2015年广州二模理科数学试卷与答案(完整)

数学（理科）试题A 第 1 页 共 16 页

试卷类型：A

2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（理科）

2015.4

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：

1.

答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上． 2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．

5. 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：球的表面积公式24S R =π，其中R 是球的半径．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是 ( )

A ．若2x ≠，则2320x x -+≠

B ．若2320x x -+=，则2x =

C ．若2

320x x -+≠，则2x ≠ D ．若2x ≠，则2320x x -+=

2．已知0a

b >>，则下列不等关系式中正确的是 ( )

A ．sin sin a b >

B ．22log log a b <

C ．1

12

2

a b < D ．1133a b

⎛⎫⎛⎫

< ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

3．已知函数

(

)40,1,

0,

x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝

⎭⎩则

()2f f =⎡⎤⎣⎦ ( )

A ．

1

4

B ．

12

C ．2

D ．4

4．函数

()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图

1所示，则此

函数的解析式为 ( )

图1

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A ．

3sin y x π

π⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭ B ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭

C ．

3sin y x π

π⎛⎫=+ ⎪2

4⎝⎭

D ．

3sin y x π

3π⎛⎫=+ ⎪2

4⎝⎭

5．已知函数()223f x x x =-++，

若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为 ( ) A ．

425

B ．12

C ．2

3 D ．1

6．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只

蚂蚁沿圆锥的侧面从点

A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ( )

A

B

C

．3

D

．2

7．已知两定点

()1,0A -，()1,0B ，若直线l 上存在点M

，使得

3MA MB +=，则称直线l 为“M

型直线”．给

出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M

型直线”的条数

为 ( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．设(),P

x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()

(

)

5

1,2x =-a ，()1,2y x =

-b ，且//a b .数列{}n a 是公

差不为0的等差数列，且

()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则129a a a ++⋅⋅⋅+= ( )

A.0

B.9

C.18

D.36

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．已知i 为虚数单位，复数1i

1i

z

-=

+，则z = ． 10．执行如图3所示的程序框图，则输出的z 的值是 ．

11．已知

()sin 6f x x π⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭，若3cos 5α=02απ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则

12f απ⎛

⎫+= ⎪⎝

⎭ ．

A

V

C

B

图2

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12．5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有_________种（用

数字作答）． 13．在边长为1的正方形

ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶

点为终点的向量分别为

1c ，2

c ，

3c ．若m 为()()

i j s t +∙+a a c c 的最小值，其中

{}{},1,2,3i j ⊆，

{}{},1,2,3s t ⊆，则m = ．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）

如图4，在平行四边形

ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，

AE 与BC 的延长线交于点F

，且

AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，

垂足为G ，若1DG

=，则AF

的长为 ．

15．（坐标系与参数方程选做题）

在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,

12x t y t

=-⎧⎨

=-⎩（t 为参数）和2

4,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知△

ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =．

1) 求cos A 的值；

2) 若△

ABC

的面积为ABC 外接圆半径的大小．

17．（本小题满分12分）

某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如下面的图表所示．

1) 分别求出a ，b ，c ，n 的值；

2) 从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记

X

为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．

18．（本小题满分14分）如图5，已知六棱柱

111111ABCDEF A BC D E F -的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，

M ，N 分别

B

A

C

D

F

G

图4