高中数学必修二第一章测试题及答案

合集下载

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第一章章末综合检测

(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果空间中有四个点，其中任意三点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面( )A ．可能有三个，也可能有一个B ．可能有三个，也可能有两个C ．可能有四个，也可能有一个D ．可能有四个，也可能有两个解析：选C.当四个点共面时，只有一个；当四个点不共面时，任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面．2．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为(以线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立坐标系)( )A.34a 2B.38a 2C.68a 2D.616a 2 解析：选D.求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边长和高，也就是原来实际图形中的高线在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据来求出相应的高线即可，直观图的面积是原图形面积的24.如图所示的实际图形和直观图，由图(2)可知A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图(2)中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a ，所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12·a ·68a ＝616a 2.3．下面四个说法中正确的个数是( )①如果a 、b 是两条直线，a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何一个平面；②如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行；③如果直线a 、b 满足a ∥α，b ∥α，则直线a ∥b ；④如果直线a 、b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ⃘α，那么b ∥α.A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选B.若a 、b 共面，则说法①不正确；如图所示中的a 与b ，则说法②不正确；满足说法③的a 、b 平行、相交、异面三种位置关系都有可能．∴只有④正确．4.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.13B.23 C ．1 D ．2解析：选C.空间几何体的直观图为平放的直三棱柱，且直三棱柱底面为直角三角形，两直角边边长分别为1和2，侧棱长为2，直接利用公式可知V ＝2×12×1×2＝1.5．已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( ) A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直C ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直D ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直解析：选C.若β内存在直线n 与m 平行，由m ⊥α知n ⊥α，从而α⊥β，但α与β相交却不一定垂直，所以不一定存在直线与m 平行；又设α∩β＝a ，由m ⊥α知m ⊥a ，即β中有直线与m 垂直．故选C.6．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是( ) A ．平面DD 1C 1C B ．平面A 1DCB 1 C ．平面A 1B 1C 1D 1 D ．平面A 1DB 解析：选B.连接A 1D 、B 1C ，由ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体可知， AD 1⊥A 1B 1，AD 1⊥A 1D . 故AD 1⊥平面A 1DCB 1.7．以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 的中线CD 为棱，将△ABC 折叠，使平面ACD ⊥平面BCD ，则AC 和BC 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．不确定解析：选B.如图，令CD ＝AD ＝BD ＝1，则AC ＝BC ＝2，又∵AD ⊥BD ，∴AB ＝2， ∴∠ACB ＝60°.8.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线( )A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条解析：选D.在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，当M 取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这三条异面直线都有交点，如图所示，故选D.9．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3解析：选D.由球的体积公式可得球的半径R ＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a ，高即侧棱长为h ，则h ＝2R ＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有32a ×13＝R ＝2，解得a ＝4 3.所以此三棱柱的体积V ＝12×32×(43)2×4＝48 3.10．已知二面角α-l -β为60°，动点P ，Q 分别在面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 3 D ．4解析：选C.如图所示，分别作QA ⊥α于A ，AC ⊥l 于C ，PB ⊥β于B ，PD ⊥l 于D ，连接CQ ，BD ，则CQ ⊥l ，BD ⊥l ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝23，BP ＝3，∴AC ＝PD ＝2. 又PQ ＝AQ 2＋AP 2＝12＋AP 2≥2 3.当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时，PQ 取最小值2 3.二、填空题(本大题共5小题．把答案填在题中横线上)11．在数值上若球的体积与其表面积相等，则球的半径是________．解析：设球的半径为R ，由题意4πR 2＝43πR 3，∴R ＝3.答案：312．如图，在△ABC 中，BC ＝39，G 是△ABC 的重心．过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ＝__________.解析：∵BC ∥平面α，平面α∩平面ABC ＝MN ， ∴BC ∥MN .又∵G 是△ABC 的重心， ∴AG ∶GD ＝2∶1，∴AG ∶AD ＝2∶3， ∴MN ∶BC ＝2∶3.在△ABC 中，BC ＝39.∴MN ＝2339.答案：233913．如图所示，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件__________时，有A 1C ⊥B 1D 1.(填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)解析：由直四棱柱可知CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1，要使B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1ACC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1，还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形，正方形等条件．答案：B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)14．三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O ，P 点到三个平面的距离分别为3,4,5，则OP 的长为__________．解析：构造一个长方体，令O 为长方体的一个顶点，P 为长方体内的一个点，OP ＝32＋42＋52＝50＝5 2. 答案：5 215．一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是__________．解析：设圆柱桶的底面半径为R ，高为h ，油桶直立时油面的高度为x ，则⎝⎛⎭⎫14πR 2－12R 2h ＝πR 2x ， ∴x h ＝14－12π. 答案：14－12π三、解答题(本大题共5小题．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝6，将矩形沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．(1)求证：BC ⊥A 1D ；(2)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1BD .证明：(1)∵A 1在平面BCD 上的射影O 在CD 上， ∴A 1O ⊥平面BDC .又BC 平面BCD ，∴BC ⊥A 1O .又BC ⊥CD ，A 1O ∩CD ＝O ，∴BC ⊥平面A 1CD . 又A 1D 平面A 1CD ，∴BC ⊥A 1D .(2)∵四边形ABCD 为矩形，∴A 1D ⊥A 1B .由(1)知A 1D ⊥BC ，A 1B ∩BC ＝B ，∴A 1D ⊥平面A 1BC . 又A 1D 平面A 1BD ，∴平面A 1BC ⊥平面A 1BD .17．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 是BC 上一点，且A 1B ∥平面AC 1D ，D 1是B 1C 1的中点，求证：平面A 1BD 1∥平面AC 1D . 证明：如图，连接AB 1交A 1B 于点E ，则E 为AB 1的中点，连接ED 1. 又∵D 1是B 1C 1的中点， ∴ED 1为△B 1AC 1的中位线， ∴ED 1∥AC 1.∵ED 1平面AC 1D ，AC 1平面AC 1D ， ∴ED 1∥平面AC 1D ，又∵A 1B ∥平面AC 1D ，且ED 1∩A 1B ＝E ， ∴平面A 1BD 1∥平面AC 1D .18．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其中有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解：(1)画圆锥及内接圆柱的轴截面，如图，设所求圆柱的底面半径为r ，则它的侧面积为S 圆柱侧＝2πr ·x ， ∵r R ＝H －x H ，∴r ＝R －R Hx . ∴S 圆柱侧＝2πRx －2πR H ·x 2.(2)S 圆柱侧＝2πRx －2πR H x 2＝－2πR H ⎝⎛⎭⎫x －H 22＋πRH2. 则这个二次函数有最大值，这时圆柱的高x ＝H 2>0，且x ＝H2<H ，满足题意，∴当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．19.如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB .(1)求证：CE ⊥平面P AD ； (2)若P A ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝2，∠CDA ＝45°，求四棱锥P ABCD 的体积．解：(1)证明：因为P A ⊥平面ABCD ，CE 平面ABCD ，所以P A ⊥CE . 因为AB ⊥AD ，CE ∥AB ，所以CE ⊥AD .又P A ∩AD ＝A ，所以CE ⊥平面P AD . (2)由(1)可知CE ⊥AD . 在Rt △ECD 中， DE ＝CD ·cos 45°＝1，CE ＝CD ·sin 45°＝1.又因为AB ＝CE ＝1，AB ∥CE ，所以四边形ABCE 为矩形．所以S 四边形ABCD ＝S 矩形ABCE ＋S △ECD ＝AB ·AE ＋12CE ·DE ＝1×2＋12×1×1＝52.又P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，所以V 四棱锥P -ABCD ＝13S 四边形ABCD ·P A ＝13×52×1＝56.20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形．侧面P AD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．解：(1)证明：∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面P AD.(2)证明：如图，连接PG.∵△P AD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，PG平面PGB，BG平面PGB，∴AD⊥平面PGB.∵PB平面PGB，∴AD⊥PB.(3)当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：在△PBC中，FE∥PB，又在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE平面DEF，DE平面DEF，FE∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB.由(1)知，PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD.∴平面DEF⊥平面ABCD.。

高中数学必修二测试题及答案人教版

第一章空间几何体一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．主视图左视图俯视图 (第1题) A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．A ．2＋2B ．221＋C ．22＋2 D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )．A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶36．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )．A ．29πB ．27πC ．25πD ．23π7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．1608．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝23，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )．A ．29 B ．5 C ．6 D ．2159．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D ．水平放置的圆的直观图是椭圆10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．(第8题)(第10题)二、填空题11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．(第14题)15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm，求它的深度．18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．(第19题)20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？第一章空间几何体参考答案A 组一、选择题 1．A解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．2．A解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21(1＋2＋1)×2＝2＋2．3．A解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×43＝3． 4．B解析：长方体的对角线是球的直径， l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52，R ＝225，S ＝4πR 2＝50π． 5．C解析：正方体的对角线是外接球的直径． 6．D解析：V ＝V 大－V 小＝31πr 2(1＋1.5－1)＝23π．7．D解析：设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而21l ＝152－52，22l ＝92－52，而21l ＋22l ＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面＝4×8×5＝160． 8．D解析：过点E ，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，V ＝2×31×43×3×2＋21×3×2×23＝215．9．B解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．10．D解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D. 二、填空题11．参考答案：5，4，3．解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．12．参考答案：1∶22∶33．r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，31r ∶32r ∶33r ＝13∶(2)3∶(3)3＝1∶22∶33．13．参考答案：361a ．解析：画出正方体，平面AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点，三棱锥O －AB 1D 1的高h ＝33a ，V ＝31Sh ＝31×43×2a 2×33a ＝61a 3．另法：三棱锥O －AB 1D 1也可以看成三棱锥A －OB 1D 1，它的高为AO ，等腰三角形OB 1D 1为底面．14．参考答案：平行四边形或线段．15．参考答案：6，6．解析：设ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，则V = abc ＝6，c ＝3，a ＝2，b ＝1， l ＝1＋2＋3＝6． 16．参考答案：12．解析：V ＝Sh ＝πr 2h ＝34πR 3，R ＝32764×＝12．三、解答题 17．参考答案：V ＝31(S ＋S S ′＋S )h ，h ＝S S S S V ′＋′＋3＝6001＋4002＋60030001903×＝75．18．参考答案：如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则CC'＝a ，OC ＝22a ，OC'＝R ．(第18题)在Rt △C'CO 中，由勾股定理，得CC' 2＋OC 2＝OC' 2，即 a 2＋(22a )2＝R 2． ∴R ＝26a ，∴V 半球＝26πa 3，V 正方体＝a 3． ∴V 半球 ∶V 正方体＝6π∶2． 19．参考答案：S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22 ＝(60＋42)π． V ＝V 台－V 锥＝31π(21r ＋r 1r 2＋22r )h －31πr 2h 1 ＝3148π．20．解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积V 1＝31Sh ＝31×π×(216)2×4＝3256π(m 3)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积COAV 2＝31Sh ＝31×π×(212)2×8＝3288π(m 3)．(2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ．棱锥的母线长为l ＝224＋8＝45，仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ．棱锥的母线长为l ＝226＋8＝10，仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)．(3) 参考答案：∵V 2＞V 1，S 2＜S 1，∴方案二比方案一更加经济些．。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第一章§6.1知能演练轻松闯关

1．(2013·焦作水平测试)经过平面外一点作与此平面垂直的平面，则这样的平面() A．只能作一个B．只能作两个C．可以作无数个D．可作一个或无数个解析：选C.过平面外一点作该平面的垂线，只能做一条，但过该直线的平面有无数个，这些平面与此平面都是垂直的，故选C.2．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若a⊥b，a∥α，则b⊥αB．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β解析：选D.A错；B错；C错，可能aα.只有D正确．3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析：选D.对于A，m∥α且m∥β而α∩β＝l，所以m∥l.因为AB∥l，所以AB∥m.对于B，因为AC⊥l，l∥m，所以AC⊥m.对于C，AB∥l，ABβ，所以AB∥β.对于D，当点C∉α时，AC不垂直于β.4．已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，下面说法正确的个数是()①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β②若m⊥α，n⊥α，则m∥n③若mα，nβ，且m⊥n，则α⊥βA．1 B．2C．3 D．0解析：选A.对于①，垂直于同一个平面的两平面相交或平行，故①错误；对于②，垂直于同一平面的两直线平行，故②正确；③错，故选A.5．在正四面体P-ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面P AE⊥平面ABC解析：选C.可画出对应图形(图略)，则BC∥DF，又DF平面PDF，BC平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面P AE，故B成立；又DF平面ABC，∴平面ABC⊥平面P AE，故D成立．6．空间四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝CD，则AC与BD的位置关系是__________．解析：如图所示，取BD 的中点M ，连接AM ，CM ，因为AB ＝AD ，BC ＝CD ，所以AM⊥BD ，CM ⊥BD ，因此BD ⊥平面ACM ，又因为AC 平面ACM ，可得：AC ⊥BD .答案：AC ⊥BD7.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AH ⊥A 1C ，垂足为H ，则A 1H ∶HC ＝__________.解析：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，连接AC.设AB ＝a ，则AC ＝2a ，A 1C ＝3a .∵AA 1⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD ，∴AA 1⊥AC ，又AH ⊥A 1C ，∴A 1H AA 1＝AA 1A 1C. ∴A 1H ＝AA 21A 1C ＝a 23a ＝33a . ∴HC ＝A 1C －A 1H ＝3a －33a ＝233a ， ∴A 1H HC ＝33a 233a ＝12，即A 1H ∶HC ＝1∶2.答案：1∶28．正四面体A -BCD 的侧面ABC 与底面BCD 所成的二面角的余弦值是__________．解析：如图所示，设正四面体A BCD 的棱长为1，顶点A 在底面BCD 上的射影为O ，连接DO 并延长交BC 于点E ，连接AE ，则E 为BC 的中点，故AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，所以∠AEO 为侧面ABC 与底面BCD 所成的二面角的平面角，在Rt △AEO 中，AE ＝32， EO ＝13ED ＝13×32＝36，则cos ∠AEO ＝EO AE ＝13. 答案：139.如图，二面角α-l -β的大小是60°，线段AB α，点B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，求AB 与平面β所成的角的正弦值．解：如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连接OB 、OC ，则OC ⊥l ，设AB 与β所成的角为θ，则∠ABO ＝θ，由图得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin 30°·sin 60°＝34.10.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，点D 是AB 的中点，求证：平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B .证明：∵AC ＝BC ，点D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB ，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ，∵CD 平面ABC ，∴CD ⊥B 1B ，又∵AB ∩B 1B ＝B ，∴CD ⊥平面AA 1B 1B ，∵CD 平面CA 1D ，∴平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B .1．把边长为a 的正三角形ABC 沿高线AD 折成60°的二面角，这时顶点A 到BC 的距离是( )A ．a B.32a C.34a D.154a 解析：选D.如图所示：取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，∵BD ＝CD ＝a 2，且BD ⊥AD ，CD ⊥AD ，∴∠BDC ＝60°，且△BCD 为等边三角形，且边长为a 2，AD ⊥平面BCD . ∵△ABD ≌△ACD ，∴AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，∴AE 为A 到BC 的距离． ∵AD ＝32a ，DE ＝34a ，且AD ⊥DE ， ∴AE ＝AD 2＋DE 2＝ 3a 24＋316a 2＝15a 4. 即A 到BC 的距离为15a 4.2．如图所示，在五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形符号)解析：易判断①④正确．⑤中△PMN 是正三角形且AM ＝AP ＝AN ，因此三棱锥A －PMN是正三棱锥，故图⑤中l ⊥面MNP .同理可否定③，因为AM ≠AP ≠AN ，也易否定②.答案：①④⑤3.如图，在正方体ABCD A1B 1C 1D 1中，M ，N ，E 分别是棱B 1C 1，A 1D 1，D 1D 的中点．求证：A 1E ⊥平面ABMN .证明：在△AA 1N 与△A 1D 1E 中：AA 1A 1N ＝A 1D 1D 1E＝2，∠AA 1N ＝∠A 1D 1E ＝90°，所以△AA 1N ∽△A 1D 1E ，此时∠A 1AN ＝∠D 1A 1E ，∵∠A 1AN ＋∠A 1NA ＝90°，∴∠D 1A 1E ＋∠ANA 1＝90°，∴A 1E ⊥AN ，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥平面A 1ADD 1，∵A 1E 平面A 1ADD 1，∴A 1E ⊥AB ，∵AN ∩AB ＝A ，AN 平面ABMN ，AB 平面ABMN ，∴A 1E ⊥平面ABMN .4．如图，P 是边长为a 的正方形所在平面ABCD 外一点，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ，E 为AB 上的点．是否存在点E ，使平面PCE ⊥平面PCD ？若存在，指出点E 的位置；若不存在，请说明理由．解：存在．当E 为AB 的中点时满足要求．如图，分别取PC ，CD 的中点F ，G ，连接EF ，FG ，GE .∵CD ⊥AD ，P A ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .∵F ，G 分别为PC ，CD 的中点，∴FG ∥PD ，∴CD ⊥FG ，∵CD ⊥EG ，EG ∩FG ＝G ，∴CD ⊥平面EFG ，∴CD ⊥EF .∵P A＝AB＝BC，AE＝BE，∴Rt△P AE≌Rt△CBE，∴PE＝CE.又∵EF为△PEC的中线，∴EF⊥PC.∵PC∩CD＝C，∴EF⊥平面PCD.∵EF平面PCE，∴平面PCE⊥平面PCD.。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第一章§1.2知能演练轻松闯关

1．如果一个棱锥的各个侧面是等边三角形，那么这个棱锥不可能是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D.若是六棱锥，各侧面顶角之和为6×60°＝360°，即各侧面就成为平面图形．2．由五个面围成的几何体是()A．三棱柱B．三棱台C．四棱锥D．不能确定解析：选D.可用排除法，三棱柱，三棱台，四棱锥都是由五个面围成的几何体，故选D.3.(2013·宜春高中质检)如图所示，在三棱台A′B′C′-ABC中，截去三棱锥A′-ABC，则剩余部分是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体解析：选B.剩余部分是四棱锥A′BB′C′C，故选B.4．下列说法正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点解析：选D.由棱柱、棱锥、棱台的定义可知D正确．5．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是()解析：选C.将四个选项的平面图形折叠，看哪一个可以复原为正方体，只有C选项中相应图形才能复原为正方体，故选C.6．用6根长度相等的木棒，最多可以搭成__________个三角形．解析：用三根木棒，摆成三角形，用另外3根木棒，分别从三角形的三个顶点向上搭起，搭成一个三棱锥，共有4个三角形．答案：47．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱的长为__________ cm.解析：由于棱柱共有10个顶点，所以该棱柱有5条侧棱，因此每条侧棱的长为60÷5＝12 cm.答案：128.如图，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1，过BC 和AD 分别作一个平面交底面A 1B 1C 1D 1于EF 、PQ ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是________．解析：该长方体被分成的三个几何体都是棱柱，分别为三棱柱AA 1P DD 1Q ，三棱柱BB 1E CC 1F 和四棱柱ABEP DCFQ .答案：39．已知正三棱锥V ABC ，底面边长为8，侧棱长为26，计算它的高和斜高．解：如图所示，设O 是底面中心，则D 为BC 的中点．∴△VAO 和△VCD 是直角三角形． ∵底面边长为8，侧棱长为2 6.∴AO ＝33×8＝833，CD ＝4， ∴VO ＝VA 2－AO 2＝ (26)2－⎝⎛⎭⎫8332＝23 6.VD ＝VC 2－CD 2＝ (26)2－42＝2 2.即正三棱锥的高是236，斜高为2 2. 10.如图所示，在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？(2)水的形状也不断变化，可能是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)和第(2)题对不对？解：(1)不对．水面的形状就是用一个与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，一定是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对．水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是不是矩形的平行四边形，因而水面的形状可以是不是矩形的平行四边形；水的形状可以是棱锥、棱柱，但不可能是棱台．1．已知集合A ＝{棱柱}，集合B ＝{正棱柱}，集合C ＝{斜棱柱}，集合D ＝{直棱柱}，则( )A ．A CB B ．A D BC ．A CD D ．A D C解析：选B.棱柱的分类如下：．由以上分类知，应选B.2．有一枚正方体骰子，每一个面都有一个英文字母，如图所示的是从3种不同角度看同一枚骰子的情况，则与H相对的字母是__________．解析：由这三个图知，与标有S的面相邻的四个面分别标有字母H，E，O，F.翻转图(2)，使S面调整到正前面，则O为正下面，所以与H相对的字母是O.答案：O3.如图所示，有12个小正方体，每个正方体6个面上分别写着数字1、9、9、8、4、5，用这12个小正方体拼成一个长方体，那么图中看不见的那些小正方体的面有多少个，并求这些面上的数字和．解：这12个小正方体，共有面数6×12＝72个，图中看得见的面共有3＋4×4＝19个，故图中看不见的面有72－19＝53个，12个小正方体各个面的数字的和为(1＋9＋9＋8＋4＋5)×12＝432.而图中看得见的数字的和为131，所以看不见的那些小正方体的面上的数字的和为432－131＝301.4．(创新题)求函数f(x)＝x2＋4＋x2－10x＋34的最小值．解：将函数解析式化为f(x)＝x2＋22＋(x－5)2＋32，构造长方体ABCD A′B′C′D′，其中AB＝2，BC＝3，BB′＝5，E为BB′上一点，如图所示．设BE＝x，则AE＝x2＋22，EC′＝(5－x)2＋32，所以f(x)＝AE＋EC′.这样问题就转化为在长方体ABCD-A′B′C′D′的棱BB′上找一点E，使折线AEC′的长度最短，展开侧面，使AB与B′C′共面，连接AC′，可得f(x)min＝52，即函数f(x)＝x2＋4＋x2－10x＋34的最小值为5 2.。

(必考题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(有答案解析)

一、选择题1．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O 是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（）A 5B ．2C 3D 22．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则EF 和BD 所成的角的大小是（） A ．30B ．45C ．60D ．903．设1l 、2l 、3l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（）A ．若1//l α，2//l α，则12l l //B ．若1l α⊥，2l α⊥，则12l l ⊥C ．若12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，3l αβ⋂=，则13//l lD ．若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则12l l //4．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为（） A ．2217B ．22121C ．77D ．7215．如图，在正四棱锥P ABCD -中，设直线PB 与直线DC 、平面ABCD 所成的角分别为α、β，二面角P CD B --的大小为γ，则（）A ．,αβγβ>>B ．,αβγβ><C ．,αβγβ<>D ．,αβγβ<<6．在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==，若该四面体的体积为43，则该四面体外接球的表面积为（）A ．8πB ．12πC ．14πD ．16π7．如图，圆锥的母线长为4，点M 为母线AB 的中点，从点M 处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B 点，这条绳子的长度最短值为25，则此圆锥的表面积为（）A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A ．24B ．30C ．47D ．679．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一步自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A ．16B ．13C ．23D ．211．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）A ．43 B ．83C ．3D ．412．αβ是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是（）A ．m 、n 是α内的两条直线，且//m β，βn//B ．α、β都垂直于平面γC ．α内不共线三点到β的距离相D ．m 、n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α二、填空题13．在正三棱锥O ABC -中，已知45AOB ∠=︒，记α为二面角--A OB C 的大小，cos =m n αm ，n 为整数，则以||n ，||m ，||m n +分别为长、宽、高的长方体的外接球直径为__________．14．如图在菱形ABCD 中，2AB =，60A ∠=，E 为AB 中点，将AED 沿DE 折起使二面角A ED C '--的大小为90，则空间A '、C 两点的距离为________；15．在三棱锥P ABC -中，P 在底面ABC 的射影为ABC 的重心，点M 为棱PA 的中点，记二面角P BC M --的平面角为α，则tan α的最大值为___________.16．如图，已知四棱锥S ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，1AD DC BC ===，2AB SA ==，且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S ABCD -外接球的体积为______.17．在三棱锥D ABC -中，AD ⊥平面ABC ，3AC =，17BC =1cos 3BAC ∠=，若三棱锥D ABC -27，则此三棱锥的外接球的表面积为______18．已知ABC 是等腰直角三角形，斜边2AB =，P 是平面ABC 外的一点，且满足PA PB PC ==，120APB ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为________．19．已知点O 为圆锥PO 底面的圆心，圆锥PO 的轴截面为边长为2的等边三角形PAB ，圆锥PO 的外接球的表面积为______.20．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，π2DPA ∠=，23AD =2AB =，PA PD =，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为________.三、解答题21．如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点.（1）求证：DE ⊥平面PAH ；（2）若2PA AD ==，求直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值. 22．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心.（1）求证:1B O//平面11DA C ; （2）求点O 到平面11DA C 的距离.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB 平面ACM ；（2）求三棱锥P ACM -的体积.24．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，平面PAB ⊥平面,ABCD PAB 为等腰直角三角形，,2PA PB AB ⊥=．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）设E 为CD 的中点，求点E 到平面PBC 的距离．25．如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面AEB ⊥平面ABCD ，4EBA π∠=，2EB =，F 为CE 上的点，BF CE ⊥.（1）求证：BF ⊥平面ACE ；（2）求点D 到平面ACE 的距离.26．我市论语广场准备设置一些多面体形或球形的石凳供市民休息，如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是3160dm 3.（Ⅰ）求正方体石块的棱长；（Ⅱ）若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B【分析】可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，设底面边长为2x ，表示出2522x AO OE -===，1333xOE CE ==，即可求出x ，进而求出腰长. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，则底面中心O 在CE 上，连接AO ，可得AO ⊥平面ABC ，由三视图可知5AB AC AD ===，45AEC ∠=，设底面边长为2x ，则DE x =，则25AE x =-，则在等腰直角三角形AOE 中，2522x AO OE -===， O 是底面中心，则133xOE CE ==，则2532x x-=，解得3x =，则1AO =，底面边长为23，则正视图（等腰三角形）的腰长为()22312+=.故选：B.【点睛】本题考查根据三视图计算原几何体的相关量，解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.2．C【分析】作出图形，连接1AD 、11B D 、1AB ，推导出1//EF AB ，11//BD B D ，可得出异面直线EF 和BD 所成的角为11AB D ∠，分析11AB D 的形状，即可得出结果. 【详解】如下图所示，连接1AD 、11B D 、1AB ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则11112AD AB B D ===，所以，11AB D 为等边三角形，则1160AB D ∠=，因为E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则E 、F 分别是11B D 、1AD 的中点，所以，1//EF AB ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD 且11BB DD =，所以，四边形11BB D D 为平行四边形，则11//BD B D ，所以，异面直线EF 和BD 所成的角为1160AB D ∠=. 故选：C. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．3．C解析：C 【分析】利用已知条件判断1l 与2l 的位置关系，可判断AD 选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断C 选项的正误. 【详解】对于A 选项，若1//l α，2//l α，则1l 与2l 平行、相交或异面，A 选项错误；对于B 选项，若1l α⊥，2l α⊥，由线面垂直的性质定理可得12//l l ，B 选项错误；对于C 选项，12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，α、β不重合，则1l β⊄，1//l β∴，1l α⊂，3l αβ⋂=，13//l l ∴，C 选项正确；对于D 选项，若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则1l 与2l 相交或平行，D 选项错误.故选：C. 【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．4．A解析：A 【分析】根据题意，将点1B 到平面1A BC 的距离转化为点A 到平面1A BC 的距离，然后再利用等体积法11A A BC A ABC V V --=代入求解点A 到平面1A BC 的距离. 【详解】已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，所以可得11==A B AC 1A BC 为等腰三角形，所以1A BC ，由对称性可知，111--=B A BC A A BC V V ，所以点1B 到平面1A BC 的距离等于点A 到平面1A BC 的距离，所以11A A BC A ABC V V --=，又因为1122=⨯=A BC S △122ABCS =⨯=111233⨯⨯=⨯⨯A BC ABC S h S △△，即7h == 故选：A.【点睛】一般关于点到面的距离的计算，一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算平面的法向量，然后代入数量积的夹角公式计算即可，二是可以通过等体积法，通过换底换高代入利用体积相等计算.5．A解析：A【分析】连接AC 、BD 交于O ，连PO ，取CD 的中点E ，连,OE PE ，根据正棱锥的性质可知，PCE α∠=，PCO β∠=，PEO γ∠=，再比较三个角的正弦值可得结果.【详解】连接AC 、BD 交于O ，连PO ，取CD 的中点E ，连,OE PE ，如图：因为//AB CD ，所以PBA α∠=，又因为四棱锥P ABCD -为正四棱锥，所以PCE α∠=，由正四棱锥的性质可知，PO ⊥平面ABCD ，所以PCO β∠=，易得OE CD ⊥，PE CD ⊥，所以PEO γ∠=，因为sin PE PC α=，sin PO PCβ=，且PE PO >，所以sin sin αβ>，又,αβ都是锐角，所以αβ>，因为sin PO PE γ=，sin PO PCβ=，且PC PE >，所以sin sin γβ>，因为,βγ都是锐角，所以γβ>. 故选：A【点睛】关键点点睛：根据正棱锥的性质，利用异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义得到这三个角是解题关键，属于中档题.6．B解析：B【分析】由题意计算2,AB BD CD ===分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可.【详解】因为AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==， 43A BCD V -=，而114323A BCD V BD CD AB -=⨯⨯⨯=,所以2AB BD CD ===，所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可.设外接球的半径为R ，则23R =所以外接球的表面积为2412S R ππ==故选：B【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．7．B解析：B【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，且线段25MB =.【详解】设底面圆半径为r ，由母线长4l ，可知侧面展开图扇形的圆心角为22r r l ππα==，将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，最短距离为BM ；如图，在ABM 中，25,2,4MB AM AB ===，所以222AM AB MB +=,所以2MAB π∠=, 故22rππα==，解得1r =，所以圆锥的表面积为25S rl r πππ=+=,故选：B【点睛】关键点点睛：首先圆锥的侧面展开图为扇形，其圆心角为2r lπα=，其次从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，绳子的最短距离即为展开图中线段MB 的长，解三角即可求解底面圆半径r ，利用圆锥表面积公式求解.8．D解析：D【分析】先找到几何体的原图，再求出几何体的高，再求几何体的体积得解.【详解】由三视图可知几何体为图中的四棱锥1P CDD E -，由题得22437AD =-=，所以几何体的高为7.所以几何体的体积为11(24)676732⋅+⋅⋅=. 故选：D【点睛】方法点睛：通过三视图找几何体原图常用的方法有：（1）直接法；（2）拼凑法；（3）模型法.本题利用的就是模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 9．D解析：D【分析】过点F 作//FG AE 交AB 于点G ，连接CG ，则异面直线AE 与CF 所成角为CFG ∠或其补角，然后在CFG △中求解.【详解】如下图所示，在平面ABFE 中，过点F 作//FG AE 交AB 于点G ，连接CG ，则异面直线AE 与CF 所成角为CFG ∠或其补角，设1EF =，则3AB =，2BC CF AE ===，因为//EF AB ，//FG AE ，所以，四边形AEFG 为平行四边形，所以，2FG AE ==，1AG =，2BG =，由于2ABC π∠=，由勾股定理可得2222CG BC BG =+=所以，222CG CF FG =+，则2CFG π∠=.故选：D.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．10．C解析：C【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果.【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面BCD△是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2；且侧棱AD⊥底面BCD，1AD=，所以112 =221=323V⨯⨯⨯⨯，故选：C.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称；（2）根据三视图还原几何体；（3）利用椎体体积公式求解即可.11．A解析：A【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥P ABC-，该棱锥的体积：11142223323V Sh ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】方法点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 12．D解析：D【分析】取a αβ⋂=，且//m a ，//n a ，利用线面平行的判定定理可判断A 选项；根据αγ⊥，βγ⊥判断平面α与β的位置关系，可判断B 选项；设AB 、AC 的中点D 、E 在平面β内，记平面ABC 为平面α，判断出A 、B 、C 三点到平面β的距离相等，可判断C 选项；过直线n 作平面γ，使得a αγ⋂=，利用线面平行、面面平行的判定定理可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若a αβ⋂=，且//m a ，//n a ，m β⊄,n β⊄,则//m β，βn//，但α与β相交；对于B 选项，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交；对于C 选项，设AB 、AC 的中点D 、E 在平面β内，记平面ABC 为平面α，如下图所示：D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则//DE BC ，DE β⊂，BC β⊄，//BC β∴，所以，点B 、C 到平面β的距离相等，由于D 为AB 的中点，则点A 、B 到平面β的距离相等，所以，点A 、B 、C 三点到平面β的距离相等，但平面α与平面β相交；对于D 选项，如下图所示：由于//n α，过直线n 作平面γ，使得a αγ⋂=，则//a n ，//n a ，a β⊄，n β⊂，//a β∴，//m β，m a A =，m α⊂，a α⊂，//αβ∴.故选：D.【点睛】方法点睛：证明或判断两个平面平行的方法有：①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；②用判定定理或推论（即“线线平行”⇒“面面平行”），通过线面平行来完成证明； ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；④借助“传递性”来完成．二、填空题13．【分析】过作垂足为连接则为二面角的平面角即在中利用余弦定理结合为整数求出的值进而可得外接球直径【详解】如图过作垂足为连接则为二面角的平面角即不妨设因为所以所以所以在中因为为整数所以则设以为长宽高的长解析：6【分析】过A 作AH OB ⊥，垂足为H ，连接CH ，则AHC ∠为二面角--A OB C 的平面角，即∠=AHC α，在AHC 中，利用余弦定理结合m ，n 为整数，求出m ，n 的值，进而可得外接球直径．【详解】如图，过A 作AH OB ⊥，垂足为H ，连接CH ，则AHC ∠为二面角--A OB C 的平面角，即∠=AHC α．不妨设2OC a =，因为45AOB ∠=︒，所以===CH a AH OH ，所以21)=HB a ，所以22222(422)=+=-=BC HB HC a AC ．在AHC 中，222cos 2+-==⋅⋅HA HC AC HA HC α2222(422)212+--==a a a m n a因为m ，n 为整数，所以1m =-，2n =，则||1m =，||2n =，||1m n +=．设以||m ，||n ，||m n +为长、宽、高的长方体的外接球半径为R ，则2222(2)||||||6=+++=R m n m n 6．6【点睛】关键点点睛：本题考查二面角的应用，考查几何体的外接球，考查解三角形，解决本题的关键点是利用定义法找出二面角的平面角，在AHC 中，利用余弦定理结合已知条件求出m ，n 的值，考查学生空间想象能力，考查计算能力，属于中档题．14．【分析】由二面角的大小为可得平面平面得到平面由勾股定理可得答案【详解】连接所以是等边三角形所以因为为中点所以所以即所以因为平面平面平面平面所以平面平面所以所以故答案为：【点睛】对于翻折问题解题时要认解析：22【分析】由二面角A ED C '--的大小为90，可得平面A ED '⊥平面EDCB ，得到A E '⊥平面EDCB ，由勾股定理可得答案.【详解】连接DB CE 、，2AB AD ==，60A ∠=，所以ABD △、CBD 是等边三角形，所以2AD BD CD ===，因为E 为AB 中点，1AE A E '==，所以DE AB ⊥，DE A E ⊥'，3DE =， 30EDB ∠=，所以90EDC ∠=，即DE CD ⊥，所以222347EC ED CD =+=+=，因为平面A ED '⊥平面EDCB ，DE A E ⊥'，平面A ED '平面EDCB DE =，所以A E '⊥平面EDCB ，EC ⊂平面EDCB ，所以A E EC '⊥，所以221722A C A E EC ''=+=+=.故答案为：22.【点睛】对于翻折问题，解题时要认真分析图形，确定有关元素间的关系及翻折前后哪些量变了，哪些量没有变，根据线线、线面、面面关系正确作出判断，考查了学生的空间想象力.. 15．【分析】取中点为过分别作底面的垂线根据题中条件得到；过分别作的垂线连接由二面角的定义结合线面垂直的判定定理及性质得到为二面角的平面角；为二面角的平面角得出令进而可求出最值【详解】取中点为过分别作底面解析：34【分析】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ，根据题中条件，得到AN NO OE ==，2PO MN =；过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ，由二面角的定义，结合线面垂直的判定定理及性质，得到MHN ∠为二面角M BC A --的平面角；PGO ∠为二面角A BC P --的平面角，得出tan 4tan PGO MHN ∠=∠，()23tan tan tan 14tan MHN PGO MHN MHNα∠=∠-∠=+∠，令tan 0x MHN =∠>，进而可求出最值.【详解】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ，则O 为ABC 的重心，MN ⊥平面ABC ；PO ⊥平面ABC ；由于点M 为棱PA 的中点，所以有AN NO OE ==，2PO MN =；过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ，因为BC ⊂平面ABC ，所以MN BC ⊥，同理PO BC ⊥；又MN NH N ⋂=，MN ⊂平面MNH ，NH ⊂平面MNH ，所以BC ⊥平面MNH ；因为MH ⊂平面MNH ，所以BC MH ⊥，所以MHN ∠为二面角M BC A --的平面角；同理BC PG ⊥，所以PGO ∠为二面角A BC P --的平面角，所以tan PO PGO OG ∠=，tan MN MHN HN∠=，因为NO OE =，//OG NH ，所以12OG NH =；因此2tan 4tan 12PO MN PGO MHN OG HN ∠===∠，所以()2tan tan 3tan tan tan 1tan tan 14tan PGO MHN MHN PGO MHN PGO MHN MHN α∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠+∠，令tan 0x MHN =∠>，则2333tan 1444x x x x α=≤=+，当且仅当214x =，即12x =时，等号成立. 故答案为：34. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于确定二面角MBC A --、A BC P --以及P BC M --三者之间的关系，由题中条件得出二面角A BC P --是二面角M BC A --的4倍，进而可求得结果.16．【分析】取AB 中点连接根据平行四边形性质可得为等腰梯形ABCD 的外心取SB 中点O 连接则可得O 是四棱锥的外接球球心在中求得r=OA 即可求得体积【详解】取AB 中点连接则所以四边形为平行四边形所以同理所以解析：823π【分析】取AB 中点1O ，连接11,O C O D ，根据平行四边形性质，可得1O 为等腰梯形ABCD 的外心，取SB 中点O ，连接1,,,OA OC OD OO ，则可得O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心，在Rt SAB 中，求得r=OA ，即可求得体积. 【详解】取AB 中点1O ，连接11,O C O D ，则1//CD O A ，所以四边形1ADCO 为平行四边形，所以1=1CO ，同理1=1O D ，所以1111=O A O B O C O D ==，即1O 为等腰梯形ABCD 的外心，取SB 中点O ，连接1,,,OA OC OD OO ，则1//OO SA ，因为SA ⊥平面ABCD ，所以1OO ⊥平面ABCD ，又2AB SA ==, 所以=OA OB OC OD ==，又SA AB ⊥，所以OA OS =，即O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心，在Rt SAB 中，2AB SA ==，所以122OA SB == 所以34822)33V ππ=⨯=，故答案为：823π. 【点睛】解决外接球的问题时，难点在于找到球心，可求得两个相交平面的外接圆圆心，自圆心做面的垂线，垂线交点即为球心，考查空间想象，数学运算的能力，属中档题.17．【分析】设出外接球的半径球心的外心半径r 连接过作的平行线交于连接如图所示在中运用正弦定理求得的外接圆的半径r 再利用的关系求得外接球的半径运用球的表面积公式可得答案【详解】设三棱锥外接球的半径为球心为解析：20π【分析】设出外接球的半径R 、球心O ，ABC 的外心1O 、半径 r , 连接1AO ，过O 作的平行线OE 交AD 于 E ，连接OA ，OD ，如图所示，在ABC 中，运用正弦定理求得 ABC的外接圆的半径r ,再利用1,,R r OO 的关系求得外接球的半径，运用球的表面积公式可得答案. 【详解】设三棱锥外接球的半径为R 、球心为O ，ABC 的外心为1O 、外接圆的半径为r ，连接1AO ，过O 作平行线OE 交AD 于E ，连接OA ，OD ，如图所示，则OA OD R ==，1O A r =，OE AD ⊥，所以E 为AD 的中点.在ABC中，由正弦定理得2sin BC r BAC ==∠r =. 在ABC 中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，可得2117963AB AB =+-⋅⋅，得4AB =.所以11sin 34223ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△因为11333D ABC ABC V S AD AD -=⋅⋅=⨯=△，所以4AD =.连接1OO ，又1//OO AD ，所以四边形1EAO O 为平行四边形，1128EA OO AD ===，所以R ===所以该三棱锥的外接球的表面积224π4π20πS R ===.故答案为：20π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球，及球的表面积计算公式，解决问题的关键在于利用线面关系求得外接球的球心和球半径，属于中档题.18．【分析】在平面的投影为的外心即中点设球半径为则解得答案【详解】故在平面的投影为的外心即中点故球心在直线上设球半径为则解得故故答案为：【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题意在考查学生的计算能力和空间想解析：163π【分析】P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，设球半径为R ，则()22211R CO R PO =+-，解得答案.【详解】PA PB PC ==，故P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，故球心O 在直线1PO 上，1112CO AB ==，1133PO ==，设球半径为R ，则()22211R CO R PO =+-，解得23R =21643S R ππ==. 故答案为：163π.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19．【分析】由题意知圆锥的轴截面为外接球的最大截面即过球心的截面且球心在上由等边三角形性质有即求得外接球的半径为R 进而求外接球的表面积【详解】设外接球球心为连接设外接球的半径为R 依题意可得在中有即解得故解析：163π【分析】由题意知圆锥PO 的轴截面为外接球的最大截面，即过球心的截面且球心在PO 上，由等边三角形性质有Rt AO O '△，即222O A AO O O ''=+求得外接球的半径为R ，进而求外接球的表面积. 【详解】设外接球球心为O '，连接AO '，设外接球的半径为R ，依题意可得1AO =，3PO =，在Rt AO O '△中，有222O A AO O O ''=+，即)22213R R =+，解得3R =，故外接球的表面积为24164433S R πππ==⋅=.故答案为：163π. 【点睛】本题考查了求圆锥体的外接球面积，由截面是等边三角形，结合等边三角形的性质求球半径，进而求外接球面积，属于基础题.20．【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径再由为等腰直角三角形可得其外接圆的半径又平面平面可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心由题意可得外接球的半径进而求出外接球的体积【详解】解：取矩形的对角线的交点解析：323π【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径，再由PAD △为等腰直角三角形可得其外接圆的半径，又平面PAD ⊥平面ABCD 可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心，由题意可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．【详解】解：取矩形的对角线的交点O 和AD 的中点E ，连接OE ，OP ，OE ，则O 为矩形ABCD 的外接圆的圆心，而2DPA π∠=，23AD =，2AB =，PA PD =，则//OE AB ，112OE AB ==， 132PE AD ==，所以E 为PAD △的外接圆的圆心，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以O 为外接球的球心，OP 为外接球的半径，在POE △中，222222(3)14R OP PE OE ==+=+=，所以2R =，所以外接球的体积343233V R ππ==，故答案为：323π．【点睛】本题考查四棱锥的棱长与外接球的半径的关系及球的体积公式，属于中档题．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）105. 【分析】（1）由PA ⊥底面ABCD ，得PA DE ⊥，由Rt ABH Rt DAE ≌△△，得DE AH ⊥，可得答案.（2）由可知DE ⊥平面PAH ，连接PG ，则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角，在Rt PDG △中，由sin DPG ∠可得答案. 【详解】（1）因为PA ⊥底面ABCD ，DE ⊂底面ABCD ，所以PA DE ⊥，因为E ，H 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，,,AB DA BH AE HBAEAD ，所以Rt ABH Rt DAE ≌△△，所以BAH ADE ∠=∠，由90AED ADE ∠+∠= 所以90BAH AED ∠+∠=，所以DE AH ⊥，因为PA ⊂平面PAH ，AH ⊂平面PAH ，PA AH A ⋂=，所以DE ⊥平面PAH .（2）由（1）可知DE ⊥平面PAH ，设AH DE G ⋂=，如图，连接PG ，则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角，因为2PA AD ==，所以22PD =，5DE =，在Rt DAE 中，由于AG DE ⊥，所以2AD DG DE =⋅，所以45DG =⋅，所以5DG =，所以在Rt PDG △中，105sin 522DG DPG PD ∠===，即直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值为105.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、线面角的求法，对于线面角的求法的步骤,作：作（或找）出斜线在平面上的射影，证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算. 22．（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO ，证明11B O DO 是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明.（2）由题意可得平面11DA C ⊥平面11B D DB ，过点O 作1OH DO ⊥于H ，在矩形11B D DB 中，连接1OO ，可得1O OD OHD ∽△△，由三角形相似，对应边成比例即可求解. 【详解】（1）证明：连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO .11//O B DO 且11O B DO =， 11B O DO ∴是平行四边形.11//B O DO ∴.又1DO ⊂平面11DA C ，1B O ⊂/平面11DA C ，1//B O ∴平面11DA C .（2）1111A C B D ⊥，111AC BB ⊥，且1111BB B D B ⋂=，11A C ∴⊥平面11B D DB .∴平面11DA C ⊥平面11B D DB ，且交线为1DO .在平面11B D DB 内，过点O 作1OH DO ⊥于H ，则OH ⊥平面11DA C ，即OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离.在矩形11B D DB 中，连接1OO ，1O OD OHD ∽△△，则11O D ODO O OH=， 22236OH ⨯∴==即点O 到平面11DA C 的距离为233. 【点睛】关键点点睛：本题考查了线面平行的判定定理，点到面的距离，解题的关键是过点O 作1OH DO ⊥于H ，得出OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离，考查了计算能力.23．（1）证明见解析；（2）23．【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，由中位线定理得//OM PB ，从而得证线面平行；（2）由M 是PD 中点，得12M ACD P ACD V V --=，求出三棱锥P ACD -的体积后可得．【详解】（1）如图，连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，则O 是BD 中点，又M 是PD 中点， ∴//OM PB ，又PB ⊄平面ACM ，OM ⊂平面ACM ，所以//PB 平面ACM ；（2）由已知12222ACDS=⨯⨯=，11422333P ACD ACD V S PA -=⋅=⨯⨯=△，又M 是PD 中点，所以1223M ACD P ACD V V --==，所以23P ACM P ACD M ACD V V V ---=-=．【点睛】思路点睛：本题考查证明线面平行，求三棱锥的体积．求三棱锥的体积除掌握体积公式外，还需要注意割补法，不易求体积的三棱锥（或一个不规则的几何体）的体积可通过几个规则的几何体（柱、锥、台等）的体积加减求得．三棱锥的体积还可通过转化顶点，转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积，从而得出结论． 24．（1）证明见解析；（2）22. 【分析】（1）利用面面垂直的性质先证明出BC ⊥面PAB ，得到PA BC ⊥，再由PA PB ⊥，结合线面垂直的判定定理可知PA ⊥面PBC ，又PA ⊂面PAC ，然后证得平面PBC ⊥平面PAC ；（2）先计算三棱锥P BCE -的体积，然后再计算PBC 的面积，利用等体积法P BCE E PBC V V --=求解.【详解】解：（1）证明：∵面PAB ⊥面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =，BC AB ⊥，BC ⊂面ABCD BC ∴⊥面PAB ，又PA ⊂面PAB PA BC ∴⊥又因为由已知PA PB ⊥且PB BC B ⋂=，所以PA ⊥面PBC ，又PA ⊂面PAC ∴面PAC ⊥面PBC .(2)PAB △中，PA PB =，取AB 的中点O ，连PO ，则PO AB ⊥ ∵面PAB ⊥面ABCD 且它们交于,AB PO ⊂面PABPO ∴⊥面ABCD由1133BCEEPBC P BCE PBC BCE PBCSPOV V S h S PO h S--=⇒=⇒=，由已知可求得1PO =，1BCES=，2PBCS=，所以22h =. 所以点E 到平面PBC 的距离为22.【点睛】（1）证明面面垂直的核心为证明线面垂直，要证明线面垂直只需郑敏面外的一条弦和面内的两条相交线垂直即可；（2）点到面的距离求解一般采用等体积法求解，也可采用空间向量法求解. 25．（1）证明见解析；（223【分析】（1）先由面面垂直的性质，得到CB ⊥平面ABE ，推出CB AE ⊥，根据题中条件，得到AE BE ⊥，利用线面垂直的判定定理，得到AE ⊥平面BCE ；得出AE BF ⊥，再次利用线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；。

人教版高中数学必修二第一章测试题及答案

人教版高中数学必修二第一章测试题及答案高一数学人教版必修二第一章测试题及答案一、选择题1.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()．答案：C．2＋2/22.棱长都是1的三棱锥的表面积为()．答案：B．2√23.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()．答案：B．50π4.正方体的棱长和外接球的半径之比为()．答案：B．3∶25.在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是()．答案：A．π/96.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是()．答案：D．1607.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝3/2，且EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()．答案：B．58.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是()．答案：D．水平放置的圆的直观图是椭圆二、填空题9.若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是1∶2∶3.10.正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－A1BD1的体积为a^3/6.11.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是√29，它的体积为√108.12.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为4厘米.三、解答题暂无。

解析：V = Sh = πr²h = πR³，其中R = 364 × 27 = 12.三、解答题13.参考答案：V = (S + SS' + S')h，其中h =14.参考答案：V = 1/3( S + SS' + S')h = 1/3 × × 75 = xxxxxxx/3.S表面积 = S下底面积 + S台侧面积 + S锥侧面积 = π×5² + π×(2+5)×5 + π×2²×2 = (60+42)π.V台= 1/3πr₁²h = 1/3π(5²+5×2+2²)×5 = 148π/3.V锥 = 1/3πr₁²h = 1/3π5²×5 = 25π/3.V = V台 - V锥= 148π/3 - 25π/3 = 123π/3 = 41π.。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第一章§1.1知能演练轻松闯关

1．下列几何体是圆柱的是()解析：选B.由圆柱的结构特征：上、下底面为两个相等的圆面，可知选B.2．下列说法：①直线绕直线旋转形成柱面；②曲线平移一定形成曲面；③直角梯形绕一边旋转形成圆台；④半圆绕直径旋转形成球面．其中，正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．0解析：选A.①错，当两直线相交时，不能形成柱面；②错，曲线平移并不一定能形成曲面；③错，若绕底边旋转，则形成的不是圆台；④对，据球面的定义知④是正确的，故选A.3．如图1所示的几何体是由图2中某个平面图形旋转得到的，则这个平面图形是()解析：选A.由旋转体的概念及结构特征可判断只有选项A中的平面图形，绕着轴线旋转才可形成图1的几何体，故选A.4．下列说法中正确的是()A．用一个平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台B．在圆锥的侧面上画出的线段只能是曲线段不能是直线段C．圆台的母线有无数条，它们都互相平行D．以一个等腰梯形上、下底的中点的连线为旋转轴，将各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆台解析：选D.A不正确，因为截面与底面不一定平行；B不正确，因为所有母线都是直线段；C不正确，因为所有母线延长后相交于一点；D正确，符合圆台的结构特征．5．如图所示的平面结构，绕中间轴旋转180°，所形成几何体的形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：选B.由于外面圆旋转成球体，而中间矩形旋转形成一个圆柱．故选B.6．圆柱、圆锥和圆台过轴的截面分别是__________．解析：根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征，得：圆柱、圆锥、圆台过轴的截面分别为矩形、等腰三角形和等腰梯形．答案：矩形、等腰三角形和等腰梯形7．球的半径有__________条，直径有__________条．解析：根据球的概念及结构特征得：球的半径、直径都有无数条．答案：无数无数8.如图所示的是某单位公章，这个几何体是由简单几何体中的__________组成的．解析：最上部为半球体，中间为圆柱，最下部为圆台．答案：半球、圆柱、圆台9．用一个平面去截一个几何体，如果截面形状是圆，你能想象出这个几何体是什么吗？解：这个几何体可能是圆柱或圆锥或圆台或球或是由这些几何体组成的简单组合体．10．如图所示的四个几何体中，哪些是圆柱与圆锥？哪些不是？并指出圆柱与圆锥的结构名称．解：由圆柱定义知③是圆柱，①不是圆柱．③圆柱OO′，其轴为OO′，底面为⊙O与⊙O′，母线为A′A、B′B等．由圆锥定义知②为圆锥，④不是圆锥．②圆锥SO，其轴为SO，底面为⊙O，母线为SA、SB等．1．(2013·焦作水平测试)有下列几种说法：①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．其中正确说法的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.由圆柱的定义知①②均正确，③不一定围成圆柱．2．轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r ，则其轴截面面积为__________．解析：由圆锥的结构特征，可知轴截面为等腰直角三角形，其高为r ，∴S ＝12×2r 2＝r 2. 答案：r 23．如图，底面直径为1，高为2的圆柱，在A 点有一只蚂蚁．现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A 点爬到B 点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解：把圆柱的侧面沿AB 剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB ′，则AB ′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB ＝A ′B ′＝2，AA ′为底面圆的周长，且AA ′＝π×1＝π， ∴AB ′＝A ′B ′2＋AA ′2＝4＋π2.即蚂蚁爬行的最短距离为4＋π2.4．用一张4×8(cm 2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽略不计，过这个圆柱的轴作一个轴截面，求这个轴截面的面积．解：设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，则轴截面的面积S ＝l ·2r ＝2lr ，当l ＝4 cm 时，2πr ＝8 cm ，即r ＝4πcm ，此时S ＝2lr ＝32πcm 2；当l ＝8 cm 时，2πr ＝4 cm ，即r ＝2πcm ，此时S ＝2lr ＝32πcm 2，综上可知，所得圆柱的轴截面积为32πcm 2.。

2020人教B版高中数学必修二第一章立体几何初步综合测试B含解析

【成才之路】2015-2016学年高中数学第一章立体几何初步综合测试B 新人教B版必修2时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2015·山东莱州市高一期末测试)在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，DD1与BB1所在直线是( )A．相交B．平行C．不垂直的异面直线D．垂直的异面直线[答案] A[解析]根据棱台的定义可知，DD1与BB1延长后一定交于一点，故选A．2．不在同一直线上的五个点，最多能确定平面的个数是( )A．8 B．9C．10 D．12[答案] C[解析]要确定平面个数最多，须任意四点不共面，从A、B、C、D、E五个点中任取三个点确定一个平面，即ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE共10种情况，选C．3．给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正方体；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③④显然错误，故选A．4．下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④[答案] C[解析] 正方体和球体的三个视图都相同，故选C ．5．(2015·广东东莞市高一期末测试)若球的半径扩大到原来的2倍，那么其体积扩大到原来的( )倍A ．64B ．16C ．8D ．4 [答案] C[解析] 设球的半径为R ，其体积V ＝43πR 3，当球半径扩大到原来的2倍时，其体积V ′＝43π(2R )3＝8V . 6．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )A ．112B ．5C ．92D ．4[答案] D[解析] 本题考查三视图，棱柱体积公式．由三视图知该几何体为直六棱柱．其底面积为S ＝2×[12(1＋3)×1]＝4，高为1.所以体积V ＝4，由“长对正、宽相等、高平齐”确定几何体的形状及尺寸、角度等．7．(2015·安徽安庆市高一教学质量调研监测)已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β，能推出m ∥β的是( )A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤[答案] D [解析]⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αα∥β⇒m ∥β，故选D. 8．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点E 为A 1C 1上的一点，则直线CE 一定垂直于( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1D 1[答案] B[解析] 由BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1易知BD ⊥平面A 1ACC 1，而CE ⊂平面A 1ACC 1，故BD ⊥CE . 9．已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S ，底面周长为C ，它的体积是( ) A ．C 34πSB ．4πSC3C ．CS2π D ．SC4π[答案] D[解析] 设圆柱底面半径为r ，高为h ，，则⎩⎪⎨⎪⎧Ch ＝S C ＝2πr，∴r ＝C 2π，h ＝SC，∴V ＝πr 2·h ＝π⎝⎛⎭⎪⎫C 2π2·S C ＝SC 4π.10．(2015·辽宁沈阳二中高一期末测试)三棱锥P －ABC 三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为22、32、62，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A ．4π B ．6π C ．8π D ．10π[答案] B[解析] 设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，则⎩⎨⎧ab ＝2ac ＝3bc ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝2c 2＝3.∴外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22＝62. ∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝6π.11．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 [答案] D[解析] 由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1得B 1B ⊥面AC ， ∴AC ⊥B 1B ，又∵AC ⊥BD ，BD ∩B 1B ＝B ， ∴AC ⊥面BDD 1B 1，BE ⊂面BDD 1B 1， ∴AC ⊥BE ，故A 正确．由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1得B 1D 1∥BD ，B 1D 1⊄面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，∴B 1D 1∥面ABCD ，∴EF ∥面ABCD ，故B 正确．V A －BEF ＝12AC ×12BB 1×EF ＝13×12×12×22＝224. ∴三棱锥A －BEF 的体积为定值，故C 正确．因线段B 1D 1上两个动点E 、F ，且EF ＝12，当E 、F 移动时，A 到EF 的距离与B 到EF 的距离不相等， ∴△AEF 的面积与△BEF 的面积不相等，故D 不正确．12．已知圆锥的母线长为5 cm ，圆锥的侧面展开图如图所示，且∠AOA 1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥底面上的点A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A ．则蚂蚁爬行的最短路程为( )A ．8 cmB ．5 3 cmC ．10 cmD ．5π cm[答案] B[解析] 连接AA 1，作OC ⊥AA 1于C ，因为圆锥的母线长为5 cm ，∠AOA 1＝120°，所以AA 1＝2AC ＝5 3 cm.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2015·宁夏银川一中高一期末测试)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，这个平面图形的面积为________．[答案] 2＋22[解析] S 直观图＝[1＋1＋22]×222＝2＋2224＝22＋14.又S直观图S平面图＝24，∴S平面图＝22＋1424＝2＋22.14．(2015·湖南益阳市高一期末测试)已知两个球的表面积之比为19，则这两个球的半径之比为__________．[答案]1 3[解析]设两球的半径分别为R1、R2，由题意得4πR214πR22＝19，∴R1R2＝1 3.15．已知平面α、β和直线m，给出以下条件：①m∥α，②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.要使m⊥β，则所满足的条件是________．[答案]②④[解析]⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αα∥β⇒m⊥β.16．已知点P、A、B、C、D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形，若PA＝26，则△OAB的面积为________．[答案]3 3[解析]本题考查了与球有关的几何问题．如图，连接AC．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，故PC为球的直径，取CP中点O，取AC中点O′，则OO′＝12PA＝ 6.又AC＝26，PA＝2 6.PC＝4 3.∴半径R ＝ OC ＝OA ＝OB ＝AB ＝23，∴S △OAB ＝3 3.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)一个棱锥的底面是边长为a 的正三角形，它的一个侧面也是正三角形，且这个侧面与底面垂直，求这个棱锥的体积和全面积．[解析] 如图所示，平面ABC ⊥平面BCD ，△ABC 与△BCD 均为边长为a 的正三角形，取BC 中点E ，连接AE ，则AE ⊥平面BCD ，故棱锥A －BCD 的高为AE ，△BCD 的面积为34a 2， AE ＝32a ， ∴V A －BCD ＝13·34a 2·32a ＝18a 3.连接DE ，∵AE ⊥平面BCD ，DE ⊂平面BCD ，∴AE ⊥DE ，在Rt △AED 中，AE ＝ED ＝32a ， ∴AD ＝2·32a ＝62a . 取AD 中点F ，连接CF ，则CF ⊥AD . 在Rt △CDF 中，DF ＝12·62a ＝64a ，∴CF ＝CD 2－DF 2＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫64a 2＝104a . ∴S △ACD ＝12AD ·CF ＝12×62a ×104a ＝158a 2.∵△ABD ≌△ACD ，S △ABD ＝158a 2. 故S 全面积＝34a 2＋34a 2＋2×158a 2＝23＋154a 2. ∴棱锥的体积为 18a 3，全面积为23＋154a 2.18．(本题满分12分)(2015·辽宁沈阳二中高一月考)如图，矩形AMND 所在平面与直角梯形MBCN 所在的平面垂直，MB ∥NC ，MN ⊥MB .(1)求证：平面AMB ∥平面DNC ； (2)若MC ⊥CB ，求证：BC ⊥AC ．[解析](1)∵四边形AMND是矩形，∴AM∥DN，又∵MB∥NC，AM∩MB＝M，DN∩NC＝N，∴平面AMB∥平面DNC．(2)∵平面AMND⊥平面MBCN，平面AMND∩平面MBCN＝MN，AM⊥MN，∴AM⊥平面MBCN，∴AM⊥BC．∵BC⊥MC，AM∩MC＝M，∴BC⊥平面AMC，∴BC⊥AC．19．(本题满分12分)(2015·广东清远市高一期末测试)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1.[解析](1)∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC．又∵直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥CC1，CC1∩BC＝C，∴AC⊥平面BB1C1C，∴AC⊥BC1.(2)如图，设BC1交B1C于点E，连接DE.∵D 为AB 的中点，E 为BC 1的中点，∴DE ∥AC 1. 又∵AC 1⊄平面CDB 1，DE ⊂平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.20．(本题满分12分)(2014·福建文，19)如图，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A －MBC 的体积． [解析] (1)∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，∴CD ⊥平面ABD .(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD ， ∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点，∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ， ∴三棱锥C －ABM 的高h ＝CD ＝1，因此三棱锥A －MBC 的体积V A －MBC ＝V C －ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.21．(本题满分12分)如下三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，右面是它的主视图和左视图(单位： cm)．(1)画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连接BC ′，证明：BC ′∥平面EFG .[解析] (1)如图．(2)所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843(cm 3)．(3)证明：如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，连接AD ′，则AD ′∥BC ′，因为E 、G 分别为AA ′、A ′D ′中点，所以AD ′∥EG ，从而EG ∥BC ′，又BC ′⊄平面EFG ，所以BC ′∥平面EFG .22．(本题满分14分)如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB ＝AE ，FA ＝FE ，∠AEF ＝45°.文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。