数学必修二第一章练习题及答案
高二数学必修二第一章检测试题(含答案)

高二数学必修二第一章测试题一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1、 图(1)是由哪个平面图形旋转得到的( )A B C D2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面,它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比( )A.1:2:3B.1:3:5C.1:2:4D.1:3:93、已知水平放置的ABC 的平面直观图A B C '''是边长为a 的正三角形,那么ABC 的面积为( ) A.222a 2D. 32a4、已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为V 1和V 2,则V 1:V 2是:( )A. 1:3B. 1:1C. 2:1D. 3:1 5、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( )A.8:27B. 2:3C.4:9D. 2:96、有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位cm ),则该几何体的表面积及体积为( )A. 24πcm 2,12πcm 3B. 15πcm 2,12πcm 3C. 24πcm 2,36πcm3D. 以上都不正确7、一个球的外切正方体的表面积等于6 cm 2,则此球的体积为( )A.334cm π B.386cm π C. 361cm π D. 366cm π8、一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是( )A .28cm πB .212cm πC .216cm πD .220cm π 9、一个正方体的顶点都在球面上,此球与正方体的表面积之比是( )A. 3πB. 4πC. 2π D. π10、如右图为一个几何体的三视图,其中府视图为正三角形,A 1B 1=2,AA 1=4,则该几何体的表面积为( )A. 6+3B. 24+3C. 24+23D. 32一、选择题答题表二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15,则它的体积为_______________. 12.一个半球的全面积为Q ,一个圆柱与此半球等底等体积,则这个圆柱的全面积是 . 13、从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E 、F 、G ,过此三点作长方体的截面,那么截去的几何体是_________.14、一个圆柱和一个圆锥的母线相等,底面半径也相等,则侧面积之比是_________.三、解答题(本大题共6小题,15、16、17、18每题13分,19、20每题14分,共80分) 15.将圆心角为1200,面积为3π的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积和体积.16. (如图)在底半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱,求圆柱 的表面积A B 1正视图侧视图府视图17、如图,在四边形ABCD中,,,,,AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.18.已知长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,求长方体的对角线的长。
(必考题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(有答案解析)

一、选择题1.正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面的射影为底面中心的棱锥)的三视图如图所示,俯视图是正三角形,O 是其中心,则正视图(等腰三角形)的腰长等于( )A 5B .2C 3D 22.已知正方体1111ABCD A B C D -,E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心,则EF 和BD 所成的角的大小是( ) A .30B .45C .60D .903.设1l 、2l 、3l 是三条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题是真命题的是( )A .若1//l α,2//l α,则12l l //B .若1l α⊥,2l α⊥,则12l l ⊥C .若12//l l ,1l α⊂,2l β⊂,3l αβ⋂=,则13//l lD .若αβ⊥,1l αγ=,2l βγ⋂=,则12l l //4.已知正三棱柱111ABC A B C -,底面正三角形ABC 的边长为2,侧棱1AA 长为2,则点1B 到平面1A BC 的距离为( ) A .2217B .22121C .77D .7215.如图,在正四棱锥P ABCD -中,设直线PB 与直线DC 、平面ABCD 所成的角分别为α、β,二面角P CD B --的大小为γ,则( )A .,αβγβ>>B .,αβγβ><C .,αβγβ<>D .,αβγβ<<6.在我国古代,将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.在“鳖臑”ABCD 中,AB ⊥平面BCD ,BD CD ⊥且AB BD CD ==,若该四面体的体积为43,则该四面体外接球的表面积为( )A .8πB .12πC .14πD .16π7.如图,圆锥的母线长为4,点M 为母线AB 的中点,从点M 处拉一条绳子,绕圆锥的侧面转一周达到B 点,这条绳子的长度最短值为25,则此圆锥的表面积为( )A .4πB .5πC .6πD .8π8.某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积(单位:3cm )是( )A .24B .30C .47D .679.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一步自成体系的数学专著,书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图),其中四边形ABCD 为矩形,//EF AB ,若3AB EF =,ADE 和BCF △都是正三角形,且2AD EF =,则异面直线AE 与CF 所成角的大小为( )A .6π B .4π C .3π D .2π 10.某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的体积为( )A .16B .13C .23D .211.某三棱锥的三视图如图所示,已知网格纸上小正方形的边长为1,则该三棱锥的体积为( )A .43 B .83C .3D .412.αβ是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定平面α与β平行的是( )A .m 、n 是α内的两条直线,且//m β,βn//B .α、β都垂直于平面γC .α内不共线三点到β的距离相D .m 、n 是两条异面直线,m α⊂,n β⊂,且//m β,//n α二、填空题13.在正三棱锥O ABC -中,已知45AOB ∠=︒,记α为二面角--A OB C 的大小,cos =m n αm ,n 为整数,则以||n ,||m ,||m n +分别为长、宽、高的长方体的外接球直径为__________.14.如图在菱形ABCD 中,2AB =,60A ∠=,E 为AB 中点,将AED 沿DE 折起使二面角A ED C '--的大小为90,则空间A '、C 两点的距离为________;15.在三棱锥P ABC -中,P 在底面ABC 的射影为ABC 的重心,点M 为棱PA 的中点,记二面角P BC M --的平面角为α,则tan α的最大值为___________.16.如图,已知四棱锥S ABCD -的底面为等腰梯形,//AB CD ,1AD DC BC ===,2AB SA ==,且SA ⊥平面ABCD ,则四棱锥S ABCD -外接球的体积为______.17.在三棱锥D ABC -中,AD ⊥平面ABC ,3AC =,17BC =1cos 3BAC ∠=,若三棱锥D ABC -27,则此三棱锥的外接球的表面积为______18.已知ABC 是等腰直角三角形,斜边2AB =,P 是平面ABC 外的一点,且满足PA PB PC ==,120APB ∠=︒,则三棱锥P ABC -外接球的表面积为________.19.已知点O 为圆锥PO 底面的圆心,圆锥PO 的轴截面为边长为2的等边三角形PAB ,圆锥PO 的外接球的表面积为______.20.在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,且ABCD 为矩形,π2DPA ∠=,23AD =2AB =,PA PD =,则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为________.三、解答题21.如图,四棱锥P ABCD -的底面为正方形,PA ⊥底面ABCD ,E ,F ,H 分别为AB ,PC ,BC 的中点.(1)求证:DE ⊥平面PAH ;(2)若2PA AD ==,求直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值. 22.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,O 是底面ABCD 的中心.(1)求证:1B O//平面11DA C ; (2)求点O 到平面11DA C 的距离.23.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为1的正方形,PA ⊥底面ABCD ,PA AB =,点M 是棱PD 的中点.(1)求证://PB 平面ACM ; (2)求三棱锥P ACM -的体积.24.在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为正方形,平面PAB ⊥平面,ABCD PAB 为等腰直角三角形,,2PA PB AB ⊥=.(1)求证:平面PBC ⊥平面PAC ;(2)设E 为CD 的中点,求点E 到平面PBC 的距离.25.如图,四棱锥E ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,平面AEB ⊥平面ABCD ,4EBA π∠=,2EB =,F 为CE 上的点,BF CE ⊥.(1)求证:BF ⊥平面ACE ; (2)求点D 到平面ACE 的距离.26.我市论语广场准备设置一些多面体形或球形的石凳供市民休息,如图(1)的多面体石凳是由图(2)的正方体石块截去八个相同的四面体得到,且该石凳的体积是3160dm 3.(Ⅰ)求正方体石块的棱长;(Ⅱ)若将图(2)的正方体石块打磨成一个球形的石凳,求此球形石凳的最大体积.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B【分析】可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -,取BD 中点E ,连接,AE CE ,设底面边长为2x ,表示出2522x AO OE -===,1333xOE CE ==,即可求出x ,进而求出腰长. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -,取BD 中点E ,连接,AE CE ,则底面中心O 在CE 上,连接AO ,可得AO ⊥平面ABC ,由三视图可知5AB AC AD ===,45AEC ∠=, 设底面边长为2x ,则DE x =,则25AE x =-,则在等腰直角三角形AOE 中,2522x AO OE -===, O 是底面中心,则133xOE CE ==, 则2532x x-=,解得3x =, 则1AO =,底面边长为23, 则正视图(等腰三角形)的腰长为()22312+=.故选:B.【点睛】本题考查根据三视图计算原几何体的相关量,解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.2.C【分析】作出图形,连接1AD 、11B D 、1AB ,推导出1//EF AB ,11//BD B D ,可得出异面直线EF 和BD 所成的角为11AB D ∠,分析11AB D 的形状,即可得出结果. 【详解】如下图所示,连接1AD 、11B D 、1AB ,设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则11112AD AB B D ===, 所以,11AB D 为等边三角形,则1160AB D ∠=,因为E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心,则E 、F 分别是11B D 、1AD 的中点,所以,1//EF AB ,在正方体1111ABCD A B C D -中,11//BB DD 且11BB DD =, 所以,四边形11BB D D 为平行四边形,则11//BD B D , 所以,异面直线EF 和BD 所成的角为1160AB D ∠=. 故选:C. 【点睛】思路点睛:平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决,具体步骤如下: (1)平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角; (2)认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角; (3)计算:求该角的值,常利用解三角形; (4)取舍:由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.3.C解析:C 【分析】利用已知条件判断1l 与2l 的位置关系,可判断AD 选项的正误;利用线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误;利用线面平行的性质定理可判断C 选项的正误. 【详解】对于A 选项,若1//l α,2//l α,则1l 与2l 平行、相交或异面,A 选项错误; 对于B 选项,若1l α⊥,2l α⊥,由线面垂直的性质定理可得12//l l ,B 选项错误; 对于C 选项,12//l l ,1l α⊂,2l β⊂,α、β不重合,则1l β⊄,1//l β∴,1l α⊂,3l αβ⋂=,13//l l ∴,C 选项正确;对于D 选项,若αβ⊥,1l αγ=,2l βγ⋂=,则1l 与2l 相交或平行,D 选项错误.故选:C. 【点睛】方法点睛:对于空间线面位置关系的组合判断题,解决的方法是“推理论证加反例推断”,即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明,错误的结论需要通过举出反例说明其错误,在解题中可以以常见的空间几何体(如正方体、正四面体等)为模型进行推理或者反驳.4.A解析:A 【分析】根据题意,将点1B 到平面1A BC 的距离转化为点A 到平面1A BC 的距离,然后再利用等体积法11A A BC A ABC V V --=代入求解点A 到平面1A BC 的距离. 【详解】已知正三棱柱111ABC A B C -,底面正三角形ABC 的边长为2,侧棱1AA 长为2,所以可得11==A B AC 1A BC 为等腰三角形,所以1A BC ,由对称性可知,111--=B A BC A A BC V V ,所以点1B 到平面1A BC 的距离等于点A 到平面1A BC 的距离,所以11A A BC A ABC V V --=,又因为1122=⨯=A BC S △122ABCS =⨯=111233⨯⨯=⨯⨯A BC ABC S h S △△,即7h == 故选:A.【点睛】一般关于点到面的距离的计算,一是可以考虑通过空间向量的方法,写出点的坐标,计算平面的法向量,然后代入数量积的夹角公式计算即可,二是可以通过等体积法,通过换底换高代入利用体积相等计算.5.A解析:A【分析】连接AC 、BD 交于O ,连PO ,取CD 的中点E ,连,OE PE ,根据正棱锥的性质可知,PCE α∠=,PCO β∠=,PEO γ∠=,再比较三个角的正弦值可得结果.【详解】连接AC 、BD 交于O ,连PO ,取CD 的中点E ,连,OE PE ,如图:因为//AB CD ,所以PBA α∠=,又因为四棱锥P ABCD -为正四棱锥,所以PCE α∠=,由正四棱锥的性质可知,PO ⊥平面ABCD ,所以PCO β∠=,易得OE CD ⊥,PE CD ⊥,所以PEO γ∠=, 因为sin PE PC α=,sin PO PCβ=,且PE PO >,所以sin sin αβ>,又,αβ都是锐角,所以αβ>,因为sin PO PE γ=,sin PO PCβ=,且PC PE >,所以sin sin γβ>,因为,βγ都是锐角,所以γβ>. 故选:A【点睛】关键点点睛:根据正棱锥的性质,利用异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义得到这三个角是解题关键,属于中档题.6.B解析:B【分析】由题意计算2,AB BD CD ===分析该几何体可以扩充为长方体,所以只用求长方体的外接球即可.【详解】因为AB ⊥平面BCD ,BD CD ⊥且AB BD CD ==, 43A BCD V -=, 而114323A BCD V BD CD AB -=⨯⨯⨯=,所以2AB BD CD ===, 所以该几何体可以扩充为正方体方体,所以只用求正方体的外接球即可.设外接球的半径为R ,则23R =所以外接球的表面积为2412S R ππ==故选:B【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径,求半径的方法有:(1)公式法;(2) 多面体几何性质法;(3)补形法;(4)寻求轴截面圆半径法;(5)确定球心位置法.7.B解析:B【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形,且线段25MB =.【详解】设底面圆半径为r ,由母线长4l ,可知侧面展开图扇形的圆心角为22r r l ππα==, 将圆锥侧面展开成一个扇形,从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ,最短距离为BM ; 如图,在ABM 中,25,2,4MB AM AB ===,所以222AM AB MB +=,所以2MAB π∠=, 故22rππα==,解得1r =,所以圆锥的表面积为25S rl r πππ=+=,故选:B【点睛】关键点点睛:首先圆锥的侧面展开图为扇形,其圆心角为2r lπα=,其次从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ,绳子的最短距离即为展开图中线段MB 的长,解三角即可求解底面圆半径r ,利用圆锥表面积公式求解.8.D解析:D【分析】先找到几何体的原图,再求出几何体的高,再求几何体的体积得解.【详解】由三视图可知几何体为图中的四棱锥1P CDD E -, 由题得22437AD =-=,所以几何体的高为7.所以几何体的体积为11(24)676732⋅+⋅⋅=. 故选:D【点睛】方法点睛:通过三视图找几何体原图常用的方法有:(1)直接法;(2)拼凑法;(3)模型法.本题利用的就是模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 9.D解析:D【分析】过点F 作//FG AE 交AB 于点G ,连接CG ,则异面直线AE 与CF 所成角为CFG ∠或其补角,然后在CFG △中求解.【详解】如下图所示,在平面ABFE 中,过点F 作//FG AE 交AB 于点G ,连接CG , 则异面直线AE 与CF 所成角为CFG ∠或其补角,设1EF =,则3AB =,2BC CF AE ===,因为//EF AB ,//FG AE ,所以,四边形AEFG 为平行四边形,所以,2FG AE ==,1AG =,2BG =,由于2ABC π∠=,由勾股定理可得2222CG BC BG =+=所以,222CG CF FG =+,则2CFG π∠=.故选:D.【点睛】 思路点睛:平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决,具体步骤如下:(1)平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角;(2)认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角;(3)计算:求该角的值,常利用解三角形;(4)取舍:由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.10.C解析:C【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体,得到相应的三棱锥,之后利用椎体体积公式求得结果.【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示:该三棱锥满足底面BCD△是等腰三角形,且底边和底边上的高线都是2;且侧棱AD⊥底面BCD,1AD=,所以112 =221=323V⨯⨯⨯⨯,故选:C.【点睛】方法点睛:该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题,解题方法如下:(1)应注意把握三个视图的尺寸关系:主视图与俯视图长应对正(简称长对正),主视图与左视图高度保持平齐(简称高平齐),左视图与俯视图宽度应相等(简称宽相等),若不按顺序放置和不全时,则应注意三个视图名称;(2)根据三视图还原几何体;(3)利用椎体体积公式求解即可.11.A解析:A【分析】首先由三视图还原几何体,然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知,在棱长为2的正方体中,其对应的几何体为棱锥P ABC-,该棱锥的体积:11142223323V Sh ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选:A.【点睛】 方法点睛:(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解;(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解. 12.D解析:D【分析】取a αβ⋂=,且//m a ,//n a ,利用线面平行的判定定理可判断A 选项;根据αγ⊥,βγ⊥判断平面α与β的位置关系,可判断B 选项;设AB 、AC 的中点D 、E 在平面β内,记平面ABC 为平面α,判断出A 、B 、C 三点到平面β的距离相等,可判断C 选项;过直线n 作平面γ,使得a αγ⋂=,利用线面平行、面面平行的判定定理可判断D 选项.【详解】对于A 选项,若a αβ⋂=,且//m a ,//n a ,m β⊄,n β⊄,则//m β,βn//,但α与β相交;对于B 选项,若αγ⊥,βγ⊥,则α与β平行或相交;对于C 选项,设AB 、AC 的中点D 、E 在平面β内,记平面ABC 为平面α,如下图所示:D 、E 分别为AB 、AC 的中点,则//DE BC ,DE β⊂,BC β⊄,//BC β∴,所以,点B 、C 到平面β的距离相等,由于D 为AB 的中点,则点A 、B 到平面β的距离相等,所以,点A 、B 、C 三点到平面β的距离相等,但平面α与平面β相交;对于D 选项,如下图所示:由于//n α,过直线n 作平面γ,使得a αγ⋂=,则//a n ,//n a ,a β⊄,n β⊂,//a β∴,//m β,m a A =,m α⊂,a α⊂,//αβ∴.故选:D.【点睛】方法点睛:证明或判断两个平面平行的方法有:①用定义,此类题目常用反证法来完成证明;②用判定定理或推论(即“线线平行”⇒“面面平行”),通过线面平行来完成证明; ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明;④借助“传递性”来完成.二、填空题13.【分析】过作垂足为连接则为二面角的平面角即在中利用余弦定理结合为整数求出的值进而可得外接球直径【详解】如图过作垂足为连接则为二面角的平面角即不妨设因为所以所以所以在中因为为整数所以则设以为长宽高的长 解析:6【分析】过A 作AH OB ⊥,垂足为H ,连接CH ,则AHC ∠为二面角--A OB C 的平面角,即∠=AHC α,在AHC 中,利用余弦定理结合m ,n 为整数,求出m ,n 的值,进而可得外接球直径.【详解】如图,过A 作AH OB ⊥,垂足为H ,连接CH ,则AHC ∠为二面角--A OB C 的平面角,即∠=AHC α.不妨设2OC a =,因为45AOB ∠=︒,所以===CH a AH OH , 所以21)=HB a ,所以22222(422)=+=-=BC HB HC a AC .在AHC 中,222cos 2+-==⋅⋅HA HC AC HA HC α2222(422)212+--==a a a m n a因为m ,n 为整数,所以1m =-,2n =,则||1m =,||2n =,||1m n +=. 设以||m ,||n ,||m n +为长、宽、高的长方体的外接球半径为R ,则2222(2)||||||6=+++=R m n m n 6.6【点睛】关键点点睛:本题考查二面角的应用,考查几何体的外接球,考查解三角形,解决本题的关键点是利用定义法找出二面角的平面角,在AHC 中,利用余弦定理结合已知条件求出m ,n 的值,考查学生空间想象能力,考查计算能力,属于中档题.14.【分析】由二面角的大小为可得平面平面得到平面由勾股定理可得答案【详解】连接所以是等边三角形所以因为为中点所以所以即所以因为平面平面平面平面所以平面平面所以所以故答案为:【点睛】对于翻折问题解题时要认 解析:22【分析】由二面角A ED C '--的大小为90,可得平面A ED '⊥平面EDCB ,得到A E '⊥平面EDCB ,由勾股定理可得答案.【详解】连接DB CE 、,2AB AD ==,60A ∠=,所以ABD △、CBD 是等边三角形, 所以2AD BD CD ===,因为E 为AB 中点,1AE A E '==,所以DE AB ⊥,DE A E ⊥',3DE =, 30EDB ∠=,所以90EDC ∠=,即DE CD ⊥,所以222347EC ED CD =+=+=,因为平面A ED '⊥平面EDCB ,DE A E ⊥',平面A ED '平面EDCB DE =, 所以A E '⊥平面EDCB ,EC ⊂平面EDCB ,所以A E EC '⊥, 所以221722A C A E EC ''=+=+=.故答案为:22.【点睛】对于翻折问题,解题时要认真分析图形,确定有关元素间的关系及翻折前后哪些量变了,哪些量没有变,根据线线、线面、面面关系正确作出判断,考查了学生的空间想象力.. 15.【分析】取中点为过分别作底面的垂线根据题中条件得到;过分别作的垂线连接由二面角的定义结合线面垂直的判定定理及性质得到为二面角的平面角;为二面角的平面角得出令进而可求出最值【详解】取中点为过分别作底面解析:34【分析】取BC 中点为E ,过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ,根据题中条件,得到AN NO OE ==,2PO MN =;过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ,连接MH ,PG ,由二面角的定义,结合线面垂直的判定定理及性质,得到MHN ∠为二面角M BC A --的平面角;PGO ∠为二面角A BC P --的平面角,得出tan 4tan PGO MHN ∠=∠,()23tan tan tan 14tan MHN PGO MHN MHNα∠=∠-∠=+∠,令tan 0x MHN =∠>,进而可求出最值.【详解】取BC 中点为E ,过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN , 则O 为ABC 的重心,MN ⊥平面ABC ;PO ⊥平面ABC ; 由于点M 为棱PA 的中点,所以有AN NO OE ==,2PO MN =; 过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ,连接MH ,PG , 因为BC ⊂平面ABC ,所以MN BC ⊥,同理PO BC ⊥; 又MN NH N ⋂=,MN ⊂平面MNH ,NH ⊂平面MNH , 所以BC ⊥平面MNH ;因为MH ⊂平面MNH ,所以BC MH ⊥, 所以MHN ∠为二面角M BC A --的平面角;同理BC PG ⊥,所以PGO ∠为二面角A BC P --的平面角, 所以tan PO PGO OG ∠=,tan MN MHN HN∠=, 因为NO OE =,//OG NH ,所以12OG NH =; 因此2tan 4tan 12PO MN PGO MHN OG HN ∠===∠, 所以()2tan tan 3tan tan tan 1tan tan 14tan PGO MHN MHN PGO MHN PGO MHN MHN α∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠+∠, 令tan 0x MHN =∠>,则2333tan 1444x x x x α=≤=+, 当且仅当214x =,即12x =时,等号成立. 故答案为:34. 【点睛】关键点点睛:求解本题的关键在于确定二面角MBC A --、A BC P --以及P BC M --三者之间的关系,由题中条件得出二面角A BC P --是二面角M BC A --的4倍,进而可求得结果.16.【分析】取AB 中点连接根据平行四边形性质可得为等腰梯形ABCD 的外心取SB 中点O 连接则可得O 是四棱锥的外接球球心在中求得r=OA 即可求得体积【详解】取AB 中点连接则所以四边形为平行四边形所以同理所以 解析:823π【分析】取AB 中点1O ,连接11,O C O D ,根据平行四边形性质,可得1O 为等腰梯形ABCD 的外心,取SB 中点O ,连接1,,,OA OC OD OO ,则可得O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心,在Rt SAB 中,求得r=OA ,即可求得体积. 【详解】取AB 中点1O ,连接11,O C O D ,则1//CD O A , 所以四边形1ADCO 为平行四边形, 所以1=1CO ,同理1=1O D ,所以1111=O A O B O C O D ==,即1O 为等腰梯形ABCD 的外心, 取SB 中点O ,连接1,,,OA OC OD OO ,则1//OO SA ,因为SA ⊥平面ABCD ,所以1OO ⊥平面ABCD ,又2AB SA ==, 所以=OA OB OC OD ==,又SA AB ⊥,所以OA OS =,即O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心, 在Rt SAB 中,2AB SA ==, 所以122OA SB == 所以34822)33V ππ=⨯=, 故答案为:823π. 【点睛】解决外接球的问题时,难点在于找到球心,可求得两个相交平面的外接圆圆心,自圆心做面的垂线,垂线交点即为球心,考查空间想象,数学运算的能力,属中档题.17.【分析】设出外接球的半径球心的外心半径r 连接过作的平行线交于连接如图所示在中运用正弦定理求得的外接圆的半径r 再利用的关系求得外接球的半径运用球的表面积公式可得答案【详解】设三棱锥外接球的半径为球心为 解析:20π【分析】设出外接球的半径R 、球心O ,ABC 的外心1O 、半径 r , 连接1AO ,过O 作的平行线OE 交AD 于 E ,连接OA ,OD ,如图所示,在ABC 中,运用正弦定理求得 ABC的外接圆的半径r ,再利用1,,R r OO 的关系求得外接球的半径,运用球的表面积公式可得答案. 【详解】设三棱锥外接球的半径为R 、球心为O ,ABC 的外心为1O 、外接圆的半径为r ,连接1AO ,过O 作平行线OE 交AD 于E ,连接OA ,OD ,如图所示,则OA OD R ==,1O A r =,OE AD ⊥,所以E 为AD 的中点.在ABC中,由正弦定理得2sin BC r BAC ==∠r =. 在ABC 中,由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠,可得2117963AB AB =+-⋅⋅,得4AB =.所以11sin 34223ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△因为11333D ABC ABC V S AD AD -=⋅⋅=⨯=△,所以4AD =.连接1OO ,又1//OO AD ,所以四边形1EAO O 为平行四边形,1128EA OO AD ===,所以R ===所以该三棱锥的外接球的表面积224π4π20πS R ===.故答案为:20π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球,及球的表面积计算公式,解决问题的关键在于利用线面关系求得外接球的球心和球半径,属于中档题.18.【分析】在平面的投影为的外心即中点设球半径为则解得答案【详解】故在平面的投影为的外心即中点故球心在直线上设球半径为则解得故故答案为:【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题意在考查学生的计算能力和空间想 解析:163π【分析】P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心,即AB 中点1O ,设球半径为R ,则()22211R CO R PO =+-,解得答案.【详解】PA PB PC ==,故P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心,即AB 中点1O ,故球心O 在直线1PO 上,1112CO AB ==,1133PO ==, 设球半径为R ,则()22211R CO R PO =+-,解得23R =21643S R ππ==. 故答案为:163π.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.【分析】由题意知圆锥的轴截面为外接球的最大截面即过球心的截面且球心在上由等边三角形性质有即求得外接球的半径为R 进而求外接球的表面积【详解】设外接球球心为连接设外接球的半径为R 依题意可得在中有即解得故 解析:163π【分析】由题意知圆锥PO 的轴截面为外接球的最大截面,即过球心的截面且球心在PO 上,由等边三角形性质有Rt AO O '△,即222O A AO O O ''=+求得外接球的半径为R ,进而求外接球的表面积. 【详解】设外接球球心为O ',连接AO ',设外接球的半径为R ,依题意可得1AO =,3PO =,在Rt AO O '△中,有222O A AO O O ''=+,即)22213R R =+,解得3R =, 故外接球的表面积为24164433S R πππ==⋅=.故答案为:163π. 【点睛】本题考查了求圆锥体的外接球面积,由截面是等边三角形,结合等边三角形的性质求球半径,进而求外接球面积,属于基础题.20.【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径再由为等腰直角三角形可得其外接圆的半径又平面平面可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心由题意可得外接球的半径进而求出外接球的体积【详解】解:取矩形的对角线的交点 解析:323π【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径,再由PAD △为等腰直角三角形可得其外接圆的半径,又平面PAD ⊥平面ABCD 可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心,由题意可得外接球的半径,进而求出外接球的体积. 【详解】解:取矩形的对角线的交点O 和AD 的中点E ,连接OE ,OP ,OE , 则O 为矩形ABCD 的外接圆的圆心,而2DPA π∠=,23AD =,2AB =,PA PD =,则//OE AB ,112OE AB ==, 132PE AD ==, 所以E 为PAD △的外接圆的圆心,因为平面PAD ⊥平面ABCD , 所以O 为外接球的球心,OP 为外接球的半径,在POE △中,222222(3)14R OP PE OE ==+=+=,所以2R =, 所以外接球的体积343233V R ππ==, 故答案为:323π.【点睛】本题考查四棱锥的棱长与外接球的半径的关系及球的体积公式,属于中档题.三、解答题21.(1)证明见解析;(2)105. 【分析】(1)由PA ⊥底面ABCD ,得PA DE ⊥,由Rt ABH Rt DAE ≌△△,得DE AH ⊥,可得答案.(2)由可知DE ⊥平面PAH ,连接PG ,则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角,在Rt PDG △中,由sin DPG ∠可得答案. 【详解】(1)因为PA ⊥底面ABCD ,DE ⊂底面ABCD ,所以PA DE ⊥,因为E ,H 分别为正方形ABCD 的边AB ,BC 的中点,,,AB DA BH AE HBAEAD ,所以Rt ABH Rt DAE ≌△△,所以BAH ADE ∠=∠,由90AED ADE ∠+∠= 所以90BAH AED ∠+∠=,所以DE AH ⊥, 因为PA ⊂平面PAH ,AH ⊂平面PAH ,PA AH A ⋂=,所以DE ⊥平面PAH .(2)由(1)可知DE ⊥平面PAH ,设AH DE G ⋂=,如图,连接PG ,则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角, 因为2PA AD ==,所以22PD =,5DE =, 在Rt DAE 中,由于AG DE ⊥,所以2AD DG DE =⋅, 所以45DG =⋅,所以5DG =, 所以在Rt PDG △中,105sin 522DG DPG PD ∠===,即直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值为105.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、线面角的求法,对于线面角的求法的步骤,作:作(或找)出斜线在平面上的射影,证:证明某平面角就是斜线与平面所成的角;算:通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算. 22.(1)证明见解析;(2)23. 【分析】(1)连接11B D ,设11111B D AC O ⋂=,连接1DO ,证明11B O DO 是平行四边形,再利用线面平行的判定定理即可证明.(2)由题意可得平面11DA C ⊥平面11B D DB ,过点O 作1OH DO ⊥于H ,在矩形11B D DB 中,连接1OO ,可得1O OD OHD ∽△△,由三角形相似,对应边成比例即可求解. 【详解】(1)证明:连接11B D ,设11111B D AC O ⋂=,连接1DO .11//O B DO 且11O B DO =, 11B O DO ∴是平行四边形.11//B O DO ∴.又1DO ⊂平面11DA C ,1B O ⊂/平面11DA C ,1//B O ∴平面11DA C .(2)1111A C B D ⊥,111AC BB ⊥,且1111BB B D B ⋂=,11A C ∴⊥平面11B D DB .∴平面11DA C ⊥平面11B D DB ,且交线为1DO .在平面11B D DB 内,过点O 作1OH DO ⊥于H ,则OH ⊥平面11DA C , 即OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离.在矩形11B D DB 中,连接1OO ,1O OD OHD ∽△△,则11O D ODO O OH=, 22236OH ⨯∴==即点O 到平面11DA C 的距离为233. 【点睛】关键点点睛:本题考查了线面平行的判定定理,点到面的距离,解题的关键是过点O 作1OH DO ⊥于H ,得出OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离,考查了计算能力.23.(1)证明见解析;(2)23. 【分析】(1)连接BD 交AC 于点O ,由中位线定理得//OM PB ,从而得证线面平行; (2)由M 是PD 中点,得12M ACD P ACD V V --=,求出三棱锥P ACD -的体积后可得. 【详解】(1)如图,连接BD 交AC 于点O ,连接OM ,则O 是BD 中点,又M 是PD 中点, ∴//OM PB ,又PB ⊄平面ACM ,OM ⊂平面ACM , 所以//PB 平面ACM ; (2)由已知12222ACDS=⨯⨯=,11422333P ACD ACD V S PA -=⋅=⨯⨯=△,又M 是PD 中点,所以1223M ACD P ACD V V --==, 所以23P ACM P ACD M ACD V V V ---=-=.【点睛】思路点睛:本题考查证明线面平行,求三棱锥的体积.求三棱锥的体积除掌握体积公式外,还需要注意割补法,不易求体积的三棱锥(或一个不规则的几何体)的体积可通过几个规则的几何体(柱、锥、台等)的体积加减求得.三棱锥的体积还可通过转化顶点,转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积,从而得出结论. 24.(1)证明见解析;(2)22. 【分析】(1)利用面面垂直的性质先证明出BC ⊥面PAB ,得到PA BC ⊥,再由PA PB ⊥,结合线面垂直的判定定理可知PA ⊥面PBC ,又PA ⊂面PAC ,然后证得平面PBC ⊥平面PAC ;(2)先计算三棱锥P BCE -的体积,然后再计算PBC 的面积,利用等体积法P BCE E PBC V V --=求解.【详解】解:(1)证明:∵面PAB ⊥面ABCD ,且平面PAB ⋂平面ABCD AB =,BC AB ⊥,BC ⊂面ABCD BC ∴⊥面PAB , 又PA ⊂面PAB PA BC ∴⊥又因为由已知PA PB ⊥且PB BC B ⋂=,所以PA ⊥面PBC ,又PA ⊂面PAC ∴面PAC ⊥面PBC .(2)PAB △中,PA PB =,取AB 的中点O ,连PO ,则PO AB ⊥ ∵面PAB ⊥面ABCD 且它们交于,AB PO ⊂面PABPO ∴⊥面ABCD由1133BCEEPBC P BCE PBC BCE PBCSPOV V S h S PO h S--=⇒=⇒=,由已知可求得1PO =,1BCES=,2PBCS=,所以22h =. 所以点E 到平面PBC 的距离为22.【点睛】(1)证明面面垂直的核心为证明线面垂直,要证明线面垂直只需郑敏面外的一条弦和面内的两条相交线垂直即可;(2)点到面的距离求解一般采用等体积法求解,也可采用空间向量法求解. 25.(1)证明见解析;(223【分析】(1)先由面面垂直的性质,得到CB ⊥平面ABE ,推出CB AE ⊥,根据题中条件,得到AE BE ⊥,利用线面垂直的判定定理,得到AE ⊥平面BCE ;得出AE BF ⊥,再次利用线面垂直的判定定理,即可证明结论成立;。
2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题:第一章§1.1知能演练轻松闯关

1.下列几何体是圆柱的是()解析:选B.由圆柱的结构特征:上、下底面为两个相等的圆面,可知选B.2.下列说法:①直线绕直线旋转形成柱面;②曲线平移一定形成曲面;③直角梯形绕一边旋转形成圆台;④半圆绕直径旋转形成球面.其中,正确的个数为()A.1 B.2C.3 D.0解析:选A.①错,当两直线相交时,不能形成柱面;②错,曲线平移并不一定能形成曲面;③错,若绕底边旋转,则形成的不是圆台;④对,据球面的定义知④是正确的,故选A.3.如图1所示的几何体是由图2中某个平面图形旋转得到的,则这个平面图形是()解析:选A.由旋转体的概念及结构特征可判断只有选项A中的平面图形,绕着轴线旋转才可形成图1的几何体,故选A.4.下列说法中正确的是()A.用一个平面截圆锥,截面与底面之间的部分是圆台B.在圆锥的侧面上画出的线段只能是曲线段不能是直线段C.圆台的母线有无数条,它们都互相平行D.以一个等腰梯形上、下底的中点的连线为旋转轴,将各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆台解析:选D.A不正确,因为截面与底面不一定平行;B不正确,因为所有母线都是直线段;C不正确,因为所有母线延长后相交于一点;D正确,符合圆台的结构特征.5.如图所示的平面结构,绕中间轴旋转180°,所形成几何体的形状为()A.一个球体B.一个球体中间挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球体中间挖去一个长方体解析:选B.由于外面圆旋转成球体,而中间矩形旋转形成一个圆柱.故选B.6.圆柱、圆锥和圆台过轴的截面分别是__________.解析:根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征,得:圆柱、圆锥、圆台过轴的截面分别为矩形、等腰三角形和等腰梯形.答案:矩形、等腰三角形和等腰梯形7.球的半径有__________条,直径有__________条.解析:根据球的概念及结构特征得:球的半径、直径都有无数条.答案:无数无数8.如图所示的是某单位公章,这个几何体是由简单几何体中的__________组成的.解析:最上部为半球体,中间为圆柱,最下部为圆台.答案:半球、圆柱、圆台9.用一个平面去截一个几何体,如果截面形状是圆,你能想象出这个几何体是什么吗?解:这个几何体可能是圆柱或圆锥或圆台或球或是由这些几何体组成的简单组合体.10.如图所示的四个几何体中,哪些是圆柱与圆锥?哪些不是?并指出圆柱与圆锥的结构名称.解:由圆柱定义知③是圆柱,①不是圆柱.③圆柱OO′,其轴为OO′,底面为⊙O与⊙O′,母线为A′A、B′B等.由圆锥定义知②为圆锥,④不是圆锥.②圆锥SO,其轴为SO,底面为⊙O,母线为SA、SB等.1.(2013·焦作水平测试)有下列几种说法:①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线;②矩形的任意一条边都可以作为轴,其他边绕其旋转围成圆柱;③矩形绕任意一条直线旋转,都可以围成圆柱.其中正确说法的个数是()A.0 B.1C.2 D.3解析:选C.由圆柱的定义知①②均正确,③不一定围成圆柱.2.轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r ,则其轴截面面积为__________.解析:由圆锥的结构特征,可知轴截面为等腰直角三角形,其高为r ,∴S =12×2r 2=r 2. 答案:r 23.如图,底面直径为1,高为2的圆柱,在A 点有一只蚂蚁.现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A 点爬到B 点,问蚂蚁爬行的最短距离是多少?解:把圆柱的侧面沿AB 剪开,然后展开成为平面图形——矩形,如图所示,连接AB ′,则AB ′即为蚂蚁爬行的最短距离.∵AB =A ′B ′=2,AA ′为底面圆的周长,且AA ′=π×1=π, ∴AB ′=A ′B ′2+AA ′2=4+π2.即蚂蚁爬行的最短距离为4+π2.4.用一张4×8(cm 2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,接头忽略不计,过这个圆柱的轴作一个轴截面,求这个轴截面的面积.解:设圆柱母线长为l ,底面半径为r , 则轴截面的面积S =l ·2r =2lr ,当l =4 cm 时,2πr =8 cm ,即r =4πcm , 此时S =2lr =32πcm 2; 当l =8 cm 时,2πr =4 cm ,即r =2πcm , 此时S =2lr =32πcm 2, 综上可知,所得圆柱的轴截面积为32πcm 2.。
高中数学必修2(人教A版)第一章几何空间体1.1知识点总结含同步练习及答案

描述:例题:描述:高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构一、学习任务认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构.二、知识清单典型空间几何体空间几何体的结构特征 组合体展开图 截面分析三、知识讲解1.典型空间几何体空间几何体的概念只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.2.空间几何体的结构特征多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面;相邻两个面的公共边叫做多面体的棱;棱与棱的公共点叫做多面体的顶点;连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线.按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体.其中,四个面均为全等的正三角形的四面体叫做正四面体.旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.棱柱的结构特征一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱(prism).棱柱中,两个互相平行的面叫做底面,简称底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到两个几何体,一个是______,另一个是______.解:棱锥;棱台.⋯⋯余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱,可以用表示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱,如下图的六棱柱可以表示为棱柱或棱柱 .侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱;侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱;底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱;底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体;侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体.棱锥的结构特征一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥(pyramid).这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫四面体.棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字母来表示,如下图的四棱锥表示为棱锥 或者棱锥 .棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,这个棱锥叫做正棱锥.正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高都相等,叫做棱锥的斜高.⋯⋯⋯⋯ABCDEF−A′B′C′D′E′F′DA′⋯⋯⋯⋯S−ABCD S−AC棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台(frustum of a pyramid).原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;其他各面叫做棱台的侧面;相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱;两底面的距离叫做棱台的高.由正棱锥截得的棱台叫做正棱台,正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高.圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱(circular cylinder).旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥(circular cone).圆台的结构特征例题:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台(frustum of a cone).棱台与圆台统称为台体.球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球(solid sphere).半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径.球常用表示球心的字母 表示.O下列命题中,正确的是( )A.有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C.棱柱的侧面是平行四边形,而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱长相等,侧面是平行四边形解:D如图(1),满足 A 选项条件,但不是棱柱;对于 B 选项,如图(2),构造四棱柱,令四边形 是梯形,可知 ,但这两个面不能作为棱柱的底面;C选项中,若棱柱是平行六面体,则它的底面是平行四边形.ABCD−A1B1C1D1ABCD面AB∥面DCB1A1C1D1若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是( )A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥解:D如下图,正六边形 中,,那么正六棱锥中,,即侧棱长大于底面边长.ABCDEF OA=OB=⋯=AB S−ABCDEF SA>OA=AB描述:3.组合体简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成,一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.如图所示的几何体中,是台体的是( )A.①② B.①③ C.③ D.②③解:C利用棱台的定义求解.①中各侧棱的延长线不能交于一点;②中的截面不平行于底面;③中各侧棱的延长线能交于一点且截面与底面平行.有下列四种说法:①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体;②以直角三角形的一直角边为旋转轴,旋转所得几何体是圆锥;③圆台的任意两条母线的延长线,可能相交也可能不相交;④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.其中错误的有( )A.个 B. 个 C. 个 D. 个解:D圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体,故①错;以直角三角形的一条直角边所在直线为轴,旋转一周,才能构成圆锥,②错;圆台是由圆锥截得,故其任意两条母线延长后一定交于一点,③错;半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的是球面,故④错误.1234例题:描述:4.展开图空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形,是画法几何研究的一项内容.描述图中几何体的结构特征.解:图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体;图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的( )解:D)不在同一平面内的有______对.3内.解:C描述:例题:5.截面分析截面用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面.平行截面、中截面与立体图形底面平行的截面称为平行截面,等分立体图形的高的平行截面称为中截面.轴截面包含立体图形的轴线的截面称为轴截面.球截面球的截面称为球截面.球的任意截面都是圆,其中通过球心的截面称为球的大圆,不过球心的截面称为球的小圆.球心与球的截面的圆心连线垂直于截面,并且有 ,其中 为球的半径, 为截面圆的半径, 为球心到截面的距离.+=r 2d 2R 2R r d 下面几何体的截面一定是圆面的是( )A.圆台 B.球 C.圆柱 D.棱柱解:B如图所示,是一个三棱台 ,试用两个平面把这个三棱台分成三部分,使每一部分都是一个三棱锥.解:如图,过 ,, 三点作一个平面,再过 ,, 作一个平面,就把三棱台分成三部分,形成的三个三棱锥分别是 ,,.ABC −A ′B ′C ′A ′B C A ′B C ′ABC −A ′B ′C ′−ABC A ′−B B ′A ′C ′−BC A ′C ′如图,正方体 中,,, 分别是 ,, 的中点,那么正方体中过点 ,, 的截面形状是( )A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P QR作截面图如图所示,可知是六边形.ii)若两平行截面在球心的两侧,如图(2)所示,则 解:四、课后作业 (查看更多本章节同步练习题,请到快乐学)答案:1.如图,能推断这个几何体可能是三棱台的是 .A .B .C .D .C ()=2,AB =3,=3,BC =4A 1B 1B 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =3A 1B 1B 1C 1A 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =4A 1B 1B 1C 1A 1C 1AB =,BC =,CA =A 1B 1B 1C 1C 1A 1答案:2. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到如图所示的平面图形,则标" "的面的方位是 .A .南B .北C .西D .下B △()3. 向高为 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 与水深 的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是.A .H V h ()高考不提分,赔付1万元,关注快乐学了解详情。
高一数学必修二第一章小结与练习题(带答案)

(A)
(B视图
6. 一个锐角为30的直角三角形, 其斜边长为4, 以斜边为轴旋转一周所得的几何体的体积等于 .
7. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示, 则其侧面积等于 ( )
(A) 3
(B) 2
(C) 2 3 (D) 6
8. 一个几何体的三视图如图所示, 它的表面积等于 .
锥体体积:
V锥
=
1 3
Sh
台体体积:
V台
=
1 3
h(
S
+
SS + S).
15. 球的体积
V球
=
4 3
pR3
.
16. 球的表面积
S表球面 = 4pR2.
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例 1. 将正方体 (如图 1 ) 截去两个三棱锥, 得到
图 2 所示的几何体, 则该几何体的左视图为 ( B )
D1 A1
C1
B1
点和底面的圆周都在同一个圆面上, 若两圆锥的体积
之和为 6,
且底面积是这个球面面积的 3 16
,
则这个球
的体积为 16 .
P
解: 根据题设画出直观图. 两圆锥的体积之和
O r A
6= 13p r2OP + 13p r2OQ
OR
= 13p
又 S锥底
r2(OP +OQ)
=
3 16
(A)
(B)
(C)
(D)
3. 在一个几何体的三视图中, 正视图和俯视图如图, 则相应的侧视图可以为 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
4. 将长方体截去一个四棱锥, 得到的几何体如图所示, 则该几何体 的左视图为 ( )
高中数学必修2第1章-1.3.2球的体积和表面积同步练习题及答案

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】1.3.2球的体积和表面积【课时目标】1.了解球的体积和表面积公式.2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题.3.培养学生的空间想象能力和思维能力.1.球的表面积设球的半径为R,则球的表面积S=________,即球的表面积等于它的大圆面积的________倍.2.球的体积设球的半径为R,则球的体积V=________.一、选择题1.一个正方体与一个球表面积相等,那么它们的体积比是()A.6π6B.π2C.2π2D.3ππ2.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的() A.2倍B.22倍C.2倍D.32倍3.正方体的内切球和外接球的体积之比为()A.1∶ 3 B.1∶3C.1∶3 3 D.1∶94.若三个球的表面积之比为1∶2∶3,则它们的体积之比为()A.1∶2∶3 B.1∶2∶ 3C.1∶22∶3 3 D.1∶4∶75.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为()A.25πB.50πC.125πD.以上都不对6.一个圆锥与一个球的体积相等,圆锥的底面半径是球半径的3倍,圆锥的高与球半径之比为()A.4∶9 B.9∶4C.4∶27 D.27∶4二、填空题7.毛泽东在《送瘟神》中写到:“坐地日行八万里”.又知地球的体积大约是火星的8倍,则火星的大圆周长约________万里.8.将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高4 cm,则钢球的半径是________.9.(1)表面积相等的正方体和球中,体积较大的几何体是________;(2)体积相等的正方体和球中,表面积较小的几何体是________.三、解答题10.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料?11.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.能力提升12.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形,如图所示,则()A.以上四个图形都是正确的B.只有(2)(4)是正确的C.只有(4)是错误的D.只有(1)(2)是正确的13.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.1.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形,进行相关计算.2.解决球与其他几何体的切接问题,通常作截面,将球与几何体的各量体现在平面图形中,再进行相关计算.3.解答组合体问题要注意知识的横向联系,善于把立体几何问题转化为平面几何问题,运用方程思想与函数思想解决,融计算、推理、想象于一体.1.3.2 球的体积和表面积 答案知识梳理1.4πR 2 4 2.43πR 3作业设计1.A [先由面积相等得到棱长a 和半径r 的关系a =6π3r ,再由体积公式求得体积比为6π6.] 2.B [由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的2倍,则体积扩大到原来的22倍.] 3.C [关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a ,外接球的直径等于3a .] 4.C [由表面积之比得到半径之比为r 1∶r 2∶r 3=1∶2∶3,从而得体积之比为V 1∶V 2∶V 3=1∶22∶33.]5.B [外接球的直径2R =长方体的体对角线=a 2+b 2+c 2(a 、b 、c 分别是长、宽、高).]6.A [设球半径为r ,圆锥的高为h ,则13π(3r)2h =43πr 3,可得h ∶r =4∶9.]7.4解析 地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的2倍,日行8万里指地球大圆的周长,即2πR 地球=8,故R 地球=4π(万里),所以火星的半径为2π万里,其大圆的周长为4万里.8.3 cm解析 设球的半径为r ,则36π=43πr 3,可得r =3 cm .9.(1)球 (2)球解析 设正方体的棱长为a ,球的半径为r . (1)当6a 2=4πr 2时,V 球=43πr 3=6πa 3>a 3=V 正方体;(2)当a 3=43πr 3时,S 球=4πr 2=63π6a 2<6a 2=S 正方体.10.解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,则必须V 圆锥≥V 半球,V 半球=12×43πr 3=12×43π×43,V 圆锥=13Sh =13πr 2h =13π×42×h .依题意:13π×42×h ≥12×43π×43,解得h ≥8.即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm ,高大于或等于8 cm 时,冰淇淋融化后不会溢出杯子. 又因为S 圆锥侧=πrl =πr h 2+r 2,当圆锥高取最小值8时,S 圆锥侧最小,所以高为8 cm 时,制造的杯子最省材料.11.解 由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所示为圆锥的轴截面.根据切线性质知,当球在容器内时,水深为3r ,水面的半径为3r ,则容器内水的体积为V =V 圆锥-V 球=13π·(3r)2·3r -43πr 3=53πr 3,而将球取出后,设容器内水的深度为h ,则水面圆的半径为33h ,从而容器内水的体积是V ′=13π·(33h)2·h =19πh 3,由V =V ′,得h=315r .即容器中水的深度为315r .12.C [正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆(过球心的截面圆).] 13.解 设正方体的棱长为a .如图所示.①正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是正方体六个面的中心,经过四个切点及球心作截面,所以有2r 1=a ,r 1=a 2,所以S 1=4πr 21=πa 2.②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,2r 2=2a ,r 2=22a ,所以S 2=4πr 22=2πa 2. ③正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,所以有2r 3=3a , r 3=32a ,所以S 3=4πr 23=3πa 2. 综上可得S 1∶S 2∶S 3=1∶2∶3.。
数学必修二第一章练习题及答案

(数学2必修)第一章 空间几何体[基础训练A 组] 一、选择题1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( )A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对2.棱长都是1的三棱锥的表面积为( )A. 3B. 23C. 33D. 433.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在 同一球面上,则这个球的表面积是( )A .25πB .50πC .125πD .都不对 4.正方体的内切球和外接球的半径之比为( )A .3:1B .3:2C .2:3D .3:35.在△ABC 中,02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使之绕直线BC 旋转一周,则所形成的几何体的体积是( )A. 92πB. 72πC. 52πD. 32π6.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5,它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是( ) A .130 B .140 C .150 D .160二、填空题1.一个棱柱至少有 _____个面,面数最少的一个棱锥有 ________个顶点, 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。
2.若三个球的表面积之比是1:2:3,则它们的体积之比是_____________。
3.正方体1111ABCD A B C D - 中,O 是上底面ABCD 中心,若正方体的棱长为a , 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。
4.如图,,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心,则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。
5.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6,这个 长方体的对角线长是___________;若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15,则它的体积为___________.主视图 左视图 俯视图三、解答题1.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12M,高4M,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4M(高不变);二是高度增加4M (底面直径不变)。
人教版高中数学必修二教材课后习题答案及解析

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(数学2必修)第一章 空间几何体[基础训练A 组] 一、选择题1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( )A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对—2.棱长都是1的三棱锥的表面积为( )A. 3B. 23C. 33D. 43]3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( )A .25πB .50πC .125πD .都不对 4.正方体的内切球和外接球的半径之比为( )A .3:1B .3:2C .2:3D .3:35.在△ABC 中,02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使之绕直线BC 旋转一周,则所形成的几何体的体积是( )A. 92πB. 72πC. 52πD. 32π~6.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5,它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是( ) A .130 B .140 C .150 D .160二、填空题1.一个棱柱至少有 _____个面,面数最少的一个棱锥有 ________个顶点, 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。
2.若三个球的表面积之比是1:2:3,则它们的体积之比是_____________。
3.正方体1111ABCD A B C D - 中,O 是上底面ABCD 中心,若正方体的棱长为a , ¥则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。
4.如图,,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心,则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。
5.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6,这个 长方体的对角线长是___________;若长方体的共顶点的三个侧面面积分别主视图 左视图 俯视图为3,5,15,则它的体积为___________.三、解答题1.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12M,高4M,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4M(高不变);二是高度增加4M (底面直径不变)。
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;(3)哪个方案更经济些~\120,面积为3 的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积和体积2.将圆心角为0.C >(数学2必修)第一章 空间几何体[综合训练B 组]一、选择题1.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为045, 腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )A . 22+B .221+ C .222+ D . 21+ 2.半径为R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( )?A.324R B.38R C.324R D .38R 3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2cm , 则球的表面积是( ) A.28cm π B.212cmπC.216cm πD.220cm π4.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( ) A .7 B.6 C.5 D.3 ¥5.棱台上、下底面面积之比为1:9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )A .1:7 B.2:7 C.7:19 D.5:16 6.如图,在多面体ABCDEF 中,已知平面ABCD 是边长为3的正方形,//EF AB ,32EF =,且EF 与平面ABCD 的距离为2,则该多面体的体积为( )A .92B.5C.6 D.152二、填空题1.圆台的较小底面半径为1,母线长为2,一条母线和底面的一条半径有交点且成060, 《则圆台的侧面积为____________。
2.Rt ABC ∆中,3,4,5AB BC AC ===,将三角形绕直角边AB 旋转一周所成的几何体的体积为____________。
3.等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球___S 正方体4.若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为3,4,5,从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________。
5. 图(1)为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由________块木块堆成;图(2)中的三视图表示的实物为_____________。
…&6.若圆锥的表面积为a 平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的直径为_______________。
:三、解答题1.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190L ,假如它的两底面边长分别等于60cm 和40cm ,求它的深度为多少cm—%2.已知圆台的上下底面半径分别是2,5,且侧面面积等于两底面面积之和, 求该圆台的母线长.`.图(1)图(2)(数学2必修)第一章空间几何体}[提高训练C组]一、选择题1.下图是由哪个平面图形旋转得到的()A B C D2.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面,它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为()A. 1:2:3B. 1:3:5C. 1:2:4D. 1:3:93.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形,则截去8个三棱锥后,剩下的几何体的体积是()…A.23B.76C.45D.564.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为1V和2V,则12:V V=()A. 1:3B. 1:1C. 2:1D. 3:15.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( )A. 8:27B. 2:3]C. 4:9D. 2:96A. 224cmπ,212cmπ B. 215cmπ,212cmπC. 224cmπ,236cmπ D. 以上都不正确二、填空题》1. 若圆锥的表面积是15π,侧面展开图的圆心角是060,则圆锥的体积是_______。
2.一个半球的全面积为Q,一个圆柱与此半球等底等体积,则这个圆柱的全面积是. 3.球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.4.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米.5.已知棱台的上下底面面积分别为4,16,高为3,则该棱台的体积为___________。
三、解答题 "1. (如图)在底半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱, 求圆柱的表面积|2.如图,在四边形ABCD 中,090DAB ∠=,0135ADC ∠=,5AB =,22CD =,2AD =,求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积./数学2(必修)第一章 空间几何体 [基础训练A 组]一、选择题1. A 从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但是大小不一样,可以判断是棱台因为四个面是全等的正三角形,则444S S ==⨯=表面积底面积 长方体的对角线是球的直径,22450l R R S R ππ====== 正方体的棱长是内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,设棱长是a )222a a r r r r r r =====内切球内切球外接球外接球内切球外接球,,: 213(1 1.51)32V V V r ππ=-=+-=大圆锥小圆锥设底面边长是a ,底面的两条对角线分别为12,l l ,而22222212155,95,l l =-=-而222124,l l a +=即22222155954,8,485160a a S ch -+-====⨯⨯=侧面积二、填空题1.5,4,3 符合条件的几何体分别是:三棱柱,三棱锥,三棱台2.1:333333123123::::11:r r r r r r === 3.316a 画出正方体,平面11AB D 与对角线1A C 的交点是对角线的三等分点, $三棱锥11O AB D -的高23111,2333436h a V Sh a a ===⨯⨯⨯= 或:三棱锥11O AB D -也可以看成三棱锥11A OB D -,显然它的高为AO ,等腰三角形11OB D 为底面。
4. 平行四边形或线段5 设ab bc ac ===则1abc c a c ====l ==15 设3,5,15ab bc ac ===则2()225,15abc V abc ===三、解答题1.解:(1)如果按方案一,仓库的底面直径变成16M ,则仓库的体积 !23111162564()3323V Sh M ππ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭如果按方案二,仓库的高变成8M ,则仓库的体积 23211122888()3323V Sh M ππ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭(2)如果按方案一,仓库的底面直径变成16M ,半径为8M .棱锥的母线长为l ==则仓库的表面积218()S M π=⨯⨯= 如果按方案二,仓库的高变成8M .棱锥的母线长为10l == 则仓库的表面积%2261060()S M ππ=⨯⨯=(3)21V V > ,21S S < ∴方案二比方案一更加经济2. 解:设扇形的半径和圆锥的母线都为l ,圆锥的半径为r ,则21203,3360l l ππ==;232,13r r ππ⨯==;24,S S S rl r πππ=+=+=侧面表面积底面2111333V Sh π==⨯⨯⨯= 第一章 空间几何体 [综合训练B 组]一、选择题~恢复后的原图形为一直角梯形1(11)222S =⨯=+2312,,23R r R r h V r h R πππ=====正方体的顶点都在球面上,则球为正方体的外接球,则2R =,2412R S R ππ===(3)84,7S r r l r ππ=+==侧面积 中截面的面积为4个单位,12124746919V V ++==++ 过点,E F 作底面的垂面,得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱,1313152323234222V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=%二、填空题1.6π 画出圆台,则12121,2,2,()6r r l S r r l ππ====+=圆台侧面2.16π 旋转一周所成的几何体是以BC 为半径,以AB 为高的圆锥,2211431633V r h πππ==⨯⨯= 3.<设334,3V R a a R π====2264S a S R π=====<正球从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有两种方案==~5.(1)4 (2)圆锥6.3π设圆锥的底面的半径为r ,圆锥的母线为l ,则由2l r ππ=得2l r =, 而22S r r r a ππ=+⋅=圆锥表,即23,3r a r ππ===,即直径为3π三、解答题1. 解:'1(),3V S S h h ==319000075360024001600h ⨯==++2. 解:2229(25)(25),7l l ππ+=+=空间几何体 [提高训练C 组].一、选择题几何体是圆台上加了个圆锥,分别由直角梯形和直角三角形旋转而得从此圆锥可以看出三个圆锥,123123::1:2:3,::1:2:3,r r r l l l == 12312132::1:4:9,:():()1:3:5S S S S S S S S =--=111115818322226V V -=-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥121:():()3:13V V Sh Sh ==121212:8:27,:2:3,:4:9V V r r S S ===此几何体是个圆锥,23,5,4,33524r l h S πππ====⨯+⨯⨯=表面2134123V ππ=⨯⨯=二、填空题1.7 设圆锥的底面半径为r ,母线为l ,则123r l ππ=,得6l r =,226715S r r r r ππππ=+⋅==,得r =h =211153377V r h ππ==⨯=2.109Q 22223,S R R R Q R πππ=+===全32222221010,,2233339V R R h h R S R R R R Q πππππ==⋅==+⋅==3.8 21212,8r r V V ==4.12 234,123V Sh r h R R ππ=====5.28 '11()(416)32833V S S h ==⨯⨯=三、解答题1.解:圆锥的高h =1r =,22(2S S S πππ=+=+=侧面表面底面 2. 解:S S S S =++表面圆台底面圆台侧面圆锥侧面25(25)2πππ=⨯+⨯+⨯⨯⨯1)π=V V V =-圆台圆锥222112211()331483r r r r h r h πππ=++-=。