学生版2012年高考数学试题分类汇编--数列

2012年高考真题理科数学解析汇编：数列一、选择题1 ．（2012年高考（新课标理））已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ）A ．7B ．5C ．-5D ．-72 ．（2012年高考（浙江理））设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和,则下列命题错误．．的是 （ ）A ．若d <0,则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项,则d <0C ．若数列{S n }是递增数列,则对任意的n ∈N*,均有S n >0D ．若对任意的n ∈N*,均有S n >0,则数列{S n }是递增数列3 ．（2012年高考（重庆理））在等差数列}{n a 中,5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =（ ）A ．7B ．15C ．20D ．254 ．（2012年高考（四川理））设函数()2cos f x x x =-,{}n a 是公差为8π的等差数列,125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=,则2313[()]f a a a -= （ ）A ．0B ．2116π C ．218πD ．21316π 5 ．（2012年高考（上海理））设251sin πnn n a =,n n a a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中,正数的个数是 （ ）A ．25.B ．50.C ．75.D ．100.6 ．（2012年高考（辽宁理））在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=（ ）A ．58B ．88C ．143D ．1767 ．（2012年高考（江西理））观察下列各式:a+b=1.a ²+b 2=3,a 3+b 3=4 ,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,,则a 10+b 10= （ ） A ．28 B ．76 C ．123 D ．1998 ．（2012年高考（湖北理））定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a , {()}n f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数:①2()f x x =; ②()2x f x =; ③()f x =()ln ||f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 （ ） A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④9 ．（2012年高考（福建理））等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==,则数列{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．（2012年高考（大纲理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为 （ ）A ．100101B ．99101C ．99100D ．10110011．（2012年高考（北京理））某棵果树前n 年得总产量n S 与n 之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 的值为 （ ）A ．5B ．7C ．9D ．1112．（2012年高考（安徽理））{}n a 的各项都是正数,且31116a a =,则 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．（2012年高考（新课标理））数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-,则{}n a 的前60项和为_______14．（2012年高考（浙江理））设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为{S n }.若2232S a =+,4432S a =+,则q =______________.15．（2012年高考（上海春））已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数,令*,2012).n b n N n =∈<当k b 是数列{}n b 的最大项时,k =____.16．（2012年高考（辽宁理））已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列的通项公式n a =______________.17．（2012年高考（江西理））设数列{}{},n n a b 都是等差数列,若11337,21a b a b +=+=,则55a b +=__________。

18．（2012年高考（湖南理））设N =2n(n ∈N *,n ≥2),将N 个数x 1,x 2,,x N 依次放入编号为1,2,,N的N 个位置,得到排列P 0=x 1x 2x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N个位置,得到排列P 1=x 1x 3x N-1x 2x 4x N ,将此操作称为C 变换,将P 1分成两段,每段2N个数,并对每段作C 变换,得到2p ;当2≤i≤n -2时,将P i 分成2i段,每段2i N 个数,并对每段C 变换,得到P i+1,例如,当N=8时,P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8,此时x 7位于P 2中的第4个位置.(1)当N=16时,x 7位于P 2中的第___个位置;(2)当N=2n(n≥8)时,x 173位于P 4中的第___个位置.19．（2012年高考（湖北理））回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,,99.3位回文数有90个:101,111,121,,191,202,,999.则 (Ⅰ)4位回文数有__________个;(Ⅱ)21()n n ++∈N 位回文数有_________个.20．（2012年高考（广东理））(数列)已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =______________.21．. 2012年高考（福建理））数列{}n a 的通项公式cos12n n a n π=+,前n 项和为n S ,则2012S =___________.22．（2012年高考（北京理））已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则2a =________.三、解答题23．（2012年高考（天津理））已知{n a }是等差数列,其前n 项和为n S ,{n b }是等比数列,且1a =21=2b ,44+=27a b ,44=10S b -.(Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式; (Ⅱ)记1121=+++n n n n T a b a b a b -,+n N ∈,证明+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.【点评】该试题命制比较直接,没有什么隐含的条件,就是等比与等差数列的综合应用,但方法多样,第二问可以用错位相减法求解证明,也可用数学归纳法证明,给学生思维空间留有余地,符合高考命题选拔性的原24．（2012年高考（新课标理））已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边,cos sin 0a C C b c --=(1)求A (2)若2a =,ABC ∆的面积为3;求,b c .25．（2012年高考（重庆理））(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分.)设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S a S a +=+,其中20a ≠. (I)求证:{}n a 是首项为1的等比数列; (II)若21a >-,求证:1()2n n nS a a ≤+,并给出等号成立的充要条件.26．（2012年高考（四川理））已知a 为正实数,n 为自然数,抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A ,设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距.(Ⅰ)用a 和n 表示()f n ;(Ⅱ)求对所有n 都有33()1()11f n n f n n -≥++成立的a 的最小值; (Ⅲ)当01a <<时,比较11()(2)nk f k f k =-∑与27(1)()4(0)(1)f f n f f --的大小,并说明理由.[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法.27．（2012年高考（四川理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22nn a a S S =+对一切正整数n 都成立. (Ⅰ)求1a ,2a 的值; (Ⅱ)设10a >,数列110{lg }na a 的前n 项和为n T ,当n 为何值时,n T 最大?并求出n T 的最大值.[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.28．（2012年高考（上海理））对于数集},,,,1{21n x x x X -=,其中n x x x <<<< 210,2≥n ,定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1,存在Y a ∈2,使得021=⋅a a ,则称X具有性质P. 例如}2,1,1{-=X 具有性质P. (1)若x >2,且},2,1,1{x -,求x 的值;(2)若X 具有性质P,求证:1∈X ,且当x n >1时,x 1=1;(3)若X 具有性质P,且x 1=1,x 2=q (q 为常数),求有穷数列n x x x ,,,21 的通 项公式.29．（2012年高考（上海春））本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列{}{}{}n n n a b c 、　、　满足*11()()().n n n n n a a b b c n N ++--=∈ (1)设36,{}n n c n a =+是公差为3的等差数列.当11b =时,求23b b 、的值; (2)设32,8.n n c n a n n ==-求正整数,k 使得一切*,n N ∈均有;n k b b ≥(3)设1(1)2,.2nnn n c n a +-=+=当11b =时,求数列{}n b 的通项公式.30．（2012年高考（陕西理））设{}n a 的公比不为1的等比数列,其前n 项和为n S ,且534,,a a a 成等差数列.(1)求数列{}n a 的公比; (2)证明:对任意k N +∈,21,,k k k S S S ++成等差数列.31．（2012年高考（山东理））在等差数列{}n a 中,345984,73a a a a ++==.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)对任意*m N ∈,将数列{}n a 中落入区间2(9,9)mm内的项的个数记为m b ,求数列{}m b 的前m 项和m S .32．（2012年高考（江西理））已知数列{a n }的前n 项和21()2n S n kn k N *=-+∈,且S n 的最大值为8.(1)确定常数k,求a n ; (2)求数列92{}2nna -的前n 项和T n .33．（2012年高考（江苏））设集合{12}n P n =，，，…,*N n ∈.记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数:①n A P ⊆;②若x A ∈,则2x A ∉;③若A C x n p ∈,则A C x np ∉2.(1)求(4)f ;(2)求()f n 的解析式(用n 表示).34．（2012年高考（江苏））已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足:221nn n n n b a b a a ++=+,*N n ∈,(1)设n n n a b b +=+11,*N n ∈,求证:数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列; (2)设1..【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法.【解析】(1)根据题设221nn n n n b a b a a ++=+和n n n a b b +=+11,求出11n n ba ++=从而证明22111n n n n b b a a ++⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而得证.(2)根据基本不等式得到11n <a +=用反证法证明等比数列{}n a 的公比=1q .从而得到()1*n a a n N =∈的结论,再由11=n n n n b b b a a +=∙知{}n b是公比是1a 的等比数列.最后用反证法求出12=a bnnn a b b ∙=+21,*N n ∈,且{}n a 是等比数列,求1a 和1b 的值.35．（2012年高考（湖南理））已知数列{a n }的各项均为正数,记A (n )=a 1+a 2++a n ,B (n )=a 2+a 3++a n +1,C (n )=a 3+a 4++a n +2,n =1,2。