2017-2018学年湖北省荆州市沙市中学高二(下)期中数学试卷(文科)-教师用卷

2017-2018学年湖北省荆州市沙市中学高二（下）期中数学试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.a<0，b<0的一个必要条件为()A. a+b<0B. a−b<0C. ab >1 D. ab<−1【答案】A【解析】解：当a<0，b<0，a+b<0成立，即A满足条件．当a<0，b<0时，a−b<0不一定成立，即B不满足条件．当a<0，b<0时，ab>1不一定成立，即C不满足条件．当a<0，b<0时，ab<−1不一定成立，即D不满足条件．故选：A．根据不等式的性质和不等式的关系结合必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．2.已知x，y的取值如下表：从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为3.25 2.6 2.2 D. 0【答案】B【解析】解：∵点(x,y)在回归直线上，计算得x=0+1+3+44=2，y=2.2+4.3+4.8+6.74=4.5∴回归方程过点(2,4.5)代入得4.5=0.95×2+a∴a=2.6；故选：B．本题考查的知识点是线性回归直线的性质，由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知(x,y)在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出(x,y)，再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的a值．本题就是考查回归方程过定点(x,y)，考查线性回归方程，考查待定系数法求字母系数，是一个基础题3.已知i是虚数单位，则i20143i−1的实部为()A. 110B. −110C. 310D. −310【答案】A【解析】解：i 20143i−1=(i4)503⋅i23i−1=−1−1+3i=−1(−1−3i)(−1+3i)(−1−3i)=110+310i，则i20143i−1的实部为110．故选：A．直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4.根据以上样本数据，她建立的身高与年龄周岁的线性回归方程为y∧=7.19x+73.96，给出下列结论：①y与x具有正的线性相关关系②回归直线过样本点的中心(42,117.1)；③儿子10岁时的身高是145.86cm；④儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19cm．其中，正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：根据y(cm)与x(周岁)的线性回归方程y∧=7.19x+73.96，得出：①y与x具有正的线性相关关系，正确；②x=6，y=117.1，∴回归直线过样本点的中心(6,117.1)，错误；③x=10时，y∧=7.19×10+73.96=145.86，即预测儿子10岁时的身高约为145.86cm，错误；④儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19cm，正确．综上，正确的结论是①④，有2个．故选：B．根据y与x的线性回归方程，对题目中的问题进行分析，判断正误即可．本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．5.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是()A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】解：当S=1时，满足继续循环的条件，则S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，则S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，则S=2059，k=4；当S=2056时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6. 观察下列各式：32+27=2⋅327，33+326=3⋅3326，34+463=4⋅3463，…，若39+9m=9⋅39m，则m =( )A. 80B. 81C. 728D. 729【答案】C【解析】解：：32+27=2⋅327=2⋅3223−1， 33+326=3⋅3326=3⋅333−1，，34+463=4⋅3463=4⋅344−1， …，所以3n +nn 3−1=n ⋅3nn 3−1， 所以39+9m =9⋅39m =9⋅399−1， 所以m =93−1=729−1=728； 故选：C ．观察每个等式可以发现每个被开方数的分数部分的分母是分子的立方减去1所得，从而可求m ．本题考查了归纳推理，关键是由具体的前几个发现与序号的关系，总结出规律，猜想一般结论．7. 设复数z =(x −1)+yi (x ,y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A. 34+12πB. 12+1πC. 14−12πD. 12−1π【答案】C【解析】解：复数z =(x −1)+yi (x ,y ∈R )，若|z |≤1，它的几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆以及内部部分.y ≥x 的图形是图形中阴影部分，如图：复数z =(x −1)+yi (x ,y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率：14π−12×1×1π=14−12π．故选：C ．判断复数对应点图形，利用几何概型求解即可．本题考查复数的几何意义，几何概型的求法，考查计算能力以及数形结合的能力．8. 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y =(1−x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A. 函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) B. 函数f (x )有极大值f (−2)和极小值f (1) C. 函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (−2) D. 函数f (x )有极大值f (−2)和极小值f (2)【解析】解：由函数的图象可知，f′(−2)=0，f′(2)=0，并且当x<−2时，f′(x)>0，当−2<x<1，f′(x)<0，函数f(x)有极大值f(−2)．又当1<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，故函数f(x)有极小值f(2)．故选：D．利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．本题考查函数与导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的图象的应用．9.已知椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为()A. 32B. 3−52C. −1+52D. 3−12【答案】B【解析】解：方法一：依题意，作图如下：A(−a,0)，B(0,b)，F1(−c,0)，F2(c,0)，∴直线AB的方程为x−a +yb=1，整理得：bx−ay+ab=0，设直线AB上的点P(x,y)，则bx=ay−ab，x=aby−a，∵PF1⊥PF2，则PF1⋅PF2=(−c−x,−y)⋅(c−x,−y)=x2+y2−c2=(ab)2+y2−c2，令f(y)=(ab )2+y2−c2，则f′(y)=2(aby−a)×ab+2y，∴由f′(y)=0得：y=a2ba2+b2，于是x=−ab2a2+b2，∴PF1⋅PF2=(−ab2a+b )2+(a2ba+b)2−c2=0，整理得：a2b2a+b=c2，又b2=a2−c2，整理得：c4+3c2c2−a4=0，两边同时除以a4，由e2=c2a ，∴e4−3e2+1=0，∴e2=3±52，又椭圆的离心率e∈(0,1)，∴e2=3−52．椭圆的离心率的平方3−52，故选B．方法二：由直线AB的方程为x−a +yb=1，整理得：bx−ay+ab=0，由题意可知：直线AB与圆O：x2+y2=c2相切，可得d=a2+b2=c，两边平方，整理得：c4+3c2c2−a4=0，两边同时除以a4，由e2=c2a2，e4−3e2+1=0，∴e2=3±52，又椭圆的离心率e∈(0,1)，∴e2=3−52．椭圆的离心率的平方3−52，方法一：由题意可求得AB 的方程，设出P 点坐标，代入AB 得方程，由PF 1⊥PF 2，得PF 1 ⋅PF 2 =0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案；方法二：由题意可知：直线AB 与圆O ：x 2+y 2=c 2相切，利用点到直线的距离公式，即可求得圆的离心率的平方为．本题考查椭圆的性质，向量的数量积的坐标表示，考查直线的方程的运用，着重考查椭圆离心率，以及化简整理的运算能力，属于中档题．10. 若圆(x +1)2+(y −1)2=4上有四点到直线y =x +b 的距离为1，则b 的取值范围是( )A. (2− 2,2+ 2)B. (2− 3,2+ 3)C. (0,2+ 2)D. (0, 2) 【答案】A【解析】解：由已知，圆的半径为2，可知圆心到直线的距离d ∈[0,1)时， 满足有4个圆上的点到直线l 的距离为1， 根据点到直线的距离公式可得−1<2<1，∴2− 2<b <2+ 2． 故选：A ．由题意可知，圆心到直线的距离d ∈[0,1)，由点到直线的距离公式列式求得b 的范围．本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线距离等相关知识，是中档题．11. 已知函数y =f (x )对任意的x ∈(−π2,π2)满足f ′(x )cos x +f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是( )A. f (−π3)<f (−π4) B. 2f (π3)<f (π4) C. f (0)>2f (π3)D. f (0)> 2f (π4)【答案】A【解析】解：构造函数g (x )=f (x )cos x ， 则g ′(x )=f ′(x )cos x−f (x )(cos x )′cos 2x =1cos 2x(f ′(x )cos x +f (x )sin x )，∵对任意的x ∈(−π2,π2)满足f ′(x )cos x +f (x )sin x >0， ∴g ′(x )>0，即函数g (x )在x ∈(−π2,π2)单调递增， 则g (−π3)<g (−π4)，即f (−π3)cos (−π)<f (−π4)cos (−π)，∴f (−π3)1<f (−π4)22，即 (−π3)<f (−π4)，故A 正确．g (0)<g (π3)，即f (0)cos 0<f (π3)cosπ3，∴f (0)<2f (π3)， 故选：A ．根据条件构造函数g(x)=f(x)cos x，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度．12.已知f(x)=ln x−x4+34x，g(x)=−x2−2ax+4，若对∀x1∈(0,2]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，则a的取值范围是()A. [−18,+∞) B. [25−8ln216,+∞)C. [−18,54] D. (−∞,54]【答案】A【解析】解：因为f′(x)=1x −34⋅1x2−14=−x2+4x−34x2=−(x−1)(x−3)4x2，易知当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2)时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,1)上递减，在[1,2]上递增，故f(x)min=f(1)=12．对于二次函数g(x)=)=−x2−2ax+4，该函数开口向下，所以其在区间[1,2]上的最小值在端点处取得，所以要使对∀x1∈(0,2]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，只需f(x1)min≥g(x2)min，即12≥g(1)或12≥g(2)，所以12≥−1−2a+4或12≥−4−4a+4．解得a≥−18．故选：A．由题意，要使对∀x1∈(0,2]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，只需f(x1)min≥g(x2)min，且x1∈(0,2]，x2∈[1,2]，然后利用导数研究它们的最值即可．本题考查了不等式恒成立问题以及不等式有解问题的综合思路，概念性很强，注意理解．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在极坐标系下，已知圆O：ρ2−22ρcos(θ−π4)=2，则圆O的直角坐标方程是______【答案】(x−1)2+(y−1)2=4【解析】解：∵圆O：ρ2−22ρcos(θ−π4)=2，∴ρ2−22ρ(cosθcosπ4+sinθsinπ4)=2，∴ρ2−2ρcosθ−2ρsinθ=2，∴圆O的直角坐标方程是x2+y2−2x−2y=2，即(x−1)2+(y−1)2=4．故答案为：(x−1)2+(y−1)2=4．圆的极坐标方程化为ρ2−2ρcosθ−2ρsinθ=2，由此能求出圆O的直角坐标方程．本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．14.设0<x<1，a，b都为大于零的常数，若a22x +b21−x≥m恒成立，则m的最大值是______【答案】(b+2a2)2【解析】解：由a22x+b21−x=(x+1−x)(a22x+b21−x)=a2+b2+a2⋅1−x+b2⋅x≥a22+b2+2a2b22=(b+2a2)2，当且仅当2bx=(1−x)a时上式取得等号，则m≤(b+2a2)2，即m的最大值为(b+2a2)2，故答案为：(b+2a2)2，由题意可得m不大于a22x+b21−x的最小值，运用乘1法和基本不等式可得最小值，进而得到m的最大值．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查乘1法和转化思想，变形能力和运算能力，属于中档题．15.已知函数f(x)=|x−1|+|x+a|，g(x)=|2x−3|+|x−1|，若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得g(x2)=f(x1)，则实数a的取值范围是______．【答案】a≤−32或a≥−12【解析】解：设A={y|y=f(x)}，B={y|y=g(x)}，则由题意知A⊆B，又∵f(x)=|x−1|+|x+a|≥|(x−1)−(x+a)|=|a+1|，且g(x)=|2x−3|+|x−1|=3x−4,x≥32−x+2,1<x<32−3x+4,x≤1，∴g(x)≥12，∴|a+1|≥12，解得a≤−32或a≥−12，∴实数a的取值范围是a≤−32或a≥−12．故答案为：a≤−32或a≥−12．设A={y|y=f(x)}，B={y|y=g(x)}，则由题意知A⊆B，利用绝对值不等式求得f(x)≥|a+1|，利用分段函数求得g (x )的最小值为12，列不等式|a +1|≥12，求出实数a 的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，是中档题．16. 下列5个结论：(1)用反证法证明命题“a 、b 、c 全为0”时假设为“a 、b 、c 全不为0” (2)若实数x 、y 适合不等式xy >1，x +y >−2，则x >0，y >0(3)若x +2yx−y >1，则x +2y >x −y ．(4)|a +b |+|a −b |≥|2a |(5)f (x )=3x +4(x−1)(x >1)的最小值是3 93+6 其中正确的是______.(填写所有正确结论的编号) 【答案】(2)、(4)【解析】解：对于(1)，用反证法证明命题“a 、b 、c 全为0”时， 假设为“a 、b 、c 不全为0”，∴(1)错误；对于(2)，实数x 、y 适合不等式xy >1，x +y >−2， 则x 、y 同号，假设x <0，且y <0， 则−x >0，且−y >0，∴−x −y ≥2 (−x )(−y )>2， ∴x +y ≤−2，这与已知矛盾，∴假设不成立，即x >0，y >0，(2)正确； 对于(3)，若x +2yx−y >1，不能得出x +2y >x −y ， x −y <0时，不等号的方向要改变，(3)错误； 对于(4)，根据绝对值不等式知，|a +b |+|a −b |≥|(a +b )+(a −b )|=|2a |，∴(4)正确； 对于(5)，f (x )=3x +4(x−1)=3(x −1)+3(x −1)+42+3≥3⋅33(x −1)⋅3(x −1)⋅42=3 93+3，当且仅当x =1+33时取“=”； ∴f (x )=3x +4(x−1)2(x >1)的最小值是3 93+3，(5)错误；综上，其中正确的是命题序号是(2)、(4)． 故答案为：(2)、(4)．(1)，根据命题的否定，写出用反证法证明命题“a 、b 、c 全为0”时的假设即可；(2)，根据题意用反证法，假设x <0，且y <0，判断假设不成立，得出命题(2)正确； (3)，根据不等式的性质判断x +2yx−y >1时，不能得出x +2y >x −y ； (4)，根据绝对值不等式，判断|a +b |+|a −b |≥|2a |成立； (5)，根据基本不等式的性质求出f (x )的最小值是3 93+3．本题利用命题真假的判断，考查了反证法与不等式的应用问题，是综合题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知条件p ：4x−1≤−1；q ：x 2−x <a 2−a .若￢q 的一个充分不必要条件是￢p ，求实数a 的取值范围．【答案】解：命题p 中不等式等价为 4≤−(x −1)x−1>0或 4≥−(x −1)x−1<0，即 x ≤−3x >1或x ≥−3x <1，得−3≤x <1，即p ：−3≤x <1，由x 2−x <a 2−a 得x 2−x −(a 2−a )<0，即x 2−x −a (a −1)<0， 得(x −a )(x +a −1)<0，即，若￢q 的一个充分不必要条件是￢p ， ∴p 的一个充分不必要条件是q ，即当−3≤x <1时，(x −a )(x +a −1)<0恒成立， 设f (x )=x 2−x −(a 2−a )，则满足 f (1)≤0f (−3)<0， 即 1−1−(a 2−a )≤09+3−(a 2−a )<0，得 a 2−a ≥0a 2−a−12>0，得 a (a −1)≥0(a +3)(a−4)>0， 即a ≥1或a ≤0a >4或a <−3，即a >4或a <−3， 即实数a 的取值范围是a >4或a <−3． 【解析】求出不等式的等价条件，结合￢q 的一个充分不必要条件是￢p 转化为p 的一个充分不必要条件是q ，即当−3≤x <1时，(x −a )(x +a −1)<0恒成立，构造二次函数，利用二次函数的性质建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出不等式的等价条件，构造函数利用二次函数的性质是解决本题的关键．18. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证： (1)直线DE //平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【答案】解：(1)∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴DE 为△ABC 的中位线， ∴DE //AC ，∵ABC −A 1B 1C 1为棱柱， ∴AC //A 1C 1， ∴DE //A 1C 1，∵A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，且DE ⊄平面A 1C 1F ， ∴DE //A 1C 1F ；(2)在ABC −A 1B 1C 1的直棱柱中， ∴AA 1⊥平面A 1B 1C 1， ∴AA 1⊥A 1C 1，又∵A 1C 1⊥A 1B 1，且AA 1∩A 1B 1=A 1，AA 1、A 1B 1⊂平面AA 1B 1B ， ∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ， ∵DE //A 1C 1，∴DE ⊥平面AA 1B 1B ， 又∵A 1F ⊂平面AA 1B 1B ， ∴DE ⊥A 1F ，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.【解析】(1)通过证明DE//AC，进而DE//A1C1，据此可得直线DE//平面A1C1F1；(2)通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F. 本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．19.“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人(男、女各20人)，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：”，根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：k2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，从这5位学生中选取2位进行面对面的交流，求这2位学生至少有一位女生的概率．【答案】14；8；22；6；12；18；20；20；40【解析】解：(1)根据题意，填写2×2列联表如下；根据表中数据，计算k2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=40×(14×12−8×6)222×18×20×20≈3.636<3.841，据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关；(2)在步数大于10000的学生中分层选取5位学生，男生有5×88+2=4人，记为A、B、C、D，女生1人，记为e；从这5人中选取2人，基本事件是AD、AC、AD、Ae、BC、BD、Be、CD、Ce、De共10种，这2人中至少有一位女生的事件是Ae、Be、Ce、De共4种，故所求的概率为P =410=25．(1)根据题意填写2×2列联表，由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；(2)根据分层抽样原理，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x −y −2=0，抛物线C ：y 2=2px (p >0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．①求证：线段PQ 的中点坐标为(2−p ,−p )；②求p 的取值范围．【答案】解：(1)∵l ：x −y −2=0，∴l 与x 轴的交点坐标(2,0)，即抛物线的焦点坐标(2,0)．∴p 2=2，∴抛物线C ：y 2=8x ．(2)证明：①设点P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，则： y 22=2px 2y 12=2px 1， 即： y 122p =x 1y 222p =x 2，k PQ =y 1−y 2y 12−y 22=2py 1+y 2， 又∵P ，Q 关于直线l 对称，∴k PQ =−1，即y 1+y 2=−2p ，∴y 1+y 22=−p ， 又PQ 的中点在直线l 上，∴x 1+x 22=y 1+y 22+2=2−p ，∴线段PQ 的中点坐标为(2−p ,−p )；②因为Q 中点坐标(2−p ,−p )．∴ y 1+y 2=−2px 1+x 2=y 12+y 222p =4−2p ，即 y 12+y 22=8p −4p 2y 1+y 2=−2p ∴ y 1y 2=4p 2−4p y 1+y 2=−2p ，即关于y 2+2py +4p 2−4p =0，有两个不相等的实数根， ∴△>0，(2p )2−4(4p 2−4p )>0，∴p ∈(0,43)． 【解析】(1)求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．(2)：①设点P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，通过抛物线方程，求解k PQ ，通过P ，Q 关于直线l 对称，点的k PQ =−1，推出y 1+y 22=−p ，PQ 的中点在直线l 上，推出x 1+x 22=2−p ，即可证明线段PQ 的中点坐标为(2−p ,−p )；②利用线段PQ 中点坐标(2−p ,−p ).推出 y 1y 2=4p 2−4p y 1+y 2=−2p，得到关于y 2+2py +4p 2−4p =0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p 的范围．本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21.已知f(x)=ln x−ax．(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为32，求a的值；(3)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立，试求a的取值范围．【答案】解：(1)由题意f(x)=ln x−ax，则函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f′(x)=1x +ax2=x+ax2．∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数．(2)由(1)可知，f′(x)=x+ax．①若a≥−1，则x+a≥0，即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为增函数，∴f(x)min=f(1)=−a=32，∴a=−32(舍去)．②若a≤−e，则x+a≤0，即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数，∴f(x)min=f(e)=1−ae =32，∴a=−e2(舍去)．③若−e<a<−1，令f′(x)=0得x=−a，当1<x<−a时，f′(x)<0，∴f(x)在(1,−a)上为减函数；当−a<x<e时，f′(x)>0，∴f(x)在(−a,e)上为增函数，∴f(x)min=f(−a)=ln(−a)+1=32，∴a=−e．综上所述，a=−e．(3)∵f(x)<x2，∴ln x−ax<x2．又x>0，∴a>x ln x−x3．令g(x)=x ln x−x3，ℎ(x)=g′(x)=1+ln x−3x2，ℎ′(x)=1x −6x=1−6x2x．∵x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)在(1,+∞)上是减函数．∴ℎ(x)<ℎ(1)=−2<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数.g(x)<g(1)=−1，∴当a≥−1时，f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立．【解析】(1)根据题意，求出函数的定义域，求出函数的导数，分析可得f′(x)>0，由函数的导数与函数单调性的关系，分析可得答案；(2)根据题意，求出函数的导数，对a的进行分类讨论，分析导函数的符号，求出函数的单调性，分析其最小值，即可得答案；(3)根据题意，原不等式变形可得a>x ln x−x3.令g(x)=x ln x−x3，则ℎ(x)=g′(x)= 1+ln x−3x2，由函数的导数与函数单调性的关系，分析g(x)的单调性，可得g(x)<g(1)=−1，综合即可得答案．本题考查函数导数的性质以及应用，关键是理解函数的导数与函数单调性的关系．22. 设函数f (x )=|2x −a |+2a ，其中a ∈R ．(1)若不等式f (x )≤6的解集是{x |−6≤x ≤4}，求a 的值；(2)在(1)的条件下，若不等式f (x )≤kx −5的解集非空，求实数k 的取值范围．【答案】解：(1)因为f (x )≤6即为|2x −a |≤6−2a ，即2a −6≤2x −a ≤6−2a即32a −3≤x ≤3−a 2．因为其解集为{x |−6≤x ≤4}，所以32a −3=−6且3−a 2=4，解得：a =−2；(2)由(1)知f (x )=|2x +2|−4，不等式f (x )≤kx −5的解集非空，即不等式f (x )≤kx −5有解，即为|2x +2|≤kx −1有解．作出函数y =|2x +2|，y =kx −1的图象，由图象可得k ≤−1或k >2．则有k 的取值范围为(−∞,−]∪(2，+∞)．【解析】(1)运用绝对值不等式的解法，结合方程的解的概念可得a 的方程，解得即可；(2)不等式f (x )≤kx −5，即为|2x +2|≤kx −1，作出函数y =|2x +2|，y =kx −1的图象，通过直线绕着点(0,−1)旋转，观察即可得到满足条件的可得范围本题考查绝对值不等式的解法、数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．。