 1C 1，面CD 1；②面BC 1，面CD 1；③面CD 1 13．[答案](1)16 (2)272[解析](1)如右图所示，∵AB 与CD 相交于S ，∴AB，CD 可确定平面γ，且α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD.∵α∥β，∴AC∥BD，则有AS BS ＝CS DS ，即AS AS ＋BS ＝CSCD，∴CS 34＝817，∴CS＝16. (2)如右图所示，由(1)知AC∥BD，则有AS BS ＝CS DS ，即89＝CSCS ＋34. 解得CS ＝272.14．[答案]平行 平行[解析] 如图所示，平面AA 1C 1C∩平面BB 1D 1D ＝OO 1，O 为底面ABCD 的中心，O 1为底面A 1B 1C 1D 1的中心， ∴OO 1∥CC 1.又AC∥A 1C 1，A 1C 1⊂平面BA 1C 1，AC 面BA 1C 1， ∴AC∥面BA 1C 1.15．[答案]M 在线段FH 上移动[解析] 此时HN∥BD，MH∥DD 1， ∴平面MNH∥平面BDD 1B 1， ∴MN∥平面B 1BDD 1. 三、解答题：16．思路分析：欲证线线平行，往往先证线面平行，再由线面平行的性质定理证得线线平行．证明：连接AC 交BD 于O ，连接MO ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点． 又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM.又OM ⊂平面BMD ，AP 平面BMD ， ∴AP ∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD ＝GH ，AP ⊂平面PAHG ， ∴AP∥GH.17．[解析](1)结论：BC∥l .证明：∵AD∥BC，BC⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴BC∥平面PAD.又∵BC ⊂平面PBC ，平面PAD∩平面PBC ＝l ，∴BC∥l.(2)结论：MN∥平面PAD.证明：设Q为CD的中点，连结NQ，MQ，则NQ∥PD，MQ∥AD，又∵NQ∩MQ＝Q，PD∩AD＝D，∴平面MNQ∥平面PAD.又∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD.18．[解析]作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，则PM∥QN.∴PMAB＝EPEA，QNCD＝BQBD.∵AP＝DQ，∴EP＝BQ.又∵AB＝CD，EA＝BD，∴PM＝QN.故四边形PMNQ是平行四边形．∴PQ∥MN.∵PQ平面CBE，MN⊂平面CBE，∴PQ∥平面CBE.19．[解析](1)如图所示，连结CM、CN并延长分别交AB、AD于G、H，连结GH、MN.∵M、N分别为△ABC、△ACD的重心，∴CMCG＝CNCH. ∴MN∥GH.又GH⊂面ABD，MN面ABD，∴MN∥面ABD.(2)连结AM、AN并延长分别交BC、CD于E、F，连结EF.同理MN∥EF，又E、F分别为BC、CD的中点，∴BD∥EF.∴BD∥MN.又MN⊂面CMN，BD 面CMN，∴BD∥面CMN.20．思路分析：在平面MNQ内找到两条相交直线与平面PBC平行，条件中给出了线段比相等，故可利用平行线截线段成比例的性质证得线线平行，再转化为线面平行，然后根据面面平行的判定定理证明．证明：在△PAD中，∵PM∶MA＝PQ∶QD，∴MQ∥AD.又∵AD∥BC，∴MQ∥BC.∵MQ平面PBC，BC⊂平面PBC，∴MQ∥平面PBC.在△PBD中，∵BN∶ND＝PQ∶QD，∴NQ∥PB. ∵NQ平面PBC，PB⊂平面PBC，∴NQ∥平面PBC.∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PBC.21．[解析](1)∵AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，∴AB∥MN，同理可得PQ∥AB.∴由平行公理可知，MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.∴截面四边形MNPQ为平行四边形．(2)∵由(1)可知，MN∥AB，∴MNAB＝MCAC，∴AB－MNAB＝AC－MCAC＝AMAC.又M Q∥CD，∴AMAC＝MQCD，∴AB－MNAB＝MQCD.又AB＝CD＝a，∴MN＋MQ＝a，∴平行四边形MNPQ的周长为2(MN＋MQ)＝2a，∴四边形MNPQ的周长为定值.。