2014江西省重点中学盟校高三二模数学理科试题及答案

江西省重点中学盟校2014届高三第二次联考数学（理科）试卷命题人：鹰潭一中 吴贵生 新余四中 肖东海 白鹭洲中学 郭士华一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上)1.已知集合2{|}M x x x =>，4{|,}2xN y y x M ==∈，则M N = ( )A.{x ｜0＜x ＜12} B.{x ｜12＜x ＜1} C.{x ｜0＜x ＜1} D.{x ｜1＜x ＜2} 2．已知复数i m z 21+=，i z -=22，若21z z 为实数，则实数m 的值为 （ ） A ．1 B ．1- C ．4 D ．4- 3.如图给出了计算601614121++++ 的值的程序框图，其中 ①②分别是( )A ．i<30,n=n+2B ．i=30,n=n+2C ．i>30,n=n+2D ．i>30,n=n+1第4题图 第3题图 4.如上图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．π320+B ．π324+C ．π420+D ．π424+ 5．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若2132112364(..),27,n n S a a a a a a a -=+++==则（ ）A ．27B ．81C ．243 D.7296．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③某项测量结果ξ服从正态分布215081N(,),P().σζ≤=，则3019P().ζ≤-=； ④对于两个分类变量X 与Y 的随机变量k 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 以上命题中其中真命题的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．若c b a ,,均为单位向量，且0=⋅b a ，则c b a-+的最小值为（ ）A 1B ．1C 1+ D8．已知点(,0)(0)F c c ->是双曲线12222=-by a x 的左焦点，离心率为e ，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222c y x =+交于点P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则=2e（ ）A B C D 9.已知圆C ：22(2)4x y -+=，圆M ：22(25cos )(5sin )1x y θθ--+-=()R θ∈，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则PE PF ⋅的 最小值是 （ ）A ．5B ．6C ．10D ．1210．如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝45°，底边AB ＝5，高AD ＝3，点E 由B 沿折线BCD 向点D 移动，EM ⊥AB 于M ，EN ⊥AD 于N ，设BM ＝x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 的函数关系的图像大致是（ ）二、填空题（本题共4道小题，每题5分，共20分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）11．231()x x+的展开式中的常数项为a ，则直线y ax =与曲线2y x =围成图形的面积为 ；12．方程23310(2)x ax a a +++=>两根βαtan tan 、，且,(,)22ππαβ∈-， 则=+βα ；13.某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。

每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有 种；14. 已知集合M={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={1(x,y )|y x=}； ②M={1(x,y )|y sin x =+}； ③M={2(x,y )|y log x =}； ④M={2x (x,y )|y e =-}．其中是“垂直对点集”的序号是 ；三、选做题：（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分 ）15 ①（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知圆C 经过点4P π⎫⎪⎭，圆心为直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 的极坐标方程是 ； ②(不等式选做题)已知关于x 的不等式022>-++x a x 的解集为R ，则实数a 的取 值范围是 ．四、解答题：(本大题共6小题，共75分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤．)16.(本小题满分12分)凸四边形PABQ 中，其中,A B 为定点，,AB P Q 为动点， 满足1AP PQ QB ===. （1）写出cos A 与cos Q 的关系式；（2）设APB PQB ∆∆和的面积分别为S 和T ，求22S T +的最大值。

17．（本题满分12分）某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有12,L L 两条巷道通往作业区(如下图)，1L 巷道有123,,A A A 三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是12；2L 巷道有12,B B 两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为33,45．（1）求1L 巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；（2）若2L 巷道中堵塞点个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ，并按照＂平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线＂的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．18．（本题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形，1,2==AB AD ， 60=∠ABC ，⊥PA 面ABCD ，设E 为PC 中点，点F 在线段PD 上且FD PF 2=． （1）求证：//BE 平面ACF ；（2）设二面角D CF A --的大小为θ，若1442|cos |=θ，求PA 的长． 19．（本题满分12分）数列}{n a 的前n 项和记为1,,n S a t =点()1,n n S a +在直线21y x =+上，*n N ∈其中．（1）若数列{}n a 是等比数列，求实数t 的值；（2）设各项均不为0的数列}{n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的整数i 的个数称为这个数列}{n c 的“积异号数”，令nn n na na c 4-=（n N *∈），在（1）的条件下，求数列}{n c 的“积异号数”20．（本题满分13分）如图，分别过椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 左右焦点1F 、2F 的动直线21,l l 相交于P 点，与椭圆E 分别交于D C B A 、与、不同四点，直线OD OC OB OA 、、、的斜率1k 、2k 、3k 、4k 满足4321k k k k +=+．已知当x l 与1轴重合时，32||=AB ，334||=CD ． （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在定点N M 、，使得||||PN PM +为定值．若存在，求出N M 、点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由．21. （本题满分14分）设1ln )()(++=x xa x x f ，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线012=++y x 垂直.(1)求a 的值;(2) 若对于任意的),1[+∞∈x ，)1()(-≤x m x f 恒成立，求m 的范围. (3)求证：*21.().41ni in N i=<∈-∑（第20题）江西省重点中学盟校2014届高三第二次联考数学（理科）答案11.29 12．34π- 13. 24 14． ②④三、选做题：（5分）15.（1）2cos ρθ= （2）1a >-四、解答题：(本大题共6小题，共75分) 16、（本小题满分12分）解：（1）在⊿PAB 中，由余弦定理得：A AB PA AB PA PB cos 2222⋅⋅-+=A c o s 324-= ………3分同理在⊿PQB 中 Q PB cos 222-= ∴Q A cos 22cos 324-=-∴1cos 3cos -=A Q………6分（2）Q Q QB PQ T A A AB PA Ssin 21sin 21,sin 23sin 21=⋅==⋅=………8分 ∴()()Q A Q A T S 222222cos 141cos 143sin 41sin 43-+-=+=+ 223337=-cos cos 2428A A A ⎛+=-+ ⎝⎭当cos A =2278S T +有最大值为。

………12分17、(本小题满分12分)解：（Ⅰ）设1"L 巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞"为事件A则0312331111()()()2222P A C C =⨯+⨯⨯=………4分 （Ⅱ）依题意,X 的可能取值为0,1,2331(0)(1)(1)4510P X ==-⨯-= 33339(1)(1)(1)454520P X ==⨯-+-⨯=339(2)4520P X ==⨯=所以,随机变量X 的分布列为:1992701210202020EX =⨯+⨯+⨯= ………8分 (方法一)设1L 巷道中堵塞点个数为Y ,则Y 的可能取值为0,1,2,303311(0)()28P Y C ==⨯= 123113(1)()228P Y C ==⨯⨯=223113(2)()228P Y C ==⨯⨯= 33311(3)()28P Y C ==⨯=所以,随机变量Y 的分布列为:13313012388882EY =⨯+⨯+⨯+⨯=因为EX EY <,所以选择2L 巷道为抢险路线为好. ………12分(方法二)设1L 巷道中堵塞点个数为Y ,则随机变量1~(3,)2Y B ,所以, 13322EY =⨯=因为EX EY <,所以选择2L 巷道为抢险路线为好 ………12分18、(本小题满分12分)（1）由1,2==AB AD ， 60=∠ABC 得3=AC ，AC AB ⊥．又⊥PA 面ABCD ，所以以AP AC AB ,,分别为z y x ,,轴建立坐标系如图．则),0,3,1(),0,3,0(),0,0,1(),0,0,0(-D C B A ……2分 设),0,0(c P ，则)2,23,0(cE ． 设),,(z y xF ，FD PF 2=得： ）z y x c z y x ----=-,3,1(2),,(． 解得：32-=x ，332=y ，3cz =，所以)3,332,32(cF -． ……4分所以)3,332,32(c AF -=,)0,3,0(=，)2,23,1(c BE -=． 设面ACF 的法向量为),,(z y x n = ，则⎪⎩⎪⎨⎧==++-00333232y z cy x ，取)2,0,(c n =．因为0=+-=⋅c c BE n，且⊄BE 面ACF ，所以//BE 平面ACF ． ……6分（2）设面PCD 法向量为),,(z y x m =， 因为),3,0(c PC -=，),3,1(c PD --=，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-0303cz y x cz y ，取)3,,0(c m = ．……9分由1442|cos |==θ，得1442343222=++c c ． 044724=-+c c ，得42=c ，∴2=c ，所以2=PA ．……12分19、(本小题满分12分)解：（1）由题意，当2n ≥时，有112121n n nn a S a S +-=+⎧⎨=+⎩两式相减，得)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即，………3分 所以，当2n ≥时{}n a 是等比数列，要使1n ≥时{}n a 是等比数列，则只需21213a t a t+== 从而得出1t = ………5分（2）由（1）得，等比数列{}n a 的首项为11a =，公比3q =，∴13n n a -=∴nn n na na c 4-=111341313---⋅-=⋅-⋅=n n n n n n ………7分 ∵14131c =-=-，2411233c =-=⨯，∴1210c c =-< ∵()()()0313243143411>⋅++=⋅+-⋅=--+nn n n n n n n n n c c ， ∴数列{}n c 递增. ………10分 由2103c =>，得当2≥n 时，0n c >.∴数列{}n c 的“积异号数”为1. ………12分20、（本小题满分13分）解：（1）当l 1与x 轴重合时，04321=+=+k k k k ，即43k k -=， ………2分 ∴ l 2垂直于x 轴，得322||==a AB ，3342||2==a b CD ，（4分） 得3=a ，2=b ， ∴ 椭圆E 的方程为12322=+y x ．………5分 （2）焦点1F 、2F 坐标分别为(—1，0)、(1，0)．当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为(—1，0)或(1，0)．………6分 当直线l 1、l 2斜率存在时，设斜率分别为1m ，2m ，设),(11y x A ，),(22y x B ， 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)1(123122x m y y x 得：0636)32(2121221=-+++m x m x m ， ∴ 212121326m m x x +-=+，21223623m x x m -=+．（7分） )2()11(2121122111221121x x x x m x x x x m x y x y k k ++=+++=+=+ 24)222(21121211--=--=m m m m m ，同理43k k +24222--=m m ．………9分∵4321k k k k +=+， ∴2424222211--=--m m m m ，即0))(2(1221=-+m m m m ．由题意知21m m ≠， ∴0221=+m m ．设),(y x P ，则0211=+-⋅+x yx y ，即)1(1222±≠=+x x y ，………11分 由当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为(—1，0)或(1，0)也满足此方程， ∴),(y x P 点椭圆1222=+x y 上，………12分 ∴ 存在点M 、N 其坐标分别为()()0,10,1-、，使得||||PN PM +为定值22．……13分 21、（本小题满分14分）解：(1)2)1(ln )()1)(ln ()(++-+++='x x a x x x x ax x f --------------2分由题设21)1(='f ，∴()21412=+a 11=+∴a ，0=∴a . -------------------------4分(2) 1ln )(+=x xx x f ,[)∞+∈∀，1x ，()(1)f x m x ≤-，即1ln ()x m x x≤-设1()ln ()g x x m x x=--，即[)0)(,1≤∞+∈∀x g x ，.22211()(1)mx x mg x m x x x -+-'=-+= ------------------------------6分①若0,()0m g x '≤>，0)1()(=≥g x g ，这与题设0)(≤x g 矛盾.-----------------7分②若0m >方程20mx x m -+-=的判别式214m ∆=-当0≤∆，即12m ≥时，0)(≤'x g .)(x g ∴在)(1,+∞上单调递减，0)1()(=≤∴g x g ，即不等式成立. ---------------------------8分当102m <<时，方程20mx x m -+-=，设两根为()2121,x x x x <()1,0241121∈--=m m x ， ()+∞∈-+=,1241122mm x当0)(),,1(2>'∈x g x x ,)(x g 单调递增，0)1()(=>g x g ，与题设矛盾.综上所述，12m ≥ .------------------------------------------------------------------------10分(3) 由(2)知,当1>x 时, 21=m 时,11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭成立.不妨令*21,21k x k N k +=∈- 所以221121214ln 212212141k k k k k k k k ++-⎛⎫<-= ⎪--+-⎝⎭， ()()*21[ln 21ln 21],441kk k k N k +--<∈-----------------------11分()()()()()22211ln 3ln1441112ln 5ln 344211ln 21ln 21,441n n n n ⎧-<⎪⨯-⎪⎪-<⎪⨯-⎨⎪⎪⎪+--<⎪⨯-⎩ ---------------------12分 累加可得∴*211ln(21).().441ni i n n N i =+<∈-∑∴*21.().41ni i n N i =<∈-∑ ---------------14分。